INDRODUÇÃO AO METODO DA FLEXIBILIDADE

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PROF. DR. LORENZO A. RUSCHI LUCHI
lorenzo@rl.eng.br
CENTRO TECNOLÓGICO
DEPARTAMENTO DE ENGENHARIA CIVIL
1
 BÁSICA:
◦ GERE, J. M.; WEAVER Jr., W. Análise de Estruturas 
Reticuladas. Ed. Guanabara. Rio de Janeiro, 1987.
◦ Notas de Aula.
 COMPLEMENTAR:
◦ SORIANO, H. L.; LIMA, S. S. Análise de Estruturas Método 
das Forças e Método dos Deslocamentos. Ed. Ciência 
Moderna. Rio de Janeiro, 2006.
◦ SÜSSEKIND, J. C. Curso de Análise Estrutural. Vols. 2 e 3. 
Ed. Globo.
◦ MARTHA, L. F. Análise de Estruturas: Conceitos e 
Métodos Básicos. Ed. Elsevier. Rio de Janeiro, 2011.
2
I – Introdução – Conceitos Básicos de Análise 
Estrutural
II – Método da Flexibilidade
III – Método da Rigidez
3
 PROVA PARCIAL 1 (capítulos 1 e 2):
18/10/17
 PROVA PARCIAL 2 (capítulo 3): 
13/12/17
 PROVA FINAL (matéria toda): 
03/01/18
4
CONCEITOS BÁSICOS DE ANÁLISE 
ESTRUTURAL
PARTE A
5
 TIPOS DE APOIOS (vínculos):
Móvel
Fixo
Engaste
Apoio Deslocamento
Impedido
Reação
6
 APOIO FIXO
 ENGASTE
7
 TIPOS DE CARREGAMENTO:
◦ Carga distribuída;
◦ Carga concentrada;
◦ Carga-momento.
8
 Estruturas Isostáticas: resolvidas
através das equações da Estática
◦ Plano: 3 equações e 3 incógnitas;
◦ Espaço: 6 equações e 6 incógnitas.
 Estruturas Hiperestáticas: 
mais incógnitas que as equações
da Estática
◦ Solução: equações adicionais 
(compatibilidade de deslocamentos)
ANÁLISE
ESTRUTURAL I
ANÁLISE
ESTRUTURAL II
9
A) VIGAS:
 Barra reta com 1 ou mais pontos de apoio;
 Cargas aplicadas em um plano que contém um 
eixo de simetria da seção transversal da viga (eixo 
principal);
 Momentos normais ao plano;
 Viga se deforma neste plano;
 Submetida a 1 força normal, 1 força cortante e 1 
momento fletor (1 direção).
10
B) TRELIÇA PLANA:
 Barras no plano ligadas por rótulas;
 Forças aplicadas no plano da estrutura;
 Momentos normais ao plano;
 Cargas distribuídas e concentradas 
nas barras podem ser substituídas por cargas nos 
nós;
 Forças normais de tração e compressão;
 Barras sujeitas a cargas intermediárias: momentos 
fletores e forças cortantes.
11
C) TRELIÇA ESPACIAL:
 Barras em qualquer direção no espaço;
 Cargas-momento com vetor perpendicular ao eixo 
das barras – treliça não suporta torção.
12
D) PÓRTICO PLANO:
 Barras no plano com eixos de simetria no plano;
 Nós B, C, D e E – rígidos;
 Forças e deslocamentos no plano da estrutura;
 Cargas-momento normais ao plano;
 Submetido a 1 força normal, 1 momento fletor e 1 
força cortante (1 direção).
13
E) GRELHA:
 Barras contínuas que se interceptam mutuamente;
 Forças normais ao plano da estrutura;
 Cargas-momento normais ao plano da grelha;
 Torção e flexão nas barras.
14
F) PÓRTICO ESPACIAL:
 Tipo mais geral de estrutura reticulada;
 Cargas em todas as direções;
 Dois eixos de simetria na seção transversal;
 2 forças cortantes, 1 força normal, 2 momentos 
fletores, 1 momento torsor.
15
OBSERVAÇÃO:
- Neste curso analisaremos apenas barras 
prismáticas, ou seja, cada barra tem 1 eixo reto e 
seção transversal constante.
16
 Deformações: pequenas mudanças de forma nas 
seções transversais devido aos esforços 
solicitantes
17
dx
EA
N
d x dx
GA
fV
d  dx
EI
M
d z dx
GJ
T
d d d
d
d
18
 Variação Uniforme:
TLL   dxTd  
19
 
d
dxTT
d

 21
 Variação nas 2 faces da viga: (T1>T2)
20
 Deslocamentos: causados pelos efeitos 
acumulados das deformações.
 Flechas em vigas – integração da equação 
diferencial da linha elástica;
 Para todos os tipos de estrutura.
21
 AÇÃO EXTERNA:
◦ Cargas e reações;
◦ Força concentrada, distribuída ou momento;
◦ Pode ser uma combinação de todas acima.
 AÇÃO INTERNA:
◦ Esforços solicitantes – V, N, M, T
 DESLOCAMENTO:
◦ Translação ou Rotação em algum ponto da 
estrutura;
◦  - translação – corresponde a força;
◦  - rotação – corresponde a momento.
22
 M1 e  são deslocamentos correspondentes a 
P e .
 M1 também causa ;
 P também causa 
23
24
 Geral (no espaço):
 No plano:
  0xF  0yF  0zF
 0xM  0yM  0zM
  0xF
  0yF
  0zM
25
1 - Estrutura na condição real
◦ Sujeita às cargas reais, variações de temperatura ou outros 
efeitos
2 – Estrutura sujeita a uma carga unitária
◦ Carga unitária – carga fictícia ou virtual, somente para fins 
de análise
◦ Carga no ponto da estrutura onde o deslocamento vai ser 
determinado
◦ Carga na direção do deslocamento desejado
◦ Deslocamento: translação de um ponto ou ângulo de 
rotação do eixo de uma barra
26
“Se a um sistema deformável em equilíbrio é dado 
um pequeno deslocamento virtual, o trabalho total 
das ações externas é igual ao trabalho total das 
ações internas.”
NU, MU, TU, VU  esforços internos produzidos pela 
carga unitária;
NL, ML, TL, VL  esforços internos produzidos pela 
carga real.
27
   dVdTdMdNW UUUUint1extW    dVdTdMdN UUUUEA
dxN
d L
EI
dxM
d L
GJ
dxT
d L
GA
dxfV
d L   dxGA
VfV
dx
GJ
TT
dx
EI
MM
dx
EA
NN LULULULU

EA
LNN
treliças LU:  dxEI
MM
vigas LU:
( - deslocamento a ser calculado)
28
 Calcular 1 (deslocamento horizontal do 
ponto B)
29
Barra Comprim. NL NU NUNLL
AB L P 0 0
AC L -2P 0 0
BD L P -1 -PL
CD L 0 0 0
CB L - P -2 PL
TOTAL -3,828PL
2
2 2
2 EA
PL
828,3P3P
P
11
1
30
 Calcular 2 (deslocamento relativo entre A e D)
31
Barra Comprim. NL NU NUNLL
AB L P -1/ -PL/
AC L -2P -1/ 2PL/
BD L P -1/ -PL/
CD L 0 -1/ 0
CB L - P 1 -2PL
TOTAL -2PL
2 2
2
EA
PL
2P3P
P
2
2
2
2
2
2
32
 1 em C ?
 2 em E ?
33
MA
2P   0M
A
Z
2
PL
 -M A 
02
2
3
2
2  LP
L
PPL
L
PM A 




 

2
43 LL
PM A
34
PL/2
2P   0MSz
 Lx
P
M L  4
2
02
2
 MPx
PL
Segmento AB:
Segmento BC:
  0MSz 2
3PL
M L 
0
2
22
2






 M
L
xPPx
PL
2
222
2
PL
PxPx
PL
M 
35
2P
  0MSz
Segmento CD:
Segmento DE:
  0MSz
2
PL
M L 
0
2
22
2






 MPL
L
xPPx
PL
PL
PL
PxPx
PL
M 
2
222
2 02
3
2
22
2












 M
L
xPPL
L
xPPx
PL
PxPL
PL
Px
PL
M  2
2
3
2 xLPM L  2
PL/2
36
Carga unitária em C:
Lx 0 01  MxL
  0MSz
xLM 
 Lx 0M
37
 Trecho AB:
 dxEI
MM LU
:dxMM LU
      
2/
0
22
2/
0
44
2
4
2
LL
dxLxxLLx
P
dxLx
P
xL   





 
2/
0
223
2/
0
22
2
3
3
4
2
34
2
LL
xLx
L
x
P
dxLLxx
P
2/
0
2
23
242
3
83
4
2
L
L
L
LLLP







48
17
24
1294
2
3
2/
0
333 PLLLLP
L





 

38
 Trecho BC:
 dxEI
MM LU
:dxMM LU
 
L
L
L
L
x
Lx
PL
dx
PL
xL
2/
2
2/
22
3
2
3






 






8222
3 222 LLL
L
L
PL
8
3
8
448
2
3 32222 PLLLLLPL



39
 Trecho CD:
 Trecho DE:
 dxEI
MM LU
:dxMM LU
 
2/3
0
2
0
L
L
PL
  L
L
xLP
2
2/3
020
  0016
3
48
17 33
1
PLPL
dx
EI
MM LU
EI
PL
24
13 3
1 
40
Carga unitária em E:
Lx 20 
012  MxL  0M
S
z xLMU  2
41
 Trecho AB:
 dxEI
MM LU
:dxMM LU
      
2/
0
22
2/
0
428
2
4
2
2
LL
dxLxxLLx
P
dxLx
P
xL   





 
2/
0
223
2/
0
22 2
2
7
3
4
2
274
2
LL
xLx
L
x
P
dxLLxx
P
2/
0
2
23
2
2
42
7
83
4
2
L
L
L
LLLP







48
41
24
24214
2
3
2/
0
333 PLLLLP
L





 

42
 Trecho BC:
 dxEI
MM LU
:dxMM LU
 
L
L
L
L
x
Lx
PL
dx
PL
xL
2/
2
2/
2
2
2
3
2
3
2 





 






82
2
2
2
2
3 222 LLL
L
L
PL
16
15
8
8416
2
3 32222 PLLLLLPL



43
 Trecho CD:
 dxEI
MM LU
:dxMM LU
 
2/3
22/3
2
2
22
2
L
L
L
L
x
Lx
PL
dx
PL
xL 






16
3
8
416924
2
32222 PLLLLLPL












2
2
42
9
2
3
2
2
2
2
2 L
L
LL
L
PL
44
 Trecho DE:
 dxEI
MM LU
:dxMM LU
     
L
L
L
L
L
L
xL
x
L
x
PdxLLxxPdxxLPxL
2
2/3
2
232
2/3
22
2
2/3
4
2
4
3
4422 





  










2
3
4
42
9
4
83
27
24
2
4
4
3
8 2
23
2
23 L
L
L
L
L
LL
L
L
L
P






 3
33
33
3
6
2
9
24
27
88
3
8
L
LL
LL
L
P
2424
1441082764 33333 PLLLLL
P 




 

  2416
3
16
15
48
41 3333
2
PLPLPLPL
dx
EI
MM LU
EI
PL
48
97 3
2 
45
 Mesma viga do exemplo 3, submetida a uma 
diferença de temperatura, com T1 na parte 
inferior e T2 na parte superior. Calcular 1 em C e 
2 em D.
46
 Deslocamento em C:
:dMU  dMU
   
 
 
LL
U
x
Lx
d
TT
dxxL
d
TT
d
dxTT
M
0
2
21
0
2121
2












    








2
2
221 LL
d
TT  
d
LTT
2
2
21
1



Ex.3
47
 Deslocamento em E:
   
 
 
LL
U
x
Lx
d
TT
dxxL
d
TT
d
dxTT
M
2
0
2
21
2
0
2121
2
22 











    








2
4
22
2
21 LLL
d
TT  
d
LTT 221
1
2 


Ex.3
:dMU
 dMU
48

49

50
2
L
BB  
22223
23
LL
EI
PL
EI
P












 






16
1
24
13
EI
PL
EI
PL
48
5 3

51
  dxVVGA
f
dxTT
GJ
dxMM
EI
dxNN
EA
LULULULU
111
 Para barras usuais prismáticas e seção constante 
ao longo do comprimento:
 Para uma estrutura considerando-se somente as 
deformações por flexão, temos:
 dxMMEI LU
1
52
53
 Determinar B
54


















  8
)1(
3
1
3
11 2
31
wLL
EI
MM
L
EI
dxMM
EI
LUB
EI
wL
B
24
3

55