MÉTODO DOS ELEMENTOS FINITOS-2016-IMPRIMIR

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CAE – Computer aided engineering 
engenharia auxiliada por computador 
Universidade de Mogi das Cruzes 
Msc. Domingos F. O. Azevedo 
Plano de ensino 
Ementa: 
• Introdução a métodos computacionais de análise 
(Método dos Elementos Finitos). 
• Fundamentos na análise de tensões. 
• Projeto de estruturas complexas (metodologia e 
aplicações). 
• Validação de estruturas. 
Plano de ensino - Conteúdo - resumo 
Metodologia de projetos, generalidades e etapas dos 
projetos. 
 Custos e benefícios em diferentes estágios do processo de 
desenvolvimento e Influência do projeto sobre o custo. 
 Utilização de recursos computacionais no 
desenvolvimento de projetos e detalhamento das etapas 
de análise e avaliação. 
 Comparativo dos métodos analítico e de elementos 
finitos. 
 
Plano de ensino - Conteúdo - resumo 
Etapas do Método dos elementos finitos. 
Elaboração da matriz de rigidez. 
Determinação das solicitações (Car. Estático). 
Critério de energia de distorção (Von Mises) e 
tensão máxima de cisalhamento (Tresca). 
Limites de tensão para materiais diversos 
Coeficientes de segurança e Tensões admissíveis. 
Plano de ensino - avaliação 
𝑀1 = 0,9𝑃1 + 0,1𝑇1 𝑁𝐷 = 0,9𝑃2 + 0,1𝑇2 
 
𝑀2 = 0,7𝑁𝐷 + 0,3𝑃𝐼 
 
𝑃1 = 𝐴𝑣𝑎𝑙𝑖𝑎çã𝑜 𝑡𝑒ó𝑟𝑖𝑎; 𝑃2 = 𝐴𝑣𝑎𝑙𝑖𝑎çã𝑜 𝑝𝑟á𝑡𝑖𝑐𝑎; 
𝑇1,2 = 𝑇𝑟𝑎𝑏𝑎𝑙ℎ𝑜 𝑒 𝑒𝑥𝑒𝑟𝑐í𝑐𝑖𝑜𝑠 
ND = Nota da disciplina; PI = Nota da prova integrada 
𝑀𝑠 =
𝑀1 + 2.𝑀2
3
 
 
 
Plano de ensino - bibliografia 
 ALVES FILHO, Avelino. Elementos finitos: A base da 
tecnologia CAE. 1ª. São Paulo: Érica. 2005. 
 
 
 Jacob, FISH,, and BELYTSCHKO, Ted. Um Primeiro Curso em 
Elementos Finitos. LTC, 2009. (Biblioteca Virtual) 
 
 
 Chandrupatla, Tirupathi R. Belegundu, Ashok D. Elementos 
finitos. Pearson, ISBN: 978854005935. (Biblioteca Virtual) 
Plano de ensino - bibliografia 
 Nam-Ho, KIM,, and SANKAR, Bhavani V.. Introdução à Análise e ao 
Projeto em Elementos Finitos. LTC, 2011. ISBN 978-85-216-1788-4. 
(Biblioteca Virtual) 
 
 BAXTER, M. Projeto do produto: guia prático para o design de 
novos produtos. [trad.] Itiro Iida. São Paulo : Edgar Blücher, 1998. 
ISBN 85-212-0265-2. 
 
 Azevedo, D. F. O. Tutorial de análise estrutural: Versão 2.2. [DVD], 
Mogi das Cruzes, 2014. Disponível para Download no One Drive a 
partir do site: www.domingosdeazevedo.com. 
Plano de ensino - bibliografia 
 BEER, F. P. JOHNSTON JR, E. at al. Resistência dos materiais. 
3ª. São Paulo: Makron, 1996. (Biblioteca Virtual) 
 
 
 NORTON, R. L. Projeto de máquinas: Uma abordagem 
integrada. 2ª. Porto Alegre: Bookman, 2004. (Biblioteca 
Virtual) 
 
 
 BUDYNAS, Richard G., and NISBETT, J. Keith. Elementos de 
máquinas de Shigley, 8ª edição. ArtMed, 2010. ISBN 978-
85-8055-042-9. 
Metodologia de 
projetos 
Metodologia de projetos - fases 
O PROCESSO DO PROJETO 
TRADICIONAL. Fonte: shigley, 1981. 
Metodologia de projetos - fases 
Fases do projeto em conjunto com 
técnicas computacionais recentes. 
Fonte: Silveira, 1998. 
Intelligent CAD 
CADD 
CAE 
CADD 
Em 
Desenvolvimento 
Metodologia de projetos 
Custos e benefícios 
Custos e benefícios em diferentes estágios 
do processo de desenvolvimento. Fonte: 
Booz-Allen & Hamilton Inc., 1982 apud 
Baxter, 1998. (Modificado) 
C
U
ST
O
 R
EL
AT
IV
O
 
←
 M
e
n
o
r 
M
ai
o
r 
→
 
←
 M
en
o
r 
M
ai
o
r 
→
 
Metodologia de projetos 
Custos e benefícios 
Comparação entre as alterações de projeto 
e seu custo na fase de fabricação. Fonte: 
Silveira, 1998. 
Metodologia de projetos 
Custos e benefícios 
• O processo de desenvolvimento de projetos vários estágios ou etapas 
são necessárias até que se tenha o produto com o cliente de uma 
empresa, por exemplo, planejamento do produto, projeto conceitual, 
configuração do produto, detalhamento, etc. Nestes estágios de 
desenvolvimento citados que são os estágios iniciais, conforme mostra 
o gráfico a seguir permitem grande possibilidade de redução do custo, 
menor custo para introdução de mudanças e menor custo de 
desenvolvimento. Em resumo, nos estágios iniciais de desenvolvimento 
têm-se um baixo custo e alto benefício e isto, principalmente, entre 
outros motivos, justificam um maior investimento em softwares de 
análise para auxiliar nos projetos. 
Metodologia de projetos 
Custos e benefícios 
Gráfico da influência do projeto sobre a 
manufatura. 
Fonte: Ford Motor Company apud Silveira, 1998. 
Metodologia de projetos 
Custos e benefícios 
• Percebe-se, pelo gráfico anterior, que embora o custo do projeto 
seja o menor dentre os quatro fatores abrangidos na avaliação 
dos custos de manufatura, sua influência é predominante sobre 
estes custos. Com a utilização de recursos computacionais no 
projeto técnico, atua-se exatamente onde a possibilidade de 
redução dos custos é maior, e o custo de desenvolvimento é 
menor e tem grande influência nos custos da manufatura. 
Metodologia de projetos 
Custos e benefícios 
Campos de aplicação das 
ferramentas de investigação do 
engenheiro projetista. 
Fonte: Hossdorf, 72. 
Geometria simples e 
grande frequência 
Geometria complexa e 
frequência moderada 
Geometria e projeto muito 
complexos e pouco frequente 
Metodologia de projetos 
Custos e benefícios 
• Percebe-se, pelo gráfico anterior, que há um aumento exponencial do custo 
conforme aumenta a complexidade do projeto quando é utilizado o método 
clássico que utiliza modelos analíticos. Os métodos experimentais que utilizam 
modelos reduzidos proporcionam menor elevação dos custos com o aumento 
da complexidade do projeto. E também que os métodos numéricos que 
utilizam elementos finitos, se enquadram entre os dois outros métodos citados 
anteriormente, ou seja, quando o projeto não é muito simples os métodos 
analíticos tornam-se custosos ou é muito complexo para viabilizar a análise de 
todos os aspectos envolvidos, tornando-a complexa, demorada e as 
aproximações realizadas seriam muito grosseiras. Também que projetos muito 
complexos são mais raros e ocorrem com menos frequência. 
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engenharia auxiliada por computador 
Categoria de softwares que tem a finalidade de 
auxiliar o engenheiro nas decisões de algumas 
das etapas do desenvolvimento de projeto, em 
particular para o estudo e validação de projetos. 
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engenharia auxiliada por computador 
• Segundo a empresa MSC Software (2012), os programas de 
análise permitem com precisão e confiabilidade prever como os 
produtos vão se comportar no mundo real para ajudar os 
engenheiros a projetar produtos melhores e mais inovadores - de 
forma rápida e econômica. As empresas são capazes de eliminar 
testes físicos lentos e caros, criando e testando protótipos 
"virtuais" que podem ser avaliados de forma rápida para o 
desempenho em qualquer ambiente ou das condições para 
alcançar vantagem competitiva duradoura. 
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engenharia auxiliada por computador 
• Segundo a empresa ANSYS (2013), o Software de simulação 
permite que as organizações de prevejam com segurança como 
seus produtos irão funcionar no mundo real. E podem auxiliar as 
empresas a diminuírem os custos de desenvolvimento, encurtar o 
tempo para introduzir novos produtos no mercado, otimizar o 
performance e segurança de produtos e ganhar vantagens 
competitivas no mercado. 
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• Segundo a fabricante de motocicletas e automóveis Bayerische Motoren 
Werke (BMW) citada por Howaniec (2006), o custo de simulações utilizando-se 
CAE tem reduzido com o tempo desde 1960, com tendência a continuar se 
reduzindo, enquanto que há um aumento exponencial no número de 
simulações e significativa tendência de aumento nos custos de construção 
física de protótipos, o que comprova vantagens na utilização de recursos 
computacionais em projetos. 
• Conformedados levantados pela Daratech citada por Howaniec (2006), 
todas as quatro maiores empresas fabricantes de programas de CAE, a saber, 
MSC.Software, Ansys, Dassault Systems e UGS (Unigraphics) apresentaram 
crescimento nas vendas entre 2005 e 2006, indicando certamente maior 
utilização deste tipo de recurso computacional. 
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engenharia auxiliada por computador 
• Nas diversas modalidades da engenharia a utilização de 
computadores vem aumentando trazendo diversos benefícios através 
da utilização de programas de computador que auxiliam os técnicos, 
desenhistas, projetistas e engenheiros em suas tarefas, possibilitando a 
automatização de procedimentos e processos de seu cotidiano. 
Exemplos de utilização destes programas de computadores na 
engenharia encontram-se com facilidade em diversas áreas, por 
exemplo, automobilística, aeroespacial, arquitetura, etc. (SCHEIDT, 
2004) como mostram as ilustrações que seguem adiante. 
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Exemplo de utilização de recursos computacionais em projeto mecânico industrial. 
Fonte: PUFF, 2006. 
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Exemplo de utilização de recursos computacionais em projeto automobilístico. 
Fonte: FILHO, 2006. 
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Exemplos de utilização de recursos computacionais em projetos automobilísticos. 
Fonte: Diversas. 
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Exemplo de utilização de recursos computacionais em projeto aeronáutico. 
Exemplos de aplicação dos softwares 
Revisão do método analítico 
 Isotrópicos, ou seja, apresentam as mesmas propriedades mecânicas em todas as direções 
de solicitação; 
 Incompressíveis, não apresentam variação de volume durante o processo. Na realidade, 
ocorre um pequeno aumento de volume devido ao aumento da densidade de 
discordâncias; 
 Contínuos, não apresentam poros ou vazios que comprometam sua continuidade; 
 Homogêneos e uniformes, apresentam a mesma composição química, morfologia de grãos 
e distribuição de partículas ao longo de seu comprimento. 
Hipóteses assumidas para o material e geometria 
Revisão do método analítico para cálculo 
de deflexão em vigas 
𝑀
𝐸. 𝐼
=
𝑑2𝑦
𝑑𝑥2
 (1) 
Revisão do método analítico para cálculo 
de deflexão em vigas 
 𝑀 = 0 ; 𝐹 = 0 
y 
x 
C 
B 
M 
x 
V 
F 
L 
A 
Diagrama de corpo livre 
Revisão do método analítico para cálculo 
de deflexão em vigas 
𝑉 = −𝐹 (2) 
𝑀 = −𝐹𝑥 (3) 
As reações são: 
)4(
2
2
Fx
dx
yd
IE 
Isolando-se M na equação (1) e substituindo-o por - Fx tem-se: 
Revisão do método analítico para cálculo 
de deflexão em vigas 
Integrando-se ambos os 
membros em x. 
Obtém-se: 
)5(
00 2
2
dxFxdx
dx
yd
IE
LL
 
)6(
2
1
2
C
Fx
dx
dy
IE 
Pode-se determinar a inclinação em B, ao encontrar C1 
0
dx
dy

Revisão do método analítico para cálculo 
de deflexão em vigas 
A inclinação no lado engastado é 
zero, quando x = L: 
Substituem-se os valores em (6) e 
resolve-se para C1 
x 
y 
)7(
2
2
1
FL
C 
Revisão do método analítico para cálculo 
de deflexão em vigas 
A inclinação no lado livre é dada 
pela equação (8), quando x = 0: 
x 
y 
)8(
2
2
IE
FL
dx
dy
B







θ 
Revisão do método analítico para cálculo 
de deflexão em vigas 
A equação que dá a inclinação para qualquer 
valor de x entre 0 e L será obtida por: 
  )9(
2
1 22 FLFx
IEdx
dy

)10(
2
1
0
22
0
dxFLFx
IE
dx
dx
dy LL
 
Para determinar a deflexão na viga integram-se 
ambos os membros da equação (9) 
Revisão do método analítico para cálculo 
de deflexão em vigas 
Resultando em: 
Sabe-se que quando x = L, y = 0, por tanto, 
substituindo em (11) tem-se: 
)11(
32
1
2
2
3










 CxFL
Fx
IE
y
)13(
3
)12(
32
1
0
3
2
2
2
3
FL
C
CLFL
FL
IE
y A













Revisão do método analítico para cálculo 
de deflexão em vigas 
Substituindo o valor de C2 obtido em (13) 
na equação (11) tem-se: 
Equação (14) simplificada  323
3
2
3
23
6
)14(
332
1
LxLx
IE
F
y
FL
xFL
Fx
IE
y












Revisão do método analítico para cálculo 
de deflexão em vigas 
A deflexão y na extremidade B ocorre 
quando x = 0, desta forma obtém-se: 
x 
y 
yB 
)15(
3
3
IE
FL
yB 
Resumo – cálculo analítico 
 Várias hipóteses foram assumidas, destacam-se: 
• O momento de inércia não pode-se alterar, portanto, a 
geometria não pode se alterar, ou seja, deve ser 
contínua. 
• O material deve ser isotrópico e incompressível; 
• Integram-se infinitas partes. 
MÉTODO DOS ELEMENTOS FINITOS 
Fundamentos do 
HISTÓRICO 
Gauss (1795) 
Funções de 
aproximação 
PTV – Princípio 
dos Trabalhos 
Virtuais (séc. 
XVIII) 
Hrenikoff 
(1941) 
Análise de 
placas com 
treliças 
Courant (1943) 
Funções 
válidas apenas 
em uma 
pequena parte 
do domínio 
Mc Henry (EUA, 
1943) Técnicas 
matriciais de 
análise 
estrutural 
HISTÓRICO 
Anteriores a 
1950 
Argyris 
(Alemanha, 
1954) Técnicas 
matriciais de 
análise 
estrutural 
Turner, Clough, 
Martin e Topp 
(1956) 
Modelagem de 
painéis de 
aeronaves com 
triângulos. 
Clough (1960) 
Primeiro a 
introduzir o 
termo 
“Elementos 
Finitos” 
Zienkiewicz 
(1967) Primeiro 
livro publicado 
sobre o método 
dos elementos 
finitos 
Metodologia de projetos - fluxograma 
Fluxograma comparativo das etapas dos 
procedimentos do Método Analítico e MEF 
para resolução de problemas de análise 
estrutural. Fonte: Alves, 2005. 
MÉTODO DOS ELEMENTOS FINITOS 
• O método de Elementos Finitos (MEF) é uma teoria 
puramente matemática para resolução aproximada 
de equações diferenciais parciais. 
 
• Pode ser aplicado, portanto, a problemas de 
engenharia. 
 
• Método de aproximação – O contínuo é subdividido 
em partes (elementos) e conectados por nós. 
Descrição GRÁFICA 
Aproximação por funções contínuas por partes 
u(x) 
x 
Aproximação por uma reta 
Aproximação por 3 retas 
Solução exata 
subdivisões NOS OBJETOS 
TIPOS DE ELEMENTOS (EXEMPLOS) 
Elemento Linha 
Elemento unidimensional 
(SEGMENTOS DE 
RETA) 
Elementos bidimensionais 
(SUPERFÍCIES PLANAS) 
Triângulo Quadrilátero 
(Losango, retângulo, 
etc.) 
Pentaedro 
(cunha) 
Hexaedro 
 
Paralelogramo 
Elementos tridimensionais 
(SÓLIDOS) 
Pentaedro 
(Pirâmide) 
Graus de liberdade dos nós 
Objeto 
bidimensional 
(SUPERFÍCIES) 
Nó 2 
Nó 1 
Nó 3 
Elemento 
Nó 2 Nó 1 
Objeto 
unidimensional 
(LINHAS) 
Nó 3 
Nó 1 Nó 2 
Nó 5 
Nó 7 Nó 8 
Elemento 
Objeto 
tridimensional 
(SÓLIDOS) 
Um grau de liberdade por nó 
Três graus de liberdade por nó 
Seis graus de liberdade por nó 
TIPOS DE ELEMENTOS (ORDEM) 
Objeto bidimensional 
(SUPERFÍCIES PLANAS) 
Objeto tridimensional 
(SÓLIDOS) 
Elementos de primeira ordem Elementos de segunda ordem 
GRAU POLINOMIAL DOS ELEMENTOS 
Triângulo de 
Pascal 
Grau 
Polinomial, p 
Número de 
Termos, n 
Elemento triangular (Número de 
nós = Número de termos) 
DISCRETIZAÇÃO 
 A geometria contínua da peça, é subdividida pelo programa 
de análise, em partes denominadas elementos, em uma 
quantidade finita, mantendo estes elementos interligados 
por nós, formando aquilo que denominamos malha. 
454 elementos 
e 1 036 nós 
11 431 elementos 
e 21 590 nós 
Elementos Sólidos 
Utilização dos elementos 
No processo de análise estrutural por elementos finitos, 
o software calcula tensões e deformações utilizando os 
deslocamentos nodais causados pelas cargas e reações 
dos apoios. 
IMPORTANTE: 
Sem elementos e nós não há análise. 
Gráfico de Convergência da tensão em função 
do número de Nós 
Gráfico de Convergência
0
50
100
150
200
250
300
350
0
1
0
0
0
2
0
0
0
3
0
0
0
4
0
0
0
5
0
0
0
6
0
00
7
0
0
0
8
0
0
0
9
0
0
0
1
0
0
0
0
1
1
0
0
0
1
2
0
0
0
1
3
0
0
0
1
4
0
0
0
1
5
0
0
0
Número de Nós
T
e
n
s
ã
o
 (
M
P
a
)
MEF
Exata
Linear
(Exata)
Os resultados obtidos por MEF 
geralmente são aproximados 
Utilização dos nós no método 
𝐹 = 𝑘. 𝑥 𝐹 =
𝐸. 𝐴
𝐿
. 𝑑 
Montagem da equação matricial 






















0
.
2
1
2
1
x
x
kk
kk
f
f
Vetor dos 
deslocamentos nodais 
Matriz de Rigidez 
da Mola 
Vetor das forças 
nodais 
Resolvendo para forças 
 
212
211
.
.
kxxkf
kxxkf


 
1212
1111
.0..
.0..
xkfkxkf
xkfkxkf


Para a barra de apenas um elemento 




























0
.
2
1
2
1
d
d
L
EA
L
EA
L
EA
L
EA
F
F
Vetor dos 
deslocamentos nodais Matriz de Rigidez 
da Barra 
Vetor das forças 
nodais 
Quando o sistema possui mais de um 
elemento de mola tem-se: 
Procedimento para montagem da 
Matriz de Rigidez da estrutura 
𝑘𝑎 −𝑘𝑎
−𝑘𝑎 𝑘𝑎
 
Elemento 1 
A B 
A 
B 
𝑘𝑏 −𝑘𝑏
−𝑘𝑏 𝑘𝑏
 
Elemento 2 
B C 
B 
C 
A viga e os graus de liberdade 
em um elemento 
Graus de liberdade de um 
elemento no plano 
Apenas dois graus de liberdade em cada nó 
Condição válida para as 
situações a seguir 
1° situação de um elemento no plano 
 .
6
22,1
L
EI
M
 .
12
3L
EI
R
Apenas dois graus de liberdade em cada nó 
Equações válidas para 
ambos os nós 
Deslocamento em um nó 
2° situação de um elemento no plano 
Apenas dois graus de liberdade em cada nó 
Equações válidas para 
ambos os nós 
Rotação em um nó 
.
2
1
L
EI
M 
.
6
2L
EI
R 
.
4
2
L
EI
M 
Matriz para as duas situações possíveis 
Arranjo dos “Elementos na Matriz”, que não 
comtempla forças axiais e apenas flexão 





























L
EI
L
EI
L
EI
L
EI
L
EI
L
EI
L
EI
L
EI
L
EI
L
EI
L
EI
L
EI
L
EI
L
EI
L
EI
L
EI
K
4626
612612
2646
612612
22
2323
22
2323
Características das Matrizes 
Toda matriz de rigidez global é 
quadrada e diagonalmente simétrica 



























L
EI
L
EI
L
EI
L
EI
L
EI
L
EI
L
EI
L
EI
L
EI
L
EI
K
4626
12612
46
12
22
323
2
3 SIMETRIA 
Estrutura de pórtico Plano 
O nó A está fixo e a carga P 
está localizada no nó C. 
ESTRUTURA 
MODELO 
Os dois elementos (a) e 
(b) formam o pórtico. 
A, E, I e L são 
propriedades e A, B, e 
C são os nós dos 
elementos. 
Estrutura de pórtico Plano 
O nó A está fixo e a carga P 
está localizada no nó C. 
Numeração dos graus 
de liberdade 
Posição dos elementos em 
relação ao eixo X 
Estrutura de pórtico Plano 
Forças e 
deslocamentos 
Nodais 
Numeração dos graus 
de liberdade 
Forças e deslocamentos nodais 
para a estrutura inteira 
K - Matriz de rigidez da estrutura 
Sistema Global de coordenadas 
Revisão de álgebra matricial 
Generalidades 
Equação matricial 
{F} = [K] . {U} 
Normalmente se conhecem as forças e rigidez mas, tem-se os 
deslocamentos U como incógnitas portanto, há necessidade de 
isolá-los. 
Vetor dos 
deslocamentos nodais 
Matriz de Rigidez 
Vetor das forças 
nodais 
Para realizar o isolamento desta matriz coluna é necessário utilizar 
o procedimento de inversão da matriz rigidez. 
     FKU .
1

Objetivo => isolar o vetor de 
deslocamentos nodais 
Vetor dos 
deslocamentos nodais 
Matriz de Rigidez 
 Inversa 
Vetor das forças 
nodais 
Processo de inversão da matriz 
Encontrar a Determinante da Matriz de 
Rigidez Global 
Montar a Matriz Transposta 
Encontrar os Cofatores 
Montar a Matriz Inversa 
Visão geral do mef 
Modelo de 
montagem 
dos 
elementos 
Matriz de 
Rigidez de 
cada 
elemento 
Matriz de 
Rigidez da 
Estrutura 
(Global) 
Condições 
de contorno 
(Restrições e 
Forças 
aplicadas) 
Isolar e 
calcular os 
Deslocamen
tos nodais e 
Reações de 
apoio 
Encontrar as 
forças 
internas nos 
elementos 
(Tensões) 
O que exatamente o software de 
MEF (Ansys – Design Simulation) 
faz durante a análise. 
Visão geral do mef 
Modelo de 
montagem 
dos 
elementos 
Matriz de 
Rigidez de 
cada 
elemento 
Matriz de 
Rigidez da 
Estrutura 
(Global) 
Condições 
de contorno 
(Restrições e 
Forças 
aplicadas) 
Isolar e 
calcular os 
Deslocamen
tos nodais e 
Reações de 
apoio 
Encontrar as 
forças 
internas nos 
elementos 
(Tensões) 
Softwares de CAE permitem: 
 A redução do custo e tempo necessário no processo de 
desenvolvimento do projeto, pois é acelerado pela 
rapidez de análise. 
 A otimização coerente da peça ou conjunto antes da sua 
fabricação reduzindo os custos associados ao material, á 
manufatura e final. 
 A redução da probabilidade de falha dos componentes, 
pois uma eventual falha pode ser percebida antes de sua 
execução. 
vantagens do método dos elementos finitos 
sobre o método analítico 
 Componentes com geometria complexa podem ser analisados. 
 Componentes de diferentes formas e tamanhos podem ser associados. 
 Possibilidade de análise de componentes sobrepostos que possuam propriedades físicas 
diferentes. 
 O método pode ser todo formulado matricialmente, facilitando sua implementação 
computacional. 
 Os resultados são obtidos rapidamente e boa aproximação com o método analítico. 
 Podem-se criar vários modelos de análise. 
 Podem-se aprimorar as formas geométricas de componentes. 
 Em casos mais críticos, quando um componente é submetido á cargas cíclicas que podem causar 
sua fadiga, pode-se prever a vida útil pela quantidade de ciclos calculada pelo software. 
Obtendo a deformação específica 
 Na fase elástica os materiais obedecem à lei de Hooke. 
 Em 1678, Robert Hooke descobriu que uma mola tem sempre a 
deformação () proporcional à tensão aplicada (), desenvolvendo 
assim a constante da mola (K), ou lei de Hooke, onde E =  /  . 
 = E  
𝜀 =
𝜎
𝐸
 
O que exatamente o software de 
MEF (Ansys – Static Structural) 
faz para determinar as 
deformações e tensões. 
Obtendo a deformação específica 
 Na fase elástica os materiais obedecem à lei de Hooke. 
 Em 1678, Robert Hooke descobriu que uma mola tem sempre a 
deformação () proporcional à tensão aplicada (), desenvolvendo 
assim a constante da mola (K), ou lei de Hooke, onde E =  /  . 
 = E  
𝜀 =
𝜎
𝐸
 
Obtendo a deformação específica 
𝜀 =
𝑐𝑜𝑚𝑝𝑟 𝑓𝑖𝑛𝑎𝑙 − 𝑐𝑜𝑚𝑝𝑟 𝑖𝑛𝑖𝑐𝑖𝑎𝑙
𝑐𝑜𝑚𝑝𝑟 𝑖𝑛𝑖𝑐𝑖𝑎𝑙
=
𝐿𝑓 − 𝐿𝑖
𝐿𝑖
 
Li 
 
 
Ao 
Lf 
 
 
Af 
Deformação específica: 
Ruptura 
Alongamento (ΔL)) 
F
o
rç
a
 
Obtendo a deformação específica 
Ao aplicar uma força num objeto qualquer discretizado 
os nós de seus elementos se distanciam ou se aproximam 
(deslocamentos nodais). 
A distorção do elemento em uma direção equivale a: 
𝜀 =
𝐿𝑓 − 𝐿𝑖
𝐿𝑖
 
Em um mesmo elemento tridimensional podem 
ocorrer distorções diferentes em cada direção 
Obtendo a tensão no elemento 
Aplicando-se a Lei de Hooke 
𝜎 = 𝐸. 𝜀 
Em um mesmo elemento tridimensional 
podem ocorrer tensões diferentes 
Sendo conhecidos o módulo de elasticidade E e a 
deformação específica ε, obtém-se a tensão, σ: 
Exemplo de análise 
Condições de 
contorno Malha Deslocamento 
Vetores 
Principais 
Detalhes dos 
Vetores 
Tensão 
Equivalente 
Exemplo de análise 
Condições de contorno 
Exemplo de análise - malha 
Elementos 
tridimensionais 
e seus Nós 
Exemplo de análise - Deslocamento 
As diferentes cores indicam 
diferentes deslocamentos 
Exemplo de análise – vetores nodais 
As setas brancas indicam nó 
tracionado e setas azuis 
indicam compressão. 
Exemplo de análise - tensão 
As diferentes cores indicam 
diferentes Tensões 
Considerações 
O MEF permite determinar deslocamentos, 
deformações e tensões em objetos com propriedades 
conhecidas. 
Os cálculos permitem obter soluções aproximadas ás 
obtidascom o método analítico. 
Os procedimentos de cálculo são relativamente simples, 
em grande quantidade e repetitivos, e portanto, mais 
adequado aos computadores softwares. 
EVOLUÇÃO DOS COMPUTADORES 
 Segundo Budynas, entre os principais avanços na 
tecnologia computacional tivemos a rápida expansão dos 
recursos de hardware dos computadores, eficientes e 
precisas rotinas para resolução de matrizes, bem como 
computação gráfica, para facilitar a visualização dos 
estágios de pré-processamento da construção do modelo, 
até mesmo na geração automática de malha adaptativa e 
nos estágios de pós-processamento de revisão dos 
resultados obtidos. 
EVOLUÇÃO DOS COMPUTADORES 
N
ú
m
e
ro
 d
e
 t
ra
n
s
is
to
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s
 e
m
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m
 c
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c
u
it
o
 
in
te
g
ra
d
o
 
Ano 
±1 Bilhão de 
transistores 
I3, i5 e i7 - 2008 
731 milhões de 
transistores 
Haswell 
DEZ/2013 
Quantidade de transistores de cada processador Intel® ao longo do tempo. (Fora de 
escala) 
EVOLUÇÃO DOS COMPUTADORES 
Evolução anual da velocidade de processamento na última década do século XX 
F
re
q
u
ê
n
c
ia
 d
e
 p
ro
c
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s
s
a
m
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n
to
 
(M
H
z
) 
EVOLUÇÃO DOS COMPUTADORES 
Evolução anual da velocidade de processamento até 2010, 
(BUENO Junior, 2010) 
EVOLUÇÃO DOS COMPUTADORES 
Evolução anual do custo por GB para armazenamento em HD até 2010, 
(BUENO Junior, 2010) 
Softwares de análise 
ABAQUS 
LISA 
COMPUTADORES na análise de 
engenharia 
 O aumento significativo da utilização destes tipos de 
programas na execução de análises se deve principalmente 
á crescente velocidade de processamento dos 
computadores nas ultimas décadas e á facilidade de acesso 
aos computadores pela redução de seu custo. 
Viabilizando a utilização 
do MEF 
O mef e os softwares 
 O método pode ser todo formulado matricialmente, facilitando 
sua implementação computacional. 
 Na maioria dos casos com o auxílio dos softwares de CAE os 
resultados são obtidos rapidamente e com boa aproximação. 
 Componentes com geometria complexa podem ser analisados. 
 Componentes de diferentes formas e tamanhos podem ser 
associados formando uma nova geometria. 
 Possibilidade de análise de componentes sobrepostos que 
possuam propriedades físicas diferentes. 
Justificam a utilização deste tipo 
software e o MEF 
malha 
Elementos 
tridimensionais 
e seus Nós 
Influência da quantidade de nós 
Gráfico de Convergência
0
50
100
150
200
250
300
350
0
1
0
0
0
2
0
0
0
3
0
0
0
4
0
0
0
5
0
0
0
6
0
0
0
7
0
0
0
8
0
0
0
9
0
0
0
1
0
0
0
0
1
1
0
0
0
1
2
0
0
0
1
3
0
0
0
1
4
0
0
0
1
5
0
0
0
Número de Nós
T
en
sã
o 
(M
P
a)
MEF
Exata
Linear
(Exata)
Os resultados obtidos por MEF, geralmente, são 
aproximados 
REPETIDO 
CONSIDERAÇÕES 
 Quanto maior a quantidade de nós mais aproximado é o 
valor encontrado do valor exato. 
 Quanto maior a quantidade de nós mais tempo é necessário 
para o processamento. 
alternativas 
 Simplificar o modelo geométrico (objeto). 
• Suprimindo algumas características. 
• Suprimindo componentes de um conjunto. 
 Realizar uma primeira análise com menor quantidade de 
elementos, avaliar os resultados e refinar a malha nas 
regiões críticas. 
Alternativas 
Simplificar o modelo geométrico 
6896 nós 4221 nós 39% Redução 
Simplificação 
Alternativas 
refinar nas regiões críticas 
4221 nós 5287 nós 25% Aumento 
Região crítica 
273 MPa 297 MPa 9% Aumento 
Outras Vantagens de utilização 
de softwares de cae - mef 
 Permite a simulação de modelos onde a utilização de protótipos não é 
adequada. Ex.: implantes cirúrgicos. 
 Facilidade de integração com ferramentas de CADD (associatividade, 
interoperabilidade e parametrização) e consequentemente melhoria do 
desenho. 
 Componentes de diferentes formas e tamanhos podem ser associados. 
 Podem-se aprimorar as formas geométricas de componentes e assim 
reduzir quantidade de material e peso. 
 Em casos mais críticos, quando um componente é submetido á cargas 
cíclicas que podem causar sua fadiga. 
etapas do mef com software 
Pré-Processamento 
Análise (Processamento) 
Pós-Processamento 
Definições estabelecidas antes da simulação 
que determinam o que será analisado e em 
que condição será feita a análise. 
Etapa realizada pelo software, baseada nas 
condições estabelecidas previamente, para 
obter resultados previamente requisitados 
pelo analista. 
Resultados obtidos para as soluções 
requisitadas pelo analista. 
Conteúdo de cada etapa do mef 
Pré-Processamento 
Análise (Processamento) 
Pós-Processamento 
Inclui a definição da geometria das peças, os 
materiais, a malha e as condições de 
contorno. 
Discretização da malha, verificação das 
condições de contorno e soluções, preparação 
do modelo e análise. 
Todos os tipos de resultados, por exemplo: 
Tensões, deslocamentos, deformações, 
pressões, penetração, tensão de atrito, etc. 
Pré-processamento 
condições de contorno 
Na análise estrutural as condições de contorno são os 
carregamentos, as restrições, cargas de corpos, tipos de 
contatos, etc. 
 As condições de contorno são imprescindíveis para a análise e fazem 
parte do pré-processamento, assim como, a geometria, o material de 
cada componente e a malha. 
 
As condições de contorno exigem do engenheiro amplo estudo da peça 
ou conjunto de peças e como estes interagem ou são afetados pelas 
forças, apoios e outros fatores que influenciem sua resistência e 
desempenho. 
Quanto mais próximas ou exatas forem aplicadas as condições de 
contorno das reais condições de trabalho da peça ou conjunto, mais 
confiáveis serão os resultados obtidos na análise. 
Análise (processamento) 
 Etapa realizada pelo software, baseada nas condições 
estabelecidas previamente, para obter os resultados 
requisitados pelo analista. 
 
Algumas defnições podem ser preestabecidas pelo analista 
conforme a necessidade do modelo, por exemplo, análise não 
linear, com grande deflexão, solução direta, iterativa ou 
controlados pelo programa. 
Pós-processamento 
 Resultados obtidos para as soluções requisitadas pelo analista, por 
exemplo: Tensões, deslocamentos, deformações, fatores de 
segurança, pressões, penetração, tensão de atrito, etc. 
 
 
Os resultados obtidos são 
apresentados de duas maneiras: 
Graficamente pela coloração do 
objeto e legenda correspondente com 
valores. 
E também, com valores numéricos 
máximos e mínimos calculados. 
TEORIA DE FALHAS 
ESTÁTICAS 
Teorias de falhas estáticas 
MATERIAIS DÚCTEIS 
Os materiais dúcteis caracterizam-se pela elevada tenacidade, ou 
seja, grande redução em área quando tracionados. 
Teorias de falhas estáticas 
Dúctil Frágil 
(a) FRATURA TAÇA –CONE EM ALUMÍNIO. (b) FRATURA FRÁGIL EM FERRO FUNDIDO 
Teorias de falhas estáticas 
MATERIAIS FRÁGEIS 
 Ferro Fundido 
Aço Temperados 
Concreto 
Vidros 
Cerâmicas 
Etc. 
Teorias de falhas estáticas 
COMPARAÇÃO DAS TEORIAS DE FALHA DE MATERIAIS FRÁGEIS NÃO-UNIFORMES 
FRÁGIL 
 
 
 
 
 
DÚCTIL 
Teorias de falhas estáticas 
 
Planos e direções de 
deslizamento das 
discordâncias 
Teorias de falhas estáticas 
Local de falha tridimensional pela teoria da energia de distorção e 
pela teoria da tensão de cisalhamento máximo. 
Teorias de falhas estáticas 
Local de falha tridimensional pela teoria de distorção e pela 
teoria da tensão de cisalhamento máximo. 
Teorias de falhas estáticas 
COMPARAÇÃO DAS TEORIAS DA TENSÃO NORMAL E DA ENERGIA DE DISTORÇÃO 
Teoria da Energia de Distorção 
Teorias de falhas estáticas 
COMPARAÇÃO DAS TRÊS TEORIAS DE FALHA 
Teoria da Energia 
de Distorção 
Teorias de falhas estáticas 
COMPARAÇÃO DAS TRÊS TEORIAS DE FALHA 
Teorias de falhas estáticas (m. Frágeis) 
CRITÉRIO DE COULOMB – MOHR 
CÍRCULOS DE MOHR PARA UM MATERIAL QUE 
RESISTE À TRAÇÃO E À COMPRESSÃO 
Teorias de falhas estáticas 
COMPARAÇÃO DAS TEORIAS DE FALHA DE MATERIAIS FRÁGEIS NÃO-UNIFORMESTeorias de falhas estáticas 
COMPARAÇÃO DAS TEORIAS DE FALHA DE MATERIAIS FRÁGEIS NÃO-UNIFORMES 
DETERMINAÇÃO DO FATOR DE 
SEGURANÇA 
DETERMINAÇÃO DO FATOR DE 
SEGURANÇA 
𝐶𝑜𝑚𝑝𝑎𝑟𝑎𝑟: 𝐹1; 𝐹2; 𝐹3 e usar o maior entre estes 
𝜎𝑎𝑑𝑚𝑖𝑠𝑠í𝑣𝑒𝑙 =
𝜎𝑒
𝑓𝑠𝑝𝑟𝑜𝑗𝑒𝑡𝑜
 𝑝𝑎𝑟𝑎 tensões normais de materiais dúcteis 
𝜏𝑎𝑑𝑚𝑖𝑠𝑠í𝑣𝑒𝑙 =
0,5 . 𝜎𝑒
𝑓𝑠𝑝𝑟𝑜𝑗𝑒𝑡𝑜
 𝑝𝑎𝑟𝑎 tensões cisalhantes de materiais dúcteis 
𝜎𝑎𝑑𝑚𝑖𝑠𝑠í𝑣𝑒𝑙 =
𝜎𝑟𝑢𝑝𝑡𝑢𝑟𝑎(𝜎𝑡;𝜎𝑐)
𝑓𝑠𝑝𝑟𝑜𝑗𝑒𝑡𝑜
 𝑝𝑎𝑟𝑎 tensões de materiais frágeis 
COMPARAR OS FATORES DE SEGURANÇA DE PROJETO E ANÁLISE MEF 
O FATOR DE SEGURANÇA DE ANÁLISE MEF DEVE 
SER MAIOR QUE O DE PROJETO 
REFERÊNCIAS 
• ALVES, Avelino F. Elementos finitos: a base da tecnologia CAE. São Paulo : Érica, 2003. p. 294. 
• ANSYS, Inc. ANSYS Strutural Analysis Guide. Canonsburg : SAS IP, 2004. 
• BAXTER, M. Projeto do produto: guia prático para o design de novos produtos. [trad.] Itiro Iida. São Paulo : Edgar Blücher, 1998. 
ISBN 85-212-0265-2. 
• BOOZ-ALLEN & HAMILTON INC. New product management for 1980's. [sl] : [se], 1982. 
• BUDYNAS, Richard G e Nisbett, Keith J. Elementos de máquinas de Shigley: projeto de engenharia mecânica. [trad.] João B Aguiar e 
João M. Aguiar. 8. Porto Alegre : AMGH, 2011. p. 1084. ISBN 978-85-63308-20-7. 
• BUENO Junior, Alberto. Evolução das velocidades de processamento, de acesso à memória, do disco e das interfaces de rede. 
Alfredo Goldman vel Lejbman. [Online] Outubro de 2010. [Citado em: 05 de Janeiro de 2016.] 
http://grenoble.ime.usp.br/~paulo/MAC0412/Monografias/monoAlberto.pdf. 
• COLLINS, J. A. Projeto mecânico de elementos de máquinas: uma perspectiva de prevenção da falha. 1. Rio de Janeiro : LTC, 2006. 
85-216-4-1475-6. 
• COOK, Robert D, Malkus, David S. e Blesha, Michael E. Concepts and applications of finite element analysis. 3. New York : John 
Wiley & Sons, 1989. 
• COOK, Robert Davis. Finite element modeling for stress analysis. New York : John Wiley & Sons, 1995. ISBN 0-471-10774-3. 
• Integração da informação virtual no desenvolvimento do produto Ford Brasil. FILHO, J. São Paulo : MSC Software, 2006. 
• MSC Vision: Leading the CAE industrie into the future. HOWANIEC, J. São Paulo : MSC Software, 2006. 
• NORTON, R. L. Projeto de máquinas: Uma abordagem integrada. Porto Alegre : Bookman, 2004. p. 931. 
• ZIENKIEWICZ, O. C. TAYLOR, R. L. The finite element method. Woburn: Butterworth-Heinemann, 2000. ISBN 0750650494 
ANSYS WORKBENCH 
INTERFACE DE GERENCIAMENTO 
Sistemas de 
Análise 
CRIANDO UM NOVO PROJETO PARA A ANÁLISE 
INTERFACE DE GERENCIAMENTO 
CÉLULAS DE ANÁLISE ESTÁTICA (Static Structural) 
Materiais 
Geometria Modelo de análise 
Preparação Solução Resultados 
INTERFACE DE GERENCIAMENTO 
A partir de 
Geometry 
ESCOLHA DA GEOMETRIA PARA ANÁLISE A PARTIR DE 
UM ARQUIVO DE DESENHO EXISTENTE 
INTERFACE DE GERENCIAMENTO 
Iniciar o ambiente 
de análise 
OPÇÃO PARA INICIAR O AMBIENTE DE ANÁLISE 
INTERFACE STATIC STRUCTURAL 
Painel de 
Detalhes 
da Árvore 
Painel da 
Árvore 
Menus e Barras 
de Ferramentas 
Janela Gráfica 
Abas de Opções do Documento 
Barra de 
Status 
DETALHES DA INTERFACE DO STATIC STRUCTURAL 
INTERFACE STATIC STRUCTURAL 
Verificar Materiais 
Considerar Análise 
Multi-Tarefa 
Inserir Cargas 
Inserir Apoios 
Inserir Resultados 
Resolver 
OPÇÕES DO MECHANICAL APPLICATION WIZARD 
Ver Resultados 
Ver Relatório 
Tarefas Opcionais 
Tarefas de Parâmetros 
Tarefas Gerais 
INTERFACE STATIC STRUCTURAL 
Detalhes de Contorno 
Resultados Desejados 
Modelo de análise 
Projeto de Análise 
Geometria: Peça ou Conjunto 
Malha 
Condições de Contorno 
Solução 
DETALHES DO OUTLINE (PAINEL DA ÁRVORE) 
Filtro 
INTERFACE STATIC STRUCTURAL 
BARRA DE CONDIÇÕES DE CONTORNO E FERRAMENTAS DE SELEÇÃO 
Tipos de Seleção 
Tipos de Restrições 
(Apoios) 
Ferramenta de 
seleção 
Tipos de Carga 
de corpos 
Tipos de 
Carregamentos 
Faces, arestas e 
vértices 
INTERFACE STATIC STRUCTURAL 
CONDIÇÕES DE CONTORNO 
Cargas de 
Corpos 
Tipos de Carga 
de corpos 
Cargas Inerciais 
INTERFACE STATIC STRUCTURAL 
CONDIÇÕES DE CONTORNO 
Cargas 
Tipos de 
Carregamentos 
Carregamentos 
Locais 
INTERFACE STATIC STRUCTURAL 
CONDIÇÕES DE CONTORNO 
Tipos de Restrições 
(Apoios) 
Suportes Restrições 
INTERFACE STATIC STRUCTURAL 
Carga 
Face selecionada 
Aplicar a Carga 
apenas nesta Face 
Definir a Magnitude 
da Carga 
Definir a direção da Carga 
DEFINIÇÕES DE CARGAS 
INTERFACE STATIC STRUCTURAL 
Aplicar 
Furos 
Apoio 
APLICAR RESTRIÇÕES (APOIOS) 
PARA A SELEÇÃO MULTIPLA 
PRESSIONA-SE A TECLA CONTROL 
INTERFACE STATIC STRUCTURAL 
Valores limites 
Região de 
maiores valores 
Resultados 
VERIFICAÇÃO DE RESULTADOS 
OS RESULTADOS APARECEM QUANDO 
SELECIONADOS NA ÁRVORE