AULA 6 Teoria dos Conjuntos Frente 1 versao 1

Prévia do material em texto

Teoria dos Conjuntos 
 
Introdução 
A teoria dos Conjuntos é uma área da Matemática estabelecida por Georg Cantor, um notável matemático que nasceu 
na Rússia (1845-1918). Aos 11 anos, transferiu-se para Frankfurt, na Alemanha, onde viveu até sua morte. 
Tendo estudado Filosofia, Física e Matemática, Cantor, ainda jovem, por volta dos 27 anos, interessou-se por um 
assunto muito discutido na época: o infinito. 
Trabalhando com conjuntos infinitos, Cantor mostrou, entre outras coisas, que o conjunto dos números reais tem “mais” 
elementos que o dos racionais. Com isso, os resultados levaram-no a estabelecer um novo ramo da matemática 
chamado Teoria dos Conjuntos. 
 
Conjunto 
Um conjunto é um conceito fundamental em todos os ramos da Matemática. Intuitivamente, um conjunto é sinônimo de 
agrupamento, coleção, classe, lista, objetos ou coisas que o constituem. 
 
Principais símbolos lógicos 
 
| (tal que)  (implicar) 
 (interseção)  (equivalente) 
 (união)  (e) 
 (qualquer que seja)  (ou) 
/ (existe um único) > (maior que) 
 < (menor que) 
 
  (pertence)  (existe ao menos um) 
  (não pertence) 

 (não existe) 
  (contém) = (igual) 

(não contém)  (desigual) 
  (contido)  (aproximadamente) 
  (não contido) 
 
 
Representação dos conjuntos 
Nomeia-se seus elementos entre chaves, por letra minúsculas e separadas por vírgulas. 
 
Forma explícita 
Enumeração de seus elementos. 
Exemplo: 
A = {a, e, i, o, u} 
 
Forma implícita 
Propriedade característica. 
Exemplo: 
Se A = {x | x é vogal} 
 
Diagrama de Venn 
O matemático inglês John Venn (1834-1923) adotou uma maneira de representar conjuntos que muito nos ajuda na 
visualização das operações. 
Exemplo: 
CURSO ANUAL DE MATEMÁTICA 
Aula 6 – Prof Raul Brito 
 
2 
CURSO DE MATEMÁTICA ANUAL – AULA 20 – Prof. Raul Brito CONJUNTOS 
Os elementos do conjunto A são representados por pontos da região interior de uma linha fechada. 
 Verificando as relações de pertinência no diagrama a seguir, temos: a  A, b  A, i  A. 
 
 
Número de elementos de um conjunto A: n(A) 
A = {x | x é dia da semana}  n(A) = 7 
Lembre-se: 
 
• Conjunto unitário 
A = {x | x é dia da semana que começa com a letra D} 
A = {domingo}  n(A) = 1 
 
• Conjunto vazio 
A = {x | x é dia da semana que começa com a letra M} 
A = { } ou   n(A) = 0 
 
{ } =   {} 
 
 
• Conjuntos finito e infinito 
 A = {2, 3, 4}  n(A) = 3  A é finito. 
 B = {2, 3, 4, ...}  B é infinito. 
 
• Conjuntos iguais 
 A = {1, 2, 3} B = {1, 2, 2, 3, 3} e 
 C = {x | x  e 1 

 x 

 3} 
 A = B = C 
 
 
Pertinência e inclusão 
• De elementos para conjunto 
 
 
e
(pertence) (não pertence)
 
 
• De Subconjunto para conjunto 
 
 
e
(contido) (não contido)
 
 
• De conjunto para subconjunto 
 
 
e
(contém) (não contém)
 
 
3 
CURSO DE MATEMÁTICA ANUAL – AULA 20 – Prof. Raul Brito CONJUNTOS 
 
 
 A é subconjunto de B. 
A  B, lê-se A está contido em B. 
 A é parte de B. 
 
 
Por exemplo: sendo A = {1, {1}, 2, 3}. 
De acordo com as afirmações: 
I. 1  A (verdadeiro) V.   A (verdadeiro) 
II. {1}  A (verdadeiro) VI. 2  A (falso) 
III. {1}  A (verdadeiro) VII. 2  A (verdadeiro) 
IV.   A (falso) VIII. {2}  A (verdadeiro) 
 
 
Número de subconjuntos de um conjunto 
Um conjunto A é subconjunto de um conjunto B se, e somente se, todo elemento de A pertencer também a B. 
Com a notação A  B, indica-se que “A é subconjunto de B” ou “A é parte de B” ou “A está contido em B”. 
A negação de A  B é indicada por A  B, que se lê, A não está contido em B ou B não contém A. 
 
Simbolicamente, A  B  ( x) (x  A  x  B). 
 
 
Saiba mais 
• O conjunto vazio está contido em qualquer conjunto A, isto é,   A,  A. 
• Qualquer conjunto é subconjunto de si mesmo, isto é, A  A,  A. 
• Chama-se subconjunto próprio de um conjunto os subconjuntos de A que são diferentes de A. 
• Simbolicamente: B  A e B  A. 
 
Exemplo: 
Quantos subconjuntos possui o conjunto A = {a, b, c}? 
Vamos escrever todos os subconjuntos de A. 
, {a}, {b}, {c}, {a, b}, {b, c}, {a, b, c} 
 
Há, portanto, 8 subconjuntos. Analisando o que acontece com os elementos, em relação aos subconjuntos, pode-se 
dizer que cada um deles aparece ou não. Então, para o elemento a, tem-se duas possibilidades quanto à sua presença 
no subconjunto (aparecer ou não aparecer). O mesmo acontece com os elementos b e c. Portanto, segundo o P.F.C. ou 
principio multiplicativo na análise combinatória, temos: 
 
2 2 2
  
 
Total = 2 . 2 . 2 
Total = 8 subconjuntos de A = {a, b, c} 
 
 
 
4 
CURSO DE MATEMÁTICA ANUAL – AULA 20 – Prof. Raul Brito CONJUNTOS 
Exemplo: 
Quantos subconjuntos possui o conjunto A com n elementos? Pelo que foi explicado no exemplo anterior, cada elemento 
de A pode ou não estar presente em um determinado subconjunto C, pelo fato de A ter n elementos, então A possui: 
   
2 2 2 2
n vezes
 
 
Portanto: No de subconjunto = 
  
n vezes
2 2 2 2
 
 
Com isso: 
No de subconjuntos = 2n 
 
 
Exercícios Resolvido 
1. Quantos subconjuntos de 3 elementos possui o conjunto A = {1, 2, 3, 4, 5}? 
 
Solução: 
De acordo com as técnicas de análise combinatória, temos: A1 = {1, 2, 3} e A2 = {3, 2, 1}. 
Sabemos que A1 e A2 são os mesmos subconjuntos do conjunto A. Portanto, para a resolução do problema, é 
necessário utilizar combinação simples, isto é: 
 
3 3 3
5 5 5
5! 5 4 3!
C C C 10
5 3 3! 2 1 3!
 
    
  
 (subconjuntos de 3 elementos). 
 
Lembrete: 
 
  

p
n
n!
C n p
n p !p!
 
 
Conjunto das partes de um conjunto 
Seja o conjunto A = {1, 2, 3}, que tem os seguintes subconjuntos: 
• o conjunto vazio; 
• os conjuntos com um elemento {1}, {2} e {3}; 
• os conjuntos com dois elementos {1, 2}, {1, 3} e {2, 3}; 
• o próprio conjunto A. 
 
Denominamos conjunto das partes do conjunto A o conjunto P(A), formado por todos os subconjuntos do conjunto A: 
P(A) = {, {1}, {2}, {3}, {1, 2}, {1, 3}, {2, 3}, {1, 2, 3}} 
 Note que o conjunto vazio, o conjunto A e os outros subconjuntos de A são elementos do conjunto P(A). É correto, 
por exemplo, dizer que {3}  P(A), mas é errado afirmar que {3}  P(A). 
 
Número de elementos do conjunto das partes 
Observe o seguinte quadro: 
Conjunto A Conjunto P(A) 
Números de 
elementos P(A) 
Potência de 2 
 {} 1 20 
{b1} {, {b1}) 2 21 
{b1, b2} {, {b1}, {b2}, {b1, b2} 4 22 
{b1, b2, ..., bn} 
n elementos 
{, {b1}, {b2}, {b1, b2, 
... bn}} 
2n 2n 
 
 
 
5 
CURSO DE MATEMÁTICA ANUAL – AULA 20 – Prof. Raul Brito CONJUNTOS 
De modo geral, podemos dizer que: 
Se A tem n elementos, então P(A) tem 2n elementos. 
 
Exercícios Resolvido 
1. Quantos elementos tem o conjunto das partes do conjunto A, sabendo que A tem 4 elementos? 
 
Solução: 
Se o conjunto A tem 4 elementos, isto é, n = 4, então P(A) tem 24 elementos, ou seja, P(A) tem 16 elementos. 
 
 
Número de subconjuntos do conjunto das partes 
Se um conjunto A possui n elementos, então possui 2n subconjuntos, que podemos representar por: 
 
N(P(A)) = 2n(A) 
 
Sendo A = {a, b, c}, calcule o número de subconjuntos de A. 
a) n(P(A)) = 2n(A) = 23 = 8 
b) n(P(P(A))) = 2n(A) = 322 = 28 = 256 
 
Com relação aos exemplos anteriores, podemos afirmar que: 
a) n(P(A)) = 2n(A) 
b) n(P(P(A))) = n(A)22 
c) n(P(P(P(A)))) = n(A)222 
 
Generalizando
2n(A)2...22n(P(P(P(...)))) 2 
Tome Nota 
A quantidade de letra “P” representa a quantidade de potência de “2”. 
 
Operações e problemas envolvendo conjuntos 
União 
 É o conjunto formado por todos os elementos que pertencem a A ou B. 
 
• Matematicamente 
   A B {x | x A ou x B}
 
• Graficamente 
 
 Caso 1 
 
 
 Caso 2 
 
Nesse caso, dizemos que A e B são conjuntos disjuntos 
 (A  B = ) 
 
 
 
 
6 
CURSO DE MATEMÁTICA ANUAL – AULA 20 – Prof. Raul Brito CONJUNTOS 
 
Caso 3 – Como B está contido em A, nesse caso A U B = A 
 
 
Propriedades da união 
A  A = A 
A  = 
A   = A 
A  B = B  A (comutativa) 
 
Interseção 
É o conjunto formado pelos elementos comuns aos conjuntos A e B. 
 
• Matematicamente 
   A B {x | x A e x B}
 
 
• Graficamente 
 
 Caso 1: 
 
 Caso 2: Como A e B são disjuntos, dizemos que A  B =  
 
 Caso 3: Nesse caso B  A, portanto A  B = B 
 
 
 
 
 
7 
CURSO DE MATEMÁTICA ANUAL – AULA 20 – Prof. Raul Brito CONJUNTOS 
Propriedades da interseção 
A  A = A 
A  = A 
A   =  
A  B = B  A (comutativa) 
 
Número de elementos de A x B 
Sejam A e B conjuntos não-vazios, então: 
 
n(A x B) = n(A) . n(B) 
Exemplo: 
Sejam A = {m, n} e B = {b, c, d} 
A . B = {(m, n), (m, c), (m, d), (n, b), (n, c), (n, d)} 
Note que: 
  
2 36
n(A B n(A) n(B)
 
 
Número de elementos da união 
Entre dois conjuntos 
 
           n A B n A n B n A B
 
Exemplo: 
 
           
5 69 2
n A B n A n B n A B
 
Para a união de três conjuntos, tem-se: 
n(A  B  C) = n(A) + n(B) + n(C) – n(A  B) – n(B  C) – n(A  C) + n(A  B  C) 
 
Subtração de conjuntos – Conjunto diferença 
A diferença de dois conjuntos A e B são os elementos que pertencem ao conjunto A, mas não pertencem a B. 
 
• Matematicamente 
A – B = {x | x  A e x  B} 
 
• Graficamente 
 Caso 1: 
 
 
8 
CURSO DE MATEMÁTICA ANUAL – AULA 20 – Prof. Raul Brito CONJUNTOS 
Conjuntos numéricos 
Conjunto dos números naturais (N) 
Os números naturais surgiram para suprir uma necessidade primária do ser humano: a da contagem. Desse modo, para 
quantificar, por exemplo, as cabeças de gado, os pés de milho ou as próprias pessoas, utiliza-se os números naturais. 
Assim: 
N = {0, 1, 2, 3, ...} 
Excluindo-se o zero, temos o conjunto dos números naturais não nulos, indicada por: 
N* = {1, 2, 3, ...}, que é um subconjunto de N. 
O asterisco indica ausência do número zero no conjunto. 
 
Características 
• A soma de dois números naturais quaisquer é um número natural. 
• O produto de dois números naturais quaisquer é um número natural. 
• A diferença entre dois números naturais a e b (a – b) é igual a um número natural se, e somente se, a 

 b. 
 
Conjunto dos números inteiros (Z) 
Com o advento das operações de adição e subtração, surgiram os números inteiros. Em sua essência, representam 
possíveis ganhos (números positivos) ou perda (números negativos), ou seja, ao somamos ou subtrairmos números 
inteiros, obteremos números inteiros. 
 
Características 
• Todo número natural é inteiro. 
• A soma de dois números inteiros quaisquer é um número inteiro. 
 Exemplo: 5 + (–8) = – 3 
• A diferença entre dois inteiros quaisquer é um número inteiro. 
 Exemplo: 2 – 6 = – 4 
• O produto de dois números inteiros quaisquer é um número inteiro. 
 Exemplo: 4 . (– 10) = – 40 
 Assim: 
 Z = {..., –3, –2, –1, 0, 1, 2, 3, ...} 
 
Nesse conjunto destacamos os seguintes subconjuntos: 
– Conjunto Z* dos números inteiros não nulos: 
Z* = {x  Z | x  0} = {..., –3, –2, –1, 1, 2, 3, ...} 
 
– Conjunto Z*+ = N* dos números inteiros positivos: 
Z*+ = N* = {x  Z | x > 0} = {1, 2, 3, ...} 
 
– Conjunto Z+ = N* dos números inteiros não negativos: 
Z+ = N* = {x  Z | x 

 0} = {0, 1, 2, 3, ...} 
 
– Conjunto Z*– = N* dos números inteiros positivos: 
Z*– = N* = {x  Z | x < 0} = {..., –3, –2, –1} 
 
– Conjunto Z– dos números inteiros não positivos: 
Z+ = N* = {x  Z | x 

 0} = {..., –3, –2, –1, 0} 
 
9 
CURSO DE MATEMÁTICA ANUAL – AULA 20 – Prof. Raul Brito CONJUNTOS 
Conjunto dos números racionais (Q) 
Devido principalmente, ao surgimento da necessidade da operação de divisão, criaram-se os números racionais, uma 
vez que, ao dividirmos um número inteiro por outro, não se obtém, necessariamente, um número inteiro. 
Além do conjunto dos números naturais (N) e do conjunto dos números inteiros (Z), também são subconjuntos especiais 
do conjunto dos números racionais (Q): 
• Conjunto dos números racionais não nulos: 
 Q* = {x  Q | x  0} 
• Conjunto dos números racionais não negativos: 
 Q+ = {x  Q | x 

 0} 
 
• Conjunto dos números racionais positivos: 
 Q*+ = {x  Q | x > 0} 
 
• Conjunto dos números racionais não positivos: 
 Q– = {x  Q | x 

 0} 
 
• Conjunto dos números racionais negativos: 
 Q*– = {x  Q | x < 0} 
 
 
Característica 
– Todo número inteiro é racional 
 Exemplos: 
 • 2  Z  2  Q 
 • 
10
2
  Z 
10
2
  Q 
 • 
12
3
  Z 
12
3
  Q 
– Todo número decimal é racional 
 Exemplos: 
 • 0,36  Q
 
  
36
pois 0,36
100
 
 • 0,314  Q 
 
  
314
pois 0,314
1.000
 
 • 1,111  Q 
 
  
1.111
pois 1,111
1.000
 
 • 3,14  Q 
 
  
314
pois 3,14
100
 
 
– Toda dízima periódica simples é racional (dizimas periódicas representam uma fração) 
 Exemplos: 
 • 0,222... = 

2
0,2
9
 
 • 0,343434... = 

34
0,34
99
 
 • 0,567567... = 

567
0,567
999
 
 
10 
CURSO DE MATEMÁTICA ANUAL – AULA 20 – Prof. Raul Brito CONJUNTOS 
 
– Toda dizima periódica composta é racional 
 Exemplos: 
 • 0,3444... = 

31
0,34
90
 
 • 0,32828... = 

325
0,328
990
 
 • 0,3567567... = 

3.564
0,3567
9.990
 
 
– A soma de dois números racionais quaisquer é um número racional 
 Exemplo: 
 (Q) (Q) (Q) 
 • 
 
3 23
4
5 5
 
 
– A diferença entre dois números racionais quaisquer é um número racional 
 Exemplo: 
 (Q) (Q) (Q) 
 • 5 – 0,7 = 4,3 
 
– O produto de dois números quaisquer é um número racional 
 Exemplo: 
 (Q) (Q) (Q) 
 • 
 
    
1 5 5
7 2 14
 
 
– O quociente de dois números racionais, sendo o divisor diferente de zero, é um número racional 
 Exemplo: 
 (Q) (Q) (Q) 
 • 
   
40 10
4
7 7
 
 
Conjunto dos números irracionais (I) 
Números como o 
2
 = 1,4142135..., cuja representação decimal é infinita e não periódica, são chamados de números 
irracionais, isto é, não racionais e, sendo assim, não são inteiros nem razão de dois inteiros, mas podem representar 
medidas no nosso mundo real, como a medida da diagonal do quadrado de lado igual a 1, por exemplo. 
Veja outros exemplos de números irracionais. 
• 0,1234567891011... 
• 1,01002000300004000005... 
• 
3
 = 1,7320508 
•  = 3,141592... 
 
Esse último exemplo ( = 3,141592...) é o mais conhecido dos números irracionais. Esse número é a razão entre o 
comprimento de uma circunferência e seu diâmetro (2R): 
 
C
2R
 
 
 
 
11 
CURSO DE MATEMÁTICA ANUAL – AULA 20 – Prof. Raul Brito CONJUNTOS 
Vejamos mais alguns exemplos de números irracionais: 
• 0,101001000... 
• e  2,7182818284... 
• 
5
  2,2360679... 
• log2  0,30103...• log3  0,4771212... 
• log5  0,69897... 
 
Considerando R o conjunto dos números reais (serão citados a seguir), temos que: 
    
Q
R
I C R Q Q Q
 
 
Características 
– Se o número 
n a
, com n e N* e a  N, não é inteiro, então é irracional 
 Exemplos: 
 • 
2
  (R – Q) 
 • 
3 3
  (R – Q) 
 • 
5 8
  (R – Q) 
 • 
4 1
  (R – Q), pois 
4 1
 = 1  Q 
 • 
3 27
  (R – Q), pois 
3 27
 = 3  Q 
 • 
9 0
  (R – Q), pois 
9 0
 = 0  Q 
 
– A soma de um número racional com um número irracional é um número irracional 
 Exemplo: 
 (Q) (I) (I) 
 • 2 + 2,718... = 4,718... 
– A diferença entre um número racional e um número irracional, em qualquer ordem, é um número irracional 
 Exemplo: 
 (Q) (I) (I) 
 • 
     3 6 9 6 9 6 54
 
 
– O quociente de um número racional, não nulo, por um número irracional é um número irracional 
 Exemplo: 
 (Q) (I) (I) 
 • 

         

18 18 2 18 2
18 2 9 2 81 2 81 2 162
22 2 2
 
 
 
 
 
12 
CURSO DE MATEMÁTICA ANUAL – AULA 20 – Prof. Raul Brito CONJUNTOS 
Conjunto dos números reais (R) 
 Todo número real ou é racional ou é irracional. Assim, observe os diagramas a seguir com alguns elementos em 
seus respectivos conjuntos numéricos. 
 
 
Alguns subconjuntos de R 
• R* = R – {0} (Reais nulos) 
• R+ = {x  R | x 

 0} (Reais não negativos) 
• R– = {x  R | x 

 0} (Reais não positivos) 
• R*+ = {x  R | x > 0} (Reais estritamente positivos) 
• R*– = {x  R | x < 0} (Reais estritamente negativos) 
 
Características 
Existe uma correspondência biunívoca entre os pontos de uma reta e os números reais. Ou seja, a cada ponto da reta 
corresponde um, e apenas um número real, assim como a cada número real corresponde um, e apenas um ponto da 
reta. 
 
Representação geométrica de R (reta real); 
 
 
 
 
 
 
Observação: 



+ lê-se "mais infinito"
– lê-se "menos infinito"
 
I  Q = R 
I  Q =  
R – Q = I 
 
 
 
13 
CURSO DE MATEMÁTICA ANUAL – AULA 20 – Prof. Raul Brito CONJUNTOS 
Intervalos 
Denominamos intervalo qualquer subconjunto dos números reais 
 
Caso 1: Intervalos finitos (a < b) 
Mostramos abaixo alguns exemplos de intervalos finitos. 
• Fechado: [a, b] = {x  R | a 

 x 

 b} 
 
 
• Aberto: ]a, b[ = {x  R | a < x < b} = (a, b) 
 
 
• Fechado à esquerda: [a, b[ = {x  R | a 

 x < b} = [a, b) 
 
 
• Fechado à direita: ]a, b] = {x  R | a < x 

 b} = ]a, b] 
 
Exemplo 1: 
Sendo A = [0, 4] e B = [2, 5], determine A  B e A  B. 
 
Solução: 
Basta representar A e B na reta: 
 
 
Obtendo-se A  B = [2, 4] e A  B = [0, 5]. 
Portanto: 
A  B = {x  R | 2 

 x 

 4} = [2, 4] 
A  B = {x  R | 0 

 x 

 5} = [0, 5] 
 
Exemplo 2: 
Sendo A = {x  R | 0 

 x 

 4} e B = {x  R | 2 

 x 

 5}, determine A – B e B – A. 
 
Solução: 
Representação geométrica: 
 
A – B = [0, 2[ (observe que o extremo direito 2  (A – B), pois 2  B). 
 
14 
CURSO DE MATEMÁTICA ANUAL – AULA 20 – Prof. Raul Brito CONJUNTOS 
B – A = ]4, 5[ (observe que o extremo direito 4  (B – A), pois 4  A). 
Portanto: 
A – B = {x  R | 0 

 x < 2} = [0, 2) 
B – A = {x  R | 4 < x 

 5} = ]4, 5] = (4, 5] 
 
Exemplo 3: 
Sendo A = ]–3, 4[ e B = [–1, 5], determine A  B, A  B, A – B e B – A. 
 
Solução: 
Representação geométrica. 
 
Portanto: 
A  B = [–1, 4[ = [–1, 0) 
A  B = ]–3, 5] = (–3, 5] 
A – B= ]–3, –1[ = (–3, –1) 
B – A = [4, 5] 
 
 
B 
 
15 
CURSO DE MATEMÁTICA ANUAL – AULA 20 – Prof. Raul Brito CONJUNTOS 
Caso 2: Intervalos infinitos 
Mostramos abaixo alguns exemplos de intervalos infinitos. 
 
• [a, +

[ = {x  R | x 

 a} = [a, +

)  
 
• ]a, +

[ = {x  R | x > a} = [a, +

)  
 
• ]–

, a] = {x  R | x 

 a} = (–

, a]  
 
• ]–

, a[ = {x  R | x < a} = (–

, –a)  
 
Exemplo 1: 
Sendo A = (–

, 2[ e B = [3, +

), determine A  B e A  B. 
 
Solução: Representação geométrica: 
 
Portanto: A  B = 
 
A  B = {x  R | x < 2 ou x 

 3} 
 
 
Exemplo 2: 
Sendo P = {x  R | x < 9} e Q = {x  R | x > 6}, determine P – Q, Q – P, P  Q e P  Q. 
 
Solução: Representação geométrica: 
 
 
Portanto: 
P – Q = {x  R | x 

 6} = (–

, 6] 
Q – P = {x  R | x 

 9} = [9, +

) 
P  Q = {x  R | 6 < x < 9} = (6, 9) 
P  Q = {x  R} = ]–

, +

[ = (–

, +

) 
 
 
16 
CURSO DE MATEMÁTICA ANUAL – AULA 20 – Prof. Raul Brito CONJUNTOS 
EXERCÍCIOS DE APRENDIZAGEM 
 
QUESTÃO 01 
Sejam x e y dois conjuntos quaisquer satisfazendo a 
seguinte propriedade: “A quantidade de subconjuntos de x 
é o dobro da quantidade de subconjuntos de y”. Sejam 
n(x) o número de elementos do conjunto x e n(y) o número 
de elementos do conjunto y. Então podemos sempre 
afirmar que 
a) n(x) = 2n(y). 
b) n(x) = 4n(y). 
c) n(x) = n(y) + 1. 
d) n(x) = n(y) + 2. 
 
 
QUESTÃO 02 
Seja o conjunto x tal que x = {2, , {b}}; assim P(P(x)) 
possui 
a) 16 elementos 
b) 32 elementos 
c) 64 elementos 
d) 128 elementos 
e) 256 elementos 
 
QUESTÃO 03 
A Comunidade dos Países de Língua Portuguesa (CPLP) 
foi criada em 17 de julho de 1996 por sete países-
membros – Angola, Brasil, Cabo Verde, Guiné-Bissau, 
Moçambique, Portugal e São Tomé e Príncipe – e em 20 
de maio de 2002 aderiu a este grupo o oitavo membro, 
Timor-Leste, que reconquistava sua independência. Esses 
países são lusófonos, ou seja, o idioma oficial é português. 
 
 Considere os seguintes conjuntos: A = {países da 
África}, C = {países-membros da CPLP}, E = {países da 
Europa}. Após observar o mapa, julgue verdadeiro (V) ou 
falsas (F) as afirmativas a seguir: 
( ) Brasil  C 
( ) Timor Leste  A 
( ) Cabo Verde  A 
( ) C  E 
( ) C  A 
 
17 
CURSO DE MATEMÁTICA ANUAL – AULA 20 – Prof. Raul Brito CONJUNTOS 
( ) E  Portugal 
( ) E  {Portugal} 
( ) A 

 {Timor Leste, Moçambique} 
 
QUESTÃO 04 
Seja o conjunto X = {{a}; {b}; }. São subconjuntos de X 
a) {{b}; } e {{a}; {b}}. 
b) {{}; {{a}}} e {{b}; } 
c) {{{a}}; {b}} e {{b}; } 
d) {{a}; } e {{b}; } 
 
QUESTÃO 05 
Os muçulmanos sequer se limitam aos países de etnia 
árabe, como muitos imaginam. Por exemplo, a maior 
concentração de muçulmanos do mundo encontra-se na 
Indonésia, que não é um país de etnia árabe. 
Considere T o conjunto de todas as pessoas do mundo; M 
o conjunto de todas aquelas que são muçulmanas e A o 
conjunto de todas aquelas que são árabes. Sabendo que 
nem toda pessoa que é muçulmana é árabe, pode-se 
representar o conjunto de pessoas do mundo que não são 
muçulmanas nem árabes por 
a) T – (A  M). 
b) T – A. 
c) T – (A  M). 
d) (A – M)  (M – A). 
e) M – A. 
 
QUESTÃO 06 
Dentre os investimentos de “altos riscos”, podemos 
destacar os “mercado de derivativos”. No levantamento 
estatístico do perfil de investidores de “alto risco”, foram 
obtidos os seguintes resultados: 
• 60% desses investidores são homens; 
• 55% desses investidores são mulheres ou investiram 
em “mercado de derivativos”. 
 
Logo, podemos afirmar que a porcentagem de homens 
que investiram em “mercado derivativos” é de 
a) 10%. 
b) 15%. 
c) 20%. 
d) 25%. 
e) 30%. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
18 
CURSO DE MATEMÁTICAANUAL – AULA 20 – Prof. Raul Brito CONJUNTOS 
Texto para a questão 07. 
 
O que os brasileiros andam lendo? 
 O brasileiro lê, em média, 4,7 livros por ano. Este é um 
dos principais resultados da pesquisa Retratos da Leitura 
no Brasil, encomendada pelo Instituto Pró-livro ao Ibope 
Inteligência, que também pesquisou o comportamento do 
leitor brasileiro, as preferências e as motivações dos 
leitores, bem como os canais e a forma de acesso aos 
livros. 
Adaptado de: Associação Brasileira de Encadernação e Restauro. 
 
QUESTÃO 07 
Supõe-se que em uma pesquisa envolvendo 660 pessoas, 
cujo objetivo era verificar o que eles estão lendo, 
obtiveram-se os seguintes resultados: 100 pessoas leem 
somente revistas, 300 pessoas leem somente livros e 150 
pessoas leem somente jornais. Supõe-se ainda que, 
dessas 660 pessoas, 80 leem livros e revistas, 50 leem 
jornais e revistas, 60 leem livros e jornais e 40 leem 
revistas, jornais e livros. 
Em relação ao resultado dessa pesquisa, são feitas as 
seguintes afirmações: 
I. Apenas 40 pessoas leem pelo menos um dos três 
meios de comunicação citados. 
II. Quarenta pessoas leem somente revistas e livros, e 
não leem jornais. 
III. Apenas 440 pessoas leem revistas ou livros. 
 
Assinale a alternativa correta. 
a) Somente as afirmativas I e III são verdadeiras. 
b) Somente as afirmativas I e II são verdadeiras. 
c) As afirmativas I, II e III são verdadeiras. 
d) Somente a afirmativa II é verdadeira. 
e) Somente a afirmativa I é verdadeira. 
 
QUESTÃO 08 
Um programa de proteção e preservação de tartarugas 
marinhas, observando dois tipos de contaminação dos 
animais, constatou em um de seus postos de pesquisa 
que, 88 tartarugas apresentavam sinais de contaminação 
por óleo mineral, 35 não apresentavam sinais de 
contaminação por radioatividade, 77 apresentavam sinais 
de contaminação tanto por óleo mineral como por 
radioatividade e 43 apresentavam sinais de apenas um 
dos dois tipos de contaminação. Quantas tartarugas foram 
observadas? 
a) 144 
b) 154 
c) 156 
d) 160 
e) 168 
 
 
 
19 
CURSO DE MATEMÁTICA ANUAL – AULA 20 – Prof. Raul Brito CONJUNTOS 
QUESTÃO 09 
Um levantamento epidemiológico foi realizado em cinco 
praias paulistas frequentadas por grande número de 
famílias com crianças menores de 10 anos. Os principais 
aspectos do estudo foram relacionar a incidência de 
doenças gastrintestinais em banhistas com os índices de 
contaminação fecal das praias do litoral paulista. A 
pesquisa, feita com 2.100 pessoas, teve por objetivo 
detectar o número de pessoas com sintomas de vômitos 
(V), diarreia (D) e febre (F), conforme o quadro a seguir. 
Adaptado de: Revista Discutindo Ciência, Ano 1, n. 1. 
 
D F V D e V D e F F e V 
D, V e 
F 
127 136 137 46 52 51 22 
 
Com base nos textos e em seus conhecimentos, é correto 
afirmar que o número de pessoas entrevistadas que não 
apresentam nenhum dos sintomas pesquisados é 
a) 1.529. 
b) 2.078. 
c) 1.827. 
d) 1.951. 
e) 1.929. 
 
QUESTÃO 10 
Uma editora estuda a possibilidade de relançar a 
publicação das obras Helena e Iracema, de Machado de 
Assis e do José de Alencar, respectivamente. Para isso, 
efetuou uma pesquisa de mercado e concluiu que, em 
cada 1.000 pessoas consultadas, 395 leram Helena, 379 
leram Iracema e 321 não tinham lido nenhuma dessas 
obras. 
O número de pessoas que leu as duas obras é 
a) 95. 
b) 100. 
c) 105. 
d) 110. 
e) 115. 
 
QUESTÃO 11 
Um jornaleiro vende os jornais Estrela da manhã, Gazeta 
da Tarde e Boletim Diário. De seus 600 fregueses, 590 
compram algum jornal, 300 compram o Boletim, 131 
somente o Estrela, 77 somente a Gazeta e 7 compram os 
três jornais. Nenhum freguês compra mais de um número 
do mesmo jornal. Quantos fregueses compram o Estrela e 
o Gazeta? 
a) 87 
b) 88 
c) 89 
d) 90 
e) 85 
 
 
20 
CURSO DE MATEMÁTICA ANUAL – AULA 20 – Prof. Raul Brito CONJUNTOS 
QUESTÃO 12 
Se A é um conjunto finito, seja n(A) o número de 
elementos de A. Sejam x, y e z três conjuntos, tais que: 
n(x) = 100, n(y) = 90, n(z) = 80; 
n(x –(y  z)) = 50, n(x  y  z) = 10; 
n(x  y) = n(x  z) = n(y  z). 
 
Nessas condições, o número de elementos que pertencem 
a mais de um conjunto é 
a) 70. 
b) 80. 
c) 90. 
d) 100. 
 
QUESTÃO 13 
A fração geratriz de 3,74151515... é 
a) 
37.415
10.000
 
b) 
3.741.515
10.000
 
c) 
37.041
9.900
 
d) 
37.041
9.000
 
e) 
370.415
99.000
 
 
QUESTÃO 14 
Se x e y são números reais que satisfazem, 
respectivamente, as desigualdades 2 

 x 

 15 e 3 

 y 

 
18, então todos os números da forma 
x
y
, possíveis, 
pertencem ao intervalo 
a) [5, 9]. 
b) 
 
 
 
2 5
, .
3 6
 
c) 
 
 
 
3
, 6 .
2
 
d) 
 
 
 
1
, 5 .
9
 
 
QUESTÃO 15 
Recentemente, os jornais noticiaram que, durante o mês 
de outubro de 2011, a população mundial deveria atingir a 
marca de 7 bilhões de habitantes, o que nos faz refletir 
sobre a capacidade do planeta de satisfazer nossas 
necessidades mais básicas, como o acesso à água e aos 
alimentos. Estima-se que uma pessoa consuma, em 
média, 150 litros de água por dia. Assim, considerando a 
marca populacional citada, o volume de água, em litros, 
necessário para abastecer toda a população humana 
durante um ano está entre 
 
21 
CURSO DE MATEMÁTICA ANUAL – AULA 20 – Prof. Raul Brito CONJUNTOS 
a) 1013 e 1014. 
b) 1014 e 1015. 
c) 1015 e 1016 
d) 1016 e 1017. 
e) 1017 e 1018. 
 
QUESTÃO 16 
A história do número  tem mais de 2.000 anos, já a 
história do número e cobre apenas 4 séculos. O número  
originou-se de um problema de Geometria como encontra 
a circunferência e a área de um círculo. As origens do 
número e, porém, não são tão claras, elas parecem recuar 
ao século XVI, quando se percebeu que a expressão 
 
  
n
1
1
n
, que aparecia na fórmula dos juros compostos, 
tendia a certo limite – cerca de 2,71828 – à medida que n 
aumentava. (...) 
Apesar disso, foi aproximadamente na mesma época que 
os matemáticos desvendaram a natureza dos dois 
números, com pequena vantagem para o e: Euler, em 
1737, provou que tanto e quanto e2 eram irracionais; e 
Johann Lambert, em 1768, provou que o mesmo acontecia 
com . 
A partir das informações sobre a natureza dos números  
e e contidas no texto, é correto afirmar que 
a) 
 
    
1
2
. e é um número irracional 
b) 2 é um número racional. 
c) ( + e)( + e)–1 é um número irracional. 
d)  . e é um número racional. 
e) [(e + 2)2 – (2 – e)2] é um número racional. 
 
QUESTÃO 17 
Com relação ao conjunto dos números reais e seus 
subconjuntos, analise as sentenças e assinale V para 
verdadeiro e F para falso. 
( ) 0  Q 
( ) N  Q  R 
( ) 3,14141414  Q 
( ) (R – Q) = (irracionais) 
( ) 0,01002000300004  R 
( )
9
  (irracionais) 
( ) 
5
  Q 
( ) 0123123123123 R 
 
 
 
 
 
 
22 
CURSO DE MATEMÁTICA ANUAL – AULA 20 – Prof. Raul Brito CONJUNTOS 
QUESTÃO 18 
Números racionais são aqueles que podem ser escritos na 
forma 
p
q
, com p, q inteiros e q  0. Dos números a seguir 
representados, qual não é racional? 
a) 2,23235 
b) 0,232323... 
c) 
64
 
d) 

3
5
 
e) 
3 16
 
 
 
QUESTÃO 19 
Seja o número AB, em que A e B são algarismos das 
dezenas e das unidades, respectivamente. Invertendo-se 
a posição dos algarismos A e B, obtém-seum número que 
excede AB em 27 unidades. Se A + B é um quadrado 
perfeito, então B é igual a 
a) 3. 
b) ‘4. 
c) 5. 
d) 6. 
e) 7. 
 
QUESTÃO 20 
Sejam 
M = 
   2 2 2 2 ...
 
N = 
   3 3 3 3 ...
 
 
O valor de M . N é 
a) 6. 
b) 24. 
c) 12. 
d) 18. 
e) 1. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
23 
CURSO DE MATEMÁTICA ANUAL – AULA 20 – Prof. Raul Brito CONJUNTOS 
EXERCÍCIOS DE FIXAÇÃO 
 
QUESTÃO 01 
Em uma enquete sobre a leitura dos livros selecionados 
para o processo seletivo, numa universidade de 
determinada cidade, foram entrevistados 
1200
 candidatos. 
563
 destes leram “Você Verá”, de Luiz Vilela; 
861
 leram “O 
tempo é um rio que corre”, de Lya Luft; 
151
 leram “Exílio”, 
também de Lya Luft; 
365
 leram “Você Verá” e “O tempo é 
um rio que corre”; 
37
 leram “Exílio” e “O tempo é um rio 
que corre”; 
61
 leram “Você Verá” e “Exílio”; 
25
 candidatos 
leram as três obras e 
63
 não as leram. 
 
A quantidade de candidatos que leram apenas “O tempo é 
um rio que corre” equivale a 
a) 
434.
 
b) 
484.
 
c) 
454.
 
d) 
424.
 
 
QUESTÃO 02 
De acordo com a reportagem da Revista VEJA (edição 
2341), é possível fazer gratuitamente curso de graduação 
pela Internet. Dentre os ofertados temos os cursos de 
Administração (bacharelado), Sistemas de Computação 
(Tecnólogo) e Pedagogia (licenciatura). Uma pesquisa 
realizada com 
1.800
 jovens brasileiros sobre quais dos 
cursos ofertados gostariam de fazer, constatou que 
800
 
optaram pelo curso de Administração; 
600
 optaram pelo 
curso de Sistemas de Computação; 
500
 optaram pelo 
curso de Pedagogia; 
300
 afirmaram que fariam 
Administração e Sistemas de Computação; 
250
 fariam 
Administração e Pedagogia; 
150
 fariam Sistemas de 
Computação e Pedagogia e 
100
 dos jovens entrevistados 
afirmaram que fariam os três cursos. Considerando os 
resultados dessa pesquisa, o número de jovens que não 
fariam nenhum dos cursos elencados é: 
a) 
150
 
b) 
250
 
c) 
350
 
d) 
400
 
e) 
500
 
 
QUESTÃO 03 
No colégio municipal, em uma turma com 
40
 alunos, 
14
 
gostam de Matemática, 
16
 gostam de Física, 
12
 gostam de 
Química, 
7
 gostam de Matemática e Física, 
8
 gostam de 
Física e Química, 
5
 gostam de Matemática e Química e 
4
 
gostam das três matérias. Nessa turma, o número de alunos 
que não gostam de nenhuma das três disciplinas é 
a) 
6.
 
b) 
9.
 
c) 
12.
 
d) 
14.
 
 
 
 
 
 
 
24 
CURSO DE MATEMÁTICA ANUAL – AULA 20 – Prof. Raul Brito CONJUNTOS 
 
QUESTÃO 04 
Dos 
500
 alunos matriculados em uma escola, constatou-se 
que: 
- 
40%
 do total frequenta oficinas de xadrez; 
- 
35%
 do total frequenta oficinas de robótica; 
- 
75
 alunos cursam, simultaneamente, xadrez e robótica; 
- 
x
 alunos cursam outras oficinas. 
 
Com base nessas informações, o número de alunos que 
frequentam outras oficinas é: 
a) 
75.
 b) 
100.
 c) 
125.
 d) 
200.
 e) 
300.
 
 
QUESTÃO 05 
Numa escola de idiomas, 
250
 alunos estão matriculados no 
curso de inglês, 
130
 no de francês e 
180
 no de espanhol. 
Sabe-se que alguns desses alunos estão matriculados em 
2,
 ou até mesmo em 
3
 desses cursos. Com essas 
informações, pode-se afirmar que o número de alunos que 
estão matriculados nos três cursos é, no máximo, 
a) 
130
 
b) 
180
 
c) 
250
 
d) 
310
 
e) 
560
 
 
QUESTÃO 06 
Considerando os intervalos de números reais, o resultado 
de 
]5, 7[ [6, 9]
 é 
a) 
]5, 9]
 
b) 

 
c) 
[6, 7[
 
d) 
{6}
 
 
QUESTÃO 07 
Observe o diagrama com 
5
 organizações 
intergovernamentais de integração sul-americana: 
 
 
 
25 
CURSO DE MATEMÁTICA ANUAL – AULA 20 – Prof. Raul Brito CONJUNTOS 
Dos 
12
 países que compõem esse diagrama, integram 
exatamente 
3
 das organizações apenas 
a) 
4.
 
b) 
5.
 
c) 
6.
 
d) 
7.
 
e) 
8.
 
 
QUESTÃO 08 
Se a soma e o produto de dois números são, 
respectivamente, dois e cinco, podemos afirmar 
corretamente que 
a) os dois números são racionais. 
b) os dois números são irracionais. 
c) um dos números é racional e o outro é irracional. 
d) os dois números são complexos não reais. 
 
QUESTÃO 09 
Deseja-se comprar lentes para óculos. As lentes devem ter 
espessuras mais próximas possíveis da medida 
3 mm.
 No 
estoque de uma loja, há lentes de espessuras: 
3,10 mm;
 
3,021mm;
 
2,96 mm;
 
2,099 mm
 e 
3,07 mm.
 
 
Se as lentes forem adquiridas nessa loja, a espessura 
escolhida será, em milímetros, de 
a) 
2,099.
 
b) 
2,96.
 
c) 
3,021.
 
d) 
3,07.
 
e) 
3,10.
 
 
QUESTÃO 10 
Sueli colocou 
40mL
 de café em uma xícara vazia de 
80mL,
 e 
40mL
 de leite em outra xícara vazia de mesmo 
tamanho. Em seguida, Sueli transferiu metade do conteúdo 
da primeira xícara para a segunda e, depois de misturar 
bem, transferiu metade do novo conteúdo da segunda 
xícara de volta para a primeira. Do conteúdo final da 
primeira xícara, a fração correspondente ao leite é 
a) 
1
4
 d) 
2
5
 
b) 
1
3
 e) 
1
2
 
c) 
3
8
 
 
QUESTÃO 11 
Se colocarmos os números reais 
5,
 
1,
 
3
5

 e 
3
8
 em 
ordem decrescente, teremos a sequência 
a) 
3
,
8
 
1,
 
3
,
5

 
5
 
b) 
3
,
8
 
1,
 
5,
 
3
5

 
c) 
1,
 
3
,
8
 
3
,
5

 
5
 
 
26 
CURSO DE MATEMÁTICA ANUAL – AULA 20 – Prof. Raul Brito CONJUNTOS 
d) 
1,
 
3
,
8
 
5,
 
3
5

 
QUESTÃO 12 
O segmento 
XY,
 indicado na reta numérica abaixo, está 
dividido em dez segmentos congruentes pelos pontos A, B, 
C, D, E, F, G, H e I. 
 
 
 
Admita que 
X
 e 
Y
 representem, respectivamente, os 
números 
1
6
 e 
3
.
2
 
O ponto 
D
 representa o seguinte número: 
a) 
1
5
 
b) 
8
15
 
c) 
17
30
 
d) 
7
10
 
 
QUESTÃO 13 
André, Carlos e Fábio estudam em uma mesma escola e 
desejam saber quem mora mais perto da escola. André 
mora a cinco vinte avos de um quilômetro da escola. Carlos 
mora a seis quartos de um quilômetro da escola. Já Fábio 
mora a quatro sextos de um quilômetro da escola. 
 
A ordenação dos estudantes de acordo com a ordem 
decrescente das distâncias de suas respectivas casas à 
escola é 
a) André, Carlos e Fábio. 
b) André, Fábio e Carlos. 
c) Carlos, André e Fábio. 
d) Carlos, Fábio e André. 
e) Fábio, Carlos e André. 
 
QUESTÃO 14 
Um estudante se cadastrou numa rede social na internet 
que exibe o índice de popularidade do usuário. Esse índice 
é a razão entre o número de admiradores do usuário e o 
número de pessoas que visitam seu perfil na rede. 
Ao acessar seu perfil hoje, o estudante descobriu que seu 
índice de popularidade é 
0,3121212
 O índice revela que 
as quantidades relativas de admiradores do estudante e 
pessoas que visitam seu perfil são 
a) 
103
 em cada 
330.
 
b) 
104
 em cada 
333.
 
c) 
104
 em cada 
3.333.
 
d) 
139
 em cada 
330.
 
e) 
1.039
 em cada 
3.330.27 
CURSO DE MATEMÁTICA ANUAL – AULA 20 – Prof. Raul Brito CONJUNTOS 
 
 
QUESTÃO 15 
Um clube de futebol abriu inscrições para novos jogadores. 
Inscreveram-se 
48
 candidatos. Para realizar uma boa 
seleção, deverão ser escolhidos os que cumpram algumas 
exigências: os jogadores deverão ter mais de 
14
 anos, 
estatura igual ou superior à mínima exigida e bom preparo 
físico. Entre os candidatos, 
7
8
 têm mais de 
14
 anos e 
foram pré-selecionados. Dos pré-selecionados, 
1
2
 têm 
estatura igual ou superior à mínima exigida e, destes, 
2
3
 
têm bom preparo físico. 
 
A quantidade de candidatos selecionados pelo clube de 
futebol foi 
a) 
12.
 
b) 
14.
 
c) 
16.
 
d) 
32.
 
e) 
42.
 
 
QUESTÃO 16 
O número de alunos matriculados nas disciplinas Álgebra A, 
Cálculo II e Geometria Analítica é 120. Constatou-se que 6 
deles cursam simultaneamente Cálculo II e Geometria 
Analítica e que 40 cursam somente Geometria Analítica. Os 
alunos matriculados em Álgebra A não cursam Cálculo II 
nem Geometria Analítica. Sabendo que a turma de Cálculo 
II tem 60 alunos, então o número de estudantes em Álgebra 
A é 
a) 8 
b) 14 
c) 20 
d) 26 
e) 32 
 
QUESTÃO 17 
Qual é o valor da expressão numérica 
1 1 1 1
5 50 500 5000
  
? 
a) 0,2222 
b) 0,2323 
c) 0,2332 
d) 0,3222 
 
QUESTÃO 18 
Para o reflorestamento de uma área, deve-se cercar 
totalmente, com tela, os lados de um terreno, exceto o lado 
margeado pelo rio, conforme a figura. Cada rolo de tela que 
será comprado para confecção da cerca contém 48 metros 
de comprimento. 
 
 
28 
CURSO DE MATEMÁTICA ANUAL – AULA 20 – Prof. Raul Brito CONJUNTOS 
 
 
A quantidade mínima de rolos que deve ser comprada para 
cercar esse terreno é 
a) 6. 
b) 7. 
c) 8. 
d) 11. 
e) 12. 
 
QUESTÃO 19 
Em um jogo educativo, o tabuleiro é uma representação da 
reta numérica e o jogador deve posicionar as fichas 
contendo números reais corretamente no tabuleiro, cujas 
linhas pontilhadas equivalem a 1 (uma) unidade de medida. 
Cada acerto vale 10 pontos. 
Na sua vez de jogar, Clara recebe as seguintes fichas: 
 
 
 
Para que Clara atinja 40 pontos nessa rodada, a figura que 
representa seu jogo, após a colocação das fichas no 
tabuleiro, é: 
a) 
b) 
c) 
d) 
e) 
 
QUESTÃO 20 
Num grupo de 87 pessoas, 51 possuem automóvel, 42 
possuem moto e 5 pessoas não possuem nenhum dos dois 
veículos. O número de pessoas desse grupo que possuem 
automóvel e moto é 
a) 4. 
b) 11. 
c) 17. 
d) 19. 
 
 
29 
CURSO DE MATEMÁTICA ANUAL – AULA 20 – Prof. Raul Brito CONJUNTOS 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
GABARITO 
 
Resposta da questão 1: 
[B] 
Considere o diagrama, em que o conjunto 
A
 representa os candidatos que leram “Você Verá”, o conjunto 
B
 representa 
os candidatos que leram “O tempo é um rio que corre” e o conjunto C representa os candidatos que leram “Exílio”. 
 
 
Portanto, a quantidade de candidatos que leram apenas “O tempo é um rio que corre” é igual a 
484.
 
 
Resposta da questão 2: 
[E] 
Considere a figura, em que 
A, S
 e 
P
 são, respectivamente, o conjunto dos alunos que fariam Administração, o conjunto 
dos alunos que fariam Sistemas de Computação e o conjunto dos alunos que fariam Pedagogia. 
 
 
 
Sendo 
#(U) 1800
 e 
#(U (A S P)) x,   
 temos 
800 250 50 200 x 1800 x 500.      
 
Portanto, o número de jovens que não fariam nenhum dos cursos elencados é 
500.
 
 
Resposta da questão 3: 
[D] 
 
Utilizando 
M
 para matemática, 
F
 para física e 
Q
 para química, tem-se: 
 
30 
CURSO DE MATEMÁTICA ANUAL – AULA 20 – Prof. Raul Brito CONJUNTOS M 14
F 16
Q 12
MF 7
FQ 8
MQ 5
MQF 4







 
MQ MQF,
 logo têm-se 
1
 aluno que gosta de APENAS matemática e química e 
4
 que gostam das três matérias 
simultaneamente 
(5 4 1). 
 As demais deduções podem ser feitas analogamente pela teoria de conjuntos, conforme 
diagrama a seguir. 
 
 
 
Assim, o total de alunos que gostam de ao menos uma matéria é: 
6 3 4 1 5 4 3 26.      
 
Se o total de alunos na sala é 
40,
 então o número de alunos que não gosta de nenhuma matéria é: 
40 26 14. 
 
 
Resposta da questão 4: 
[D] 
Analisando as informações do enunciado, conclui-se: 
- 
40%
 do total frequenta oficinas de xadrez, portanto 
X 500 40% 200  
 alunos. 
- 
35%
 do total frequenta oficinas de robótica, portanto 
R 500 35% 175  
 alunos. 
- 
75
 alunos cursam, simultaneamente, xadrez e robótica, portanto 
XR 75
 alunos. 
 
Como
XR X,
 logo têm-se 100 alunos que frequentam de APENAS robótica. 
Analogamente, 
XR R,
 logo têm-se 125 alunos que frequentam de APENAS xadrez. 
Assim, se o total de alunos que matriculados é igual a 500, têm-se: 
500 125 75 100 200   
 alunos que frequentam outras oficinas, conforme a figura a seguir demonstra. 
 
 
 
Resposta da questão 5: 
[A] 
 
O número máximo de alunos matriculados nos três cursos não pode superar o número de alunos matriculados no curso 
de francês. Portanto, o resultado pedido é 
130.
 
 
Resposta da questão 6: 
[C] 
 
31 
CURSO DE MATEMÁTICA ANUAL – AULA 20 – Prof. Raul Brito CONJUNTOS 
 
Resolvendo graficamente, a intersecção dos intervalos 
]5,7[
 e 
[6,9]
 será 
[6, 7[.
 
 
 
 
 
 
Resposta da questão 7: 
[D] 
 
Os países que integram exatamente 
3
 das organizações são: Peru, Equador, Colômbia, Venezuela, Paraguai, Argentina 
e Uruguai. Portanto, a resposta é 
7.
 
 
Resposta da questão 8: 
[D] 
 
Sejam 
x
 e 
y
 os números. Tem-se que 
 
2
x y 2 y 2 x
x y 5 x (2 x) 5
y 2 x
.
(x 1) 4
    
 
     
 
 
  
 
 
Logo, sabendo que 
2(x 1) 0 
 para todo 
x
 real, podemos concluir que 
x
 é um complexo não real. Em consequência, 
y
 também é um complexo não real. 
 
Resposta da questão 9: 
[C] 
 
Calculando o desvio absoluto da espessura de cada lente em relação à medida 
3mm,
 obtemos: 
| 3,10 3 | 0,100; 
 
| 3,021 3 | 0,021; 
 
| 2,96 3 | 0,040; 
 
| 2,099 3 | 0,901 
 e 
| 3,07 3 | 0,070. 
 Portanto, como o menor desvio 
absoluto é o da lente de espessura 
3,021mm,
 segue o resultado. 
 
Resposta da questão 10: 
[D] 
 
Na primeira transferência, a primeira xícara ficou com 
20mL
 de café, e a segunda ficou com 
40mL
 de leite e 
20mL
 de 
café. Após a segunda transferência, a primeira xícara ficou com 
30mL
 de café e 
20mL
 de leite. Por conseguinte, a 
resposta é 
20 2
.
20 30 5


 
 
Resposta da questão 11: 
[C] 
 
Tem-se que 
5 4 2    
 e 
3
2.
5
  
 Logo, escrevendo os números dados em ordem decrescente, vem 
1,
 
3
,
8
 
3
,
5

 
5.
 
 
Resposta da questão 12: 
[D] 
 
Sendo 
XA AB HI u,   
 segue que 
 
32 
CURSO DE MATEMÁTICA ANUAL – AULA 20 – Prof. Raul Brito CONJUNTOS 
 
3 1
Y X 10u 10u
2 6
2
u .
15
    
 
 
 
Portanto, o ponto 
D
 representa o número 
 
1 2 7
D X 4u 4 .
6 15 10
     
 
 
 
 
Resposta da questão 13: 
[D] 
 
Tem-se que 
5
20
 e 
4
6
 são frações próprias e 
6
4
 é uma fração imprópria. Logo, ambas são menores do que 
6
.
4
 Além 
disso, segue que 
5 1 3 8 4
.
20 4 12 12 6
   
 
 
Portanto, a ordenação dos estudantesde acordo com a ordem decrescente das distâncias de suas respectivas casas à 
escola é Carlos, Fábio e André. 
 
Resposta da questão 14: 
[A] 
 
Tem-se que 
 
0,3121212 0,3 0,0121212
1
0,3 0,121212
10
3 1 12
10 10 99
3 1 4
10 10 33
99 4
330
103
.
330
 
  
  
  



 
 
Portanto, o índice revela que as quantidades relativas de admiradores do estudante e pessoas que visitam seu perfil são 
103
 em cada 
330.
 
 
Resposta da questão 15: 
[B] 
 
A quantidade de candidatos selecionados pelo clube de futebol foi 
7 1 2
48 14.
8 2 3
   
 
 
Resposta da questão 16: 
[C] 
 
Sejam 
X, Y
 e 
Z,
 respectivamente, o conjunto dos alunos que cursam Álgebra A, o conjunto dos alunos que cursam 
Cálculo II e o conjunto dos alunos que cursam Geometria Analítica. 
 
Sabemos que 
n(Y) 60,
 
n(Y Z) 6, 
 
n(X Y) 0, 
 
n(X Z)
 e 
n(Z (X Y)) 40.  
 Logo 
n(X Y Z) 0  
 e, portanto, 
n(Z) 46,
 pois 
 
 
33 
CURSO DE MATEMÁTICA ANUAL – AULA 20 – Prof. Raul Brito CONJUNTOS 
n(Z (X Y)) n(Z) n(X Z) n(Y Z) n(X Y Z).         
 
 
Desse modo, como 
n(X Y Z) 120,  
 pelo Princípio da Inclusão-Exclusão, vem 
 
n(X Y Z) n(X) n(Y) n(Z) n(X Y) n(X Z) n(Y Z) n(X Y Z)
120 n(X) 60 46 6
n(X) 20.
             
   

 
 
Resposta da questão 17: 
[A] 
 
1 1 1 1
0,2 0,02 0,002 0,0002 0,2222.
5 50 500 5000
       
 
Resposta da questão 18: 
[C] 
 
Serão necessários 
2 81 190 352  
 metros de tela para cercar o terreno. Logo, como cada rolo tem 
48
 metros de 
comprimento, segue-se que o número de rolos necessários é o menor número inteiro maior do que 
352
7,3,
48

 ou seja, 
8.
 
 
Resposta da questão 19: 
[D] 
 
Como 
1
x 3 1,7; y 0,5
2
     
 e 
3
z 1,5,
2
 
 tem-se 
t y z x.  
 Assim, a figura que representa o jogo de Clara é a 
da alternativa [D]. Note que na alternativa [A], 
x 3.
 
 
Resposta da questão 20: 
[B] 
 
Considere o diagrama, em que 
A
 é o conjunto das pessoas que possuem automóvel, e 
M
 é o conjunto das pessoas 
que possuem moto. 
 
 
 
Seja 
x
 o número de pessoas que possuem automóvel e moto. 
Como 
51
 pessoas possuem automóvel, segue que 
51 x
 pessoas possuem apenas automóvel. Além disso, sabendo 
que 
42
 pessoas possuem moto, temos que 
42 x
 pessoas possuem apenas moto. 
Portanto, dado que 
5
 pessoas não possuem nenhum dos dois veículos e que o grupo tem 
87
 pessoas, segue que 
 
51 x x 42 x 5 87 98 x 87
x 11.
        
 