APOSTILA ESTATISTICA COMPLETA

Prévia do material em texto

U N I V E R S I D A D E D E S O R O C A B A 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
E S T A T Í S T I C A 
G E R A L 
E 
A P L I C A D A 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
E N G E N H A R I A S 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
NOME DO(A) ALUNO(A):_____________________________________________________ 
 
CURSO:____________________________________________________ 
 
TURMA:_______ TURNO:________________ SALA:____________ 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
AVALIAÇÕES: 
 
 
1ª) Dia____/____/2012 Páginas:______________________________________ 
 
 
 
 
2ª) Dia____/____/2012 Páginas:______________________________________ 
 
 
 
 
3ª) Dia____/____/2012 Páginas:______________________________________ 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
2º Semestre / 2012 
Prof. Sergio Rocha 
 
 
 1
 
 
 
 
 
 
 
 
S U M Á R I O 
 
 
 
 
 
 
 
pág. 
 
 
INTRODUÇÃO 
 
 
 
• O que é Estatística?........................................................................................................................ 3 
 
 
• Ramos da Estatística....................................................................................................................... 3 
 
 
• Usos e abusos da Estatística.......................................................................................................... 4 
 
 
• Análise exploratória dos dados....................................................................................................... 4 
 
 
• Estatística com calculadoras e computadores................................................................................ 4 
 
 
• Arredondamento de dados.............................................................................................................. 5 
 
 
 
 
 
 
 
ESTATÍSTICA DESCRITIVA 
 
 
 
• Variáveis quantitativas e qualitativas............................................................................................... 9 
 
 
• Amostras e populações................................................................................................................... 12 
 
 
• Planejamento de experimentos....................................................................................................... 12 
 
 
• Tabelas estatísticas......................................................................................................................... 13 
 
 
• Tabelas de frequências................................................................................................................... 15 
 
 
• Como construir uma tabela de frequências..................................................................................... 15 
 
 
• Frequências relativas e frequências acumuladas............................................................................. 24 
 
 
 
 
 
 
 
REPRESENTAÇÃO GRÁFICA DAS VARIÁVEIS QUALITATIVAS E QUANTITATIVAS 
 
 
 
• Gráfico de Colunas.......................................................................................................................... 26 
 
 
• Gráfico de Colunas no EXCEL........................................................................................................ 26 
 
 
• Diagrama de Pareto........................................................................................................................ 27 
 
 
• Gráfico de Linhas............................................................................................................................ 28 
 
 
• Gráfico de Barras............................................................................................................................ 29 
 
 
• Gráfico Pictórico.............................................................................................................................. 29 
 
 
• Gráfico de Setores........................................................................................................................... 30 
 
 
• Histograma...................................................................................................................................... 31 
 
 
• Polígono de Frequências................................................................................................................. 32 
 
 
 
 
 
 
 
MEDIDAS DE TENDÊNCIA CENTRAL 
 
 
 
• Média aritmética simples.................................................................................................................. 34 
 
 
• Média aritmética ponderada............................................................................................................. 35 
 
 
• Média aritmética para dados tabulados........................................................................................... 36 
 
 
• Mediana para dados não tabulados................................................................................................. 41 
 
 
• Mediana para dados tabulados........................................................................................................ 43 
 
 
• Moda para dados não tabulados...................................................................................................... 46 
 
 
• Moda para dados tabulados............................................................................................................. 47 
 
 
• Análise das medidas de tendência central....................................................................................... 50 
 
 
• Separatrizes: quartis, decis e percentis............................................................................................ 51 
 
 
• Separatrizes para dados tabulados.................................................................................................. 52 
 
 
 
 
 
 
 
MEDIDAS DE DISPERSÃO OU VARIABILIDADE 
 
 
 
• Amplitude......................................................................................................................................... 56 
 
 
• Intervalo semiquartil........................................................................................................................ 56 
 
 
• Desvio médio e desvio padrão (para dados não tabulados)............................................................ 57 
 
 
• Variância.......................................................................................................................................... 57 
 
 
• Cálculo do desvio médio e do desvio padrão pelas FÓRMULAS.................................................... 58 
 
 
• Cálculo da média e do desvio padrão nas CALCULADORAS........................................................ 62 
 
 
• Cálculo de medidas usando o EXCEL............................................................................................. 63 
 
 
• Coeficiente de variação de Pearson................................................................................................. 64 
 
 
• Desvio médio e desvio padrão (para dados tabulados)................................................................... 67 
 
 
• MEDIDAS DE ASSIMETRIA E CURTOSE...................................................................................... 70 
 
 
• Assimetria......................................................................................................................................... 70 
 
 
• Curtose.............................................................................................................................................71 
 
 
 
 
 
 
 
PROBABILIDADES 
 
 
 
• Introdução......................................................................................................................................... 79 
 
 
• Probabilidades simples..................................................................................................................... 82 
 
 
• Regra da Adição e da Multiplicação................................................................................................. 82 
 
 
• Diagrama da Árvore.......................................................................................................................... 86 
 
 
 
 
 
 
 
 
 2
 
 
 
 
ANÁLISE COMBINATÓRIA 
 
 
 
• Princípio Fundamental da Contagem.............................................................................................. 95 
 
 
• Fatorial............................................................................................................................................ 96 
 
 
• Arranjos simples............................................................................................................................... 96 
 
 
• Permutação simples......................................................................................................................... 97 
 
 
• Combinação simples........................................................................................................................ 97 
 
 
• Combinações complementares........................................................................................................ 99 
 
 
 
 
DISTRIBUIÇÕES DISCRETAS DE PROBABILIDADES 
 
 
 
• Distribuição Binomial........................................................................................................................ 101 
 
 
• Distribuição Hipergeométrica........................................................................................................... 107 
 
 
• Distribuição de Poisson.................................................................................................................... 113 
 
 
 
 
DISTRIBUIÇÃO CONTÍNUAS DE PROBABILIDADES 
 
 
 
• Distribuição exponencial................................................................................................................... 114 
 
 
• Distribuição uniforme........................................................................................................................ 114 
 
 
• Distribuição normal (ou de Gauss).................................................................................................... 115 
 
 
• O coeficiente z.................................................................................................................................. 116 
 
 
• Como usar a Tabela 1 (Tabela do coeficiente z)............................................................................. 116 
 
 
• Aplicações (Distribuição normal)...................................................................................................... 118 
 
 
 
 
INFERÊNCIA ESTATÍSTICA 
 
 
 
• Amostragem...................................................................................................................................... 128 
 
 
• Métodos de amostragem probabilística............................................................................................ 128 
 
 
• Métodos de amostragem não probabilística..................................................................................... 130 
 
 
• Distribuição amostral......................................................................................................................... 132 
 
 
• Intervalos de confiança..................................................................................................................... 132 
 
 
• ESTIMAÇÃO..................................................................................................................................... 132 
 
 
• ESTIMATIVA DE UMA MÉDIA POPULACIONAL........................................................................... 133 
 
 
• 1º caso: Estimativa da média (quando o desvio padrão populacional é conhecido)....................... 133 
 
 
• Valor do coeficiente z (para intervalos de confiança)....................................................................... 135 
 
 
• Erro de estimação da média............................................................................................................. 141 
 
 
• Erro padrão da média....................................................................................................................... 141 
 
 
• Fator de correção para população finita........................................................................................... 143 
 
 
• Estimativa da média para população finita (desvio padrão populacional conhecido)....................... 143 
 
 
• Tamanho da amostra (para estimativa da média populacional)....................................................... 146 
 
 
• Tamanho da amostra para população finita...................................................................................... 148 
 
 
• 2º caso: Estimativa da média (quando o desvio padrão populacional é desconhecido).................. 149 
 
 
• Como usar a Tabela 2 (Tabela do coeficiente t).............................................................................. 149 
 
 
• Estimativa da média para população finita (desvio padrão populacional desconhecido)................. 153 
 
 
• ESTIMATIVA DE UMA PROPORÇÃO POPULACIONAL............................................................... 170 
 
 
• Estimativa de uma proporção para população finita......................................................................... 172 
 
 
• Tamanho da amostra (para estimativa de uma proporção populacional)......................................... 173 
 
 
 
 
TESTES DE HIPÓTESES OU DE SIGNIFICÂNCIA 
 
 
 
• Hipóteses estatísticas....................................................................................................................... 181 
 
 
• Níveis de significância....................................................................................................................... 182 
 
 
• Testes unilaterais e bilaterais............................................................................................................ 182 
 
 
• Valor da estatística de teste.............................................................................................................. 184 
 
 
• Testes de hipóteses ou de significância para médias populacionais................................................ 184 
 
 
• Exemplos e exercícios de testes de hipóteses (utilizando o teste bilateral)..................................... 185 
 
 
• Exemplos e exercícios de testes de hipóteses (utilizando o teste unilateral à esquerda)................ 195 
 
 
• Exemplos e exercícios de testes de hipóteses (utilizando o teste unilateral à direita)..................... 199 
 
 
 
 
NOÇÕES DE CORRELAÇÃO E REGRESSÃO 
 
 
 
• Correlação e regressão..................................................................................................................... 203 
 
 
• Correlação linear direta, inversa e nula............................................................................................ 204 
 
 
• Correlação não linear........................................................................................................................ 204 
 
 
• Coeficientede correlação linear simples.......................................................................................... 205 
 
 
• Regressão linear simples.................................................................................................................. 206 
 
 
• Exemplo: correlação linear direta (com gráfico)................................................................................ 207 
 
 
• Exemplo: correlação linear inversa (com gráfico)............................................................................. 209 
 
• Aplicações (correlação linear)........................................................................................................... 211 
 
 
 
 
TABELA 1 (Distribuição Normal Padronizada): coeficiente z.................................................... 225 
 
 
 
 
TABELA 2 (Distribuição de Student): coeficiente t...................................................................... 226 
 
 
 
 
REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS.................................................................................................... 227 
 
 
 3
 
 
I N T R O D U Ç Ã O 
 
 
 
O que é Estatística? 
 
A palavra estatística é derivada da palavra latina status (que significa “estado”). Os primeiros usos da 
estatística envolviam compilação de dados e gráficos que descreviam vários aspectos de um estado ou país. A 
partir de 1662, com a publicação de John Graunt, com a informação estatística sobre nascimentos e mortes, 
iniciaram-se os estudos sobre taxas de mortalidade, doenças, tamanho de populações, renda, taxa de 
desemprego etc. 
Segundo Dugé de Bernonville, a Estatística é um conjunto de métodos e processos quantitativos que serve 
para estudar e medir os fenômenos coletivos. 
Também, podemos definir a Estatística como um conjunto de técnicas que permite, de forma sistemática, 
organizar, descrever, analisar e interpretar dados oriundos de estudos ou experimentos, realizados em qualquer 
área do conhecimento. 
R a m o s d a E s t a t í s t i c a 
 
 
A Estatística se divide em três ramos: 
• Estatística Descritiva 
• Teoria da Probabilidade 
• Inferência Estatística 
E s t a t ís t i c a D e s c r i t i v a 
 
 
A Estatística Descritiva compreende a organização, o resumo e, em geral, a simplificação de informações 
que podem ser muito complexas. Ela utiliza números para descrever fatos. Como exemplos, citamos: a média 
industrial, a taxa de desemprego, a durabilidade média de produtos, a média de estudantes etc. 
Aqui se enquadram as medidas de tendência central ou medidas de posição (média aritmética, mediana e 
moda) e as medidas de dispersão ou variabilidade (desvio médio e desvio padrão). 
 
 
T e o r ia d a P r o b a b i l i d a d e 
 
 
A probabilidade é utilizada para se estudar a incerteza oriunda de fenômenos de caráter aleatório. 
 
Fenômeno aleatório: é uma situação ou acontecimento cujos resultados não podem ser previstos com 
certeza. Por exemplo, as condições climáticas, taxa de inflação etc. 
 
A teoria da probabilidade está dentro do que é conhecido como um sistema axiomático: começamos com 
algumas verdades básicas conhecidas e construímos um sistema lógico ao seu redor. Em sua forma mais pura, o 
sistema não tem valor prático. Sua praticidade vem do conhecimento de como utilizar a teoria para produzir 
aproximações práticas. 
 
Por mais potente que seja, é natural que nenhuma estatística vai convencer alguém que uma determinada 
conclusão seja verdadeira. 
 
Uma aplicação importante da teoria é feita nos testes de diagnósticos. A incerteza está presente porque, 
apesar das alegações dos fabricantes, nenhum teste disponível é perfeito. Podemos, por exemplo, concluir que 
cada amostra de sangue cujo resultado seja positivo para o HIV abrigue realmente o vírus? Para responder esta 
questão, precisamos confiar no comportamento de médio e longo prazo dos testes de diagnósticos. A teoria da 
probabilidade nos permite quantificar esse comportamento. 
 
Outras aplicações: 
a) Que garantia temos de que todos os paraquedas irão funcionar corretamente quando acionados? 
b) Que garantia temos do fabricante de latas em conserva de que o produto poderá ser consumido dentro 
da validade especificada? Ele terá o mesmo valor nutritivo? 
c) Que garantia temos de um fabricante de medicamentos de que o produto poderá ser utilizado dentro da 
validade especificada? Ele terá o mesmo efeito desejado? 
 
 
 4
 
 
I n f e r ê n c i a E s t a t í s t i c a 
 
Este é o terceiro ramo da Estatística, no qual envolve a formulação de certos julgamentos sobre um todo 
(população) após examinar apenas uma parte dele (amostra aleatória), isto é, tomar decisões com base em 
dados colhidos de uma amostra. 
A inferência estatística é feita por meio de testes de hipóteses, mas como toda inferência, está sujeita a 
erro. 
A inferência estatística está baseada na Teoria das Probabilidades. 
 
Inferir significa tirar por conclusão; deduzir pelo raciocínio. 
 
 
 
U s o s e A b u s o s d a E s t a t í s t i c a 
 
A Estatística tornou-se uma ferramenta tão importante que nos dias de hoje é utilizada praticamente em 
todos os campos do conhecimento. 
Como exemplos, podemos citar: os fabricantes estão fornecendo melhores produtos a custos menores, 
através dos controles de qualidade; controle de doenças, poluição atmosférica, mais segurança nas empresas e 
nas rodovias, maior produção na agricultura etc. 
Mas, também temos que tomar alguns cuidados para não obter resultados distorcidos, ocasionados por 
descuido ou ignorância, por objetivos pessoais, por alegações enganosas etc. 
 
 
 
A n á l i s e E x p l o r a t ó r i a d o s D a d o s 
 
Ao coletarmos determinados dados em um levantamento, podemos ter um objetivo específico, ou 
simplesmente, estamos fazendo uma observação para saber o que esses dados nos revelam. É importante saber 
que devemos relacionar três características dos dados: 
1ª) A natureza ou forma da distribuição; 
2ª) Um valor representativo (média, mediana, moda); 
3ª) Uma medida de variação (desvio médio, desvio padrão). 
Devemos tomar o cuidado de observar e analisar os dados coletados para evitarmos erros grosseiros que 
poderão prejudicar as nossas conclusões. 
 
Como exemplo, se estivermos coletando os salários dos funcionários de determinada categoria de uma 
empresa, que estão compreendidos numa faixa de R$ 800,00 a R$ 1.500,00, exceto um deles de que foi de R$ 
10.000,00, não podemos simplesmente considerar todos esses valores para obtermos as características dessa 
distribuição; precisamos verificar se esse salário que está muito alto em relação aos demais não foi um erro de 
digitação, ou seja, o salário real poderia ser de R$ 1.000,00 e foi digitado R$ 10.000,00, e isto irá distorcer 
totalmente as nossas conclusões a respeito desses salários. 
 
 
E s t a t í s t i c a c o m C a l c u l a d o r a s e C o m p u t a d o r e s 
 
Todos os estudantes de Estatística percebem a importância e facilidade que as calculadoras proporcionam 
na aprendizagem dos diversos tópicos que são estudados no decorrer do curso. 
Com o advento do computador, diminuímos, e muito, a árdua tarefa de trabalhar com uma grande 
quantidade de números. Podemos citar, entre outros, dois softwares que estão no mercado e que muito nos 
auxiliam: o STATDISK e MINITAB. Mas precisamos tomar alguns cuidados com essa automação, pois ela pode 
levar um indivíduo sem preparo específico a utilizar técnicas inadequadas para resolver determinado tipo de 
problema, logo é necessária a compreensão e domínio dos conceitos básicos da Estatística. 
 
 
C á l c u l o d e M e d i d a s 
 
Antes de iniciar os cálculospara a determinação das medidas necessárias para o desenvolvimento e 
entendimento dos conceitos em Estatística, o estudante deve familiarizar-se com a sua calculadora para 
efetuar os cálculos com mais segurança e rapidez. 
 
 
 5
 
 
A R R E D O N D A M E N T O D E D A D O S 
 
 
 
 
 
 
Critérios para o arredondamento de um dado estatístico 
 
 
 
De acordo com a Resolução 886/66, da Fundação IBGE, o arredondamento é feito da seguinte maneira: 
 
 
1º caso: Arredondamento por falta 
 
Quando o primeiro dígito dos que irão ser eliminados for menor ou igual a quatro (isto é, menor do que 5). 
 
 
Exemplo: 
 Número a arredondar Arredondamento para Número arredondado 
 a) 11,372 Inteiros 11 
 b) 46,8417 Décimos 46,8 
 c) 261,761 Centésimos 261,76 
 
 
 
2º caso: Arredondamento por excesso 
 
Quando o primeiro dígito após aquele que será arredondado for maior ou igual a cinco, seguido por dígitos 
maiores que zero: acrescentar uma unidade no algarismo a ser arredondado. 
 
Exemplo: 
 Número a arredondar Arredondamento para Número arredondado 
 a) 32,827 Inteiros 33 
 b) 16,763 Décimos 16,8 
 c) 23,42502 Centésimos 23,43 
 
 
 
 
3º caso: Caso particular: números terminados em 5 
 
 
Quando o número a ser arredondado for: 
• uma decimal exata 
• terminada em cinco (ou for um cinco seguido somente de zeros) 
• e o arredondamento for feito no dígito imediatamente anterior a esse 5 em que o 
número está terminando 
 
procedemos da seguinte forma: 
 
 
1) NÃO ALTERAR o valor desse dígito, se o mesmo for PAR. 
 
 
2) AUMENTAR em uma unidade se esse dígito for ÍMPAR (ou seja, é o caso geral de arredondamento, pois 
o dígito posterior ao dígito a ser arredondado é igual a 5). 
 
 
CUIDADO para não utilizar o caso particular nos casos gerais! 
 
 
 
Exemplos: Arredondar para centésimos: 
 
 
73,365 ▬►73,36 (como a 2ª decimal é o algarismo 6, que é par, deixar o próprio algarismo 6 na 2ª 
decimal) 
 
 
61,135 ▬►61,14 (como a 2ª decimal é o algarismo 3, que é ímpar, acrescentar uma unidade ao 3, ou 
seja, a 2ª decimal passará a ser 4) 
 
 
ATENÇÃO: Não devemos NUNCA fazer arredondamentos sucessivos. 
 
 
Exemplo: Para arredondar o número 21,74631 para décimos, o número arredondado será 21,7. Agora, se 
alguém arredondar primeiramente para centésimos obterá 21,75, e se arredondar este último para 
décimos, obterá 21,8, e não 21,7, que é o correto. 
 
 
 6
 
 
OUTROS EXEMPLOS DE ARREDONDAMENTOS 
 
 
 
 
 
2. Arredondar os seguintes números: 
 
a) 43,269 para décimos................................... ▬► Resposta: 43,3 
 
b) 6,83172 para milésimos.............................. ▬► Resposta: 6,832 
 
c) 52,7444... para o décimo mais próximo...... ▬► Resposta: 52,7 
 
d) 61,823 para a unidade mais próxima.......... ▬► Resposta: 62 
 
e) 32,3961 para centésimos............................ ▬► Resposta: 32,40 
 
f) 182,71888... para décimos.......................... ▬► Resposta: 182,7 
 
 
3. Arredondar os seguintes números para centésimos: 
 
 
a) 58,7248 ≅ 58,72 (como a 3ª casa decimal é o algarismo 4, que é inferior a 5, devemos manter o 
algarismo 2 na 2ª casa decimal) 
b) 47,2361 ≅ 47,24 (como a 3ª casa decimal é o algarismo 6, que é maior ou igual a 5, devemos aumentar 
o valor do algarismo 3 da 2ª casa decimal em uma unidade, ou seja a 2ª casa 
decimal passará a ser 4) 
c) 27,845 ≅ 27,84 (esse é o caso particular de arredondamento, no qual o número termina em 5 e o 
arredondamento será feito no algarismo 4 que se localiza na casa decimal 
imediatamente anterior a esse 5: como 4 é par, deverá permanecer com o mesmo 
valor) 
 
d) 71,935 ≅ 71,94 (embora esse número termine em cinco e o arredondamento será feito na casa decimal 
imediatamente anterior; este caso particular de arredondamento recai no caso geral 
de arredondamento, pois a casa decimal anterior a esse 5 é o algarismo 3, que é 
ímpar, logo devemos acrescentar uma unidade ao 3) 
 
e) 4,785 ≅ 4,78 (é o caso particular de arredondamento: como o 8 é par, deverá permanecer o 
mesmo 8) 
 
f) 42,375 ≅ 42,38 (é caso particular, mas como antes do 5 aparece o 7, que é ímpar, devemos aplicar o 
caso geral de arredondamento, ou seja, o 7 será aumentado em uma unidade) 
 
g) 6,785... ≅ 6,79 (NÃO é caso particular, pois como aparece o símbolo de reticências após o 5, isso 
significa que esse número continua tendo mais algarismos, ou seja, é o caso geral 
de arredondamento) 
 
h) 17,125 ≅ 17,12 (é caso particular de arredondamento: como 2 é par, deverá permanecer o mesmo 
algarismo 2) 
 
i) 17,125... ≅ 17,13 (NÃO é caso particular, pois como aparece o símbolo de reticências após o 5, isso 
significa que esse número continua tendo mais algarismos, ou seja, é o caso geral 
de arredondamento) 
 
j) 17,1255 ≅ 17,13 (NÃO é caso particular, pois o arredondamento não será feito no último 5, e sim no 
penúltimo 5, logo é o caso geral de arredondamento) 
 
k) 17,125000000 ≅ 17,12 (é caso particular de arredondamento, pois os zeros que aparecem após o 5 
não são considerados) 
 
l) 12,145 ≅ 12,14 (caso particular) 
 
m) 12,14500 ≅ 12,14 (caso particular) 
 
n) 12,1450000000 ≅ 12,14 (caso particular) 
 
o) 12,145... ≅ 12,15 (caso geral) 
 
p) 12,14555 ≅ 12,15 (caso geral) 
 
q) 203,315 ≅ 203,32 (caso particular) 
 
r) 73,3655 ≅ 73,37 (caso geral) 
 
s) 61,1255 ≅ 61,13 (caso geral) 
 
t) 67,3972 ≅ 67,40 (caso geral) 
 
u) 39,6725 ≅ 39,67 
 
v) 82,7295 ≅ 82,73 
 
w) 0,785 ≅ 0,78 
 
x) 122,13777... ≅ 122,14 
 
y) 8,68222... ≅ 8,68 
 
z) 1,615... ≅ 1,62 
 
 
 7
 
 
A l g a r i s m o s s i g n i f i c a t i v o s 
 
 
Os algarismos significativos (ou dígitos significativos) de um número são os algarismos separados dos zeros 
necessários para a localização da vírgula. 
 
 
Exemplos 
 
 
1. Quantidade de algarismos significativos dos números: 
a) 2,55 tem 3 algarismos significativos 
 
b) 16,875 tem 5 algarismos significativos 
 
c) 8,701 tem 4 algarismos significativos 
 
d) 0,043 tem 2 algarismos significativos 
 
e) 0,0403 tem 3 algarismos significativos 
 
f) 0,0006 tem 1 algarismo significativo 
 
g) 7,62 tem 3 algarismos significativos 
 
h) 7,6200 tem 5 algarismos significativos 
 
i) 43 tem 2 algarismos significativos 
 
j) 43,0 tem 3 algarismos significativos 
 
k) 1,6x10-3 (notação científica) = 0,0016 tem 2 algarismos significativos 
 
l) 1,600x10-3 (notação científica) = 0,001600 tem 4 algarismos significativos 
 
m) 2,8100 tem 5 algarismos significativos 
 
n) 2810000 na notação científica: 2,81X106 tem 3 algarismos significativos 
 
o) 2810000 na notação científica: 2,8100X106 tem 5 algarismos significativos 
 
2. Arredondar os seguintes números: 
a) 43,341 para 3 algarismos significativos................... ▬► Resposta: 43,3 
 
b) 14,62 para 2 algarismos significativos..................... ▬► Resposta: 15 
 
c) 8,27481 para 4 algarismos significativos................. ▬► Resposta: 8,275 
 
d) 0,01953 para 2 algarismos significativos................. ▬► Resposta: 0,020 
 
 
 
 
E X E R C Í C I O S (arredondamento de dados) 
 
 
1. Fazer o arredondamento dos seguintes números: 
 
 Número a arredondar Arredondamento para Número arredondado 
a) 53,479 Inteiros 
b) 26,571 Décimos 
c) 152,9838 Centésimos 
d) 31,834 Décimos 
e) 65,0921 Centésimos 
f) 16,504 Inteiros 
g) 27,587 Centésimos 
h) 37,6032 Centésimos 
i) 44,964 Décimos 
j) 315,500 Inteiros 
k) 316,500 Inteiros 
l) 316,750 Décimos 
m) 316,705 Centésimos 
n) 316,735 Centésimos 
o) 4,972618 Milésimosp) 10,739274 Décimos de milésimos 
q) 81,938372 Milésimos 
r) 0,0034186 Décimos de milésimos 
s) 0,00083724 Centésimos de milésimos 
 
Respostas: a) 53; b) 26,6; c) 152,98; d) 31,8; e) 65,09; f) 17; g) 27,59; h) 37,60; i) 45,0; j) 316; k) 316; 
l) 316,8; m) 316,70; n) 316,74; o) 4,973; p) 10,7393; q) 81,938; r) 0,0034; s) 0,00084 
 
 
 8
 
 
2. Indicar como cada um dos seguintes valores seria arredondado: 
 
 
 Números para arredondar Respostas 
a) 12357 (para a dezena mais próxima) 
b) 5789 (para a centena mais próxima) 
c) 6501 (para o milhar mais próximo) 
d) 130,055 (para a unidade mais próxima) 
e) 28,65 (para o décimo mais próximo) 
f) 28,655 (para o décimo mais próximo) 
g) 19,95 (para o décimo mais próximo) 
h) 32,505 (para o centésimo mais próximo) 
i) 325,455 (para o centésimo mais próximo) 
j) 32,505 (para o décimo mais próximo) 
k) 32,505 (para a unidade mais próxima) 
l) 5,825 (para o centésimo mais próximo) 
m) 5,825... (para o centésimo mais próximo) 
n) 2995,00 (para a dezena mais próxima) 
o) 265,31 (para a dezena mais próxima) 
p) 265,0 (para a dezena mais próxima) 
q) 48,85002 (para o décimo mais próximo) 
 
Respostas: a) 12360; b) 5800; c) 7000; d) 130; e) 28,6; f) 28,7; g) 20,0; h) 32,50; i) 325,46; 
j) 32,5; k) 33; l) 5,82; m) 5,83; n) 3.000; o) 270; p) 260; q) 48,9 
 
 
 
3. Indicar como cada um dos seguintes valores seria arredondado: 
 
 Números para arredondar Respostas 
a) 57,8755 (para quatro dígitos significativos) 
b) 24,54 (para três dígitos significativos) 
c) 92,445 (para quatro dígitos significativos) 
d) 8,875 (para três dígitos significativos) 
e) 15,05 (para a primeira decimal) 
f) 113,35 (para a primeira decimal) 
g) R$ 63,50 (ao real mais próximo) 
h) R$ 64,50 (ao real mais próximo) 
i) R$ 64,51 (ao real mais próximo) 
j) 0,05050 (para um dígito significativo) 
k) 0,05150 (para um dígito significativo) 
l) 0,05150 (para dois dígitos significativos) 
m) 0,05049 (para dois dígitos significativos) 
n) 0,05050 (para dois dígitos significativos) 
o) 0,05051 (para dois dígitos significativos) 
 
Respostas: a) 57,88; b) 24,5; c) 92,44; d) 8,88; e) 15,0; f) 113,4; g) R$ 64; h) R$ 64; i) R$ 65; 
j) 0,05; k) 0,05; l) 0,052; m) 0,050; n) 0,050; o) 0,051 
 
 
 9
 
 
E S T A T Í S T I C A D E S C R I T I V A 
 
(1º ramo da Estatística) 
 
 
 
 
 
V A R I Á V E I S Q U A N T I T A T I V A S E Q U A L I T A T I V A S 
 
 
 
 
Ao fazermos um levantamento de um conjunto de dados, a questão inicial é a de como tratar os valores, 
numéricos ou não, a fim de se extrair informações a respeito de uma ou mais características de interesse. Cada 
uma das características obtidas, tais como o peso, altura, idade, sexo, número de filhos, religião, salário, nível de 
educação etc., é denominada de variável. 
 
 
 
V a r i á v e l a l e a t ó r i a: é aquela cujos valores são determinados por processos acidentais, ao acaso, 
que não estão sob o controle do observador. 
Por exemplo, ao jogarmos um dado para o ar, a variável aleatória é o resultado possível nessa jogada, isto 
é, 1, 2, 3, 4, 5 ou 6, mas não podemos predizer qual será esse resultado. 
 
 
 
As variáveis de natureza numéricas são denominadas quantitativas, e as não numéricas, qualitativas. 
 
 
 
 
 
VARIÁVEIS 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
QUANTITATIVAS 
(numéricas) 
 
QUALITATIVAS 
(categorizadas) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Discreta 
 
Contínua 
 
Ordinal 
 
Nominal 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
V A R I Á V E I S Q U A N T I T A T I V A S 
 
 
 
 
As variáveis quantitativas podem ser subdivididas em discretas e contínuas: 
 
 
( I ) V a r i á v e i s q u a n t i t a t i v a s d i s c r e t a s: Quando os valores podem ser contados. São as 
observações que podem ser feitas somente em pontos isolados ao longo de uma escala de valores. 
Exemplos 
 
• Número de peças defeituosas encontradas em um lote 
• Número de residências que possuem energia elétrica 
• Número de caminhões que chegam, por hora, em um depósito 
• Quantidade de peças defeituosas produzidas por uma máquina 
• Número de mudas de árvores plantadas no mês passado em determinada cidade 
• Quantidade de pessoas que trabalham em determinada obra 
• Capacidade máxima de passageiros (trem, ônibus, avião, navio) 
• Número de alunos numa sala de aula 
• Número de alunos que possuem computadores em casa 
• Número de artigos defeituosos produzidos 
• Número de clientes cadastrados 
• Número de computadores em um laboratório 
• Número de conveniados de um Plano de Saúde 
• Número de experiências realizadas em um laboratório 
• Número de jogos empatados 
 
 
 10
 
 
• Número de filhos de um casal 
• Número de funcionários de uma empresa 
• Número de máquinas de uma empresa 
• Número de pacientes atendidos em certo dia num pronto-socorro 
• Número de partidas de futebol 
• Número de pessoas por domicílio 
• Número de pessoas que tomaram vacina contra a gripe 
• Número de unidades estocadas de um artigo 
• Quantidade de anúncios publicados em um jornal 
• Quantidade de comprimidos em uma caixa de remédios 
• Quantidade de frutas em uma caixa 
• Quantidade de notas fiscais expedidas em certo dia 
 
 
 
 
(II) V a r i á v e i s q u a n t i t a t i v a s c o n t í n u a s: Quando se pode tomar qualquer valor de um 
determinado intervalo de números reais, ou seja, a variável pode assumir um valor em qualquer ponto 
fracionário ao longo de um intervalo especificado de valores. 
 
 
 
Exemplos 
 
• Altura média que certo tipo de planta atinge após três meses de seu plantio 
• Capacidade média de passageiros (trem, ônibus, avião, navio) 
• Comprimento do veículo (ônibus, avião, navio) 
• Consumo médio de água por residência em certa cidade 
• Consumo médio de combustível de um automóvel 
• Diâmetro de um rolamento 
• Duração média de uma conversa telefônica 
• Estatura das pessoas 
• Gasto médio com transporte para se deslocar até o local de trabalho 
• Idade em meses e dias 
• Média de clientes atendidos por dia 
• Número médio de clientes potenciais visitados por vendedores durante o último mês 
• Número médio de pacientes atendidos em certo dia num pronto-socorro 
• Número médio de pessoas por domicílio em uma grande comunidade 
• Peso de cada remessa 
• Peso do conteúdo de um pacote de cereais 
• Peso médio de um grupo de pessoas 
• Salário (diário, semanal, mensal) 
• Tempo decorrido antes da primeira falha de um dispositivo 
• Tempo médio de atendimento dos pacientes de um hospital 
• Tempo médio de efeito de um medicamento 
• Tempo médio diário que os estudantes gastam com o uso de computadores 
• Tempo médio para a realização de uma experiência em um laboratório 
• Tempo médio para executar um programa de computador 
• Tempo médio para fabricar determinado tipo de peça 
 
 
 
Observação: A variável idade, medida em número de anos, pode ser considerada como discreta, porém, se 
medida em meses, ou em dias, pode ser considerada contínua. 
 
 
 
 
V A R I Á V E I S Q U A L I T A T I V A S 
 
 
 
 
As variáveis são qualitativas (ou atributos) quando os possíveis valores que assumem representam 
atributos e/ou qualidades. São classificadas comoordinais ou nominais: 
 
 
 
 
(III) V a r i á v e i s q u a l i t a t i v a s o r d i n a i s: Quando as variáveis têm uma ordenação natural, 
indicando intensidades crescentes de realização. 
 
 
 11
 
 
Exemplos 
 
• Tamanho (pequeno, médio ou grande) 
• Nível de instrução da pessoa, do aluno, do pai, da mãe (Ensino Fundamental, Médio ou Superior) 
• Classe social (baixa, média ou alta; ou A, B, C, D, E) 
• Atuação escolar (fraca, regular, boa ou ótima) 
• Gravidade de uma doença (leve, moderada, severa) 
 
 
 
 
(IV) V a r i á v e i s q u a l i t a t i v a s n o m i n a i s: Quando não é possível estabelecer uma ordem natural 
entre seus valores. 
 
 
Exemplos 
 
• Bairro em que reside 
• Região de procedência 
• Cor de cabelos (castanho, preto, loiro, ruivo) 
• Esporte que pratica (futebol, natação etc.) 
• Estado civil (solteiro, casado etc.) 
• Estado em que nasceu (São Paulo, Rio de Janeiro, Paraná etc.) 
• Fumante (sim ou não) 
• Indicadores de inflação (IPC, dólar oficial etc.) 
• Nacionalidade (brasileiro ou estrangeiro) 
• Religião (católico, evangélico, espírita, outra) 
• Sexo (feminino ou masculino) 
• Time de futebol (Santos, Fluminense etc.) 
• Tipo sanguíneo (A, B, AB, O) 
• Tipos de aplicações em Banco (fundos de investimentos, dólar, poupança etc.) 
• Turma (A, B ou C) 
• Verdadeiro ou falso 
 
 
 
 
E X E M P L O S (variáveis quantitativas e qualitativas) 
 
 
 
1. A tabela abaixo envolve todos os tipos de dados mencionados: 
 
 
População 
Variáveis Quantitativas Variáveis Quantitativas 
 Discretas Contínuas Nominais Ordinais 
 Funcionários de 
uma empresa 
Nº de 
funcionários 
Tempo de serviço 
na empresa Homens Assiduidade 
 
 
 
2. A tabela abaixo corresponde a uma pesquisa realizada com cinco famílias de determinada comunidade: 
 
 
Família Idade do pai 
Grau de 
instrução 
do pai 
Religião Classe 
social 
Renda mensal 
(salário 
mínimo) 
Número de 
filhos em 
idade escolar 
Região de 
procedência 
 1 25 E. Fundam. Católica Baixa 4 3 Interior 
 2 33 E. Médio Africana Média 10 2 Capital 
 3 42 E. Médio Espírita Média 12 3 Outro Estado 
 4 28 Superior Nenhuma Média 16,5 3 Capital 
 5 38 Nenhum Católica Baixa 4 4 Outro Estado 
 
 
Classificando as variáveis da tabela, temos: 
 
 
V a r i á v e l q u a l i t a t i v a: 
 
• Qualitativa nominal: Família, Religião, Região de procedência. 
 
• Qualitativa ordinal: Grau de instrução do pai, Classe social. 
 
 
V a r i á v e l q u a n t i t a t i v a: 
 
• Quantitativa discreta: Idade do pai, Número de filhos. 
 
• Quantitativa contínua: Renda mensal. 
 
 
 12
 
 
A m o s t r a s e P o p u l a ç õ e s 
 
 
 
 
 
Ao fazermos um levantamento com um grande número de dados, dificilmente temos acesso ao todo, que se 
chama população ou universo, então consideramos apenas uma parte dessa população, que se chama 
amostra, e que deve ser aleatória, isto é, todo elemento da população tem a mesma chance que todos os outros 
elementos da população de pertencer a essa amostra. 
 
 
 
Por que se usam amostras? 
 
Resposta: São poucas as razões, mas muito relevantes: 
 
 
 
a) Custo e demora dos levantamentos. 
 
Exemplo 
 
Qual é o peso médio de todos os recém-nascidos vivos no Brasil em determinado ano? 
 
 
 
b) Populações muito grandes. 
 
Exemplo 
 
Quantos peixes têm no mar? 
 
 
 
c) Impossibilidade física de examinar toda a população. 
 
Exemplo 
 
Como uma fábrica faria para testar todos os fósforos por ela produzidos? 
 
 
 
d) Comprovado valor científico das informações coletadas por meio de amostras. 
 
Exemplo 
 
Se um pesquisador quiser estudar os hábitos de consumo de bebidas alcoólicas entre adolescentes de uma 
grande cidade, o melhor que ele pode fazer é uma avaliação criteriosa de uma amostra, ao invés de obter 
uma avaliação sumária de toda a população de adolescentes dessa cidade. 
 
 
 
 
 
P l a n e j a m e n t o d e E x p e r i m e n t o s 
 
 
 
Para o planejamento de um estudo que possa trazer bons resultados, destacamos: 
 
 
a) Definir claramente a população de interesse. 
 
 
b) Identificar com precisão e clareza as questões a serem respondidas. 
 
 
c) Estabelecer um plano de coleta de dados. 
 
 
d) Efetuar a coleta de dados cuidadosamente. 
 
 
e) Analisar os dados obtidos, identificar os possíveis erros e tirar as conclusões. 
 
 
Se os dados amostrais não forem bem coletados de maneira apropriada, eles podem ser de tal modo 
inúteis que nenhuma manipulação estatística poderá salvá-los. 
 
 
 
 
O r g a n i z a ç ã o d e D a d o s 
 
 
 
Após a coleta de um conjunto de dados, a fim de se extrair informações a respeito de uma ou mais 
características de interesse, geralmente fazemos uso de tabelas e gráficos. 
 
Dados brutos: São os dados originais que ainda não se encontram numericamente organizados. 
 
 
ROL: É uma lista em que os valores estão dispostos em ordem crescente ou decrescente. 
 
 
 13
 
 
T A B E L A S E S T A T Í S T I C A S 
 
 
 
Após o término da coleta dos dados de uma pesquisa, devemos apresentar esses dados em tabela (já 
usamos algumas anteriormente). 
Uma tabela é composta de três partes: cabeçalho, corpo e rodapé. 
Cabeçalho: Corresponde ao título, o qual deve explicar o conteúdo da tabela. No exemplo abaixo, de tabela 
histórica, o título é: Censo: População brasileira. 
Corpo: É formado por colunas, nas quais são colocados os dados apurados na pesquisa. No exemplo 
abaixo, de tabela histórica, são as colunas contendo o ano e as respectivas quantidades de pessoas obtidas em 
cada um desses anos. 
Rodapé: Local onde se coloca a fonte dos dados. No exemplo abaixo, de tabela histórica, a fonte é: Censo 
Demográfico do IBGE. 
Essa tabela contém os dados da maneira que foram coletados. 
 
 
 
 
T I P O S D E T A B E L A S E S T A T Í S T I C A S 
 
 
 
1. Tabela Histórica 
 
 
Exemplo: Censo: População brasileira 
 
 
Ano Quantidade 
 
 (em milhões) 
 
 1920 30,6 
 
 1940 41.2 
 
 1950 51,9 
 
 1960 70,2 
 
 1970 93,1 
 
 1980 121.1 
 
 1991 146,8 
 
 2000 166,1 
 
 2010 190,7 
Fonte: Censo Demográfico do IBGE 
 
 
2. Tabela Geográfica 
 
 
Exemplo: Áreas continentais 
 
 Continente Área(106 km²) 
 
 Ásia 43,608 
 
 África 30,335 
 
 América do Norte 23,434 
 
 América do Sul 17,611 
 
 Antártida 13,340 
 
 Europa 10,498 
 
 Oceania 8,923 
 
 América Central 1,915 
Fonte: Atlas Mundial Folha de São Paulo 
 
 
3. Tabela Específica 
 
 
Exemplo: Distribuição da renda na Argentina (2010) 
 
 Classe % da renda 
 
 Pobres 8,2 
 
 Classe média baixa 18,7 
 
 Classe média alta 36,8 
 
 Ricos 36,3 
Fonte: Instituto Nacional de Estatística e Censo 
 
 
 14
 
 
4. Tabela Mista 
 
Exemplo: Área e produção agrícola no Brasil (2009) 
 
 Classe Área Produção 
 
 Norte 3,858 2,2 
 
 Nordeste 1,549 6,8 
 
 Centro-Oeste 1,602 20,0 
 
 Sul/Sudeste 1,503 49,3 
Fonte: IBGE; em milhões de km² e de toneladas 
 
 
 
 
 
5. Tabelas de Dupla Entrada (tabulações cruzadas) 
 
 
Essa tabela contém duas variáveis com dados conjuntos, formando pares de dados. 
 
Exemplos 
 
a) A tabela abaixo apresenta as informações de se ter ou não planos de saúde (variável X) de um grupo de 48 
pessoas, cujas idades (variável Y) estão subdivididas por faixas etárias, em anos: 
 
 X / Y 16 a 25 26 a 35 36 a 45 46 a 55 TotalSim 4 7 4 8 23 
 Não 3 5 10 7 25 
 Total 7 12 14 15 48 
 
 
 
b) A tabela abaixo apresenta as informações sobre os salários (variável X), em reais, por hora, e o tempo de 
serviço (variável Y), em anos, de um grupo de funcionários de uma empresa: 
 
 X / Y < 5 5 | 10 10 |15 15 |20 ≥≥≥≥ 20 Total 
 < 5 32 20 7 2 1 62 
 5 | 10 17 30 25 14 5 91 
 10 | 15 4 7 13 9 7 40 
 ≥≥≥≥ 15 1 2 11 6 5 25 
 Total 54 59 56 31 18 218 
 
 
 
c) Acidentes ciclísticos registrados em determinada cidade, durante o ano de 2011: 
 
 Lesão na 
Cabeça 
Uso de Capacete 
Total 
 Sim Não 
 Sim 22 230 252 
 Não 131 442 573 
 Total 153 672 825 
 
 
 
d) A tabela abaixo mostra um levantamento feito por um hospital para investigar os indivíduos que foram ou não 
vítimas de infarto agudo do miocárdio e se têm ou não diabetes. 
 
 
Diabetes 
Infarto do Miocárdio 
Total 
 Sim Não 
 Sim 46 26 72 
 Não 95 121 216 
 Total 141 147 288 
 
 
 
e) Levantamento feito em uma plantação de tulipas (4 cores) para testar a qualidade das mudas: 
 
 
Resultados amostrais 
Cor 
Total 
 Branca Vermelha Amarela Roxa 
 Floresceram 180 140 70 65 455 
 Não floresceram 20 10 30 15 75 
 Total plantado 200 150 100 80 530 
 
 
 15
 
 
6. T A B E L A S D E F R E Q U Ê N C I A S 
 
 
 
 
 
Uma tabela de frequências relaciona classes (categorias) de valores, juntamente com contagens (ou 
frequências) do número de valores que se enquadram em cada classe. 
 
Na prática, em uma tabela de frequências o número de classes deve variar de 5 a 20. 
 
 
 
Exemplo 
 
 
A tabela abaixo nos dá os tempos, em anos, de trabalho dos funcionários em determinada empresa: 
 
 
Tempo Nº de funcionários 
0 a 5 18 
5 a 10 53 
10 a 15 158 
15 a 20 65 
20 a 25 37 
25 a 30 8 
 
 
 
 
 
Como construir uma tabela de frequências 
 
 
Exemplos 
 
 
❶ A distribuição abaixo fornece os pesos, em kg, de um grupo de 60 pessoas, aleatoriamente escolhidas. 
Fazer o tabulamento desses dados (isto é, construir uma tabela de frequências). 
 
 
39 43 45 50 50 53 54 55 58 59 61 61 63 63 63 64 66 
68 68 68 68 68 70 71 72 72 73 73 73 74 75 75 75 75 
75 76 77 77 78 78 78 79 80 81 81 82 82 82 83 84 84 
84 86 88 90 91 95 96 99 106 
 
 
Solução: Para se construir uma tabela de frequências, um dos procedimentos é feito da seguinte forma: 
 
 
 
1º passo: Determinação do número de classes (k). 
 
 
Como não utilizaremos uma quantidade muito grande de valores no nosso curso, vamos usar SOMENTE 
 
 
a seguinte fórmula prática: Nk = para determinarmos o número de classes de uma tabela de 
 
frequências. Assim, o número de classes, para um total de 60 valores (pesos das 60 pessoas), é: 
 
 
⇒== 746,760k k = 8 classes ▬► ATENÇÃO: FAZER O ARREDONDAMENTO NORMALMENTE 
 
 
 
 
Obs.: Há diversos métodos para se determinar o número de classes de uma tabela de frequências. 
 
 
Além da fórmula acima, destacamos: 
 
a) Regra de Sturges: Nk log3,31 ⋅+= , onde N é o número total de observações. 
 
 
 
b) No livro “The Grouping Data for Graphic Portrayal”, Truman L. Kelley, sugere a seguinte tabela: 
 
N 5 10 25 50 100 200 500 1000 
k 2 4 6 8 10 12 15 15 
 
 
 16
 
 
2º passo: Amplitude (ou intervalo) total (At): é a diferença entre o maior e o menor valor, isto é, 
 
At = 106 – 39 ⇒ At = 67 . 
 
 
 
3º passo: Intervalo de classe ( i ): 
 
375,8
8
67
==i → i = 9 kg ▬► ATENÇÃO: NÃO FAÇA O ARREDONDAMENTO; PEGUE SEMPRE 
O PRÓXIMO INTEIRO 
 
 
 
ATENÇÃO 
Como os pesos da tabela são números inteiros, devemos considerar SEMPRE o 
PRÓXIMO número inteiro, imediatamente superior a 8,375, mesmo que esse quociente tenha 
dado como resultado um número inteiro. 
 
Procedimento análogo deve ser utilizado quando a menor unidade considerada não for 
um número inteiro. 
 
 
 
No exemplo acima, o próximo número inteiro, superior a 8,375, é o 9, portanto, i = 9 , ou seja, NUNCA 
UTILIZE AQUI A REGRA DO ARREDONDAMENTO. 
 
 
 
 
4º passo: EXCESSO: 
 
 
Para encontrar o excesso, basta multiplicar o número de classes (k = 8) pelo intervalo de classe (i = 9) e 
subtrair a amplitude total (At = 67) para encontrar o excesso que aparecerá na construção dos limites das classes 
da tabela de frequências, isto é, 
 
 8 x 9 – 67 = 72 – 67 = 5 
 
 
 
ou seja, temos um excesso de 5 unidades, o qual deve ser repartido entre os dois extremos da distribuição, ou 
seja, o primeiro limite inferior das classes iniciará com 37 (2 unidades antes do 39, que é o menor valor da 
distribuição) e o último limite superior terminará com 109 (ou seja, 3 unidades após 106, que é o maior valor da 
distribuição). 
 
 
 
5º passo: Construir a tabela de frequências dos pesos dessas 60 pessoas: 
 
 L f 
onde, 
 37 |||| 46 3 
 46 |||| 55 4 L = limites das classes: inferior (à esquerda) e 
superior (à direita) 
 55 |||| 64 8 
 64 |||| 73 11 
 73 |||| 82 19 f = frequências absolutas das classes, isto é, 
quantidade de pessoas em cada uma das 
faixas de pesos 
 82 |||| 91 10 
 91 |||| 100 4 
 100 |||| 109 1 
 N = 60 N = número total de pessoas 
 
 
 17
 
 
Observações: 
 
 
1) O símbolo |||| no intervalo 64 |||| 73 da tabela acima indica que a contagem das pessoas de 64 a 73 kg 
inclui as de 64 kg e exclui as de 73 kg. 
 
2) Em todas as tabelas de frequências que desenvolveremos em nossas aplicações utilizaremos esse tipo de 
intervalo ( |||| ), por ser o mais prático e mais utilizado. 
 
3) Os outros três tipos de intervalos utilizados nas tabelas de frequências são: 
 
a) Intervalo fechado em ambas as extremidades, isto é, fechado à esquerda e fechado à direita ( |||||||| ): inclui os 
valores que aparecem em cada um dos extremos. 
 
 
Exemplos 
 
 
 L f ou L f ou L f 
 37 |||||||| 45 3 37 |||||||| 45,5 3 36,5 |||||||| 45,5 3 
 46 |||||||| 54 4 46 |||||||| 54,5 4 45,5 |||||||| 54,5 4 
 55 |||||||| 63 8 55 |||||||| 63,5 8 54,5 |||||||| 63,5 8 
 64 |||||||| 72 11 64 |||||||| 72,5 11 63,5 |||||||| 72,5 11 
 73 |||||||| 81 19 73 |||||||| 81,5 19 72,5 |||||||| 81,5 19 
 82 |||||||| 90 10 82 |||||||| 90,5 10 81,5 |||||||| 90,5 10 
 91 |||||||| 99 4 91 |||||||| 99,5 4 90,5 |||||||| 99,5 4 
 100 |||||||| 108 1 100 |||||||| 108,5 1 99,5 |||||||| 108,5 1 
 
 
 
b) Intervalo aberto em ambas as extremidades (  ): exclui os valores que aparecem em cada um dos 
extremos. 
 
Exemplo: L f 
 36,5 
 
45,5 3 
 45,5  54,5 4 
 54,5 
 
63,5 8 
 63,5  72,5 11 
 72,5  81,5 19 
 81,5  90,5 10 
 90,5 
 
99,5 4 
 99,5  108,5 1 
 
 
 
c) Intervalo aberto à esquerda e fechado à direita ( |||| ): exclui o valor da esquerda e inclui o valor da direita (é 
semelhante ao que utilizaremos em todas as nossas aplicações). 
 
Exemplo: L f 
 36 
|||| 45 3 
 45 
|||| 54 4 
 54 
|||| 63 8 
 63 
|||| 72 11 
 72 
|||| 81 19 
 81 
|||| 90 10 
 90 
|||| 99 4 
 99 
|||| 108 1 
 
 
 18
 
 
❷ A distribuição abaixo nos dá o tempo, em minutos, que 55 alunos aleatoriamente selecionados gastaram 
para desenvolver certa experiência em um laboratório. Fazer o tabulamento desses dados (isto é, construir 
 
uma tabela de frequências). 
 
 
20 23 25 27 27 28 28 28 30 31 31 32 32 32 33 
 
34 35 36 36 3636 37 37 37 38 38 38 39 40 40 
 
41 41 41 41 41 41 42 43 45 45 45 46 48 48 48 
 
48 49 49 50 52 52 54 55 56 60 
 
 
Solução: 
 
 
Número de classes: 416,755 ==k
 
⇒ k = 7 classes. 
 
 
Amplitude total: At = 60 – 20 ⇒ At = 40 . min 
 
Intervalo de classe: 714,5
7
40
==i → i = 6 . min 
Excesso: 7⋅⋅⋅⋅6 – 40 = 42 – 40 = 2 unidades, ou seja, o 1º limite inferior das classes iniciará com 19 (ou seja, 1 
unidade antes do 20) e o último limite superior terminará com 61 (ou seja, 1 unidade após o 60). 
 
 
A tabela de frequências dos tempos para a realização dessa experiência pelos 55 alunos é: 
 
 
 
 L f 
 19 |||| 25 2 
 25 |||| 31 7 
 31 |||| 37 12 
 37 |||| 43 16 
 43 |||| 49 9 
 49 |||| 55 6 
 55 |||| 61 3 
 
 N = 55 
❸ A distribuição abaixo nos dá o tempo, em segundos, que 80 computadores aleatoriamente escolhidos 
gastaram desde que foram ligados até estarem prontos para uso. Fazer o tabulamento desses dados. 
 
79 83 65 79 84 80 85 100 75 85 83 85 79 61 93 85 
89 79 75 122 73 79 90 81 50 87 79 70 79 84 78 77 
74 96 85 79 86 86 68 79 86 83 95 71 92 40 89 100 
91 85 136 83 85 55 118 48 91 60 76 46 99 79 103 63 
60 87 72 100 96 73 78 84 85 89 80 125 85 83 85 90 
 
Solução: 
 
Número de classes: 94,880 ==k
 
⇒ k = 9 classes 
 
Amplitude total: At = 136 – 40 ⇒ At = 96 segundos 
Intervalo de classe: 667,10
9
96
==i
 
→ i = 11 segundos 
Excesso: 9⋅⋅⋅⋅11 – 96 = 99 – 96 = 3 unidades, ou seja, o 1º limite inferior das classes será igual a 39 (uma unidade 
antes do menor valor: 40) e o último limite superior será 138 (duas unidades após o maior valor: 136). 
 
Tabela de frequências: 
 
 RESPOSTA: 
 L Contagem (para obter as frequências absolutas): L f 
39 |||| 50 ||| 39 |||| 50 3 
50 |||| 61 |||| 50 |||| 61 4 
61 |||| 72 ||||| | 61 |||| 72 6 
72 |||| 83 ||||| ||||| ||||| ||||| ||| 72 |||| 83 23 
83 |||| 94 ||||| ||||| ||||| ||||| ||||| ||||| || 83 |||| 94 32 
94 |||| 105 ||||| ||| 94 |||| 105 8 
105 |||| 116 105 |||| 116 0 
116 |||| 127 ||| 116 |||| 127 3 
127 |||| 138 | 127 |||| 138 1 
 
 
 N = 80 
 
 
 19
 
 
E X E R C Í C I O S (tabelas de frequências) 
 
 
 
Dadas as distribuições abaixo, fazer o tabulamento dos dados (isto é, construir uma tabela de 
frequências): 
 
1) Consumo de energia elétrica, em kWh, que 63 residências aleatoriamente selecionadas em um bairro 
de baixa renda de determinada localidade gastaram durante o mês passado: 
 60 62 65 65 66 68 70 70 72 73 74 74 74 75 76 77 77 77 
 80 80 81 81 81 81 83 85 86 86 86 87 87 88 89 89 89 89 
 89 90 90 91 91 91 91 91 93 93 95 96 96 98 98 100 101 101 
 102 103 103 105 107 108 110 111 113 
 
 
Solução: 
 
Número de classes (k): Tabela de frequências: 
 
 
 
 
 
 L f 
Amplitude: |||| 
 
 
 |||| 
Intervalo de classe (i): |||| 
 
 
 |||| 
 
 
 |||| 
Excesso: |||| 
 
 
 |||| 
1º intervalo de classe: Começar com ______ |||| 
Último intervalo de classe: Terminar com ______ N = 
 
 
 
 
 
 
2) Força de ruptura, em libras, por polegada quadrada, para uma amostra de 70 garrafas descartáveis 
de refrigerante, de 300 ml cada: 
 53 55 58 60 60 62 65 66 68 68 68 69 70 70 72 73 
 73 75 76 76 76 78 78 78 78 79 80 80 80 80 80 80 
 80 81 81 83 83 84 84 84 85 85 86 86 86 88 90 93 
 93 95 95 97 98 98 100 106 106 107 109 109 112 115 116 116 
 118 120 121 121 124 126 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 20
 
 
3) Número de chamadas telefônicas recebidas, por hora, em uma central de atendimento, para uma 
amostra de 40 horas aleatoriamente escolhidas: 
 72 60 53 64 73 57 59 71 53 68 75 63 68 71 60 63 66 70 58 67 
 55 64 49 60 70 62 59 58 65 64 69 63 61 82 63 74 68 76 66 59 
 
Obs.: Veja a tabulação que foi feita no exemplo 3 (dos computadores), cujos dados estão fora de ordem (não 
precisa colocar os dados em ordem). 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
4) Quantidade diária de reclamações de clientes recebidas pelo setor de atendimento ao cliente de 
um fabricante de computadores, durante um período de 45 dias aleatoriamente escolhidos: 
 81 83 85 85 86 89 90 92 93 95 96 96 98 101 101 101 
 102 103 103 103 103 104 104 105 106 106 106 106 107 107 108 110 
 111 112 112 113 114 115 115 115 116 117 118 120 122 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 21
 
 
5) Número diário de peças defeituosas produzidas por certa máquina: 
 40 44 47 48 50 53 53 56 58 59 61 61 63 63 63 64 64 65 66 
 67 68 69 69 71 71 71 71 71 72 72 73 73 74 74 74 74 74 75 
 75 75 76 77 77 77 77 77 78 78 80 81 82 86 88 89 91 95 99 
 102 107 112 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
6) Idades, em anos, de um grupo de pessoas aleatoriamente escolhidas: 
 18 18 18 18 19 19 19 20 20 20 21 21 21 21 22 22 
 23 24 25 25 26 28 29 30 30 30 30 32 33 35 36 36 
 36 36 37 37 37 37 37 37 37 37 38 38 39 39 39 39 
 40 40 42 42 42 42 42 43 43 43 44 45 45 45 45 46 
 46 48 49 50 50 50 53 56 57 60 68 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 22
 
 
7) Número diário de clientes de um banco atendidos por determinado caixa, durante um período 
de 52 dias aleatoriamente escolhidos: 
 45 150 100 125 75 150 55 50 125 75 150 45 50 95 30 80 
 50 75 60 75 165 50 55 100 70 80 47 90 100 125 170 130 
 150 50 75 130 125 95 65 15 120 50 60 130 100 65 75 47 
 100 60 80 70 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
8) Salários, em reais, dos funcionários de determinada empresa: 
 350 390 460 470 480 500 500 500 520 570 600 630 650 650 
 650 650 660 680 680 700 700 700 700 700 730 730 750 750 
 780 800 810 820 840 840 850 880 900 920 930 930 940 940 
 950 950 950 950 970 980 980 980 980 980 1000 1000 1000 1000 
 1000 1000 1000 1000 1000 1000 1000 1020 1020 1020 1030 1030 1040 1050 
 1050 1050 1050 1050 1050 1050 1060 1070 1090 1100 1100 1100 1100 1100 
 1100 1100 1100 1100 1100 1100 11301130 1150 1150 1150 1180 1200 1210 
 1380 1400 1400 1440 1450 1490 1500 1790 
 
 Obs.: Considerar múltiplos de 10 para o intervalo de classe. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 23
 
 
9) Número de horas de uso do computador pessoal durante uma semana, por um grupo de pessoas: 
 0,7 1,0 1,2 1,5 2,1 2,5 2,6 3,0 3,1 3,1 3,3 3,4 3,5 3,5 3,6 3,7 
 3,7 3,9 3,9 4,0 4,1 4,1 4,1 4,2 4,3 4,4 4,7 4,8 5,4 5,6 5,7 5,7 
 5,7 5,9 5,9 6,1 6,1 6,1 6,7 6,8 7,2 7,6 8,8 9,2 9,5 10,3 10,4 10,8 
 11,1 12,1 12,9 13,7 14,9 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Respostas: 
 
1) L f 
 
2) L f 
 
3) L f 
 
4) L f 
 
5) L f 
59 | 66 4 50 | 60 3 48 | 54 3 81 | 87 5 36 | 46 2 
66 | 73 5 60 | 70 9 54 | 60 7 87 | 93 3 46 | 56 5 
73 | 80 9 70 | 80 14 60 | 66 13 93 | 99 5 56 | 66 11 
80 | 87 11 80 | 90 20 66 | 72 11 99 | 105 10 66 | 76 22 
87 | 94 17 90 | 100 8 72 | 78 5 105 | 111 9 76 | 86 11 
94 | 101 6 100 | 110 6 78 | 84 1 111 | 117 9 86 | 96 5 
101 | 108 7 110 | 120 5 117 | 123 4 96 | 106 2 
108 | 115 4 120 | 130 5 106 | 116 2 
 
 
6) L f 
 
7) L f 
 
8) L f 9) L 
 
 f 
16 | 22 14 12 | 35 2 320 | 470 3 0,5 | 2,6 6 
22 | 28 7 35 | 58 12 470 | 620 8 2,6 | 4,7 20 
28 | 34 8 58 | 81 16 620 | 770 17 4,7 | 6,8 13 
34 | 40 19 81 | 104 8 770 | 920 9 6,8 | 8,9 4 
40 | 46 15 104 | 127 5 920 | 1070 40 8,9 | 11,0 5 
46 | 52 7 127 | 150 3 1070 | 1220 21 11,0 | 13,1 3 
52 | 58 3 150 | 173 6 1220 | 1370 0 13,1 | 15,2 2 
58 | 64 1 1370 | 1520 7 
64 | 70 1 1520 | 1670 0 
 1670 | 1820 1 
 
 
 
 24
 
 
Frequências Relativas e Frequências Acumuladas 
 
 
 
 
 
E X E M P L O (frequências absolutas, relativas e acumuladas) 
 
 
 
Dada a tabela de frequências dos pesos de um grupo de 60 pessoas (1º exemplo de tabulamento): 
 
 
 
 L f 
 37 |||| 46 3 
 46 |||| 55 4 
 55 |||| 64 8 
 64 |||| 73 11 
 73 |||| 82 19 
 82 |||| 91 10 
 91 |||| 100 4 
 100 |||| 109 1 
 N = 60 
 
 
Determine: 
 
 
a) a frequência absoluta relativa de cada classe (fr); 
 
b) a frequência absoluta percentual de cada classe (fp); 
 
c) a frequência acumulada de cada classe (F); 
 
d) a frequência acumulada relativa de cada classe (Fr); 
 
e) a frequência acumulada percentual de cada classe (Fp). 
 
 
Solução: 
 
 
a) Para determinar a frequência absoluta relativa de cada classe (fr), basta dividir a frequência absoluta de 
cada classe pelo total das frequências absolutas dessas classes (N). 
 
 
a) Para determinar a frequência absoluta percentual de cada classe (fp), basta dividir a frequência absoluta de 
cada classe pelo total das frequências absolutas (N), e multiplicar cada resultado por 100. 
 
 
c) Para determinar a frequência acumulada de uma classe (F), basta somar a frequência absoluta dessa classe 
com as frequências absolutas das classes anteriores, ou somar a frequência absoluta dessa classe com a 
frequência acumulada da classe anterior. 
 
 
d) Para determinar a frequência acumulada relativa de uma classe (Fr), basta dividir a frequência acumulada 
dessa classe pelo total das frequências absolutas (N). 
 
 
e) Para determinar a frequência acumulada percentual de uma classe (Fp), basta dividir a frequência 
acumulada dessa classe pelo total das frequências absolutas (N), e multiplicar cada resultado por 100. 
 
 
A seguinte tabela nos dá os resultados pedidos: 
 a) b) c) d) e) 
 
 L f fr fp (%) F Fr Fp (%) 
 37 |||| 46 3 0,050 5,0 3 0,050 5,0 
 46 |||| 55 4 0,067 6,7 7 0,117 11,7 
 55 |||| 64 8 0,133 13,3 15 0,250 25,0 
 64 |||| 73 11 0,183 18,3 26 0,433 43,3 
 73 |||| 82 19 0,316 31,6 45 0,750 75,0 
 82 |||| 91 10 0,167 16,7 55 0,917 91,7 
 91 |||| 100 4 0,067 6,7 59 0,983 98,3 
 100 |||| 109 1 0,017 1,7 60 1,000 100% 
 
 N = 60 1,000 100,0 
 
 
 25
 
 
E X E R C Í C I O (frequências absolutas, relativas e acumuladas) 
 
 
 
 
A tabela de frequências abaixo corresponde às produções médias diárias de um grupo de operários durante 
certo período: 
 
 
 L f 
 50 |||| 60 3 
 60 |||| 70 9 
 70 |||| 80 14 
 80 |||| 90 20 
 90 |||| 100 8 
 100 |||| 110 6 
 110 |||| 120 5 
 120 |||| 130 5 
 
 N = 70 
 
 
Determine: 
 
 
a) a frequência absoluta relativa de cada classe (fr); 
 
b) a frequência absoluta percentual de cada classe (fp); 
 
c) a frequência acumulada de cada classe (F); 
 
d) a frequência acumulada relativa de cada classe (Fr); 
 
e) a frequência acumulada percentual de cada classe (Fp). 
 
 
 
Solução: 
 
 
 a) b) c) d) e) 
 L f fr fp (%) F Fr Fp (%) 
 50 |||| 60 3 
 60 |||| 70 9 
 70 |||| 80 14 
 80 |||| 90 20 
 90 |||| 100 8 
 100 |||| 110 6 
 110 |||| 120 5 
 120 |||| 130 5 
 
 N = 70 
 
 
 
 
 
 
 
Respostas: 
 
a) 0,043; 0,129; 0,200; 0,286; 0,114; 0,086; 0,071; 0,071 
 
b) 4,3; 12,9; 20,0; 28,6; 11,4; 8,6; 7,1; 7,1 
 
c) 3; 12; 26; 46; 54; 60; 65; 70 
 
d) 0,043; 0,171; 0,371; 0,657; 0,771; 0,857; 0,929; 1,000 
 
e) 4,3; 17,1; 37,1; 65,7; 77,1; 85,7; 92,9; 100,0 
 
 
 26
 
 
Representação Gráfica das Variáveis Qualitativas e Quantitativas 
 
 
 
Gráfico é a representação visual do fenômeno, em termos de sua evolução ou das relações entre as 
variáveis nele envolvidas. 
 
G r á f i c o d e C o l u n a s 
 
 
Exemplo: Construir o gráfico de colunas referente às quantidades de 5 tipos de veículos vendidos durante 
certo período, em uma grande cidade, conforme tabela abaixo: 
 
 Veículos Vendas 
 Corsa 550 
 Pálio 400 
 Uno 1.100 
 Gol 1.600 
 Fóx 750 
 
Solução: Vendas 
 
 
1600 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 1100 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 750 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 550 
 
 
 
 
 
 
 
 
 4000 
 CORSA PÁLIO UNO GOL FÓX 
 
 
 
 
 
 
 
Tipos de Veículos 
 
 
 
 
 
 
IMPORTANTE: A construção de um gráfico requer “prática” e “bom senso”. 
 
 
 
 
 
 
Gráfico de Colunas no EXCEL 
 
 
 
Exemplo: Considerando a mesma tabela anterior, construir o gráfico de colunas no EXCEL. 
 
 
 
 
 
Veículos Vendas 
Corsa 550 
Pálio 400 
Uno 1.100 
Gol 1.600 
Fóx 750 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
0
500
1000
1500
2000
Corsa Pálio Uno Gol Fóx
Vendas
 27
 
 
D i a g r a m a d e P a r e t o 
 
 
 
 
 
 
Um diagrama de Pareto é um gráfico em colunas para dados qualitativos, com colunas ordenadas de 
acordo com as frequências (absolutas ou relativas). 
 
 
Exemplo 
 
 
A tabela abaixo apresenta uma amostra de 150 componentes localizados incorretamente em um processo de 
montagem em eletrônica, pelos inspetores de qualidade, e as respectivas causas detectadas. Construir o gráfico 
de Pareto para esses dados. 
 
Legenda Causas Quantidade 
I Dimensões incorretas 41 
II Partes danificadas 32 
III Máquina 20 
IV Parte enferrujada 17 
V Fora de ordem 11 
VI Solda desalinhada 9 
VI Pintura danificada 8 
VI Parte errada produzida 4 
IX Pintura da base danificada 3 
X Porosidade na fundição 3 
XI Procedimento impróprio 2 
 
Total 150 
 
 
 
Solução: 
 
 
 
 
 
 
41 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
35 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
30 
 
 
 
 
 
 
 
25 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
20 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
15 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
10 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
5 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
0 
 
 I II III IV V VI VII VIII IX X XI 
 
 
 
 
 28
 
 
G R Á F I C O D E L I N H A S 
 
 
 
Exemplos 
 
 
Dadas as tabelas 1 e 2 abaixo, referentes às produções mensais, em milhares, de dois tipos diferentes de 
peças, construir um gráfico de linhas para cada tabela: 
 
 
 
TABELA 1 TABELA 2 
 
Mês Quantidade Mês Quantidade 
 
Jan 120 Jan 1040 
 
Fev 90 Fev 1060 
 
Mar 165 Mar 1020 
 
Abr 60 Abr 1100 
 
Mai 105 Mai 1140 
 
Jun 120 Jun 1220 
 
Jul 150 Jul 1160 
 
Ago 75 Ago 1180 
 
Set 30 Set 1080 
 
Out 120 Out 1060 
 
Nov 180 Nov 1120 
 
Dez 135 Dez 1100 
 
 
 
 
O gráfico de linhas para os dados da Tabela 1 é: 
 
 
 
 
 
 
 
E o gráfico de linhas para os dados da Tabela 2 é: 
 
 
 
 
 
 
 29
 
 
G r á f i c o d e B a r r a s 
 
 
 
Exemplo: Construir o gráfico de barras referente às quantidades de 4 tipos de revistas mais vendidas durante 
certo período em uma cidade, por uma distribuidora, conforme tabela abaixo: 
 
 
Revistas Quantidades 
 
VEJA 600 
 
ISTO É 2.000 
 
ÉPOCA 1.600 
 
GALILEU 3.000 
Solução: 
 
 Revistas 
 
 
 
 
 
VEJA 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
ISTO É 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 ÉPOCA 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 GALILEU 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 600 1.600 2.000 3.000 
 
 
 
 
 
Quantidades Vendidas 
 
 
 
 
G r á f i c o P i c t ó r i c o (Pictograma) 
 
 
Esses gráficos são construídos a partir de figuras. São gráficos muito comuns em jornais e revistas, e têm a 
finalidade de despertar a atenção das pessoas. 
 
 
Exemplo: Dada a tabela abaixo, referente às quantidades aproximadas de telefones instalados em todo o 
território nacional, construir um gráfico pictórico. 
 
Anos Nº de telefones fixos 
1975 10.000.000 
1980 20.000.000 
1985 40.000.000 
1990 70.000.000 
1995 80.000.000 
2000 100.000.000 
2005 130.000.000 
 
 
Solução: 
 
Anos Número de telefones fixos 
 
LEGENDA 
 
� = 10.000.000 
1975 � 
1980 �� 
1985 ���� 
1990 ������� 
1995 �������� 
2000 ���������� 
2005 ������������� 
 
 
 30
 
 
 
 
 
 
G r á f i c o d e S e t o r e s 
 
 
 
 
 
 
 
O gráfico de setores (disco, circular, pizza), é um diagrama de área. Consiste em repartir um círculo em 
setores circulares correspondentes às proporções de cada valor. 
 
 
 
 
Exemplo 
 
 
 
 
 
Construir o gráfico de setores referente aos gastos, em milhares de reais, com propaganda nos meios de 
comunicação de determinada empresa, conforme tabela abaixo: 
 
 
 
 
 
 Veiculação Valor 
 Televisão 500 
 Radio 160 
 Jornal 320 
 Outdoor 150 
 Internet 120 
 Outros 250 
 Total 1500 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Despesas com Propaganda
33%
11%
21%
10%
8%
17%
Televisão
Rádio
Jornal
Outdoor
Internet
Outros
 31
 
 
H i s t o g r a m a 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Um histograma é um diagrama de barras de uma distribuição de frequências. 
 
 
 
 
 
Exemplo 
 
 
 
 
A tabela abaixo apresenta o tempo, em minutos, gasto pelos vendedores de um centro comercial para 
atendimento de um grupo de clientes aleatoriamente escolhidos. Construir o histograma para os dados dessa 
tabela. 
 
 
 L f 
 10 |||| 20 2 
 20 |||| 30 10 
 30 |||| 40 13 
 40 |||| 50 16 
 50 |||| 60 6 
 60 |||| 70 8 
 70 |||| 80 3 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Histograma 
 
 
f 
 
 16 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 1310 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 8 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 6 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 3 
 
 
 
 
 
 
 
 
 2 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 0 
 
 
 L 
 
10 20 30 40 50 60 70 80 
 
 
 
 
 
 
 
 32
 
 
P o l í g o n o d e F r e q u ê n c i a s 
 
 
 
Um polígono de frequências é um gráfico de linha de uma distribuição de frequências. 
 
 
Exemplo: A tabela abaixo apresenta as idades, em anos, de um grupo de pessoas. Construir o polígono de 
frequências para os dados dessa tabela. 
 
 L f 
 9 |||| 15 7 
 15 |||| 21 10 
 21 |||| 27 11 
 27 |||| 33 28 
 33 |||| 39 23 
 39 |||| 45 15 
 45 |||| 51 10 
 
 
Solução: 
 L f x (pontos médios) 
 6 
 9 |||| 15 7 12 
 15 |||| 21 10 18 
 21 |||| 27 11 24 
 27 |||| 33 28 30 
 33 |||| 39 23 36 
 39 |||| 45 15 42 
 45 |||| 51 10 48 
 54 
 
 
 
 
 
 
0
4
8
12
16
20
24
28
0 6 12 18 24 30 36 42 48 54
Nº
 
de
 
pe
ss
o
as
Idades (anos)
Polígono de Frequências
 33
 
 
E X E R C Í C I O (gráficos) 
 
A tabela abaixo apresenta os tempos, em segundos, que uma máquina gastou para produzir cada conjunto 
de peças e as respectivas quantidades amostrais de conjuntos produzidos nesses tempos. 
 L f 
 28 |||| 30 14 
 30 |||| 32 25 
 32 |||| 34 32 
 34 |||| 36 57 
 36 |||| 38 41 
 38 |||| 40 19 
 40 |||| 42 8 
a) Construir o Histograma. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
b) Construir o Polígono de Frequências. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 34
 
 
M E D I D A S D E T E N D Ê N C I A C E N T R A L 
 
 
 
 
 
 
Estudaremos a seguir as três medidas de tendência central mais utilizadas em Estatística: a média, a 
mediana e a moda. 
 
 
 
M É D I A A R I T M É T I C A 
 
 
 
De um modo geral, a média aritmética é a mais importante de todas as mensurações numéricas descritivas. 
 
 
 
 
MÉDIA ARITMÉTICA SIMPLES (M) 
 
 
 
(é a média aritmética para DADOS NÃO TABULADOS ou DADOS NÃO AGRUPADOS) 
 
 
 
A média aritmética simples é dada por: 
 
 
n
xM Σ=
 
 
onde, 
 
∑ = símbolo do somatório (indica a soma das medidas x) 
 
x = medidas (ou observações) 
 
n = quantidade de medidas (ou observações) 
 
 
 
Exemplos 
 
 
1. Calcule a média aritmética simples das temperaturas máximas, em graus Celsius, registradas durante 6 dias 
consecutivos, em determinada localidade: 32, 18, 22, 27, 20 e 38. 
 
Solução: 
 
⇒==
+++++
=⇒
Σ
= K1666,26
6
157
6
382027221832M
n
xM CM o2,26= 
 
 
 
 
R E G R A D O A R R E D O N D A M E N T O 
 
 
 
 
Para as médias, deixar uma casa decimal a mais que os dados originais (exceto 
quando se tratar de valor monetário). 
 
Como no exemplo acima os dados originais são números inteiros, a média deverá ficar com 
uma casa decimal. 
 
 
 
 
 
2. Calcule a média aritmética simples dos pesos de 60 pessoas (1º exemplo de tabulamento dos dados): 
 
39 43 45 50 50 53 54 55 58 59 61 61 63 63 63 64 66 
68 68 68 68 68 70 71 72 72 73 73 73 74 75 75 75 75 
75 76 77 77 78 78 78 79 80 81 81 82 82 82 83 84 84 
84 86 88 90 91 95 96 99 106 
 
 
Solução: ⇒==⇒Σ= K6166,72
60
357.4M
n
xM 6,72=M
 
kg . 
 
 
 35
 
 
MÉDIA ARITMÉTICA PONDERADA 
 
 
 
 
 
A média aritmética ponderada é dada por: f
fXM
Σ
Σ
=
 ou N
fXM Σ=
 
 
onde, 
 
∑ = símbolo do somatório (indica a soma dos produtos de f por X) 
 
f = frequência da ocorrência de cada medida de X 
 
X = valor de cada medida verificada 
 
∑f = N = soma das frequências (total de medidas ou observações) 
 
 
 
 
Exemplos 
 
 
1. Determinada empresa possui três categorias de salários em seu quadro de 120 empregados, sendo que 30 
deles recebem R$ 1.000,00, 50 recebem R$ 1.300,00 e 40 recebem R$ 1.700,00. Determine o salário médio 
de todos esses empregados. 
Solução: 
 
 Empregados (f) Salários (X) f•X 
 30 1000,00 30000,00 
 50 1300,00 65000,00 
 40 1700,00 68000,00 
 ∑∑∑∑f = N = 120 
 
∑∑∑∑fX = 163000,00 
 
(total de empregados) (total pago a todos os empregados) 
 
 
 
405030
00,17004000,13005000,100030
++
⋅+⋅+⋅
=
Σ
=
N
fXM 
 
⇒==
++
= K333,1358
120
00,163000
120
00,6800000,6500000,30000M 33,1358=M , portanto, essa empresa 
paga um salário médio de R$ 1.358,33 por empregado (ou seja, cada empregado corresponde a um salário de R$ 
1.358,33 na folha de pagamento dessa empresa). 
 
 
 
2. A prova de um concurso público foi dividida em 5 partes (A, B, C, D e E), sendo que a Parte A tinha peso 2, a 
Parte B peso 1, a Parte C peso 5, a Parte D peso 4 e a Parte E peso 2. Um candidato obteve as seguintes 
notas, em uma escala de 0 a 100: Parte A: nota 64; Parte B: nota 71; Parte C: nota 34; Parte D: nota 57 e 
Parte E: nota 81. Calcule a sua média na prova desse concurso. 
(Obs.: Arredondar a média para milésimos) 
 
Solução: 
 
 Parte Pesos (f) Notas (X) f•X 
 A 2 64 128 
 B 1 71 71 
 C 5 34 170 
 D 4 57 228 
 E 2 81 162 
 ∑∑∑∑f= 14 ∑∑∑∑fX= 759 
 
 
 
K542142
14
759
14
16222817071128
24512
812574345711642
==
++++
=
++++
⋅+⋅+⋅+⋅+⋅
=M ⇒ M = 54,214 . 
 
 
 36
 
 
MÉDIA ARITMÉTICA PARA DADOS TABULADOS 
 
(é a média aritmética para tabelas de frequências) 
 
 
 
 
 
A média aritmética para dados tabulados é dada por: 
N
fxM Σ=
 
onde, 
 
∑ = símbolo do somatório (indica a soma dos produtos de f por x) 
 
f = frequências absolutas das classes 
 
x = pontos médios das classes (isto é, média aritmética dos limites inferior e superior de cada classe) 
 
N = número total de medidas (ou observações) 
 
 
 
Exemplo 
 
 
Determine a média aritmética para os dados da seguinte tabela (1º exemplo de tabulamento dos dados): 
 
 
 
Pontos médios das classes Multiplicar f por x 
 L f x f•x 
 37 | 46 3 (37 + 46)/2 = 41,5 3 • 41,5 = 124,5 
 46 | 55 4 (46 + 55)/2 = 50,5 4 • 50,5 = 202,0 
 55 | 64 8 (55 + 64)/2 = 59,5 8 • 59,5 = 476,0 
 64 | 73 11 (64 + 73)/2 = 68,5 11 • 68,5 = 753,5 
 73 | 82 19 (73 + 82)/2 = 77,5 19 • 77,5 = 1.472,5 
 82 | 91 10 (82 + 91)/2 = 86,5 10 • 86,5 = 865,0 
 91| 100 4 (91 + 100)/2 = 95,5 4 • 95,5 =382,0 
 100 | 109 1 (100 + 109)/2 = 104,5 1 • 104,5 = 104,5 
 N = 60 ∑fx = 4.380,0 
 
 
⇒=
Σ
=
60
0,380.4
N
fxM M = 73,0 kg . 
 
 
 
Obs.: Os pontos médios das classes podem ser determinados das seguintes formas: 
 
 
1ª) Somar os limites inferior e superior de cada classe e dividir por 2, como mostra a tabela abaixo. 
 
 
2ª) Após a determinação do primeiro ponto médio (que é a média aritmética dos limites inferior e superior da 
primeira classe), somando-se o intervalo de classe a esse primeiro ponto médio encontramos o segundo 
ponto médio. O terceiro ponto médio é obtido pela soma do segundo ponto médio com o intervalo de classe. 
Os demais pontos médios são encontrados da mesma forma, como mostra a tabela abaixo. 
 
 
3ª) Basta somar a metade do valor do intervalo com o limite inferior de cada classe, como mostra a tabela 
abaixo. 
 
 
Limites das classes Formas de se determinar os pontos médios das classes: 
 L 1ª forma: 2ª forma: 3ª forma: 
 37 | 46 (37 + 46)/2 = 41,5 (37 + 46)/2 = 41,5 37 + 4,5 = 41,5 
 46 | 55 (46 + 55)/2 = 50,5 41,5 + 9 = 50,5 46 + 4,5 = 50,5 
 55 | 64 (55 + 64)/2 = 59,5 50,5 + 9 = 59,5 55 + 4,5 = 59,5 
 64 | 73 (64 + 73)/2 = 68,5 59,5 + 9 = 68,5 64 + 4,5 = 68,5 
 73 | 82 (73 + 82)/2 = 77,5 68,5 + 9 = 77,5 73 + 4,5 = 77,5 
 82 | 91 (82 + 91)/2 = 86,5 77,5 + 9 = 86,5 82 + 4,5 = 86,5 
 91 | 100 (91 + 100)/2 = 95,5 86,5 + 9 = 95,5 91 + 4,5 = 95,5 
 100 | 109 (100 + 109)/2 = 104,5 95,5 + 9 = 104,5 100 + 4,5 = 104,5 
 
 
 37
 
 
E X E R C Í C I O S (média aritmética) 
 
 
 
 
 
 
1. Calcule a média aritmética simples (isto é, média aritmética para dados não tabulados) dos seguintes 
tempos, em segundos, para carga de um aplicativo, num sistema compartilhado, em 70 observações: 
 
 53 55 58 60 60 62 65 66 68 68 68 69 70 70 72 73 
 73 75 76 76 76 78 78 78 78 79 80 80 80 80 80 80 
 80 81 81 83 83 84 84 84 85 85 86 86 86 88 90 93 
 93 95 95 97 98 98 100 106 106 107 109 109 112 115 116 116 
 118 120 121 121 124 126 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
2. Durante 7 meses consecutivos, foram registradas as seguintes quantidades máximas de chuva, me mm, em 
determinada região: 63,2; 49,6; 72,9; 87,3; 58,0; 58,3 e 75,1. Calcule a média aritmética simples 
dessas quantidades: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
3. A tabela abaixo nos dá o número peças produzidas, por operário, num certo período e o respectivo número de 
operários que produziram cada uma dessas quantidades. Calcule a quantidade média de peças produzidas 
pelos operários nesse período. 
 
 Operários Peças 
 5 21 
 
 
 2 22 
 7 25 
 2 28 
 4 30 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 38
 
 
4. Calcule a média aritmética ponderada das notas obtidas por um aluno em três provas, sabendo que os 
pesos 3, 2 e 5 e respectivas notas foram 68, 37 e 83. 
 
 Prova Pesos Notas 
 A 3 68 
 
 
 B 2 37 
 C 5 83 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
5. O Departamento de Água de certa cidade utiliza a tabela abaixo para calcular progressivamente o valor que 
deverá ser pago, de acordo com cada faixa de consumo da água (por exemplo, se uma pessoa consumir 15 
m³, deverá pagar um total de R$ 35,00, correspondente a 10 m³ a R$ 2,00 cada m³ e 5 m³ a R$ 3,00 cada m³): 
 
 
Consumo 
(em m³) 
Tarifa (em 
reais, por m³) 
 Até 10 2,00 
 De 11 a 20 3,00 
 De 21 a 30 5,00 
 De 31 a 50 6,00 
 Acima de 50 7,00 
 
 
 
a) Quatro pessoas (Antonio, Benedito, Carlos e Débora) compareceram ao escritório do Departamento de Água e 
disseram que o valor cobrado na sua fatura do mês anterior não estava correto. Se os consumos e respectivos 
valores constantes nas faturas foram: 
Antonio: 25 m³ – R$ 75,00 
Benedito: 58 m³ – R$ 276,00 
Carlos: 42 m³ – R$ 182,00 
Débora: 17 m³ – R$ 41,00 
Verifique se o valor que cada um terá que pagar está correto. 
Solução: 
 
Antonio: ____________________________________________________________________ 
 
 
 
Benedito: ___________________________________________________________________ 
 
 
 
Carlos: _____________________________________________________________________ 
 
 
 
Débora: ____________________________________________________________________ 
 
 
 
 
Resposta: 
 
 
 39
 
 
b) Na residência de Edson, foram consumidas mensalmente, nos últimos seis meses, as seguintes quantidades 
de água, em m³: 38, 71, 14, 29, 43 e 56. Calcule o preço médio, por m³, pago nesse período. 
 
 
Solução: 
 
 
 
Valor pago no 1º mês:___________________________________________________________________ 
 
 
 
 
Valor pago no 2º mês:___________________________________________________________________ 
 
 
 
 
Valor pago no 3º mês:___________________________________________________________________ 
 
 
 
 
Valor pago no 4º mês:___________________________________________________________________ 
 
 
 
 
Valor pago no 5º mês:___________________________________________________________________ 
 
 
 
 
Valor pago no 6º mês:___________________________________________________________________ 
 
 
 
 
Valor total pago nos 6 meses:__________________________________________ 
 
 
 
 
 
 
Quantidade de água consumida nesses 6 meses:________________________________________ 
 
 
 
Preço médio pago, por m³, nesses 6 meses: M = 
 
 
 
Resposta: 
 
 
 
 
6. A tabela abaixo apresenta as distâncias e respectivas velocidades desenvolvidas por um motorista com seu 
veículo, em cada um dos quatro trechos de uma viagem de 1.000 km: 
 
 
 TRECHOS A B C D 
 Distância percorrida (km) 200 100 400 300 
 Velocidade (km/h) 80 70 60 50 
 
Calcular: 
 
 
a) O tempo aproximado gasto para percorrer cada um desses trechos. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
b) O tempo total gasto para realizar essa viagem. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
c) A velocidade média desse automóvel nessa viagem. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 40
 
 
7. A tabela abaixo apresenta alturas, em cm, de um grupo de pessoas. Calcule a média aritmética dessas 
alturas. 
 L f 
 145 | 155 6 
 155 | 165 11 
 165 | 175 36 
 175 | 185 30 
 185 | 195 19 
 195 | 205 4 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
8. A tabela abaixo apresenta as idades, em anos, de um grupo de pessoas. Calcule a média aritmética dessas 
idades. 
 L f 
 16 | 21 14 
 21 | 26 7 
 26 | 31 8 
 31 | 36 19 
 36 | 41 15 
 41 | 46 7 
 46 | 51 3 
 51 | 56 1 
 56 | 61 1 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Respostas: 
1. 4,86
70
045.6
==M 
5. a) Carlos – Valor correto: a) 00,17200,61200,51000,31000,210 =⋅+⋅+⋅+⋅ 
5. b) 31,4
251
082.1
251
2621789532367148
==
+++++
=M 
2. 34,66
7
4,464
==M 6. a) A: 2,5 h; B: 1,429 h; C: 6,667 h; D: 6 h; b) 16,596 h; c) M= 1.000 = 60,26 km/h 
16,596 
3. 0,25
20
500
==M 7. 4,175
106
590.18
==M 
4. 3,69
10
693
==M 8. 4,32
75
5,427.2
==M 
 
 
 41
 
 
M E D I A N A ( Md ) 
 
 
 
A mediana ( Md ) é uma medida que se localiza no centro da distribuição. Os dados da distribuição devem 
estar sempre em ordem crescente ou decrescente. 
 
 
 
MEDIANA PARA DADOS NÃO TABULADOS 
 
 
A posição da mediana em uma distribuição é dada por: 
2
1+n
 
Temos dois casos: 
 
 
 
1º caso: Quantidade ÍMPAR de valores: a mediana se localiza exatamente no meio da distribuição. 
 
 
 
Exemplos 
 
1. Determine a mediana para das seguintes idades, em anos: 26, 28, 28, 29, 32, 34 , 37, 37, 40, 43, 47. 
Solução: Como a posição da mediana nessa distribuição é: 6
2
111
2
1
=
+
=
+n
, então a mediana é o 6º valor dessa 
distribuição, e que corresponde a Md = 34 anos . 
 
 
2. Determine a mediana para as seguintes notas de um grupo de alunos, obtida em um certo teste: 
57, 48, 33, 86, 39, 75, 29, 44 e 49. 
 
Solução: Ordenando essas notas, obtemos: 29, 33, 39, 44, 48 , 49, 57, 75, 86. 
Como a posição da mediana nessa distribuição é: 5
2
19
2
1
=
+
=
+n
, então a mediana é o 5º valor dessa 
distribuição, e que corresponde a Md = 48 , ou seja, a mediana das notas desses alunos é igual a 48 pontos. 
 
 
 
3. Determine a mediana para os 55 valores do 2º exemplo de tabulamento: 
 
 20 23 25 27 27 28 28 28 30 31 31 32 32 32 33 
 34 35 36 36 36 36 37 37 37 38 38 38 39 40 40 
 41 41 41 41 41 41 42 43 45 45 45 46 48 48 48 
 48 49 49 50 52 52 54 55 56 60 
Solução: Como a posição da mediana nessa distribuição é: 28
2
155
2
1
=
+
=
+n
, então a mediana é o 28º valor 
dessa distribuição, e que corresponde a Md = 39 min . 
 
 
 
 
 
2º caso: Quantidade PAR de valores: neste caso, consideramos um valor intermediário aos dois valores 
centrais. 
 
 
Exemplos 
 
 
1. Determine a mediana para as seguintes medidas: 28, 35, 38, 40, 42 , 43 , 46, 50, 50, 58. 
 
Solução: Como a posição da mediana nessa distribuição é: 5,5
2
110
2
1
=
+
=
+n
, então a mediana está entre o 
5º valor (que é o 42) e o 6º valor (que é o 43), ou seja, a mediana é Md = 42,5 (é a média aritmética desses dois 
 
valores). Portanto, o peso mediano desse grupo de pessoas é 42,5 kg. 
 
 
 
2. Determine a mediana para os dados do 1º exemplo de tabulamento: 
 
39 43 45 50 50 53 54 55 58 59 61 61 63 63 63 64 66 
68 68 68 68 68 70 71 72 72 73 73 73 74 75 75 75 75 
75 76 77 77 78 78 78 79 80 81 81 82 82 82 83 84 84 
84 86 88 90 91 95 96 99 106 
Solução: Como a posição da mediana nessa distribuição é: 5,30
2
160
2
1
=
+
=
+n
, então a mediana está entre o 
30º valor (que é o 74) e o 31º valor (que é o 75), logo a mediana é: Md = 74,5 kg . 
 
 
 42
 
 
E X E R C Í C I O S (mediana para dados não tabulados) 
 
 
 
 
 
Determine a mediana para as seguintes medidas: 
 
1. Pesos, em kg: 37, 40, 40, 42, 45, 45, 45, 48, 49, 52, 55, 55, 59, 60 e 64. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
2. Idades, em anos: 11, 13, 13, 13, 15, 17, 18, 18, 18, 20, 25 e 30. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
3. Número diário de clientes atendidos em uma empresa: 26, 15, 37, 12, 45, 34, 52, 29 e 18. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
4. Dada a distribuição abaixo, referente aos pesos, em kg, de um grupo de 63 pessoas, Determine o peso 
mediano dessas pessoas. 
 60 62 65 65 66 68 70 70 72 73 74 74 74 75 76 77 77 77 
 80 80 81 81 81 81 83 85 86 86 86 87 87 88 89 89 89 89 
 89 90 90 91 91 91 91 91 93 93 95 96 96 98 98 100 101 101 
 102 103 103 105 107 108 110 111 113 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
5. Dada a distribuição abaixo, referente ao número diário de peças defeituosas produzidas por certa máquina, 
durante um período de 70 dias. Determine a mediana desses dados. 
 53 55 58 60 60 62 65 66 68 68 68 69 70 70 72 73 
 73 75 76 76 76 78 78 78 78 79 80 80 80 80 80 80 
 80 81 81 83 83 84 84 84 85 85 86 86 86 88 90 93 
 93 95 95 97 98 98 100 106 106 107 109 109 112 115 116 116 
 118 120 121 121 124 126 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Respostas: 1) Md = 48; 2) Md = 17,5; 3) Md = 29; 4) Md = 88; 5) Md = 82 
 
 
 43
 
 
MEDIANA PARA DADOS TABULADOS 
 
 
 
 
 
 
 
A mediana para dados tabulados é dada por: 
 
 
 
 












−
⋅+=
med
ant
d f
FN
ilM 2inf 
 
 
onde, 
 
 
 
25
2
50
2
==
N
 (lembre-se de que a mediana se localiza no meio de uma distribuição, isto é, considera 
a metade dos dados da distribuição para o seu cálculo) 
 
 
i é o intervalo de classe 
 
 
linf é o limite inferior da classe da mediana 
 
 
fmed é a frequência absoluta da classe da mediana 
 
 
Fant é a frequência acumulada da classe anterior a da mediana 
 
 
 
 
 
 
 
 
Exemplo 
 
 
 
 
A tabela a seguir apresenta os pesos, em kg, de um grupo de 50 pessoas. Determine a mediana para esses 
dados. 
 
 
 L f 
 40 | 50 1 
 50 | 60 3 
 60 | 70 5 
 70 | 80 20 
 80 | 90 11 
 90 | 100 8 
 100 | 110 2 
 N = 50 
 
 
Solução: 
 
 
 
Um modo prático de encontrar os dados para substituir na fórmula e encontrar o valor da mediana é dado 
como segue: 
 
 
 
 
1º passo: 
 
 
Determinar a coluna das frequências acumuladas F. 
 
 
 
 
2º passo: 
 
 
Calcular 
2
N
 (que é a metade dos dados), isto é, 
2
50
2
=
N ⇒ 25
2
=
N
 
 
 
 44
 
 
3º passo (é o mais importante): 
 
 
Encontrar a classe da mediana. Basta percorrer a coluna F (das frequências acumuladas), a partir da 
primeira linha, até encontrar o primeiro valor nessa coluna que seja maior ou igual a 25
2
=
N
, e que é o 29, e que 
se encontra na 4ª linha, isto é, a mediana se localiza na 4ª classe, ou seja, o peso mediano procurado está 
compreendido entre 70 e 80 kg. 
 
 
4º passo: Assinalar na tabela os valores de: infl , medf e antF . 
 
 L f F 
 40 | 50 1 1 
 50 | 60 3 4 
 60 | 70 5 antF = 9 
infl = 70 | 80 medf = 20 29 ←←←←(linha da classe da mediana) 
 80 | 90 11 40 
 90 | 100 8 48 
 100 | 110 2 50 
 N = 50 
 
 
5º passo: Encontrar o valor de i (intervalo de classe), que é 10=i . 
 
 
 
6º passo (último): Substituir os valores encontrados na fórmula da mediana e calcular o seu valor. 
 
⇒+=+=⋅+=












−
⋅+=⇒












−
⋅+= 0,870
20
16070
20
161070
20
9
2
50
10702inf d
m
ant
d Mf
FN
ilM
 
 Md = 78,0 kg . 
 
ou seja, o peso mediano desse grupo de pessoas é de 78,0 kg. 
 
 
 
E X E R C Í C I O S (mediana para dados tabulados) 
 
 
 
1. Calcule a mediana para a seguinte tabela (1º exemplo de tabulamento dos dados): 
 
 L f 
 37 | 46 3 
 46 | 55 4 
 55 | 64 8 
 64 | 73 11 
 73 | 82 19 
 82 | 91 10 
 91 | 100 4 
 100 | 109 1 
 
 N = 60 
 
 
 45
 
 
2. Calcule a mediana para a seguinte tabela (2º exemplo de tabulamento dos dados): 
 Lf 
 19 | 25 2 
 25 | 31 7 
 31 | 37 12 
 37 | 43 16 
 43 | 49 6 
 49 | 55 8 
 55 | 61 4 
 
 N = 55 
 
 
 
 
 
 
 
3. Calcule a mediana para as estaturas, em cm, de um grupo de pessoas, conforme tabela abaixo: 
 L f 
 145 | 155 6 
 155 | 165 11 
 165 | 175 36 
 175 | 185 30 
 185 | 195 19 
 195 | 205 4 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
4. Calcule a mediana para a tabela abaixo, correspondente aos tempos, em meses, de vida útil dos tubos de 
imagem dos monitores de computadores de determinada marca e modelo. 
 L f 
 38 | 45 1 
 45 | 52 4 
 52 | 59 12 
 59 | 66 22 
 66 | 73 17 
 73 | 80 15 
 80 | 87 6 
 87 | 94 3 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Respostas: 
 
1) 9,7419
26
2
60
973 =












−
⋅+=dM
 
2) 4,3916
21
2
55
637 =












−
⋅+=dM
 
3) 17536
17
2
106
10165 =












−
⋅+=dM
 
4) 4,6617
39
2
80
766 =












−
⋅+=dM
 
 
 
 
 46
 
 
M O D A ( Mo ) 
 
 
 
 
 
A moda ( Mo ) de um conjunto de valores (moda para dados não tabulados) é o valor que mais se repete. 
A moda pode não existir e, mesmo que exista, pode não ser única. 
 
 
Exemplos: Determine a moda para cada um dos seguintes conjuntos de números: 
 
 
 
a) 3, 3, 6, 7, 11, 11, 11, 13, 14, 14, 17, 20.............................................. ▬► Resposta: Mo = 11 (unimodal) 
 
 
b) 6, 7, 11, 14, 15, 18, 19........................................................................ ▬► Resposta: Não tem moda (amodal) 
 
 
c) 9, 9, 9, 12, 12, 12, 14, 14, 14, 17, 17, 17, 22, 22, 22.......................... ▬► Resposta: Não tem moda (amodal) 
 
 
d) 5, 6, 8, 8, 8, 10, 10, 11, 11, 11, 15...................................................... ▬► Resposta: Mo = 8 e 11 (bimodal) 
 
 
e) Para os 60 valores do 5º exercício de tabulamento (número diário de peças defeituosas produzidas): 
 
 40 44 47 48 50 53 53 56 58 59 61 61 63 63 63 64 64 65 66 
 67 68 69 69 71 71 71 71 71 72 72 73 73 74 74 74 74 74 75 
 75 75 76 77 77 77 77 77 78 78 80 81 82 86 88 89 91 95 99 
 102 107 112 
 
 
Resposta: Mo = 71, 74 e 77 (trimodal, ou multimodal, ou plurimodal) 
 
 
 
 
 
 
 
 
E X E R C Í C I O (moda para dados não tabulados) 
 
 
 
 
Determinar a moda para os seguintes valores: 
 
a) 20, 22, 22, 25, 25, 25, 26, 28, 28, 30, 30, 30, 33, 34, 34 e 36 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
b) 35, 26, 17, 41, 26, 17, 30, 52, 35, 28, 26, 23 e 31 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
c) 19, 27, 38, 44, 12, 29, 37, 28, 30, 17 e 22 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
d) Para as 75 idades do 6º exercício de tabulamento: 
 18 18 18 18 19 19 19 20 20 20 21 21 21 21 22 22 
 23 24 25 25 26 28 29 30 30 30 30 32 33 35 36 36 
 36 36 37 37 37 37 37 37 37 37 38 38 39 39 39 39 
 40 40 42 42 42 42 42 43 43 43 44 45 45 45 45 46 
 46 48 49 50 50 50 53 56 57 60 68 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Respostas: a) Mo = 25 e 30 (bimodal); b) Mo = 26; c) Não tem moda; d) Mo = 37 
 
 
 47
 
 
MODA PARA DADOS TABULADOS 
 
 
Vimos que, quando os dados não estão tabulados, isto é não estão agrupados, é fácil identificar se a 
distribuição tem ou não um (ou mais valores) para representar a moda dessa distribuição. Após o agrupamento 
desses valores (tabulamento), só podemos recorrer a uma estimativa da moda, que pode ser: 
 
1ª estimativa: Moda de PEARSON 
 
É dada pela seguinte relação empírica: MMM do ⋅−⋅= 23 
onde, 
 
Md = mediana 
 
M = média aritmética 
 
Exemplo: Determine a moda de Pearson para a seguinte tabela (1º exemplo de tabulamento dos dados): 
 
 L f 
 37 | 46 3 
 46 | 55 4 
 55 | 64 8 
 64 | 73 11 
 73 | 82 19 
 82 | 91 10 
 91 | 100 4 
 100 | 109 1 
 N = 60 
 
Solução: Conforme calculado anteriormente para essa mesma tabela, a média aritmética é M = 73,0 (ver 
página 36) e a mediana é Md = 74,9 (ver página 44). 
 
Daí, Mo = 3·74,9 – 2·73,0 = 224,7 – 146,0, portanto, a moda de Pearson é: Mo = 78,7 . 
 
2ª estimativa: Moda de CZUBER (lê-se: “chúber”) 
 
A fórmula para encontrar a moda para dados tabulados pela 2ª estimativa é: 
 






∆+∆
∆
⋅+=
21
1
inf ilM o 
 
onde infl = limite inferior da classe modal (isto é, limite inferior da classe de maior frequência absoluta) 
i = intervalo de classe 
1∆ = diferença entre as frequências absolutas da classe modal e da anterior 
2∆ = diferença entre as frequências absolutas da classe modal e da posterior 
 
Exemplo: Determine a moda de Czuber para a seguinte tabela: 
 
 L f 
 37 | 46 3 
 46 | 55 4 
 55 | 64 8 
infl = 
64 | 73 11 
> 1∆ = 19 – 11 = 8 
 
73 | 82 19 
> 2∆ = 19 – 10 = 9 
 
82 | 91 10 
 91 | 100 4 
 100 | 109 1 
 N = 60 
2,772,473
98
8973
21
1
inf =+=





+
⋅+=





∆+∆
∆
⋅+= ilMo , portanto Mo = 77,2 . 
 
 
 48
 
 
3ª estimativa: Moda bruta 
 
É o ponto médio da classe de maior frequência absoluta. 
 
 
Exemplo: Determine a moda bruta para a seguinte tabela: 
 
 L f 
 37 | 46 3 
 46 | 55 4 
 55 | 64 8 
 64 | 73 11 
 73 | 82 19 
 82 | 91 10 
 91 | 100 4 
 100 | 109 1 
 N = 60 
 
 
Solução: Na tabela acima, a 5ª classe é a de maior frequência absoluta, e o seu ponto médio é: 
 
2
supinf llM o
+
=
 
5,77
2
155
2
8273
==
+
=⇒ oM , logo a moda bruta dessa tabela é: Mo = 77,5 . 
 
 
 
 
E X E R C Í C I O S (média, mediana e moda) 
 
 
1. A tabela abaixo apresenta o número de e-mails diários recebidos em um departamento: 
 
 L f 
 35 | 47 3 
 47 | 59 9 
 59 | 71 15 
 71 | 83 22 
 83 | 95 27 
 95 | 107 43 
 107 | 119 28 
 119 | 131 11 
Calcule: 
 
a) Média aritmética d) Moda de Czuber 
b) Mediana 
c) Moda de Pearson e) Moda bruta 
 
 
 49
 
 
2. A tabela abaixo apresenta os dados correspondentes às idades, em anos, de um grupo de pessoas: 
 
 
 L f 
 30 | 37 4 
 37 | 44 7 
 44 | 51 9 
 51 | 58 19 
 58 | 65 34 
 65 | 72 23 
 72 | 79 14 
 79 | 86 5 
 
 
Calcule: 
 
a) Média aritmética d) Moda de Czuber 
b) Mediana 
c) Moda de Pearson e) Moda bruta 
 
 
3. A tabela a seguir apresenta as quantidades diárias de clientes atendidos em certo departamento, durante 
determinado período: 
 
 L f 
 62 | 68 5 
 68 | 74 13 
 74 | 80 21 
 80 | 86 50 
 86 | 92 67 
 92 | 98 41 
 98 | 104 28 
 104 | 110 10 
 
 
 
 
 50
 
 
Calcule: 
 
a) Média aritmética d) Moda de Czuber 
b) Mediana 
c) Moda de Pearson e) Moda bruta 
 
____________________________________________________ 
 
Respostas: 
 
1. a) M = 92,1; b) Md = 95,8; c) Mo = 103,2; d) Mo = 101,2; e) Mo = 101 
2. a) M = 61,0; b) Md = 61,8; c) Mo = 63,4; d) Mo = 62,0; e) Mo = 61,5 
3. a) M = 88,4; b) Md = 88,6; c) Mo = 89,0; d) Mo = 88,4; e) Mo = 89 
 
 
 
 
 
Análise das medidas de tendência centralA média, mediana e moda pretendem representar todos os dados e tendem colocar-se no centro, mas são 
conceitualmente muito distintas: a média é de congregação, a mediana de separação e a moda é de 
repetição. 
 
Então, convém calcular todas em qualquer distribuição e depois indicar qual das três representa melhor o 
grupo, mas para isso precisamos criticá-las. 
 
 
 
Padrão para a crítica 
 
 
 
Uma medida de tendência central deve satisfazer às seguintes condições: 
1ª) ser concreta 
2ª) ser objetiva 
3ª) de fácil compreensão 
4ª) dependente de todos os dados 
5ª) independente de dados inconvenientes 
6ª) ser estável nas amostras 
7ª) com possibilidade de análise 
 
 
Como essas três medidas se comportam ante o padrão? 
a) A média satisfaz a todos os padrões acima, menos a 5ª condição, mas não por deficiência sua e sim da 
amostra. 
b) A mediana não satisfaz a 4ª condição e é deficiente na 6ª e na 7ª. 
c) A moda não satisfaz a 4ª e nem a 7ª, e é deficiente na 2ª e na 6ª. 
 
 
 51
 
 
S E P A R A T R I Z E S 
 
 
 
 
 
 
 
 
Separatriz (ou quantil) é a medida de posição que divide uma distribuição em partes iguais. 
 
Também se diz que a separatriz realiza um “corte” nos dados, que serve, entre outras coisas, para converter 
variáveis quantitativas em intervalares, classificar informações socioeconômicas (por exemplo, renda, 
lucratividade, endividamento etc.), estabelecer quantidades ou porcentagens de itens maiores ou menores que 
certo referencial etc. 
 
 
 
Das medidas de posição, destacamos, agora, as quatro separatrizes: 
 
 
 
(1) a mediana (já estudada), que divide uma distribuição em duas partes iguais, cada uma com 50% dos 
dados, como mostra o diagrama abaixo: 
 
 
 
 
 
A 
 50% 50% 
B 
 
 
 
 
Md 
 
 
 
 
 
 
(2) os 3 quartis, que dividem uma distribuição em quatro partes iguais, cada uma com 25% dos dados: 
 
 
 
 
 
A 
 25% 25% 25% 25% 
B 
 
 
 
 Q1 Q2 Q3 
 
 
 
 
 
(3) e os 9 decis, que dividem uma distribuição em dez partes iguais, cada uma com 10% dos dados: 
 
 
 
 
 
A 
10% 10% 10% 10% 10% 10% 10% 10% 10% 10% 
B 
 
 
 
 D1 D2 D3 D4 D5 D6 D7 D8 D9 
 
 
 
 
 
 
(4) e os 99 centis ou percentis, que dividem uma distribuição em cem partes iguais, cada uma com 1% dos 
dados: 
 
 
 
 
 
A 
1% 1% 1% . . . . . . . . . . . . 1% 1% 1% 
B 
 
 
 
 C1 C2 C3 C25 C50 C75 C97 C98 C99 
 
 
 
 
Observação: 
 
Note que: a) Md = Q2 = D5 = C50 (correspondem a 50% dos dados) 
 
b) Q1 = C25 (correspondem a 25% dos dados) 
 
c) Q3 = C75 (correspondem a 75% dos dados) 
 
 
 52
 
 
SEPARATRIZES PARA DADOS TABULADOS 
 
 
 
O processo para se calcular os 3 quartis, os 9 decis e os 99 centis (ou percentis) nas tabelas de frequências 
é o mesmo que o da mediana, diferenciando apenas nas partes proporcionais de N (número total de dados). 
 
 
Exemplo: A tabela a seguir apresenta o nível máximo de ruído ocasionado por determinado tipo de equipamento 
elétrico, verificado em uma amostra de 72 aparelhos que funcionaram durante certo período. 
 L f F 
 20 | 25 3 3 
 25 | 30 4 7 
 30 | 35 6 13 
 35 | 40 14 27 
 40 | 45 20 47 ← linha da classe da mediana 
 45 | 50 12 59 
 50 | 55 8 67 
 55 | 60 4 71 
 60 | 65 1 72 
Determine: N = 72 
a) Mediana ( Md ): 
 












−
⋅+=
med
ant
d f
FN
ilM 2inf 25,4225,24020
4540
20
9540
20
2736540
20
27
2
72
540 =⇒+=+=⋅+=




 −
⋅+=












−
⋅+=⇒ dd MM
 
b) 1º quartil (Q1): 79,3679,13514
2535
14
5535
14
1318535
14
1372
4
1
535 11 =⇒+=+=⋅+=




 −
⋅+=












−⋅
⋅+= QQ
 
Interpretação do resultado do 1º quartil: 25% dos aparelhos apresentaram um ruído correspondente a 36,79 
unidades ou menos. 
c) 3º quartil (Q3): 92,4792,24512
4754
.545
12
4772
4
3
545 33 =⇒+=
−
+=












−⋅
⋅+= QQ
 
d) 1º decil (D1): 17,3017,0306
72,7530
6
772
10
1
530 11 =⇒+=
−
⋅+=












−⋅
⋅+= DD
 
e) 2º decil (D2): 50,3550,03514
134,14535
14
1372
10
2
535 22 =⇒+=
−
⋅+=












−⋅
⋅+= DD
 
f) 9º decil (D9): 62,53625,3508
598,64550
8
5972
10
9
550 99 =⇒+=
−
⋅+=












−⋅
⋅+= DD
 
g) 17º centil (C17): 37,3437,4306
724,12530
6
772
100
17
530 1717 =⇒+=
−
⋅+=












−⋅
⋅+= CC
 
h) 59º centil (C59): 87,4387,34020
2748,42540
20
2772
100
59
540 5959 =⇒+=
−
⋅+=












−⋅
⋅+= CC
 
i) 4º centil (C4): 80,2480,4203
88,2520
3
072
100
4
520 44 =⇒+=⋅+=












−⋅
⋅+= CC
 
 
 
 53
 
 
E X E R C Í C I O S 
 
 
 
 
 
1. A tabela a seguir apresenta as idades, em anos, dos funcionários que foram atendidos no ambulatório médico 
de uma empresa durante certo período: 
 L f 
 20 | 25 5 
 25 | 30 12 
 30 | 35 26 
 35 | 40 32 
 40 | 45 49 
 45 | 50 17 
 50 | 55 10 
 55 | 60 4 
 60 | 65 1 
Determine: 
a) Mediana f) 9º decil 
b) 1º quartil g) 12º centil 
c) 3º quartil h) 83º centil 
d) 1º decil i) 94º centil 
e) 4º decil j) 1º centil 
 
 
 54
 
 
2. A tabela a seguir apresenta os pesos, em kg, de um grupo de funcionários: 
 
 L f 
 39 | 46 5 
 46 | 53 11 
 53 | 60 23 
 60 | 67 47 
 67 | 74 34 
 74 | 81 18 
 81 | 88 14 
 88 | 95 8 
 
 
Determine: 
 
a) Mediana e) 8º decil 
b) 1º quartil f) 10º centil 
c) 3º quartil g) 21º centil 
d) 2º decil h) 92º centil 
 
 
 55
 
 
3. Um comerciante atacadista vende determinado produto em sacas, que deveriam conter 16,50 kg. A pesagem 
de uma amostra de 40 sacas revelou os resultados representados na seguinte tabela: 
 L f 
 14,55 | 15,05 1 
 15,05 | 15,55 3 
 15,55 | 16,05 8 
 16,05 | 16,55 9 
 16,55 | 17,05 10 
 17,05 | 17,55 6 
 17,55 | 18,05 3 
 
 
Determine: 
 
a) Média da distribuição e) O septuagésimo centil 
b) Mediana f) O terceiro decil 
c) Moda pela 1ª estimativa g) A porcentagem de unidades desse produto entre a 
mediana e o 75º centil 
d) Moda pela 2ª estimativa h) Intervalo total (Obs.: Ver página seguinte) 
 
 
 
 
 
Respostas: 
 
1. a) 40,3; b) 34,23; c) 44,29; d) 29,42; e) 38,03; f) 49,82; g) 30,33; h) 46,61; i) 52,82; j) 21,56 
2. a) 66,1; b) 60,15; c) 74,0; d) 57,87; e) 77,11; f) 53,0; g) 58,36; h) 85,60 
3. a) 16,475; b) 16,494; c) 16,532; d) 16,650; e) 16,900; f) 16,050; g) 25%; h) 3,50 
 
 
 56
 
 
M E D I D A S D E D I S P E R S Ã O O U V A R I A B I L I D A D E 
 
 
 
 
 
Observe as três situações seguintes: 
 
 
1ª) Notas de três alunos obtidas em cinco provas: 
 
Aluno A: 50, 50, 50, 50 e 50 
 
Aluno B: 45, 20, 75, 70 e 40 
 
Aluno C: 75,0, 15, 100 e 60 
 
 
A média das notas de cada um desses três alunos é igual a 50 pontos, mas nem por isso eles se parecem: 
enquanto que o aluno A é muito constante, e também um aluno regular no seu desempenho, o aluno C é muito 
diferente, pois consegue dominar completamente determinado assunto e desconhecer totalmente um outro 
assunto, e o aluno B tem um desempenho e conhecimento intermediário aos outros dois. 
 
 
2ª) Produção diária de peças de três operários durante cinco dias: 
 
Operário A: 60, 60, 60, 60 e 60 
 
Operário B: 55, 30, 85, 80 e 50 
 
Operário C: 85, 0, 20, 120 e 75 
 
 
A produção média diária de cada um desses três operários é igual a 60 peças, mas nem por isso eles se 
parecem: enquanto que o operário A é muito constante no seu desempenho, o operário C é totalmente 
imprevisível, pois em certo dia não apresenta nenhuma produção e num outro dia qualquer consegue produzir o 
dobro da média; e o operário B é um intermediário aos outros dois. 
 
 
3ª) Empacotamento de cinco caixas de bolachas (em gramas) embalados por três máquinas: 
 
Máquina A: 500, 500, 500, 500 e 500 
 
Máquina B: 520, 480, 470, 540 e 490 
 
Máquina C: 400, 530, 600, 420 e 550 
 
 
A quantidade média de bolachas colocadas nessas caixas é igual para todas as máquinas, porém a 
variabilidade nas quantidades empacotadas por elas é bem diferente. 
 
Analisando essas três situações, percebemos, claramente, que, somente a média (ou mesmo a mediana, ou 
a moda), é insuficiente para nos dizer algo a respeito dos valores obtidos. 
 
Precisamos, então, de uma nova medida que possa avaliar essas diferenças: trata-se das medidas de 
dispersão ou variabilidade que, dentre elas, destacamos: amplitude total, intervalo semiquartil, desvio 
médio e desvio padrão. 
 
A M P L I T U D E 
 
 
Amplitude (ou intervalo) total: é a diferença entre os valores extremos de uma distribuição. Para dados 
tabulados, é a diferença entre o maior limite superior e o menor limite inferior. 
 
 
 
I N T E R V A L O S E M I Q U A R T I L 
 
 
 
Intervalo semiquartil: é dado por: 
2
13 QQI S
−
= 
 
 
 
Obs.: Esta medida seria melhor que a amplitude total, pois não depende das medidas dos extremos, porém 
possui dois defeitos: a) não depende de todas as medidas (somente de duas); b) despreza 50% dos 
dados. 
 
 
 57
 
 
DESVIO MÉDIO e DESVIO PADRÃO (para dados NÃO tabulados) 
 
 
 
 
 
Desvio médio: é a média aritmética (simples) dos desvios absolutos das medidas (d) em relação à 
média aritmética (M) dessas medidas (x), isto é, 
n
d
D
Σ
=
 
 
onde 
 
Σ
 (é a letra grega sigma maiúscula) = símbolo do somatório 
 
x = medidas 
d = desvios ou afastamentos das medidas (x) em relação à média aritmética 
n
x
m
Σ
= , isto é, mxd −= 
│ │ = módulo ou valor absoluto 
 
n = total de dados 
 
 
Obs.: Embora o desvio médio seja uma medida de fácil compreensão, ele não é muito utilizado como medida de 
dispersão, pois envolve a desvantagem de ignorarmos o sinal dos afastamentos em relação à média 
aritmética, fato este que impede de usá-lo em fórmulas algébricas. Assim, preferimos outras medidas apresentam 
propriedades matemáticas mais interessantes, como, por exemplo, o desvio padrão. Uma das aplicações do 
desvio médio é o controle de inventários. 
 
 
 
Desvio padrão: é a média quadrática dos desvios das medidas em relação à média aritmética. 
 
 
Intuitivamente, o desvio padrão mede a variação entre valores, ou seja, mede a variabilidade da distribuição 
em relação à media. 
 
 
O desvio padrão é a medida de dispersão mais utilizada em Estatística, pois indica, de forma mais 
precisa, o grau de dispersão dos dados em torno da média. 
 
 
Desvio padrão populacional: Fórmulas: 
n
d 2Σ
=σ ou 
22





Σ
−
Σ
=
n
x
n
x
σ (são equivalentes) 
 
 
σ (é a letra grega sigma minúscula) = símbolo do desvio padrão populacional 
 
 
Desvio padrão amostral: Fórmulas: 
1
2
−
Σ
=
n
d
s
 ou )1(
)( 22
−
Σ−Σ
=
nn
xxn
s (são equivalentes) 
 
 
Observações: 
 
1ª) Como o desvio padrão amostral tende a ser maior que o desvio padrão populacional, BESSEL introduziu 
no cálculo do desvio padrão amostral o seguinte fator de correção na fórmula do desvio padrão 
populacional: 
1−n
n
 
2ª) Relação empírica entre o desvio médio e o desvio padrão: sD
5
4
= 
 
 
 
 
 
V A R I Â N C I A 
 
 
 
 
A variância das medidas x é o quadrado do desvio padrão dessas medidas. 
 
A variância populacional é dada por: 2σ=Var , e a variância amostral é dada por: 2sVar = . 
 
Assim, o desvio padrão é a raiz quadrada da variância. 
 
 
A variância tem grande aplicação quando estudamos as dispersões de duas distribuições, pois o desvio 
padrão (que utiliza a raiz quadrada) não tem a propriedade aditiva, pois a soma de raízes quadradas não é a raiz 
quadrada da soma. 
 
 
 58
 
 
Cálculo do Desvio Médio e do Desvio Padrão pelas FÓRMULAS 
 
 
 
 
 
E X E M P L O S (Desvio Médio e Desvio Padrão pelas FÓRMULAS) 
 
 
Uma amostra de funcionários de uma empresa, aleatoriamente escolhidos, apresentou as seguintes idades, 
em anos: 29, 28, 39, 56, 44 e 53. 
 
a) Calcule a média aritmética dessas idades. 
 
Solução: x LEMBRETE: 
 
 
Regra do Arredondamento para a 
MÉDIA: 
 
 
Deixar uma casa decimal a mais que 
os dados originais. 
 
 
 29 
 
 28 
 
 39 
 
 56 
 
 44 
 
 53 
 
 249 
 
⇒=⇒
Σ
=
6
249
m
n
x
m
 
 m = 41,5 anos . 
 
 
 
b) Calcule o desvio médio. 
 
Solução: x d = x – m І d І 
 
 
 
LEMBRETE: 
 
 
 
Regra do Arredondamento para o 
DESVIO MÉDIO: 
 
 
Deixar uma casa decimal a mais que 
os dados originais. 
 
 
 29 29 – 41,5 = –12,5 12,5 
 
 28 28 – 41,5 = –13,5 13,5 
 
 
 39 39 – 41,5 = – 2,5 2,5 
 
 56 56 – 41,5 = + 14,5 14,5 
 
 
 44 44 – 41,5 = + 2,5 2,5 
 
 53 53 – 41,5 = + 11,5 11,5 
 
 249 0 Σ І d І = 57,0 
 
⇒=⇒
Σ
=
6
0,57D
n
d
D
 
 D = 9,5 anos . 
 
 
 
c) Qual a interpretação do valor encontrado na letra b)? 
 
Resposta: Espera-se que, em média, haja uma variação de 9,5 anos, para mais ou para menos, das idades 
desses funcionários em relação à média das idades dos mesmos. 
 
d) Calcule o desvio padrão amostral, pela fórmula: 1
2
−
Σ
=
n
d
s
. 
 
 
 
Solução: x d d² 
 
 
LEMBRETE: 
 
 
Regra do Arredondamento para o 
DESVIO PADRÃO: 
 
Deixar uma casa decimal a mais no 
resultado final em relação às que 
aparecem nos dados originais. 
 
 
 29 
– 12,5 156,25 
 
 28 
– 13,5 182,25 
 
 
 39 
– 2,5 6,25 
 
 56 14,5 210,25 
 
 
 44 2,5 6,25 
 
 53 11,5 132,25 
 
 249 0 693,50 
 
⇒=
−
=⇒
−
Σ
= 70,138
16
50,693
1
2
s
n
d
s s = 11,8 anos . 
 
 
 59
 
 
e) Calcule a variância amostral. 
 
 
 
Solução: 
 
 
A variância (amostral) é o quadrado do desvio padrão (que é o radicando da raiz quadrada do cálculo do 
desvio padrão amostral s), ou seja, ⇒
−
=
−
Σ
=⇒=
16
50,693
1
²2
n
dVarsVar Var = 138,70 .. 
 
 
 
 
 
 
E x e m p l o s C o m p l e m e n t a r e s 
 
 
 
 
 
 
 
Com referência ao exemplo anterior (idades dos 6 funcionários), calcule: 
 
 
 
 
 
a) O desvio padrão populacional.Solução: 
 
⇒==⇒
Σ
= 58,115
6
50,6932
σσ
n
d
 σσσσ = 10,8 anos . 
 
 
 
 
 
 
 
b) A variância populacional. 
 
 
 
Solução: 
 
 
 
A variância (populacional) é o quadrado do desvio padrão (populacional), ou seja, na fórmula acima (letra 
a), a variância é o radicando encontrado, o qual corresponde a 115,58, portanto Var(x) = 115,58. 
 
 
 
 
 
c) O desvio padrão amostral, pela fórmula: )1(
)( 22
−
Σ−Σ
=
nn
xxn
s . 
 
 
 
Solução: 
 
 
 
 
 x x² 
 
 29 841 
 
 28 784 
 
 39 1.521 
 
 56 3.136 
 
 44 1.936 
 
 53 2.809 
 
 
 249 11.027 
 
 
 
 
 
56
6200166162
)16(6
)249(110276
)1(
)( 222
⋅
−
=
−⋅
−⋅
=⇒
−
Σ−Σ
= s
nn
xxn
s 
 
 
 
⇒== 70,138
30
4161
s s = 11,8 anos . 
 
 
 60
 
 
E X E R C Í C I O S (desvio médio e desvio padrão pelas FÓRMULAS) 
 
 
 
1. Áreas plantadas de cana de açúcar, em milhões de hectares, em determinada região: 
 
Ano x 
 
 
2002 8,9 
 
 
2003 10,3 
 
 
2004 8,5 
 
 
2005 11,2 
 
 
2006 9,4 
 
 
2007 11,0 
 
 
2008 13,8 
 
 
2009 14,6 
 
 
 
 
 
a) Calcule a média aritmética. 
 
b) Calcule o desvio médio. 
c) Interprete o resultado encontrado em b). 
d) Calcule o desvio padrão amostral. 
e) Calcule a variância amostral. 
 
 
Respostas: 
 
a) 10,96; b) 1,69; c) Em média, há uma variação anual de 1,69 milhão de hectares, para mais ou para menos, em relação à média 
aritmética das áreas plantadas de cana de açúcar; d) 2,22; e) 4,9341 
 
 
 61
 
 
2. Numa região de grande variação de energia elétrica, foram tomadas 9 medidas aleatoriamente escolhidas, 
obtendo-se os seguintes valores, em Volts: 126, 104, 118, 97, 133, 122, 89, 127 e 112. 
 
 
x 
 
 
126 
 
 
104 
 
 
118 
 
 
97 
 
 
133 
 
 
122 
 
 
89 
 
 
127 
 
 
112 
 
 
 
 
 
 
a) Calcule a média aritmética. 
 
b) Calcule o desvio médio. 
c) Interprete o resultado encontrado em b). 
d) Calcule o desvio padrão amostral. 
e) Calcule a variância amostral. 
 
 
Respostas: 
 
a) 114,2; b) 12,2; c) Em média, há uma variação de 12,2 V, para mais ou para menos, em relação à média aritmética da voltagem de 
energia elétrica; d) 14,9; e) 221,44 
 
 
 62
 
 
Cálculo da Média e do Desvio Padrão nas CALCULADORAS 
 
 
 
E X E M P L O (média e desvio padrão, para dados NÃO tabulados, nas CALCULADORAS) 
 
 
Calcular, em uma CALCULADORA (científica ou financeira), a média aritmética e o desvio padrão 
amostral das seguintes idades, em anos, de uma amostra aleatoriamente escolhida de 6 funcionários uma 
empresa: 29, 28, 39, 56, 44 e 53. 
 
Solução: A sequência de teclas dos tipos de calculadoras mais utilizados é a seguinte: 
 
 
CASIO fx82MS (ou similar) Calculadoras Científicas 
(digitar) (ver no visor) (digitar) → (ver no visor) 
Mode 2 → SD 2ndF ON/C → STAT 
29 M+ → 1 29 M+ → 1 
28 M+ → 2 28 M+ → 2 
39 M+ → 3 39 M+ → 3 
56 M+ → 4 56 M+ → 4 
44 M+ → 5 44 M+ → 5 
53 M+ → 6 53 M+ → 6 
Shift 2 1 = No visor: 41,5 (é a média 
aritmética) 
 
 
No visor: 41,5 (é a média 
aritmética) 
Shift 2 3 = No visor: 11,77796... ≅≅≅≅ 11,8 (é 
o desvio padrão amostral) 
 
s 
No visor: 11,77796... ≅≅≅≅ 11,8 (é o 
desvio padrão amostral) 
 
 
 HP 12C (financeira) 
 
 (digitar) 
 
(ver no visor) 
 f CLX 
 
 29 ∑∑∑∑++++ → 1 
 
 28 ∑∑∑∑++++ → 2 
 
 39 ∑∑∑∑++++ → 3 
 
 56 ∑∑∑∑++++ → 4 
 
 44 ∑∑∑∑++++ → 5 
 
 53 ∑∑∑∑++++ → 6 
 
 
g 0 No visor: 41,5 (é a média aritmética) 
 
 
g ···· (ponto) No visor: 11,77796... ≅≅≅≅ 11,8 (é o desvio padrão amostral) 
 
 
 
Portanto, a média aritmética do comprimento dessas peças é: m = 41,5 anos e o desvio padrão 
(amostral) é: s = 11,8 anos . 
 
 
EXERCÍCIO: Dados os seguintes comprimentos, em cm, de 17 peças, aleatoriamente escolhidas, produzidas 
por certa máquina: 19,3; 19,0; 19,2; 18,4; 18,8; 18,9; 19,7; 18,3; 19,2; 19,4; 18,8; 19,0; 19,6; 18,9; 19,1; 19,5 e 
18,9, calcule a média aritmética simples e o desvio padrão amostral dessas medidas, com auxílio de uma 
CALCULADORA. 
 
 
Resposta: m = 19,06 e s = 0,38 
 
 
 63
 
 
Cálculo de medidas usando o EXCEL 
 
 
 
 
 
A P L I C A Ç Õ E S 
 
 
Dadas as seguintes idades, em anos, de um grupo de pessoas: 
28, 25, 35, 19, 26, 25, 20, 29, 19, 40, 25 e 16, calcule as seguintes medidas, com auxílio do EXCEL: 
1. Média aritmética simples 
2. Mediana 
3. Moda 
4. Amplitude (ou intervalo total) 
5. Desvio médio 
6. Desvio padrão amostral 
7. Variância amostral 
8. Desvio padrão populacional 
9. Variância amostral 
 
 
Solução: 
 
P L A N I L H A D O E X C E L 
 
 
 
(célula) (função) fx 
 A B C D E F G 
1 
 Idade 
2 
 28 
3 
 25 
4 
 35 
5 
 19 
6 
 26 
7 
 25 
8 
 20 
9 
 29 
10 
 19 
11 
 40 
12 
 25 
13 
 16 
14 
 
15 
 No EXCEL: Respostas: 
16 1. Média aritmética simples =MÉDIA(B2:B13) ⇒⇒⇒⇒ 27,3 
17 2. Mediana =MED(B2:B13) ⇒⇒⇒⇒ 25,5 
18 3. Moda =MODO(B2:B13) ⇒⇒⇒⇒ 25 
19 4. Amplitude =MÁXIMO(B2:B13)-MÍNIMO(B2:B13) ⇒⇒⇒⇒ 6,0 
20 5. Desvio médio =DESV. MÉDIO(B2:B13) ⇒⇒⇒⇒ 6,0 
21 6. Desvio padrão amostral =DESVPADA(B2:B13) ⇒⇒⇒⇒ 7,8 
22 7. Variância amostral =VARA(B2:B13) ⇒⇒⇒⇒ 60,75 
23 8. Desvio padrão populacional =DESVPADP((B2:B13) ⇒⇒⇒⇒ 7,5 
24 9. Variância populacional =VARP(B2:B13) ⇒⇒⇒⇒ 55,69 
25 
 
26 
 
 
 
 64
 
 
C o e f i c i e n t e d e V a r i a ç ã o d e P e a r s o n ( CV ) 
 
(KARL PEARSON: 1857–1936) 
 
 
 
 
 
 
Trata-se de uma medida relativa de dispersão, a qual é utilizada para fazermos comparações das dispersões 
das distribuições e que relaciona o desvio padrão com a média aritmética (isto é, o coeficiente de variação 
representa a porcentagem que é o desvio padrão da média aritmética). 
 
 
O coeficiente de variação populacional é dado por: 100⋅=
M
CV
σ
, e o amostral é: 100⋅=
m
sCV . 
 
 
 
Regra empírica para interpretação do coeficiente de variação: 
 
 
 
• Se CV < 15% ⇒ há baixa dispersão 
 
 
• Se 15% ≤ CV ≤ 30% ⇒ há média dispersão 
 
 
• Se CV > 30% ⇒ há elevada dispersão 
 
 
 
 
Obs.: Quanto menor for o valor do coeficiente de variação, mais homogênea será a distribuição. 
 
 
 
 
 
 
E X E M P L O S (coeficiente de variação) 
 
 
 
 
 
1. Um fabricante de caixas de papelão fabrica três tipos de caixas para armazenamento de produtos em geral 
(alimentos, medicamentos, peças, aparelhos, objetos etc.). Foram coletadas aleatoriamente amostras de 100 
caixas de cada tipo, para determinar a pressão necessária para romper cada caixa. Os resultados obtidos 
são os seguintes: 
 Tipo de caixa A B C 
 Pressão média de ruptura (bária) 150 180 250 
 Desvio padrão das rupturas (bária) 40 50 60 
 
Determine: 
 
a) Qual o coeficiente de variação de pressão de ruptura de cada caixa? 
 
Solução: 
O coeficiente de variação da caixa A é: ⇒⋅=⋅= 100
150
40100
A
A
VA
m
sC %67,26=AVC 
 
O coeficiente devariação da caixa B é: ⇒⋅=⋅= 100
180
50100
B
B
VB
m
sC %78,27=BVC 
 
O coeficiente de variação da caixa C é: ⇒⋅=⋅= 100
250
60100
C
C
VC
m
sC %24=CVC 
 
 
 
b) Que tipo de caixa apresenta a maior variação relativa na pressão de ruptura? 
 
Resposta: É a caixa do tipo B, pois apresenta o maior coeficiente de variação. 
 
 
 
c) Que tipo de caixa apresenta resultados mais homogêneos? 
 
Resposta: É a caixa do tipo C, pois apresenta o menor coeficiente de variação. 
 
 
 
d) Que tipo de caixa apresenta a menor variação absoluta na pressão de ruptura? 
 
 
Resposta: É a caixa do tipo A, pois apresenta o menor desvio padrão de ruptura. 
 
 
 65
 
 
2. Em uma empresa, uma amostra aleatória dos salários de seus funcionários revelou que o salário médio 
mensal dos homens é de R$ 2.000,00, com um desvio padrão é de R$ 750,00, e o salário médio das 
mulheres é de R$ 1.500,00, com desvio padrão de R$ 600,00. 
 
a) Calcule o coeficiente de variação dos salários dos homens. 
 
 
Solução: 
 
O coeficiente de variação é: 
 
⇒⋅=⇒⋅= 100
00,2000
00,750100 HVHV C
m
sC %5,37=HVC 
 
 
 
 
b) Calcule o coeficiente de variação dos salários das mulheres. 
 
 
Solução: 
 
O coeficiente de variação é: 
 
 
 
⇒⋅=⇒⋅= 100
00,1500
00,600100 MVMV C
m
sC %40=VMC 
 
 
 
c) Interprete os resultados dos coeficientes de variação encontrados em a) e b). 
 
Solução: 
 
Os salários das mulheres têm dispersão relativa maior do que os salários dos homens. As duas distribuições 
apresentam elevada dispersão (variação) nos salários. 
 
 
 
 
 
E X E R C Í C I O S (coeficiente de variação) 
 
 
1. Sucessivas medidas do diâmetro de uma peça, efetuadas com um micrômetro, acusaram média de 2,49 mm 
e desvio padrão de 0,012 mm; e várias medidas de comprimento natural de uma mola (não distendida) 
efetuadas com outro micrômetro acusaram média de 0,75 polegada e desvio padrão de 0,002 polegada. 
a) Calcule o coeficiente de variação do primeiro micrômetro. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
b) Calcule o coeficiente de variação do segundo micrômetro. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
c) Qual dos dois micrômetros é relativamente mais preciso? 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 66
 
 
2. Um disk-pizza recebeu durante certo período uma média de 71,2 pizzas “doces” por semana, com um desvio 
padrão de 15,4 pizzas, e uma média de 263,4 pizzas “salgadas” por semana, com um desvio padrão de 54,6 
pizzas. 
 
a) Calcule o coeficiente de variação da pizza “salgada”. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
b) Calcule o coeficiente de variação da pizza “doce”. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
c) Qual desses dois tipos de pizzas apresentou maior variabilidade na quantidade semanal de pizzas 
encomendadas? 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
3. Uma máquina injetora de polipropileno foi ajustada funcionar nas velocidades 1, 2, 3 e 4 durante uma 
semana em cada uma dessas velocidades e foram computadas as seguintes quantidades médias, por hora, 
de peças consideradas boas produzidas (por hora) e os respectivos desvios padrões para cada uma dessas 
velocidades: 
1ª semana (velocidade 1): m1 = 181 e s1 = 25 
2ª semana (velocidade 2): m2 = 203 e s2 = 29 
3ª semana (velocidade 3): m3 = 241 e s3 = 32 
4ª semana (velocidade 4): m4 = 268 e s4 = 38 
 
a) Calcule o coeficiente de variação das produções obtidas em cada uma dessas velocidades. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
b) Qual dessas quatro velocidades deve ser escolhida por apresentar uma produção de peças boas mais 
constante? 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Respostas: 
 
1. a) CV1 = 0,48%; b) CV2 = 0,27%; c) o segundo micrômetro é mais preciso 
2. a) CV1 = 20,73%; b) CV2 = 21,63%; c) a pizza “doce” apresenta maior variação na quantidade de pedidos 
3. a) 13,81%, 14,29%; 13,28% e 14,18%; b) Velocidade 3 
 
 
 67
 
 
DESVIO MÉDIO e DESVIO PADRÃO (para dados tabulados) 
 
 
DESVIO MÉDIO: é dado por 
N
f
D
δΣ
=
 
 
onde δ (é a letra grega delta, minúscula) = desvios ou afastamentos dos pontos médios das classes (x) em 
 
relação à média aritmética 
N
fxM Σ= , isto é, Mx −=δ 
 
DESVIO PADRÃO: 
 
a) Desvio padrão populacional: 
N
f 2δ
σ
Σ
= ou 
22





 Σ
−
Σ
=
N
fx
N
fx
σ (são equivalentes) 
 
b) Desvio padrão amostral: 
1
2
−
Σ
=
N
f
s
δ
 ou 
[ ] [ ]
)1(
²
2
−
Σ−Σ
=
NN
fxfxN
s (são equivalentes) 
 
 
E X E M P L O (desvio médio e desvio padrão para dados tabulados) 
 
A tabela ao lado apresenta as idades, L f 
em anos, de um grupo de pessoas. 8 | 14 3 
Calcule: 14 | 20 5 
a) Média aritmética 20 | 26 8 
b) Desvio médio 26 | 32 15 
c) Desvio padrão amostral 32 | 38 11 
d) Variância 38 | 44 6 
e) Coeficiente de variação 44 | 50 2 
 
Solução: 
L f x f • x 
 
 δδδδ δδδδ  
 
 
f • δδδδ  
 
 
δδδδ ² 
 
 
f • δδδδ ² 
8 | 14 3 11 33 -18,2 18,2 54,6 331,24 993,72 
14 | 20 5 17 85 -12,2 12,2 61,0 148,84 744,20 
20 | 26 8 23 184 -6,2 6,2 49,6 38,44 307,52 
26 | 32 15 29 435 -0,2 0,2 3,0 0,04 0,60 
32 | 38 11 35 385 5,8 5,8 63,8 33,64 370,04 
38 | 44 6 41 246 11,8 11,8 70,8 139,24 835,44 
44 | 50 2 47 94 17,8 17,8 35,6 316,84 633,68 
 N = 50 Σ f ·x = 1.462 Σ f·δ  = 338,4 Σ f δ ² = 3.885,20 
 
a) Média aritmética: ⇒=Σ=
50
462.1
N
fxM M = 29,2 anos . 
b) Desvio médio: ⇒=Σ=
50
4,338
N
f
D
δ
 D = 6,8 anos . 
c) Desvio padrão amostral: ⇒=
−
=
−
Σ
= 29,79
150
20,885.3
1
²
N
f
s
δ
 s = 8,9 anos . 
d) Variância: Var(x) = 79,29 . 
 
e) Coeficiente de Variação amostral: ⇒⋅=⋅= 100
2,29
9,8100
M
sC V CV = 30,48% . 
 
 
 68
 
 
E X E R C Í C I O S (desvio médio e desvio padrão para dados tabulados) 
 
 
 
 
1. A tabela abaixo apresenta as quantidades de pisos considerados defeituosos, de cada lote de mil unidades, 
e as respectivas quantidades de lotes observados: 
 
 L 
 
f 
41 | 47 
 
3 
47 | 53 
 
11 
53 | 59 
 
27 
59 | 65 
 
30 
65 | 71 
 
54 
71 | 77 
 
43 
77 | 83 
 
29 
83 | 89 
 
8 
 
 
 
 
Calcule: 
 
a) Média aritmética 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
b) Desvio médio 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
c) Desvio padrão amostral 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
d) Variância amostral 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
e) Coeficiente de variação 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Respostas: a) 67,9; b) 7,5; c) 9,5; d) 91,05; e) 13,99% 
 
 
 69
 
 
2. A tabela abaixo apresenta o número diário de clientes atendimentos de certo departamento de um centro 
comercial durante determinado período: 
 Lf 
 
72 | 81 15 
81 | 90 38 
90 | 99 57 
99 | 108 71 
108 | 117 47 
117 | 126 27 
126 | 135 12 
 
 
 
 
Calcule: 
a) Média aritmética 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
b) Desvio médio 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
c) Desvio padrão amostral 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
d) Variância amostral 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
e) Coeficiente de variação 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Respostas: a) 102,1; b) 10,9; c) 13,5; d) 182,92; e) 13,22% 
 
 
 70
 
 
M E D I D A S D E A S S I M E T R I A E C U R T O S E 
 
 
A S S I M E T R I A 
 
 
As medidas de assimetria e curtose são as que completam o estudo da Estatística Descritiva. 
 
 
A assimetria é o grau de deformação de uma curva de frequências, isto é, o desvio ou afastamento da 
simetria de uma distribuição. 
Uma distribuição é simétrica quando od MMM == . 
 
onde M = média aritmética 
 
Md = mediana 
 
Mo = moda 
e a curva de frequências da distribuição tem a seguinte forma: 
 
 
 
 
Quando a distribuição não for simétrica, temos dois casos: 
 
a) Assimétrica positiva: é quando a cauda é mais alongada à direita, ou seja, as frequências mais altas se 
encontram no lado esquerdo da média, e isto ocorre quando MMM do << . A curva de frequências da 
distribuição tem a seguinte forma: 
 
 
 
 
b) Assimétrica negativa: é quando a cauda é mais alongada à esquerda, ou seja, as frequências mais altas 
se encontram no lado direito da média, e isto ocorre quando od MMM << . A curva de frequências da 
distribuição tem a seguinte forma: 
 
 
 
 
A medida de assimetria sugerida por Karl Pearson (1857–1936) é dada por: 
 
 
Assimetria amostral: 
s
MMA oS
−
= ou 
( )
s
MM
A dS
−
=
3
 e assimetria populacional:
( )
σ
d
S
MMA −= 3 
 
 
onde M = média aritmética 
 
Md = mediana 
 
σ = desvio padrão populacional 
 
s = desvio padrão amostral 
 
 
 71
 
 
C U R T O S E 
 
 
 
 
 
 
A curtose nos dá o grau de achatamento ou alongamento de uma curva de frequências, podendo ser de três 
tipos: 
 
a) Curva ou Distribuição de Frequências MESOCÚRTICA: é a curva de frequências que apresenta um grau de 
achatamento equivalente ao da curva normal, ou seja, 
 
 
 
 
b) Curva ou Distribuição de Frequências PLATICÚRTICA: é a curva que apresenta um alto grau de 
achatamento, superior ao da normal, indicando que os dados estão mais dispersos, ou seja, a distribuição é 
mais heterogênea. A curva é da seguinte forma: 
 
 
 
 
 
 
 
c) Curva ou Distribuição de Frequências LEPTOCÚRTICA: é a curva que apresenta um grau de afilamento, 
superior ao da normal, indicando que os dados estão mais concentrados, ou seja, a distribuição é mais 
homogênea. A curva é da seguinte forma: 
 
 
 
 
 
 
O coeficiente de curtose é dado por: ( )19
13
2 DD
QQC
−⋅
−
=
 
 
onde, Q1 = 1º quartil 
Q3 = 3º quartil 
D1 = 1º decil 
D9 = 9º decil 
 
 
Se 263,0=C (valor teórico), então a curva ou distribuição é mesocúrtica 
 
 
263,0>C , então a curva ou distribuição é platicúrtica 
 
 
263,0<C , então a curva ou distribuição é leptocúrtica 
 
 
 72
 
 
E X E M P L O (assimetria e curtose) 
 
 
 
 
O setor de manutenção de uma grande empresa de aparelhos eletrônicos registrou, para uma amostra 
aleatória de telefones celulares de determinado modelo, os tempos, em dias, em que esses aparelhos 
apresentaram algum tipo de defeito, conforme mostra a tabela abaixo. Calcular as medidas de assimetria e 
curtose, e construir o gráfico. 
 L f 
 0 | 50 5 
 50 | 100 20 
 100 | 150 34 
 150 | 200 40 
 200 | 250 36 
 250 | 300 30 
 300 | 350 25 
 350 | 400 10 
 400 | 450 5 
 450 | 500 3 
 500 | 550 2 
 
 
 
Solução: 
 
L 
 
f 
 
F 
 
x 
 
f•x 
 
 
 
 δδδδ δδδδ² f•δδδδ² 
0 | 50 5 5 25 125 – 192,6 37.094,76 185.473,80 
50 | 100 20 25 75 1.500 
 
– 142,6 20.334,76 406.695,20 
100 | 150 34 59 125 4.250 – 92,6 8.574,76 291.541,84 
150 | 200 40 99 175 7.000 – 42,6 1.814,76 72.590,40 
200 | 250 36 135 225 8.100 7,4 54,76 1.971,36 
250 | 300 30 165 275 8.250 57,4 3.294,76 98.842,80 
300 | 350 25 190 325 8.125 107,4 11.534,76 288.369,00 
350 | 400 10 200 375 3.750 157,4 24.774,76 247.747,60 
400 | 450 5 205 425 2.125 207,4 43.014,76 215.073,80 
450 | 500 3 208 475 1.425 257,4 66.254,76 198.764,28 
500 | 550 2 210 525 1.050 307,4 94.494,76 188.989,52 
N = 210 Σfx = 45.700 Σfδ² = 2.196.059,60 
 
 
 
 
Mediana: 












−
⋅+=
med
ant
d
m
FN
ilM 2inf ⇒+=












−
⋅+=⇒ 3,8200
36
99
2
210
50200dM
 
 
a) Md = 208,3 dias 
 
 
 
 
Média: 
N
fxM Σ= ⇒=⇒
210
700.45M 
 
b) M = 217,6 dias 
 
 
 
 
Desvio padrão amostral: 
1
2
−
Σ
=
N
f
s
δ ⇒=
−
=⇒ 46,507.10
1210
60,059.196.2
s 
 
c) s = 102,5 dias 
 
 
 
 
Assimetria: 
s
MM
A dS
)(3 −⋅
= ⇒
−⋅
=⇒
5,102
)3,2086,217(3
SA 
 
d) AS = + 0,272 
 
 
 
 
 
e) Conclusão: A assimetria é positiva (cauda mais alongada à direita), o que acarreta que os valores estão 
mais concentrados à esquerda, ou seja, grande parte dos defeitos estão ocorrendo com uma quantidade 
relativamente pequena de dias de uso. 
 
 
 73
 
 
 
f) 












−⋅
⋅+=
med
ant
f
FN
ilQ 4
1
inf1
 
⇒+=




 −
⋅+=












−⋅
⋅+=⇒ 44,40100
34
255,5250100
34
25210
4
1
501001Q
 
 
1º Quartil: Q1 = 140,44 dias 
 
 
 
 
 
g) 












−⋅
⋅+=
med
ant
f
FN
ilQ 4
3
inf3
 
⇒+=




 −
⋅+=












−⋅
⋅+=⇒ 50,37250
30
1355,15750250
30
135210
4
3
502503Q
 
 
3º Quartil: Q3 = 287,50 dias 
 
 
 
 
 
h) 












−⋅
⋅+=
med
ant
f
FN
ilD 10
1
inf1
 
⇒+=




 −
⋅+=












−⋅
⋅+=⇒ 00,4050
20
5215050
20
5210
10
1
50501D
 
 
1º Decil: D1 = 90,00 dias 
 
 
 
 
 
 
i) 












−⋅
⋅+=
med
ant
f
FN
ilD 10
9
inf9
 
⇒+=




 −
⋅+=












−⋅
⋅+=⇒ 00,48300
25
16518950300
25
165210
10
9
503009D
 
 
9º Decil: D9 = 348,00 dias 
 
 
 
 
 
j) 
 
Curtose: )(2 19
13
DD
QQC
−⋅
−
= ⇒=
−⋅
−
=⇒
00,516
06,147
)00,9000,348(2
44,14050,287C C = 0,285 
 
 
 
 
k) Conclusão: Como a curtose é 0,285 > 0,263 (valor teórico), então a curva é platicúrtica (achatada), ou 
seja, a distribuição é mais heterogênea, o que acarreta que certa quantidade de aparelhos está apresentando 
defeito com pouco tempo de uso, outra quantidade está apresentando defeito após algum tempo maior de dias 
de uso, outra quantidade com um tempo bem maior de dias de uso e outra com um tempo muito maior ainda 
de dias de uso.l) Gráfico do histograma com a curva de assimetria: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 74
 
 
E X E R C Í C I O S (assimetria e curtose) 
 
 
 
 
 
 
1. A seguinte tabela de frequências apresenta as quantidades de peças consideradas defeituosas 
produzidas, por dia, por certa máquina, durante determinado período: 
L f 
42 | 49 3 
49 | 56 7 
56 | 63 15 
63 | 70 26 
70 | 77 41 
77 | 84 34 
84 | 91 20 
91 | 98 8 
 
 
 
 
Pede-se: 
 
a) Mediana 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
b) Média aritmética 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
c) Desvio padrão amostral 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
d) Medida e o tipo de assimetria 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
e) Interprete o resultado da letra d) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
f) 1º quartil 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
g) 3º quartil 
 
 
 
 
 
 
 
 75
 
 
h) 1º decil 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
i) 9º decil 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
j) Medida e o tipo de curtose 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
k) Interprete o resultado da letra j) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
l) Construa o gráfico (histograma e curva) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Respostas: a) Md = 74,4; b) M = 73,9; c) s= 11,1; d) As = – 0,135 assimetria negativa; e) houve maior concentração de dias com maior 
quantidade de peças defeituosas produzidas por essa máquina; f) Q1 = 66,63; g) Q3 = 81,84; h) D1 = 58,52; i) D9 = 88,41; j) C = 0,254 
curva leptocúrtica; k) os dados são mais homogêneos, ou seja, as quantidades diárias de peças defeituosas, na maioria dos dias, não foi tão 
dispersa. 
 
 
 76
 
 
2. A seguinte tabela de frequências apresenta os tempos, em segundos, para a realização de um experimento 
em um laboratório e as respectivas quantidades de ensaios que gastaram esses tempos: 
L f 
 
147 | 153 7 
153 | 159 9 
159 | 165 8 
165 | 171 13 
171 | 177 11 
177 | 183 9 
183 | 189 7 
189 | 195 9 
 
 
 
 
Pede-se: 
 
a) Mediana 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
b) Média aritmética 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
c) Desvio padrão amostral 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
d) Medida e o tipo de assimetria 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
e) Interprete o resultado da letra d) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
f) 1º quartil 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
g) 3º quartil 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 77
 
 
h) 1º decil 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
i) 9º decil 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
j) Medida e o tipo de curtose 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
k) Interprete o resultado da letra j) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
l) Construa o gráfico (histograma e curva) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Respostas: a) Md = 170,8; b) M = 171,2; c) s = 13,0; d) As = + 0,092 assimetria positiva; e) os tempos de realização desses 
experimentos ficaram mais concentrados nos valores mais baixos (isto é, com menor tempo de duração); f) Q1 = 160,69; g) Q3 = 181,50; 
h) D1 = 153,20; i) D9 = 190,13; j) C = 0,282 curva platicúrtica; k) os dados são mais heterogêneos, ou seja, os tempos de realização desse 
experimento foram mais dispersos. 
 
 
 78
 
 
E X E R C Í C I O S D E R E V I S Ã O (Estatística Descritiva) 
 
Para verificar os problemas de acidentes ocorridos com os veículos das empresas transportadoras em certa rodovia, a 
polícia rodoviária colocou (sem nenhum aviso) um radar eletrônico em um lugar estratégico, para medir as velocidades dos 
caminhões do tipo “baú” que transitaram pelo local em determinado dia, durante o período da manhã. A distribuição abaixo 
nos dá as velocidades, em km/h, dos 75 veículos desse tipo, registradas no período verificado: 
89 93 96 98 98 101 102 102 104 105 106 108 109 109 110 110 110 111 111 
112 112 113 113 114 114 114 114 114 114 114 115 115 115 116 116 116 116 116 
116 116 117 117 117 118 118 118 119 119 119 119 119 119 119 120 120 120 121 
121 121 122 122 123 123 124 125 125 126 127 127 127 128 128 129 131 133 
Com base nesses dados, pede-se: 
1) Média aritmética simples das velocidades (isto é, média para dados não tabulados); 
2) Mediana das velocidades, para dados não tabulados; 
3) Moda das velocidades, para dados não tabulados; 
4) Fazer o tabulamento dessas velocidades (isto é, construir a tabela de frequências); 
5) Frequências absolutas relativas da tabela do item 4; 
6) Frequências absolutas percentuais da tabela do item 4; 
7) Frequências acumuladas da tabela do item 4; 
8) Frequências acumuladas relativas da tabela do item 4; 
9) Frequências acumuladas percentuais da tabela do item 4; 
10) Média aritmética das velocidades, para dados tabulados (ver tabela encontrada no item 4); 
11) Por que os resultados dos itens 1 e 10 geralmente são diferentes?; 
12) Mediana das velocidades, para dados tabulados; 
13) Moda das velocidades, para dados tabulados (1ª estimativa); 
14) Moda das velocidades, para dados tabulados (2ª estimativa); 
15) 1º quartil (para a tabela do item 4); 
16) 3º quartil (para a tabela do item 4); 
17) 1º decil (para a tabela do item 4); 
18) 2º decil (para a tabela do item 4); 
19) 5º decil (para a tabela do item 4); 
20) 6º decil (para a tabela do item 4); 
21) 9º decil (para a tabela do item 4); 
22) 25º centil (para a tabela do item 4); 
23) 38º centil (para a tabela do item 4); 
24) 91º centil (para a tabela do item 4); 
25) 3º centil (para a tabela do item 4); 
26) Amplitude das velocidades para dados não tabulados (isto é, para os 75 valores do enunciado); 
27) Amplitude das velocidades para os dados tabulados (isto é, para os dados da tabela do item 4); 
28) Desvio médio das velocidades, para dados não tabulados, somente para os dez primeiros valores da 1ª linha do quadro 
acima (de 89 a 105); 
29) Qual é a interpretação para o resultado encontrado no item 28?; 
30) Desvio padrão populacional das velocidades, para dados não tabulados, dos sete primeiros valores da última linha do 
quadro acima (de 121 a 124); 
31) Desvio padrão amostral das velocidades, para dados não tabulados, dos oito últimos valores da última linha do quadro 
acima (de 127 a 133); 
32) Desvio médio das velocidades, para dados tabulados (ver tabela encontrada no item 4); 
33) Desvio padrão (amostral) das velocidades, para dados tabulados (ver tabela encontrada no item4); 
34) Variância para os resultados encontrados no item 33; 
35) Coeficiente de variação para os resultados do item 33; 
36) Qual é a interpretação para o resultado encontrado no item 35?; 
37) A medida de assimetria para os dados da tabela encontrada no item 4; 
38) O tipo e a interpretação da assimetria encontrada no item 37; 
39) A medida de curtose para os dados da tabela encontrada no item 4; 
40) O tipo e a interpretação da curtose encontrada no item 39; 
41) Construa o Histograma para a tabela encontrada no item 4; 
42) Construa o Polígono de Frequências para a tabela encontrada no item 4. 
Respostas: 
 
4) 5) 6) 7) 8) 9) 
1) 115,4 17) 103,17 27) 45 L f fr fp F Fr Fp 
2) 116 18) 110,36 28) 4,0 89 | 94 2 0,027 2,7% 2 0,027 2,7% 
3) 114, 116 
 e 119 
19) 117,2 30) 1,0 94 | 99 3 0,040 4,0% 5 0,067 6,7% 
 20) 118,78 31) 2,2 99 | 104 3 0,040 4,0% 8 0,107 10,7% 
10) 116,1 21) 126,5 32) 6,4 104 | 109 4 0,053 5,3% 12 0,160 16,0% 
12) 117,2 22) 112,07 33) 8,8 109 | 114 11 0,147 14,7% 23 0,307 30,7% 
13) 119,4 23) 115,20 34) 78,22 114 | 119 23 0,307 30,7% 46 0,613 61,3% 
14) 117,3 24) 126,92 35) 7,58% 119 | 124 17 0,227 22,7% 63 0,840 84,0% 
15) 112,07 25) 94,42 37) – 0,375 124 | 129 9 0,120 12,0% 72 0,960 96,0% 
16) 122,01 26) 44 39) 0,213 129 | 134 3 0,040 4,0% 75 1,000 100% 
11) No exercício 1, os valores são os dados reais e no exercício 10 não 
29) Espera-se que, em média, haja uma variação nas velocidades de 4 km/h, p/ mais ou p/ menos, em relação à velocidade média 
36) O desvio padrão corresponde a 7,58% da média aritmética 
38) Assimetria negativa, ou seja, as velocidades estão concentradas nos valores mais baixos 
40) Curva leptocúrtica, ou seja, os dados são mais homogêneos, isto é, a maioria das velocidades não é muito dispersa 
 
 
 79
 
 
P R O B A B I L I D A D E S 
 
(2º ramo da Estatística) 
 
 
 
 
 
 
 
 
I n t r o d u ç ã o 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
U m p o u c o d e h i s t ó r i a 
 
 
 
 
 
 
 
A probabilidade é útil para analisar situações que envolvem o acaso. 
 
A probabilidade é a base para a inferência estatística (que é a tomada de decisão sob condições de 
incerteza). 
 
Ao comprarmos um bilhete de uma loteria, é impossível prever antecipadamente o resultado, mas podemos 
estimar as chances matemáticas de ganharmos algum prêmio. O estudo deste tipo de cálculo denomina-se 
Teoria das Probabilidades, que tem origem no século XVI, com os chamados jogos de azar (cartas, roletas, 
dados), tendo esses estudos iniciados com os italianos Cardano (1501–1576) e Galileu Galilei (1564–1642). 
 
A pedido de um jogador profissional chamado Chevalier de Méré, feito a Blaise Pascal (1623–1662), para 
responder a inúmeras dificuldades encontradas por Méré, Pascal iniciou uma longa troca de correspondências 
com Pierre Fermat (1601–1665), resultando, dessa maneira, mais um ramo da Matemática. 
 
O holandês Huygens (1629–1695), tomando conhecimento desses estudos, interessou-se pelo assunto e 
publicou em 1654 o primeiro livro sobre a teoria das probabilidades, criando, também, o conceito de esperança 
matemática. 
 
Entre outros matemáticos, destacamos: o suiço Jacob Bernouilli (1654–1705), o francês Abrahan de Moivre 
(1667–1754), Laplace (1749–1827), Bayes, Bertrand, Poincaré, Borel, entre tantos outros. Na Rússia: 
Tchebycheff, Sabudsky (era oficial da artilharia), Liaponounoff, Markov, Bernstein, Khintchine, Kolmogoroff. 
Destaquemos, também, o italiano Castelnuovo, os escandinavos Thiele e Charlier, o austríaco Czuber. 
 
Em 1729, o filósofo Voltaire ficou rico elaborando esquema para vencer a loteria de Paris (criada para 
compensar a desvalorização das apólices municipais), pois o valor dos prêmios ultrapassava o preço de todos os 
bilhetes! 
 
A partir de 1850, com os estudos das Leis de Mendell, sobre a Genética, o uso da teoria das probabilidades 
tornou-se mais abrangente. 
 
Nos dias de hoje, a teoria das probabilidades vem ganhando uma crescente importância em todas as áreas 
do conhecimento, com a constante criação de métodos estatísticos que auxiliam a medir as incertezas. Por 
exemplo, a decisão de um fabricante de certo produto fazer uma grande campanha para entrar no mercado, a 
decisão de ativar uma usina nuclear após a análise de um acidente, a decisão de aumentar o limite de velocidade 
em nossas avenidas e rodovias depois de serem estimadas as probabilidades do aumento de acidentes fatais, a 
decisão de se colocar no mercado uma determinada vacina após o estudo das probabilidades de sua eficiência 
etc. 
 
 
 80
 
 
Conceitos utilizados em probabilidades 
 
 
 
 
 
 
 
( I ) Experimento: É qualquer processo que permite ao pesquisador fazer observações. 
 
 
 
(II) Espaço amostral (S): É o conjunto de todos os resultados possíveis de um experimento. 
 
 
 
(III) Eventos aleatórios: São acontecimentos com resultados imprevisíveis. 
 
 
 
(IV) Evento (E): É uma coleção de resultados de um experimento. 
 
 
 
Exemplos 
 
 
1) Exemplos de experimento e espaço amostral: 
 
 
 
 
 Experimento Espaço amostral 
 a) Jogar uma moeda S = { cara, coroa } 
 b) Selecionar uma peça para inspeção S = { defeituosa, não defeituosa } 
 c) Realizar uma chamada de venda S = { comprar, não comprar } 
 d) Jogar uma partida de futebol S = { ganhar, perder, empatar } 
 
 
 
 
2) No arremesso de um dado, qual é a probabilidade de se obter face 3 ou 5? 
 
Vamos identificar os conceitos acima nesse exemplo: 
 
• Experimento: arremesso do dado 
 
• Evento (E): Obter face 3 ou 5 no dado, isto é, E = { 3, 5 }. 
 
• Espaço amostral (S): É o conjunto do todos os resultados (faces) possíveis num dado, isto é, 
 
S = { 1, 2, 3, 4, 5, 6 } 
 
 
 
(V) Evento simples: É aquele formado por um único elemento do espaço amostral. 
 
 
Exemplo: Se o evento E é o de sair o número 4 no arremesso de um dado, então E = { 4 }. 
 
 
 
(VI) Evento composto: É aquele formado por mais de um elemento do espaço amostral. 
 
 
Exemplo: Se o evento E é: “sair um número menor que 4 no arremesso de um dado”, então o evento é: 
E = { 1, 2, 3 } 
 
 
 
(VII) Evento complementar: O complemento de um evento A de um espaço amostral S, denotado por Ᾱ, são 
todos os resultados do espaço amostral que não fazem parte do evento A, ou seja, a sua união é o espaço 
amostral S, isto é, A∪Ᾱ = S, e sua intersecção é vazia, isto é, A∩ Ᾱ = ∅. 
 
 
Exemplo: Se o evento A é: “obter número maior que 2 no arremesso de um dado”, isto é, 
A = {3, 4, 5, 6}, então o complemento do evento a é: Ᾱ = { 1, 2 } 
 
 
 
(VIII) União de dois eventos: A união (ou reunião) de dois eventos A e B, denotada por A∪B, representa a 
ocorrência de pelo menos um dos eventos A ou B. 
 
 
Exemplo: Se o evento A é “obter número ímpar no lançamento de um dado”, isto é, A = { 1, 3, 5 }, e o 
evento B é “obter número maior que 3 no lançamento desse dado”, isto é, B = { 4, 5, 6 }, então a união 
desses dois eventos é A∪B = { 1, 3, 4, 5, 6 }, ou seja, são os números que estão em A ou em B. 
 
 
 
(IX) Intersecção de dois eventos: A Intersecção do evento A com B, denotada por A∩B, é a ocorrência 
simultânea de A e B. 
 
 
Exemplo: No exemplo anterior, intersecção dos dois eventos A = { 1, 3, 5 } e B = { 4, 5, 6 } é: 
A∩B = { 5 }, ou seja, é o número 5, que está em A e ao mesmo tempo em B, pois é o número que é ao 
mesmo tempo ímpar e maior do que 3. 
 
 
 81
 
 
(X) Eventos equiprováveis: Os eventos e1, e2, e3, ... , en são equiprováveis quando as probabilidades de 
ocorrência de cada um desses eventos são todas iguais, isto é, p(e1) = p(e2) = p(e3) = ... = p(en).Exemplo: No experimento: “lançamento de um dado”, o espaço amostral é S = { 1, 2, 3, 4, 5, 6 }. 
 
 As probabilidades desses eventos são: p(1) = p(2) = p(3) = p(4) = p(5) = p(6) = 1 6 
 
 
(XI) Eventos disjuntos ou mutuamente exclusivos (ou excludentes): Dois eventos A e B são disjuntos ou 
mutuamente exclusivos quando não têm elementos em comum, isto é, A∩B = ∅. 
 
 
Exemplo: No experimento: “lançamento de um dado”, o espaço amostral é S = { 1, 2, 3, 4, 5, 6 }. 
 
Considere os seguintes eventos: 
 
Evento A: “o número obtido é menor que 3”, isto é, A = { 1, 2 } 
 
Evento B: “o número obtido é maior que 4”, isto é, B = { 5, 6 } 
 
Evento C: “o número obtido é par”, isto é, C = { 2, 4, 6 } 
 
 
 
Note que os eventos A e B são mutuamente excludentes, pois não podemos obter um número que seja ao 
mesmo tempo menor que 3 e maior que 4, mas os eventos A e C não são mutuamente excludentes, pois o 
número 2 aparece tanto no evento A como no evento C. 
 
 
 
(XII) Eventos mutuamente exclusivos e exaustivos: Dois eventos A e B são mutuamente exclusivos e 
exaustivos quando não têm elementos em comum, isto é, A∩B = ∅, e a união é igual ao espaço amostral 
S, isto é, A∪B = S. 
 
 
Obs.: Se n eventos de um espaço amostral S formam uma partição de S, dizemos que esses eventos são 
mutuamente exclusivos e exaustivos. 
 
 
Exemplo: No experimento: “lançamento de um dado”, o espaço amostral é S = { 1, 2, 3, 4, 5, 6 }. 
 
Considere os seguintes eventos: 
 
Evento A: “o número obtido é par”, isto é, A = { 2, 4, 6 } 
 
Evento B: “o número obtido é ímpar”, isto é, B = { 1, 3, 5 } 
 
Evento C: “o número obtido é ímpar e maior que 2”, isto é, C = { 3, 5 } 
 
Os eventos A e C são mutuamente exclusivos (ou excludentes), pois não têm número em comum 
(“repetido”); os eventos B e C não são mutuamente exclusivos, pois têm os números 3 e 5 em comum; e os 
eventos A e B são mutuamente exclusivos e exaustivos, pois não têm número em comum, isto é, A∩B = ∅, 
e sua união é o próprio espaço amostral S, isto é, A∪B = S. 
 
 
 
(XIII) Eventos independentes: Dois eventos A e B são independentes se a ocorrência de um deles não afeta a 
probabilidade de ocorrência do outro. 
 
 
Exemplo: Quando lançamos um dado duas vezes, e queremos obter o número 4 nas duas jogadas, isso é 
possível, pois podemos obter o número 4 na primeira jogada e novamente o número 4 na segunda, ou seja, 
a segunda jogada independe do que saiu na primeira jogada. 
 
 
 
 
(XIV) Eventos dependentes: Quando o conhecimento da ocorrência de um afeta a probabilidade de ocorrência 
do outro. 
 
 
Exemplos 
 
a) A retirada de duas cartas sem reposição de um baralho são eventos dependentes, pois as 
probabilidades associadas com a segunda retirada são dependentes do resultado da primeira retirada, 
ou seja, a probabilidade de sucesso no segundo evento está condicionada à probabilidade do que 
ocorreu no primeiro evento. 
 
b) Os eventos “conseguir dar partida no seu carro” e “chegar à aula no horário” são dependentes, pois o 
resultado de dar partida no carro afeta a probabilidade de chegar à aula no horário. 
 
c) O fato de sabermos que um aluno que estudou todo o conteúdo de um assunto pode nos dizer algo 
sobre a probabilidade do resultado de uma prova. 
 
d) Uma empresa que investe em publicidade tende a ter um melhor resultado no seu faturamento. 
 
e) Um paciente que se submete a um rigoroso tratamento poderá ter um melhor resultado na recuperação 
de sua saúde. 
 
 
 82
 
 
P R O B A B I L I D A D E S I M P L E S 
 
 
 
A probabilidade de ocorrência de um evento (p) é definida como o quociente do número de casos favoráveis 
(n) à ocorrência desse evento, pelo número total de resultados possíveis (N) de ocorrências do mesmo fato, 
isto é, N
np =
. 
 
A probabilidade de não ocorrência do mesmo fato é indicada por q. É claro que p + q = 1 (100%). 
 
 
Obs.: De p + q = 1, temos que p = 1 – q ou q = 1 – p . 
 
 
 
R e g r a d a A d i ç ã o 
 
 
Aplica-se a Regra da Adição de dois eventos A e B, que denota-se por P(A ou B), para encontrar a 
probabilidade de ocorrência do evento A, ou do evento B, ou ocorrência de ambos, em uma única prova. 
 
 
Regra Formal da Adição de dois eventos A e B: 
 
 
 P(A ou B) = P(A) + P(B) – P(A e B) ou P(A∪∪∪∪B) = P(A) + P(B) – P(A∩∩∩∩B) 
 
 
onde P(A e B) = P(A∩B) é a probabilidade dos eventos a e B ocorrerem ao mesmo tempo como resultado de 
uma prova do experimento. 
 Se A e B são eventos disjuntos (isto é, A∩B = ∅), então P(A∪∪∪∪B) = P(A) + P(B) 
 
 
 
Regra Formal da Adição de três eventos A, B e C: 
 
 
 P(A∪∪∪∪B∪∪∪∪C) = P(A) + P(B) + P(C) – P(A∩∩∩∩B) – P(A∩∩∩∩C) – P(B∩∩∩∩C) + P(A∩∩∩∩B∩∩∩∩C) 
 
 
onde P(A∩B∩C) é a probabilidade dos eventos A, B e C ocorrerem ao mesmo tempo como resultado de 
uma prova do experimento. 
R e g r a d a M u l t i p l i c a ç ã o 
 
 
Enquanto que a Regra da Adição é para calcular a probabilidade da união de dois eventos, a Regra da 
Multiplicação é para calcular a probabilidade da intersecção de dois eventos. 
 
Assim, para dois eventos independentes A e B, a probabilidade da ocorrência de A e B é: 
 
 
 P(A∩∩∩∩B) = P(A) • P(B) 
 
 
Regra Intuitiva da Multiplicação: Para calcular a probabilidade de ocorrência do evento A em uma prova e 
do evento B na prova seguinte, multiplique a probabilidade do evento A pela probabilidade do evento B, mas 
verifique se a probabilidade deste último leva em consideração a ocorrência prévia do evento A. 
 
REPRESENTAÇÃO DO RESULTADO DE PROBABILIDADE 
 
O resultado de uma probabilidade pode ser expresso de três formas: em fração, em 
número decimal ou em porcentagem. 
 
 
 
 
REGRA DO ARREDONDAMENTO PARA PROBABILIDADE 
 
O resultado de uma probabilidade, na forma decimal, deve ser arredondado para três 
dígitos significativos. 
 
 
 
Obs.: Quando o 3º algarismo significativo de uma probabilidade escrita na forma decimal for zero, podemos 
desprezá-lo. Por exemplo, a probabilidade: 0,100 pode ser representada por 0,10 
0,250 pode ser representada por 0,25 
0,00370 pode ser representada por 0,0037 
 
 
 83
 
 
E X E M P L O S (probabilidades simples) 
 
1. Jogando-se um dado para o ar, determine a probabilidade de se obter um número menor que 3. 
Solução: 
3
1
6
2
===
N
np ou 0,333 (33,3%) 
 
2. Num certo final de semana, o Departamento de Trânsito registrou um movimento em determinado trecho de 
certa rodovia de 12.358 veículos, tendo uma ocorrência de 32 multas por infração de trânsito. Determine a 
probabilidade de ocorrência de infração de trânsito nesse trecho de rodovia. 
Solução: %)259,0(00259,0
6179
16
12358
32
===p 
 
Observação: A probabilidade do 1º exemplo chama-se Probabilidade Matemática ou Dedutiva ou “a priori”; e 
a 2ª chama-se Probabilidade Estatística ou Indutiva ou “a posteriori”. 
 
3. Comprando-se 10 números de uma rifa que tem um total de 100 números, qual a probabilidade de se ganhar o 
prêmio? 
Solução: %)10(10,0
10
1
100
10
===p 
 
4. Jogando-se um dado para o ar, determine a probabilidade de se obter: 
a) Número 5. 
Solução: %)7,16(167,0
6
1
==p 
b) Número maior que 2 (isto é, 3, 4, 5 ou 6). 
Solução: %)7,66(667,0
3
2
6
4
===p 
 
5. Uma empresa possui 105 funcionários, sendo 77 homens e 28 mulheres. Escolhendo-se aleatoriamente um 
desses funcionários para ser homenageado, determine a probabilidade de que seja sorteado um homem. 
Solução: %)3,73(733,0
15
11
105
77
===p 
 
SIMPLIFICAÇÃO DE FRAÇÕES (forma irredutível) 
 
Muitos resultados de probabilidade aparecem na forma de umafração irredutível, a qual é obtida dividindo-
se, simultaneamente, o numerador e o denominador da fração a ser simplificada pelo m.d.c. (máximo divisor 
comum) desses números. No exemplo acima, o m.d.c.(105, 77) = 7. 
 
Para obter o m.d.c., uma regra bem prática utilizada é a das divisões sucessivas, na qual utilizamos os 
“restos” de cada uma das divisões como divisor da divisão seguinte até obter o resto 0 (zero); o m.d.c. 
procurado será o último resto obtido antes do resto zero. No exemplo acima, temos: 
 
 
1º passo: Dividindo 105 por 77, o resto dessa divisão é 28: 105 77 
 resto ⇒ 28 1 
 
 
2º passo: Dividindo 77 por 28, o resto dessa divisão é 21: 77 28 
 resto ⇒ 21 2 
 
 
3º passo: Dividindo 28 por 21, o resto dessa divisão é 7: 28 21 
último resto não-nulo ⇒ 7 1 
 ⇑⇑⇑⇑ 
 
 
m.d.c. 
 
4º passo: Dividindo 21 por 7, o resto dessa divisão é 0: 21 7 
 resto ⇒ 0 3 
O quadro–resumo dessas divisões é: 
 
 denomi-
nador 
nume-
rador 1º resto 2º resto 3º resto 
4º resto 
(último) 
 
 
 
 ⇓⇓⇓⇓ ⇓⇓⇓⇓ ⇓⇓⇓⇓ ⇓⇓⇓⇓ ⇓⇓⇓⇓ ⇓⇓⇓⇓ 
 
105 77 28 21 7 0 
 ⇑⇑⇑⇑ 
 m.d.c. 
Assim, %)3,73(733,0
15
11
7:105
7:77
105
77
====p 
 
 
 84
 
 
6. Numa caixa tem-se 30 bolas brancas, 15 pretas e 9 azuis. Retirando-se uma bola dessa caixa, determine a 
probabilidade de que a cor dessa bola: 
 
a) Seja branca. 
 
Solução: %)6,55(556,0
9
5
6:54
6:30
54
30
====p 
 
 
Obs.: O m.d.c.(54, 30) = 6. Pela Regra Prática, temos: 54 30 24 6 0 
 m.d.c. 
 
 
 
 
b) Seja branca ou azul. 
 
Solução: 1º modo: %)2,72(722,0
18
13
3:54
3:39
54
39
54
930
====
+
=p 
 
 
Obs.: O m.d.c.(54, 39) = 3. Pela Regra Prática, temos: 54 39 15 9 6 3 0 
 m.d.c. 
 
 
 
 
2º modo: 
 
Probabilidade de que a bola seja branca: 
54
30
1 =p 
Probabilidade de que a bola seja azul: 
54
9
2 =p 
 
A probabilidade de que a bola seja branca ou azul, é: 
 
%)2,72(722,0
18
13
54
39
54
930
54
9
54
30
21 ===
+
=+=+= ppp 
 
 
 
c) Não seja azul. 
 
 
Solução: 
 
 
1º modo: 
 
A probabilidade de que as bolas que não sejam azuis, isto é, brancas (30) ou pretas (15), é: 
%)3,83(833,0
6
5
9:54
9:45
54
45
54
1530
====
+
=p 
 
 
 
2º modo: 
 
A probabilidade da bola ser de cor azul é: 167,0
54
9
==p 
Assim, a probabilidade da bola não ser azul (que é a probabilidade complementar) é: 
 
%)3,83(833,0
54
45
54
954
54
911 ==−=−=⇒−= qpq 
ou 
 
%)3,83(833,0167,011 =−=−= pq 
 
 
 
 
 
7. Numa sala com 40 alunos, qual a probabilidade de, escolhendo um aluno qualquer, ele ter nascido num 
sábado? 
 
Solução: %)3,14(143,0
7
1
==p 
 
 
 
 
8. A comissão de formatura de uma classe fez uma rifa com números de 1 a 1.000. Sabendo que os alunos 
dessa classe compraram todos os números com três algarismos, determine a probabilidade de que o sorteado 
seja um aluno dessa classe. 
 
Solução: %)90(90,0
10
9
000.1
900
===p 
 
 
 85
 
 
9. Retirando-se uma carta de um baralho comum de 52 cartas, determine a probabilidade de se obter: 
 
a) Um “rei”. 
 N A I P E S D O B A R A L H O 
 
 
 
 Paus Espadas Ouros Copas 
 
(pretas) (pretas) (vermelhas) (vermelhas) 
 
 
“REI” (figura) K ♣ K♠ K� K ♥ 
“DAMA” (figura) Q ♣ Q♠ Q� Q ♥ 
“VALETE” (figura) J ♣ J♠ J � J♥ 
(número) 10 ♣ 10♠ 10� 10♥ 
(número) 9 ♣ 9 ♠ 9 � 9♥ 
(número) 8 ♣ 8♠ 8 � 8 ♥ 
(número) 7 ♣ 7♠ 7 � 7♥ 
(número) 6 ♣ 6♠ 6� 6♥ 
(número) 5 ♣ 5♠ 5 � 5 ♥ 
(número) 4 ♣ 4 ♠ 4 � 4 ♥ 
(número) 3 ♣ 3♠ 3� 3♥ 
(número) 2 ♣ 2♠ 2� 2♥ 
“ÁS” (letra) A ♣ A♠ A � A♥ 
 
Solução: %)69,7(0769,0
13
1
52
4
===p 
 
b) Uma carta de “ouros”: %)25(25,0
4
1
52
13
===p 
 
10. Num sorteio de números de 1 a 100, determine a probabilidade de que o número sorteado: 
 
a) Tenha dois algarismos iguais. 
 
Solução: 
O evento é: { 11, 22, 33, 44, 55, 66, 77, 88, 99, 100 }. A probabilidade é: %)10(10,0
10
1
100
10
===p . 
 
b) Seja um número de dois algarismos e que os mesmos sejam iguais. 
 
Solução: 
O evento é: { 11, 22, 33, 44, 55, 66, 77, 88, 99 }. A probabilidade é: %)9(090,0
100
9
==p . 
 
c) Tenha dois algarismos distintos. 
 
Solução: 
 
Os números que NÃO fazem parte do evento (isto é, que têm apenas um algarismo, ou dois algarismos 
iguais), são: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 11, 22, 33, 44, 55, 66, 77, 88 e 99 (ou seja, são 18 números que não servem e 
82 que fazem parte do evento). 
Portanto, a probabilidade pedida é: %)82(82,0
50
41
100
82
===p . 
 
Obs.: O número 100 faz parte do evento, pois é um número que possui dois algarismos distintos: o 0 e o 1. 
 
d) Seja um número de dois algarismos e que os mesmos sejam distintos. 
 
Solução: 
 
Os números que NÃO fazem parte do evento (isto é, que têm apenas um algarismo, ou dois algarismos 
iguais, ou três algarismos), são: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 11, 22, 33, 44, 55, 66, 77, 88, 99 e 100 (ou seja, são 19 
números que não servem e 81 que fazem parte do evento). 
Portanto, a probabilidade pedida é: %)81(81,0
100
81
==p . 
 
 
 86
 
 
11. Cada um dos dois jogadores A e B, lança um dado uma só vez. Vence quem tirar o maior número. Se o 
jogador A tirar o número 2, qual a probabilidade de: 
a) A ganhar? 
 
Solução: 
 
Como o jogador A tirou o número 2, o espaço amostral S possui 6 elementos (pares ordenados), ou seja, 
 
S = { (2, 1), (2, 2), (2, 3), (2, 4), (2, 5), (2, 6) } 
 
O evento é: { (2, 1) }, pois o jogador A somente ganha se o número que ele tirou for maior que o número que 
o jogador B tirar; como o jogador A tirou o 2, ele só terá uma chance de ganhar, que será se o jogador B tirar o 
número 1. Logo, a probabilidade é: %)7,16(167,0
6
1
==p . 
 
b) B ganhar? 
 
Solução: 
 
O evento é: { (2, 3), (2, 4), (2, 5), (2, 6) }, pois o jogador B somente ganha se o número que ele tirar for maior 
que o número que o jogador A tirou, que foi o 1, portanto o jogador B terá 4 chances, que correspondem aos 
números 3, 4, 5 ou 6. 
Logo, a probabilidade é: %)7,66(667,0
3
2
6
4
===p . 
 
 
c) Haver empate? 
 
Solução: 
 
O evento é: { (2, 2) }, pois se o jogador A tirou o 2, somente haverá empate se o jogador B também tirar o 
número 2. 
Portanto, a probabilidade é: %)7,16(167,0
6
1
==p . 
 
 
12. Jogando ao acaso uma moeda e um dado, qual a probabilidade de ocorrer coroa e número menor que 4.? 
 
Solução: 
A probabilidade de obter coroa em uma moeda é: 
2
1
1 =p 
E a probabilidade de sair número menor que 4 em um dado é: 
6
3
2 =p 
Como queremos a probabilidade de obter dois acontecimentos distintos e simultâneos, devemos aplicar a 
Regra da Multiplicação, ou seja, 
%)25(25,0
4
1
12
3
6
3
2
1
21 ===⋅=⋅= ppp 
 
 
 
Obs.: Resolvendo pelo Diagrama da Árvore, temos: 
 
 
 
Casos 
 MOEDA DADO POSSÍVEIS: No diagrama ao lado, temos: 
 
 
 
C 
1 ( C, 1 ) 
 2 ( C, 2 ) 
 3 ( C, 3 ) Número de casos favoráveis: 3 
 4 ( C, 4 ) 
 5 ( C, 5 ) 
 6 ( C, 6 ) Número de casos possíveis: 12 
 
K 
1 ( K, 1 ) 
 2 ( K, 2 ) Portanto, 
 3 ( K, 3 ) 
 4 
 
( K, 4 ) 
 
%)25(25,0
4
1
12
3
===p 
 5 ( K, 5 ) 
 6 ( K, 6 ) 
 
 
 87
 
 
13. Arremessando-se um dado duas vezes sucessivas, qual a probabilidade de sair o número 6 na primeira 
jogada e não sair na segunda? 
 
Solução: 1º modo: 
 
O espaço amostral é formado por 36elementos (pares ordenados): S = { (1,1), (1,2), (1,3), (1,4), (1,5), (1,6), 
(2,1), (2,2), (2,3), (2,4), (2,5), (2,6), (3,1), (3,2), (3,3), (3,4), (3,5), (3,6), (4,1), (4,2), (4,3), (4,4), (4,5), (4,6), (5,1), (5,2), (5,3), 
(5,4), (5,5), (5,6), (6,1), (6,2), (6,3), (6,4), (6,5), (6,6) } e o evento é formado por 5 elementos (pares ordenados): { (6,1), 
(6,2), (6,3), (6,4), (6,5) }. Logo, a probabilidade é: %)9,13(139,0
36
5
==p . 
2º modo: 
 
Primeiro experimento: “primeiro arremesso do dado”. O espaço amostral é: { 1, 2, 3, 4, 5, 6 } e o evento “sair 
o número 6” é: { 6 }. Logo, a probabilidade de sair o 6 na primeira jogada é: 
6
1
1 =p . 
Segundo experimento: “segundo arremesso do dado”. O espaço amostral é: { 1, 2, 3, 4, 5, 6 } e o evento 
“não sair o número 6” é: { 1, 2, 3, 4, 5 }. Logo, a probabilidade de não sair o 6 na segunda jogada é: 
6
5
2 =p . 
Assim, a probabilidade pedida é: %)9,13(139,0
36
5
6
5
6
1
21 ==⋅=⋅= ppp . 
 
 
 
14. Numa caixa há 12 bolas, sendo 4 pretas e 8 brancas. Noutra caixa há 10 bolas, sendo 6 pretas e 4 brancas. 
Tirando ao acaso uma bola de cada caixa, qual a probabilidade de que a bola retirada da primeira caixa seja 
preta e a da segunda seja: 
 
a) Branca? 
Solução: A probabilidade de sair bola preta na primeira caixa: 
3
1
12
4
1 ==p e a probabilidade de sair bola branca 
na segunda caixa: 
5
2
10
4
2 ==p . Logo, a probabilidade pedida é: %)3,13(133,015
2
5
2
3
1
21 ==⋅=⋅= ppp . 
 
b) Preta, também? 
Solução: A probabilidade de sair bola preta na primeira caixa: 
3
1
12
4
1 ==p e a probabilidade de sair bola preta 
na segunda caixa: 
5
3
10
6
2 ==p . Portanto, a probabilidade pedida é: %)20(20,05
1
15
3
5
3
3
1
21 ===⋅=⋅= ppp . 
 
 
 
15. Arremessando 3 moedas para o ar, determine a probabilidade de se obter duas caras e uma coroa, sendo: 
 
 
a) Pela Regra da Multiplicação. 
Solução: Considere a s seguintes probabilidades: p1 = probabilidade se sair cara na 1ª moeda (
2
1
1 =p ), 
p2 = probabilidade se sair cara na 2ª moeda (
2
1
2 =p ) e p3 = probabilidade se sair coroa na 3ª moeda ( 2
1
3 =p ). 
Como as duas caras e uma coroa podem sair de 3 modos diferentes nas três moedas, ou seja, CCK, CKC e 
KCC, onde C = cara e K = coroa, então, a probabilidade pedida é: 
⇒⋅⋅⋅=⋅⋅⋅=
2
1
2
1
2
133 321 pppp %)5,37(375,08
3
==p 
 
b) Pelo Diagrama da Árvore. 
 
 1ªmoeda 2ªmoeda 3ªmoeda 8 casos possíveis: 
 Cara � 
Cara (C, C, C) 
 
Cara � � 
Coroa > (C, C, K) → 1º caso favorável 
 � Coroa � 
Cara 
> (C, K, C) → 2º caso favorável 
 
 
 � Coroa (C, K, K) 
 
 
 
 
Cara � 
Cara 
> (K, C, C) → 3º caso favorável 
 Coroa � � Coroa 
 (K, C, K) 
 � Coroa � Cara 
 (K, K, C) 
 � Coroa (K, K, K) 
 
 
 
p = 
Nº de casos favoráveis 
⇒ %)5,37(375,08
3
==p 
 Nº de casos possíveis 
 
 
 88
 
 
E X E R C Í C I O S (probabilidades simples) 
 
 
1. Um estudo de 500 voos da American Airlines selecionados aleatoriamente, mostrou que 430 chegaram no 
horário (com base em dados do Ministério dos Transportes). Qual é a probabilidade estimada de um voo 
dessa empresa chegar no horário? 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
2. Logo após o término de um determinado programa de TV transmitido em rede nacional, o departamento 
comercial de uma das empresas patrocinadoras do programa fez uma pesquisa com 1.750 telespectadores 
que assistiram esse programa, e perguntaram se recordavam do nome do novo produto anunciado durante 
os intervalos comerciais. Sabendo que 1.083 pessoas responderam afirmativamente, determine a 
probabilidade de que uma pessoa escolhida aleatoriamente e que tenha assistido ao programa, não se 
recorde do nome desse novo produto. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
3. Uma bola é retirada ao acaso de uma urna que contém 6 bolas vermelhas, 8 pretas e 4 verdes. Determine a 
probabilidade dessa bola: 
a) Não ser preta. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
b) Não ser verde. c) Ser vermelha. 
 
 
4. No jogo de “par ou ímpar”, determine a probabilidade de ocorrer par se: 
a) Não considerar o zero. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
b) Considerar o zero. 
 
 
 
 
 
 
 
5. Uma turma de Estatística dos cursos das engenharias é formada por 26 alunos de Engenharia de Produção, 
16 de Engenharia Elétrica, 11 de Engenharia Química e 7 de Engenharia Ambiental. Se um desses alunos é 
sorteado aleatoriamente para participar de uma pesquisa, determine a probabilidade de que esse aluno: 
a) Seja um estudante de Engenharia de Produção. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
c) Não seja um estudante de Engenharia 
Elétrica. 
 
 
 
 
 
 
 
b) Seja um estudante de Engenharia Química ou Ambiental. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
6. Em um estudo sobre o funcionamento de um componente eletrônico em um sistema, suponha que a 
probabilidade de que esse componente falhe é 20%, e a probabilidade de que ele se deforme, mas não falhe 
é 35%. Determinar a probabilidade de que esse componente: 
a) Não falhe em um sistema. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
c) Funcione perfeitamente bem (isto é, não falhe nem 
se deforme). 
 
 
 
 
 
 
 
b) Falhe ou se deforme. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 89
 
 
7. A tabela abaixo nos dá as porcentagens dos tipos de acidentes e os turnos de trabalhos, registrados por uma 
empresa no ano passado: 
 
 Turno Condições inseguras Erro humano 
 Matutino 5% 32% 
 Vespertino 6% 25% 
 Noturno 2% 30% 
 
Escolhendo-se aleatoriamente um dos acidentes registrados, determine a probabilidade de que esse acidente 
tenha ocorrido: 
 
a) Durante o turno noturno. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
d) No turno vespertino ou no turno noturno. 
 
 
 
b) Devido a erro humano. 
 
 
e) No turno matutino e por condições inseguras. 
 
 
 
 
 
 
c) Devido a condições inseguras. 
 
 
 
 
 
 
 
f) No turno vespertino e por erro humano. 
 
 
8. Arremessando-se dois dados para o ar, determine a probabilidade de: 
 
a) Obter soma das faces dos dois dados igual a 8. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
b) Obter soma das faces igual a 7 ou 11. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
9. Lançando-se um dado duas vezes sucessivas, qual a probabilidade de: 
a) Sair nº 6 nas duas jogadas. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
d) Não sair nº 6 na primeira jogada e sair nº 6 na 
segunda. 
 
 
 
 
 
 
 
b) Não sair nº 6 em nenhuma jogada. 
 
 
 
 
 
 
e) Sair nº 6 em apenas uma das jogadas. 
 
 
 
 
 
 
 
c) Sair nº 6 na primeira jogada e não sair nº 6 na 
segunda. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
f) Sair pelo menos um nº 6 nas duas jogadas. 
 
10. Numa caixa há 12 bolas, sendo 4 pretas e 8 brancas. Noutra caixa há 10 bolas, sendo 6 pretas e 4 brancas. 
Tirando ao acaso uma bola de cada caixa, qual a probabilidade de que: 
a) A bola retirada da primeira caixa seja preta e a da 
segunda seja branca? 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
b) A bola tirada da primeira caixa seja preta e da 
segunda também? 
 
 
 
 
 
 
 
 
 90
 
 
11. Numa caixa há 20 peças, sendo 12 boas e 8 defeituosas. Noutra caixa há 15 peças, sendo 10 boas e 5 
defeituosas. Tirando ao acaso uma peça de cada caixa, qual aprobabilidade de que: 
a) A peça retirada da primeira caixa seja boa e a da 
segunda seja defeituosa? 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
e) Ambas sejam boas ou defeituosas? 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
b) A peça tirada da primeira caixa seja defeituosa e a 
da segunda seja boa? 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
f) A peça da segunda caixa seja defeituosa? 
 
 
 
 
 
 
 
c) Ambas sejam boas? 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
g) Uma peça seja boa e a outra defeituosa? 
 
 
 
 
 
d) Ambas sejam defeituosas? 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
h) Pelo menos uma peça seja boa? 
 
 
12. Numa caixa há fichas numeradas de 1 a 9 e, em outra, de 11 a 19. Tirando-se uma ficha de cada caixa, qual 
a probabilidade de que: 
a) As duas fichas tenham números pares? 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
c) A primeira tenha número par e a segunda ímpar? 
 
b) As duas fichas tenham números ímpares? 
 
 
 
 
 
 
 
 
d) Uma delas tenha número par e a outra ímpar? 
 
 
13. Numa caixa há fichas numeradas de 1 a 9. Retirando-se duas fichas, sem reposição, determine a 
probabilidade de que a segunda ficha sorteada seja ímpar, sabendo que na primeira retirada saiu número 
par. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
14. Temos um baralho comum de 52 cartas de onde serão retiradas duas cartas, sem reposição. Determine as 
seguintes probabilidades: 
a) Número par na primeira carta retirada e figura na 
segunda. 
 
 
 
 
 
 
 
 
d) A segunda carta retirada seja um rei sabendo que 
na primeira saiu um rei. 
 
 
 
 
b) A primeira carta retirada é preta e a segunda é de 
copas. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
e) A primeira carta retirada não é um rei. 
 
c) Duas cartas com número maior que 7. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 91
 
 
15. Peças produzidas por uma máquina são classificadas em três categorias: defeituosas, recuperáveis e 
perfeitas, com probabilidade de 10%, 20% e 70%, respectivamente. De um grande lote dessas peças, foram 
sorteadas duas delas e observada sua classificação. Determine a probabilidade de: 
a) As duas peças serem defeituosas. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
c) Uma ser recuperável e uma perfeita. 
 
 
 
 
 
 
b) Pelo menos uma ser perfeita. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
d) Uma ser defeituosa e uma recuperável. 
 
 
16. Cada caixa de determinado tipo de componente eletrônico possui 80 unidades. Foi escolhida aleatoriamente 
uma das caixas para testar e classificar esses componentes quanto à sua durabilidade. A tabela abaixo 
apresenta os resultados obtidos: 
 
 Durabilidade Quantidade 
 Muito ruim 8 
 Abaixo da média 13 
 Média 16 
 Acima da média 23 
 Excelente 20 
 
 
 
Escolhendo-se aleatoriamente um desses componentes da produção, determine a probabilidade de que esse 
componente tenha uma durabilidade: 
a) Acima da média. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
d) Média ou melhor. 
 
 
 
 
b) Média ou excelente. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
e) Média ou pior. 
 
 
c) Abaixo da média ou muito ruim. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
17. Uma urna contém 6 bolas brancas e 4 pretas; outra contém 7 brancas e 5 pretas. Se for retirada uma bola de 
cada urna, determine a probabilidade de: 
a) Ambas serem brancas. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
c) Ambas serem da mesma cor. 
 
b) Ambas serem pretas. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
d) Uma ser branca e outra preta. 
 
 
 
 92
 
 
18. Retiram-se duas bolas de uma caixa que contém 2 brancas e 3 pretas. Determine a probabilidade da 1ª bola 
ser branca e a 2ª preta, sendo: 
a) Com reposição. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
b) Sem reposição. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
19. Um número inteiro é escolhido aleatoriamente dentre os números 1, 2, 3, ... , 49, 50. Determine a 
probabilidade desse número: 
a) Ser par. 
 
 
 
 
 
 
 
d) Terminar em 3. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
b) Ser ímpar e menor que 15. 
 
 
 
 
 
 
 
 
e) Ser divisível por 6 ou por 8. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
c) Ser divisível por 5. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
f) Ser divisível por 4 e por 6. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
20. Um número inteiro é escolhido aleatoriamente entre 10 e 30. Determine a probabilidade desse número: 
a) Ser par. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
c) O número ser divisível por 6 ou por 8. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
b) Ser divisível por 5. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
d) O número ser divisível por 3 e por 5. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
21. Jogando ao acaso um dado e uma moeda, determine a probabilidade de ocorrer: 
a) Coroa e um número maior que 4. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
c) Cara e número ímpar. 
 
 
 
 
 
 
 
 
b) Cara e número diferente de 6. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
d) Coroa e número menor ou igual a 2. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
22. Retirando-se uma carta de um baralho comum de 52 cartas, determine a probabilidade de sair: 
a) Uma carta vermelha. 
 
 
 
 
 
 
 
 
c) Um valete. 
 
 
 
 
 
 
 
 
b) Uma carta de copas. 
 
 
 
 
 
 
d) Uma figura de cor preta. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 93
 
 
23. A tabela abaixo nos dá a idade e estado civil de uma amostra de 150 funcionários de uma empresa: 
 
 
 
Idade Estado Civil 
 
 
 
(em anos) Solteiro Casado 
 Menos de 20 77 8 
 20 a 40 22 16 
 Mais de 40 6 21 
 
Determine a probabilidade de que um funcionário aleatoriamente escolhido: 
 
a) Seja casado. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
d) Seja solteiro e tenha menos de 20 anos. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
b) Seja solteiro e tenha idade entre 20 e 40 anos. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
e) Tenha 20 anos ou mais. 
 
 
 
 
 
 
 
 
c) Tenha mais de 40 anos. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
f) Tenha menos de 20 anos ou mais de 40. 
 
 
 
 
 
 
 
24. João e Pedro estão disputando um final de torneio de tiro ao alvo. A probabilidade de João acertar o alvo é 
1/2 e de Pedro acertar é 3/5. Qual a probabilidade do alvo ser atingido se ambos atirarem no alvo? 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
25. Sabe-se que um meteorito se encaminha (aleatoriamente) para a Terra. Qual a probabilidade de que uma 
cidade que tem 36 km² ser atingida por esse meteorito? (A área da superfície da Terra é de, 
aproximadamente, 518 milhões de km²). 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
26. Se as probabilidades de que em uma oficina mecânica sejam consertados 3, 4, 5, 6, 7 ou 8 ou mais carros 
em qualquer dia de trabalho são, respectivamente, 0,12; 0,19; 0,28; 0,24, 0,10 e 0,07, determine a 
probabilidade de que nessa oficina serão consertados pelo menos cinco carros em seu próximo dia de 
trabalho? 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
27. Em uma empresa que tem um totalde 2.627 funcionários, foi feito um levantamento sobre os doadores de 
sangue e constatou-se que 568 são doadores de sangue. Qual é a probabilidade de que um funcionário 
dessa empresa aleatoriamente escolhido seja doador de sangue? 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 94
 
 
28. Em um jogo de moedas, o jogador ganha se tirar duas caras consecutivas. Sabe-se que um jogador jogou 
uma moeda duas vezes e saiu cara em uma das jogadas. Qual é a probabilidade de o jogador ter ganho? 
(Dica: Construa o Diagrama da Árvore) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
29. A probabilidade de um homem estar vivo daqui a 25 anos é de 3/5, e a de sua mulher também estar viva na 
mesma ocasião é de 2/3. Determine a probabilidade de que, daqui a 25 anos: 
a) Ambos estejam vivos. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
c) Somente a mulher esteja viva. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
b) Somente o homem esteja vivo. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
d) Pelo menos um deles esteja vivo. 
 
 
 
30. As probabilidades de três motoristas serem capazes de dirigir até sua casa com segurança, depois de beber, 
são 1/3, 1/4 e 1/5, respectivamente. Se decidirem dirigir até em casa, depois de beber numa festa, determine 
a probabilidade de: 
a) todos os três motoristas sofrerem acidentes. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
b) Pelo menos um dos motoristas dirigir até em casa salvo. 
 
 
 
 
 
 
 
 
Respostas: 
1. 43/50 = 0,86 (86%) 
2. 667/1750 = 0,381 (38,1%) 
3. a) 5/9 = 0,556 (55,6%); b) 7/9 = 0,778 (77,8%); c) 1/3 = 0,333 (33,3%) 
4. a) 1/2 = 0,50 (50%); b) 6/11 = 0,545 (54,5%) 
5. a) 13/30 = 0,433 (43,3%); b) 3/10 = 0,30 (30%); c) 11/15 = 0,733 (73,3%) 
6. a) 0,80 (80%); b) 0,55 (55%)/; c) 0,45 (45%) 
7. a) 32%; b) 87%; c) 13%; d) 63%; e) 5%; f) 25% 
8. a) 5/36 = 0,139 (13,9%); b) 2/9 = 0,222 (22,2%) 
9. a) 1/36 = 0,0278 (2,78%); b) 25/36 = 0,694 (69,4%); c) 5/36 = 0,139 (13,9%); d) 5/36 = 0,139 (13,9%); e) 5/18 = 0,278 (27,8%); 
f) 11/36 = 0,306 (30,6%) 
10. a) 2/15 = 0,133 (13,3%); b) 1/5 = 0,20 (20%) 
11. a) 1/5 = 0,20 (20%); b) 4/15 = 0,267 (26,7%); c) 2/5 = 0,40 (40%); d) 2/15 = 0,133 (13,3%); e) 8/15 = 0,533 (53,3%); 
f) 1/3 = 0,333 (33,3%); g) 7/15 = 0,467 (46,7%); h) 13/15 = 0,867 (86,7%) 
12. a) 16/81 = 0,198 (19,8%); b) 25/81 = 0,309 (30,9%); c) 20/81 = 0,247 (24,7%); d) 40/81 = 0,494 (49,4%) 
13. 5/8 = 0,625 (62,5%) 
14. a) 20/221 = 0,0905 (9,05%); b) 13/102 = 0,127 (12,7%); c) 11/221 = 0,0498 (4,98%); d) 1/17 = 0,0588 (5,88%); e) 12/13 = 0,923 (92,3%) 
15. a) 0,01 (1%); b) 0,91 (91%); c) 0,28 (28%); d) 0,40 (40%) 
16. a) 23/80 = 0,288 (28,8%); b) 9/20 = 0,45 (45%); c) 21/80 = 0,262 (26,2%); d) 59/80 = 0,738 (73,8%); e) 37/80 = 0,462 (46,2%) 
17. a) 7/20 = 0,350 (35%); b) 1/6 = 0,167 (16,7%); c) 31/60 = 0,517 (51,7%); d) 29/60 = 0,483 (48,3%) 
18. a) 6/25 = 0,24 (24%); b) 3/10 = 0,30 (30%) 
19. a) 1/2 = 0,50 (50%); b) 7/50 = 0,14 (14%); c) 1/5 = 0,20 (20%); d) 1/10 = 0,10 (10%); e) 6/25 = 0,24 (24%); f) 2/25 = 0,08 (8%) 
20. a) 9/19 = 0,474 (47,4%); b) 3/19 = 0,158 (15,8%); c) 4/19 = 0,211 (21,1%); d) 1/19 = 0,0,0526 (5,26%) 
21. a) 1/6 = 0,167 (16,7%); b) 5/12 = 0,417 (41,7%); c) 1/4 = 0,25 (25%); d) 1/6 = 0,167 (16,7%) 
22. a) 1/2 = 0,50 (50%); b) 1/4 = 0,25 (25%); c) 1/13 = 0,0769 (7,69%); d) 3/26 = 0,115 (11,5%) 
23. a) 3/10 = 0,30 (30%); b) 11/75 = 0,147 (14,7%); c) 9/50 = 0,18 (18%); d) 77/150 = 0,513 (51,3%); e) 13/30 = 0,433 (43,3%); 
f) 83/150 = 0,553 (55,3%) 
24. 4/5 = 0,80 (80%) 
25. 18/259000000 = 0,0000000695 (0,00000695%) 
26. 0,69 (69%) 
27. 8/37 = 0,216 (21,6%) 
28. 1/3 = 0,333 (33,3%) 
29. a) 2/5 = 0,40 (40%); b) 1/5 = 0,20 (20%); c) 4/15 = 0,267 (26,7%); d) 13/15 = 0,867 (86,7%) 
30. a) 2/5 = 0,40 (40%); b) 3/5 = 0,60 (60%) 
 
 
 95
 
 
A N Á L I S E C O M B I N A T Ó R I A 
 
 
 
Para podermos desenvolver o estudo sobre as distribuições de probabilidades, precisamos aplicar os 
conceitos da Análise Combinatória, que é a parte da Matemática que estuda o número de possibilidades de 
ocorrência de um determinado acontecimento (evento) sem, necessariamente, descrever todas as possibilidades. 
Tem por objetivo resolver problemas através de agrupamentos de elementos de um conjunto, sendo um 
importante instrumento para as ciências aplicadas, como a Engenharia, a Medicina e a Estatística, entre outras. 
 
 
 
P R I N C Í P I O F U N D A M E N T A L D A C O N T A G E M 
 
 
Se um acontecimento pode ocorrer por várias etapas sucessivas e independentes, de tal modo que: 
 
n1 é o número de possibilidades da 1ª etapa 
 
n2 é o número de possibilidades da 2ª etapa 
⁞ 
nk é o número de possibilidades da k-ésima etapa 
 
então, o número total de possibilidades do acontecimento ocorrer é dado pelo produto dos números de 
possibilidades das etapa, isto é, n1 • n2 • ... • nk. 
 
Exemplo: Um homem tem três paletós, quatro camisas e duas gravatas, todos de cores distintas. De quantos 
modos ele poderá vestir-se em um determinado dia? 
Solução: Sendo: n1 = 3 (número de paletós) 
n2 = 4 (número de camisas) 
n3 = 2 (número de gravatas), temos, então, o seguinte total (n) de modos pelos quais esse 
homem poderá vestir-se: n1 • n2 • n3 = 3 • 4 • 2 = 24 modos 
 
Uma forma de visualizarmos todos esses modos é através do Diagrama da Árvore (ou diagrama 
sequencial) assim representado: 
 
 
 
 96
 
 
F A T O R I A L 
 
 
 
 
 
Sendo n um número natural maior que 1, define-se fatorial de n, e indica-se por n! (lê-se: “n fatorial” ou 
“fatorial de n”) a expressão: 
 
 
123)2()1(! ⋅⋅⋅⋅−⋅−⋅= Knnnn
 
 
 
 
 
 
Definições especiais: 



=
=
1!1
1!0
 
 
 
 
Exemplos 
 
 
1) 3! = 3•2•1 = 6 
 
2) 5! = 5•4•3•2•1 = 120 
 
3) 7! = 7•6•5•4•3•2•1 = 5040 
 
4) 10! = 10•9•8•7•6•5•4•3•2•1 = 3628800 
 
 
 
 
 
 
 
 
A R R A N J O S S I M P L E S 
 
 
 
 
 
Chamam-se arranjos simples todos os agrupamentos de p elementos, todos distintos, que podemos 
formar com n elementos distintos, sendo p ≤ n. Cada um desses agrupamentos se diferencia de outro pela 
ordem ou natureza de seus elementos. 
 
 
A fórmula é: )!(
!
, pn
nA pn
−
=
 
Lê-se: “arranjo simples de n elementos tomados p a p” 
 
 
Exemplos 
 
 
1. Quantos números de 2 algarismos distintos podemos formar com os algarismos 1, 2, 3, 4 e 5? 
 
Solução: .2045
!3
!345
)!25(
!5
2,5 =⋅=
⋅⋅
=
−
=A
 Assim, podemos formar 20 números de 2 algarismos. 
 
São eles: 1º número 12 11º número 34 
 2º número 13 12º número 35 
 3º número 14 13º número 41 
 4º número 15 14º número 42 
 5º número 21 15º número 43 
 6º número 23 16º número 45 
 7º número 24 17º número 51 
 8º número 25 18º número 52 
 9º número 31 19º número 53 
 10º número 32 20º número 54 
 
 
 
2. Quantos anagramas de 3 letras distintas podemos formar com as letras A, B, C, D, E, F, G e H? 
 
Solução: .336678!5
!5678
)!38(
!8
3,8 =⋅⋅=
⋅⋅⋅
=
−
=A Logo, podemos formar 336 anagramas. 
 
 
 97
 
 
P E R M U T A Ç Ã O S I M P L E S 
 
 
 
Permutação simples de n elementos distintos é qualquer agrupamento ordenado, sem repetição, em que 
 
entram todos os elementos de cada grupo. 123)2()1(! ⋅⋅⋅⋅−⋅−⋅== KnnnnPn
 
 
 
 
 
E X E M P L O S (permutação simples) 
 
 
1. De quantos modos distintos podemos colocar 3 automóveis em uma garagem com capacidade para 3 
automóveis? 
 
Solução: P3 = 3! = 3·2·1 = 6, ou seja, temos 6 modos diferentes de estacionar esses3 automóveis na garagem. 
 
De fato, representando os três automóveis por A, B e C, eles podem ficar dispostos dos seis seguintes 
modos na garagem: ABC, ACB, BAC, BCA, CAB e CBA. 
 
 GARAGEM 
 
1º modo: A B C 
 
2º modo: A C B 
 
3º modo: B A C 
 
4º modo: B C A 
 
5º modo: C A B 
 
6º modo: C B A 
 
 
2. Quantos anagramas podemos formar com as letras da palavra UNISO? 
 
Solução: P5 = 5! = 5·4·3·2·1 = 120 anagramas 
 
 
3. Deseja-se dispor 5 homens e 4 mulheres em fila, de modo que as mulheres ocupem os lugares pares. 
Quantos são os modos possíveis? 
 
Solução: P = P5·P4 = 5!·4! = 120·24 = 2880 modos diferentes 
 
 
 
 
 
C O M B I N A Ç Ã O S I M P L E S 
 
 
 
Chama-se combinação simples todos os agrupamentos simples de x elementos que podemos formar com 
n elementos distintos, sendo x ≤ n. Cada um desses agrupamentos se diferencia de outro apenas pela natureza 
de seus elementos. 
A fórmula é: )!(!
!
,
xnx
n
x
n
C xn
−⋅
=





=
 
Lê-se: “combinação simples de n elementos tomados x a x” 
 
 
Obs.: 





=
x
n
C xn,
 
onde 





x
n
 
é o número binomial de n sobre x 
 
 
 
 
E X E M P L O S (combinações simples) 
 
 
 
1. Quantas comissões (combinações simples) de dois alunos que podemos formar com três alunos: Antonio, 
Benedito e Carla? 
Solução: 3
2
3
3
112
123
!1!2
!3
)!23(!2
!3
2
3
=





⇒=
⋅⋅
⋅⋅
=
⋅
=
−⋅
=





 combinações, ou seja, são 3 comissões que podem ser 
 
assim constituídas: 1ª comissão: Antonio e Benedito 
 
2ª comissão: Antonio e Carla 
 
3ª comissão: Benedito e Carla 
 
 
Note que, na 1ª comissão, se trocarmos a ordem dos dois alunos, ela será constituída por Benedito e 
Antonio, mas essa “nova” comissão continuará sendo a mesma, pois em uma combinação, os agrupamentos se 
diferem pela natureza e não pela ordem, como ocorre nos arranjos simples. 
 
 
 98
 
 
 
ATENÇÃO 
 
 
 
 
NÃO representar o número binomial 





2
3
 por 





2
3
: esse traço de fração entre o 3 e o 2 NÃO EXISTE!! 
 
 
 
 
 
2. Uma lanchonete utiliza as seguintes frutas para preparar os sucos para seus clientes: 
A (Abacate), B (Banana), L (Laranja), M (Maçã) e P (Pera). Quantos tipos de sucos com três frutas diferentes 
podem ser preparados nessa lanchonete? 
 
Solução: Como 10)12()123(
12345
!2!3
!5
)!35(!3
!5
3
5
=
⋅⋅⋅⋅
⋅⋅⋅⋅
=
⋅
=
−⋅
=





 combinações, então, com essas 5 frutas, a lancho- 
 
nete pode preparar 10 tipos diferentes de sucos utilizando 3 frutas (diferentes) de cada vez. Esses 10 sucos são: 
 1º suco: ABL (Abacate, Banana e Laranja) 
 2º suco: ABM (Abacate, Banana e Maçã) 
 3º suco: ABP (Abacate, Banana e Pera) 
 4º suco: ALM (Abacate, Laranja e Maçã) 
 5º suco: ALP (Abacate, Laranja e Pera) 
 6º suco: AMP (Abacate, Maçã e Pera) 
 7º suco: BLM (Banana, Laranja e Maçã) 
 8º suco: BLP (Banana, Laranja e Pera) 
 9º suco: BMP (Banana, Maçã e Pera) 
 10º suco: LMP (Laranja, Maçã e Pera) 
 
3. Calcule: 





3
8
 
Solução: 
1º modo: 56
720
40320
1206
40320
)12345()123(
12345678
!5!3
!8
)!38(!3
!8
3
8
==
⋅
=
⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅
⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅
=
⋅
=
−⋅
=





 
 
 
2º modo: 56
6
336
!5123
!5678
!5!3
!8
)!38(!3
!8
3
8
==
⋅⋅⋅
⋅⋅⋅
=
⋅
=
−⋅
=





 
 
 
3º modo (PRÁTICO): 56
6
336
123
678
3
8
==
⋅⋅
⋅⋅
=





 
ou 56
123
678
3
8
=
⋅⋅
⋅⋅
=





 
 
 
Procedimento: Como o valor na parte inferior dos parênteses do número binomial é 3, basta colocar no 
numerador do cálculo da fração 3 fatores em ordem decrescente, começando pelo número 
8, que é o valor que está na parte superior dos parênteses do número binomial, ou seja, 
colocar o produto: 8·7·6 = 336, e no denominador da fração colocar o 3! = 3 · 2 · 1 = 6 
 
4. Calcule: 





4
10
 
Solução: Pelo modo prático, temos: 210
24
5040
1234
78910
4
10
==
⋅⋅⋅
⋅⋅⋅
=





 
 
 
5. Calcule: 





2
15
 
Solução: Pelo modo prático, temos: 105
2
210
12
1415
2
15
==
⋅
⋅
=





 
 
 
 
 99
 
 
6. Calcule: 





1
6
 
Solução: Pelo modo prático, temos: 6
1
6
1
6
==





 
 
 
7. Calcule: 





5
5
 
Solução: Pelo modo prático, temos: 1
12345
12345
5
5
=
⋅⋅⋅⋅
⋅⋅⋅⋅
=





 
 
 
8. Calcule: 





9
12
 
Solução: Pelo modo prático, temos: 220
123
101112
123456789
456789101112
9
12
=
⋅⋅
⋅⋅
=
⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅
⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅
=





 
 
 
9. Calcule: 





3
12
 
Solução: Pelo modo prático, temos: 220
123
101112
3
12
=
⋅⋅
⋅⋅
=





 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
C O M B I N A Ç Õ E S C O M P L E M E N T A R E S 
 
 
 
Obs.: Note que a coincidência nos resultados acima, dos números binomiais: 





=
=
9
12
1x
n
 
e 





=
=
3
12
2x
n
 
não é por acaso; eles são chamados de combinações (ou números binomiais) complementares, pois a soma 
de x1 e x2 é igual a n, isto é, x1 + x2 = 9 + 3 = 12 = n. 
 
 
A fórmula geral é: Cn,x = Cn, n – x 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
E X E M P L O S (combinações complementares) 
 
 
 
 
 
 
 
 
1. Calcule: 





98
100
 
 
Solução: Como 





98
100
 e 





2
100
 
são iguais, pois são números binomiais complementares, 
é bem mais prático calcular o segundo número binomial, ou seja: 4950
12
99100
2
100
98
100
=
⋅
⋅
=





=





 
 
 
 
 
Obs.: Utilizando a fórmula do número binomial de 100 por 98, temos: 
 
 
 
4950
2
9900
!2
99100
!2!89
!8999100
)!98100(!98
!100
98
100
==
⋅
=
⋅
⋅⋅
=
−⋅
=





 
 
 
 100
 
 
2. Calcule: 





0
5
 
Solução: Pela fórmula do número binomial, temos: 1
!51
!5
)!05(!0
!5
0
5
=
⋅
=
−⋅
=





 
 
 
Obs.: Note que 





=





5
5
0
5
, pois são números binomiais complementares. 
 
 
 
De um modo geral, temos: 
 
 
a) 1
0
=





=





n
nn
, para todo número natural. 
 
De fato, 1
!1
!
)!0(!0
!
0
=
⋅
=
−⋅
=





n
n
n
nn
e 1
11
1
!0!
!
)!(!
!
=
⋅
=
⋅
=
−⋅
=





n
n
nnn
n
n
n
 
 
 
 
b) nn =





1
, para todo número natural. 
 
De fato, n
n
n
nn
n
nn
==
−⋅
−⋅
=
−⋅
=





1)!1(1
)!1(
)!1(!1
!
1
 
 
 
 
 
 
E X E R C Í C I O S (combinações simples) 
 
 
 
 
Resolver: 
1. 





4
9
 = 8. 





4
4
 = 
2. 





2
11
 = 9. 




0
3
 = 
3. 





3
10
 = 10. 





6
16
 = 
4. 





10
13
 = 11. 





5
40
 = 
5. 





4
25
 = 12. 





29
32
 = 
6. 





6
7
 = 13. 





73
80
 = 
7. 





1
8
 = 14. 





5,2
5
 = 
 
 
Respostas: 1. 126; 2. 55; 3. 120; 4. 286; 5. 12650; 6. 7; 7. 8; 8. 1; 9. 1; 
10. 8008; 11. 658008; 12. 4960; 13. 3176716400; 14. Não é definido 
 
 
 101
 
 
D i s t r i b u i ç õ e s d e P r o b a b i l i d a d e s 
 
 
 
Uma distribuição de probabilidades é uma distribuição de frequências relativas para os resultados de um 
espaço amostral, e que mostra a proporção das vezes em que a variável aleatória tende a assumir cada um dos 
diversos valores. As distribuições de probabilidade se dividem em duas partes iguais: 
1ª) Distribuição discreta (ou descontínua) de probabilidades – é quando uma distribuição envolve variáveis 
aleatórias relativas a dados que podem ser contados (variáveis discretas). 
Destacamos como distribuição discreta de probabilidades: a binomial, a hipergeométrica e a de Poisson. 
2ª) Distribuição contínua de probabilidades – é quando uma distribuição envolve variáveis aleatórias que 
apresentam um grande número de resultados possíveis. 
Destacamos como distribuição contínua de probabilidades: a distribuição uniforme, a exponencial e a 
normal (ou de GAUSS). 
 
 
 
DISTRIBUIÇÕES DISCRETAS DE PROBABILIDADES 
 
 
D I S T R I B U I Ç Ã O B I N O M I A L 
 
A distribuição binomial é uma distribuição discreta de probabilidade, aplicável sempre que o processo de 
amostragem é do tipo de Bernoulli. 
 
 
A distribuição binomial é utilizada para eventos COM reposição (ou repetição). 
 
Um processo é de Bernoulli quando: 
a) só existem dois resultados (sucesso e fracasso); 
b) os eventos são independentes; 
c) a probabilidade de sucesso é constante de tentativa para tentativa, isto é, o processo é estacionário. 
A fórmula geral da probabilidade binomial é dada por: xnx qp
x
n
xP −⋅⋅





=)(
 
onde, x = número de sucessos, em n tentativas 
n – x = número de fracassos, em n tentativas 
p = probabilidade de sucesso em uma tentativa 
q = probabilidade de fracasso nessa tentativa (lembrete: q = 1 – p) 






x
n
 = número de resultados experimentais que fornecem exatamente x sucessos e n ensaios (em 
Matemática, chamamos de combinação ou número binomial) 
 
 
REGRA DO ARREDONDAMENTO (DISTRIBUIÇÃO BINOMIAL) 
 
O resultado de uma probabilidade, na forma decimal, deve ser arredondado para três 
dígitos significativos. 
 
 
Obs.: Quando o 3º algarismo significativo de uma probabilidade escrita na forma decimal for zero, podemos 
desprezá-lo. Por exemplo, a probabilidade: 0,100 pode ser representada por 0,10 
0,250 pode ser representada por 0,25 
0,00370 pode ser representada por 0,0037 
 
 
 102
 
 
E X E M P L O S (distribuição binomial) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
1. Jogando-se 5 moedas para o ar, determine a probabilidade de se obter 3 caras (e 2 coroas). 
 
 
 
Solução: 
 
 
23
2
1
2
1
3
5)3()( 





⋅





⋅





==⇒⋅⋅





=
− xPqp
x
n
xP xnx 
 
 
 
Como 10
123
345
3
5
=
⋅⋅
⋅⋅
=





, temos: 
 
 
 
⇒===⋅⋅== 312,0
16
5
32
10
4
1
8
110)3(xP P(x = 3) = 0,312 (31,2%) . 
 
 
 
 
 
2. Numa caixa tem-se 20 peças boas e 6 defeituosas. Retirando-se 6 peças dessa caixa, com reposição, 
determine a probabilidade de se obter 4 peças boas. 
 
 
 
Solução: 
 
 
24
26
6
26
20
4
6)4( 





⋅





⋅





==xP 
 
 
 
Como 15
12
56
2
6
4
6
=
⋅
⋅
=





=





, temos: 
 
 
 
⇒=⋅⋅== 280,0053254,0350128,015)4(xP P(x = 4) = 0,28 (28%) . 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Observações: 
 
 
 
a) Para padronizarmos o processo de cálculo, cada um dos fatores intermediários 
deve ser arredondado para seis casas decimais. 
 
 
 
b) Caso o fator apresente uma grande quantidade de zeros, aumentar a quantidade 
de casas decimais até que tenhamos dois algarismos significativos. 
 
 
 
Exemplo: Um fator do tipo: 0,0000003176... deve ser arredondado para 0,00000032. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
3. Numa caixa tem-se 16 bolas brancas, 10 pretas e 5 azuis. Retirando-se 5 bolas dessa caixa, com reposição, 
determine a probabilidade de que 3 dessas bolas retiradas sejam branca. 
 
 
Solução: 
 
 
 
Como 10
123
345
3
5
=
⋅⋅
⋅⋅
=





, temos: 
 
 
 
⇒⋅⋅== 234131,0137491,010)3(xP P(x = 3) = 0,322 (32,2%) . 
 
 
 103
 
 
4. Num determinado processo de fabricação 15% das peças são consideradas defeituosas. As peças são 
acondicionadas em caixas com 7 unidades cada uma. 
 
a) Qual a probabilidade de haver exatamente 4 peças defeituosas em uma caixa qualquer? 
 
 
 
Solução: ( ) ( )34 85,015,0
4
7)4( ⋅⋅





==xP 
 
Obs.: Quando a informação vem em forma de 
porcentagem ou de proporção, o evento é COM 
reposição, ou seja, devemos utilizar a Distribuição 
Binomial para calcular a probabilidade desejada. Como 351234
4567
4
7
=
⋅⋅⋅
⋅⋅⋅
=





, temos: 
 
 
 
 
⇒⋅⋅== 614125,0000506,035)4(xP P(x = 4) = 0,0109 (1,09%) . 
 
 
 
 
 
b) Qual a probabilidade de haver 2 ou menos peças defeituosas em uma caixa qualquer? 
 
 
Solução: Dizer que em uma caixa existem 2 ou menos peças defeituosas, significa dizer que nessa caixa podem 
existir 2 peças defeituosas, ou apenas uma defeituosa, ou nenhuma defeituosa. Assim sendo, precisamos 
calcular essas três probabilidades e a probabilidade final será a soma desses três resultados. 
 
 
Essas três probabilidades são: 
 
 
 
P0 = probabilidade de não haver nenhuma peça defeituosa em uma caixa, isto é: 
( ) ( ) %)1,32(321,0320577,01185,015,0
0
7)0( 700 =⋅⋅=⋅⋅





=== xPP 
 
 
P1 = probabilidade de haver somente uma peça defeituosa em uma caixa, isto é: 
( ) ( ) %)6,39(396,0377150,015,0785,015,0
1
7)1( 61 =⋅⋅=⋅⋅





==xP 
 
 
P2 = probabilidade de haver exatamente duas peças defeituosas em uma caixa, isto é: 
( ) ( ) %)21(210,0443705,00225,02185,015,0
2
7)2( 52 =⋅⋅=⋅⋅





==xP 
 
 
Logo, a probabilidade de haver duas ou menos peças defeituosas em uma caixa é: 
 
 
⇒++==+=+==≤ 210,0396,0321,0)2()1()0()2( xPxPxPxP P(x ≤ 2) = 0,927 (92,7%) . 
 
 
 
 
 
c) Qual a probabilidade de haver mais de uma peça defeituosa em uma caixa? 
 
 
Solução: 
 
 
1º Modo: 
 
Como queremos que haja mais de uma peça defeituosa nessa caixa, isto significa dizer que nessa caixa 
podem existir 2, ou 3, ou 4, ou 5, ou 6, ou 7 peças defeituosas, logo precisamos calcular as probabilidades 
desses 6 eventos e somar os resultados, isto é, 
 
)7()6()5()4()3()2()1( =+=+=+=+=+==> xPxPxPxPxPxPxP 
 
 
2º Modo: 
 
 
Como o cálculo do 1º modo é bastante trabalhoso, podemos utilizar o evento complementar, pois não 
queremos que seja retirada uma peça defeituosa ou nenhuma peça defeituosa da caixa. Assim, podemosutilizar 
as probabilidades Po = 0,321 e P1 = 0,396 calculadas na letra b) e subtrairmos de 1 (100%), ou seja: 
 
⇒−−==−=−==+=−=> 396,0321,01)1()0(1)]1()0([1)1( xPxPxPxPxP P(x > 1) = 0,283 (28,3%) . 
 
 
 104
 
 
E X E R C Í C I O S (distribuição binomial) 
 
 
 
1. Numa caixa tem-se 30 peças boas e 10 defeituosas. Retirando-se sucessivamente 6 peças dessa caixa, com 
reposição, determine a probabilidade de se obter 4 peças boas. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
2. O engenheiro responsável pela segurança de uma empresa afirma que somente 10% de todos os 
trabalhadores não usam capacetes enquanto trabalham. Determine a probabilidade de que 3 de 4 
trabalhadores escolhidos aleatoriamente estejam usando capacetes enquanto trabalham. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
3. Jogando-se 10 moedas para o ar, determine a probabilidade de se obter: 
a) Oito caras. d) Nenhuma cara. 
b) Cinco caras. e) Menos de duas caras. 
c) Uma cara. f) Mais de uma cara. 
 
 
4. Cada amostra de ar tem 10% de chance de conter um determinado poluente orgânico. Considere que as 
amostras sejam independentes com relação à presença do poluente. Determine a probabilidade de que nas 
próximas 18 amostras exatamente 2 delas contenham o poluente. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 105
 
 
5. Uma máquina produziu em lote com 60 peças das quais 10 são defeituosas. Retirando-se, com reposição, 
uma amostra com 8 peças, determine a probabilidade de se encontrar: 
a) 2 peças defeituosas. b) 2 ou menos peças defeituosas. 
 
 
 
6. Lançando-se um dado 3 vezes, quais as probabilidades de se obter a face 5 em 2 lançamentos? 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
7. Admite-se que exista uma impureza de 30% dos poços de certa comunidade rural. Um químico escolheu 
aleatoriamente dez poços dessa região para serem testados, determine a probabilidade de que: 
a) Exatamente três poços tenham impurezas. 
 
b) Nenhum poço tenha impurezas. 
 
 
 
8. A probabilidade de que um componente resistirá a um teste de choque é de 3/4. Determine a probabilidade 
de que exatamente dois dos próximos quatro componentes testados sobrevivam. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
9. Uma firma de pedidos pelo correio envia uma carta circular que terá uma taxa de respostas de 8%. Suponha 
que 20 cartas circulares são endereçadas a uma nova área geográfica como teste de mercado. Supondo que 
na nova área também é aplicável a taxa de respostas de 8%, determine as probabilidades dos seguintes 
eventos: 
a) Ninguém responde. c) Seis pessoas respondem. 
 
b) Duas pessoas respondem. d) Menos de três pessoas respondem. 
 
 
 
 
 
 106
 
 
10. Devido às altas taxas de juros, uma firma informa que 30% de suas contas a receber de outras firmas 
comerciais encontram-se vencidas. Se um contador escolhe aleatoriamente uma amostra de cinco contas, 
determine a probabilidade de cada um dos seguintes eventos usando a fórmula da probabilidade binomial: 
a) Nenhuma das contas está vencida. c) A maioria das contas está vencida. 
 
b) Exatamente duas contas estão vencidas. d) Exatamente 20% das contas estão vencidas. 
 
 
11. Em determinada região industrial, verificou-se que 40% das pessoas que apresentam determinado sintoma 
devido à poluição ambiental, tiveram uma melhora significativa quando são tratados com certa medicação 
particular. Escolhendo-se aleatoriamente 20 pacientes que se submeteram a esse tratamento, determine a 
probabilidade de que 15 deles obtenham sucesso com essa medicação. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
12. Um dos jogos disponíveis nas casas lotéricas, é o LOTOGOL, composto por 5 jogos de futebol, com 25 
resultados possíveis em cada jogo. Se um apostador fizer um jogo simples (isto é, escolher um único 
resultado possível para cada jogo), determine a probabilidade dele: 
a) Acertar os resultados de 3 dos 5 jogos. c) Acertar os resultados dos 5 jogos. 
 
b) Acertar os resultados de 4 dos 5 jogos. 
 
 
 
 
 
 
 
 
Respostas: 
1. 0,297 (29,7%) 
2. 0,292 (29,2%) 
3. a) 0,0439 (4,39%); b) 0,246 (24,6%); c) 0,00976 (0,976%); d) 0,000977 (0,0977%); e) 0,0107 (1,07%); f) 0,989 (98,9%) 
4. 0,284 (28,4%) 
5. a) 0,260 (26%); b) 0,865 (86,5%) 
6. 5/72 = 0,0694 (6,94%) 
7. a) 0,267 (26,7%); b) 0,0282 (2,82%) 
8. 27/128 = 0,211 (21,1%) 
9. a) 0,189 (18,9%); b) 0,271 (27,1%); c) 0,00314 (0,314%); d) 0,788 (78,8%) 
10. a) 0,168 (16,8%); b) 0,309 (30,9%); c) 0,163 (16,3%); d) 0,360 (36%) 
11. 0,00129 (0,129%) 
12. a) 1/1695 = 0,00059 (0,059%); b) 1/81380 = 0,0000123 (0,00123%); c) 1/9765625 = 0,000000102 (0,0000102%) 
 
 
 107
 
 
D I S T R I B U I Ç Ã O H I P E R G E O M É T R I C A 
 
 
 
 
 
A distribuição hipergeométrica é uma distribuição discreta de probabilidade, aplicável para uma população 
finita e pequena, quando os eventos não são independentes. A distribuição hipergeométrica está estritamente 
relacionada com a distribuição binomial de probabilidade, sendo que a diferença-chave entre as duas 
distribuições é que na distribuição hipergeométrica a probabilidade de sucesso muda de ensaio para ensaio. 
 
 
A distribuição hipergeométrica é utilizada para eventos SEM reposição (ou repetição). 
 
 
 
Se a amostra é pequena (inferior a 5% da população), a diferença entre a distribuição binomial e a 
distribuição hipergeométrica é praticamente insignificante; se a amostra for sem reposição e o tamanho 
superior a 5% da população, devemos empregar a distribuição hipergeométrica, cuja fórmula para x 
sucessos (isto é, x = n1 ou x = n2) em n escolhas de um total de N elementos, é do tipo: 
 
 












⋅





=
n
N
n
N
n
N
xP 2
2
1
1
)( 
 
 
onde 
 
 
 N = Número total de objetos de um conjunto (população) 





 
21 NNN +=
 
 N1 = Número de objetos do conjunto que têm o atributo A 
 N2 = Número de objetos do conjunto que têm o atributo B 
 
 
 n = Nº total de elementos escolhidos do conjunto (amostra) 





 
21 nnn +=
 
 n1 = Nº de elementos escolhidos do conjunto que têm o atributo A 
 n2 = Nº de elementos escolhidos do conjunto que têm o atributo B 
 
 
A quantidade x de sucessos na fórmula acima corresponde a x = n1 ou x = n2. 
 
 
 
 
 
 
 
Obs.: Uma conveniente “regra de bolso” é que se pode usar a distribuição binomial como uma aproximação da 
distribuição hipergeométrica quando n < 0,05⋅⋅⋅⋅N, isto é, quando o tamanho da amostra (n) for inferior a 5% do 
tamanho da população (N). 
 
 
 
 
 
 
 
REGRA DO ARREDONDAMENTO (DISTRIBUIÇÃO HIPERGEOMÉTRICA) 
 
 
O resultado de uma probabilidade, na forma decimal, deve ser arredondado para três 
dígitos significativos. 
 
 
 
 
 
 
Obs.: Quando o 3º algarismo significativo de uma probabilidade escrita na forma decimal for zero, podemos 
desprezá-lo. Por exemplo, a probabilidade: 0,100 pode ser representada por 0,10 
0,250 pode ser representada por 0,25 
0,00370 pode ser representada por 0,0037 
 
 
 108
 
 
E X E M P L O S (distribuição hipergeométrica) 
 
 
 
 
 
 
 
1. Numa caixa com 10 lâmpadas, 2 são defeituosas. Extraída uma amostra de 4 lâmpadasdessa caixa, sem 
reposição, determine a probabilidade de obter: 
 
 
a) 1 lâmpada defeituosa. 
 
 
Solução: N = 10 (total de lâmpadas existentes na caixa) 
N1 = 8 (número de lâmpadas boas existentes na caixa) 
N2 = 2 (número de lâmpadas defeituosas existentes na caixa) 
n = 4 (total de lâmpadas que vamos retirar da caixa) 
n1 = 3 (total de lâmpadas boas que queremos retirar da caixa) 
n2 = 1 (total de lâmpadas defeituosas que queremos retirar da caixa) 
 
 
 
%)3,53(533,0
210
112
210
256
1234
78910
1
2
123
678
4
10
1
2
3
8
)1( 2
2
1
1
1 ==
⋅
=
⋅⋅⋅
⋅⋅⋅
⋅
⋅⋅
⋅⋅
=












⋅





=












⋅





===
n
N
n
N
n
N
xPP 
 
 
 
 
 
 
b) Nenhuma lâmpada defeituosa. 
 
 
Solução: %)3,33(333,0
210
70
1234
78910
1
1234
5678
4
10
0
2
4
8
)0(0 ==
⋅⋅⋅
⋅⋅⋅
⋅
⋅⋅⋅
⋅⋅⋅
=












⋅





=== xPP 
 
 
 
 
 
c) 1 ou menos lâmpada defeituosa. 
 
 
 
Solução: %)6,86(866,0533,0333,0)1( 10 =+=+=≤ PPxP 
 
 
 
 
 
2. Uma caixa contém 50 peças boas e 10 defeituosas. Retirando-se 5 peças dessa caixa, sem reposição, 
determine a probabilidade de obter 3 peças boas. 
 
 
Solução: N = 60 (total de peças existentes na caixa) 
N1 = 50 (número de peças boas existentes na caixa) 
N2 = 10 (número de peças defeituosas existentes na caixa) 
n = 5 (total de peças que vamos retirar da caixa) 
n1 = 3 (total de peças boas que queremos retirar da caixa) 
n2 = 2 (total de peças defeituosas que queremos retirar da caixa) 
 
 
 
 
 
%)1,16(161,0
5461512
882000
5461512
4519600
12345
5657585960
12
910
123
484950
5
60
2
10
3
50
)3( ==⋅=
⋅⋅⋅⋅
⋅⋅⋅⋅
⋅
⋅
⋅
⋅⋅
⋅⋅
=












⋅





==xP 
 
 
 109
 
 
3. Por causa de uma falha na luz elétrica, você está se vestindo no escuro. Você tem, em uma gaveta, três pés 
de meias pretas e seis vermelhas. Tirando três meias ao acaso dessa gaveta, qual a probabilidade de obter 
duas pretas? 
 
 
Solução: 
 
 
 
%)4,21(214,0
84
18
123
789
1
6
12
23
3
9
1
6
2
3
)2( ==
⋅⋅
⋅⋅
⋅
⋅
⋅
=












⋅





==xP 
 
 
 
 
 
4. De um grupo de 40 pessoas que se submeteram a um determinado tratamento inicial, 28 tiveram uma 
melhora na sua saúde. Escolhendo-se aleatoriamente 7 pessoas desse grupo para uma exame mais 
minucioso, determine a probabilidade de que 5 delas sejam as pessoas que apresentaram uma melhora 
nesse tratamento inicial. 
 
 
 
Solução: 
 
 
 
%)8,34(348,0
18643560
6486480
18643560
6698280
1234567
34353637383940
12
1112
12345
2425262728
7
40
2
12
5
28
)5( ==⋅=
⋅⋅⋅⋅⋅⋅
⋅⋅⋅⋅⋅⋅
⋅
⋅
⋅
⋅⋅⋅⋅
⋅⋅⋅⋅
=












⋅





==xP 
 
 
 
 
 
5. Pequenos motores elétricos são guardados em caixas de 50 unidades. Um inspetor de qualidade examina 
cada caixa, antes da posterior remessa, testando 5 motores. Se nenhum motor for defeituoso, a caixa é 
aceita. Se pelo menos um for defeituoso, todos os 50 motores são testados. Sabendo que há 6 motores 
defeituosos numa caixa, determine a probabilidade de que seja necessário examinar todos os motores dessa 
caixa. 
 
Solução: 
 
 
)5()4()3()2()1()1( =+=+=+=+==≥ xPxPxPxPxPxP ou )0(1)1( =−=≥ xPxP
 
 
Calculando P(x = 0), que é a probabilidade de não haver nenhum motor defeituoso, temos: 
 
%)3,51(513,0
2118760
1086008
12345
4647484950
12345
40414243441
5
50
5
44
0
6
)0( ==
⋅⋅⋅⋅
⋅⋅⋅⋅
⋅⋅⋅⋅
⋅⋅⋅⋅
⋅
=












⋅





==xP 
 
Portanto, %)7,48(487,0513,01)0(1)1( =−==−=≥ xPxP , que é a probabilidade de haver uma inspeção em 
todos os motores. 
 
 
 110
 
 
E X E R C Í C I O S (distribuição hipergeométrica) 
 
 
 
1. Numa caixa tem-se 30 peças boas e 10 defeituosas. Retirando-se sucessivamente 6 peças dessa caixa, sem 
reposição, determine a probabilidade de se obter 3 peças defeituosas. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
2. Uma batelada contém 36 células de bactérias, das quais 12 não são capazes de replicação celular. 
Selecionando-se aleatoriamente 3 dessas células, sem reposição, determine a probabilidade de que 
exatamente uma delas não possa se replicar. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
3. Um gerente seleciona aleatoriamente três indivíduos de um grupo de 10 empregados de seu departamento 
para designá-los para um estudo de classificação salarial. Supondo que quatro dos empregados já tivessem 
sido designados anteriormente para um projeto similar, determine a probabilidade de que exatamente dois 
dos três empregados tenham tido experiência anterior (usar a fórmula da distribuição hipergeométrica). 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
4. Uma máquina produziu em lote com 60 peças das quais 10 são defeituosas. Retirando-se, sem reposição, 
uma amostra com 8 peças, determine a probabilidade de se encontrar: 
a) 3 peças defeituosas. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
b) Menos de 2 peças defeituosas. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 111
 
 
5. Sabe-se que de cada 20 clientes de uma empresa, 15 estão satisfeitos com o atendimento oferecido. Se, 
para uma amostra aleatória de 4 clientes for perguntado sobre a satisfação no atendimento, determine, pela 
distribuição hipergeométrica, a probabilidade de que estiveram descontentes exatamente 3 clientes. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
6. Uma firma compra lâmpadas por centenas. Examina sempre uma amostra de 8 lâmpadas para verificar se 
estão boas. Sabendo que o fabricante dessas lâmpadas afirma que em uma centena sempre há 5 lâmpadas 
queimadas, determine a probabilidade de se escolher uma amostra com 3 lâmpadas queimadas. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
7. Em um grupo de 30 pessoas, 4 são canhotas. Escolhendo-se simultaneamente 3 dessas pessoas, determine 
a probabilidade de que: 
a) Uma dessas pessoas seja canhota. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
b) Nenhuma dessas pessoas seja canhota. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
8. Suponha que 20 livros em um lote de 200 unidades contenham erros de impressão. Adquiridos 3 desses 
livros, qual a probabilidade de um deles ter erros de impressão? 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
9. Num laboratório de informática existem 20 computadores, sendo que 3 deles estão com defeito. Se quatro 
alunos entram no laboratório e cada um escolhe um computador para utilizar, determine a probabilidade de 
que 2 alunos tenham escolhido computadores com defeito e 2 tenham escolhido semdefeito. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 112
 
 
10. Determinado órgão do governo suspeita que algumas indústrias violam as regulamentações federais contra 
poluição, em relação ao despejo de certo tipo de produto. Suponha que, das vinte empresas que estão sob 
suspeita, três delas estejam violando as regulamentações. Selecionando-se aleatoriamente cinco dessas 
vinte indústrias para inspeção, determine a probabilidade de que: 
a) Nenhuma delas esteja violando as regulamentações. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
b) Duas delas estejam violando as regulamentações. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
11. Um dos jogos disponíveis nas casas lotéricas, é o jogo da MEGA-SENA, que possui 60 números (de 1 a 60). 
Se um apostador fizer um jogo simples, isto é, escolher somente 6 dos 60 números, determine a 
probabilidade dele: 
a) Acertar os 6 números escolhidos. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
b) Acertar 5 dos 6 números escolhidos. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
c) Acertar apenas 1 dos 6 números escolhidos. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Respostas: 
1. 0,127 (12,7%) 
2. 0,464 (46,4%) 
3. 0,30 (30%) 
4. a) 0,0994 (9,94%); b) 0,60 (60%) 
5. 0,031 (3,1%) 
6. 0,00311 (0,311%) 
7. a) 65/203 = 0,32 (32%); b) 130/203 = 0,64 (64%) 
8. 0,245 (24,5%) 
9. 0,0842 (8,42%) 
10. a) 0,399 (39,9%); b) 0,132 (13,2%) 
11. a) 1/50.063.860 = 0,000000020 (0,0000020%); b) 81/12.515.965 = 0,00000647 (0,000647%); c) 0,379 (37,9%) 
 
 
 113
 
 
D i s t r i b u i ç ã o d e P O I S S O N 
 
 
 
 
 
 
É semelhante à distribuição binomial, diferenciando apenas no fato de que na distribuição binomial os 
eventos ocorrem por tentativas ou observações fixas, enquanto que na distribuição de Poisson (lê-se: 
“poasson”) os eventos ocorrem continuamente. 
 
 
Exemplos: Acidentes por dia, clientes por hora, chamadas telefônicas por minuto, defeitos por cm2 etc. 
 
A fórmula da distribuição de Poisson é dada por: !
)(
x
me
xP
xm
⋅
=
−
 
 
onde 
 
• x é o número de ocorrências 
 
• o número e é a base dos logaritmos naturais, isto é, e = 2,71828... (constante) 
 
• m é a média de ocorrências num certo intervalo 
 
 
 
 
Exemplos 
 
 
1. Um laboratório estuda a emissão de partículas de certo material radioativo. Sabendo que o laboratório 
admite uma taxa média de 6 ocorrências a cada minuto, determine a probabilidade de que ocorrerá a 
seguinte emissão de: 
a) Exatamente 5 partículas em 1 minuto. 
 
Solução: 
 
⇒==
⋅⋅⋅⋅
⋅
=
⋅
==
−
161,0
120
276704,19
12345
7776002479,0
!5
6)5(
56e
xP P(x = 3) = 0,161 (16,1%) . 
 
 
 
 
 
b) Exatamente 3 partículas em 10 segundos. 
 
Solução: 
 
Como a média é de 6 partículas a cada minuto, então a média de partículas a cada 10 segundos, pela 
REGRA DE TRÊS SIMPLES, é 
 



→
=→
segundospartículasx
segundospartículas
10)(
min)1(60)(6
1
60
60
60
106
=⇒=
⋅
=⇒ xx , ou seja, a média é de 1 partícula a 
cada 10 segundos 
 
⇒==
⋅⋅
⋅
=
⋅
==
−
0613,0
6
367879,0
123
1367879,0
!3
1)3(
31e
xP P(x = 3) = 0,0613 (6,13%) . 
 
 
 
 
2. Determinado tipo de fio condutor de energia apresenta, em média, 3 falhas a cada rolo de 100 m. Qual é a 
probabilidade de que em um rolo de 50 m aleatoriamente escolhido para inspeção contenha 1 falha. 
 
Solução: 
 
 
Como a média é de 3 falhas a cada 100 m, então a média de falhas a cada 50 m é: 
 
 



→
→
mxfalhas
mfalhas
50
1003
5,1
100
150
100
503
=⇒=
⋅
=⇒ xx , ou seja, a média é de 1,5 falha a cada 50 m 
 
 
⇒=
⋅
=
⋅
==
−
335,0
1
5,1223130,0
!1
)5,1()1(
15,1e
xP P(x = 1) = 0,335 (33,5%) . 
 
 
 114
 
 
DISTRIBUIÇÕES CONTÍNUAS DE PROBABILIDADES 
 
 
 
 
É quando uma variável aleatória discreta apresenta um grande número de resultados possíveis. 
 
Destacam-se as seguintes distribuições contínuas de probabilidades: 
 
• distribuição exponencial 
 
• distribuição uniforme 
 
• distribuição normal (ou de GAUSS) 
 
 
 
 
D i s t r i b u i ç ã o E x p o n e n c i a l 
 
 
 
A distribuição exponencial envolve probabilidades ao longo do tempo ou da distância entre ocorrências num 
intervalo contínuo. Tem sido amplamente utilizada nas áreas de física, engenharia, computação e biologia, entre 
outras. 
Como exemplo, destacamos o tempo entre falhas de equipamento elétrico, tempo entre chamadas 
telefônicas, intervalos entre as chegadas de veículos (ônibus, trens ou aviões em um terminal) etc. 
 
A distribuição exponencial é aplicada quando estamos interessados com o tempo (ou espaço) até a 
ocorrência do primeiro evento, quer no tempo entre dois eventos sucessivos, ou quer no decorrido até acontecer 
o primeiro evento após um ponto aleatoriamente selecionado. 
 
Sendo m o número médio de ocorrências no intervalo de interesse, a probabilidade exponencial de que o 
primeiro evento x ocorrerá dentro do intervalo especificado de tempo ou espaço ( t ), sendo m a média de 
ocorrências durante um intervalo, é dado por: 
metxP −−=≤ 1)(
 
 
E a probabilidade exponencial de que o primeiro evento x não ocorrerá dentro do intervalo especificado de 
tempo ou espaço ( t ), é dado por: metxP −=> )( 
 
 
 
Exemplo: Certo tipo de fusível tem duração de vida que segue uma distribuição exponencial, com vida média de 
100 horas. Determine a probabilidade de um fusível durar: 
a) Menos de 100 horas. 
Solução: ⇒≅=−=−=≤ − 632,0632121,0367879,011)100( 1ehxP %)2,63(632,0)100( =≤ hxP 
 
 
b) Mais de 100 horas. 
Solução: ⇒≅==> − 368,0367879,0)100( 1ehxP %)8,36(368,0)100( => hxP 
 
 
 
 
D i s t r i b u i ç ã o U n i f o r m e 
 
 
É utilizada quando uma variável aleatória pode assumir qualquer valor de uma escala contínua num intervalo 
de modo que nenhum valor seja mais provável que outro. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 a c d b 
 
Assim, dado um intervalo A = [a, b], a probabilidade de ocorrência de um evento x, em um subintervalo 
 
 
S = ]c, d[ de A, é dada por: 
ab
cddxcP
−
−
=≤≤ )(
 
 
 
Observações: 
 
a) A probabilidade de qualquer valor particular é zero. 
 
b) )()( bxaPbxaP <<=≤≤ 
 
Exemplo: Se o volume de refrigerante uma lata de alumínio variar uniformemente entre 340 ml e 370 ml, qual a 
probabilidade de uma lata aleatoriamente escolhida conter entre 345 ml e 365 ml? 
Solução: %)7,66(667,0
340370
345365)365345( =
−
−
=≤≤ xP 
 
 
 115
 
 
D I S T R I B U I Ç Ã O N O R M A L (ou de GAUSS) 
 
 
 
 
 
Um dos mais importantes exemplos de uma distribuição continua de probabilidades é a distribuição normal, 
ou a curva normal, ou a distribuição de Gauss (Karl Friedrich Gauss, 1777–1855), que constitui a base teórica 
de toda inferência estatística. A função de densidade de probabilidade de uma variável x com distribuição normal 
é definida pela seguinte equação: 
 
2
2
1
2
1)( 



 −
−
⋅==
σ
piσ
Mx
exfy
, com +∞<<∞ x 
 
 
onde x e y são as variáveis estatísticas 
M = média e σ = desvio padrão sãoos parâmetros de uma distribuição normal 
pi (pi) = 3,1415... (constante) 
e = 2,71828... (base dos logaritmos naturais) 
O gráfico de y é do tipo: 
 
 
Características principais da curva normal 
 
 
 
1. A curva tem um ponto de máximo no eixo dos y (eixo vertical), que corresponde à média, no eixo dos x (eixo 
horizontal). 
2. É simétrica em relação à média. 
3. Tem dois pontos de inflexão (isto é, pontos nos quais a curva muda de concavidade), que correspondem a 
M ± σ. 
4. É assintótica em relação ao eixo dos x (eixo horizontal), isto é, a curva não intercepta o eixo dos x. 
5. A curva prolonga-se no eixo dos x de – ∞ a + ∞. 
6. A área total sob a curva normal é 100%. 
7. A curva normal tem a forma de “sino”. 
A área total sob a curva a curva normal representa 100% da probabilidade associada à variável. Assim, a 
área sob a curva normal, no intervalo [a, b], corresponde à probabilidade de uma variável x estar compreendida 
entre a e b: 
 
 
 
 116
 
 
O C o e f i c i e n t e z 
 
 
 
 
Quando a variável x é expressa em termos da unidade reduzida: 
σ
Mx
z
−
= , a equação anterior fica: 
2
2
1
2
1 z
ey
−
⋅=
piσ
 
 
 
Temos, então, a distribuição normal padronizada, com média 0 (zero), pois a média está à distância 0 (zero) 
de si mesma. 
 
Observação: Nos cálculos de probabilidades através da distribuição normal, usamos a média e o desvio padrão 
da população, mas, o mais comum é conhecer somente a média e o desvio padrão da amostra. É por isso que 
as amostras têm que ser obtidas por técnicas de amostragem confiáveis para que sejam consideradas 
significativas e representem bem a população. 
 
A Tabela 1 indica as proporções de área para vários intervalos de 
valores para a distribuição de probabilidade normal padronizada, com a 
fronteira inferior começando sempre na média. Essa tabela elimina o uso 
da equação normal. 
 
 
 
 
 
Como usar a Tabela 1 (Tabela z de GAUSS) 
 
 
 
Exemplos: Na Tabela 1, encontre a probabilidade correspondente ao seguinte valor do coeficiente z: 
 
a) z = 1,28 
 
Solução: A figura abaixo mostra a área de probabilidade sob a curva normal, correspondente ao valor de z: 
 
 Tabela 1 
 
 z 0,00 0,01 0,02 0,03 0,04 0,05 0,06 0,07 0,08 0,09 
 0,0 ↓↓↓↓ 
 0,1 ↓↓↓↓ 
 0,2 ↓↓↓↓ 
 
 
 
 ↓↓↓↓ 
 
 
 
 ↓↓↓↓ 
 1,1 ↓↓↓↓ 
 1,2 →→→→ →→→→ →→→→ →→→→ →→→→ →→→→ →→→→ →→→→ 0,3997 
 1,3 
 
 
 
 
 
 
 
 
Na 1ª coluna da tabela, descendo até a linha 1,2, e percorrendo-a, nessa direção, até a coluna 0,08, 
encontraremos o valor 0,3997. Portanto, a área de probabilidade correspondente a z = 1,28 é 0,3997 (39,97%), 
que representa a região localizada à direita da linha da média no gráfico da curva normal, conforme mostra a 
figura. 
 
 
 117
 
 
b) z = – 0,67 
 
Solução: 
 
 
 
O valor negativo de z nos indica a área se localiza à esquerda da linha da média no gráfico da curva normal. 
Como a curva normal é simétrica em relação à linha da média, a Tabela 1, fornece apenas os valores positivos 
(isto é, os valores que estão à direita da linha da média). 
 
Assim sendo, basta procurar na Tabela 1 o valor de z = + 0,67, cuja área será IGUAL à área de z = – 0,67, e 
que corresponde a 0,2486 (24,86%). 
 
 Tabela 1 
 
 z 0,00 0,01 0,02 0,03 0,04 0,05 0,06 0,07 0,08 0,09 
 0,0 ↓↓↓↓ 
 0,1 ↓↓↓↓ 
 0,2 ↓↓↓↓ 
 0,3 ↓↓↓↓ 
 0,4 ↓↓↓↓ 
 0,5 ↓↓↓↓ 
 0,6 →→→→ →→→→ →→→→ →→→→ →→→→ →→→→ →→→→ 0,2486 
 0,7 
 0,8 
 
 
 
 
 
 
 
 
E X E R C Í C I O S (valor de z na Tabela 1) 
 
 
 
1. Encontre a área de probabilidade (Tabela 1) para os seguintes valores do coeficiente z: 
a) z = 2,14 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
b) z = – 0,70 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
2. Encontre o valor de z (Tabela 1) correspondente às seguintes áreas de probabilidade: 
a) 38,88% 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
b) 49,5% 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Respostas: 
1. a) 0,4838 (48,38%); b) 0,2580 (25,80%) 
2. a) z = ± 1,22; b) z = ± 2,58 
 
 
 118
 
 
A PL I C A Ç Õ E S (distribuição normal) 
 
 
 
 
 
 
 
 
1. O peso médio de 500 estudantes do sexo masculino é de 75,5 kg e o desvio padrão 7,5 kg. Admitindo-se 
que os pesos estão distribuídos normalmente, determine quantos estudantes pesam: 
 
 
a) Entre 60 e 77,5 kg. 
 
 
 
Solução: 
 
 
 
As medidas dos pesos x1 = 60 e x2 = 77,5 correspondem às seguintes unidades reduzidas (z): 
 
 
 
07,2066,2
5,7
5,7560
1
1
1 −=⇒−=
−
=
−
= z
mx
z K
σ
, que corresponde, na Tabela 1, a 0,4808 (48,08%) 
 
 
27,0266,0
5,7
5,755,77
2
2
2 =⇒=
−
=
−
= z
mx
z K
σ
, que corresponde, na Tabela 1, a 0,1064 (10,64%) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Logo, a área de probabilidade é: 0,4808 + 0,1064 = 0,5872 (58,72%), ou seja, esperamos que 58,72% dos 
estudantes tenham um peso compreendido entre 60 e 77,5 kg. 
 
 
 
Portanto, o número esperado de estudantes desse grupo é: 500x0,5872 = 293,6 ≅ 294 estudantes. 
 
 
 
 
 
 
 
b) Entre 81,2e 86 kg. 
 
 
Solução: 
 
 
As medidas dos pesos x1 = 81,2 e x2 = 86 correspondem às seguintes unidades reduzidas (z): 
 
 
 
76,076,0
5,7
5,752,81
1
1
1 =⇒=
−
=
−
= z
mx
z
σ
, que corresponde, na Tabela 1, a 0,2764 (27,64%) 
 
 
40,140,1
5,7
5,7586
2
2
2 =⇒=
−
=
−
= z
mx
z
σ
, que corresponde, na Tabela 1, a 0,4192 (41,92%) 
 
 
 
 
 
Logo, a área de probabilidade é: 0,4192 – 0,2764 = 0,1428 (14,28%). 
 
 
Portanto, o número esperado é: 500x0,1428 = 71,4 ≅ 71 estudantes com peso entre 81,2 e 86 kg. 
 
 
 119
 
 
c) Entre 68,2 e 72,6 kg. 
 
 
Solução: 
 
As medidas dos pesos x1 = 68,2 e x2 = 72,6 correspondem às seguintes unidades reduzidas (z): 
 
97,09733,0
5,7
5,752,68
1
1
1 −=⇒−=
−
=
−
= z
mx
z K
σ
, que corresponde, na Tabela 1, a 0,3340 
 
39,03866,0
5,7
5,756,72
2
2
2 −=⇒−=
−
=
−
= z
mx
z K
σ
, que corresponde, na Tabela 1, a 0,1517 
 
 
Logo, a área de probabilidade é: 0,3340 – 0,1517 = 0,1823 (18,23%). 
 
 
Portanto, o número esperado é: 500x0,1823 = 91,15 ≅ 91 estudantes com peso entre 68,2 e 72,6 kg. 
 
 
 
 
 
d) Acima de 83,7 kg. 
 
 
Solução: 
 
 
A medida do peso x = 83,7 corresponde à seguinte unidade reduzida (z): 
 
 
09,10933,1
5,7
5,757,83
=⇒=
−
=
−
= z
mx
z K
σ
, que corresponde, na Tabela 1, a 0,3621 
 
 
 
Logo, a área de probabilidade é: 0,5 (50%) – 0,3621 = 0,1379. 
 
Portanto, o número esperado é: 500x0,1379 = 68,95 ≅ 69 estudantes com peso acima de 83,7 kg. 
 
 
 
 
e) Acima de 69 kg. 
 
 
Solução: 
 
A medida do peso x = 69 corresponde à seguinte unidade reduzida (z): 
 
87,08666,0
5,7
5,7569
−=⇒−=
−
=
−
= z
mx
z K
σ
, que corresponde, na Tabela 1, a 0,3078 
 
 
 
 
Logo, a área de probabilidade é: 0,5 (50%) + 0,3078 = 0,8078. 
 
 
Portanto, o número esperado é: 500x0,8078 = 403,9 ≅ 404 estudantes com peso acima de 69 kg. 
 
 
 120
 
 
f) Inferior a 85,6 kg. 
 
Solução:A medida do peso x = 85,6 corresponde à seguinte unidade reduzida (z): 
 
35,13466,1
5,7
5,756,85
=⇒=
−
=
−
= z
mx
z K
σ
, que corresponde, na Tabela 1, a 0,4115 
 
 
Logo, a área de probabilidade é: 0,5 (50%) + 0,4115 = 0,9115. 
 
Portanto, o número esperado é: 500x0,9115 = 455,75 ≅ 456 estudantes com peso abaixo de 85,6 kg. 
 
 
 
 
g) Abaixo de 71,5 kg. 
 
Solução: 
 
A medida do peso x = 71,5 corresponde à seguinte unidade reduzida (z): 
 
53,05333,0
5,7
5,755,71
−=⇒−=
−
=
−
= z
mx
z K
σ
, que corresponde, na Tabela 1, a 0,2019 
 
 
 
 
Logo, a área de probabilidade é: 0,5 (50%) – 0,2019 = 0,2981. 
 
Portanto, o número esperado é: 500x0,2981 = 149,05 ≅ 149 estudantes com peso inferior a 71,5 kg. 
 
 
 
 
 
 
2. Um levantamento feito nos EUA revelou que um adulto tem média de 175 cm de altura. Assumindo que o 
desvio padrão seja de 8 cm, determine: 
a) A probabilidade de que um adulto aleatoriamente escolhido tenha altura entre 160 cm e 170 cm. 
 
 
Solução: 
 
As medidas das alturas x1 = 160 e x2 = 170 correspondem às seguintes unidades reduzidas (z): 
 
88,1875,1
8
175160
1
1
1 −=⇒−=
−
=
−
= z
mx
z
σ
, que corresponde, na Tabela 1, a 0,4699 (46,99%). 
 
62,0625,0
8
175170
2
2
2 −=⇒−=
−
=
−
= z
mx
z
σ
, que corresponde, na Tabela 1, a 0,2324 (23,24%). 
 
Logo, a área de probabilidade é: 0,4699 – 0,2324 = 0,2375 (23,75%). 
 
 
 
 
 
b) A probabilidade de que um adulto aleatoriamente escolhido tenha altura superior a 185 cm 
 
Solução: 
 
A medida da altura x = 185 corresponde à seguinte unidade reduzida (z): 
 
25,125,1
8
175185
=⇒=
−
=
−
= z
mx
z
σ
, que corresponde, na Tabela 1, a 0,3944 (39,44%). 
 
Logo, a área de probabilidade é: 0,5 – 0,3944 = 0,1056 (10,56%). 
 
 
 121
 
 
c) Para os 4% de adultos mais altos, que altura representa? 
 
Solução: 
 
 
P = 0,5 (50%) – 0,04 (4%) = 0,46 (46%) ⇒ ⇒−=⇒−=⇒=
8
17576,176,1 xmxzz
σ
 
 
⇒ ⇒=+⇒−=⇒−=⋅ xxx 1751417514175876,1 x = 189 cm . 
 
 
 
Portanto, esperamos que apenas 4% dos adultos tenham uma altura superior a 189 cm. 
 
 
 
 
 
 
d) Para os 2,5% de adultos mais baixos, que altura representa? 
 
 
Solução: 
 
P = 0,5 (50%) – 0,025 (2,5%) = 0,475 (47,5%) ⇒ ⇒−=−⇒−=⇒−=
8
17596,196,1 xmxzz
σ
 
 
⇒ ⇒=+−⇒−=−⇒−=⋅− xxx 1751617516175896,1 x = 159 cm . 
 
 
Portanto, esperamos que apenas 2,5% dos adultos tenham uma altura inferior a 159 cm. 
 
 
 
 
 
 
3. Um fabricante de certo tipo de forno elétrico, sabe, por longa experiência, que o desvio padrão da vida útil de 
seus fornos é de 250 dias. Uma amostra aleatória de 2.000 fornos apresentou uma vida útil média de 1.000 
dias e desvio padrão de 250 dias. Sabendo que o fabricante oferece uma garantia de 1 ano (365 dias), 
determine: 
 
 
a) A porcentagem de fornos que espera consertar (ou trocar) durante o período de garantia dado. 
 
Solução: 
 
 
A medida da garantia x = 365 dias corresponde à seguinte unidade reduzida (z): 
 
 
54,254,2
250
1000365
−=⇒−=
−
=
−
= z
mx
z
σ
, que corresponde, na Tabela 1, a 0,4945. 
 
 
Logo, a área de probabilidade é: 0,5 – 0,4945 = 0,0055 (0,55%), ou seja, o fabricante espera que 0,55% dos 
fornos apresentem algum tipo de defeito durante o período de garantia. 
 
 
 
 
 
b) O número de fornos dessa amostra que o fabricante espera trocar (ou consertar) durante o período de 
garantia. 
 
Solução: 
 
 
O número esperado de fornos que poderão apresentar algum tipo de defeito é: 2000x0,0055 = 11 fornos, ou 
seja, o fabricante espera que 11 fornos deverão ser trocados (ou consertados) no período de garantia de 1 ano. 
 
 
 
 
 
c) O número de fornos dessa amostra que o fabricante espera trocar se ele oferecer uma garantia extra 
(estendida) de mais um ano, ou seja, durante os dois anos de garantia. 
 
Solução: 
 
08,108,1
250
1000730
−=⇒−=
−
=
−
= z
mx
z
σ
, que corresponde, na Tabela 1, a 0,3599, portanto a área de 
probabilidade para troca ou conserto do forno é: 0,5 – 0,3599 = 0,1401 (14,01%). 
 
 
Logo, o fabricante espera trocar ou consertar: 2000x0,1401 = 280 fornos dessa amostra de 2.000 fornos. 
 
 
 122
 
 
E X E R C Í C I O S (distribuição normal) 
 
 
 
 
1. Os prazos de substituição de aparelhos de TV de determinada marca e modelo têm distribuição normal com 
média 8,2 anos e desvio padrão de 1,1 ano. Determine a probabilidade de um aparelho de TV selecionado 
aleatoriamente acusar um tempo de substituição: 
a) Inferior a 7 anos. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
b) Entre 7,6 e 9,1 anos. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
c) Superior a 7,3 anos. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
d) Entre 8,5 e 9,5 anos. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
e) Inferior a 10 anos. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 123
 
 
f) Entre 6,6 e 7,7 anos. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
g) Superior a 9,2 anos. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
2. No exercício 1, se a média de 8,2 anos e o desvio padrão de 1,1 ano tivessem sido obtidos de uma amostra 
de 600 aparelhos de TV, determine o número esperado de aparelhos dessa amostra com as respectivas 
probabilidades encontradas nas letras a), c) e d). 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
3. No exercício 1, determine o tempo máximo de uso desse aparelhos de TV, no qual apenas 1% deles terão 
que ser substituídos. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
4. No exercício 1, determine o tempo mínimo de uso desse aparelhos de TV, no qual apenas 2% deles terão a 
maior durabilidade. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 124
 
 
5. As máquinas que vendem refrigerantes em latas (ou outros produtos), são fabricadas de modo que seus 
proprietários possam ajustam os pesos das moedas para tentar rejeitar as moedas falsas. Supondo que as 
moedas tenham pesos distribuídos normalmente, com média 5,67 g (gramas) e desvio padrão 0,070 g . 
Determine a probabilidade de que uma dessas máquinas, escolhida aleatoriamente, possa rejeitar moedas 
verdadeiras que pesem menos de 5,50 g ou mais de 5,80 g. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
6. Certo tipo de cimento tem resistência à compressão com média de 5.800 kg/cm² e desvio padrão de 180 
kg/cm², segundo uma distribuição normal. Dada uma amostra desse cimento, determine a probabilidade de a 
resistência: 
a) Ser inferior a 5.600 kg/cm².b) Ficar entre 5.600 e 5.950 kg/cm². 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
7. Certo tipo de monitor de computador produzido por uma companhia tem uma vida útil média de 1.500 horas, 
com um desvio padrão de 100 horas. Determine a probabilidade de que um monitor escolhido aleatoriamente 
tenha vida útil compreendida: 
a) Entre 1.450 e 1.650 horas. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
b) Inferior a 1.620 horas. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 125
 
 
c) Entre 1.350 e 1.420 horas. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
d) Acima de 1.580 horas. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
e) Entre 1.550 e 1.700 horas. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
f) Abaixo de 1.340 horas. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
g) Acima de 1.430 horas. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
h) Se a amostra fosse constituída de 400 monitores, qual seria a quantidade esperada de monitores nos itens a), 
d) e f)? 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 126
 
 
8. Numa fábrica foram instaladas 1.000 lâmpadas novas. Sabe-se que a duração média das lâmpadas é de 800 
horas e desvio padrão de 100 horas, com distribuição normal. Determine a quantidade esperada de 
lâmpadas que durarão: 
a) Menos de 500 horas. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
b) Mais de 700 horas. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
c) Entre 516 e 814 horas. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
9. Um laboratório verificou que certo composto químico apresentou um tempo médio de reação de 408 
segundos. Sabendo que o desvio padrão do tempo de reação desse composto é de 100 segundos, 
determine o tempo previsto: 
a) Para que apenas 0,2% dos compostos tenham uma reação mais rápida. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
b) Somente 1% dos compostos tenham maior tempo de reação. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 127
 
 
10. Determinado tipo de cabo de aço suporta um peso médio de 380 kg. Sabendo que o desvio padrão dos 
pesos que esses cabos suportam é igual a 65 kg, determine: 
a) O peso no qual somente 3% desses cabos suportarão uma carga superior a esse peso. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
b) O peso máximo que apenas 1% dos cabos desse tipo suporta. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
11. A média dos diâmetros internos de uma amostra de 200 arruelas produzidas por certa máquina é 0,502 
polegada e o desvio padrão e 0,005 polegada. A finalidade para a qual essas arruelas são fabricadas permite 
a tolerância máxima, para o diâmetro, de 0,496 a 0,508 polegada. Admitindo-se que os diâmetros são 
distribuídos normalmente, determine: 
a) A percentagem de arruelas defeituosas produzidas pela máquina. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
b) O número esperado de arruelas boas dessa amostra. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
12. Certo tipo de piso cerâmico apresenta uma absorção de água com média 2,5% e desvio padrão 0,6%. 
Supondo que essa distribuição pode ser considerada normal, determine a probabilidade de que uma unidade 
desse piso aleatoriamente escolhida tenha absorção de água entre 2% e 3,5%. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Respostas: 
1. a) 0,1379 (13,79%); b) 0,5027 (50,27%); c) 0,7939 (79,39%); d) 0,2746 (27,46%); e) 0,9495 (94,95%); f) 0,2529 (25,29%); 
g) 0,1814 (18,14%) 
2. a) 83 aparelhos de TV; c) 476 aparelhos de TV; d) 165 aparelhos de TV 
3. 5,6 anos 
4. 10,5 anos 
5. 0,0389 (3,89%) 
6. a) 0,1335 (13,35%); b) 0,6632 (66,32%) 
7. a) 0,6247 (62,47%); b) 0,8849 (88,49%); c) 0,1451 (14,51%); d) 0,2119 (21,19%); e) 0,2857 (28,57%); f) 0,0548 (5,48%); 
g) 0,7580 (75,8%); h) item a): 250 monitores; item d): 85 monitores; item f): 22 monitores 
8. a) 1 lâmpada; b) 841 lâmpadas; c) 553 lâmpadas 
9. a) 120 s; b) 641 s 
10. a) 503 kg; b) 229 kg 
11. a) 0,2302 (23,02%); b) 154 arruelas 
12. 0,7492 (74,92%) 
 
 
 128
 
 
I N F E R Ê N C I A E S T A T Í S T I C A 
 
(3º ramo da Estatística) 
 
 
 
 
O objetivo da Estatística é de conhecer populações por meio das informações amostrais. Para encontrar os 
parâmetros típicos das populações (média, desvio padrão e proporção), utilizamos os seguintes métodos para 
realizar inferências (estimativas) a respeito desses parâmetros: o da estimação e os testes de hipóteses, os 
quais estudaremos a seguir. 
 
 
A M O S T R A G E M 
 
 
 
 
A amostragem é o ato ou processo de seleção ou extração de amostras de uma população. 
 
 
Quando recebemos um copo de um novo tipo de refresco num supermercado e em seguida vamos decidir 
pela compra do produto, ou então ouvimos alguns trechos das músicas de um novo CD para então decidir se o 
compramos ou não, estamos, na verdade, fazendo amostragem. 
 
A amostragem é parte integrante da vida cotidiana. Como poderíamos obter muita informação sobre outras 
pessoas a não ser mediante amostragem daquelas que nos cercam? Poderíamos, por exemplo, eventualmente 
discutir problemas políticos com outros estudantes, para sondar a postura geral dos estudantes em relação às 
suas opiniões políticas; ou poderíamos tentar determinar como nossos colegas de turmas estão estudando para 
determinado exame contatando de antemão apenas uns poucos elementos da classe; poderíamos até investir no 
mercado de ações após constatar que uma pequena amostra de associados ganhou dinheiro em investimentos. 
 
A amostragem é probabilística quando cada unidade amostral na população tem uma probabilidade 
conhecida e diferente de zero de pertencer à amostra. De outra forma, dizemos que a amostragem é não 
probabilística. 
 
A estatística resume uma característica da amostra; o parâmetro resume uma característica da 
população. 
 
A finalidade da amostragem é obter uma indicação do valor de um ou mais parâmetros de uma população, 
tais como a média, o desvio padrão ou a proporção de itens que possuem determinada característica. 
 
A probabilidade e a amostragem estão intimamente ligadas formando o fundamento da teoria da 
amostragem, que é um estudo das relações existentes entre uma população e as amostras dela extraídas. 
 
 
 
 
Métodos de amostragem probabilística 
 
 
 
Uma amostra aleatória ou probabilística é constituída por n unidades retiradas ao acaso da população, ou 
seja, por sorteio, o qual pode ser feito com papeizinhos em uma caixa, ou bolas em uma urna,ou por 
computador, que é muito prático nos dias de hoje. 
 
Os métodos para obtenção de uma amostra probabilística são: 
 
 
 
(1) Amostragem Aleatória Simples 
 
 
Há vários métodos para se extrair uma amostra de uma população. A maneira mais fácil, e talvez a mais 
importante, para selecionarmos uma amostra probabilística de uma população é através da amostragem 
aleatória simples, a qual exige que cada elemento da população tenha a mesma chance de que todos os outros 
elementos da população de pertencer a essa amostra. 
 
 
 129
 
 
Exemplo: Imagine que você quer obter uma amostra de 2% dos 500 pacientes de uma clínica para entrevistá-los 
sobre a qualidade de atendimento da secretária. Qual seria o procedimento? 
Solução: 2% de 500 é igual a 10 pacientes. Um modo é escrever o nome de cada um dos 500 pacientes em um 
pedaço de papel, colocando-os em uma caixa, misturando-os bem, e sortear os 10 pacientes, retirando um de 
cada vez. 
Outra forma de obter essa amostra aleatória simples é fazer uma lista desses 500 pacientes numerando-os 
de 001 a 500 e, em seguida, utilizar uma tabela de números aleatórios (existem várias tabelas desse tipo). 
 
Obs.: Esse mesmo exemplo dos 500 pacientes poderia ser o de uma população de: 
 
 
• 500 assinantes de um jornal, para saber qual o assunto de maior interesse 
 
• 500 associados de um clube, para saber qual o esporte de sua preferência 
 
• 500 funcionários de uma empresa, para saber a opinião sobre a qualidade da refeição 
etc. 
 
 
(2) Amostragem Sistemática 
 
É semelhante à amostragem aleatória simples. Requer uma lista dos itens da população (finita), 
escolhendo-se cada k-ésimo item da lista (k = N/n, N = tamanho da população e n = tamanho da amostra), a 
partir de um primeiro elemento que é obtido por sorteio ou através de uma tabela de números aleatórios. 
Exemplo: Se você quer entrevistar 2% dos 500 funcionários (isto é, 10 funcionários) de uma empresa para saber 
sobre a qualidade da refeição servida, você pode dividir 500 por 10, e obter 50. Sorteie um número entre 1 e 50, 
inclusive. Se der 15, por exemplo, então o 15º funcionário da lista geral será o primeiro a ser entrevistado. Em 
seguida, some 15 com 50 para obter 65, isto é, o 65º funcionário será o segundo a ser entrevistado. Somando 65 
com 50, obtemos 115, ou seja, o 115º funcionário será o próximo entrevistado, e assim por diante. 
A amostragem sistemática é muito útil quando se trata de amostrar uma população que vai se 
completando ao longo do ano ou de um período. É o caso de óbitos (por acidentes, por doenças etc.); satisfação 
dos clientes de uma loja ou de um restaurante, peças produzidas por uma máquina etc. Uma das vantagens 
desta estratégia é a economia de tempo, no sentido de que a pesquisa pode começar de imediato; outra é que 
evitamos acessar registros de dados que podem não estar disponíveis, problemas de memória etc. 
 
 
 
(3) Amostragem Estratificada 
 
É um processo que consiste em dividir uma população em, no mínimo, duas subpopulações (ou estratos) 
que compartilham das mesmas características (por exemplo, sexo) e, em seguida, extraímos uma amostra 
(proporcional) de cada estrato. 
Exemplo: Se um clube tem 1.000 associados, sendo 600 homens e 400 mulheres, e você quer obter uma 
amostra de 2% desses associados (ou seja, 20 associados) para saber o tipo de esporte de sua preferência, 
basta sortear 2% dos homens (12 associados) e 2% das mulheres (8 sócias). 
 
 
(4) Amostragem por Conglomerados 
 
Neste caso, a população é dividida em seções (ou conglomerados); em seguida escolhemos algumas 
dessas seções e, finalmente, tomamos todos os elementos das seções escolhidas. 
 
Exemplo: Um dentista de uma cidade quer levantar dados sobre a necessidade de aparelho ortodôntico em 
crianças de 12 anos. Ele pode, por exemplo, sortear três escolas do ensino fundamental (conglomerados) dessa 
cidade e examinar todas as crianças com 12 anos dessas escolas. 
Obs.: Uma diferença entre a amostragem por conglomerados e a amostragem estratificada é que a amostragem 
por conglomerados utiliza todos os elementos dos conglomerados selecionados, enquanto que a amostragem 
estratificada utiliza uma amostra de elementos de cada estrato. 
 
 
 130
 
 
Métodos de amostragem não probabilística 
 
 
 
 
 
 
 
Neste método de amostragem, o pesquisador vai direto aos elementos que possuem a característica que ele 
quer verificar, eliminando os outros considerados inconvenientes. 
 
 
Por exemplo, uma agência de publicidade, querendo criar uma propaganda de um sabonete da marca X, 
pode lançar uma pesquisa prévia para detectar o(s) motivo(s) preferencial(is) pela compra desse sabonete, tais 
como, preço baixo, cor que combina com o banheiro, suavidade refrescante, sabonete usado por artistas etc.). 
Detectado o motivo principal, a agência de publicidade cria o anúncio em cima dessa ideia, prevendo assim um 
reforço nas vendas do produto. É claro que essa pesquisa deve ser feita com quem usa esse sabonete, ou seja, 
os consumidores dessa marca de sabonete é que deverão compor a amostra (quem não usa esse sabonete não 
saberá opinar). 
 
 
 
 
 
 
(1) Amostragem por Julgamento 
 
 
 
 
Os elementos são selecionados para a amostra com base no julgamento da pessoa que faz o estudo. 
 
 
Nesse tipo de amostragem podemos usar a lógica, o bom senso ou um julgamento bem fundamentado para 
selecionar uma amostra que seja representativa de uma população maior. Nessa abordagem, a pessoa mais 
conhecedora do assunto do estudo seleciona elementos da população que ele(a) sente que sejam os mais 
representativos da população. 
 
 
Com frequência, esse método é um modo relativamente fácil de selecionar uma amostra, porém, não se 
presta a qualquer tipo de avaliação estatística formal. 
 
 
 
 
 
Exemplos 
 
 
 
 
a) Se você foi incumbido de entrevistar 30 homens com mais de 50 anos e que recebam mais de 6 e menos de 
10 salários mínimos. Então, você deverá julgar, pela aparência da pessoa, se ela se enquadra nas 
características descritas. Se achar que viu a pessoa certa, deve fazer a abordagem e depois confirmar as 
características com perguntas. O número de pessoas depende do número delas na população (quotas). 
 
 
 
b) Um repórter pode amostrar dois ou três senadores, julgando que eles refletem a opinião geral de todos os 
senadores. No entanto, a qualidade dos resultados da amostra depende do julgamento da pessoa que 
seleciona a amostra. Também, neste caso, exige-se grande cuidado ao tirar as conclusões baseadas nas 
amostras de julgamento usadas para fazer inferências (isto é, tirar conclusões) sobre as populações. 
 
 
 
c) Para extrair uma amostra por julgamento de revistas que reflitam os valores da classe média, poderíamos, 
em um nível intuitivo, selecionar Veja, Época, Seleções Reader’s Digest, entre outras, porque os artigos 
dessas revistas parecem retratar o que a maioria das pessoas de classe média deseja. 
 
 
 
d) Voluntários, tais como indivíduos doadores de sangue, ensaios clínicos para teste de novos medicamentos. 
 
 
 
 
 131
 
 
(2) Amostragem por Conveniência (ou Intencional) 
 
 
 
 
Na amostragem por conveniência, os elementos são selecionados para a amostra com base na 
conveniência do pesquisador. É um método bastante simples e prático, embora destituído de rigor estatístico. 
Neste método, simplesmente utilizamos resultados que já estão disponíveis, ou seja, são fáceis de se coletar. 
 
 
Exemplos 
 
 
 
 
a) A entrevista com transeuntes constitui o exemplo clássico da amostragem não probabilística por 
conveniência. 
 
 
 
b) Um professor querealiza uma pesquisa em uma universidade pode usar estudantes voluntários para 
construir uma amostra simplesmente porque eles estão disponíveis e participarão como indivíduos por um 
pequeno custo ou sem custo algum, ou seja, se um professor está usando alunos de sua classe (são os 
alunos que estão ao seu alcance) como amostra de toda a universidade está usando uma amostra de 
conveniência. Por exemplo, se ele quiser fazer uma pesquisa sobre pessoas canhotas. 
 
 
 
c) Pesquisa com pessoas que moram no mesmo edifício em que o pesquisador mora, ou que façam 
compras no mesmo supermercado, ou que talvez residam no mesmo bairro. 
 
 
 
d) Um inspetor pode amostrar o embarque de laranjas selecionando as laranjas a esmo entre vários 
engradados. Rotular cada laranja e usar o método de probabilidade de amostragem seria impraticável. 
 
 
 
e) Exemplo prático: Um(a) nutricionista que entrevistar 50 mães de crianças com idade de 3 a 4 anos para 
conhecer os hábitos alimentares dessas crianças. Como obteria essa amostra? 
 
 
Solução: Se o(a) nutricionista trabalha em uma escola, para obter essa amostra, provavelmente procurará as 
mães de crianças matriculadas nessa escola. 
 
 
 
UM ALERTA: Se uma emissora de TV quiser fazer uma pesquisa com os espectadores que liguem para um 
número de telefone “0800” para registrar suas opiniões, poderia ser muito conveniente (e talvez até lucrativo), 
mas essa pesquisa seria autosselecionada e os resultados seriam provavelmente tendenciosos. 
 
IMPORTANTE: A recomendação para que os resultados da amostra se aproximem das características da 
população em estudo, é que sejam utilizados os métodos da amostragem probabilística, pois uma amostragem de 
excelência não pode ser feita com base em amostragem de conveniência ou de julgamento. Assim, deve-se 
tomar muito cuidado na interpretação dos resultados quando métodos de amostragem não probabilística são 
usados. 
 
ERRO AMOSTRAL: Um erro amostral é a diferença entre um resultado amostral e o verdadeiro resultado 
populacional, sendo que tais erros resultam de flutuações amostrais aleatórias. 
 
 
 132
 
 
D i s t r i b u i ç ã o a m o s t r a l 
 
 
 
Uma distribuição amostral é uma distribuição de probabilidades que indica até que ponto uma estatística 
amostral tende a variar devido a variações casuais na amostragem aleatória. 
Na prática, as distribuições amostrais são deduzidas matematicamente e colocadas à disposição dos 
analistas sob forma de tabelas e gráficos. Duas das distribuições amostrais mais usadas são a binomial e a 
normal (de GAUSS). 
 
Um fato importante é que a média da distribuição amostral é igual a média populacional. 
 
Exemplo: Este fato ilustra bem o caso: Seja uma população composta de 3 valores (por exemplo, preços de um 
certo produto): 2, 3 e 7. A distribuição amostral se compõe de todas as amostras possíveis. Considerando todas 
as amostras de dois valores, as combinações são: 2 e 3, 2 e 7, 3 e 7, cujas médias amostrais são: 
5,2
2
5
2
32
11 =⇒=
+
= mm ; 5,4
2
9
2
72
22 =⇒=
+
= mm e 5
2
10
2
73
33 =⇒=
+
= mm 
Assim, a média das três médias amostrais é: 4
3
55,45,2
3
321
=⇒
++
=
++
= m
mmm
m 
E a média da população é: 4
3
12
3
732
=⇒=
++
= MM 
Portanto, a média da distribuição amostral (ou valor esperado) = média da população. 
 
 
Observação: Se tivermos uma amostra de 4 elementos, por exemplo, 7, 10, 9 e 6, a média populacional será 
igual a 8 e a média das médias para todas as amostras com 2 elementos também será igual a 8, o mesmo 
acontecendo para as amostras com 3 elementos. Verifique! 
 
 
 
 
 
E S T I M A Ç Ã O 
 
 
 
Um dos principais objetivos da inferência estatística consiste em estimar os valores das características da 
população com base nas características obtidas por meio de amostras (aleatórias). 
Dois são os principais problemas que a inferência estatística envolve: a estimação e o teste de hipóteses ou 
teste de significância (será visto mais adiante). 
A estimação é o processo que consiste em utilizar dados amostrais para estimar parâmetros populacionais 
desconhecidos. Esses parâmetros são: a média, o desvio padrão e a proporção populacional (em 
porcentagem). 
I n t e r v a l o s d e c o n f i a n ç a 
 
 
 
Um intervalo de confiança (ou estimativa intervalar) está associado a um grau de confiança (ou nível de 
confiança ou coeficiente de confiança) que é uma medida de nossa certeza de que o intervalo contém o 
parâmetro populacional. 
Se tomarmos uma amostra dos preços de certa mercadoria e a média for R$ 45,21, a nossa dúvida é a 
seguinte: Será que a nossa média (amostral) está muito próxima ou muito afastada da média da população? 
Como nunca saberemos ao certo, devemos contentar-nos com uma atribuição probabilística dada pelos 
intervalos de confiança. 
 
T i p o s d e e s t i m a t i v a s 
 
 
 
a) Estimativa por pontos – quando é dada por um número único, isto é, por um único parâmetro populacional. 
 
 
Obs.: A média amostral m é a melhor estimativa pontual da média populacional M. 
 
 
b) Estimativa por intervalos – ocorre quando é dada por dois números, entre os quais pode-se considerar 
que ele esteja situado. 
 
Exemplo: Se afirmarmos que o preço de certa mercadoria é de R$ 80,00, estamos fazendo uma estimativa por 
pontos. Agora, se dissermos que o preço é de R$ 80,00 ± R$ 5,00, ou seja, que o preço compreendido entre R$ 
75,00 e R$ 85,00, temos uma estimativa por intervalo (isto é, dada por dois números). 
 
 
 133
 
 
E S T I M A T I V A D E U M A M É D I A P O P U L A C I O N A L 
 
 
 
 
 
 
O método usado para estimar a média de uma população depende de sabermos se o desvio padrão da 
população é conhecido ou se deve ser estimado nos dados amostrais. 
 
 
Lembremos do fato de que se a amostra aumenta de valores, temos duas consequências: a média amostral 
se aproxima da média populacional e o desvio padrão da distribuição amostral diminui. 
 
 
 
1º Caso: Estimativa da média quando o desvio padrão populacional é CONHECIDO: 
 
 
 
 
(A) Estimativa pontual da média: m (é o próprio valor da média amostral) 
 
 
 
 
(B) Estimativa intervalar da média: 
 
 
 
 
O intervalo de confiança da média populacional é dado pela fórmula: 
 
 
 
 
n
zm
σ
⋅±
 ( I ) 
 
 
 
onde 
m = média amostral 
z = coeficiente de confiança desejado para ∝∝∝∝% (valor dado pela Tabela 1) 
σ = desvio padrão populacional (ou estimativa) 
n = nº de dados (preços) da amostra, isto é, tamanho da amostra 
 
 
 
 
 Intervalo de confiança 
 
 
n
zm
σ
⋅−
 
m
 
n
zm
σ
⋅+
 
 
 
 
 
 
 
Assim, por exemplo, para uma confiança de ∝∝∝∝ = 95%, o intervalo de confiança para a verdadeira média 
populacional (M) será dado por: 
n
m
σ
⋅± 96,1 . Isto significa que 95% das médias amostrais devem estar no 
intervalo de
n
m
σ
⋅− 96,1 a 
n
m
σ
⋅+ 96,1 ,ou seja, esperamos que de cada 100 amostras do mesmo tipo, em 95 
amostras as médias caiam dentro desse intervalo, ou seja, só 5% das amostras tenham média fora desse 
intervalo. 
 
 
 
 
 
 
 
Observação: Devemos empregar este método para amostras com mais de 30 observações. 
 
 
 
 
Para 30 ou menos observações, a amostra deve ser considerada normal (ou aproximadamente normal). 
 
 
 
 
 
 
 134
 
 
IMPORTANTE: 
 
 
 
Para a determinação dos intervalos de confiança das médias populacionais, precisaremos utilizar os 
valores dos coeficientes z e t os quais são dados pelas Tabelas1 e 2, respectivamente, empregando-se o 
conceito do teste bilateral, pelo fato de que a média amostral pode ser maior ou menor do que a média real. 
 
 
 
 
 
Interpretação do intervalo de confiança: 
 
 
 
Um intervalo de 95% de confiança para a média nos diz que, a longo prazo, 95% desses intervalos conteriam 
efetivamente a média populacional M, isto é, de cada 100 intervalos de confiança, 95 deles conteriam a 
verdadeira média populacional. É errado dizer que há 95% de chance da verdadeira média populacional M 
estar no intervalo encontrado. 
 
 
 
 
 
 
 
Fatores que influem na amplitude de um intervalo de confiança 
 
 
 
 
 
 
Observando a fórmula ( I ) 
 
n
zm
σ
⋅± , podemos ver que os fatores que influem na amplitude do intervalo são: 
 
 
 
 
 
a) Coeficiente de confiança (z): 
 
Se aumentar o valor de z (correspondente à porcentagem dada por ∝∝∝∝), o intervalo de confiança também 
aumenta (o z está no numerador). 
 
 
 
 
b) Tamanho da amostra (n): 
 
Se aumentar o tamanho da amostra, o intervalo de confiança diminui (n está no denominador). 
 
 
 
 
c) Dispersão da população (σσσσ ): 
 
Se aumentar o valor de σσσσ (desvio padrão populacional), o intervalo de confiança também aumenta (σσσσ está no 
numerador). 
 
 
 
 
 
 
REGRA DO ARREDONDAMENTO 
 
 
 
 
 
Para os INTERVALOS DE CONFIANÇA usados para estimar a MÉDIA 
POPULACIONAL, utilizar uma casa decimal a mais das que foram usadas para a 
média amostral (exceto quando se tratar de valor monetário). 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 135
 
 
Valor do coeficiente z (para intervalos de confiança) 
 
 
 
 
E X E M P L O 
 
 
Na Tabela 1, encontre o valor do coeficiente z correspondente ao nível de 98% de confiança 
para construir um intervalo de confiança para a média populacional. 
 
 
Solução: Para encontrar o valor de z na Tabela 1 correspondente ao nível de confiança desejado 
na estimativa de uma média populacional, procedemos da seguinte forma: 
 
 
Para uma confiança de 98%, devemos procurar na Tabela 1 a área corresponde à meia curva, ou seja, 
49% (isto porque a verdadeira média populacional pode localizar-se tanto à esquerda da média amostral como à 
direita, ou seja, se queremos uma área de 98% de confiança, devemos considerar uma área de 49% à esquerda 
da média amostral e outra de 49% à direita). 
 
 
Na Tabela 1, uma área de 49% corresponde, em número decimal, com quatro casas decimais, a 0,4900. 
Como o valor exato desse número decimal não se encontra na Tabela 1, devemos considerar o próximo 
número superior a esse valor, que é o 0,4901. Percorrendo a linha em que se localiza este último número, 
encontramos, na lateral esquerda, o valor 2,3 (na coluna z), e na parte superior da coluna desse número, o 
valor 0,03, logo o valor procurado de z é: 2,33 (veja o esquema (parte da Tabela 1) e a figura abaixo). 
z 0,00 0,01 0,02 0,03 0,04 
 
0,0 ↑↑↑↑ 
 ↑↑↑↑ 
 ↑↑↑↑ 
2,2 ↑↑↑↑ 
2,2 ↑↑↑↑ 
2,3 ←←←← ←←←← ←←←← 0,4901 
2,4 
 
 
 
 
Portanto, os valores críticos de z são: ±±±± 2,33. 
 
 
E X E R C Í C I O 
 
Encontre os valores críticos do coeficiente z para construir um intervalo de ∝∝∝∝% de confiança para a 
média populacional, quando: 
a) ∝∝∝∝ = 90% c) ∝∝∝∝ = 95% 
b) ∝∝∝∝ = 99% d) ∝∝∝∝ = 80% 
 
Respostas: a) z = ± 1,65; b) z = ± 2,58; c) z = ± 1,96; d) z = ± 1,29 
 
 
 136
 
 
E X E M P L O S (de intervalo de confiança usando a Tabela 1) 
 
 
 
 
 
 
1. Uma amostra aleatória de 60 unidades de certo produto químico apresentou preço médio, por kg, de R$ 
45,21. Determine um intervalo de ∝∝∝∝% de confiança para a média populacional do preço desse produto, 
sabendo que o desvio padrão populacional é R$ 6,32, sendo: 
 
 
a) ∝∝∝∝ = 90% 
 
 
Solução: 
 
 
 
 
 
 
Orientação para a determinação do intervalo de confiança solicitado: 
 
 
• (1): Dados 
 
• (2): Tabela, coeficiente de confiança, e desenho (opcional) da curva normal 
 
• (3): Fórmula 
 
• (4): Calculo dos limites do intervalo de confiança 
 
• (5): Conclusão 
 
 
 
 
 
(1) Dados: 
 
m = 45,21 (média amostral) 
 
n = 60 (tamanho da amostra) 
 
σ = 6,32 (desvio padrão populacional) 
 
∝ = 90% (nível de confiança) 
 
 
 
 
(2) Tabela e Coeficiente de Confiança: 
 
 
Como o desvio padrão populacional é conhecido, devemos utilizar a Tabela 1 (Tabela z): Para 90% de 
confiança, o valor de z é: z = 1,65. 
 
 
 
 
 
 
 
 
(3) Fórmula: Para a determinação do intervalo de confiança desejado, utilizar a fórmula ( I ) 
n
zm
σ
⋅± 
 
 
(4) Cálculo dos limites do intervalo de confiança: 
 
 
⇒±⇒⋅±⇒⋅± 35,121,45
60
32,665,121,45
n
zm
σ
 de (45,21 – 1,35) a (45,21 + 1,35) ⇒ de 43,86 a 46,56. 
 
 
 
(5) Conclusão (resposta): Portanto, o intervalo de 90% de confiança para a verdadeira média populacional do 
preço desse produto, por kg, é de R$ 43,86 a R$ 46,56, isto é, esperamos que 90% das médias amostrais 
fiquem nesse intervalo de preços. 
 
 
 
 137
 
 
b) ∝∝∝∝ = 95% 
 
 
Solução: 
 
 
Pela fórmula ( I ) 
n
zm
σ
⋅± , temos: 60,121,45
60
32,696,121,45 ±⇒⋅±
 
⇒ de 43,61 a 46,81. 
 
 
Resposta: Portanto, o intervalo de 95% de confiança para a verdadeira média populacional do preço desse 
produto, por kg, é de R$ 43,61 a R$ 46,81. 
 
 
 
c) ∝∝∝∝ = 99% 
 
Solução: 
 
 
 
Pela fórmula ( I ) 
n
zm
σ
⋅± , temos: 11,221,45
60
32,658,221,45 ±⇒⋅±
 
⇒ de 43,10 a 47,32. 
 
 
Resposta: Portanto, o intervalo de 99% de confiança para a verdadeira média populacional do preço desse 
produto, por kg, é de R$ 43,10 a R$ 47,32. 
 
 
 
2. Uma amostra aleatória de 40 latas de cerveja de uma indústria de bebidas revelou uma quantidade média 
347 ml de cerveja inserida nas latas. Admitindo-se que o desvio padrão é de 4 ml, construir um intervalo de 
∝∝∝∝% de confiança para a verdadeira quantidade média de cerveja nas latas, sendo: 
 
a) ∝∝∝∝ = 95% 
Solução: Pela fórmula ( I ) 
n
zm
σ
⋅± , temos: 2,1347
40
496,1347 ±⇒⋅±
 
⇒ de 345,8 a 348,2 ml. 
 
Resposta: Portanto, o intervalo de 95% de confiança para a verdadeira quantidade média de cerveja inserida nas 
latas é de 345,8 a 348,2 ml (ou seja, a quantidade média de cerveja nas latas é de 347 ml, com um erro de até 
1,2 ml, para mais ou para menos). 
 
 
 
b) ∝∝∝∝ = 99% 
Solução: Pela fórmula ( I ) 
n
zm
σ
⋅± , temos: 6,1347
40
458,2347 ±⇒⋅±
 
⇒ de 345,4 a 348,6 ml. 
 
Resposta: Portanto, o intervalo de 99% de confiança para a verdadeira quantidade média de cerveja inserida nas 
latas é de 345,4 a 348,6 ml. 
 
 
 138
 
 
E X E R C Í C I O S (intervalos de confiança – Tabela 1) 
 
 
 
 
1. Para m = 26,2 (média amostral); n = 85 (tamanho da amostra) e σ = 3,1 (desvio padrão populacional), 
encontre os intervalos de ∝∝∝∝% de confiança para a verdadeira média populacional, sendo: 
a) ∝∝∝∝ = 80% 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
b) ∝∝∝∝ = 85% 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
c) ∝∝∝∝ = 95%d) ∝∝∝∝ = 98% 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 139
 
 
2. As medidas dos diâmetros de uma amostra aleatória de 200 rolamentos esféricos produzidos por certa 
máquina, durante uma semana, apresentaram uma média de 0,824 polegada. Por medições feitas 
anteriormente, sabe-se que o desvio padrão é de 0,042 polegada. Determine o intervalo de ∝∝∝∝% de confiança 
para o diâmetro médio de todos os rolamentos esféricos produzidos por essa máquina, sendo: 
a) ∝∝∝∝ = 95% 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
b) ∝∝∝∝ = 99% 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
3. Uma amostra aleatória constituída de 12 medidas da tensão de ruptura de um fio de algodão apresentou 
uma média de 7,38 kg. Sabendo-se que em medidas feitas anteriormente podemos considerar o desvio 
padrão como sendo 1,24 kg, determine um intervalo de confiança de 95% para a verdadeira tensão média de 
ruptura desse tipo de fio. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
4. Uma indústria elétrica fabrica lâmpadas com vida útil distribuída aproximadamente normal, com desvio 
padrão de 42 horas. Se uma amostra aleatória de 35 lâmpadas apresentou vida útil média de 810 horas, 
determine um intervalo de confiança de 94% para a média populacional de todas as lâmpadas produzidas 
por essa indústria. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 140
 
 
5. O rendimento de um processo químico está sendo estudado por uma engenheira química. Por experiências 
prévias com esse processo, sabe-se que o rendimento é normalmente distribuído e que o desvio padrão é 
igual a 3. Os últimos cinco dias de operação com esse processo resultaram nos seguintes percentuais: 91,6; 
88,75; 90,8; 89,95 e 91,3. 
 
a) Calcule o rendimento médio desse processo nesse período. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
b) Encontre o intervalo de 92% de confiança para o verdadeiro rendimento médio desse processo. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
6. Um engenheiro civil está analisando a resistência à compressão do concreto. Sabe-se que a resistência do 
concreto é distribuída normalmente, com variância igual a 1.000 (psi)². Uma amostra aleatória de 12 corpos-
de-prova apresentou uma resistência média à compressão de 3.250 psi. Construir um intervalo de 98% de 
confiança para a verdadeira resistência média à compressão do concreto. 
(Lembrete: O desvio padrão é a raiz quadrada da variância) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
7. Em um estudo sobre a concentração de zinco em certo rio, um engenheiro ambiental tomou uma amostra 
aleatória desse material em 42 locações diferentes obtendo uma média de 2,5 g/ml (gramas por mililitro). 
Determine o intervalo de 93% de confiança para a média de concentração de zinco nesse rio. Assuma que o 
desvio padrão seja 0,3 g/ml. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Respostas: 
1. a) 25,77 a 26,63; b) 25,72 a 26,68; c) 25,54 a 26,86; d) 25,42 a 26,98 
2. a) 0,8182 a 0,8298 polegada; b) 0,8163 a 0,8317 polegada 
3. 6,678 a 8,082 kg 
4. 796,6 a 823,4 horas 
5. a) 90,48; b) 88,119 a 92,841 
6. 3228,7 a 3271,3 psi 
7. 2,42 a 2,58 g/ml 
 
 
 141
 
 
Erro de estimação da média 
 
 
 
 
 
O erro num intervalo de estimação da média populacional ou margem de erro é a metade da amplitude 
do intervalo, ou seja, 
 
 
n
zE σ⋅= (II) que é o máximo do desvio (diferença) entre a média amostral e a verdadeira. 
 
n
zE σ⋅= 
n
zE σ⋅= 
 
 
 
n
zm
σ
⋅−
 
m
 
n
zm
σ
⋅+ 
 
Intervalo de confiança da média 
 
 
 
 
 
 
 
Erro padrão da média 
 
 
 
O desvio padrão da distribuição amostral de média (chamado de erro padrão da média) é dado por: 
 
 
 
 
n
e
σ
= 
 (III) 
 
onde σ = desvio padrão da população 
 
n = tamanho da amostra 
 
 
 
 
 
 
E X E M P L O (erro de estimação e erro padrão) 
 
 
 
O tempo médio de secagem de uma amostra de 25 pinturas de certa marca de tinta látex foi de 4,7 
horas. Suponha que as medidas representam uma amostra aleatória de uma população normal. 
Sabendo que o desvio padrão populacional é de 1,1 hora, determine: 
 
a) O tempo médio pontual de secagem dessa tinta. 
 
Resposta: O tempo médio pontual é o próprio tempo médio obtido na amostra, ou seja, 4,7 horas. 
 
 
 
 
b) O intervalo de 98% de confiança para o verdadeiro tempo médio de secagem dessa tinta. 
 
Solução: Dados: m = 4,7 horas (média amostral) 
 
σ = 1,1 hora (desvio padrão populacional) 
 
n = 25 (número de elementos da amostra) 
 
Pela fórmula ( I ) 
n
zm
σ
⋅± , temos: ⇒±⇒⋅± 51,07,4
25
1,133,27,4 de 4,19 a 5,21 horas. 
 
Resposta: Portanto, o intervalo de 98% de confiança para o verdadeiro tempo médio de secagem dessa tinta é 
de 4,19 a 5,21 horas. 
 
 
 
c) o erro máximo de estimação da média populacional ou margem de erro para uma confiança de 90%. 
 
 
Solução: Pela fórmula (II) 
n
zE σ⋅= , temos: 36,0
25
1,165,1 =⇒⋅= EE , portanto, para uma confiança de 90%, o 
 
erro de estimação do tempo médio de secagem dessa tinta é igual a 0,36 hora. 
 
 
d) o erro padrão da média do tempo de secagem dessa tinta. 
 
 
Solução: Pela fórmula (III) 
n
e
σ
= , temos: 22,0
25
1,1
=⇒= ee , portanto, o erro padrão da média é igual a 0,22 hora. 
 
 
 142
 
 
E X E R C Í C I O (erro de estimação e erro padrão) 
 
 
 
 
 
Certo tipo de máquina automática é usado por uma indústria para encher garrafas plásticas de detergente. 
Sabe-se que o processo é normalmente distribuído e que o desvio padrão é de 0,15 onça fluida. Selecionando-se 
aleatoriamente 18 garrafas da máquina, obteve-se volume médio de enchimento de 30,87 onças fluidas. 
Determine: 
 
a) O volume médio pontual de enchimento de detergente nas garrafas feitos por essa máquina. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
b) O intervalo de confiança de 95% para o verdadeiro volume médio de enchimento de detergente nas garrafas 
feitos por essa máquina. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Resposta: O intervalo de..........% de confiança para o verdadeiro volume médio de detergente nas garrafas é 
de.................a.................onças. 
 
 
c) Qual a margem de erro da letra b)? 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
d) O erro máximo de estimação do volume médio de enchimento de detergente nas garrafas da letra b), mas 
para uma confiança de 99%. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
e) o erro padrão do volume médio de enchimento de detergente nas garrafas.Resposta: a) 30,87 onças; b) 30,801 a 30,939 onças; c) 0,069 onça; d) 0,091 onça; e) 0,035 onça 
 
 
Obs.: 1 onça = 28,691 g . 
 
 
 143
 
 
Fator de correção para população finita 
 
 
 
 
 
 
 
Quando a população é finita e a amostra é superior a 5% da população, devemos aplicar o seguinte fator 
de correção para população finita para modificar os desvios padrões das fórmulas: 
 
 
 
 
1−
−
N
nN
 (IV) 
 
 
 
onde 
 
 
N = número de elementos da população 
 
 
n = número de elementos da amostra 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Estimativa da média populacional utilizando o fator de correção finita 
 
(quando o desvio padrão populacional é CONHECIDO) 
 
 
 
 
 
Para estimar uma média populacional quando a população é finita e a amostra é superior a 5% da 
população, devemos utilizar a seguinte fórmula (sendo o desvio padrão populacional conhecido): 
 
 
 
 
 
1−
−
⋅⋅±
N
nN
n
zm
σ
 (V) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Erro de estimação da média utilizando o fator de correção finita 
 
 
 
 
 
O erro de estimação da média populacional, quando a população é finita e a amostra é superior a 5%, é 
dado por: 
 
 
 
 
 
1−
−
⋅⋅=
N
nN
n
zE σ (VI) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Erro padrão da média utilizando o fator de correção finita 
 
 
 
 
 
O erro padrão da média populacional, quando a população é finita e a amostra é superior a 5%, é dado por: 
 
 
 
 
 
 
1−
−
⋅=
N
nN
n
e
σ
 (VII) 
 
 
 144
 
 
E X E M P L O S (estimativa da média com fator de correção) 
 
 
 
 
1. De um lote completo de N rolamentos esféricos produzidos por certa máquina, durante uma semana, foi 
retirada uma amostra aleatória de 200 rolamentos e, em seguida, foram medidos os diâmetros dessas peças, 
os quais apresentaram a média de 0,824 polegada. Por medições feitas anteriormente, sabe-se que o desvio 
padrão é de 0,042 polegada. Determine os limites de 90% de confiança, para o verdadeiro diâmetro médio 
de todos os rolamentos esféricos desse lote, produzidos por essa máquina, quando: 
a) N = 2.000 
Solução: Como a população é finita e o tamanho da amostra é %5%10100
000.2
200100 >=⋅=⋅
N
n
, então 
devemos usar o fator de correção finita. Pela fórmula (V) 
1−
−
⋅⋅±
N
nN
n
zm
σ
, temos: 
⇒±⇒
−
−
⋅⋅± 0046,0824,0
1000.2
200000.2
200
042,065,1824,0
 
de 0,8194 a 0,8286 polegada. 
 
Resposta: Portanto, o intervalo de 90% de confiança para o verdadeiro diâmetro médio de todos os rolamentos 
esféricos desse lote, produzidos por essa máquina, é de 0,8194 a 0,8286 polegada. 
 
 
b) N = 5.000 
Solução: Como a população é finita e o tamanho da amostra é %5%4100
000.5
200100 <=⋅=⋅
N
n
, então não 
devemos usar o fator de correção finita. Pela fórmula ( I ) 
n
zm
σ
⋅± , temos: 
⇒±⇒⋅± 0049,0824,0
200
042,065,1824,0
 
de 0,8191 a 0,8289 polegada. 
 
Resposta: Portanto, o intervalo de 90% de confiança para o verdadeiro diâmetro médio de todos os rolamentos 
esféricos desse lote, produzidos por essa máquina, é de 0,8191 a 0,8289 polegada. 
 
 
2. No exemplo 1. a), determine o erro máximo de estimação da média. 
 
Solução: Pela fórmula (VI) 
1−
−
⋅⋅=
N
nN
n
zE σ , temos: ⇒
−
−
⋅⋅=
1000.2
200000.2
200
042,065,1E
 
E = 0,0046 polegada. 
 
 
3. No exemplo 1. b), determine o erro máximo de estimação da média. 
 
Solução: Pela fórmula (II) 
n
zE σ⋅= , temos: ⇒⋅=
200
042,065,1E
 
E = 0,0049 polegada. 
 
 
4. No exemplo 1. a), determine o erro padrão da média. 
 
Solução: Pela fórmula (VII) 
1−
−
⋅=
N
nN
n
e
σ
, temos: ⇒
−
−
⋅=
1000.2
200000.2
200
042,0
e
 
e = 0,0028 polegada. 
 
 
5. No exemplo 1. b), determine o erro padrão da média. 
Solução: Pela fórmula (III) 
n
e
σ
= , temos: ⇒=
200
042,0
e
 
e = 0,0030 polegada. 
 
 
6. Por que os resultados dos exemplos 4 e 5 são diferentes? 
 
Resposta: O erro padrão da média encontrado no exemplo 4 é menor que o do exemplo 5, pois no exemplo 4, 
foi utilizado o fator de correção para obtenção do erro padrão da média, pelo fato de que o tamanho da amostra 
em relação à população é igual a 10%, que é superior aos 5% estabelecidos em Estatística, enquanto que no 
exemplo 5, não foi utilizado o fator de correção, pois o tamanho da amostra em relação à população é igual a 4%, 
que não é superior a 5%. 
 
 
 145
 
 
E X E R C Í C I O S (estimativa da média com fator de correção) 
 
 
 
1. Uma indústria que tem N empregados deseja verificar o grau de satisfação em relação à qualidade das 
refeições servidas no refeitório por uma nova empresa recentemente contratada. Para tanto, tomou uma 
amostra aleatória de 80 empregados aleatoriamente escolhidos e, numa escala de 0 a 10, o grau de 
satisfação recebeu nota média 6,4. Sabendo que o desvio padrão é de 2,2, construir um intervalo de 90% de 
confiança para a nota média satisfação de todos os funcionários dessa indústria, sendo: 
a) N = 1.465 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Resposta: O intervalo de...........% de confiança para a nota média de satisfação.................................................... 
..................................................................................................................... . 
 
b) N = 2.748 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Resposta: O intervalo de...........% de confiança para a nota média de satisfação.................................................... 
..................................................................................................................... . 
 
 
2. No exercício 1. a), determine o erro máximo de estimação da média. 
 
 
 
 
 
 
 
 
3. No exercício 1. b), determine o erro máximo de estimação da média. 
 
 
 
 
 
 
 
 
4. No exercício 1. a), determine o erro padrão da média. 
 
 
 
 
 
 
 
 
5. No exercício 1. b), determine o erro padrão da média. 
 
 
 
 
 
 
 
 
Respostas: 1. a) 6,01 a 6,79; b) 5,99 a 6,81; 2. 0,39; 3. 0,41; 4. 0,24; 5. 0,25 
 
 
 146
 
 
T A M A N H O D A A M O S T R A (n) 
(para estimativa da média populacional) 
 
 
 
 
 
Quando desejamos obter uma amostra para estimar uma média populacional, a nossa primeira dúvida é 
saber o tamanho da amostra, isto é, o valor de n. 
 
Recordemos que o erro de estimação da média (fórmula IV) é dado por: 
 
 
 
⇒⋅=⇒⋅=
E
zn
n
zE σσ 
2





 ⋅
=
E
z
n
σ
 
(VIII) 
Obs.: Para determinar o tamanho 
da amostra, utilizar SEMPRE o 
coeficiente z (Tabela 1) 
 
 
 
Note que o tamanho da amostra (n) não depende do tamanho da população (N); depende sim destas 3 
condições: 
 
a) do grau de confiança desejado (z ); 
 
b) do desvio padrão populacional (σσσσ ); 
 
c) do erro de estimação pretendido ou tolerável (E ). 
 
 
 
 
 
REGRA DO ARREDONDAMENTO PARA O TAMANHO DA AMOSTRA 
 
 
 
Para o TAMANHO DA AMOSTRA (n), quando a fórmula não conduz a um 
número inteiro, considerar sempre o próximo inteiro mais elevado.E X E M P L O S (tamanho da amostra) 
 
 
 
1. O engenheiro de controle e automação, responsável pela produção de uma indústria, precisa determinar o 
tempo médio gasto para perfurar cinco orifícios em uma placa de metal. Por experiência prévia, pode-se 
admitir um desvio padrão em torno de 40 s (segundos). Com um erro de estimação de 14 s e uma confiança 
de 95%, determine o tamanho da amostra necessário para estimar o tempo médio amostral para fazer as 
perfurações necessárias nessas placas. 
 
Solução: Pela fórmula (VIII) 
2





 ⋅
=
E
z
n
σ
, temos:
 
⇒=




 ⋅
= 36,31
14
4096,1 2
n
 
 n = 32 placas .. 
 
 
 
2. Com os dados históricos sobre a temperatura do pasteurizador de um laticínio, sabe-se que a variância é de 
aproximadamente 1,8 (°C)². Planeja-se fazer uma amostragem para avaliar o valor médio da temperatura do 
pasteurizador. Suponha que as observações sejam feitas sob as mesmas condições e de forma 
independente. Qual deve ser o tamanho de amostra, para garantir um erro máximo de 0,3°C, com um nível 
de 90% de confiança? 
 
Solução: Pela fórmula (VIII) 
2





 ⋅
=
E
z
n
σ
, temos: ⇒=
⋅
=
⋅
= 45,54)3,0(
8,1)65,1(
2
2
2
22
E
z
n
σ
 n = 55 observações . 
 
 
 
3. Determine o número de observações necessário para estimar o tempo médio de serviço de atendimento a 
chamadas de um bombeiro hidráulico, se o erro máximo deve ser de 35 minutos para um nível de confiança 
de 95%, sabendo-se que o tempo de atendimento tem um desvio padrão de 1 hora. É necessário supor a 
normalidade da população? 
 
Solução: Pela fórmula (VIII), temos: 
2





 ⋅
=
E
z
n
σ
, temos:
 
⇒=




 ⋅
= 2896,11
35
6096,1 2
n
 n = 12 observações .. 
 
 
 
Importante: Como n = 12 ≤ 30, é necessário supor que a população tenha distribuição normal. 
 
 
 147
 
 
E X E R C Í C I O S (tamanho da amostra) 
 
 
 
 
1. Um analista do departamento pessoal deseja estimar o número médio de horas de treinamento anual para os 
chefes de uma divisão de uma grande companhia, com um fator de erro de 3 horas (para mais ou para 
menos) e com ∝∝∝∝% de confiança. Baseado em dados de outras divisões, ele estima o desvio padrão das 
horas de treinamento em σ = 20 horas. Determine o tamanho mínimo necessário da amostra quando: 
a) ∝∝∝∝ = 98% 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
b) ∝∝∝∝ = 92% 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
c) ∝∝∝∝ = 90% 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
2. Determine o tamanho da amostra de virabrequins de certo tipo de motor necessário para estimar a média de 
uma dimensão crítica, com um erro máximo de 0,020 mm e uma confiança de 95%, sabendo que o desvio 
padrão do processo de fabricação é igual a 0,060 mm. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
3. Um engenheiro industrial está interessado em estimar o tempo médio necessário para se montar uma placa 
de circuito impresso, com uma confiança de 96% e um erro máximo de 0,15 minuto. Qual deve ser o 
tamanho da amostra, sabendo que o desvio padrão do tempo de montagem é de 0,40 minuto? 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Respostas: 
 
1. a) 242 chefes; b) 138 chefes; c) 121 chefes 
2. 35 virabrequins 
3. 31 placas 
 
 
 148
 
 
TAMANHO DA AMOSTRA PARA POPULAÇÃO FINITA 
 
 
 
 
 
 
 
Quando desejamos obter uma amostra de uma população finita para estimar uma média populacional, o 
procedimento é idêntico ao utilizado para encontrar a fórmula anterior. 
 
 
 
Da fórmula (VI) 
1−
−
⋅⋅=
N
nN
n
zE σ , obtemos 
1−
−
=
⋅
⋅
N
nN
z
En
σ
. Elevando ao quadrado ambos os membros 
 
 
dessa igualdade, temos: 
 
 
 
⇒⋅⋅−⋅⋅=⋅−⋅⇒⋅⋅−=−⋅⋅⇒
−
−
=
⋅
⋅ 222
²²)1(²²)()1(²
1²²
²
σσσ
σ
znzNENnznNNEn
N
nN
z
En
 
 
 
 
222222 ])1[(²²²²)1( σσσσ ⋅⋅=⋅⋅+⋅−⋅⇒⋅⋅=⋅⋅+⋅−⋅⇒ zNznENnzNznENn 
 
 
 
 
 
Logo, 
²²²)1(
²²
σ
σ
⋅+⋅−
⋅⋅
=
zEN
zN
n
 (IX) 
 
 
 
onde, 
 
 
N = tamanho da população 
 
n = tamanho da amostra 
 
z = grau de confiança desejado 
 
σ = desvio padrão populacional 
 
E = erro de estimação pretendido ou tolerável 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
E X E M P L O (tamanho da amostra para população finita) 
 
 
 
 
 
 
 
Ao Porto de Santos chega um caminhão com 5.000 peças para exportação. Dado que o desvio padrão do 
comprimento dessas peças é de 3 mm, e sabendo que o comprador devolve os lotes fora das especificações, 
determine o tamanho mínimo da amostra de peças desse caminhão que se deve inspecionar para que, com uma 
confiança de 95%, se possa conhecer o comprimento médio dessas peças, com um erro inferior a 1 mm. 
 
 
Solução: 
 
 
Dados: 
 
 
N = 5.000 (tamanho da população ) 
 
z = 1,96 (grau de 95% de confiança) 
 
σ = 3 mm (desvio padrão populacional) 
 
E = 1 mm (erro de estimação pretendido) 
 
 
 
Pela fórmula (IX) 
²²²)1(
²²
σ
σ
⋅+⋅−
⋅⋅
=
zEN
zN
n , temos: 
 
 
 
 
 
⇒
⋅+⋅−
⋅⋅
=
²3)²96,1(²1)15000(
²3)²96,1(5000
n ⇒==
+
34,34
5744,5033
172872
5744,344999
172872
 n = 35 peças . 
 
 
 149
 
 
2º Caso: Estimativa da média quando o desvio padrão populacional é DESCONHECIDO 
 
 
 
 
 
 
 
INTRODUÇÃO 
 
 
 
 
 
Neste caso, que é o mais comum, substituímos o desvio padrão populacional σσσσ pelo desvio padrão amostral 
s, que é uma boa aproximação do verdadeiro valor. 
 
 
Pelo Teorema do Limite Central (ver enunciado abaixo) temos que, quando n > 30, a distribuição das médias 
é aproximadamente normal (os coeficientes z são dados pela Tabela 1). Porém, se n ≤≤≤≤ 30 (n = número de 
elementos da amostra), devemos usar a distribuição t (de Student), que é o correto para o desvio padrão 
amostral s (os coeficientes t são dados pela Tabela 2). 
 
 
 
NOTA: Student é o pseudônimo de William S. Gosset (1876–1937), funcionário da Cervejaria irlandesa 
Guinness, no início do século XX, criador da distribuição t. 
 
 
 
 
A forma da distribuição t é muito parecida com a normal. A principal diferença entre as duas distribuições 
é que a distribuição t tem área maior nas caudas (ver figura abaixo). 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
T e o r e m a d o L i m i t e C e n t r a l 
 
 
 
À medida que se aumenta o tamanho da amostra, a distribuição de amostragem da média se aproxima da 
forma da distribuição normal, qualquer que seja a forma da distribuição da população. Na prática, a distribuição 
de amostragem da média pode ser considerada como aproximadamente normal sempre que o tamanho da 
amostra for n > 30. 
 
 
 
 
 
 
 
Como usar a Tabela 2 (Tabela do coeficiente t) 
 
 
 
Para encontrar os valores de t na Tabela 2 (Tabela t de Student), devemos conhecer duas coisas: 
 
 
1ª) o nível de confiança desejado (∝∝∝∝%); 
 
 
2ª) o número de graus de liberdade (gl = n – 1). 
 
 
 150
 
 
E X E M P L O S (valor de t na Tabela 2) 
 
 
 
 
 
 
Conhecendo-se apenas o desvio padrão amostral (s), determinar os valores críticos de t na Tabela 2 quando: 
 
 
 
 
1. n = 16 (tamanho da amostra) e 90% de confiança. 
 
 
 
 
Solução:Linha da tabela: n – 1 = 16 – 1 = 15 graus de liberdade (ou seja, linha 15 da tabela 2). 
 
 
 
 
Coluna da tabela: Como a confiança é de 90%, então a metade da diferença entre 100% e 90% é igual a 
5%, e que corresponde à área no extremo de cada cauda da curva, logo devemos utilizar a coluna 0,05 (5%) da 
Tabela 2. 
 
 
 
Tabela 2 
 
 
Graus 
liberd. Área na cauda superior 
 0,10 0,05 0,025 
1 ↓↓↓↓ 
2 ↓↓↓↓ 
3 ↓↓↓↓ 
 ↓↓↓↓ 
 ↓↓↓↓ 
 ↓↓↓↓ 
14 ↓↓↓↓ 
15 →→→→ 1,753 
16 
 
 
 
 
 
 
Portanto, a área de probabilidade de 5% situada no extremo de cada cauda da curva de probabilidade, 
corresponde aos seguintes valores críticos: t = ± 1,753 . 
 
 
 
 
Obs.: A área de probabilidade pode localizar-se à esquerda (o valor de t é negativo) ou à direita (o valor de t é 
positivo), de acordo com o nosso interesse. 
 
 
 
 
 
2. n = 10 (tamanho da amostra) e 95% de confiança. 
 
 
Solução: 
 
 
 
Linha da tabela: n – 1 = 10 – 1 = 9 graus de liberdade (ou seja, linha 9 da tabela 2). 
 
 
 
Coluna da tabela: é a coluna 0,025 (correspondente a 2,5%), para uma confiança de 95% . 
 
 
 
Portanto, a área de probabilidade de 2,5% situada no extremo de cada cauda da curva de probabilidade, 
corresponde aos seguintes valores críticos: t = ± 2,262 . 
 
 
 151
 
 
E X E R C Í C I O (valor de t na Tabela 2) 
 
 
 
 
Encontre os valores críticos de t (Tabela 2) para a estimativa da média populacional, sendo conhecido o 
desvio padrão amostral (s), quando: 
 
a) n = 25 e 90% de confiança. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
b) n = 8 e 95% de confiança. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
c) n = 19 e 80% de confiança. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
d) n = 13 e 99,5% de confiança. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
e) n = 16 e 99% de confiança. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
f) n = 10 e 98% de confiança. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Respostas: a) t = ± 1,711; b) t = ± 2,365; c) t = ± 1,330; d) t = ± 3,428; e) t = ± 2,947; f) t = ± 2,821 
 
 
 152
 
 
Estimativa da média populacional 
 
(quando o desvio padrão populacional é DESCONHECIDO) 
 
 
 
 
 
 
 
 
1ª fórmula: A estimação da verdadeira média populacional M, quando o tamanho da amostra é n ≤≤≤≤ 30, a 
média aritmética amostral é m, o desvio padrão populacional σ é desconhecido (isto é, é conhecido o desvio 
padrão amostral s) e a população é normalmente distribuída, devemos usar a Tabela 2 (coeficiente t). A 
estimação da média será dada por: 
 
 
 
 
 
 
n
s
tm ⋅±
 (X) (quando o desvio padrão populacional é desconhecido e n ≤≤≤≤ 30) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
E X E M P L O S (intervalo de confiança usando a Tabela 2) 
 
 
 
 
 
1. Uma amostra aleatória constituída de 12 medidas da tensão de ruptura de um fio de algodão apresentou 
uma média de 7,38 kg e um desvio padrão de 1,24 kg. Determine um intervalo de 95% de confiança para a 
verdadeira tensão média de ruptura desse tipo de fio. 
 
 
Solução: 
 
 
 
Como n ≤≤≤≤ 30 e o desvio padrão populacional (σ ) é desconhecido, isto é, é conhecido o desvio padrão 
amostral (s), devemos utilizar a Tabela 2 (coeficiente t). 
 
 
Pela fórmula (X) 
n
s
tm ⋅± , temos: ⇒±⇒⋅± 788,038,7
12
24,1201,238,7 de 6,592 a 8,168 kg. 
 
 
 
Resposta: Portanto, o intervalo de 95% de confiança para a verdadeira tensão média de ruptura desse tipo de fio 
de algodão é de 6,592 a 8,168 kg. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
2. Uma fábrica de lâmpadas testou uma amostra aleatória de 8 lâmpadas, as quais apresentaram um vida útil 
média de 1.120 horas, com o desvio padrão de 125 horas. Determine um intervalo de 90% de confiança para 
a verdadeira vida útil média dessas lâmpadas. 
 
 
 
Solução: 
 
 
 
Pela fórmula (X) 
n
s
tm ⋅± , temos: ⇒±⇒⋅± 7,83120.1
8
125895,1120.1 de 1.036,3 a 1.203,7 horas. 
 
 
 
 
Resposta: Portanto, o intervalo de 90% de confiança para a verdadeira vida útil média de todas as lâmpadas 
desse tipo produzidas por essa fábrica é de 1.036,3 e 1.203,7 horas. 
 
 
 
 
 
 153
 
 
 
2ª fórmula: Se o desvio padrão populacional é desconhecido (isto é, é conhecido o desvio padrão 
amostral s) e o tamanho da amostra é n > 30, então o valor de t (Tabela 2) pode ser aproximado por z (Tabela 1). 
 
Por exemplo, para o grau de confiança de 95%, na Tabela 1 encontramos z = 1,96 e, na Tabela 2, 
encontramos t = 1,96 (para gl = ∞∞∞∞). 
 
 
Neste caso, devemos utilizar a seguinte fórmula para estimar a média populacional: 
 
 
 
 
 
n
s
zm ⋅±
 
 (XI) (quando o desvio padrão populacional é desconhecido e n > 30) 
 
 
 
 
 
 
 
 
E X E M P L O (Intervalo de confiança usando a Tabela 1) 
 
 
 
 
 
 
Uma amostra aleatória constituída de 40 medidas da tensão de ruptura de um fio de algodão apresentou 
uma média de 7,38 kg e um desvio padrão de 1,24 kg. Determine um intervalo de confiança de 95% para a 
verdadeira tensão média de ruptura desse tipo de fio. 
 
Solução: 
 
 
Como n > 30, então devemos utilizar a Tabela 1 (coeficiente z). 
 
Pela fórmula (XI) 
n
s
zm ⋅± , temos: ⇒±⇒⋅± 384,038,7
40
24,196,138,7 de 6,996 a 7,764 kg 
 
 
 
Resposta: Portanto, o intervalo de 95% de confiança para a verdadeira tensão média de ruptura desse tipo de fio 
de algodão é de 6,996 a 7,764 kg. 
 
 
 
 
 
 
Estimativa da média populacional utilizando o fator de correção finita 
 
(quando o desvio padrão populacional é DESCONHECIDO) 
 
 
 
 
 
 
Vimos anteriormente que quando a população (de tamanho N) é finita e a amostra (de tamanho n) é 
superior a 5% da população, devemos usar o fator de correção finita (fórmula IV). 
Assim, as fórmulas (X) e (XI) ficarão, respectivamente: 
 
 
 
 
1−
−
⋅⋅±
N
nN
n
s
tm (XII) 
(utilizar quando o desvio padrão populacional é 
desconhecido, n ≤≤≤≤ 30, a população é finita e n é 
superior a 5% da população) 
 
 
 
 
 
1−
−
⋅⋅±
N
nN
n
s
zm (XIII) 
(utilizar quando o desvio padrão populacional é 
desconhecido, n > 30, a população é finita e n é 
superior a 5% da população) 
 
 
 
 
Obs.: Nas fórmulas do erro de estimação da média e do erro padrão da média, também deverá ser 
utilizado o fator de correção. 
 
 
 
 
 154
 
 
E X E M P L O S (intervalo de confiança e fator de correção) 
 
 
 
 
O setor de compras de uma empresa recebeu um lote completo de 400 unidades de determinado tipo de 
peça. Para estimar o peso médio de todas as peças adquiridas, foi tomada uma amostra de n unidades, a qual 
apresentou um peso médio de 243 g, com um desvio padrão de 16 g. Supondo que a distribuição desses pesos é 
aproximadamente normal, construir um intervalo de 95% de confiança para o verdadeiro peso médio 
populacional, sendo: 
a) n = 25 
Solução: Como a população é finita e o tamanho da amostra é %5%25,6100
400
25100 >=⋅=⋅
N
n
, então 
devemos usar o fator de correção finita. 
 
E como n = 25, ou, seja, n ≤≤≤≤ 30, e o desvio padrão é o amostral(s), então devemos utilizar a Tabela 2 
(coeficiente t), ou seja, t = 2,064. 
 
Assim, pela fórmula (XII) 
1−
−
⋅⋅±
N
nN
n
s
tm , temos: 
 
⇒±⇒
−
−
⋅⋅± 4,6243
1400
25400
25
16064,2243 de 236,6 a 249,4 gramas. 
 
 
Resposta: 
 
Portanto, o intervalo de confiança do peso médio de todas as peças desse lote é de 236,6 a 249,4 gramas. 
 
 
 
 
b) n = 40 
Solução: Como a população é finita e o tamanho da amostra é %5%10100
400
40100 >=⋅=⋅
N
n
, então devemos 
usar o fator de correção finita. 
 
 
E como n = 40, ou, seja, n > 30, então devemos utilizar a Tabela 1 (coeficiente z), ou seja, z = 1,96. 
 
 
 
Assim, pela fórmula (XIII) 
1−
−
⋅⋅±
N
nN
n
s
zm , temos: 
 
⇒±⇒
−
−
⋅⋅± 7,4243
1400
40400
40
1696,1243 de 238,3 a 247,7 gramas. 
 
Resposta: 
 
Portanto, o intervalo de confiança do peso médio de todas as peças desse lote é de 238,3 a 247,7 gramas. 
 
 
 
c) n = 10 
Solução: Como a população é finita e o tamanho da amostra é %5%5,2100
400
10100 <=⋅=⋅
N
n
, então NÃO 
devemos usar o fator de correção finita. 
 
E como n = 10, ou, seja, n ≤≤≤≤ 30, e o desvio padrão é o amostral (s), então devemos utilizar a Tabela 2 
(coeficiente t), ou seja, t = 2,262. 
Assim, pela fórmula (X) 
n
s
tm ⋅± , temos: ⇒±⇒⋅± 4,11243
10
16262,2243 de 231,6 a 254,4 gramas. 
 
Resposta: 
 
Portanto, o intervalo de 95% de confiança para o peso médio de todas as peças do produto desse lote é de 
231,6 a 254,4 gramas. 
 
 
 155
 
 
I M P O R T A N T E 
 
 
 
���� Quando usar as Tabelas 1 e 2: 
 
 
1º Caso: Dados: n > 30 e o desvio padrão é o populacional (σσσσ ) ▬► Tabela 1 
 
2º Caso: Dados: n ≤ 30 e o desvio padrão é o populacional (σσσσ ) ▬► Tabela 1 
 
3º Caso: Dados: n > 30 e o desvio padrão é o amostral ( s ) ▬► Tabela 1 
 
4º Caso: Dados: n ≤ 30 e o desvio padrão é o amostral ( s ) ▬► Tabela 2 
 
 
Obs.: Para n ≤ 30, a distribuição deve ser aproximadamente normal. 
 
 
 
 
 
���� Quando usar o fator de correção finita: 
Quando a população (N) é finita e a amostra (n) é: %5100 >⋅
N
n
, ou seja, 
a amostra é superior a 5% da população, devemos usar o fator de correção 
 
 
para população finita. 
 
 
 
 
 
 
E X E M P L O S (estimativa da média populacional) 
 
 
 
 
1. Determine o valor do coeficiente z, para a estimativa da média populacional, para uma confiança de ∝%, 
sendo: 
 
a) ∝∝∝∝ = 90% 
Solução: A metade de ∝∝∝∝ = 90% é 45%, ou seja, 0,4500. Na Tabela 1, o valor mais próximo e superior a 0,4500 é 
0,4505, cujo valor é z = 1,65. 
 
 
b) ∝∝∝∝ = 96% 
Solução: A metade de ∝∝∝∝ = 96% é 48%, ou seja, 0,4800. Na Tabela 1, o valor mais próximo e superior a 0,4800 é 
0,4803, cujo valor é z = 2,06. 
 
 
c) ∝∝∝∝ = 87,5% 
Solução: A metade de ∝∝∝∝ = 87,5% é 43,75%, ou seja, 0,4375. Na Tabela 1, o valor mais próximo e superior a 
0,4375 é 0,4382, cujo valor é z = 1,54. 
 
 
 
 
2. Sendo n = tamanho da amostra, ∝% = nível de confiança desejado e conhecido o desvio padrão amostral 
(s), determine o valor do coeficiente t nos seguintes casos: 
 
 
a) n = 14 e ∝ = 90% 
 
Solução: Graus de liberdade: n = 14 – 1 = 13 ⇒ ver linha 13 da Tabela 2 
Nível de confiança: 90% ⇒ ver coluna 0,05 (5%) da Tabela 2 ⇒ t = 1,771 
 
 
b) n = 10 e ∝ = 99% 
Solução: Graus de liberdade: n = 10 – 1 = 9 ⇒ ver linha 9 da Tabela 2 
Nível de confiança: 99% ⇒ ver coluna 0,005 (0,5%) da Tabela 2 ⇒ t = 3,250 
 
 
c) n = 25 e ∝ = 80% 
Solução: Graus de liberdade: n = 25 – 1 = 24 ⇒ ver linha 24 da Tabela 2 
Nível de confiança: 80% ⇒ ver coluna 0,10 (10%) da Tabela 2 ⇒ t = 1,318 
 
 
d) n = 18 e ∝ = 95% 
Solução: Graus de liberdade: n = 18 – 1 = 17 ⇒ ver linha 17 da Tabela 2 
Nível de confiança: 95% ⇒ ver coluna 0,025 (2,5%) da Tabela 2 ⇒ t = 2,110 
 
 
 156
 
 
3. Determine um intervalo de ∝∝∝∝% de confiança para a verdadeira média populacional para as seguintes 
situações: 
 
 
 
a) m = 15,0 (média amostral) 
σσσσ = 2,0 (desvio padrão populacional) 
∝∝∝∝ = 95% (nível de confiança) 
n = 40 (tamanho da amostra) 
N = 1.000 (tamanho da população) 
 
 
 
Solução: 
 
 
 
Coeficiente de confiança: Como o desvio padrão populacional (σ ) é conhecido, o coeficiente é o z (Tabela 
1), cujo valor para 95% de confiança é z = 1,96. 
 
 
Fator de Correção: Como a população é finita e %5%4100
000.1
40100 <=⋅=⋅
N
n
, ou seja, a amostra é inferior 
a 5% da população, então não devemos utilizar o fator de correção para população finita. 
 
 
 
Assim, pela fórmula ( I ) 
n
zm
σ
⋅± , temos: ⇒±⇒⋅± 62,00,15
40
0,296,10,15 de 14,38 a 15,62. 
 
 
 
Resposta: O intervalo de 95% de confiança para a média populacional é de 14,38 a 15,62. 
 
 
 
 
 
 
 
 
b) m = 15,0 (média amostral) 
s = 2,0 (desvio padrão amostral) 
∝∝∝∝ = 90% (nível de confiança) 
n = 20 (tamanho da amostra) 
N = 350 (tamanho da população) 
 
 
 
Solução: 
 
 
 
Coeficiente de confiança: Como o desvio padrão populacional (σ ) é desconhecido, isto é, é conhecido o 
desvio padrão amostral (s) e a amostra é n = 20 < 30, o coeficiente é o t (Tabela 2), cujo valor para 90% de 
confiança é t = 1,729. 
 
 
Fator de Correção: Como a população é finita e %5%7,5100
350
20100 >≅⋅=⋅
N
n
, ou seja, a amostra é 
superior a 5% da população, então devemos utilizar o fator de correção para população finita. 
 
 
 
Pela fórmula (XII) 
1−
−
⋅⋅±
N
nN
n
s
tm , temos: ⇒±⇒
−
−
⋅⋅± 75,00,15
1350
20350
20
0,2729,10,15 de 14,25 a 15,75. 
 
 
 
 
 
Resposta: O intervalo de 95% de confiança para a média populacional é de 14,25 a 15,75. 
 
 
 157
 
 
c) m = 15,0 
σσσσ = 2,0 (desvio padrão populacional) 
∝∝∝∝ = 99% (nível de confiança) 
n = 13 (tamanho da amostra) 
 
Solução: Coeficiente de confiança: Como o desvio padrão populacional (σ ) é conhecido, o coeficiente é o z 
(Tabela 1), cujo valor para 99% de confiança é z = 2,58. 
 
Assim, pela fórmula ( I ) 
n
zm
σ
⋅± , temos: ⇒±⇒⋅± 43,10,15
13
0,258,20,15 de 13,57 a 16,43. 
 
 
Resposta: O intervalo de 99% de confiança para a média populacional é de 13,57 a 16,43. 
 
 
 
d) m = 15,0 (média amostral) 
s = 2,0 (desvio padrão amostral) 
∝∝∝∝ = 98% (nível de confiança) 
n = 35 (tamanho da amostra) 
N = 450 (tamanho da população) 
 
Solução: Coeficiente de confiança: Como o desvio padrão populacional é desconhecido, mas o tamanho da 
amostra é n = 35 > 30, então o coeficiente é o z (Tabela 1), cujo valor para 98% de confiança é z = 2,33. 
Fator de Correção: Como a população é finita e %5%8,7100
450
35100 >≅⋅=⋅
N
n
, ou seja, a amostra é 
superior a 5% da população, então devemos utilizar o fator de correção para população finita. 
 
 
Pela fórmula (XIII) 
1−
−
⋅⋅±
N
nN
n
s
zm , temos: ⇒±⇒
−
−
⋅⋅± 76,00,15
1450
35450
35
0,233,20,15 de 14,24 a 15,76. 
 
 
Resposta: O intervalo de 98% de confiança para a média populacional é de 14,24 a 15,76. 
 
 
 
 
 
4. Uma amostra aleatória de 25 lâmpadas apresentou vida útil média de 1.000 horas e um desvio padrão de 
100 horas. Determine um intervalo de 80% de confiança para a verdadeira vida útil média dessas lâmpadas. 
 
Solução: Coeficiente de confiança: Como o desvio padrão populacional é desconhecido, e o tamanho da 
amostra é n = 25 < 30, então o coeficiente é o t (Tabela 2), cujo valor para 80% de confiança é t = 1,318. 
Pela fórmula (X) 
n
s
tm ⋅± , temos: ⇒±⇒⋅± 4,26000.1
25
100318,1000.1 de 973,6 a 1.026,4 horas.Resposta: O intervalo de 80% de confiança para a verdadeira vida útil média de todas as lâmpadas é de 973,6 a 
1.026,4 h. 
 
 
 
5. Refazer a questão anterior considerando uma confiança de 90%, e que a amostra foi retirada de um lote 
cujo total era de 400 unidades. 
Solução: Coeficiente de confiança: O valor de t para uma confiança de 90% é t = 1,711. 
Fator de Correção: Como a população é finita e %5%25,6100
400
25100 >=⋅=⋅
N
n
, ou seja, a amostra é 
superior a 5% da população, então devemos utilizar o fator de correção para população finita. 
 
Pela fórmula (XII) 
1−
−
⋅⋅±
N
nN
n
s
tm , temos: 
 
 
⇒±⇒
−
−
⋅⋅± 2,33000.1
1400
25400
25
100711,1000.1 de 966,8 a 1.033,2 horas. 
 
 
Resposta: O intervalo de 90% de confiança para a verdadeira vida útil média de todas as lâmpadas é de 966,8 a 
1.033,2 horas. 
 
 
 158
 
 
6. Uma amostra aleatória de 60 lâmpadas apresentou vida útil média de 1.200 horas. Sabendo-se que em 
testes feitos anteriormente obteve-se um desvio padrão de 150 horas, determine um intervalo de 90% de 
confiança para a verdadeira vida útil média dessas lâmpadas. 
Solução: 
 
Coeficiente de confiança: Como o tamanho da amostra é n = 60 > 30, então o coeficiente é o z (Tabela 1), 
cujo valor para 90% de confiança é z = 1,65. 
Pela fórmula ( I ) 
n
zm
σ
⋅± , temos: ⇒±⇒⋅± 0,32200.1
60
15065,1200.1 de 1.168,0 a 1.232,0 horas. 
 
Resposta: O intervalo de 90% de confiança para a vida útil média de todas as lâmpadas é de 1.168,0 a 1.232,0 
horas. 
 
 
 
7. Uma amostra aleatória de 10 peças apresentou vida útil média de 2.000 horas. Sabendo que o desvio 
padrão populacional é de 300 horas, construir um intervalo de 98% de confiança para a verdadeira vida útil 
média dessas peças. 
Solução: 
 
Coeficiente de confiança: Como o desvio padrão populacional (σ ) é conhecido, o coeficiente o é z (Tabela 
1), que para uma confiança de 98% corresponde a z = 2,33. 
 
Pela fórmula ( I ) 
n
zm
σ
⋅± , temos: ⇒±⇒⋅± 0,221000.2
10
30033,2000.2 de 1.779,0 a 2.221,0 horas. 
 
Resposta: O intervalo de 98% de confiança para a verdadeira vida útil média de todas as peças é de 1.779,0 a 
2.221,0 horas. 
 
8. Refazer a questão anterior considerando uma confiança de 90%, e que a amostra foi retirada de um lote 
cujo total era de 400 unidades. 
Solução: 
 
Coeficiente de confiança: Para uma confiança de 90%, o valor do coeficiente de confiança é z = 1,65. 
Fator de Correção: Como a população é finita e %5%5,2100
400
10100 <=⋅=⋅
N
n
, ou seja, a amostra é inferior 
a 5% da população, então não devemos utilizar o fator de correção para população finita. 
 
Pela fórmula ( I ) 
n
zm
σ
⋅± , temos: ⇒±⇒⋅± 5,156000.2
10
30065,1000.2 de 1.843,5 a 2.156,5 horas. 
 
Resposta: O intervalo de 98% de confiança para a verdadeira vida útil média de todas as peças é de 1.842,5 a 
2.157,5 horas. 
 
9. Uma amostra aleatória de 50 componentes eletrônicos apresentou vida útil média de 1.500 horas, com um 
desvio padrão de 200 horas. Determine um intervalo de 80% de confiança para a verdadeira vida útil média 
desses componentes. 
Solução: 
 
Coeficiente de confiança: Como o tamanho da amostra é n = 50 > 30, então o coeficiente é o z (Tabela 1), 
cujo valor para 80% de confiança é z = 1,29. 
Pela fórmula (XI) 
n
s
zm ⋅± , temos: ⇒±⇒⋅±⇒⋅± 5,36500.1
50
20029,1500.1
n
s
zm de 1.463,5 a 1.536,5 horas. 
 
Resposta: O intervalo de 80% de confiança para a vida útil média de todos os componentes eletrônicos é de 
1.463,5 a 1.536,5 horas. 
 
 
 159
 
 
10. Uma amostra aleatória de 100 aparelhos elétricos apresentou vida útil média de 1.600 horas. Sabendo que o 
desvio padrão populacional é de 200 horas, determine um intervalo de 90% de confiança para a verdadeira 
vida útil média desses aparelhos. 
 
 
Solução: 
 
 
 
Coeficiente de confiança: Como o tamanho da amostra é n = 100 > 30, então o coeficiente é o z (Tabela 
1), cujo valor para 90% de confiança é z = 1,65. 
 
 
Pela fórmula ( I ) 
n
zm
σ
⋅± , temos: ⇒±⇒⋅± 0,33600.1
100
20065,1600.1 de 1.567,0 a 1.633,0 horas. 
 
 
Resposta: O intervalo de 90% de confiança para a vida útil média de todos os aparelhos elétricos é de 1.567,0 a 
1.633,0 horas. 
 
 
 
 
 
 
11. Uma amostra aleatória de 15 pneus apresentou vida útil média de 1.000 dias. Sabendo-se que o desvio 
padrão foi anteriormente estimado em 100 dias, determine um intervalo de 99% de confiança para a 
verdadeira vida útil média desses pneus. 
 
 
 
Solução: 
 
 
 
Coeficiente de confiança: Como o desvio padrão populacional (σ ) é conhecido, então o coeficiente é o z 
(Tabela 1), cujo valor para 99% de confiança é z = 2,58. 
 
 
Pela fórmula ( I ) 
n
zm
σ
⋅± , temos: ⇒±⇒⋅± 6,66000.1
15
10058,2000.1 de 933,4 a 1.066,6 dias. 
 
Resposta: O intervalo de 90% de confiança para a vida útil média de todos os pneus é de 933,4 a 1.066,6 dias. 
 
 
 
 
 
 
12. Uma amostra de 10 peças produzidas por uma máquina apresentou os seguintes comprimentos, em cm: 
98,0; 98,4; 98,4; 98,6; 98,0; 98,4; 98,6; 98,4, 99,0 e 98,6. Construir um intervalo de 95% de confiança 
para o verdadeiro comprimento médio desse tipo de peça. 
 
 
 
Solução: 
 
 
 
Pelas fórmulas, ou com o auxílio de uma calculadora, encontramos um comprimento médio amostral de 
98,44 cm, e desvio padrão amostral de 0,30 cm. 
 
 
Como o desvio padrão populacional (σ) é desconhecido (isto é, é conhecido o desvio padrão amostral s), e 
o tamanho da amostra é n = 10 < 30, então o coeficiente é o t (Tabela 2), cujo valor para 95% de confiança é 
t = 2,262. 
 
Pela fórmula (X) 
n
s
tm ⋅± , temos: ⇒±⇒⋅± 21,044,98
10
30,0262,244,98 de 98,23 a 98,65 cm. 
 
 
 
Resposta: O intervalo de 95% de confiança para o comprimento médio de todas as peças produzidas por essa 
máquina é de 98,23 a 98,65 cm. 
 
 
 160
 
 
E X E R C Í C I O S (estimativa da média populacional) 
 
 
 
 
 
 
1. Determine os valores dos coeficientes z e t, para a estimativa da média populacional, sendo n = tamanho da 
amostra e ∝% = nível de confiança, nos seguintes casos: 
 
a) n = 11 e ∝ = 90% 
 
Solução: 
 
 Coeficiente z (Tabela 1): z = ________ 
 Coeficiente t (Tabela 2): Linha: _________ 
⇒ t = ________ 
 
 
 Coluna: _______ 
 
b) n = 5 e ∝ = 95% 
 
Solução: 
 
 Coeficiente z (Tabela 1): z = ________ 
 Coeficiente t (Tabela 2): Linha: _________ 
⇒ t = ________ 
 
 
 Coluna: _______ 
 
c) n = 7 e ∝ = 98% 
 
Solução: 
 
 Coeficiente z (Tabela 1): z = ________ 
 Coeficiente t (Tabela 2): Linha: _________ 
⇒ t = ________ 
 
 
 Coluna: _______ 
 
d) n = 23 e ∝ = 99% 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
e) n = 16 e ∝ = 80% 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
f) n = 15 e ∝ = 99,5% 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 161
 
 
2. Sendo m = média amostral, σσσσ = desvio padrão populacional, s = desvio padrão amostral, N = tamanho da 
população, n = tamanho da amostra e ∝% = nível de confiança, determine um intervalo de confiança para a 
verdadeira média populacional para as seguintes situações: 
a) m = 36,8; s = 5,4; N = 1.000; n = 100 e ∝ = 95% 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
b) m = 172,83; s = 41,39; n = 21 e ∝ = 99%c) m = 84,5; σ = 19,2; n = 40 e ∝ = 80% 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
d) m = 426; σ = 79; n = 15 e ∝ = 90% 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
e) m = 6,507; s = 1,335; N = 250; n = 10 e ∝ = 95% 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 162
 
 
3. Certa marca de margarina dietética foi analisada por um engenheiro químico para determinar o nível (em 
porcentagem) de ácidos graxos insaturados. Uma amostra aleatória de seis pacotes resultou média de 16,9 
e um desvio padrão de 0,3. Supondo que o nível de ácidos graxos insaturados é normalmente distribuído, 
determine: 
 
a) A estimativa pontual do nível médio de ácidos graxos dessa marca de margarina. 
 
 
 
 
 
 
 
 
Resposta: O nível médio pontual de ácidos graxos dessa margarina é ....................... 
 
 
b) O intervalo de 90% de confiança para o verdadeiro nível médio de ácidos graxos dessa marca de margarina 
encontrado em todos os pacotes de margarina. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Resposta: O intervalo de...........% de confiança para o verdadeiro nível médio de ácidos graxos dessa marca de 
margarina encontrado em todos os pacotes de margarina é de.................a................... . 
 
 
c) O erro de estimação da média referente à letra b). 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
d) O erro padrão da média. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
4. Uma engenheira ambiental está fazendo um estudo para investigar a contaminação por mercúrio em um 
determinado tipo de peixe de água doce. Uma amostra aleatória desse tipo de peixe foi selecionada 
aleatoriamente proveniente de 40 lagos e mediu-se a concentração (em ppm) de mercúrio no tecido 
muscular, obtendo uma concentração média de mercúrio de 0,5250 e um desvio padrão de 0,3512. Construir 
um intervalo de 95% de confiança para a verdadeira concentração média de mercúrio em todos os peixes 
desse tipo. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Resposta: O intervalo de.............% de confiança para a verdadeira concentração média de mercúrio em todos os 
peixes desse tipo é de..................a................... . 
 
 
 163
 
 
5. Um engenheiro elétrico de uma indústria eletroeletrônica está analisando a voltagem de saída de certo tipo 
de transformador. Para tanto tomou uma amostra aleatória de 10 transformadores, aleatoriamente 
selecionados na linha de produção e verificou que a voltagem média desses transformadores é de 12,08 
volts. Sabendo que a variância do processo de fabricação desses transformadores é de 0,7 (volts)², 
construir um intervalo de 80% de confiança para a verdadeira voltagem média de todos os transformadores 
desse tipo produzidos por essa indústria. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Resposta: O intervalo de...........% de confiança para a verdadeira voltagem média de todos os transformadores 
desse tipo produzidos por essa indústria é de..................a................. volts. 
 
6. Um engenheiro elétrico de uma indústria eletroeletrônica está analisando a voltagem de saída de certo tipo 
de transformador. Para tanto tomou uma amostra aleatória de 10 transformadores, aleatoriamente 
selecionados na linha de produção e verificou que a voltagem média desses transformadores é de 12,08 
volts e a variância é de 0,7 (volts)². Construir um intervalo de 80% de confiança para a verdadeira voltagem 
média de todos os transformadores desse tipo produzidos por essa indústria, sendo: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Resposta: O intervalo de...........% de confiança para a nota média de satisfação.................................................... 
..................................................................................................................... . 
 
7. Um engenheiro de controle e automação de uma indústria fabricante de cadeiras de rodas motorizadas, 
responsável pela produção de certo tipo de alavanca para a locomoção essas cadeiras, testou uma amostra 
aleatória de 12 cadeiras para verificar o tempo para completar determinado percurso, obtendo um tempo 
médio de 32,6 segundos, com um desvio padrão de 3,4 segundos. 
a) Construir um intervalo de 99,5% de confiança para o verdadeiro tempo médio de percurso que todas as 
cadeiras motorizadas conseguem fazer com esse tipo de alavanca, sendo: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Resposta: O intervalo de...........% de confiança para ............................................................................................... 
.................................................................................................................................................................................... 
 
 
b) Qual é o erro máximo de estimação da média populacional? 
 
 
 
 
 
 
 
 
 164
 
 
8. Um engenheiro de computação pretende estudar o tempo para que um sistema computacional execute 
determinada tarefa. Para tanto, essa tarefa foi colocada para execução por 200 vezes e obteve um tempo 
médio de 352 segundos e um desvio padrão de 8 segundos. Construir um intervalo de 99% de confiança 
para o verdadeiro tempo médio para execução dessa tarefa. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Resposta: O intervalo de.............% de confiança para............................................................................................... 
............................................................................................................. . 
 
9. Um grande distribuidor de máquinas automáticas de refrescos planeja estimar o número médio diário de 
refrescos servidos por todas as suas N máquinas. Para tanto, escolheu aleatoriamente n máquinas desse 
total e em um dia qualquer, também aleatoriamente escolhido, registrou uma média de 255 refrescos 
vendidos, com um desvio padrão de 48 refrescos. Construa um intervalo de ∝% de confiança para o número 
médio real de refrescos servidos diariamente por qualquer uma das máquinas. 
a) N = 1.200, n = 50 e ∝ = 80% 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Resposta: O intervalo de.............% de confiança para............................................................................................... 
............................................................................................................. . 
 
b) N = 350, n = 20 e ∝ = 98% 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Resposta: O intervalo de.............% de confiança para............................................................................................... 
.............................................................................................................. 
 
 
 165
 
 
10. De um grande lote de latas de peras em compota, foi extraída uma amostra aleatória de 50 latas as quais 
apresentaram um peso médio de 446,3 g e um desvio padrão de 9,1 g. Com que confiança podemos afirmar 
que o erro desta estimativa é, no máximo, de 3 g? 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
11. De um grande lote de latas de peras em compota, foi extraída uma amostra aleatória de n latas as quais 
apresentaram um peso médio de 446,3 g e um desvio padrão de 8,4 g. Construa um intervalo de ∝% de 
confiança para o peso médio de todas as latas produzidas, sendo: 
a) n = 40 e ∝ = 90% 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Resposta: O intervalo de...........% de confiança para a nota média de satisfação.................................................... 
..................................................................................................................... . 
 
b) n = 20 e ∝ = 95% 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Resposta: O intervalo de...........% de confiança para ............................................................................................... 
.................................................................................................................................................................................... 
 
 
12. De um grande lote de latas de peras em compota, foi extraída uma amostra aleatória de n latas as quais 
apresentaram um peso médio de 446,3 g. Através de levantamentos anteriores podemos admitir que o 
desvio padrão seja de 8,4 g. Construa um intervalo de ∝% de confiança para o peso médio de todas as latas 
produzidas, sendo: 
a) n = 60 e ∝ = 80% 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Resposta: O intervalo de...........% de confiança para a nota média de satisfação.................................................... 
..................................................................................................................... . 
 
 
 166
 
 
b) n = 15 e ∝ = 99% 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Resposta: O intervalo de...........% de confiança para a nota média de satisfação.................................................... 
..................................................................................................................... . 
 
13. Uma amostra aleatória de n tambores de um produto químico, extraída de um lote de N desses tambores, 
apresentou peso médio de 240,8 kg e um desvio padrão de 10,2 kg. Construa um intervalo de ∝% de 
confiança para o peso médio de todos os tambores desse lote, sendo: 
a) N = 600, n = 22 e ∝ = 95% 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Resposta: O intervalo de...........% de confiança para a nota média de satisfação.................................................... 
..................................................................................................................... . 
 
b) N = 300, n = 40 e ∝ = 90% 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Resposta: O intervalo de...........% de confiança para a nota média de satisfação.................................................... 
..................................................................................................................... . 
 
14. Admite-se que os pesos de todos os tambores que armazenam determinado produto químico produzido por 
certa indústria apresentam um desvio padrão de 10,2 kg. Uma engenheira química tomou uma amostra 
aleatória de n tambores desse produto, extraída de um lote de N desses tambores, e obteve um peso médio 
de 240,8 kg. Construa um intervalo de ∝% de confiança para o peso médio de todos os tambores desse lote, 
sendo: 
a) N = 200, n = 12e ∝ = 98% 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 167
 
 
b) N = 2.000, n = 80 e ∝ = 99% 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
15. Um engenheiro químico pretende examinar os pesos de um lote de 200 tambores de certo produto químico. 
Para tanto, retirou desse lote uma amostra aleatória de 20 tambores e encontrou um peso médio de 240,8 
kg. Sabendo que o desvio padrão dos pesos dos tambores do lote pode ser considerado igual a 10,2 kg, 
construir um intervalo de 99% de confiança para o peso médio de todos os tambores desse lote. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
16. Calcule o tamanho que deve ter uma amostra de pessoas para que se obtenha um intervalo de confiança 
para a altura média populacional, com um nível de confiança de 99%, e com um erro máximo de estimação 
de 0,2 dm, sabendo que o desvio padrão pode ser considerado igual a 10,2 cm. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
17. Foram retiradas 25 peças da produção diária de uma máquina, encontrando-se uma medida média de 5,2 
mm. Sabendo que as medidas têm distribuição normal com desvio padrão populacional de 1,2 mm, construir 
um intervalo de 90% de confiança para a média populacional. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 168
 
 
18. Uma engenheira de computação após fixar certos parâmetros de entrada em um sistema computacional 
mediu 13 vezes os tempos de execução de um algoritmo, obtendo os seguintes resultados, em minutos: 
18, 15, 17, 13, 16, 19, 14, 15, 18, 15, 14, 20 e 17. Construir um intervalo de 99% de confiança para o 
verdadeiro tempo médio de execução desse algoritmo. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
19. Uma amostra aleatória de n refeições, aleatoriamente escolhidas, servidas em um restaurante “por quilo”, 
acusou um peso médio de 480 g, com um desvio padrão de 120 g. Construir um intervalo de ∝% de 
confiança para o verdadeiro peso médio de todas as refeições servidas por esse restaurante, sendo: 
a) n = 25 e ∝ = 90% 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
b) n = 50 e ∝ = 99% 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
20. Uma amostra aleatória de n refeições, aleatoriamente escolhidas, servidas em um restaurante “por quilo”, 
acusou um peso médio de 450 g. Sabendo que o desvio padrão dos pesos de todas as refeições pode ser 
considerado como sendo de 100 g, construir um intervalo de ∝% de confiança para o verdadeiro peso médio 
de todas as refeições servidas por esse restaurante, sendo: 
a) n = 80 e ∝ = 95% 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
b) n = 15 e ∝ = 98%169
 
 
21. Uma engenheira de controle de qualidade de uma indústria mediu as espessuras de uma amostra aleatória 
de n garrafas de vidro de 1 litro, obtendo uma média de 4,35 mm e desvio padrão de 0,09 mm. Construir um 
intervalo de ∝% de confiança para a verdadeira espessura média de todas as garrafas de vidro produzidas 
por essa indústria, sendo: 
a) n = 20 e ∝ = 99% 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Resposta: O intervalo de...........% de confiança para a verdadeira espessura média de todas as ......................... 
........................................................................................................................................ 
 
b) n = 60 e ∝ = 98% 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Resposta: O intervalo de...........% de confiança para a verdadeira espessura média de todas as ......................... 
........................................................................................................................................ 
 
22. Um engenheiro civil de uma grande construtora, tomou uma amostra aleatória de 25 azulejos de um grande 
lote e obteve uma área média de 400 cm² e um desvio padrão de 5 cm². Estime o intervalo de 95% de 
confiança para a verdadeira área média de todos os azulejos desse lote. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Resposta: O intervalo de...........% de confiança para a verdadeira área média de todos os.................................. 
........................................................................................................................................ 
 
 
Respostas: 
1.a) z = ± 1,65 e t = ± 1,812; b) z = ± 1,96 e t = ± 2,776; c) z = ± 2,33 e t = ± 3,143; 11.a) 444,11 a 448,49 g; b) 442,37 a 450,23 g 
d) z = ± 2,58 e t = ± 2,819; e) z = ± 1,29 e t = ± 1,341; f) z = ± 2,81 e t = ± 3,326 12.a) 444,90 a 447,70 g; b) 440,70 a 451,90 g 
2.a) 35,80 a 37,80; b) 147,134 a 198,526; c) 80,58 a 88,42; 13.a) 236,28 a 245,32 kg; b) 238,32 a 243,28 kg 
d) 392,3 a 459,7; e) 5,5521 a 7,4619 14.a) 234,13 a 247,47 kg; b) 237,86 a 243,74 kg 
3.a) 16,9; b) 16,65 a 17,15; c) 0,25; d) 0,12 15. 235,20 a 246,40 kg 
4. 0,41616 a 0,63384 16. 174 pessoas 
5. 11,739 a 12,421 V 17. 4,80 a 5,60 mm 
6. 11,714 a 12,446 V 18. 14,4 a 18,0 min 
7.a) 29,17 a 36,03 s; b) 3,43 s 19.a) 438,9 a 521,1 g; b) 436,2 a 523,8 g 
8. 350,5 a 353,5 s 20.a) 428,1 a 471,9 g; b) 389,8 a 510,2 g 
9. a) 246,2 a 263,8 refrescos; b) 228,5 a 281,5 refrescos 21. a) 4,292 a 4,408 mm; b) 4,323 a 4,377 mm 
10. 98% 22. 379,9 a 402,1 cm² 
 
 
 170
 
 
ESTIMATIVA DE UMA PROPORÇÃO POPULACIONAL 
 
 
 
 
 
 
Neste capítulo iremos abordar os mesmos três conceitos estudados anteriormente: 
 
 
 
• Estimativa pontual 
 
 
 
• Estimativa intervalar (ou intervalo de confiança) 
 
 
 
• Tamanho da amostra 
 
 
 
 
Notação para as proporções: 
 
 
P = proporção populacional 
 
p = proporção amostral de x sucessos em uma amostra de tamanho n, isto é, 
n
xp =
 
 
 
 
 
 
E s t i m a t i v a p o n t u a l 
 
 
 
 
A estimativa amostral p é a melhor estimativa pontual da proporção populacional P. 
 
 
 
 
 
 
 
 
E s t i m a t i v a i n t e r v a l a r 
 
 
 
A estimativa intervalar para a proporção populacional P (para grandes amostras) é dada por: 
 
 
 
n
qp
zp ⋅⋅±
 (XIV) 
 
 
onde 
 
z = coeficiente de confiança (Tabela 1) 
p = probabilidade de ocorrência de um fato 
 q = 1 – p → q = probabilidade de não ocorrência do mesmo fato 
n = tamanho da amostra 
 
 
 
 
Observações: 
 
 
 
a) As estimativas intervalares de P devem ser arredondadas para três dígitos significativos. 
 
 
b) Para construirmos os intervalos de confiança para uma proporção populacional, usamos apenas a 
distribuição z ( a distribuição t não é usada). 
 
 
 
 
 
 
 
 
Erro de estimativa de uma proporção populacional 
 
 
 
 
n
qp
zE ⋅⋅=
 (XV) 
 
 
 
 
 171
 
 
E X E M P L O S (estimativa de uma proporção populacional) 
 
 
 
 
1. Uma engenheira civil tomou uma amostra aleatória de 120 pisos cerâmicos e verificou que 15 deles 
apresentaram determinadas imperfeições que inviabilizam o seu uso. Com esses dados, determine: 
a) A estimativa pontual da proporção populacional de todos os pisos que apresentam alguma imperfeição. 
 
Solução: A estimativa pontual de P é: 125,0
120
15
===
n
xp (12,5%) 
 
 
 
b) A estimativa intervalar de 95% de confiança para a proporção populacional de todos os pisos que apresentam 
alguma imperfeição. 
Solução: Como p = 0,125, então q = 1 – p = 1 – 0,125, logo q = 0,875. 
 
A estimativa intervalar de P é dada pela fórmula (XIV) 
n
qp
zp ⋅⋅±
 
Daí, ⇒±⇒⋅⋅± 0592,0125,0
120
875,0125,096,1125,0 de 0,0658(6,58%) a 0,184 (18,4%).
 
 
Resposta: Portanto, o intervalo de 95% de confiança para a proporção populacional de todos os pisos que 
apresentam alguma imperfeição é de 0,0658 (6,58%) a 0,184 (18,4%). 
 
 
 
c) O erro de estimativa da proporção populacional encontrada em b). 
 
Solução: O erro de estimativa de P é dado pela fórmula (XV) 
n
qp
zE ⋅⋅=
 
Daí, ⇒
⋅
⋅=
120
875,0125,096,1E
 
 E = 0,0592 (5,92%). 
 
 
 
2. Uma pesquisa feita com uma amostra aleatória de 1.850 eleitores para saber se votariam em determinado 
candidato, revelou que 1.134 deles responderam afirmativamente. 
a) Construir um intervalo de 90% de confiança para a verdadeira proporção das pessoas que pretendem votar 
nesse candidato no dia da eleição. 
Solução: 
A proporção amostral dos eleitores que votam nesse candidato é: ⇒==
1850
1134
n
xp p = 0,613 (61,3%). 
 
E a proporção amostral dos eleitores que não votam nesse candidato é: q = 1 – p ⇒ q = 0,387 (38,7%). 
 
A estimativa intervalar de P é dada pela fórmula (XIV) 
n
qp
zp ⋅⋅±
 
Daí, ⇒±⇒⋅⋅± 0187,0613,0
850.1
387,0613,065,1613,0 de 0,594 (59,4%) a 0,632 (63,2%). 
 
Resposta: Portanto, o intervalo de 90% de confiança para a proporção populacional de todas as pessoas que 
pretendem votar nesse candidato no dia da eleição é de 0,594 (59,4%) a 0,632 (63,2%). 
 
 
 
b) O erro de estimativa da proporção populacional encontrada em a). 
 
Solução: O erro de estimativa de P é dado pela fórmula (XV) 
n
qp
zE ⋅⋅=
 
Daí, ⇒⋅⋅=
850.1
387,0613,065,1E E = 0,0187 (1,87%). 
 
 
 172
 
 
Estimativa de uma proporção para população finita 
 
 
 
Sendo p a proporção amostral, n o tamanho da amostra retirada de uma população finita de tamanho N, a 
estimativa intervalar para a proporção populacional P, com fator de correção para uma população finita, é dada 
por: 
1−
−
⋅
⋅
⋅±
N
nN
n
qp
zp
 (XVI) 
 
 
 
 
 
 
Erro de estimativa com o fator de correção para população finita 
 
 
 
 
1−
−
⋅
⋅
⋅=
N
nN
n
qp
zE
 (XVII) 
 
 
 
 
 
 
 
E X E M P L O (proporção populacional e fator de correção) 
 
 
 
 
 
 
Uma indústria possui um total de N máquinas. O engenheiro de produção tomou uma amostra aleatória de n 
dessas máquinas e constatou que 34 delas tiveram algum tipo de problema durante o mês anterior. 
 
 
a) Construir um intervalo de 95% de confiança para a proporção de todas as máquinas dessa indústria, que 
apresentaram algum tipode problema no mês anterior, sendo N = 360 e n = 100. 
 
Solução: 
 
 
Para uma confiança de 95%, o valor do coeficiente z é 1,96. 
 
 
A proporção amostral das máquinas que apresentaram algum problema é: 
 
 
⇒==
100
34
n
xp p= 0,34 (34%) ⇒ q = 1 – p =1 – 0,34⇒ q = 0,66 (66%). 
 
 
Fator de correção para população finita: 
 
 
Como a amostra é %5%8,27100
360
100100 >=⋅=⋅
N
n
, então devemos utilizar o fator de correção para 
população finita. Assim, pela fórmula (XVI) 
1−
−
⋅
⋅
⋅±
N
nN
n
qp
zp , temos: 
 
⇒±⇒
−
−
⋅
⋅
⋅± 079,034,0
1360
100360
100
66,034,096,134,0 de 0,261 (26,1%) a 0,419 (41,9%). 
 
 
Resposta: Portanto, o intervalo de 95% de confiança para a proporção populacional de todas as máquinas dessa 
indústria, que apresentaram algum tipo de problema no mês anterior é de 0,261 (26,1%) a 0,419 (41,9%). 
 
 
 
 
 
b) Qual é o erro de estimação da proporção populacional na letra a)? 
 
 
Solução: 
 
 
Na letra a), encontramos: p ± E, ou seja, 0,34 ± 0,079. 
 
 
Logo, o erro de estimação da proporção populacional é: 
 
 E = 0,079 (7,9%). 
 
 
 173
 
 
c) Construir um intervalo de 98% de confiança para a proporção de todas as máquinas dessa indústria, que 
apresentaram algum tipo de problema no mês anterior, sendo N = 1.500 e n = 60. 
Solução: 
 
Para uma confiança de 98%, o valor do coeficiente z é 2,33. 
 
A proporção amostral das máquinas que apresentaram algum problema é: 
 
⇒==
60
34
n
xp p = 0,567 (56,7%) ⇒ q = 1 – p =1 – 0,567 ⇒ q= 0,433 (43,3%). 
 
 
 
 
Fator de correção para população finita: 
 
Como a amostra é %5%4100
500.1
60100 <=⋅=⋅
N
n
, então NÃO devemos utilizar o fator de correção para 
população finita. Assim, pela fórmula (XIV) 
n
qp
zp ⋅⋅± , temos: 
⇒±⇒⋅⋅± 149,0567,0
60
433,0567,033,2567,0 de 0,418 a 0,716. 
 
Resposta: Portanto, o intervalo de 98% de confiança para a proporção populacional de todas as máquinas dessa 
indústria que apresentaram algum tipo de problema no mês anterior é de 0,418 (41,8%) a 0,716 (71,6%). 
 
 
d) Qual é o erro de estimação da proporção populacional na letra c)? 
 
Solução: Na letra c), encontramos: p ± E, ou seja, 0,567 ± 0,149. 
 
Logo, o erro de estimação da proporção populacional é: 
 
 E = 0,149 (14,9%). 
 
 
 
 
 
 
T A M A N H O D A A M O S T R A (n) 
 
(para estimativa de uma proporção populacional) 
 
 
 
 
 
 
 
De 
n
qp
zE ⋅⋅= , obtemos: 2
2
E
qpz
n
⋅⋅
= (XVIII) 
 
REGRA DO ARREDONDAMENTO 
 
 
 
Quando a fórmula não conduz a um 
número inteiro, considerar sempre o 
próximo inteiro mais elevado. 
 
 
 
 
 
 
 
onde n = tamanho da amostra 
 
z = coeficiente de confiança 
E = erro amostral 
p = estimativa da proporção 
q = complemento de p, isto é, q = 1 – p . 
 
 
 
Obs.: Quando não se conhece o valor de p, consideramos p = 0,5 (50%) e q = 0,5 (50%) e a fórmula 
 
 
anterior fica: 2
2 25,0
E
z
n
⋅
=
 (XIX) 
 
 
 
Exemplo: Certo tipo de peça é produzido por determinada indústria. Qual o tamanho da amostra que permite 
estimar a proporção de itens defeituosos, com um erro máximo de 3,2% e uma confiança de 98%, se: 
a) Em estudo anterior, constatou-se que 4,8% das peças são defeituosas. 
 
Solução: Pela fórmula (XVIII) 2
2
E
qpz
n
⋅⋅
= , temos: 2
2
)032,0(
952,0048,0)33,2( ⋅⋅
=n ⇒⇒⇒⇒ n = 243 peças . 
 
b) Não se tem qualquer informação que possa sugerir um valor de p. 
 
Solução: Pela fórmula (XIX) 
2
2 25,0
E
z
n
⋅
= , temos: ⇒=
⋅
= 42,325.1)032,0(
25,0)33,2(
2
2
n n = 1.326 peças . . 
 
 
 174
 
 
c) Refazer a letra a) para uma confiança de 90%. 
 
Solução: Pela fórmula (XVIII) 
2
2
E
qpz
n
⋅⋅
= , temos:
 
⇒=
⋅⋅
= 49,121)032,0(
952,0048,0)65,1(
2
2
n n = 122 peças . 
 
 
d) Refazer a letra b) para uma confiança de 90%. 
 
Solução: Pela fórmula (XIX) 
2
2 25,0
E
z
n
⋅
= , temos: ⇒=
⋅
=⇒ 67,664)032,0(
25,0)65,1(
2
2
n n = 665 peças . 
 
 
 
 
e) Comparando os resultados anteriores, qual a conclusão que se chega sobre os percentuais de p quanto ao 
nível de confiança? 
 
 
Resposta: Quanto maior o nível de confiança desejado, maior deverá ser o tamanho da amostra. 
 
 
 
Exercício 
 
Agora, resolva você: 
 
Os engenheiros da Philips desejam estimar a proporção populacional dos aparelhos de som que se avariam 
durante os três primeiros meses do período de garantia. Admitindo um erro máximo de 4% e uma confiança de 
99%, determine o tamanho necessário da amostra, se: 
a) Em estudo anterior, constatou-se que 12,5% dos aparelhos apresentam defeitos durante esse período. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
b) Não se tem qualquer informação que possa sugerir um valor de p. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Respostas: a) 456 aparelhos de som; b) 1.041 aparelhos de som 
 
 
 
 
 
 
T a m a n h o d a a m o s t r a p a r a p o p u l a ç ã o f i n i t a 
 
 
 
 
O tamanho da amostra para determinar a proporção populacional quando a população é finita é dado por: 
 
qpzNE
qpzN
n
⋅⋅+−⋅
⋅⋅⋅
= 22
2
)1( (XX) 
 
 
onde N = tamanho da população 
n = tamanho da amostra 
z = coeficiente de confiança 
E = erro amostral 
p = estimativa da proporção 
q = complemento de p, isto é, q = 1 – p 
 
 
 
Exemplo: Certa cidade possui um total de 20.000 habitantes. Determine o tamanho da amostra para se estimar a 
proporção populacional de pessoas que consideram satisfatório o atendimento médico municipal, admitindo que o 
pesquisador suspeite que 30% acham o atendimento satisfatório, utilizando um nível de 95% de confiança e um 
erro amostral de 2% (para mais ou para menos). 
 
 
Solução: Pela fórmula (XX) 
qpzNE
qpzN
n
⋅⋅+−⋅
⋅⋅⋅
= 22
2
)1( , temos: 
 
 
⇒=
⋅⋅+−⋅
⋅⋅⋅
= 17,1832
70,030,0)96,1()120000()02,0(
70,030,0)96,1(20000
22
2
n n = 1.833 pessoas . 
 
 
 175
 
 
E X E R C Í C I O S (estimativa de uma proporção populacional) 
 
 
 
 
1. Um engenheiro civil tomou uma amostra aleatória de n homens trabalhando num grande projeto de 
construção a qual revelou que x operários não estavam usando capacetes protetores. 
 
a) Qual é a estimativa pontual da proporção populacional dos operários que não estão usando capacetes, para 
n = 40 e x = 7? 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
b) Qual é a estimativa pontual da proporção populacional dos operários que estão usando capacetes, para 
n = 60 e x = 9? 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
c) Construa um intervalo de 98% de confiança para a verdadeira proporção populacional dos operários que não 
estão usando capacetes nesse projeto, sendo n = 35 e x = 6. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Resposta: O intervalo de............% de confiança para verdadeira proporção populacional dos operários que não 
estão usando capacetes é de.................(..............%) a.................(..............%). 
 
d) Qual é o erro de estimativa da proporção populacional encontrada na letra c)? 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
e) Suponha que há 700 operários trabalhando nesse projeto. Construa um intervalo de 90% de confiança para a 
verdadeira proporção populacional dos operários que não estão usando capacetes nesse projeto, sendo 
n = 45 e x = 4.Resposta: O intervalo de.............% de confiança para ............................................................................................. 
.......................................................................é de.................(..............%) a.................(..............%). 
 
 
f) Converta o intervalo de confiança de percentagens para número de operários do resultado encontrado na letra 
e). 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 176
 
 
g) Suponha que há 1.200 operários trabalhando nesse projeto. Construa um intervalo de 90% de confiança para 
a verdadeira proporção populacional dos operários que não estão usando capacetes nesse projeto, sendo 
n = 50 e x = 6. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Resposta: O intervalo de.............% de confiança para ............................................................................................. 
.........................................................................é de.................(..............%) a.................(..............%). 
 
 
h) Converta o intervalo de confiança de percentagens para número de operários do resultado encontrado na letra 
g). 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
i) Qual é o erro associado ao intervalo encontrado na letra e)? E na letra g)? 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
j) Que significa neste caso o termo “amostra aleatória”? 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
k) Por que é importante obter uma amostra aleatória? 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
2. Determine o tamanho da amostra para uma confiança de 90%, e um erro de estimação igual a 0,025, quando 
a proporção amostral é igual: 
a) p = 0,10 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
b) p = 0,30 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 177
 
 
3. Determine o tamanho da amostra para uma proporção amostral igual a 0,30, erro de estimação igual a 0,030 
e uma confiança de: 
 
a) 80% 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
b) 90% 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
4. Determine o tamanho da amostra para uma confiança de 90% e uma proporção amostral de 0,30, quando o 
erro de estimação é igual a: 
a) E = 1% 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
b) E = 2% 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
5. Uma unidade da Intel produziu um lote de N chips em um certo período. O engenheiro de produção 
selecionou aleatoriamente n chips para testes e verificou que x unidades desses chips não têm a velocidade 
de processamento adequada. Construir um intervalo de ∝% de confiança para a verdadeira proporção de 
chips considerados adequados desse lote, sendo: 
a) N = 10.000, n = 600, x = 22 e ∝ = 90%. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Resposta: O intervalo de...........% de confiança para a verdadeira proporção de todos os chips considerados 
adequados é de.................(..............%) a.................(..............%). 
 
 
 178
 
 
b) N = 50.000, n = 900, x = 85 e ∝ = 95%. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Resposta: O intervalo de.............% de confiança para.............................................................................................. 
.....................................................................é de.................(..............%) a.................(..............%). 
 
 
6. Uma amostra aleatória de 70 capacetes de corredores de motos e automóveis foi submetida a um teste de 
impacto, sendo reprovados 22 desses capacetes por não oferecerem toda a segurança necessária. Construir 
um intervalo de 99% de confiança para a verdadeira proporção dos capacetes que não resistem a um teste 
de impacto. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
7. Uma repórter de uma revista especializada em informática deseja fazer uma pesquisa para estimar a 
verdadeira proporção de todos os universitários que possuem computador pessoal, e quer ter 95% de 
confiança de que seus resultados tenham uma margem de erro de 0,04. Quantos universitários devem ser 
pesquisados? 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
8. Um fabricante de calculadoras eletrônicas está interessado em estimar a fração de unidades defeituosas 
produzidas. Uma amostra aleatória de 8.500 calculadoras apresentou 21 defeituosas. Determine um intervalo 
de 94% de confiança para a verdadeira fração de calculadoras defeituosas produzidas por essa indústria. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 179
 
 
9. Um fabricante de flashes deseja estimar a probabilidade de um flash funcionar. Como se trata de teste 
destrutivo, ele deseja manter o tamanho da amostra o menor possível. Determine o número de observações 
que devem ser feitas para estimar a probabilidade, a menos de 0,04, com 98% de confiança, se: 
a) Ele não tem ideia da porcentagem de flashes defeituosos. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
b) Ele crê que a porcentagem de flashes defeituosos não supere 6%. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
10. Um engenheiro elétrico de determinada companhia pretende fazer um estudo sobre o funcionamento e 
qualidade dos medidores residenciais após 5 anos de uso. Uma amostra aleatória de 1.234 domicílios que 
possuem medidores com mais de 5 anos de uso, revelou que 20 medidores apresentavam algum problema 
de funcionamento. 
a) Com os dados amostrais, construa um intervalo de 99% de confiança para a proporção de todos os medidores 
que apresentam algum problema de funcionamento após 5 anos de uso. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
b) Utilizando os dados amostrais como estudo piloto, determine o tamanho mínimo da amostra necessário para 
estimar a proporção dos medidores que apresentam algum problema de funcionamento após 5 anos de uso. 
Admita um nível de confiança de 95% em que a estimativa não apresente erro superior a 0,005. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
11. Suponha que o departamento de estradas de rodagem de um Estado queira estimar a proporção de 
caminhões que transportam mercadorias entre duas cidades, trafegam com excesso de peso, com ao menos 
0,95 de probabilidade de seu erro não ser superior a 4%. Qual deve ser o tamanho da amostra, se: 
a) utilizarmos os resultados de uma pesquisa anterior, a qual apontou que 25% dos caminhões trafegavam com 
excesso de peso? 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
b) o departamento não tem qualquer ideia sobre qual seria a verdadeira proporção?180
 
 
12. Um fabricante de pilhas do tipo AA retirou uma amostra aleatória de n pilhas de um lote de 1.800 unidades, 
as quais foram postas em uso ininterrupto sob as mesmas condições e observou-se que 8 delas tiveram uma 
duração inferior a 100 horas de uso. Construir um intervalo de 90% de confiança para a proporção de todas 
as pilhas desse lote que têm duração inferior a 100 horas de uso, sendo: 
a) n = 120 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
b) n = 50 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Respostas: 
 
1. a) 0,175 (17,5%); b) 0,85 (85%); c) 0,0227 (2,27%) a 0,319 (31,9%); d) 0,148 (14,8%); e) 0,0211 (2,11%) a 0,157 (15,7%); 
f) de 15 a 110 operários; g) 0,0442 (4,42%) a 0,196 (19,6%); h) de 53 a 235 operários; i) 0,0678 (6,78%) e 0,0758 (7,58%); 
j) Cada operário tem a mesma chance que todos os outros de ser escolhido para fazer parte da amostra em estudo; k) Para poder usar 
uma distribuição amostral 
2. a) 393; b) 915 
3. a) 389; b) 636 
4. a) 5.718; b) 1.430 
5. a) 0,951 (95,1%) a 0,975 (97,5%); b) 0,887 (88,7%) a 0,925 (92,5%) 
6. 0,171 (17,1%) a 0,457 (45,7%) 
7. 601 universitários 
8. 0,00145 (0,145%) a 0,00349 (0,349%) 
9. a) 849 flashes; b) 192 flashes 
10. a) 0,00693 (0,693%) a 0,0255 (2,55%); b) 2.450 medidores 
11. a) 451 caminhões; b) 601 caminhões 
12. a) 0,0304 (3,04%) a 0,103 (10,3%); b) 0,0745 (7,45%) a 0,246 (24,6%) 
 
 
 181
 
 
T E S T E S D E H I P Ó T E S E S O U D E S I G N I F I C Â N C I A 
 
 
 
 
 
 
T e s t e s d e s i g n i f i c â n c i a p a r a M É D I A S 
 
 
 
 
 
O teste de significância e a estimação são dois ramos principais da inferência estatística (que é a tomada de 
decisões). Enquanto que o objetivo da estimação é estimar algum parâmetro populacional (média, desvio 
padrão), o objetivo dos testes de significância é decidir se determinada afirmação sobre um parâmetro 
populacional é verdadeira, com base na evidência amostral. 
 
 
 
 
H I P Ó T E S E S E S T A T Í S T I C A S 
 
 
 
 
Uma hipótese estatística é uma alegação ou afirmação sobre uma propriedade de uma população. 
 
Para desenvolver processos de testes de hipóteses estatísticas, devemos formular duas hipóteses, a saber: 
 
Hipótese nula (Ho): é uma afirmação que diz que não há diferença significativa entre os parâmetros da 
amostra e da população, ou seja, a diferença observada foi devida ao acaso (isto é, a afirmação é verdadeira). 
 
Hipótese alternativa (H1): é aceita se Ho é rejeitada. 
 
 
 
Observação: Na construção das hipóteses nula (Ho) e alternativa (H1), utilizamos os seguintes símbolos 
matemáticos: 
 Símbolo matemático Palavra chave nos textos 
 = Igual Igual 
 ≠≠≠≠ Diferente Diferente; não é igual 
 < Menor do que Inferior; menor; abaixo 
 ≤≤≤≤ Menor ou igual No máximo; não é superior; até 
 > Maior do que Superior; maior; acima 
 ≥≥≥≥ Maior ou igual No mínimo; não é inferior; pelo menos 
 
 
 
 
Exemplo: Considere a seguinte situação: 
 
Inspecionando uma amostra aleatória de 142 automóveis de determinado tipo, verificou-se que eles rodam, 
sob as mesmas condições, uma média de 11,4 km por litro, do mesmo tipo de combustível. O fabricante garante 
que esse tipo de automóvel roda uma média de 12,5 km/litro. Com auxílio dos testes de significância, devemos 
verificar se essa afirmação do fabricante é verdadeira, ou seja, precisamos saber até que ponto podemos 
considerar essa diferença insignificante (irrelevante). 
 
Inicialmente, vamos formular as duas hipóteses estatísticas: 
 
 
 
Hipótese nula (Ho): M = 12,5 km/litro: Os automóveis rodam uma média de 12,5 km/litro (é a afirmação do 
fabricante) 
 
Hipótese alternativa (H1): M ≠≠≠≠ 12,5 km/litro: Os automóveis não rodam uma média de 12,5 km/litro (é o 
que queremos comprovar estatisticamente), que é a afirmação que contradiz a hipótese nula. 
 
Com auxílio dos testes de significância, devemos verificar se a diferença entre o consumo médio de 
combustível da amostra de automóveis e de todos os automóveis desse tipo é ou não significativa (relevante), isto 
é, até que ponto podemos aceitar ou rejeitar a afirmação do fabricante (hipótese nula). 
 
 
 182
 
 
N í v e i s d e s i g n i f i c â n c i a 
 
 
 
 
O nível de significância de um teste é a probabilidade de uma hipótese nula ser rejeitada, quando ela é 
verdadeira (também chamada erro Tipo I). 
 
 
Na prática, os níveis de significância mais frequentemente utilizados em testes de hipóteses são os de 5% e 
1%, embora possam ser usados outros valores. Assim, se escolhermos o nível de significância de 5%, isto quer 
dizer que temos cerca de 5 chances em 100 da hipótese nula ser rejeitada quando deveria ser aceita, ou seja, há 
uma confiança de cerca de 95% de que se tome uma decisão acertada. 
 
 
 
 
 
 
 
T e s t e s U n i l a t e r a i s e B i l a t e r a i s 
 
 
 
 
A hipótese alternativa é usada para indicar qual o aspecto da variação não aleatória que nos interessa. 
 
 
Há três casos possíveis: 
 
 
(1) T e s t e b i l a t e r a l (o u b i c a u d a l): 
 
 
 
Quando a variação está concentrada em ambas as direções, ou seja, quando a região crítica (ou região de 
rejeição da hipótese nula) está nos dois extremos da curva de distribuição. 
 
 
 
 
 
 
V a l o r C r í t i c o d o T e s t e B i l a t e r a l 
 
 
 
Os valores críticos do teste são linhas divisórias das regiões de aceitação e rejeição de uma hipótese 
nula, os quais são dados pelos coeficientes z e t (Tabelas 1 e 2, respectivamente). 
 
A figura abaixo mostra os valores críticos de z (zcrít = ±±±± 1,96), para o teste bilateral e uma confiança de 
95%: 
 
 
 
E x e m p l o s (t es t e s b i l a t e r a i s) 
 
a) Fabricação de calçados, onde os tamanhos podem fugir do padrão. Por exemplo, o nº 40 pode ser maior ou 
menor que o normalmente encontrado na praça. 
 
b) Fabricação de peças que precisam ajustar-se uma a outra. Exemplo: parafuso, porca e engrenagem de 
câmbio de um carro. 
 
c) Consumo médio de combustível de certo tipo de veículo, o qual pode ser maior ou menor que o especificado 
pela fábrica. 
 
d) Tempo de efeito de um composto químico, que pode ser maior ou menor que o estabelecido. 
 
 
 
 
(2) T e s t e u n i l a t e r a l (o u u n i c a u d a l) à e s q u e r d a: 
 
Quando a variação está concentrada nos valores abaixo do esperado, ou seja, quando a região crítica (ou 
região de rejeição da hipótese nula) está no lado esquerdo da curva de distribuição, como mostra a figura (ver 
tabela z para encontrar o valor crítico): 
 
 
 183
 
 
V a l o r C r í t i c o d o T e s t e U n i l a t e r a l à E s q u e r d a 
 
 
 
 
 
A figura abaixo mostra o valor crítico de z (zcrít = – 1,65), para o teste unilateral à esquerda e uma 
confiança de 95%: 
 
 
 
 
E x e m p l o s (t e s t e s u n i l a t e r a i s à e s q u e r d a) 
 
 
a) Conteúdo mínimo de gordura no leite. 
 
b) Peso liquido (mínimo) de pacotes de determinado produto. 
 
c) Resistência de correias à tensão. 
 
d) Vida útil de um produto tal como especificada no certificado de garantia. 
 
 
 
 
(3) T e s t eu n i l a t e r a l (o u u n i c a u d a l) à d i r e i t a: 
 
 
Quando a variação está concentrada nos valores acima do esperado, ou seja, quando a região crítica (ou 
região de rejeição da hipótese nula) está no lado direito da curva de distribuição, como mostra a figura (ver 
tabela z para encontrar o valor crítico): 
 
 
 
 
V a l o r C r í t i c o d o T e s t e U n i l a t e r a l à D i r e i t a 
 
 
 
 
A figura abaixo mostra o valor crítico de z (zcrít = + 1,65), para o teste unilateral à direita e uma confiança 
de 95%: 
 
 
 
 
 
E x e m p l o s (t e s t e s u n i l a t e r a i s à d i r e i t a) 
 
 
a) Conteúdo máximo de gordura no leite. 
 
b) Número de peças defeituosas de certa remessa. 
 
c) Poluição atmosférica ocasionada por certa fábrica. 
 
d) Radiação emitida por usinas nucleares. 
 
 
 
Observação: Em todas as nossas aplicações, quando o tamanho da amostra é n ≤ 30, estaremos admitindo que 
a referida amostra provém de uma população que tenha aproximadamente a forma de uma distribuição 
normal. 
 
 
 184
 
 
V A L O R D A E S T A T Í S T I C A D E T E S T E 
 
 
 
 
 
Uma hipótese nula (Ho) sempre nos diz que uma afirmação é verdadeira, ou seja, que a diferença 
observada na amostra foi devida ao acaso. 
 
Para sabermos se devemos aceitar ou rejeitar essa hipótese nula, vamos transformar a média da amostra 
 
(m) em um coeficiente (valor da estatística do teste) e compará-lo com o valor crítico do teste. 
 
O valor da estatística de teste é dado pela expressão: 
e
Mm −
, onde e = erro padrão da média (isto é, 
desvio padrão das médias amostrais). 
 
Temos, então, três fórmulas para encontrar o valor do teste: 
 
1ª) Quando o desvio padrão é o populacional (σσσσ ), o valor do teste é dado por: 
n
Mm
z teste σ
−
= ( XXI ) 
 
 
 
2ª) Quando o desvio padrão é o amostral ( s ) e n > 30, o valor do teste é dado por: 
n
s
Mm
z teste
−
= ( XXII ) 
 
 
 
3ª) E quando o desvio padrão é o amostral ( s ) e n ≤≤≤≤ 30, o valor do teste é dado por: 
n
s
Mm
t teste
−
= ( XXIII ) 
 
 
 
 
 
 
Testes de Hipóteses ou de Significância para MÉDIAS Populacionais 
 
 
 
 
 
Roteiro para aplicar um teste de hipótese 
 
 
 
1. Elaborar as hipóteses nula (Ho) e alternativa (H1). 
 
2. Verificar se o teste é unilateral (à esquerda ou à direita) ou bilateral. 
 
“Dica”: Observar o símbolo matemático que aparece na hipótese alternativa (H1): 
 
a) Se aparecer o símbolo ≠≠≠≠, então o teste é b i l a t e r a l. 
 
b) Se aparecer o símbolo <, então o teste é u n i l a t e r a l à e s q u e r d a. 
 
c) Se aparecer o símbolo >, então o teste é u n i l a t e r a l à d i r e i t a. 
 
 
Obs.: Para formular a hipótese alternativa (H1), existem três modos: 
 
 
 
 
 
H1: M ≠≠≠≠ Mo ou H1: M < Mo ou H1: M > Mo 
 
 
 
onde M = média populacional 
 
Mo = valor hipotético específico para média populacional 
 
3. Construir uma figura com a curva normal e as regiões de aceitação e rejeição da hipótese nula. 
 
4. Identificar no enunciado da questão se o desvio padrão é amostral (s) ou populacional (σσσσ). 
 
5. Verificar se será utilizada a Tabela 1 (coeficiente z) ou a Tabela 2 (coeficiente t). 
 
6. Encontrar o valor crítico do coeficiente de confiança. 
 
7. Calcular o valor do teste. 
 
8. Verificar se o valor do teste se encontra na região de aceitação ou de rejeição da hipótese nula. 
 
9. Dar a conclusão. 
 
 
 185
 
 
Exemplos de Testes de Hipóteses para a Média (utilizando o teste bilateral) 
 
 
 
 
 
 
1. O engenheiro responsável pelo setor de produção de uma empresa afirmou ao gerente financeiro que o 
tempo médio para produção de determinado tipo de aparelho é igual a 82,8 minutos. O gerente dessa 
empresa, desejando testar essa afirmação do engenheiro, tomou uma amostra aleatória de 36 aparelhos, e 
anotou os tempos gastos na sua produção, obtendo um tempo médio de 78,3 minutos, com um desvio 
padrão de 15,3 minutos. Testar a afirmação do engenheiro responsável pelo setor de produção, ao nível de 
significância de 5%, contra a alternativa de que o tempo médio de produção desses aparelhos é diferente de 
82,8 minutos. 
Solução: 
 
( I ) Dados: M = 82,8 (média populacional) 
m = 78,3 (média amostral) 
s = 15,3 (desvio padrão amostral) 
n = 36 (tamanho da amostra) 
nível de significância de 5% (ou seja, confiança de 95%) 
 
(II) Hipóteses estatísticas: As nossas hipóteses nula (Ho) e alternativa (H1), são: 
 
 
Ho: M = 82,8 minutos (é a afirmação do engenheiro e que será testada) 
 
H1: M ≠≠≠≠ 82,8 minutos (é o que o gerente dessa empresa pretende verificar) 
 
 
(III) Valor crítico: 
 
Como n = 36 > 30, então devemos utilizar a Tabela 1 (z). 
 
Como o teste é bilateral, pois a média amostral obtida tanto poderia resultar em um valor menor como um 
valor maior que a média populacional, então o valor crítico de z, ao nível de significância de 5%, é: 
96,1±=crítz 
 
 
 
(IV) Valor do teste: 
 
A nossa hipótese nula (Ho) nos diz que essa diferença verificada é devida ao acaso. Para sabermos se 
devemos aceitar ou rejeitar essa hipótese, vamos transformar a média da amostra no coeficiente zteste e 
compará-lo com o valor crítico de z (zcrít). 
 
Pela fórmula (XXII) 
n
s
Mm
z teste
−
= , temos: ⇒−=
36
3,15
8,823,78
testez
76,1−=testez 
 
 
 
 
(V) Conclusão: Como zteste = – 1,76 encontra-se na região de aceitação, devemos aceitar a hipótese nula, ou 
seja, o gerente deve aceitar a afirmação do engenheiro responsável pelo setor de produção de que o 
tempo médio para produção desses aparelhos é igual a 82,8 minutos, pois a diferença ocorrida entre as 
médias amostral e populacional é irrelevante (insignificante), isto é, foi devida ao acaso. 
 
 
 186
 
 
2. A engenheira responsável pelo setor de produção de uma grande indústria afirmou que o tempo médio para 
montagem de determinado equipamento é igual a 82,8 minutos. O gerente geral dessa empresa, desejando 
testar essa afirmação da engenheira, escolheu aleatoriamente 25 desses equipamentos na linha de 
montagem e verificou que o tempo médio gasto foi de 88,1 minutos, com um desvio padrão de 15,3 minutos. 
Testar a afirmação da engenheira, ao nível de significância de 10%, contra a alternativa de que o tempo 
médio para montagem desse equipamento não é de 82,8 minutos. 
 
 
Solução: 
 
 
( I ) Dados: M = 82,8 (média populacional) 
 
m = 88,1 (média amostral) 
 
s = 15,3 (desvio padrão amostral) 
 
n = 25 (tamanho da amostra) 
 
nível de significância de 10% (ou seja, confiança de 90%) 
 
 
 
 
(II) As hipóteses estatísticas são: 
 
 
 
 
Ho: M = 82,8 minutos (é a afirmação da engenheira e que será testada) 
 
H1: M ≠≠≠≠ 82,8 minutos (é o que o gerente geral pretende verificar) 
 
 
 
 
(III) Valor crítico: 
 
 
 
Como n = 25 < 30 e o desvio padrão é amostral (s), então devemos utilizar o coeficiente t (Tabela 2). 
 
 
O valor crítico de t, para o teste bilateral, ao nível de significância de 10%, é: 711,1±=crítt 
 
 
 
 
(IV) Valor do teste: 
 
 
 
Pela fórmula (XXIII) 
n
s
Mm
t teste
−
= , temos: ⇒−=
25
3,15
8,821,88
testet
 
732,1+=testet 
 
 
 
 
 
 
 
 
(V) Conclusão: 
 
 
 
Como tteste = + 1,732 encontra-se na região de rejeição, devemos rejeitar a hipótese nula, ou seja, não 
devemos aceitar a afirmação da engenheira, portanto o gerente geral não deve aceitar a afirmação