Exercícios de Métodos Determinísticos

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Fundação Centro de Ciências e Educação Superior a Distância do Estado do Rio de Janeiro
Centro de Educação Superior a Distância do Estado do Rio de Janeiro
Métodos Determińısticos II
1o Semestre de 2013
Avaliação a Distância 1 - AD1 - Gabarito
Questão 1: (2,0pts) Determine f de modo que g(f(x)) = x para todo x ∈ D(f), sendo g dada por
a) g(x) = 2− 6x+2 .
b) g(x) = x2 − 4x+ 3, x ≥ 2.
Solução: a)(1,0pt) Veja que
2− 6
x+ 2
=
2x+ 4− 6
x+ 2
=
2x− 2
x+ 2
.
Trocando o x por y e isolando o x e temos
x =
2y − 2
y + 2
⇔ x(y + 2) = 2y − 2 ⇔ xy − 2y = −2x− 2 ⇔ y = −2x− 2
x− 2
.
Logo, f(x) = −2x+2x−2 .
b) (1,0pt) Trocando x por y temos
x = y2 − 4y + 3 ⇔ y2 − 4y + 3− x = 0
Por Bhaskara temos y =
4±
√
16−4(3−x)
2 =
4±2
√
1+x
2 = 2 ±
√
1 + x. Para podermos fazer a conta
1 + x ≥ 0 ⇔ x ≥ −1 e para que a imagem sejam maior que 2 devemos tomar
f(x) = 2 +
√
1 + x.
Questão 2: (2,0pts) Determine o “maior” conjunto A tal que Im(f) ⊂ D(g); em seguida, construa
a composta h(x) = (g ◦ f)(x).
A) g(x) =
√
x− 4 e f : A → R, f(x) = 3x−1x−3 ;
B) g(x) = 1x e f : A → R, f(x) = x
2 − 2.
Solução: A) Quando calculamos
h(x) = (g ◦ f)(x) = g(3x− 1
x− 3
) =
√
3x− 1
x− 3
− 4 =
√
3x− 1− 4(x− 3)
x− 3
=
√
−x+ 11
x− 3
.
Para que a composta h(x) exista precisamos encontrar os x ∈ R − {3} tais que −x+11x−3 ≥ 0. Observe
que para x ≤ 11, −x+ 11 é positivo e para x ≥ 3, x− 3 é positivo. disso seque que
−x+ 11
x− 3
≥ 0 ⇔ 3 < x ≤ 11.
1
Portanto, A = {x ∈ R : 3 < x ≤ 11}.
B) Novamente começamos calculando,
h(x) = (g ◦ f)(x) = g(x2 − 2) = 1
x2 − 2
.
Para que h(x) exista basta que x2 − 2 ̸= 0 ⇔ x ̸= ±
√
2. Portanto, A =
{
x ∈ R : x ̸= ±
√
2
}
.
Questão 3: (2,0pts) Considere a função Real f(x) = −4+ 7k(x−2), onde k ainda precisa ser determi-
nado.
i) Determine o valor de k sabendo que f(5) = 45;
ii) Faça um esboço do gráfico de f ;
iii) Determine a imagem de f ;
iv) Determine a inversa de f , explicitando o seu domı́nio;
Solução: i) Vamos determinar k, para isso veja que
f(5) = 45 ⇔ −4 + 7k(x−2) = 45 ⇔ 73k = 49 = 72 ⇔ 3k = 2 ⇔ k = 2
3
Portanto, f(x) = −4 + 7
2(x−2)
3 .
ii) vamos iniciar fazendo o gráfico de 7
2x
3 (em vermelho) que é o gráfico de uma função exponencial
com base 7 > 1. Transladando duas unidades a direita obtemos 7
2(x−2)
3 (em verde) e por fim descendo
4 unidades o gráfico obtemos o gráfico de f(x) (em azul) como se pode ver abaixo.
iii) Observe que o conjunto imagem de y = 7x são todos os y > 0, da mesma forma a imagem
y = 7
2(x−2)
3 são todos y > 0 e, portanto, a imagem de y = f(x) são todos os y ∈ R tal que y > −4.
2
iv) Vamos calcular a inversa, para isso trocamos os x por y e temos
x = −4 + 7
2(y−2)
3 ⇔ x+ 4 = 7
2(y−2)
3 ⇔ ln(x+ 4) = ln(7
2(y−2)
3 )
⇔ ln(x+ 4) = 2(y − 2)
3
ln(7) ⇔ 3 ln(x+ 4)
2 ln(7)
= y − 2
⇔ y = 2 + 3 ln(x+ 4)
2 ln(7)
, e portanto, f−1(x) = 2 +
3 ln(x+ 4)
2 ln(7)
.
Com o domı́nio de D(f−1) = {x ∈ R : x > −4}.
Questão 4: (2,0pts) Calcule os seguintes limites:
I) lim
x→2
x3 − 5x2 + 8x− 4
x4 − 5x− 6
II) lim
h→0
(x+ h)3 − x3
h
III) lim
x→1
3
√
3x+ 5− 2
x2 − 1
Solução: I) Observe que 2 é tanto raiz do polinômio que esta no denominador como no que esta no
denominador, e fatorando temos
lim
x→2
x3 − 5x2 + 8x− 4
x4 − 5x− 6
= lim
x→2
(x2 − 3x+ 2)(x− 2)
(x3 + 2x2 + 4x+ 3) (x− 2)
=
0
27
= 0.
II) Vamos iniciar por expandir (x+ h)3 = h3 + 3h2x+ 3hx2 + x3, então
lim
h→0
(x+ h)3 − x3
h
= lim
h→0
h3 + 3h2x+ 3hx2 + x3 − x3
h
= lim
h→0
h(h2 + 3hx+ 3x2)
h
= lim
h→0
h2 + 3hx+ 3x2 = 3x2.
III) Aqui vamos usar a identidade (a− b)(a2 + ab+ b2) = a3 − b3. Fazendo as contas temos
lim
x→1
3
√
3x+ 5− 2
x2 − 1
= lim
x→1
(
3
√
3x+ 5− 2
x2 − 1
)(
( 3
√
3x+ 5)2 + 2 3
√
3x+ 5 + 4
( 3
√
3x+ 5)2 + 2 3
√
3x+ 5 + 4
)
= lim
x→1
( 3
√
3x+ 5)3 − 23
(x2 − 1)(( 3
√
3x+ 5)2 + 2 3
√
3x+ 5 + 4)
= lim
x→1
3x− 3
(x+ 1)(x− 1)(( 3
√
3x+ 5)2 + 2 3
√
3x+ 5 + 4)
= lim
x→1
3
(x+ 1)
(
( 3
√
3x+ 5)2 + 2 3
√
3x+ 5 + 4
) = 3
2(12)
=
1
8
Questão 5: (2,0pts) Determine os valores de x para que as seguintes desigualdades sejam verdadeiras:
3
r) 2x−1x−3 > 5 s) x(2x− 1)(x+ 1) > 0
t) |x− 1| − |x+ 2| > x.
Solução: r) Como ao multiplicarmos uma desigualdade por um número menor que zero a desigualdade
muda de direção, então para resolvermos o item r) precisamos dividir a questão em a) x < 3 e b) x > 3:
No caso a) temos:
2x− 1
x− 3
> 5 ⇔ 2x− 1 < 5(x− 3) ⇔ x > 14
3
Como 143 > 3 não existe nenhum valor real que satisfaça estas duas desigualdades. Para o caso b)
temos
2x− 1
x− 3
> 5 ⇔ 2x− 1 > 5(x− 3) ⇔ x < 14
3
.
Segue que x ∈ R que satisfazem esta desigualdade são: 3 < x < 143 .
s) Basta fazer o estudo das interseções
Obtemos que −1 < x < 0 ou x > 12 .
t) Para estudar a desigualdade |x− 1| − |x+ 2| > x. Vamos dividir em 3 intervalos a reta real, a)
x < −2, b) −2 ≤ x ≤ 1 e c) x > 1. Para o caso a)
−(x− 1)− (−(x+ 2)) > x ⇔ 1 + 2 > x.
Para o caso b)
−(x− 1)− (x+ 2) > x ⇔ −2x− 1 > x ⇔ −1
3
> x
Para o caso c)
(x− 1)− (x+ 2) > x ⇔ −3 > x
No caso a) o resultado é verdadeiro para todo x < −2. No caso b) vemos que o resultado é
verdadeiro para −2 ≤ x < −13 e no caso c) para nenhum valor. Portanto o resultado é verdadeiro para
todo x ∈ R tal que x < −13 .
4