RAZONAMIENTO MATEMATICO (1)

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TEMA: SUMATORIOS 
 
I. DEFINICIÓN Y NOTACIÓN DE SUMATORIO 
Se define el sumatorio como una aplicación de la operación 
aritmética SUMA en cada uno de los términos de una 
sucesión. El valor del sumatorio se suele representar con la 
letra "𝑆". 
𝑡1, 𝑡2, 𝑡3, … , 𝑡𝑛 
𝑡1: Primer término 
𝑡𝑛: Último término 
𝑛: Número de términos 
 
𝑆 = 𝑡1 + 𝑡2 + 𝑡3 + ⋯ + 𝑡𝑛 
 
Por ejemplo: 
2, 3, 5, 7, 11, 13, … , 67 
𝑆 = 2 + 3 + 5 + 7 + 11 + 13 + ⋯ + 67 
 
Una forma abreviada de expresar un sumatorio es 
utilizando la decimoctava letra griega 𝑠𝑖𝑔𝑚𝑎 en su forma 
mayúscula: 
 
∀𝑛, 𝑚 ∈ ℕ, 𝑆 = ∑ 𝑡𝑘
𝑛
𝑚
 
 
Se lee: Para todo número "𝑚" y "𝑛" que pertenecen a los 
naturales, 𝑆 es igual al sumatorio de términos de la forma 
𝑡𝑘 desde "𝑚" hasta "𝑛". 
 
II. SUMA ARITMÉTICA 
En ℝ (reales), es el resultado de sumar todos los términos 
de una sucesión aritmética. 
 
Sea la sucesión aritmética de razón "𝑟": 
𝑡1, 𝑡2, 𝑡3, … , 𝑡𝑛 
 
La suma aritmética es: 
𝑆 = (
𝑡1 + 𝑡𝑛
2
) 𝑛 
 
OBSERVACIÓN: Para una suma aritmética solo es 
necesario conocer el número de términos, que es calculado 
utilizando la razón "𝑟" de dicha sucesión. 
 
III. SUMA GEOMÉTRICA 
 
En ℝ, es el resultado de sumar todos los términos de una 
sucesión geométrica. Se estudian dos tipos: La suma 
geométrica finitamente creciente y la suma geométrica 
infinitamente decreciente. 
Sea la sucesión geométrica finitamente creciente de razón 
"𝑞": 
𝑡1, 𝑡2, 𝑡3, … , 𝑡𝑛 
La suma geométrica finitamente creciente es: 
 
𝑆 =
𝑡1(𝑞𝑛 − 1)
𝑞 − 1
 
Sea la sucesión geométrica infinitamente decreciente de 
razón "𝑞": 
𝑡1, 𝑡2, 𝑡3, … , 𝑡𝑛 
 
La suma geométrica infinitamente decreciente es: 
𝑆 =
𝑡1
1 − 𝑞
 
 
IV. PROPIEDADES ELEMENTALES DE SUMATORIOS 
Sean 𝑘 una constante, 𝑐 ∈ ℕ, 𝑚 ∈ ℕ, 𝑛 ∈ ℕ 
∑ 𝑘
𝑛
𝑚
= (𝑛 − 𝑚 + 1)𝑘 
∑ 𝑡𝑘
𝑛
𝑚
= ∑ 𝑡𝑘
𝑛
1
− ∑ 𝑡𝑘
𝑚−1
1
 
∑ 𝑡𝑘
𝑛
𝑚
= ∑ 𝑡𝑘
𝑚+𝑐
𝑚
+ ∑ 𝑡𝑘
𝑛
𝑚+𝑐+1
 
∑ 𝑘𝑡𝑘
𝑛
𝑚
= 𝑘 ∑ 𝑡𝑘
𝑛
𝑚
 
∑(𝑡𝑘 ± 𝑢𝑘)
𝑛
𝑚
= ∑ 𝑡𝑘
𝑛
𝑚
± ∑ 𝑢𝑘
𝑛
𝑚
 
∑ 𝑡𝑘
𝑛
𝑚
= ∑ 𝑡𝑘−𝑐
𝑛+𝑐
𝑚+𝑐
 
∑(𝑡𝑘 − 𝑡𝑘−1)
𝑛
𝑚
= 𝑡𝑛 − 𝑡𝑚−1 
∑(𝑡𝑘+1 − 𝑡𝑘−1)
𝑛
𝑚
= 𝑡𝑛+1 + 𝑡𝑛 − 𝑡𝑚 − 𝑡𝑚−1 
 
 
V. SUMATORIOS NOTABLES 
Para ∀𝑘, 𝑚, 𝑛 ∈ ℕ, se cumple: 
 
NOMBRE DE LA SUCESIÓN EN ℕ SUCESIÓN SUMATORIO 
Números naturales 1, 2, 3, 4, … , 𝑛 ∑ 𝑘
𝑛
1
=
𝑛(𝑛 + 1)
2
 
Números naturales con límites conocidos 𝑚, 𝑚 + 1, … ,
𝑛 + 𝑚
2
, … , 𝑛 − 1, 𝑛 ∑ 𝑘
𝑛
𝑚
=
(𝑛 + 𝑚)(𝑛 − 𝑚 + 1)
2
 
Números pares 2, 4, 6, 8, … ,2𝑛 ∑ 2𝑘
𝑛
1
= 𝑛(𝑛 + 1) 
Números impares 1, 3, 5, 7, … ,2𝑛 − 1 
∑ 2𝑘 − 1
𝑛
1
= 𝑛2 
 
 
 
| 
 
 
 
 
NOMBRE DE LA SUCESIÓN EN 
ℕ 
SUCESIÓN SUMATORIO 
Cuadrados de los números pares 22, 42, 62, 82, … , (2𝑛)2 ∑(2𝑘)2
𝑛
1
=
𝑛(2𝑛 + 1)(2𝑛 + 2)
3
 
Cuadrados de los números 
impares 
12, 32, 52, 72, … , (2𝑛 − 1)2 ∑(2𝑘 − 1)2
𝑛
1
=
𝑛(4𝑛2 − 1)
3
 
Cubos de los números pares 23, 43, 63, 83, … , (2𝑛)3 ∑(2𝑘)3
𝑛
1
= 2[𝑛(𝑛 + 1)]2 
Cubos de los números impares 13, 33, 53, 73, … , (2𝑛 − 1)3 ∑(2𝑘 − 1)3
𝑛
1
= 𝑛2(2𝑛2 − 1) 
Potencias de naturales con 
exponente 2 
1, 4, 9, 16, … , 𝑛2 ∑ 𝑘2
𝑛
1
=
𝑛(𝑛 + 1)(2𝑛 + 1)
6
 
Potencias de naturales con 
exponente 3 
1, 8, 27, 64, … , 𝑛3 ∑ 𝑘3
𝑛
1
= [
𝑛(𝑛 + 1)
2
]
2
 
Potencias de naturales con 
exponente 4 
1, 16, 81, 256, … , 𝑛4 ∑ 𝑘4
𝑛
1
=
𝑛(𝑛 + 1)(2𝑛 + 1)(3𝑛2 + 3𝑛 − 1)
30
 
Potencias del número "𝑚" 𝑚1, 𝑚2, 𝑚3, 𝑚4, … , 𝑚𝑛 ∑ 𝑚𝑘
𝑛
1
=
𝑚(𝑚𝑛 − 1)
𝑚 − 1
 
Productos consecutivos tomados 
de 2 en 2 
1 × 2, 2 × 3, 3 × 4, 4 × 5, … , 𝑛(𝑛 + 1) ∑ 𝑘(𝑘 + 1)
𝑛
1
=
𝑛(𝑛 + 1)(𝑛 + 2)
3
 
Productos consecutivos tomados 
de 3 en 3 
1 × 2 × 3, 2 × 3 × 4, … , 𝑛(𝑛 + 1)(𝑛 + 2) 
∑ 𝑘(𝑘 + 1)(𝑘 + 2)
𝑛
1
=
𝑛(𝑛 + 1)(𝑛 + 2)(𝑛 + 3)
4
 
Inversas tomadas de 2 en 2 
con diferencia constante 
1
𝑚(𝑚 + 𝑟)
,
1
(𝑚 + 𝑟)(𝑚 + 2𝑟)
, … ,
1
(𝑚 + (𝑛 − 1)𝑟)(𝑚 + 𝑛𝑟)
 
∑
1
(𝑚 + (𝑘 − 1)𝑟)(𝑚 + 𝑘𝑟)
𝑛
1
=
1
𝑟
[
1
𝑚
−
1
𝑚 + 𝑛𝑟
] 
Inversas tomadas de 3 en 3 
1
1 × 2 × 3
,
1
 2 × 3 × 4
, … ,
1
𝑛(𝑛 + 1)(𝑛 + 2)
 ∑
1
𝑘(𝑘 + 1)(𝑘 + 2)
𝑛
1
=
𝑛(𝑛 + 3)
4(𝑛 + 1)(𝑛 + 2)
 
 
EJERCICIOS PROPUESTOS 
1. Calcular 𝑆: 
𝑆 =
1
18
+
1
54
+
1
108
+ ⋯ +
1
990
 
 
 
a)
9
99
 b)
10
99
 c)
1
33
 
d)
9
33
 e)
10
33
 
 
 
2. El valor de la suma 
 
n + (n+1) + (n+2) + (n+3) + …+2n=360 
 
a) 
34 
b) 
15 
c) 
18 
d) 
16 
e) 
19 
 
3. Edith y Wiliam leen una obra; Edith lee 10 páginas diarias 
y Wiliam lee 1 página el primer día, 2 el segundo día, 3 el 
tercer día y así sucesivamente. ¿Después de cuántos 
días coincidirán, si empiezan al mismo tiempo? 
 
a) 10 b) 15 c) 19 d) 20 e) 22 
 
| 
4. Hoy Ernesto compra 15 paquetes de galletas y ordena 
que cada día que transcurra se compre un paquete más 
que día anterior. En el penúltimo día se compraron 52 
paquetes. ¿cuántos paquetes se compraron en total? 
 
a)2400 b) 1247 c) 1326 
d) 1258 e) 1750 
 
5. Con 153 canicas se forma un triángulo mediante filas. Si 
en la primera fila hay 1, en la segunda 2, en la tercera 3 y 
así sucesivamente, el número de filas del triángulo es: 
 
a) 15 b) 20 c) 17 d) 12 e) 13 
 
6. Calcular la suma de las cifras de M 
 
𝑀 = ∑ ∑ 3
100
𝑥=1
200
𝑥=1
 
a) 8 b) 10 c) 16 d) 6 e) 1 
 
7. Un cuerpo cae libremente, partiendo del reposo y recorre 
16 metros durante el primer segundo, 48 m en el 
segundo, 80 m en el tercero y así sucesivamente. Hallar 
la distancia que recorre durante el quinceavo segundo y 
la distancia total que recorre en 15 segundos, partiendo 
del reposo. 
 
a) 464 y 3600 b) 120 y 3200 c) 218 y 2700 
d) 333 y 2100 e) 532 y 3400 
 
8. Calcular: 
𝑆 =
1
4
+
2
42 +
3
43 +
4
44 + ⋯ 
 
 
a)
7
4
 b)
4
3
 c)
5
7
 
d)
4
9
 e)
2
9
 
 
9. Calcular la suma de los múltiplos de 59 comprendidos 
entre 1000 y 2000 
 
a) 43 600 b) 12 200 c) 25 075 
d) 33 321 e) 53 200 
 
10. Los lados de un triángulo están en progresión aritmética, 
su perímetro mide 18m y la suma de los cuadrados de los 
lados es igual a 116. Halla el mayor de los lados. 
 
a) 8 b) 10 c) 16 d) 4 e) 1 
 
TAREA DOMICILIARIA 
 
11. En un parque hay 50 filas de árboles y se sabe que la 
diferencia entre el número de árboles de una fila y el del 
anterior es constante y además que en la fila ocho hay 41 
y en la quince 62. Hallar; La diferencia entre el número de 
árboles de dos filas consecutivas y el valor de la 
plantación si cada árbol vale 100 soles. 
 
a) 2 y s/126 b)14 y s/ 198 c) 3 y s/.467.5 
d)16 y s/ 286 e)17 y s/ 825 
 
12. Un número compuesto de tres cifras es igual a 26 veces 
la suma de sus cifras; éstas están en p.a.; y si al número 
dado se le suman 396, resulta el mismo número invertido: 
¿Cuál es el número? 
 
 
13. Un coronel coloca un soldado en la primera fila, 3 en la 
segunda, 5 en la tercera, etc., hasta colocar 1024 
soldados. Se desea saber: ¿Qué superficie hubiera 
ocupado si los hubiera dispuesto en filas y columnas de 
igual número de soldados, distantes entre sí un metro? 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
14. Hallar el valor de la siguiente suma notable: 
𝑆 = √0,01 + 0,03 + 0,05 + ⋯ + 19,99 
 
a)600 b)200 c)130 
d)1960 e)100 
 
15. Calcular el valor de S 
 
𝑆 = ∑(190 − 12𝑖) 
𝑛
𝑖=1
= 1410 
 
 
a)17 b)19 c) 15 
d)10 e)12 
 
 
 
16. Un obrero ha ahorrado este mes s/ 178 y tiene con 
esto s/ 1410 en la caja de ahorros, habiendo 
economizado cada mes s/12 más que el mes anterior. 
¿Cuánto ahorró el primer mes? 
 
a)1700 b)1900 c) 1500 
d)15 e)1700 
 
17. Hallar el valor de la suma 
 
1
1 × 2 × 3
, +
1
 2 × 3 × 4
+ ⋯ + 
1
18(19)(20)
 
 
 
a)
127
14
 b)
445
312
 c)
65
77
 
d)
189
760
 e)
2
9
 
 
 
18. Dar la suma de cifras de "𝑥": 
 
𝑋 = 1𝑥2𝑥3 + 2𝑥3𝑥4 + 3𝑥4𝑥5 + ⋯ + 38𝑥39𝑥40 
 
 
a)21 b)289 890 c)134 670 
d)112 899 e)123 354 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
a) 123 b) 865 c) 246 d) 468 e) 567a) 123 b) 865 c) 246 d) 961 e) 567 
| 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
HOJA DE CLAVES 
 
Ciclo SETIEMBRE - DICIEMBRE 2017 
 
Curso: RAZONAMIENTO MATEMÁTICO. 
 
Semana: 02 Tema: Sumatorios 
 
 
Pregunta Clave Tiempo 
(Min.) 
Dificultad 
01 B 2 F 
02 B 3 M 
03 C 2 F 
04 C 2 F 
05 C 2 F 
06 D 3 M 
07 A 3 F 
08 D 3 F 
09 C 3 M 
10 A 2 M 
Tarea Domiciliaria 
11 C 3 F 
12 D 2 F 
13 D 3 M 
14 E 2 M 
15 C 2 F 
16 D 2 M 
17 D 3 F 
18 A 3 M