Números inteiros (1)

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Aula 1: Conjunto dos Números Inteiros
1 Introdução
Observe que, no conjunto dos números naturais N = 0, 1, 2, 3, 4, 5, ... , a operação de subtração nem sempre é possível.{	}
Exemplos:
a) 5 − 3 = 2 (é possível: 2 ∈ N)
b) 9 − 9 = 0 (é possível: 0 ∈ N)
c) 3 − 5 =? (é impossível em N)
Para tornar possível a subtração, foi criado o conjunto dos números inteiros negativos.
2 Números Inteiros Positivos e Números Inteiros Negativos
Para todo número natural n, diferente de zero, foi criado:
Um número +n (lê-se: mais n) chamado número inteiro positivo. Exemplo:•
+1, +2, +3, +4, +5,... são números inteiros positivos.
Um número	n (lê-se: menos n) chamado número inteiro negativo. Exemplo:· −
1,	2,	3,	4,	5,... são números inteiros negativos.−	−	−	−	−
Reunindo os números inteiros negativos, o número zero e os números inteiros positivos obtém-se o conjunto dos números inteiros, que se representa pela letra Z e é escrito: Z = {... − 5, −4, −3, −2, −1, 0, +1, +2, +3, +4, +5, ...}
3 Subconjuntos de Z
Sabemos que o conjunto dos números naturais N é subconjunto dos números inteiros Z. Existem outros subconjuntos importantes:
· Conjunto dos números inteiros diferentes de zero = Z−{0} = Z∗ = {..., −3, −2, −1, +1, +2, +3, ...}.
· Conjunto dos números inteiros não negativos = Z+ = {0, +1, +2, +3, ...}
· Conjunto dos números inteiros não positivos = Z− = {0, −1, −2, −3, ...}
10
· Conjunto dos números inteiros positivos = Z∗+
· Conjunto dos números inteiros negativos = Z∗—
= {+1, +2, +3, ...}
= {−1, −2, −3, ...}
4 A Reta Numérica Inteira
· Cada ponto é a imagem geométrica de um número inteiro.
· O número inteiro chama-se abscissa do ponto correspondente.
· O ponto O é chamdado de origem e sua abscissa é zero.
· A reta r é chamada reta numérica inteira.
5 Módulo ou Valor Absoluto de um Número Inteiro
Um número inteiro, com exceção do zero, é formado de dois elementos:
· um sinal (+ ou −).
· um número natural.
O número natural chama-se módulo ou valor absoluto do número inteiro.
Exemplos:
1. O módulo do número inteiro +4 é 4. Indica-se: | + 4| = 4
2. O módulo do número inteiro −6 é 6
Indica-se: | − 6| = 6
Observa-se que |0| = 0.
6 Números Inteiros Opostos ou Simétricos
Observe os seguintes números inteiros:
a) 5 e −5 possuem módulos iguais e sinais diferentes.
b) −8 e 8 possuem módulos iguais e sinais diferentes.
Dois números inteiros que possuem módulos iguais e sinais diferentes são chamados números inteiros opostos ou simétricos.
Assim, o oposto de	3 é +3 e o oposto de 9 é	9.
Observação: O oposto de zero é o próprio zero.−	−
7 Comparação de Números Inteiros
Considerando-se a reta numérica inteira, temos:Um número inteiro é:
· maior que todos os que estão à sua esquerda.
· menor que todos os que estão à sua direita.
Exemplos:
a) +3 > −4 (+3 está à direita de −4).
b) −3de associação se faz a partir do mais interno.
Exemplos
Eliminando parênteses, colchetes e chaves, calcular as somas algébricas:
a) 10 + (−3 + 5) =
= 10 − 3 + 5 =
= +15 − 3 =
= +12
b) −3 − (−5 + 8 + 1) + 2 =
= −3 + 5 − 8 − 1 + 2 =
= +7 − 12 =
= −5
c) 3 − [−4 + (−1 + 6)] =
= 3 − [−4 − 1 + 6] =
= 3 + 4 + 1 − 6 =
= +8 − 6 =
= +2
d) 2 − {−3 + [+5 − (−1 + 3)] + 2} =
= 2 − {−3 + [+5 + 1 − 3] + 2} =
= 2 − {−3 + 5 + 1 − 3 + 2} =
= 2 + 3 − 5 − 1 + 3 − 2 =
= +8 − 8 =
= 0
8.4 Multiplicação
Se os fatores têm o mesmo sinal, o produto é positivo.•
Exemplos
a) (+3).(+8) = 24
b) (−5).(−4) = 20
· Se os fatores têm sinais diferentes, o produto é negativo.
a) (+3).(−2) = −6
b) (−5).(+4) = −20
c) (−1).(+7) = −7
Quadro de sinais da multiplicação
	1.o fator
	2.o fator
	Produto
	
	(+)
	(+)
	+
	SINAIS IGUAIS: o resulado é positivo
	(−)
	(−)
	+
	SINAIS IGUAIS: o resulado é positivo
	(+)
	(−)
	—
	SINAIS DIFERENTES: o resulado é negativo
	(−)
	(+)
	—
	SINAIS DIFERENTES: o resulado é negativo
Exemplos
a) (+6).(−3) = −18
b) (−9).(+5) = −45
8.4.1 Multiplicação de Três ou Mais Números Inteiros
Multiplicamos o primeiro pelo segundo. O produto obtido pelo terceiro e, assim, sucessivamente, até o último fator.
Exemplos:
a) (−5).(+6).(−2) = (−5).(+6) = (−30).(−2) = +60
`	−˛3¸0	x
b) (−3).(−4).(−5).(−6) = (−3).(−4) . (−5).(−6) = 12.30 = 360
`	˛12¸	x `	˛3¸0	x
8.4.2 Propriedades Estruturais da Multiplicação
1. Fechamento: o produto de dois números inteiros é sempre um número inteiro.
(+2).(+6) = +12 ∈ Z	(+2).(−6) = −12 ∈ Z
(−2).(−6) = +12 ∈ Z	(−2).(+6) = −12 ∈ Z
2. Comutativa: a ordem dos fatores não altera o produto.
(+5).(−4) = −20
(−4).(+5) = −20
=⇒ (+5).(−4) = (−4).(+5)
3. Elemento Neutro: o número +1 é o elemento neutro da multiplicação.
(−10).(+1) = (+1).(−10) = −10
(+6).(+1) = (+1).(+6) = +6
4. Associativa: na multiplicação de três números inteiros, podemos associar os dois primei- ros ou os dois últimos, sem que isso altere o resultado.
[(−2).(+6)] .(−10) = 120 = (−2) [(+6).(−10)] = 120
`	−˛1¸2	x	`	−˛6¸0	x
5. 	Distributiva: para multiplicar um número inteiro por uma soma algébrica, podemos multiplicar o número por cada uma das parcelas e adicionar, a seguir, os resultados obti- dos.
(+5).(−3 + 6) = (+5).(−3) + (+5).(+6) = 15 	 	
`	−˛1¸5	x	`	˛3¸0	x
−9.(−3 + 7) = (−9).(−3) + (−9).(+7) = −36
`	˛2¸7	x	`	−˛6¸3	x
8.5 Divisão
· Se o dividendo e o divisor têm o mesmo sinal, o quociente é positivo.
Exemplos
a) (+15) : (+3) = 5
b) (−36) : (−9) = 4
· Se o dividendo e o divisor têm sinais diferentes, o quociente é negativo.
Exemplos
a) (+18) : (−2) = −9
b) (−30) : (+6) = −5
Quadro de sinais da divisão
	1o fator
	2o fator
	Quociente
	(+)
	(+)
	+
	(−)
	(−)
	+
	(+)
	(−)
	—
	(−)
	(+)
	—
Observação:
· Não existe a divisão de um número inteiro por zero.
· A divisão nem sempre pode ser realizada no conjunto Z.
Exemplos:
a) (+1) : (+3)
b) (−5) : (+2)
Observação: Notem que estas operações não podem ser realizadas em Z, pois o resultado não é um número inteiro.
8.6 Potenciação
1o caso: O expoente é par.
Quando o expoente for par, a potência é sempre um número positivo .
Exemplos:
a) (+5)2 = (+5).(+5) = 25
b) (−5)2 = (−5).(−5) = 25
c) (+2)4 = (+2).(+2).(+2).(+2) = 16
d) (−2)4 = (−2).(−2).(−2).(−2) = 16
e) (+1)6 = (+1).(+1).(+1).(+1).(+1).(+1) = 1
f) (−1)6 = (−1).(−1).(−1).(−1).(−1).(−1) = 1
2.o caso: O expoente é ímpar
Quando o expoente for ímpar, a potência é sempre o mesmo sinal da base .
Exemplos:
a) (+6)3 = (+6).(+6).(+6) = 216
b) (−6)3 = (−6).(−6).(−6) = −216
c) (+3)5 = (+3).(+3).(+3).(+3).(+3) = 243
d) (−3)5 = (−3).(−3).(−3).(−3).(−3) = −243
Convenções
(+5)1 = 5
(−10)1 = −100
(+5) = 1
(−10)0 = 1
8.7 Raiz Quadrada Exata
Considere as seguintes situações:
1a) Quais os números inteiros cujos quadrados são iguais a 16?
, pois 
Os números são 4 ou −4
(+4)2 = 16
(−4)2 = 16
2a) Quais os números inteiros cujos quadrados são iguais a 81?
, pois 
Os números são 9 ou −9
(+9)2 = 81
(−9)2 = 81
Raiz quadrada exata de um número inteiro
é também um número inteiro que, elevado ao quadrado, dá o número inicial
Então, podemos dizer que:
· A raiz quadrada de 16 é +4 ou −4.
· A raiz quadrada de 81 é +9 ou −9.
Como em Matemática, uma operação (como a raiz quadrada) não pode apresentar dois re- sultados diferentes, fica definido que:
· A raiz quadrada de 16 é o número positivo +4. Indica-se: √16 = 4.
· A raiz quadrada de 81 é o número positivo +9. Indica-se: √81 = 9.
É claro que existe o oposto do número √16, que é −√16. Então: −√16 = −(+4) = −4.
8.7.1 A Não-Existência da Raiz Quadrada em Z
Considere as seguintes situações:
1a) Qual o número inteiro que representa a raiz quadrada de 20?
Note que 20 não é quadrado de nenhum número inteiro, pois 42 = 16 e 52 = 20.
Como nã√o há nenhum inteiro compreendido entre 4 e 5, pode-se concluir que não é possível
obter a	20 no conjunto Z.
2a) Qual o número inteiro que elevado ao quadrado dá −25?
Note que o quadrado de um número inteiro nunca é negativo ((+5)2 = 25 e ( 5)2 = 25). Portanto, os números negativos não podem representar quadrados de nenhum número in- teiro.—
Isso significa que os números inteiros negativos não tem raiz quadrada em Z, ou seja, √−25
não existe no conjunto Z. omo não√há nenhum inteiro compreendido entre 4 e 5, pode-se
concluir que não é possível obter a	20 no conjunto Z.
9 Expressões numéricas
As expressões numéricas devem ser resolvidas obedecendo à seguinte ordem de operações:
1o) Potenciação e radiciação; 2o) Multiplicação e divisão; 3o) Adição e subtração.
Nessas operações são realizados:
1o) parênteses ( ); 2o) colchetes [ ]; 3o) chaves { }.
Exemplos:
Calcular o valor das expressões numéricas:
a) (−5)2.(−2) + (+6)2 =
= (+25).(−2) + (+36) =
= (−50) + (+36) =
= −50 + 36 =
= −14
b) (−5)2 + √9 −[(+20) ÷ (−4) +3] =
`˛2¸5x 		 	
`˛3¸x
`	−˛¸5	x
= 25 + 3 − [−5 + 3] =
= 25 + 3 − [−2] =
= 25 + 3 + 2 =
= 30
Agora que você já leu todo esse material, tente resolver o Questionário: Números Inteiros online na Plataforma Moodle. É uma espécie de Quiz, mas com as questões relativas a esse conteúdo. Para responder a esse questionário, você deve seguir os seguintes passos:
1. Clicar no ícone "Tentar responder o questionário agora"e confirmar.
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· Se estiver todo correto, passe para a próxima questão;
· Senão, refaça os cálculos e "Verificar"novamente;
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3. Faça isso com todas as questões do questionário.
4. No final do questionário, clique no ícone "Próximo".
5. Aparecerá o resumo das tentativas.
6. Ou você "Retorna à tentativa"ou "Envia tudo e termina".
Se retornar à tentativa, você pode fazer todas as alterações que julgar necessárias lembrando da penalidade.•
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Bom trabalho!!!
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