01 Proposicoes Simples e Compostas

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PREPOSIÇÕES SIMPLES E COMPOSTA 
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Proposições Simples e Compostas 
Uma das ciências mais complexas para se estudar é a questão da lógica matemática. E os principais 
motivos disso pouco têm a ver com as questões práticas do raciocínio lógico estimulado pela mate-
mática, mas sim pela ampla extensão que o campo das probabilidades pode oferecer a alguém. Na 
prática, a lógica matemática tenta utilizar vários pontos simples para chegar a raciocínios mais com-
plexos e subjetivos. Não por menos, alguns dos grandes f ilósofos da história eram, na verdade, mate-
máticos, e aplicavam os conceitos da lógica matemática para chegar a teoremas ref inados a respeito 
da vida, dos humanos e de seu papel f rente ao universo. 
Mas é claro que o caminho da lógica matemática não é algo que podemos tentar pular degraus. A 
verdade é que ela é uma ciência que podemos entender de maneira mais clara, se começarmos por 
seus princípios básicos. 
E é justamente isso que faremos agora. Analisaremos a lógica matemática entendendo como funcio-
nam as proposições simples, que servirão de introdução a essa ciência e então nos dará subsídios 
para compreensão de dados mais complexos, como as proposições compostas e as proposições de 
negação. A partir deste conteúdo, f icará muito mais fácil entender as principais questões da lógica 
matemática e sua inf luência nos estudos matemáticos mais variados como probabilidade, aritmética e 
trigonometria. 
Proposições Simples 
Existe outro ponto importante: a lógica matemática não se encaixa exclusivamente no âmbito mate-
mático, ou seja, pode ser enquadrado e interpretado sob várias outras óticas. Tal ponto é importante, 
principalmente quando estamos analisando as proposições simples , pois na maioria dos casos, elas 
não se aplicam à lógicas numéricas, mas sim a questões pessoais. 
As proposições simples são as af irmações menos complexas, f rases diretas que exprimem em si um 
pensamento completo, utilizando então um único tempo verbal, um indivíduo e uma ação. Veja alguns 
exemplos: 
Wagner foi um músico 
Wagner nasceu na alemanha 
Wagner não conheceu beethoven 
Como é possível perceber, estas são af irmações simples servem basicamente para exprimir um fato. 
Na maioria das vezes, podemos responder tais af irmações com sim ou não , pois na maioria das ve-
zes elas podem ser ou não verdadeiras. 
Assim, as proposições simples são o início de qualquer raciocínio mais complexo que vá surgir. No 
campo matemático, por exemplo, encaramos proposições simples as contas básicas e que podemos 
responder de cabeça: 
1+1=2 
5-4=1 
10+10=20 
E a partir destas ideias, f ica muito mais fácil identif icar situações mais complexas, como as proposi-
ções compostas, que será nosso próximo tópico. 
As proposições compostas – entrando no mundo das probabilidades 
Continuando com a lógica das af irmações, exploramos o conteúdo das proposições simples, mas adi-
cionando mais do que uma só em uma mesma sentença. Com isso , criamos as proposições compos-
tas. Tais proposições podem ser entendidas como aquelas que são ou não algum ponto específ ico , 
ou seja, não podem ser respondidas com um simples sim ou não, já que começa a incluir novas pos-
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sibilidades em seu quadro. O tempo verbal continua sendo simples , mas as ações podem ser diferen-
tes, com cunho comparativo, de def inição ou de explicação. Alguns exemplos de proposições comple-
xas são: 
João é menino, maria, menina; 
Essa chuva acabará em breve, ou no máximo à noitinha; 
O culpado pelo acidente foi joão, ou antônio, ou pedro, ou carlos; 
Ou seja, estamos identif icando as proposições complexas como sendo uma do tipo que tem duas ou 
mais opções de respostas. Quanto maior o número de possibilidades , menor a probabilidade de uma 
delas estar correta. Na matemática, exemplos de proposição correta são: 
25+24 é igual a 50 ou 49 
45 + 55 ou 45 + 50 é igual a 100? 
Ou seja, entendemos que agora estamos entrando em um universo onde há mais do que a probabili-
dade de uma só resposta. Entendendo as proposições simples e complexas , podemos entrar então 
na operação de negação. 
Proposição de negação – tudo aquilo que não é e que devemos considerar 
Voltando às proposições simples, percebemos que elas são identif icadas de forma a poder responder 
com sim ou não. Mas pense da seguinte forma: quando você sabe de uma af irmação , é fácil identi-
f icá-la como verdadeiro ou falso. Mas e no caso das situações que você não sabe a verdadeira res-
posta? Pois nestes casos, é necessário descobrir o que não é para descobrir o que é. Por exemplo: 
Ronaldo é o maior artilheiro das copas. 
Para descobrir se tal af irmação é verdadeira, precisamos analisar outras informações, por exemplo: 
Ronaldo tem 15 gols em copas. 
O artilheiro das copas tem 16 gols. 
Miroslav klose tem 16 gols em copas 
Depois disso, entendendo que a proposição simples que demos anteriormente estava incorreta. Com 
isso, entendemos que, para chegar a alguns resultados, é preciso negar outros resultados possíveis. 
Com essa lógica, em alguns casos negamos um resultado para chegar a outro , como acontece com 
certa f requência, por exemplo, em provas de múltipla escolha, quando identif icamos as questões fal-
sas antes de identif icar a verdadeira. 
Porposições Simples E Compostas 
5. Proposições simples e compostas 
As proposições simples ou atômicas são assim caracterizadas por apresentarem apenas uma idéia. 
São indicadas pelas letras minúsculas: p , q, r, s, t… 
As proposições compostas ou moleculares são assim caracterizadas por apresentarem mais de uma 
proposição conectadas pelos conectivos lógicos. São indicadas pelas letras maiúsculas: p , q, r, s, t… 
Obs: a notação q(r, s, t), por exemplo, está indicando que a proposição composta q é formada pelas 
proposições simples r, s e t. 
Exemplo: 
Proposições simples: 
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P: o número 24 é múltiplo de 3. 
Q: brasília é a capital do brasil. 
R: 8 + 1 = 3. 3 
s: o número 7 é ímpar 
t: o número 17 é primo 
Proposições Compostas 
P: o número 24 é divisível por 3 e 12 é o dobro de 24. 
Q: a raiz quadrada de 16 é 4 e 24 é múltiplo de 3. 
R(s, t): o número 7 é ímpar e o número 17 é primo. 
As proposições lógicas podem ser classif icadas em dois tipos: 
Proposição simples - são representadas de forma única. Ex: o cachorro é um mamífero 
Proposição composta - são formadas por um conjunto de proposições simples, ( duas ou mais propo-
sições simples ligadas por “conectivos lógicos”). 
Ex: brasília é a capital do brasil ou lima é a capital do peru. 
Podemos ver que atribuir um valor lógico para uma proposição simples é fácil , mas e para uma propo-
sição composta como faremos isso? 
Utilizaremos um recurso chamado de tabelas verdade. 
As tabelas verdade são usadas para representar todos os valores lógicos possíveis de uma proposi-
ção. Voltemos ao exemplo anterior. 
Brasília é a capital do brasil”, pode ser representada por “p”. Representando –a na tabela verdade, 
temos: 
 
Sabendo que uma tabela verdade é a representação de todas as possibilidades lógicas de uma pro-
posição, agora vamos estudar os conectivos lógicos que ligam as proposições compostas para sim 
podermos analisar os valores lógicos de uma proposição composta. 
proposições simples – a base do raciocínio lógico 
Neste artigo, falaremos sobre as proposições simples, que são a base do raciocínio lógico. 
Hoje vamos debater um pouco sobre o principal objeto de estudo da lógica: as proposições simples. 
Além de ser um assunto bastante cobrado em provas de concursos, este conceito é o alicerce de to-
dos os assuntos futuros da lógica proposicional. 
Contraditoriamente, uma dif ícil tarefa na matemática é a def inição de conceitos simples. 
Os matemáticos são muito precisos e meticulosos e, consequentemente, são bastante cuidadososna 
escolha das palavras usadas para def inir seus objetos. 
Não há um consenso geral em relação à def inição das proposições simples. 
Os mais diversos livros da área utilizam “diferentes” def inições. Depo is de anos em contato com livros 
e provas de concursos, cheguei à seguinte def inição, que engloba o entendimento comum entre a 
maioria dos livros e bancas organizadoras de concursos: 
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“chama-se proposição toda oração declarativa que pode ser valorada em verdadeira ou falsa, mas 
não as duas”. 
Veja que na def inição acima não f izemos distinção entre proposição simples e proposição composta. 
As proposições simples são aquelas que declaram algo sem o uso de conectivos , que são: “e” (con-
junção), “ou” (disjunção inclusiva), “ou…, ou…” (disjunção exclusiva), “se…, então…” (condicional) e 
“… se e somente se…” (bicondicional). 
Quando conectamos duas ou mais proposições simples , formamos uma proposição composta. 
É por essa razão que as proposições simples também são chamadas de proposições atômicas e as 
proposições compostas são chamadas de proposições moleculares. 
Outra forma de identif icar as proposições simples é a partir da quantidade de verbos principais. 
Tomemos como exemplo uma questão do cespe. 
(cespe 2016/inss) 
Com relação a lógica proposicional, julgue o item subsequente. 
Na lógica proposicional, a oração “antônio fuma 10 cigarros por dia, logo a probabilidade de ele sofrer 
um infarto é três vezes maior que a de pedro, que é não fumante” representa uma proposição com-
posta. 
Resolução 
Observe que há dois verbos principais: “fuma” e “é”. Assim , há duas proposições simples envolvidas, 
a saber: 
P: antônio fuma 10 cigarros por dia. 
Q: a probabilidade de ele sofrer um infarto é três vezes maior que a de pedro , que não é fumante. 
Observe ainda que a expressão “que não é fumante” é apenas uma oração subordinada explicativa, 
ou seja, é uma oração que qualif ica pedro. 
Como há duas proposições simples conectadas através de um conectivo condicional (“logo” = “se… , 
então…”), então a proposição dada é composta. 
Gabarito: certo. 
De uma maneira geral, a oração principal é aquela que traz a informação principal que está sendo 
af irmada. 
Exemplo: paulo comprou uma máquina que não funciona. 
Aqui há apenas uma informação principal: a de que paulo comprou uma máquina. 
O trecho “que não funciona”, apesar de conter um verbo, é apenas uma qualif icação do objeto direto 
“máquina”. 
O trecho “que não funciona” não tem existência própria, pois é uma oração subordinada à principal. 
Assim, nesse exemplo, temos uma proposição simples, apesar de a f rase conter dois verbos (apenas 
um deles é principal). 
Verbos implícitos e proposições simples 
É sempre importante ver o contexto, porque muitas vezes há dois verbos principais, mas um deles 
pode estar implícito. 
Exemplo: guilherme comprou pão e leite. 
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A ideia é “guilherme comprou pão e guilherme comprou leite”. 
Nesse exemplo há, portanto, duas proposições simples e a proposição como um todo é composta. 
O cespe costumava classif icar como proposições simples as f rases como a do exemplo acima. 
Proposições simples 
Podemos dizer que são aquelas que sempre vêm sozinhas e que normalmente são representadas 
por algumas das letras latinas minúsculas, como por exemplo a letra p, q, r... 
Alguns exemplos de proposições simples: 
Maria é casada. 
Eu tenho 5 dedos nas mãos. 
Na proposição simples as informações são menos complexas, servem mais para exprimir um fato e 
normalmente utilizam um único tempo verbal juntamente com um único indivíduo, uma única ação. 
Quase sempre poderemos responder essas af irmações com simples sim ou não. 
Proposições Simples no Campo Matemático 
Tais af irmações que estamos falando, as proposições simples quando avaliamos no campo matemá-
tico, dizemos que as proposições simples podem ser relacionadas como as operações básicas que 
praticamente fazemos automaticamente na nossa cabeça como por exemplo: 
2+ 1= 3 5-5=0 2x2= 4 
Proposições compostas: 
Na proposição composta continuamos seguindo o caminho da proposição simples só que agora adici-
onando mais de uma informação ou af irmação na f rase, na mesma sentença. 
Assim sendo temos as proposições compostas e podemos também dizer que elas não poderiam ser 
respondidas com apenas um sim ou não pois começam a surgir novas probabilidades , novas opções 
em torno da f rase af irmativa., as proposições compostas normalmente podem ser representadas por 
letras maiúsculas como p, q, r... 
O tempo verbal ainda é simples e normalmente único mas as ações não, sempre na proposição com-
posta as ações podem ser diferentes, as vezes com tipo comparativo de explicação ou então def ini-
ção, temos abaixo alguns exemplos de proposições compostas: 
Pedro é homem, joana, mulher. 
O f rio passará logo, no máximo amanhã. 
Dizem que o culpado de tudo aquilo foi pedro , ou augusto, ou andré. 
Então entendemos que as proposições compostas são aquelas que podemos dizer teriam duas ou 
mais probabilidades ou opções de respostas e matematicamente falando quanto maiores forem as 
quantidades de possibilidades menor será a chance de alguma delas estar correta. 
Proposições Compostas No Campo Matemático 
Falando no ponto de vista do campo matemático , as proposições compostas seriam operações um 
pouco mais complexas onde teríamos mais de uma probabilidade de se chegar ao resultado , abaixo 
alguns exemplos: 
35 + 35 é igual a 72 ou 70? 30 – 10 o resultado é 20 ou 15? 
 
 
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Proposições Lógicas 
A lógica proposicional se dá quando são utilizadas o que chamamos de operações lógicas que as 
mais utilizadas são: 
Negação (não) – quando usamos essa proposição estamos dando o sentido contrario da af irmação : 
ex. Juca não é bonito. 
Conjunção lógica (e) – usamos quando queremos combinar duas proposições verdadeiras uma com-
plementando a outra: ex: hoje está muito f rio e hoje f icarei em casa. 
Disjunção inclusiva (ou) – usamos quando queremos combinar duas proposições sendo que pelo me-
nos uma seja verdadeira, assim a proposição torna-se verdadeira: ex: hoje estou bem ou hoje estou 
mal. 
Simplesmente falando essas proposições dão lógica, sentido mais detalhado a af irmação, a f rase. 
Equivalência lógica 
São proposições que apresentam a mesma tabela verdade, ou seja, são proposições que expressas 
de um modo diferente possuem o mesmo valor lógico. 
Ex: 
Se brasília é a capital do brasil então santiago é a capital do chile (p → q) 
Se santiago não é a capital do chile então brasília não é a capital do brasil. (¬q → ¬p) 
Vejamos as tabelas verdade de ambas às proposições compostas: 
Condicional: p → q 
P Q P → q 
V V V 
V F F 
F V V 
F F V 
 
Condicional: ¬q → ¬p 
¬q ¬p ¬q → ¬p 
F F V 
V F F 
F V V 
V V V 
 
Podemos verif icar que as duas proposições possuem a mesma tabela verdade (valoração), portanto 
são equivalentes. 
P → q ¬q → ¬p (representação da “equivalência lógica”) 
Agora passemos para negação das proposições compostas 
Negação da operação da conjunção. “p e q” 
¬(p ̂ q ) ¬p v ¬q 
Para negarmos uma proposição composta ligada pelo conectivo operacional “e”, basta negarmos am-
bas as proposições individuais(simples) e trocarmos o conectivo “e” pelo conectivo”ou”. Ou seja, 
transformaremos uma conjunção em uma disjunção. Vejamos; 
Ex:“pedro é mineiro e joão é capixaba”. 
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P= pedro é mineiro 
Q= joão é capixaba 
Negando-a, temos; 
Pedro não é mineiro ou joão não é capixaba. 
Pela tabela verdade podemos” conf irmar” a negação da proposição. 
P Q P ^ q ¬(p ̂ q) ¬p ¬q ¬p v ¬q 
V V V F F F F 
V F F V F V V 
F V F V V F V 
F F F V V V V 
 
Negação da operação da disjunçãoinclusiva. “p ou q” 
P v q ¬p ̂ ¬q (lei de morgan) 
Para negarmos uma proposição composta ligada pelo conectivo operacional “ou”, basta negarmos 
ambas as proposições individuais(simples) e trocarmos o conectivo “ou” pelo conectivo”e”. Ou seja, 
“transformaremos” uma disjunção inclusiva em uma conjunção. Vejamos; 
“augusto é feio ou maria é bonita”. 
P= augusto é feio 
Q= maria é bonita 
Negando-a, temos; 
“augusto não é feio e maria não é bonita”. 
Pela tabela verdade podemos” conf irmar” a negação da p roposição. 
P Q P v q ¬(p v q) ¬p ¬q ¬p ̂ ¬q 
V V V F F F F 
V F V F F V F 
F V V F V F F 
F F F V V V V 
 
Negação da operação da disjunção exclusiva. “ou p ou q” 
¬(p v q) p ↔ q 
Para negarmos uma proposição com a estrutura de uma disjunção exclusiva, transformá-la-emos em 
uma estrutura bicondicional. Vejamos; 
“ou joão é rico ou pedro é bonito”. 
P= joão é rico 
Q= pedro é bonito 
Negando-a temos; 
“joão é rico se e somente se pedro é bonito” 
Pela tabela verdade podemos” conf irmar” a negação da p roposição 
P Q P v q ¬(p v q) P ↔ q 
V V F V V 
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V F V F F 
F V V F F 
F F F V V 
 
Obviamente podemos perceber que a negação de uma estrutura bicondicional é também a disjunção 
exclusiva 
Negação da operação da condicional (ou implicação). 
¬ (p → q) p^ ¬q 
Para negarmos uma proposição condicional, repete-se a primeira parte troca-se o conectivo por “e” e 
nega-se a segunda parte.vejamos 
Ex: se sou inteligente então passarei de ano. 
P= sou inteligente 
Q= passarei de ano 
Negando-a, temos; 
“sou inteligente e não passarei de ano” 
Pela tabela verdade podemos” conf irmar” a negação da proposição. 
P Q P → q ¬(p → q) ¬q P ^ ¬q 
V V V F F F 
V F F V V V 
F V V F F F 
F F V F V F 
 
Lógica proposicional ii – proposições compostas e conectivos lógicos 
Ii – proposições compostas e conectivos lógicos 
 
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