Unidade1_ElementosRLCfreq

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4 – Elementos Passivos no Domínio da 
Frequência
1. Circuito R puro
𝑖 𝑡 = 𝐼𝑚cos(𝜔𝑡 + 𝜃𝑖)
+
𝑖 𝑡
v(t) R
−
No domínio do tempo, tem-se: 
𝑣(𝑡) = 𝑅𝑖(𝑡)
𝑣 𝑡 = 𝑅𝐼𝑚𝑐𝑜𝑠 𝜔𝑡 + 𝜃𝑖 (1)
𝑣 𝑡 = 𝑉𝑚𝑐𝑜𝑠 𝜔𝑡 + 𝜃𝑖 , 𝑜𝑛𝑑𝑒 𝑉𝑚 = 𝑅𝐼𝑚
No domínio da frequência, representando a corrente e a tensão como fasor, tem-se:
𝑰 = 𝐼𝑚𝑒
𝑗𝜃𝑖
𝑽 = 𝑅𝐼𝑚𝑒
𝑗𝜃𝑖 = 𝑉𝑚𝑒
𝑗𝜃𝑖
Relação entre tensão e corrente fasoriais no resistor: 𝑽 = 𝑅 𝑰 (2)
Circuito equivalente no domínio da frequência:
+
V I R
−
➢ Nos terminais do resistor não há nenhum deslocamento de fase entre a corrente e a tensão
2. Circuito L puro
i(t)
+
v(t) L
−
A relação entre a tensão e a corrente no domínio do tempo é: 
𝑣(𝑡) = 𝐿
𝑑𝑖(𝑡)
𝑑𝑡
𝑣 𝑡 = 𝐿
𝑑
𝑑𝑡
𝐼𝑚cos(𝜔𝑡 + 𝜃𝑖)
𝑣 𝑡 = −𝜔𝐿𝐼𝑚𝑠𝑒𝑛 𝜔𝑡 + 𝜃𝑖
Reescrevendo a equação anterior, usando cosseno, obtém-se:
𝑣 𝑡 = −𝜔𝐿𝐼𝑚𝑐𝑜𝑠 𝜔𝑡 + 𝜃𝑖 − 90𝑜 (3)
A representação fasorial da tensão representada pela equação (3), é:
𝑽 = −𝜔𝐿𝐼𝑚𝑒
𝑗 𝜃𝑖−90
𝑜
𝑽 = −𝜔𝐿𝐼𝑚𝑒
𝑗𝜃𝑖𝑒−𝑗90° = −𝜔𝐿𝐼𝑚𝑒
𝑗𝜃𝑖(−𝑗)
mas 𝑒−𝑗90° = cos 90° − 𝑗𝑠𝑒𝑛 90° = −𝑗, então:
𝑽 = 𝑗𝜔𝐿𝐼𝑚𝑒
𝑗𝜃𝑖
Relação entre tensão e corrente fasoriais no indutor: 𝑽 = 𝑗𝜔𝐿 𝑰 (4)
➢ Obs.: A equação diferencial no domínio do tempo, transformou-se numa equação algébrica no domínio 
da frequência
Circuito equivalente no domínio da frequência:
+
V I jωL
−
Reescrevendo a equação (4):
𝑽 = (𝜔𝐿 ∠90°) 𝐼𝑚∠𝜃𝑖
𝑽 = 𝜔𝐿𝐼𝑚 ∠(𝜃𝑖 + 90°)
➢ Nos terminais do indutor a tensão e a corrente estão defasadas de 90°. A tensão está adiantada de 90°
em relação à corrente ou, o que é equivalente a dizer, a corrente está 90° atrasada da tensão.
90°
3. Circuito C puro
i(t)
+
v(t) C
−
A relação entre a tensão e a corrente no domínio do tempo é: 
𝑖 𝑡 = 𝐶
𝑑𝑣 𝑡
𝑑𝑡
Admitindo que 𝑣 𝑡 = 𝑉𝑚𝑐𝑜𝑠 𝜔𝑡 + 𝜃𝑣 , então:
𝑖 𝑡 = −𝜔𝐶𝑉𝑚𝑠𝑒𝑛 𝜔𝑡 + 𝜃𝑣
Reescrevendo a equação anterior:
𝑖 𝑡 = −𝜔𝐶𝑉𝑚𝑐𝑜𝑠 𝜔𝑡 + 𝜃𝑣 − 90𝑜 (5)
A representação fasorial da corrente representada pela equação (5), é:
𝑰 = −𝜔𝐶𝑉𝑚𝑒
𝑗 𝜃𝑣−90
𝑜
𝑰 = −𝜔𝐶𝑉𝑚𝑒
𝑗𝜃𝑣 𝑒−𝑗90°
𝑰 = 𝑗𝜔𝐶𝑉𝑚𝑒
𝑗𝜃𝑣
𝑰 = 𝑗𝜔𝐶𝑽
Relação entre tensão e corrente fasoriais no capacitor: 𝑽 =
1
𝑗𝜔𝐶
𝑰 (6)
Circuito equivalente no domínio da frequência:
+ I 
V ൗ1 𝑗𝜔𝐶
−
Reescrevendo a equação (6):
𝑽 = (
1
𝜔𝐶
∠ − 90°) 𝐼𝑚∠𝜃𝑖
𝑽 =
𝐼𝑚
𝜔𝐶
∠(𝜃𝑖 − 90°)
➢ Nos terminais do capacitor a tensão está atrasada de 90° em relação à corrente ou, o que é equivalente 
a, a corrente está 90° adiantada da tensão.
90°
➢ Exercícios:
1) Uma tensão 𝑣 = 8 cos 100𝑡 − 50𝑜 V é aplicada a um resistor de 4Ω. Determine:
a) A tensão e a corrente fasoriais, usando valores de pico.
b) A corrente no domínio do tempo
a) 𝑽 = 8∠ − 50° 𝑉
𝑽 = 𝑅 𝑰 𝑰 =
𝑽
𝑅
=
8∠ − 50°
4
= 2∠ − 50°𝐴
b) 𝑖(𝑡) = 2 cos 100𝑡 − 50° 𝐴
2) Repetir o exercício trocando R = 4Ω por C = 1𝜇𝐹.
5 – Impedância, Reatância e Admitância
• Analisando as equações (2), (4) e (6), observa-se que todas são da forma:
𝑽 = 𝑍 𝑰 (7)
onde Z representa a impedância do elemento de circuito 
• A impedância é a razão entre o fasor tensão e o fasor corrente
𝑍 =
𝑽
𝑰
(8)
𝑍 =
𝑉𝑒𝑓 ∠𝜃𝑣
𝐼𝑒𝑓 ∠𝜃𝑖
=
𝑉𝑒𝑓
𝐼𝑒𝑓
∠(𝜃𝑣 − 𝜃𝑖)
Forma Polar: 𝑍 = 𝑍 ∠𝜃𝑍
onde 𝑍 =
𝑉𝑒𝑓
𝐼𝑒𝑓
é o módulo da impedância e 𝜃𝑍 é o ângulo.
Forma Retangular: 𝑍 = 𝑅 + 𝑗 X
onde 𝑅 é a componente resistiva ou resistência (parte real) e X é a componente reativa ou reatância (parte 
imaginária).
• A impedância, assim como a reatância, são medidas em ohm.
➢ Obs.: Z é um número complexo mas não é um fasor, pois não é uma função senoidal no domínio do 
tempo. A impedância não tem significado no domínio do tempo.
• Triângulo de Impedâncias:
jX Z
|Z|
R 
𝜃𝑍
• Tabela de Fasores
• Tabela de Impedâncias
Grandeza Domínio do Tempo Domínio da Frequência
Tensão 𝑣 𝑡 = 𝑉𝑚 cos 𝜔𝑡 + 𝜃𝑣 𝑉 = 𝑉𝑒𝑓∠𝜃𝑣, 𝑉𝑒𝑓 =
𝑉𝑚
2
Corrente 𝑖 𝑡 = 𝐼𝑚 cos 𝜔𝑡 + 𝜃𝑖 𝐼 = 𝐼𝑒𝑓∠𝜃𝑖 , 𝐼𝑒𝑓 =
𝐼𝑚
2
Elemento Reatância Impedância
Resistor - 𝑍𝑅 = 𝑅
Indutor 𝑋𝐿 = 𝜔𝐿 = 2𝜋𝑓𝐿 , 𝜔 = 2𝜋𝑓 𝑍𝐿 = 𝑗 𝑋𝐿
Capacitor 𝑋𝐶 =
1
𝜔𝐶
=
1
2𝜋𝑓𝐶
, 𝜔 = 2𝜋𝑓 𝑍𝐶 = − 𝑗 𝑋𝐶
• Diagrama de Impedâncias
• O recíproco da impedância é chamado de admitância, 
𝑌 =
1
𝑍
= 𝐺 + 𝑗𝐵 (𝑆)
onde G é a condutância e B é a susceptância. A unidade é siemens.
➢ Exemplos:
1. A corrente no indutor de 20 mH é i = 10𝑐𝑜𝑠 10000𝑡 + 30° 𝑚𝐴. Calcule (a) a reatância indutiva; (b) a
impedância do indutor; (c) a tensão fasorial V e (d) a expressão de regime permanente para v(t).
a) 𝑋𝐿 = 𝜔𝐿 = 10000 × 0,02 = 200 Ω
b) 𝑍𝐿 = 𝑗𝑋𝐿 = 𝑗200 Ω
c) 𝑽 = 𝑍𝑰 = 𝑗200 × 10 × 10−3∠30° = 200∠90° × 0,01∠30° = 2∠120° 𝑉
em valores eficazes: 𝑽 = 1,414 ∠120° 𝑉
d) 𝑣 = 2 cos 10000𝑡 + 120° 𝑉
2. A tensão nos terminais do capacitor de 5𝜇𝐹 é 𝑣 = 30 cos 4000𝑡 + 25° 𝑉. Calcule (a) a reatância
capacitiva; (b) a impedância do capacitor; (c) a corrente fasorial I e (d) a expressão de regime
permanente para i(t).
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	Slide 11: 5 – Impedância, Reatância e Admitância
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