RESISTENCIA DOS MATERIAS INDRODUCAO

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RESISTÊNCIA DOS 
MATERIAIS I
OBJETIVOS DE APRENDIZAGEM
 > Expressar a importância do estudo da resistência dos materiais para o 
dimensionamento das estruturas.
 > Mostrar as etapas para verificação ou projeto de uma estrutura.
 > Comparar o uso de diferentes tipos de materiais nas estruturas.
Introdução
A resistência dos materiais apresenta os critérios básicos de entendimento do 
comportamento dos materiais utilizados nos mais diversos tipos de estrutura. 
O estudo do conteúdo proporciona conhecimento em relação às dimensões ne-
cessárias para cada elemento estrutural, de forma que este consiga receber as 
cargas externas e transmiti-las para outros elementos, até mesmo o solo (para o 
caso de fundação). Assim, a resistência dos materiais analisa como essas cargas 
atuam no interior dos corpos, fazendo com que eles permaneçam íntegros e 
funcionais no sistema proposto.
Essa área do conhecimento se baseia principalmente em ensaios comporta-
mentais, os quais caracterizam os materiais e geram as informações sobre tensão 
resistente e deformações correntes, bem como a proporcionalidade entre eles, 
para todos os materiais utilizados. Essas informações são utilizadas pelos enge-
Introdução à 
resistência dos 
materiais
Pedro Henrique Pedrosa de Melo
nheiros e pelo projetista, que buscam sempre utilizar ao máximo as propriedades 
do material, visando à economia e à segurança.
Neste capítulo, você vai estudar o papel fundamental que a resistência dos 
materiais tem no dimensionamento das estruturas, os quais são a base para 
etapas de verificação e dimensionamento de elementos. Além disso, você vai 
ver a diferença entre os principais elementos utilizados na engenharia e como a 
resistência dos materiais pode ser utilizada para a escolha entre um material ou 
outro no momento de projeto de estruturas com base no seu comportamento.
A importância do estudo da resistência 
dos materiais para o dimensionamento 
das estruturas
A engenharia é uma ciência aplicada no cotidiano da vida, uma que todos os 
tipos de materiais precisam cumprir exigências mínimas quanto à integridade e à 
funcionalidade, isto é, não podem atingir o estado de colapso ou ruína e devem 
manter os níveis adequados de operacionalidade no que tange às dimensões 
e à deformação. De forma geral, a engenharia aplicada por meio da resistência 
dos materiais possibilita a manutenção da funcionalidade do material, a sua 
aparência e até mesmo o aspecto econômico de seu uso, aproveitando todas 
as propriedades do material, levando em consideração critérios de segurança. 
É importante ressaltar que, no estudo da engenharia, os materiais são 
estudados e dimensionados por sua resistência, que equivale à capacidade 
do objeto ou material específico, de suportar e transmitir cargas. Assim, 
o corpo recebe cargas externas, que podem ser classificadas como forças 
de superfície, quando ocorre o contato direto entre corpos — ou forças de 
corpo, quando um corpo exerce força sobre o outro sem que ocorra contato 
direto. Um exemplo de força de corpo é o peso, que é causado pela ação 
gravitacional, e faz com que não ocorra, assim, um contato entre os corpos, 
mas a atração entre as massas.
Segundo Hibbeler (2019), na transmissão das cargas, surgem nos materiais 
as reações de apoio, forças de superfície que se desenvolvem nos apoios ou 
diretamente nos pontos de contato entre corpos. Uma forma simplificada 
de descobrir a existência de uma força de apoio em um corpo é imaginar 
que o elemento acoplado está sendo transladado ou girando de acordo com 
uma direção. Caso o apoio impeça a translação, existe no contato uma força 
de apoio contrária ao possível movimento; em outra situação, caso o apoio 
impeça a rotação, existe na referida direção um momento fletor.
Introdução à resistência dos materiais2
Para a quantificação das reações (força e/ou momento), são aplicadas as 
condições de equilíbrio. Nessa etapa, o princípio básico é que o equilíbrio de 
um corpo exige um “equilíbrio de forças”, de forma que impeça a translação 
ou até mesmo o movimento acelerado do corpo ao longo de uma trajetória 
em x ou y. Além disso, o “equilíbrio de momentos” é analisado para que possa 
impedir que o corpo analisado gire em relação a um ponto genérico “O”. Tais 
análises podem ser descritas matematicamente em análise coplanar (plano 
bidimensional) por meio das Equações 1, 2 e 3.
∑ = 0 (Equação 1)
∑ = 0 (Equação 2)
∑ = 0 (Equação 3)
Entender a forma como o corpo recebe a carga externa e como ela a 
transmite em forma de reação de apoio é de extrema importância para o 
conhecimento do arranjo estrutural formado pela associação de diferentes 
elementos. Um exemplo disso é o sistema de apoio vigas/pilar; as estruturas 
aporticadas, aquelas em que a viga e os pilares de apoio se comportam como 
um só elemento (Figura 1); e até mesmo na análise da dissipação das cargas 
no solo por meio da fundação das estruturas.
No entanto, além dessa análise de transmissão de cargas/esforços, 
é preciso analisar o comportamento que essas cargas geram no interior do 
corpo e como isso está relacionado com a própria resistência do material. Esse 
estudo é feito por meio das “cargas resultantes internas”, especificamente 
pela definição das forças normais (N) e cisalhantes (V) e pelos momentos 
fletores e de torção, que surgem nas seções internas dos corpos.
Introdução à resistência dos materiais 3
Figura 1. Representação do pórtico por meio da associação de vigas e pilares em uma estrutura.
Esquema estrutural Pórtico bidimensional
Pilar
Viga
Hibbeler (2019) afirma que a análise das cargas resultantes internas é uma 
das mais importantes aplicações da resistência dos materiais, uma vez que 
essas cargas determinam a integridade e a funcionalidade do corpo sujeito 
às cargas externas. A quantificação é feita por meio do método das seções, 
que parte de uma seção ou “corte” imaginário, passando pela região de in-
teresse. Para que esse método seja implementado, são utilizadas as cargas 
externas aplicadas ao corpo e as reações de apoio já definidas anteriormente. 
Um exemplo da aplicação do método é apresentado na Figura 2, em que são 
evidenciados o “corte” imaginário e o surgimento das cargas internas.
A quantificação, ou seja, a obtenção dos valeres das cargas internas são 
definidas utilizando as equações de equilíbrio aplicados, por exemplo, na 
Figura 2b. É importante destacar que, na situação apresentada na Figura 2b, 
o momento de torção não é considerado devido ao fato de a representação 
ser feita no plano, fazendo com que as cargas se restrinjam àquelas coplana-
res, ou seja, contidas no plano de representação. O ponto de aplicação das 
cargas internas apresentadas é feito no centro de gravidade da seção, então 
todas as cargas internas da seção “cortada” são agrupadas nesse ponto e 
decompostas segundo as direções normal e cisalhante do corpo.
Introdução à resistência dos materiais4
Figura 2. Aplicação do método das seções em um corpo genérico representado no plano: 
(a) corpo sujeito às cargas (ou forças) externas e uma seção imaginária de interesse; 
(b) “corte” e surgimento das cargas internas (forças normal e de cisalhamento, e momento 
fletor).
Fonte: Hibbeler (2019, p. 4).
As forças não são aplicadas diretamente no dimensionamento dos mate-
riais e estruturas, assim, para esse caso, é utilizado prioritariamente o conceito 
de tensão. Beer e Johnston Junior (2015) apontam que a análise e o projeto 
de uma estrutura ou elemento são feitos por meio da análise das tensões e 
deformações. A análise de tensões se refere à distribuição da força ao longo 
de uma área específica. Além disso, os autores ainda destacam que mesmo 
uma carga pontual estará sempre aplicada em determinada área, mesmo 
que esta seja tida como infinitesimal. Assim, como na análise de cargas 
internas obtêm-se as forças normais e cisalhantes, para essas forças t as 
correspondentes tensão normal (σ) e tensão cisalhante (τ). As Equações 4 e 5 
são aplicadas paraobter as referidas tensões.
Introdução à resistência dos materiais 5
= (Equação 4)
= (Equação 5)
Cada tipo de material tem um valor limite (máximo) de resistência a ser 
suportada, que é chamada de tensão de ruptura, ou seja, tensão à qual o corpo 
não consegue manter sua integridade e funcionalidade dentro do projeto 
estabelecido. Essa análise que envolve tensão aplicada e tensão de ruptura 
para critérios de projeto parte da premissa que se deve considerar o material 
contínuo, ou seja, tem distribuição uniforme da matéria sem a existência de 
vazios, e coeso, o que significa que todas as suas partes estão interligadas, 
não havendo trincas ou separações (HIBBELER, 2019). 
Dessa forma, partindo dessa análise, é feito o dimensionamento princi-
palmente das seções dos elementos, como vigas e pilares. Esse processo leva 
em consideração o limite do valor de tensão de ruptura e da força normal ou 
cisalhante à qual a seção está sujeita. Assim, o projetista varia a área da seção 
de forma a atender o teto da tensão, verificando tanto os aspectos estruturais 
(integridade do elemento) como a economia, propondo a menor área possível.
Cabe destacar que não é apenas a tensão que norteia o dimensionamento 
ou verificação da integridade das estruturas, pois esta também deve atender 
requisitos relacionados à deformação. Pinheiro e Crivelaro (2016) ressaltam 
que todo corpo sujeito a tensão (a qual é relacionada diretamente à força) 
apresenta uma deformação correspondente. Essas deformações se relacionam 
à tensão aplicada por meio do módulo de elasticidade ou módulo de Young 
(E), e podem ser expressas pela Equação 6 para a tensão/deformação normal. 
Essa equação é popularmente conhecida como Lei de Hooke:
σ = E ∙ ε (Equação 6)
Na Equação 6, ε é a deformação normal, uma característica que representa 
o quanto um corpo alongou em relação ao comprimento inicial. Porém, a tensão 
cisalhante (τ) também leva a um tipo de deformação específica, chamada de 
deformação cisalhante ou distorção (γ), responsável por alterar o formato 
do corpo, ou seja, são mudanças angulares entre as faces do corpo. Assim, 
a Lei de Hooke assume a forma da Equação 7, onde G representa o módulo 
de elasticidade ao cisalhamento.
Introdução à resistência dos materiais6
τ = G ∙ γ (Equação 7)
Os valores do módulo de Young (E) e do módulo de elasticidade ao cisa-
lhamento (G) são obtidos de forma experimental para cada tipo de material 
adotado no dimensionamento. Além disso, existe uma relação entre os dois 
módulos que utiliza o Coeficiente de Poisson, que relaciona a deformação 
longitudinal com a transversal em um ensaio de tração ou compressão simples. 
A Equação 8 apresenta a expressão de cálculo do coeficiente de Poisson (υ), 
e a Equação 9, a relação entre o módulo de elasticidade (E) e o módulo de 
cisalhamento (G).
= −
lat
long
 (Equação 8)
=
2(1 + )
 (Equação 9)
Compreendendo os conceitos de tensão e deformação, ficam claros os 
princípios básicos de dimensionamento de estruturas, pois, assim, se ga-
rante a integridade, não são atingidas as tensões de ruptura e se mantém a 
funcionalidade por meio do controle dos limites de deformação do material. 
No dimensionamento de qualquer elemento estrutural que utilize, por exem-
plo, concreto, madeira e aço, são adotados esses procedimentos básicos. 
Em seguida, é feito o dimensionamento da estrutura para que ela opere abaixo 
da tensão de ruptura ou falha e não apresente deformações que acarretem na 
perda de sua funcionalidade. Além disso, é levado em consideração também 
o aspecto econômico ao se adotar a menor quantidade de material possível.
Introdução à resistência dos materiais 7
Em um elemento tridimensional, as deformações normais são respon-
sáveis por aumentar o volume do corpo, enquanto as deformações 
cisalhantes são responsáveis pela alteração na forma.
π
2
π
2
π
2
Δz
Δx
Δy
Elemento sem
deformação
Elemento
deformado
• Considerando as
dimensões muito
pequenas
• Deformação normal: muda os
 comprimentos dos lados
• Deformação de cisalhamento: muda
 os ângulos de cada lado
Segmentos de reta
permanecem retos
após a deformação
π
2( – gxy)
π
2( – gxz)
π
2( – gyz)
(1 + ∈z)Δz
(1 + ∈x)Δx
(1 + ∈y)Δy
Fonte: Adaptada de Hibbeler (2019).
Etapas para verificação de uma estrutura 
Verificar uma estrutura ou um elemento estrutural é conferir se as dimensões 
propostas atendem às solicitações externas impostas a esse corpo, ou seja, 
analisar se ele vai manter a sua integridade e funcionalidade ao receber e 
transmitir cargas ou forças. Assim, o primeiro passo para a verificação de uma 
estrutura é conhecer como o material que a compõe se comporta em termos 
de tensão e deformação, verificando as propriedades mecânicas do material.
De acordo com Hibbeler (2019), a resistência de um material depende da 
sua capacidade para suportar uma carga sem deformações excessivas, e as 
propriedades que circundam a resistência do material devem ser obtidas 
por métodos experimentais. O principal teste para a obtenção das proprie-
dades do material é o ensaio de tração ou compressão, em que são obtidas 
as relações entre a tensão e a deformação caracterizada para um material 
específico, se tenta compreender o comportamento do material enquanto 
se eleva a tensão de compressão ou tração.
Dessa forma, nesse ensaio, além de se obter o valor máximo que um corpo 
suporta, é possível perceber que os materiais têm variação na proporção 
existente entre a tensão e deformação. Um exemplo disso é o gráfico da 
Introdução à resistência dos materiais8
Figura 3, que apresenta os resultados da relação de tensão e deformação 
para um ensaio de tração de um material dúctil genérico.
Figura 3. Diagrama de tensão-deformação genérico para materiais dúcteis com seus respectivos 
comportamentos para determinadas faixas de cargas atuantes.
Fonte: Hibbeler (2019, p. 58).
A partir da Figura 3, é possível compreender alguns comportamentos dos 
materiais e como eles devem nortear o dimensionamento ou verificação das 
estruturas. No primeiro trecho, o material submetido à tração apresenta 
comportamento elástico, havendo proporção e correspondência fixa entre a 
tensão e a deformação, e a inclinação da reta que caracteriza esse compor-
tamento gera o módulo de elasticidade, o denominado módulo de Young (E). 
Quanto ao comportamento plástico, o material apresenta diferentes relações 
entre a tensão e a deformação, sendo que, no escoamento, uma pequena 
modificação na tensão causa uma grande deformação, e após essa etapa 
chega-se no endurecimento por deformação, em que é necessário aplicar 
uma carga cada vez maior para que o corpo se deforme. Essa última etapa 
leva ao limite da resistência e da tensão de ruptura, quando o corpo perde 
toda a sua capacidade portante, entrando, assim, em colapso ou ruína (BEER; 
JOHNSTON JUNIOR, 2015).
Introdução à resistência dos materiais 9
Ao pensar em projetos estruturais, a previsibilidade de comportamento 
é fundamental, e é sempre necessário conhecer a deformação exata para a 
tensão aplicada no corpo. Essa situação só é possível dentro da região elástica 
do carregamento, em que cada valor de tensão tem uma correspondência 
única na deformação. Assim, tem-se a primeira exigência de dimensiona-
mento de elementos estruturais, os quais devem sempre estar submetidos 
à tensão menor que a tensão de escoamento. É importante ressaltar que 
esses valores-teto (valores máximos) de dimensionamento são obtidos por 
ensaios experimentais, e materiais diferentes também têm comportamentos 
diferentes, como, por exemplo, o concreto, que não apresenta região de 
escoamento, e outros materiais considerados frágeis.
No dimensionamento estrutural e na resistência dos materiais, esses va-
lores-teto de tensão são denominados tensões ruptura para projeto. Segundo 
Hibbeler (2019), para garantir a segurança, é preciso que o responsável pelo 
dimensionamento escolha uma tensão para o cálculo menor do que a que o 
elemento podesuportar totalmente. Essa tensão menor é denominada tensão 
admissível, que é motivada por diversas razões, como as descritas a seguir.
 � A carga aplicada deve ser diferente da que foi projetada.
 � As possíveis imprecisões nas dimensões dos elementos ocorrem por 
erros de projeto ou construtivos.
 � A ocorrência de vibrações, impactos ou cargas acidentais não é utilizada 
no dimensionamento ou verificação da estrutura.
 � Os processos de deterioração nas seções dos elementos estruturais 
acarretam na perda de área resistente e, consequentemente, no au-
mento de tensão: corrosão atmosférica ou exposição a intempéries.
O valor da carga admissível é obtido por meio da adoção de um número 
responsável por reduzir o valor da carga ou tensão ruptura verificada para o 
material no ensaio mecânico (compressão ou tração), o qual é denominado 
fator de segurança (FS) ou coeficiente de segurança (CS). No dimensionamento, 
confia-se que o FS incorpora todas as inseguranças citadas anteriormente, 
sendo o seu valor numérico maior que 1. Assim, para o dimensionamento, 
sempre serão utilizadas as cargas admissíveis, conforme as Equações 10 e 11.
σadm =
σrup
FS (Equação 10)
Introdução à resistência dos materiais10
τadm =
τrup
FS
 (Equação 11)
Os valores adotados para o FS podem variar, relacionando diretamente 
com o grau de segurança exigido para o material e as incertezas de seu uso. 
Hibbeler (2019) cita exemplos ao explicar que esses valores são próximos 
de 1 para componentes de avião ou até veículos espaciais, e para projetos 
de componentes de uma usina nuclear, esse valor pode chegar a 3, devido à 
grande incerteza no carregamento e à variabilidade no comportamento do 
material adotado. É importante ressaltar que, atualmente, os valores para 
o FS e para tensões admissíveis estão bem padronizados, pois as incertezas 
envolvidas em diversos projetos já foram razoavelmente testadas. 
Os valores dos FS para cada material são encontrados em normas de 
projeto ou dimensionamento, como, por exemplo, a NBR 6118:2014, a NBR 
8800:2008 e a NBR 7190:1997. Alguns valores de referência de tensão admissível 
para materiais de construção civil estão apresentados no Quadro 1.
Quadro 1. Valores de referência para tensões admissíveis de diferentes 
materiais de construção
Material p. Espec. 
(kg/m³)
Tração 
(kg/cm²)
Compressão 
(kg/cm²)
Cisalhamento 
(kg/cm²)
Ferro
Laminado 7.650 1250 1.100 1.000
Fundido 7.200 300 800 240
Madeira*
Dura 1.050 110 80 65
Semidura 800 80 70 55
Branda 650 60 50 35
Alvenaria
Pedra 2.200 — 17 —
Tijolo comum 1.600 — 7 —
Tijolo furado 1.200 — 6 —
Tijolo prensado 1.800 — 11 —
(Continua)
Introdução à resistência dos materiais 11
Material p. Espec. 
(kg/m³)
Tração 
(kg/cm²)
Compressão 
(kg/cm²)
Cisalhamento 
(kg/cm²)
Concreto
Simples 1:3:6 1.100 — 18 —
Armado 1:2:4 2.400 — 45 —
Ciclópico 1:3:6 2.200 — 18 —
* Compressão paralela e cisalhamento perpendicular às fibras.
Fonte: Adaptado de Baêta e Sartor (1999).
Com as tensões admissíveis, o projetista faz o cálculo das áreas necessárias 
para o seu elemento conforme o equacionamento proposto para as tensões, 
que se relacionam com a carga imposta e a área. Dessa forma, são aplicadas 
as Equações 12 e 13 para o cálculo da área necessária para situações de tensão 
normal e cisalhante, respectivamente.
A =
N
σadm
 (Equação 12)
A =
V
τadm
 (Equação 13)
Lembrando que N representa a força normal, ou seja, aquela perpendicular 
à seção transversal de interesse, e V representa a força cisalhante que atua 
perpendicularmente à seção transversal de interesse. Essa seção de interesse 
é aquela em que foi feito o “corte” citado na seção anterior.
A identificação da tensão de ruptura a ser adotada em um projeto 
depende do comportamento do material no ensaio de tração e 
compressão.
Materiais dúcteis são os que apresentam deformação significativa antes da 
rutura ou colapso, nos quais deve-se limitar a tensão de ruptura àquela que an-
tecede o escoamento, ou seja, trecho em que, com pequena diferença na tensão, 
a deformação é significativamente aumentada e não segue uma “linearidade”. 
(Continuação)
Introdução à resistência dos materiais12
Já nos materiais frágeis ocorre menor deformação proporcional antes do 
colapso da estrutura, não apresentando, na maioria das vezes, deformações 
plásticas ou escoamento. Como esses materiais têm pouca deformação antes 
da ruptura, eles são menos adotados em projetos estruturais e, caso o seu uso 
seja indispensável, o dimensionamento é feito com a tensão de ruptura como 
referência.
Uso de diferentes tipos de materiais 
nas estruturas
Nas estruturas, são utilizados diferentes tipos de materiais, ou até mesmos 
diferentes combinações do mesmo material. O ideal é encontrar um material 
que tenha comportamento satisfatório para o tipo de solicitação aplicada e 
que tenha o seu custo reduzido. Um exemplo simples disso é a escolha entre 
ferro fundido e laminado para uma haste circular solicitada à tração. Como 
visto no Quadro 1, na seção anterior, o ferro fundido apresenta resistência 
(tensão) admissível de tração de 300 kg/cm², enquanto o ferro laminado 
apresenta resistência de 1250 kg/cm².
Caso a solicitação seja de 100 kg normal à seção transversal da haste, 
o cálculo da área necessária de aço para ferro laminado e ferro fundido é 
realizado conforme a Figura 4.
Figura 4. Dimensionamento da área necessário para dois tipos de ferro diferentes sujeitos 
à mesma solicitação.
Ferro fundido Ferro laminado
Área (A)?
A
kg
kg kg
kg
A
AA
A cm
cm cm
cmA
adm adm
100 kg
Introdução à resistência dos materiais 13
A partir da Figura 4, percebe-se que a bitola (área circular) necessária para 
a haste de ferro fundido é muito maior do que a necessária para a de ferro 
laminado. Assim, caso a dimensão dessa haste seja um fator preponderante 
no projeto, deve ser adotado o ferro laminado. É importante ressaltar que, 
no ambiente de projeto de estruturas, não é apenas a dimensão que permeia 
a escolha do material, devendo também ser analisado o custo do material, 
estabelecendo a relação de custo-benefício nessa etapa.
A comparação entre materiais também ocorre no ambiente de projeto 
de elementos estruturais. Imagine que, no projeto de uma área de lazer, 
o projetista de estruturas precisa escolher entre realizar o projeto dos pi-
lares em madeira ou concreto estrutural. Como visto no Quadro 1, na seção 
anterior, a tensão admissível para a madeira dura sujeita a compressão é de 
80 kg/cm², enquanto para o concreto estrutural é de 45 kg/cm². Considere 
que esse pilar esteja sujeito a uma compressão de 500 kg. O cálculo da área 
necessária para cada material é apresentado na Figura 5.
Figura 5. Dimensionamento da área necessário para madeira dura ou concreto armado para 
um pilar.
Madeira dura
2.500 kg
Concreto estrutural
Área (A)?
A
kg
kg kg
kg
A
AA
A cm
cm cm
cmA
adm adm
A partir da Figura 5, é possível concluir que, caso o projetista queira um 
pilar com uma área de seção transversal menor, deve ser adotado o concreto 
estrutural como material, uma vez que este necessita de uma área bem 
menor para resistir à mesma carga. Essa verificação faz parte da rotina de 
projetistas de diversas áreas da engenharia, tanto na busca pela identificação 
da área simples de elemento (fazendo a relação simples entre tensão admis-
Introdução à resistência dos materiais14
sível, carga e área necessária) como na comparação de materiais diferentes, 
em busca de um material que melhor atenda ao problema ou de alternativas 
mais econômicas para o projeto.
Referências
BAÊTA, F. C.; SARTOR, V. Resistência dos materiais e dimensionamento de estruturas 
para construções rurais. Viçosa, MG: Universidade Federal de Viçosa, 1999. Apostila 
da Disciplina ENG 350. Disponível em: http://arquivo.ufv.br/dea/ambiagro/arquivos/
resistencia.pdf. Acesso em: 20 maio 2021.
BEER, F.; JOHNSTON JUNIOR, E. R. Resistência dos materiais. 3. ed. São Paulo: Pearson, 
2015.
HIBBELER,R. C. Resistência dos materiais. 10. ed. São Paulo: Pearson, 2019. 
PINHEIRO, A.; CRIVELARO, M. Fundamentos de resistência dos materiais. Rio de Janeiro: 
LTC, 2016
Leitura recomendada
BOTELHO, M. Resistência dos materiais: para entender e gostar. 4. ed. Rio de Janeiro: 
McGrawhill, 2015.
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Introdução à resistência dos materiais 15