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TEORIA DAS ESTRUTURAS II 
AULA 2 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Prof.ª Patrícia Fontana 
 
 
2 
CONVERSA INICIAL 
Conforme apresentado no capítulo 1, o estudo das estruturas 
hiperestáticas exige mais cálculos do que apenas a aplicação das equações do 
equilíbrio da estática. No nosso estudo, veremos os dois métodos clássicos de 
análise de estruturas indeterminadas estaticamente, que são o Método das 
Forças e o Método dos Deslocamentos. 
O Método das Forças foi um dos primeiros métodos desenvolvidos para 
análise de estruturas hiperestáticas e, portanto, será o nosso primeiro objeto de 
estudo. 
Neste capítulo, são apresentados os conceitos do método e a sua 
aplicação quando do estudo de duas estruturas: uma viga e um pórtico. 
TEMA 1 – MÉTODO DAS FORÇAS: CONCEITO 
O Método das Forças consiste em um dos procedimentos de cálculo para 
resolução de estruturas hiperestáticas. O método permite a determinação das 
reações de apoio e esforços internos das ditas estruturas indeterminadas 
estaticamente, ou seja, aquelas que apresentam mais do que três incógnitas 
(estruturas planas) ou seis incógnitas (estruturas espaciais), sendo inviável 
solucionar o problema matemático apenas com as equações do equilíbrio da 
estática. 
Então, o Método das Forças inclui nos cálculos a análise das condições 
de compatibilidade dos deslocamentos das estruturas, assim como, as teorias 
clássicas referentes ao comportamento e propriedades dos materiais (Leis 
Constitutivas dos Materiais) para permitir a resolução das estruturas 
hiperestáticas. 
O método resolve os problemas de análise das estruturas na seguinte 
ordem: 
1° Atendimento das condições de equilíbrio pela estrutura; 
2° Aplicação dos conceitos relacionados ao comportamento dos materiais 
(leis constitutivas); 
3° Atendimento das condições de compatibilidade de deslocamentos. 
 
 
3 
Segundo apresentado por Martha (2010), na prática, a metodologia 
utilizada pelo Método das Forças para analisar uma estrutura hiperestática pode 
ser descrita da seguinte forma: 
 
 
 
 
 
 
 Para melhor entendimento do procedimento, considere o exemplo de um 
pórtico plano, apresentado na Figura 1. O primeiro passo da análise de uma 
estrutura pelo Método das Forças se dá com a determinação do grau de 
hiperestaticidade. 
Figura 1 - Exemplo de pórtico plano hiperestático 
 
 O grau de hiperestaticidade pode ser representado por ‘gh’ e consiste no 
número de incógnitas excedentes ao número de equações de equilíbrio. 
 No caso de estruturas planas, são três as equações do equilíbrio global 
da estrutura, quais sejam: 
ΣFx = 0 → somatório de forças na direção horizontal igual a zero; 
“Somar uma série de soluções básicas que satisfazem as 
condições de equilíbrio, mas não satisfazem as condições de 
compatibilidade da estrutura original, para na superposição 
restabelecer as condições de compatibilidade.” 
 
 
4 
ΣFy = 0 → somatório de forças na direção vertical igual a zero; 
ΣMz = 0 → somatório de momentos em torno de ‘z’, em relação a um ponto 
qualquer, igual a zero. 
 No pórtico apresentado observa-se no ponto A um apoio do tipo engaste, 
ou seja, um tipo de apoio que impede os movimentos de translação no sentido 
vertical e horizontal e impede o movimento de rotação, surgindo as reações de 
apoio VA, HA e MA, respectivamente. E no ponto B um apoio do tipo articulado 
fixo, ou seja, um tipo de apoio que impede os movimentos de translação no 
sentido vertical e horizontal, sendo nesse ponto livre a rotação, surgindo as 
reações de apoio VB e HB, respectivamente 
 Então, no caso do pórtico de exemplo, o cálculo do grau de 
hiperestaticidade é dado por: 
 
 5 incógnitas (HA, VA, MA, VB, HB) 
gh = 5 – 3 = 2 
 3 equações do equilíbrio da estática 
 
 Após a definição do grau de hiperestaticidade deve ser obtida uma nova 
estrutura a partir de uma modificação da estrutura original, por meio da 
eliminação de vínculos. Essa nova estrutura é chamada de Sistema Principal 
(SP) e sempre consistirá em uma estrutura isostática. 
 Essa nova estrutura será obtida por meio da eliminação de uma 
quantidade de vínculos igual ao grau de hiperestaticidade. 
 Lembrando que um cada impedimento de movimento ocorre devido à 
existência de um vínculo. Então, no pórtico de exemplo tem-se o impedimento 
de cinco movimentos (3 no ponto A e 2 no ponto B), ou seja, 5 vínculos externos 
(apoios). 
 Uma mesma estrutura pode possuir diversos sistemas principais. 
 No caso de exemplo, um dos sistemas principais possíveis é apresentado 
na Figura 2, em que foi removido um vínculo no ponto A e um vínculo no ponto 
B: 
• No ponto A o apoio foi modificado de forma tal que nesse ponto a rotação 
fique livre, ou seja, o apoio do tipo engaste foi substituído por um apoio do 
tipo articulado fixo. 
 
 
5 
• No ponto B o apoio foi modificado com a liberação do movimento 
horizontal, ou seja, o apoio do tipo articulado fixo foi substituído por um 
apoio do tipo articulado móvel. 
Figura 2 - Estrutura modificada 
 
 Do ponto de vista de equilíbrio de forças observa-se que o pórtico da 
Figura 2 é diferente do pórtico da Figura 1. Então, para reestabelecer as 
condições de equilíbrio, são inseridas forças nos apoios modificados que 
equivalem às reações de apoio que deixaram de existir nesse novo sistema 
estrutural. Essa nova estrutura isostática, obtida por meio da remoção de 
vínculos e na qual foram inseridas forças que equivalem às reações de apoio, é 
o chamado Sistema Principal (SP) do Método das Forças. 
Figura 3 - Sistema principal para análise da estrutura pelo Método das Forças 
 
 
 
6 
As forças ou os momentos associados aos vínculos liberados são as 
incógnitas do problema pelo método das forças e são denominados 
hiperestáticos. Os hiperestáticos serão representados pela letra X, como pôde 
ser visto na Figura 3. 
No pórtico, os esforços associados aos vínculos eliminados são as 
reações de apoio MA e HB, ou seja: 
X1 = MA → reação momento associada ao vínculo de impedimento do movimento 
de rotação no ponto A; 
X2 = HB → reação horizontal associada ao vínculo de impedimento do movimento 
de translação horizontal no ponto B. 
 Observa-se, então, que do ponto de vista de equilíbrio de forças, o sistema 
principal é equivalente à estrutura original. 
Figura 4 - Estrutura original, à esquerda, e sistema principal, à direita 
 
 Apesar de o Sistema Principal atender às condições de equilíbrio de 
forças, ele não atende às condições de compatibilidade de deslocamentos, uma 
vez que é possível observar que na estrutura original a rotação no ponto A e o 
deslocamento horizontal no ponto B são nulos (Figura 5), o que não ocorre no 
sistema principal. 
 
 
 
7 
Figura 5 - Configuração deformada (exagerada) da estrutura de estudo 
 
Para que as condições de compatibilidade de deslocamentos sejam 
atendidas é realizada a chamada superposição de soluções básicas, quando a 
estrutura do Sistema Principal é analisada quando da atuação de cada carga 
isoladamente. 
No método das forças cada solução básica é chamada de Caso básico e 
não satisfaz isoladamente todas as condições de compatibilidade de 
deslocamento da estrutura original, as quais ficam restabelecidas quando se 
superpõem todos os casos básicos. 
A solução do problema acontece com a obtenção dos valores que X1 e X2 
devem ter para, juntamente com o carregamento aplicado na estrutura, recompor 
os vínculos de apoio eliminados. Isto é, procuram-se os valores dos 
hiperestáticos que fazem com que as condições de compatibilidade sejam 
violadas na criação do sistema principal. No caso do exemplo de estudo, significa 
encontrar os valores de X1 e X2 que garantam que a rotação no ponto A e o 
deslocamento horizontal no ponto B sejam nulos. 
Para permitir a obtenção dos valores de X1 e X2 deve ser feita a 
superposiçãode casos básicos, utilizando o SP como estrutura para as soluções 
 
 
8 
básicas, e para cada caso básico devem ser calculados os valores dos 
deslocamentos nos pontos onde foram violadas as condições de 
compatibilidade. 
Ao se somar os deslocamentos de cada caso básico, o valor deve ser 
igual a zero para permitir que as condições de compatibilidade de deslocamento 
da estrutura sejam reestabelecidas. 
O número de casos básicos é sempre igual ao grau de hiperestaticidade 
mais um (g + 1). No exemplo, isso resulta em 3 casos básicos, que serão 
chamados de Caso 0, 1 e 2. 
O Caso Básico (0) é aquele composto pelo SP com a atuação isolada da 
ação externa (carregamento aplicado). No caso do pórtico, a força horizontal de 
20 kN e a força distribuída linear de 5 kN/m, que atua na viga. 
Na Figura 6 é possível observar que essas cargas geram uma rotação no 
ponto A e um deslocamento horizontal no ponto B. Esses valores devem ser 
calculados com uso de equações baseadas nas Leis Constitutivas dos Materiais 
(e que foram vistas nos estudos de Resistência dos Materiais e Teoria das 
Estruturas 1). 
No Método das Forças a rotação δ10 e o deslocamento horizontal δ20, nas 
direções dos vínculos eliminados para a criação do SP, são chamados de termos 
de carga. Segundo apresentado por Martha (2010), um termo de carga é definido 
formalmente como: 
“δi0 → termo de carga: deslocamento ou rotação na direção do vínculo eliminado 
associado ao hiperestático Xi quando atua a solicitação externa isoladamente no 
SP (com hiperestáticos com valores nulos).” 
 
 
 
9 
Figura 6 - Caso 0 → SP com a atuação isolada das ações externas 
(carregamento aplicado) 
 
Obs.: os procedimentos de cálculo para obtenção dos deslocamentos serão 
apresentados nos capítulos que seguem desse material de estudo. 
No exemplo, o sinal negativo da rotação δ10 indica que a rotação tem o 
sentido contrário do que é considerado para o hiperestático X1 no caso (1). De 
maneira equivalente, o sinal positivo de δ20 indica que este deslocamento tem o 
mesmo sentido, que é considerado para o hiperestático X2 no caso (2). 
 O Caso Básico (1) é aquele em que ocorre a atuação de maneira isolada 
do hiperestático X1 (ver Figura 7). Como o valor de X1 é justamente a incógnita 
do problema, considera-se um valor unitário para X1, sendo o deslocamento 
devido a X1 = 1 multiplicado pelo valor final que X1 deverá ter para obtenção do 
valor do deslocamento. 
 
 
 
10 
Figura 7 - Caso 1 → SP com a atuação isolada do hiperestático X1 = 1 
 
Linha tracejada representa a configuração deformada (com fator de amplificação 
igual a 2000) do SP no caso (1). 
A rotação δ11 e o deslocamento horizontal δ21 provocados por X1 = 1, nas 
direções dos vínculos eliminados para a criação do SP, são chamados de 
coeficientes de flexibilidade. 
Segundo Martha (2010), um coeficiente de flexibilidade pode ser definido 
como: 
δ ij → coeficiente de flexibilidade: deslocamento ou rotação na direção do vínculo 
eliminado associado ao hiperestático Xi devido a um valor unitário do 
hiperestático Xj atuando isoladamente no SP. 
O Caso Básico (2) é aquele em que ocorre a atuação de maneira isolada 
do hiperestático X2 (ver Figura 8). Assim como acontece para X1, o valor de X2 é 
justamente uma das incógnitas do problema, sendo necessário considerar um 
valor unitário para X2. É obtido, então, o deslocamento devido a uma carga 
unitária (X2 = 1), o qual será multiplicado pelo valor final de X2 para obtenção do 
valor do deslocamento devido a esse caso básico. 
 
 
 
 
11 
Figura 8 - Caso 2 → SP com a atuação isolada do hiperestático X2 = 1 
 
Linha tracejada representa a configuração deformada (com fator de amplificação 
igual a 2000) do SP no caso (2). 
A etapa final do método consiste em utilizar a superposição de efeitos 
para restabelecer as condições de compatibilidade violadas na criação do 
SP. Ou seja, no pórtico de estudo sabemos que o deslocamento de rotação do 
ponto A e o deslocamento horizontal no ponto B são nulos. Então: 
• Superposição das rotações do nó inferior esquerdo (nó A): 
θA = 0 (rotação no ponto A é nula na estrutura de estudo) 
δ10 + δ11 . X1 + δ12 . X2 = 0 
• Superposição dos deslocamentos horizontais no nó inferior direito (nó B): 
ΔBH = 0 (deslocamento horizontal no ponto B é nulo na estrutura de estudo) 
δ20 + δ21.X1 + δ22.X2 = 0 
 E assim obtém-se o chamado Sistema de equações de compatibilidade: 
 
 Ao se resolver esse sistema de equações de compatibilidade são obtidos 
os seguintes valores das reações de apoio X1 e X2: 
 
 
12 
X1 = +13,39 kN.m → X1 representa a reação momento no ponto A (MA), por isso 
a unidade é kN.m. 
X2 = −17,29 kN → X2 representa a reação de força horizontal no ponto B (HB), 
por isso a unidade é kN. 
 O sinal de X1 é positivo, pois tem o mesmo sentido (anti-horário) do que 
foi arbitrado para X1 = 1 no caso (1), e o sinal de X2 é negativo, pois tem o sentido 
contrário (da direita para a esquerda) ao que foi arbitrado para X2 = 1 no caso 
(2), como representado na Figura 9. 
Figura 9 - Reações de apoio obtidas com a aplicação do Método das Forças 
 
TEMA 2 – MÉTODO DAS FORÇAS: PROCEDIMENTO DE ANÁLISE EM 
RESUMO 
Para facilitar o entendimento da aplicação do método no estudo das 
estruturas hiperestáticas é apresentado, a seguir, a sequência de análise que 
será utilizada na solução das estruturas de exemplo a serem estudadas. 
 
 
 
 
13 
• 1º passo: determinação do grau de hiperestaticidade (gh); 
• 2º passo: definição da estrutura fundamental ou sistema principal por meio 
da remoção de vínculos. O SP deve sempre ser uma estrutura isostática, 
ou seja, uma estrutura em equilíbrio; 
• 3º passo: discretização: montagem dos casos básicos e determinação dos 
deslocamentos para cada um dos casos básicos. 
Caso 0 – carregamento real. 
Demais casos devido aos hiperestáticos (Caso 1, 2 etc.). 
δ i0 → termo de carga: deslocamento ou rotação na direção do vínculo eliminado 
associado ao hiperestático Xi quando atua a solicitação externa isoladamente no 
SP (com hiperestáticos com valores nulos). 
δ ij → coeficiente de flexibilidade: deslocamento ou rotação na direção do vínculo 
eliminado associado ao hiperestático Xi devido a um valor unitário do 
hiperestático Xj atuando isoladamente no SP. 
• 4º passo: aplicação da(s) equação(ões) de compatibilidade – 
deslocamentos nos apoios são nulos. Com a resolução do sistema de 
equações são determinados os valores dos hiperestáticos. 
TEMA 3 – EXEMPLO 2.1: VIGA SUBMETIDA A CARREGAMENTO 
DISTRIBUÍDO LINEAR 
Ao lado é apresentado o modelo estrutural 
de uma viga hiperestática e um dos 
possíveis sistemas principais para 
resolução pelo Método das Forças. 
Considerando o sistema principal 
apresentado, determinar o valor dos 
hiperestáticos X1 e X2. 
Dados: 
Viga com rigidez à flexão (EI) constante 
em todos os vãos. 
 
 
 
 
 
 
14 
Solução: 
 
1º Determinação do grau de hiperestaticidade 
gh = 5 – 3 = 2 
2º Escolha do sistema principal 
 
3º Montagem dos casos básicos e cálculo dos deslocamentos 
No estudo de vigas, os deslocamentos nos casos básicos podem ser 
determinados com o auxílio de tabelas de deflexões e rotações, que são 
normalmente encontradas em livros de Resistência dos Materiais ou Mecânica 
das Estruturas, como é o caso das tabelas disponibilizadas no Anexo A e 
transpostas parcialmente ao longo da presente resolução. 
Caso 0 
 
 
 
 
15 
𝛿𝛿10 = 2 × 62
24𝐸𝐸𝐸𝐸
(6 × 102 − 4 × 10 × 6 + 62) = −1.188
𝐸𝐸𝐸𝐸
 
𝛿𝛿20 = 2 × 102
8𝐸𝐸𝐸𝐸
= −2.500
𝐸𝐸𝐸𝐸
 
Caso 1 
 
 
 
𝛿𝛿11 = 62
6𝐸𝐸𝐸𝐸
(3 × 6 − 6) = 72
𝐸𝐸𝐸𝐸
 
𝛿𝛿21 = 62
6𝐸𝐸𝐸𝐸
(3 × 10 − 6) = 144
𝐸𝐸𝐸𝐸
 
 
 
 
16 
Caso 2 
 
𝛿𝛿12 = 62
6𝐸𝐸𝐸𝐸
(3 × 10 − 6) = 144
𝐸𝐸𝐸𝐸
 
𝛿𝛿22 = 1×103
3𝐸𝐸𝐸𝐸
= 333,33
𝐸𝐸𝐸𝐸
 
4º Equações de compatibilidade dos deslocamentosA compatibilidade dos deslocamentos da estrutura de análise é 
reestabelecida quando se somam os deslocamentos de cada um dos casos 
básicos com as seguintes condições: 
ΔBV = 0 (deslocamento vertical no ponto B é nulo) 
ΔCV = 0 (deslocamento vertical no ponto C é nulo) 
Como a rigidez à flexão (EI) é constante em toda a viga, é possível 
escrever as equações de compatibilidade da seguinte forma. 
72.X1 + 144.X2 – 1.188 = 0 
144.X1 + 333,33.X2 – 2.500 = 0 
 Uma outra forma de apresentar essas equações é da forma matricial, 
conforme segue: 
 
 Vetor dos hiperestáticos 
� 72 1444
144 333,33� × �X1X2
� + �−1.188
−2.500� = 0 
 
 Matriz de flexibilidade Vetor dos termos de carga 
 
Essa forma matricial de representação do sistema é escolhida nos casos 
de estruturas com elevado grau de hiperestaticidade e que exige, portanto, uma 
série de cálculos matemáticos para solução do problema. 
 
 
17 
Com esse formato também é possível observar que a matriz de 
flexibilidade sempre será simétrica. Isso será mais bem fundamentado no Tópico 
4 desta abordagem. 
Então, os valores dos hiperestáticos são calculados obtendo-se os 
seguintes resultados. 
X1 = 11,03 tf → reação de apoio vertical no ponto B da estrutura em análise. 
X2 = 2,74 tf → reação de apoio vertical no ponto C da estrutura em análise. 
5º Cálculo das demais reações de apoio e esforços internos 
Após obtenção das reações de apoio representadas pelos hiperestáticos 
X1 e X2 é possível aplicar as equações do equilíbrio da estática para obtenção 
das demais reações de apoio e posterior determinação dos esforços internos, 
que são apresentados nas imagens que são apresentadas a seguir. 
• Diagrama de esforços cortantes 
 
• Diagrama de momentos fletores 
 
• Configuração deformada (exagerada) da viga e reações de apoio 
 
 
 
18 
TEMA 4 – TEOREMA DE MAXWELL DE DESLOCAMENTOS RECÍPROCOS: LEI 
DE BETTI 
O Método das Forças é assim chamado pois as incógnitas são forças (ou 
momentos). Outro nome dado ao método é Método da Compatibilidade ou 
Método da Flexibilidade, pois as equações finais expressam condições de 
compatibilidade de deslocamentos e envolvem coeficientes de flexibilidade em 
sua solução. 
Segundo apresentado por Hibbeler (2013), o método das forças foi 
desenvolvido por James Clerk Maxwell, em 1864, sendo um dos primeiros 
métodos disponíveis para análise de estruturas hiperestáticas. Na mesma época 
de desenvolvimento do método, Maxwell publicou sobre um teorema que 
relaciona os coeficientes de flexibilidade de quaisquer dois pontos em uma 
estrutura elástica, que possui o seguinte enunciado: 
 
 
 
 
 
 
Então, segundo o Teorema de Maxwell, a matriz de flexibilidade do 
Método das Forças será sempre simétrica. Ou seja: 
δ ji = δ ij . 
TEMA 5 – EXEMPLO 2.2: PÓRTICO E APLICAÇÃO DAS TABELAS DE 
SOLUÇÃO DE INTEGRAIS DE MOMENTOS 
Outra forma para obtenção dos deslocamentos dos sistemas principais 
consiste na aplicação do Princípio dos Trabalhos Virtuais, como visto no estudo 
de Teoria das Estruturas 1, o qual será aplicado para análise da estrutura 
descrita a seguir. 
 Na Figura 10 é apresentado um pórtico metálico, que serve de apoio ao 
tabuleiro de um viaduto. Considere que a carga atuante no pórtico metálico 
decorrente do peso do tabuleiro seja de 40 kN/m e uma rigidez à flexão (EI) 
“O deslocamento de um ponto B em uma estrutura em razão de 
uma carga unitária atuando no ponto A é igual ao deslocamento 
no ponto A quando a carga unitária está atuando no ponto B, isto 
é, δAB = δBA.” 
 
 
19 
constante em todo o pórtico metálico. Quais são as reações de apoio existentes 
na estrutura? 
Figura 10 - Pórtico metálico de suporte do tabuleiro de um viaduto 
 
Crédito: Wasteresley Lima. 
Figura 11 - Modelo de análise do pórtico biapoiado de suporte do tabuleiro de 
um viaduto 
 
Solução: 
1º Determinação do grau de hiperestaticidade 
gh = 5 – 3 = 2 
 
 
20 
2º Escolha do sistema principal 
Figura 12 - Sistema principal para estudo do pórtico pelo Método das Forças 
 
3º Montagem dos casos básicos e cálculo dos deslocamentos 
Analisando o sistema principal da Figura 12 é possível observar que no 
ponto A o movimento horizontal é livre, o que não ocorre na estrutura original, 
onde existe um apoio articulado fixo e, então, o deslocamento horizontal é nulo. 
Portanto, na análise dos casos básicos serão buscados os valores dos 
deslocamentos horizontais no ponto A para, posteriormente, se fazer a 
sobreposição dos casos básicos a fim de restabelecer as condições de 
compatibilidade dos deslocamentos. 
Caso 0 
 O caso (0) consiste na análise do SP quando da consideração isolada da 
atuação dos carregamentos externos, no caso, o efeito da carga distribuída linear 
na viga. 
 
 
 
21 
Figura 13 - Sistema principal para estudo do pórtico pelo Método das Forças com 
a atuação do carregamento externo 
 
δ10 → deslocamento vertical no ponto do apoio eliminado associado a X1 
provocado pelo carregamento externo no caso (0). 
Para aplicação do PTV na determinação dos deslocamentos em uma 
estrutura isostática é necessário aplicar uma carga unitária virtual no ponto e na 
direção onde se deseja obter o deslocamento, ou seja, uma carga unitária 
horizontal no ponto A, uma vez que o que se busca é encontrar o deslocamento 
horizontal no ponto A (δ10). 
 
O sistema indicado acima trata-se do sistema virtual. E o sistema real é 
indicado na imagem que segue. 
 
 
22 
 
Aplica-se, então, a equação de obtenção de deslocamentos pelo PTV, 
dada por: 
 
Caso 1 
No caso (1) deve ser calculado o valor do deslocamento horizontal no 
ponto A (coeficiente de flexibilidade δ11) devido à atuação do hiperestático X1 = 1 
de maneira isolada no SP. 
 
 
 
23 
Figura 14 - Sistema principal para estudo do pórtico pelo Método das Forças com 
a atuação do hiperestático X1 = 1 
 
δ11 → deslocamento vertical no ponto do apoio eliminado associado a X1 
provocado por X1 = 1 no caso (1). 
Para isso será utilizado o PTV, aplicando uma carga unitária virtual no 
ponto e na direção onde se deseja obter o deslocamento, ou seja, uma carga 
unitária horizontal no ponto A, uma vez que o que se busca é encontrar o 
deslocamento horizontal no ponto A devido ao hiperestático X1 (δ11). 
 
O sistema indicado acima trata-se do sistema virtual. E o sistema real é 
aquele em que atua o hiperestático X1. 
 
 
24 
 
Observe que, no caso da obtenção do coeficiente de flexibilidade (δ11), o 
sistema virtual e o real são os mesmos. 
Aplicando-se a equação de obtenção de deslocamentos pelo PTV, dada 
por: 
 
Tem-se: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Aplicando a tabela de solução de integral de momentos ao invés de se 
calcular os momentos em função de x, devem ser desenhados os diagramas de 
esforços internos. 
Caso 0 
 
Com esse exemplo é possível observar que o cálculo dos 
deslocamentos em estruturas isostáticas pode resultar em 
integrais que demandam muitos cálculos, sendo que foram 
desenvolvidos métodos gráficos para solução das integrais, que 
facilitam a resolução. 
O uso do método gráfico citado é apresentado a seguir. 
 
 
25 
Real 
 
Virtual 
 
𝛿𝛿10 = 
�12 × 5 × 1.000 × (−5) + 1
2 × 5 × 1000 × (−5) + 10 × 1.000 × (−5) + 2
3 × 10 × 500 × (−5)�
𝐸𝐸𝐸𝐸
 
𝛿𝛿10 = 
−91.666,67
𝐸𝐸𝐸𝐸
 
 
 
 
 
 
26 
Caso 1 
Real 
Virtual 
 
𝛿𝛿11 = 
�13 × 5 × (−5) × (−5) + 1
3 × 5 × (−5) × (−5) + 20 × (−5) × (−5)�
𝐸𝐸𝐸𝐸
 
𝛿𝛿11 = 
583,33
𝐸𝐸𝐸𝐸
 
4º Equações de compatibilidade dos deslocamentos. 
A condição de compatibilidade de deslocamentos é reestabelecida 
quando se diz que o deslocamento horizontal no ponto A é nulo, uma vez que 
nesse ponto existe um apoio fixo no pórtico de estudo. Então: 
ΔAH = 0 (deslocamento horizontal no ponto A é nulo) 
 
 
27 
Como a rigidez é constante, o valor de X1 independe do parâmetro EI 
(rigidez à flexãoda viga), o qual é eliminado na solução da equação de 
compatibilidade. 
583,33.X1 + -91.666,67 = 0 
X1 = 157 kN → reação de apoio horizontal no ponto A da estrutura em análise. 
5º Cálculo das demais reações de apoio e esforços internos 
Após obtenção da reação de apoio representada pelo hiperestático X1 é 
possível aplicar as equações do equilíbrio da estática para obtenção das demais 
reações de apoio e posterior determinação dos esforços internos, que são 
apresentados nas imagens que seguem. 
• Reações de apoio 
 
• Diagrama de esforços normais 
 
• Diagrama de esforços cortantes 
 
 
28 
 
• Diagrama de momentos fletores 
 
FINALIZANDO 
Nesta abordagem, foram iniciados os estudos de estruturas hiperestáticas 
com a apresentação dos conceitos do Método das Forças e sequência de 
análise, assim como, apresentação de dois exemplos. 
No exemplo 2.1 foi realizado o estudo de uma viga submetida a um 
carregamento distribuído linear, e no exemplo 2.2 foi feito o estudo de um pórtico, 
quando foi apresentado, ainda, o procedimento de cálculo com o uso da tabela 
de solução de integral de momento, que consiste em uma forma de cálculo mais 
simples no caso do estudo de pórticos. 
 
 
 
29 
REFERÊNCIAS 
HIBBELER, R. C. Análise de estruturas. São Paulo: Pearson Education do 
Brasil, 2013. 
HIBBELER, R. C. Structural analysis. New Jersey: Pearson Education River, 
2012. 
MARTHA, L. F. Análise de estruturas. Conceitos e métodos básicos. 2. ed. São 
Paulo: Editora Elsevier, 2010. 560 p. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
30 
ANEXO A – TABELA DE DEFLEXÕES E INCLINAÇÕES EM VIGAS 
Fonte: Hibbeler (2013). 
 
 
 
 
31 
 
 
32 
 
 
33 
 
 
34 
 
 
 
35 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
36 
ANEXO B – TABELA PARA CÁLCULO DA INTEGRAL DE MOMENTOS 
Fonte: Martha (2010). 
 
 
	Conversa inicial
	FINALIZANDO
	REFERÊNCIAS