apostila completa sistemas estruturais 2

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SISTEMAS ESTRUTURAIS II
Profª. Esp. Renata de Oliveira Marinho 
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SISTEMAS ESTRUTURAIS II
PROFª. ESP. RENATA DE OLIVEIRA MARINHO
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© 2024, Editora Prominas.
 
Este livro ou parte dele não podem ser reproduzidos por qualquer meio sem Autoriza-
ção escrita do Editor.
Ficha catalográfica elaborada pela bibliotecária Melina Lacerda Vaz CRB – 6/2920.
 Diretor Geral: Prof. Esp. Valdir Henrique Valério
 Diretor Executivo: Prof. Dr. William José Ferreira
 Ger. do Núcleo de Educação a Distância: Profa Esp. Cristiane Lelis dos Santos
Coord. Pedag. da Equipe Multidisciplinar: Profa. Me. Cristiane Lelis dos Santos
 Revisão Gramatical e Ortográfica: Profª. Elislaine Santos
 Revisão Técnica: Lívia Pimenta
 
 Revisão/Diagramação/Estruturação: Bruna Luiza Mendes 
 Lorena Oliveira Silva Portugal 
 
 Design: Bárbara Carla Amorim O. Silva 
 Daniel Guadalupe Reis
 Élen Cristina Teixeira Oliveira 
 Maria Eliza Perboyre Campos 
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SISTEMAS ESTRUTURAIS II
1° edição
Ipatinga, MG
Editora Prominas
2024
5
 Graduada em Engenharia Ci-
vil pela Universidade Federal Rural do 
Semi-Árido (UFERSA), bacharelada em 
Ciência e Tecnologia na Universidade 
Federal Rural do Semi-Árido (UFERSA). 
Especialista em cálculo estrutural e 
fundações pela Faculdade Integrada 
de Patos (FIP). Desenvolvi atividades 
junto a Empresa Júnior de Engenha-
ria Civil da UFERSA, Pilares Engenha-
ria Júnior, como Membro da Diretoria 
de Recursos Humanos e na execução 
de projetos. Fiz parte do programa de 
monitoria no ano de 2017. Atuei no GPE 
(Grupo de Pesquisa em Eletroquímica) 
com trabalhos sobre Galvanoplastia, 
do GEEP (Grupo de Engenharia de Es-
truturas e Pavimentação) e desenvolvi 
pesquisa em patologias de estrutu-
ras, principalmente, com estruturas de 
concreto armado. Participei de obras 
de energia eólica - obra LDB ? amplia-
ção de SE coletora e RMT- atuando no 
acompanhamento e gestão das ativi-
dades desenvolvidas para a amplia-
ção do parque eólico em Lagoa do 
Barro ? PI. Também atuei como pro-
fessora substituta no IFPB ? Campus 
Guarabira, lecionando no curso técni-
co em edificações. ,
RENATA DE OLIVEIRA 
MARINHO
Para saber mais sobre a autora desta obra e suas qua-
lificações, acesse seu Curriculo Lattes pelo link :
http://lattes.cnpq.br/2220076890879510
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LEGENDA DE
Ícones
Trata-se dos conceitos, definições e informações importantes 
nas quais você precisa ficar atento.
Com o intuito de facilitar o seu estudo e uma melhor compreensão 
do conteúdo aplicado ao longo do livro didático, você irá encontrar 
ícones ao lado dos textos. Eles são para chamar a sua atenção para 
determinado trecho do conteúdo, cada um com uma função específica, 
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virtual, relacionados ao conteúdo apresentado no livro.
Espaço para reflexão sobre questões citadas em cada unidade, 
associando-os a suas ações.
Atividades de multipla escolha para ajudar na fixação dos 
conteúdos abordados no livro.
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palavras mostradas no decorrer do livro.
 
 
 
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VAMOS PENSAR?
FIXANDO O CONTEÚDO
GLOSSÁRIO
7
UNIDADE 1
UNIDADE 2
SUMÁRIO
1.1 Objetivo da análise estrutural ..................................................................................................................................................................................................................................................10
1.2 Noções preliminares das estruturas em barras ........................................................................................................................................................................................................10
1.3 Componentes e sistemas estruturais ...............................................................................................................................................................................................................................13
1.4 Condições básicas da análise estrutural .......................................................................................................................................................................................................................16
1.5 Métodos básicos da análise estrutural ............................................................................................................................................................................................................................16
1.6 Comportamento linear e superposição de efeitos .................................................................................................................................................................................................18
FIXANDO O CONTEÚDO ........................................................................................................................................................................................................................................................................20
2.1 Trabalho de forças externas e energia de deformação .....................................................................................................................................................................................24
2.2 Princípio dos Trabalhos Virtuais ..........................................................................................................................................................................................................................................25
2.3 Princípio das Forças Virtuais ..................................................................................................................................................................................................................................................26
2.4 Princípio dos Deslocamentos Virtuais ............................................................................................................................................................................................................................29
FIXANDO O CONTEÚDO ........................................................................................................................................................................................................................................................................33
CONCEITOS BÁSICOS DE ANÁLISE ESTRUTURAL
PRINCÍPIO DOS TRABALHOS VIRTUAIS
UNIDADE 3
3.1 Aplicação do teorema dos trabalhos virtuais aos corpos elásticos .........................................................................................................................................................37
3.2 Uso de tabelas para os cálculos dos momentos reais e virtuais ...............................................................................................................................................................38
FIXANDO O CONTEÚDO .......................................................................................................................................................................................................................................................................42
CÁLCULO DE DESLOCAMENTOS EM ESTRUTURAS
UNIDADE 4
4.1 Conceitos introdutórios ..............................................................................................................................................................................................................................................................467. 
 São três as equações fundamentais para garantir o equilíbrio global da estrutura 
no plano:
 ΣFx = 0 → o resultado da soma das forças na direção horizontal é nulo;
 ΣFy = 0 → o resultado da soma das forças na direção vertical é nulo;
 ΣMo = 0 → o resultado da soma dos momentos em relação a um ponto qualquer 
é nulo.
 Dada a hiperestaticidade da estrutura, a determinação das reações de apoio 
não é viável mediante as apenas três equações de equilíbrio disponíveis. O excesso 
de incógnitas em relação ao número de equações de equilíbrio é expresso como 
(SUSSEKIND, 1980):
 g → grau de hiperestaticidade
 No exemplo mencionado, tem-se g = 2.
 Para empregar o método das forças, escolhe-se um conjunto de redundantes 
estáticas Xi, cuja remoção da estrutura hiperestática a converte em isostática. Esse 
modelo isostático é identificado como o sistema principal e designado neste compêndio 
por SP (SORIANO; LIMA, 2004).
 Na Figura, podemos observar uma viga hiperestática e suas várias opções de 
Sistemas Principais.
 Após a seleção de um sistema principal, este método implica na formulação 
de equações de compatibilidade de deslocamentos nas direções das redundantes 
estáticas escolhidas, por meio de um procedimento de superposição de esforços (LOPEZ, 
Figura 11: Viga hiperestática e sistemas principais
Fonte: Soriano e Lima (2004)
48
2018).
 Note na Figura 9 o SP respectivo a estrutura apresentada na Figura.
 Na Figura, nota-se a remoção de dois vínculos externos da estrutura original, 
onde a ausência da imposição de rotação θA no apoio à esquerda e a inexistência de 
deslocamento horizontal no apoio à direita. O número de vínculos a serem eliminados 
para converter a estrutura hiperestática original em uma estrutura isostática é igual ao 
grau de hiperestaticidade, g. A seleção do Sistema Principal (SP) é arbitrária; qualquer 
estrutura isostática escolhida é válida, desde que demonstre estabilidade estática 
(LOPEZ, 2018; MARTHA, 2022).
Figura 12: Sistema Principal adotado para solução da estrutura
Fonte: Martha (2022)
 A resolução do problema através do método das forças consiste em determinar 
os valores que X1 e X2 devem assumir para, em conjunto com a carga aplicada, restaurar 
os vínculos de apoio que foram removidos. Em outras palavras, busca-se os valores 
dos hiperestáticos que, ao lado das condições de compatibilidade violadas durante a 
criação do Sistema Principal (SP), θA = 0 e ΔHB = 0, restabeleçam tais condições.
 A determinação de X1 e X2 ocorre por meio da sobreposição de cenários 
fundamentais, utilizando o Sistema Principal (SP) como estrutura para as soluções 
fundamentais. O número de cenários fundamentais é sempre equivalente ao grau de 
hiperestaticidade acrescido de um (g + 1). Para o exemplo da Figura, tal dinâmica resulta 
nos cenários (0), (1) e (2).
 Caso (0) – Solicitação externa (carregamento) isolada no SP
 O cenário fundamental ou caso (0), apresentado na Figura 10, isola o impacto da 
solicitação externa (carregamento aplicado) no Sistema Principal (SP). A representação 
visual exibe a conformação deformada (com fator de amplificação igual a 20) do SP no 
cenário (0). A rotação δ10 e o deslocamento horizontal δ20, nas direções dos vínculos 
eliminados para a criação do SP, são designados como termos de carga. Formalmente, 
um termo de carga é definido como:
 δi0 → termo de carga: deslocamento ou rotação na direção do vínculo eliminado 
associado ao hiperestático Xi quando a solicitação externa atua isoladamente no SP 
(com hiperestáticos com valores nulos).
 Neste exemplo, os dois termos de carga podem ser calculados utilizando o 
princípio das forças virtuais (PFV).
4.3 DETERMINAÇÃO DOS TERMOS DE CARGA E 
COEFICIENTES DE FLEXIBILIDADE
49
 Caso (1) – Hiperestático X1 isolado no SP
 Na Figura 11, vislumbra-se a representação deformada do SP no contexto do caso 
(1). Destaca-se o hiperestático X1, pois ele figura como uma incógnita na resolução do 
problema. Adota-se um valor unitário para X1, e o efeito resultante de X1 = 1 é multiplicado 
pelo valor final que X1 deve alcançar. Os efeitos na rotação δ11 e no deslocamento 
horizontal δ21, causados por X1 = 1, nas direções dos vínculos previamente eliminados 
para criar o SP, são denominados coeficientes de flexibilidade. Formalmente, define-se 
um coeficiente de flexibilidade como (SUSSEKIND, 1980).
 Δij → coeficiente de flexibilidade: deslocamento ou rotação na direção do vínculo 
eliminado associado ao hiperestático xi, provocado por um valor unitário do hiperestático 
Xj atuando isoladamente no SP.
 Os valores dos coeficientes de flexibilidade do caso (1), são calculados pelo PFV.
Figura 13: Caso (0)
Fonte: Martha (2022)
Figura 14: Caso (1)
Fonte: Martha (2022)
Neste cenário específico, a indicação negativa da rotação δ10 denota que a rotação ocor-
re no sentido oposto ao inicialmente considerado para o hiperestático X1 no caso (1) sub-
sequente. Analogamente, a expressão positiva de δ20 evidencia que esse deslocamento 
ocorre na mesma direção inicialmente considerada para o hiperestático X2 no caso (2) 
a seguir.
FIQUE ATENTO
50
 A partir dos resultados obtidos nos cenários apresentados, emprega-se a 
superposição de efeitos para restaurar as condições de compatibilidade infringidas 
durante a criação do SP. Este procedimento é executado da seguinte maneira.
• Superposição das rotações no ponto inferior esquerdo (ponto A):
 δ10 + δ11 X1 + δ12 X2 = 0
• Superposição dos deslocamentos horizontais no ponto inferior direito (ponto B):
 δ20 + δ21 X1 + δ22 X2 = 0
• Conjunto de equações de compatibilidade:
 A resolução deste conjunto de equações de compatibilidade fornece os seguintes 
valores para as reações de apoio X1 e X2:
 X1 = +13.39 kNm
 X2 = −17.29 kN
4.4 FORMULAÇÃO DO SISTEMA DE EQUAÇÕES DE COMPATIBILIDADE 
E OBTENÇÃO DOS HIPERESTÁTICOS
 Caso (2) – Hiperestático X2 isolado no SP
 De forma análoga ao exemplo anterior, destaca-se o hiperestático X2, considerando 
um valor unitário multiplicado pelo seu valor final. As consequências na rotação δ12 
e no deslocamento horizontal δ22, provocados por X2 = 1, nas direções dos vínculos 
removidos para a formação do SP, também são considerados como coeficientes de 
flexibilidade. As unidades desses coeficientes, por definição, correspondem a unidades 
de deslocamento ou rotação divididas pela unidade do hiperestático X2.
Figura 15: Caso (2)
Fonte: Martha (2022)
Por que os valores de δ12 e δ21 são iguais? Isso não é coincidência. Os coeficientes δ ij e δ ji, 
sendo i e j índices de hiperestáticos, sempre serão iguais. Isso é demonstrado pelo teore-
ma de Maxwell – versão para forças generalizadas unitárias impostas. 
VAMOS PENSAR?
51
 De acordo com Martha (2022), a conclusão da análise estrutural não se encerra 
com a determinação dos valores dos hiperestáticos X1 e X2. A obtenção dos diagramas 
de esforços internos e dos deslocamentos da estrutura também se mostra imperativa. 
Existem duas abordagens distintas para alcançar tal objetivo:
• Desenvolver o cálculo em uma estrutura isostática (o sistema principal) enquanto 
o carregamento é aplicado simultaneamente aos hiperestáticos, considerando os 
valores corrigidos encontrados. Nessa abordagem, os hiperestáticos são tratados 
como forças e momentos inerentes ao carregamento.
• Utilizar a superposição dos casos básicos para determinar os esforços internos (ou 
deslocamentos) finais.
 Embora a primeira opção possa aparentar simplicidade, a segunda é, de fato, a 
preferida na maioria das soluções. A razão para tal preferência reside no fato de que o 
cálculo dos termos de carga e dos coeficientes de flexibilidade, por meio do Princípio 
das Forças Virtuais (PFV), exige o conhecimento dos diagramas de esforços internos dos 
casos básicos (0), (1) e (2). Assim, uma vez que esses diagramas já estão disponíveis, 
os esforços internos finais da estrutura hiperestática original são determinados pela 
superposição dos esforços internos dos casos básicos. A título de exemplo, os momentos 
fletoresfinais (M) podem ser obtidos pela soma dos diagramas de momentos fletores 
(Mi) dos casos básicos:
M=M0+M1⋅X1+M2⋅X2
4.5 REAÇÕES DE APOIO E ESFORÇOS EXTERNOS
Figura 16: Valores e sentidos dos hiperestáticos
Fonte: Martha (2022)
 O sinal de X1 é positivo, indicando a mesma direção (anti-horário) escolhida para 
X1 = 1 no caso (1), enquanto o sinal de X2 é negativo, representando a direção oposta (da 
direita para a esquerda) àquela estabelecida para X2 = 1 no caso (2).
No livro de Soriano e Lima (2004), no qual retrata sobre análise de estruturas – 
método das forças e dos deslocamentos, possui um amplo conteúdo sobre o 
tema abordado e sugiro a leitura dos capítulos referentes ao mesmo, pois irá 
agregar muito ao conhecimento prático do método apresentado. Disponível em: 
https://l1nq.com/CJ4Py. Acesso em 20 fev. 2024.
BUSQUE POR MAIS
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 O diagrama M0 corresponde ao caso (0), enquanto os diagramas M1 e M2 são 
ocasionados por valores unitários dos hiperestáticos nos casos (1) e (2), respectivamente.
53
FIXANDO O CONTEÚDO
1. (Adaptada de Objetiva Concursos – 2019) A respeito do Método das Forças, assinalar 
a alternativa que preenche as lacunas abaixo CORRETAMENTE:
A metodologia utilizada pelo Método das Forças para analisar uma estrutura 
__________ é somar uma série de soluções básicas que satisfazem as condições 
de ___________, mas não satisfazem as condições de ___________ da estrutura 
original.
a) hiperestática - equilíbrio - compatibilidade
b) hiperestática - compatibilidade - equilíbrio
c) isostática - estaticidade - equilíbrio
d) hiperestática - estaticidade – compatibilidade
e) hipostática - equilíbrio - compatibilidade
2. Calcule as reações de apoio da viga hiperestática apresentada na figura a seguir e 
assinale a alternativa que apresenta Va, Vb e Vc, respectivamente.
a) Va = 5,667 kN; Vb = 45 kN; Vc = 16,800 kN
b) Va = 5,667 kN; Vb = 42,133 kN; Vc = 16,200 kN
c) Va = 5,447 kN; Vb = 42,133 kN; Vc = 16,800 kN
d) Va = 5,667 kN; Vb = 42,133 kN; Vc = 16,845 kN
e) Va = 5,447 kN; Vb = 41,133 kN; Vc = 16,200 kN
3. (ESAF – 2013) Através do Método das Forças, calcular a reação de apoio (V4) do nó 4, 
da treliça abaixo (existem outras reações: H1, H5 e V5). Considere os nós como rótulas 
perfeitas. Todas as barras têm inércia EA. A redundante escolhida foi a reação vertical 
do nó 4, V4. Note que os esforços normais nas barras foram fornecidos. As barras são 
identificadas pelos seus nós iniciais Ni e nós finais Nf. Na tabela abaixo: N0 são os esforços 
nas barras para os carregamentos originais e N1 são os esforços para uma força unitária 
para cima aplicada no nó 4 (todos os esforços sem a redundante escolhida) e L são os 
comprimentos das barras.
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a) V4= 0,304 kN.
b) V4= 3,71 kN.
c) V4= 3,29 kN.
d) V4= 5,71 kN.
e) V4= 4,00 kN.
4. (Adaptada de UECE – 2008) No estudo da Análise Estrutural há o “Método das Forças” 
e o “Método dos Deslocamentos”. Nos itens que se seguem, existem definições de 
algumas propriedades de cada método.
I. Metodologia: Superpor uma série de soluções estaticamente determinadas 
(isostáticas), que satisfazem às condições de equilíbrio da estrutura, para obter uma 
solução final que, também, satisfaz às condições de compatibilidade.
II. Número de incógnitas: É o número de incógnitas excedentes das equações de 
compatibilidade, denominado grau de hipergeometria.
III. Ideia básica: Determinar, dentro do conjunto de soluções em forças que satisfazem 
as condições de equilíbrio, qual a solução que faz com que as condições de 
compatibilidade também sejam satisfeitas.
Temos propriedade do Método dos Deslocamentos:
a) Apenas, no item I.
b) Apenas, no item II.
c) Apenas, nos itens I e III.
d) Apenas nos itens II e III.
e) Apenas, no item III.
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5. (IFES – 2023) Conhecer a estabilidade estática de uma estrutura é importante, 
pois orienta o método de análise a se empregar e contribui para a compreensão do 
comportamento físico estrutural. A identificação do grau de indeterminação estática 
(𝑔𝑇) depende dos vínculos com o meio exterior e dos vínculos internos. Para a estrutura 
seguinte, composta por nove elementos de pórtico plano, pode-se afirmar sobre sua 
estabilidade estática:
a) Isostática, com 𝑔𝑇 igual 1
b) Hiperestática, com 𝑔𝑇 igual a 3
c) Isostática, com 𝑔𝑇 igual a 0
d) Hipostática, com 𝑔𝑇 igual a -2
e) Hiperestática, com 𝑔𝑇 igual a 2
6. (CESPE – 2023) 
A figura anterior apresenta uma estrutura que, em função do número de reações de 
apoio ou vínculos que possui, pode ser classificada como
a) Hipostática.
b) Isostática.
c) Treliça plana.
d) Hiperestática.
e) Estaticamente indeterminada.
56
7. (FCC – 2022) A viga hiperestática da figura está submetida a uma carga uniformemente 
distribuída de 40kN/m ao longo de seus dois tramos.
A reação no apoio intermediário é
a) 290 kN.
b) 250 kN.
c) 310 kN.
d) 180 kN.
e) 200 kN.
8. Assinale a alternativa correta a respeito do Método das forças.
a) Somar uma série de soluções básicas que satisfazem as condições de equilíbrio, 
mas não satisfazem as condições de compatibilidade da estrutura original, para, na 
superposição, restabelecer as condições de compatibilidade
b) Somar uma série de soluções básicas que satisfazem as condições de compatibilidade, 
mas não satisfazem as condições de equilíbrio da estrutura original, para, na 
superposição, restabelecer as condições de compatibilidade
c) Somar uma série de soluções básicas que satisfazem as condições de compatibilidade, 
mas não satisfazem as condições de equilíbrio da estrutura original, para, na 
superposição, restabelecer as condições de equilíbrio
d) Somar uma série de soluções básicas que satisfazem as condições de equilíbrio, 
mas não satisfazem as condições de compatibilidade da estrutura original, para, na 
superposição, restabelecer as condições de equilíbrio
e) Nenhuma das opções
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MÉTODO DOS 
DESLOCAMENTOS
58
 O procedimento dos deslocamentos, dada sua extensa aplicação em 
programações automáticas, configura-se como o método preponderante na análise 
estrutural. Nesse enfoque, as incógnitas primordiais consistem nos deslocamentos 
nos pontos nodais criteriosamente selecionados na estrutura em estudo. Esses 
deslocamentos, reconhecidos como graus de liberdade, são adquiridos por meio da 
solução de um sistema de equações algébricas lineares de equilíbrio. A quantidade 
destes deslocamentos é denominada grau de indeterminação cinemática (SORIANO; 
LIMA, 2004; CUNHA, 2018).
 Ao contrário do método das forças, as incógnitas se revelam como redundâncias 
estáticas, sendo discernidas por meio da solução de um sistema de equações de 
compatibilidade de deslocamentos. Os deslocamentos, nesse método específico, são 
frequentemente selecionados nas extremidades das barras, demarcados de 1 a 4 no 
pórtico plano de 3 barras representado na Figura 14 (SORIANO; LIMA, 2004).
 Nessa representação visual, p e P denotam forças externas aplicadas nas barras, 
enquanto f, e fi expressam forças externas aplicadas diretamente nos pontos nodais, 
seguindo as direções positivas do referencial (global) XYZ (SUSSEKIND, 1980). 
 Os deslocamentos dos pontos nodais não restritos são ilustrados na Figura b em 
relação a esse referencial. No ponto nodal 1, encontramos três deslocamentos, sendo 
dois lineares e um de rotação. A rotação nesse ponto é equivalente à rotação da seção 
extrema de cada barra conectada a esse nó. Isso ocorre porque esse ponto simboliza 
a conexão rígida entre os eixos geométricos das barras 1 e 2, resultando em rotações 
idênticas ao redor do eixo Z. Contrariamente, no ponto nodal 2, identificado como uma 
articulação, optou-se por considerar apenas dois deslocamentos lineares. Isso ocorre 
porque as extremidades das barras ligadas a este ponto possuem liberdade de giro, 
com rotações que não são necessariamente incógnitas primárias (MARTHA, 2022).
5.1 CONCEITOS INTRODUTÓRIOS
Figura 17: Pórtico plano de três barras e quatro pontos nodais
Fonte: Soriano e Lima (2004)
59
 A resolução através do métododos deslocamentos pode ser interpretada 
como uma sobreposição de soluções cinematicamente determinadas, ou seja, de 
configurações deformadas conhecidas, conforme ilustrado na Figura.
 Podemos notar que, evidencia-se a configuração deformada de um pórtico plano 
resultante da superposição de configurações deformadas elementares, cada qual 
associada a um efeito específico que é isolado.
5.2 SISTEMA HIPERGEOMÉTRICO
 Com o propósito de operar com um reduzido nível de incerteza cinemática, em 
uma abordagem manual de cálculos, as rotações nas extremidades das barras com 
liberdade de giro não são consideradas como incógnitas (SUSSEKIND, 1980; SORIANO; 
LIMA, 2004). 
 Para diminuir ainda mais esse grau, ao longo da maior parte deste capítulo, 
restringe-se a análise a estruturas em que a deformação de força normal pode ser 
desconsiderada. Isso implica, no caso do pórtico da Figura B, que os deslocamentos dl 
e da são considerados iguais, enquanto os deslocamentos d2 e d5 são nulos. 
 Dessa forma, obtém-se o modelo ilustrado na Figura c, no qual há apenas 
dois deslocamentos a serem determinados. Para simplificar ainda mais o esforço 
computacional, opta-se por desconsiderar o efeito da deformação de força cortante, 
embora essa escolha não reduza o grau de incerteza cinemática (SUSSEKIND, 1980).
 O método dos deslocamentos aborda a resolução do problema ao considerar os 
conjuntos de requisitos do modelo estrutural de forma inversa em relação ao método 
das forças (Martha, 2022):
 1º: Condições de compatibilidade;
 2º: Leis constitutivas dos materiais;
 3º: Condições de equilíbrio.
 A dualidade entre esses dois métodos torna-se evidente ao examinar a metodologia 
empregada pelo método dos deslocamentos para analisar uma estrutura. A abordagem 
analítica desse método envolve agregar uma série de soluções fundamentais 
(denominadas casos básicos) que satisfazem as condições de compatibilidade, porém 
não atendem às condições de equilíbrio da estrutura original. Isso é feito para, por meio 
de superposição, restabelecer as condições de equilíbrio (MARTHA, 2022).
Figura 18: Configuração deformada de um pórtico plano
Fonte: Martha (2022)
60
 A disposição deformada elementar do cenário (0) isola o impacto da demanda 
externa (carregamento), sendo que essa conformidade deformada se caracteriza pelos 
nós (extremidades das barras) da estrutura exibindo deslocamentos e rotações nulos 
(CUNHA, 2018). 
 Nesse contexto, a conformidade deformada, para o caso (0), representa o cenário 
de engastamento perfeito da viga (barra horizontal) diante da aplicação da demanda 
externa (força uniformemente distribuída). As demais conformidades deformadas 
apresentadas nesta representação, dos casos (1) a (7), correspondem a imposições de 
deslocamentos e rotações nodais isolados, ou seja, cada caso revela uma conformidade 
deformada elementar onde apenas uma componente de deslocamento ou rotação 
nodal possui um valor não nulo (CUNHA, 2018; MARTHA, 2022).
 A sobreposição de configurações deformadas ilustrada na Figura 15 evidencia que 
a configuração deformada final de uma estrutura reticulada pode ser parametrizada 
pelas componentes de deslocamentos e rotações dos nós da estrutura. Isso torna-se 
viável porque é possível determinar a conformidade deformada de uma barra a partir 
dos deslocamentos e rotações dos nós extremos da barra e do seu carregamento.
 Martha (2022) diz que a elasticidade final da barra é derivada pela sobreposição 
exclusiva do efeito da solicitação externa no caso (0).
 Com base nisso, apresenta-se a seguinte definição:
• Deslocabilidades são as componentes de deslocamentos e rotações nodais que 
permanecem livres, ou seja, devem ser conhecidas para determinar a configuração 
deformada de uma estrutura.
 Dessa forma, as deslocabilidades constituem os parâmetros que delineiam 
(completamente) a configuração deformada de uma estrutura. As deslocabilidades 
emergem como as incógnitas intrínsecas ao método dos deslocamentos.
 A seguinte notação será empregada:
 Di → deslocabilidade de uma estrutura: componente de deslocamento ou rotação 
livre (não restringida por apoio) em um nó da estrutura, ao longo da direção de um dos 
eixos globais.
 A deslocabilidade Di também é denominada deslocabilidade global, diferenciando-
se da deslocabilidade local de uma barra isolada.
 Para entender a montagem do Sistema Hipergeométrico, vamos analisar o pórtico 
da figura 14. Identificados os deslocamentos da estrutura em análise, considera-se como 
sistema principal do método dos deslocamentos o modelo com esses deslocamentos 
restringidos. 
 Desse modo, excluindo a deformação de força normal e retornando ao exemplo 
de pórtico, adota-se como sistema principal o modelo representado na Figura 16, 
onde o símbolo □, no ponto nodal 1, expressa a restrição da rotação nodal d2, indicada 
em tracejado, e o apoio do primeiro gênero introduzido nesse mesmo ponto limita o 
deslocamento d1, também indicado em tracejado (SORIANO; LIMA, 2004).
 O comportamento do mencionado pórtico pode ser deduzido por meio da 
combinação linear dos estados de esforços e deslocamentos, conforme ilustrado 
na Figura B, mediante a imposição de condições de equilíbrio nas direções dos 
deslocamentos d1 e d2, como será detalhadamente abordado posteriormente.
61
Figura 19: Método dos deslocamentos – Sistema Hipergeométrico
Fonte: Soriano e Lima (2004).
Na figura anterior, o estado E0 representa o sistema principal sob a influência das for-
ças aplicadas às barras, sendo f1 e f2 as forças reativas nas restrições introduzidas na 
elaboração desse sistema. O estado E1 é caracterizado pelo sistema principal quando 
os deslocamentos d1=1 e d2=0 são impostos. Nesse cenário, k11 é numericamente equi-
valente à força necessária para impor um deslocamento unitário segundo d1 (no sentido 
de d1=1), enquanto k21 é numericamente equivalente à força de restrição correspondente 
à rotação d2, que permanece nula. O estado E2 descreve o sistema principal quando os 
deslocamentos d1=0 e d2=1rad são aplicados. Aqui, k22 é numericamente igual à força 
de momento necessária para impor uma rotação unitária segundo d2, e k12 é numerica-
mente equivalente à força restritiva associada ao deslocamento d1, que é mantido nulo. 
Todos esses coeficientes e forças são considerados positivos quando alinhados com os 
sentidos positivos escolhidos para os deslocamentos d1 e d2.
FIQUE ATENTO
 Dentro da abordagem metodológica do método dos deslocamentos, vamos 
analisar o exemplo apresentado na Figura 17, soluções fundamentais (casos primordiais) 
isolam o impacto da solicitação externa (carregamento) e os efeitos individuais de 
cada uma das deslocabilidades. 
5.3 DETERMINAÇÃO DOS TERMOS DE CARGA, COEFICIENTES DE 
RIGIDEZ E DESLOCABILIDADES
62
 Cada efeito isolado influencia o equilíbrio do nó interno, sendo que, na superposição 
dos casos fundamentais, é rigorosamente imposto o equilíbrio do referido nó. O sistema 
hipergeométrico (SH) destinado à estrutura do exemplo é minuciosamente delineado 
na Figura. Os casos fundamentais utilizam esse SH como estrutura auxiliar, por meio da 
qual os efeitos isolados são meticulosamente aplicados.
 Como foi dito por Martha (2022), a configuração deformada da estrutura fica 
parametrizada pelas deslocabilidades.
 Note que há infinitos valores possíveis para D1, D2 e D3 que atendem às condições 
de compatibilidade. Em outras palavras, existem inúmeras configurações deformadas 
que satisfazem as condições de compatibilidade em relação aos vínculos externos 
(apoios), garantindo a continuidade do campo de deslocamentos no interior das 
barras, bem como a manutenção da continuidade de ligação entre as barras (que 
permanecem conectadas e com o mesmo ângulo entre si no nó interno).
 De acordo com Martha (2022), “o método dos deslocamentos tem como estratégia 
procurar, dentre todas as configurações deformadas que satisfazem a compatibilidade, 
aquela que também faz com que o equilíbrio seja satisfeito.”
 No âmbito da abordagemdo método dos deslocamentos conforme exemplificado 
na Figura 16, as soluções fundamentais, também denominadas de casos primordiais, 
segregam a influência da solicitação externa, ou seja, do carregamento, bem como 
os efeitos inerentes a cada uma das deslocabilidades. Cada efeito singular, quando 
isolado, repercute no equilíbrio do nó interno. Ao se sobrepor esses casos fundamentais, 
é inculcada a estabilidade do referido nó (CUNHA, 2018).
 O sistema hipergeométrico (SH) referente à estrutura exemplificada é explicitado 
na Figura. Os cenários basilares utilizam esse SH como uma estrutura acessória, por 
meio da qual os efeitos isolados são compulsoriamente impostos.
Figura 20: Estrutura a ser analisada pelo método das forças
Fonte: Martha (2022)
Figura 21: Sistema Hipergeométrico
Fonte: Martha (2022)
63
 No exemplo em análise, identificam-se quatro cenários fundamentais, rotulados 
como casos (0), (1), (2) e (3), conforme delineado a seguir.
 Caso (0) — Singularidade da Solicitação Externa (Carga) no Sistema 
Hipergeométrico (SH)
 O caso (0), ilustrado na Figura 19, isola de modo singular a influência da solicitação 
externa, ou seja, da carga aplicada. Nessa configuração, a carga externa é aplicada 
no SH com D1 = 0, D2 = 0 e D3 = 0. Sob essas condições, as forças e os momentos que 
surgem nos suportes fictícios do SH são designados como termos de carga β10. Um 
termo de carga é formalmente definido como a reação no suporte fictício associado 
à deslocabilidade D1, destinada a equilibrar o SH quando a solicitação externa atua de 
maneira isolada, ou seja, com deslocabilidades de valores nulos.
 Neste exemplo específico, são identificados três elementos de carga, conforme 
evidenciado na Figura, onde β10 representa a reação horizontal, β20 corresponde à 
reação vertical, e β30 denota a reação de momento nos três suportes fictícios do nó 
interno. Estas respostas estão associadas a uma condição de engastamento perfeito no 
Sistema Hipergeométrico (SH) e são calculadas de maneira precisa para equilibrar o nó 
interno, considerando a carga uniformemente distribuída atuante na barra horizontal. 
As reações de engastamento para barras isoladas são previamente conhecidas, 
sendo assim consideradas soluções fundamentais para uma análise pelo método dos 
deslocamentos (CUNHA, 2018).
 Caso (1) — Deslocabilidade D1 isolada no Sistema Hipergeométrico (SH) 
 O cenário (1), apresentado na Figura 20, isola o impacto da deslocabilidade 
D1, ao manter nulos os valores das deslocabilidades D2 e D3. A deslocabilidade D1 é 
destacada. Assume-se um valor unitário para D1, sendo o efeito de D1 = 1 multiplicado 
pelo valor final que D1 deverá alcançar. Para impor a configuração deformada na qual 
D1 = 1, enquanto as demais deslocabilidades permanecem nulas, torna-se imperativo 
aplicar um conjunto específico de forças e momentos nodais que preserve o equilíbrio 
do SH nessa configuração, como explicitado na Figura.
Figura 22: Caso (0) – carregamento
Fonte: Martha (2022)
Figura 23: Caso (1) – deslocabilidade D1
Fonte: Martha (2022)
64
 As forças e momentos que surgem nos apoios fictícios do Sistema Hipergeométrico 
(SH) para equilibrá-lo quando uma configuração com D1 = 1 é imposta são denominados 
coeficientes de rigidez globais Kij (SORIANO; LIMA, 2004; MCCORMAC, 2009). 
 Formalmente, o coeficiente de rigidez global é definido como: Kij → coeficiente 
de rigidez global: força ou momento que deve atuar na direção de Di para manter a 
estrutura (na verdade, o SH) em equilíbrio quando uma configuração deformada é 
imposta onde Dj = 1, e as demais deslocabilidades são nulas.
 No caso (1), os coeficientes de rigidez globais são a força horizontal K11, a 
força vertical K21, e o momento K31. Por definição, as unidades dos coeficientes de 
rigidez correspondem às unidades de força ou momento divididas pela unidade da 
deslocabilidade em questão.
 O caso (2) e o caso (3), segue da mesma forma apresentada para o caso 1 e seus 
resultados estão apresentados na Figura.
Figura 24: Caso (2) e Caso (3) – deslocabilidade D2 e D3
Fonte: Martha (2022)
Na Figura podemos observar a deslocabilidade 3, já que ela é uma deslocabilidade do 
tipo de rotação, como ficaria sua unidade? Observe que as unidades desses coeficientes 
são unidades de força ou momento divididas por radiano, pois a deslocabilidade D3 é 
uma rotação.
VAMOS PENSAR?
 Mc Cormac (2009) e Soriano e Lima (2004), retratam que o restabelecimento 
do equilíbrio na estrutura original ocorre quando os efeitos dos apoios fictícios do 
Sistema Hipergeométrico (SH) são anulados. Através dos resultados adquiridos nos 
casos previamente apresentados, é possível empregar a técnica de superposição para 
restituir as condições de equilíbrio no nó interno. As resultantes de forças e momentos 
externos neste nó devem ser nulas, conforme segue.
• Soma das forças externas horizontais atuando no nó interno: 
 0 = β11D1+β12D2+β13D3
5.4 RESTABELECIMENTO DAS CONDIÇÕES DE EQUILÍBRIO
65
• Soma das forças externas verticais atuando no nó interno: 
 0 = β21D1+β22D2+β23D3
• Soma dos momentos externos atuando no nó interno: 
 0 = β31D1+β32D2+β33D3
 Esses resultados podem ser generalizados, originando uma equação de 
equilíbrio na direção da deslocabilidade Di para uma estrutura com n deslocabilidades 
apresentada a seguira.
 Uma vez que os valores das deslocabilidades são determinados, é possível obter 
os diagramas finais de esforços para a estrutura em análise através da superposição 
dos diagramas de cada um dos casos fundamentais, conforme delineado na 
continuidade deste capítulo. A título exemplificativo, os momentos fletores finais (M) 
podem ser derivados pela sobreposição dos diagramas de momentos fletores (Mi) 
correspondentes aos casos básicos:
 Aqui, o diagrama M0 refere-se ao caso (0), enquanto os diagramas M1, M2 e M3 
resultam de deslocabilidades unitárias nos casos (1), (2) e (3), respectivamente.
 Esse desfecho pode ser generalizado para todos os esforços internos finais - 
esforços normais (N), esforços cortantes (Q) e momentos fletores (M) - de uma estrutura 
com n deslocabilidades:
 Onde:
 N0 representa o diagrama de esforços normais no caso (0);
• Nj é o diagrama de esforços normais no caso (j);
• Q0 é o diagrama de esforços cortantes no caso (0);
• Qj é o diagrama de esforços cortantes no caso (j);
• M0 é o diagrama de momentos fletores no caso (0);
• Mj é o diagrama de momentos fletores no caso (j).
5.5 OBTENÇÃO DAS REAÇÕES E ESFORÇOS INTERNOS
66
 Em resumo, Soriano e Lima (2004), aborda que o método dos deslocamentos é 
delineado da seguinte maneira: 
I. Seleção de um sistema principal no qual os deslocamentos, considerados como 
graus de liberdade da estrutura, encontram-se restringidos. Esses deslocamentos 
representam as incógnitas primárias a serem determinadas. 
II. Computação dos esforços de engastamento perfeito e combinação destes esforços, 
com sinais opostos, às forças aplicadas diretamente ao longo dos mencionados 
deslocamentos, visando a obtenção das forças nodais combinadas. 
III. Determinação dos coeficientes de rigidez das barras e, a partir destes, inferência dos 
coeficientes de rigidez globais da estrutura. 
IV. Formulação e resolução do sistema de equações de equilíbrio para a determinação 
dos deslocamentos mencionados. 
V. Aquisição dos esforços finais.
 Este método, intrincado em sua execução, revela-se fundamental na análise 
estrutural, requerendo a aplicação meticulosa de princípios matemáticos e conceitos 
específicos da engenharia. O resultado desvela os deslocamentos significativos da 
estrutura, fornecendo insights valiosos sobre o comportamento dela sob diversas 
condições.
Aprofunde seu conhecimento e treine realizando exercícios propostos que po-
dem ser encontrados no livro de Martha (2022), disposto na biblioteca no link: 
https://encurtador.com.br/hGR13. Acesso em 24 fev. 2024.
Vá além e busque outras bibliografias, além disso, segue uma lista de reprodu-
ção sobre a aplicação prática do método dos deslocamentospara auxiliar no 
ensino-aprendizagem. Link: https://encurtador.com.br/bchw5. Acesso em 24 fev. 
2024.
BUSQUE POR MAIS
67
FIXANDO O CONTEÚDO
1. (Adaptada de CESPE – 2008). O método dos deslocamentos, ou método da rigidez, é 
um dos principais métodos da mecânica estrutural. A respeito desse método, assinale 
a opção correta.
a) Ele é aplicável apenas a estruturas hiperestáticas.
b) O sistema de equações finais desse método é um sistema de equações de equilíbrio.
c) A matriz dos coeficientes do sistema de equações finais é chamada de matriz de 
flexibilidade.
d) As incógnitas principais do método são forças.
e) Nenhuma das opções.
2. (ESAF – 2013). Através do Método dos Deslocamentos, foram calculadas as reações 
de apoio verticais da viga contínua de seção transversal com rigidez constante, sendo 
carregada por uma força uniformemente distribuída, vista na figura abaixo. As reações 
verticais em A e D são iguais e valem 15,13 kN. As reações verticais em B e C são iguais e 
valem 48,87 kN. Analise os itens que se seguem e assinale a opção incorreta
a) O momento fletor máximo positivo (tração nas fibras inferiores) no trecho AB ocorre 
a 1,89 m de A.
b) O momento fletor máximo negativo (tração nas fibras superiores) ocorre em B e C é 
igual a 24,4 kN.m.
c) O momento fletor máximo positivo (tração nas fibras inferiores) no trecho BC é igual 
a 11,6 kN.m.
d) O esforço cortante máximo ocorre nos apoios centrais e é igual à 24,9 kN.
e) O momento fletor máximo positivo (tração nas fibras inferiores) no trecho AB é igual 
a 13,3 kN.m.
3. (Adaptada de CESPE – 2006).
68
A figura acima representa um pórtico plano, submetido a uma carga horizontal de 1 
kN, aplicada em B. São indicadas, ainda, as reações de apoio correspondentes à carga 
aplicada. Considerando essa figura e sabendo que AB = 4,0 m, BC = 6,0 m e CD = 3,0 m, 
julgue os itens a seguir e assinale corretamente.
a) O método dos deslocamentos poderia ser corretamente utilizado para obter os 
diagramas de esforços nas barras do pórtico.
b) O método dos deslocamentos só pode ser utilizado para estruturas do tipo pórtico 
simples.
c) O método dos deslocamentos só pode ser utilizado para estruturas do tipo pórtico 
simples e composto.
d) O método dos deslocamentos só pode ser utilizado em estruturas do tipo viga.
e) O método dos deslocamentos só pode ser utilizado em estruturas isostáticas.
4. (FGV – 2018). Assinale a opção que apresenta o diagrama de momentos fletores 
(DMF) correspondente à viga contínua hiperestática representada a seguir.
a) 
b) 
c) 
d) 
e) 
5. (CETREDE – 2022). Analise a estrutura apresentada a seguir
69
É CORRETO afirmar que esta é uma estrutura
a) Hiperestática, pois possui 9 vínculos.
b) Hiperestática, pois possui 6 vínculos.
c) Isostática, pois possui 3 vínculos.
d) Hiperestática, pois possui 5 vínculos.
e) Isostática, pois possui 6 vínculos.
6. (QUADRIX – 2022). Para a viga da seguinte figura, que é uma estrutura hiperestática, 
são conhecidos os valores das reações nos apoios A e B.
Com base nessas informações, a partir da determinação das demais reações de apoio, 
é correto afirmar que o momento máximo é da ordem de
a) 48 kNm.
b) 64 kNm.
c) 79 kNm.
d) 90 kNm.
e) Nenhuma das opções.
7. (FGV – 2022) A figura a seguir ilustra um pórtico plano com três nós engastados e 
uma rótula.
70
O grau hiperestático total desse pórtico é
a) 3.
b) 4.
c) 5.
d) 6.
e) 7.
8. (VUNESP – 2019) A viga hiperestática da figura, com vão de 8 m, está submetida a 
uma carga uniformemente distribuída de 2 kN/m em todo o vão.
O esforço cortante máximo no apoio A, em kN, é
a) 6.
b) 8.
c) 9.
d) 10.
e) 16.
71
PROCESSO DE CROSS E 
EFEITOS DE CARGAS MÓVEIS 
EM ESTRUTURAS
72
6.1 DEFINIÇÃO DO FUNCIONAMENTO DA METODOLOGIA DE CROSS
 O procedimento de Cross, ou método da distribuição de momentos representa 
uma abordagem relativamente simples para determinar os momentos fletores em 
vigas contínuas, pórticos planos, grelhas e mesmo em pórticos espaciais (EDMUNGO; 
GUIMARÃES; ROJAS, 2018).
 Essa técnica se fundamenta no método dos deslocamentos e é aplicável 
somente a estruturas que não possuem deslocamentos externos (do tipo translação), 
ou seja, é exclusiva para estruturas com barras inextensíveis e que apresentam apenas 
deslocamentos do tipo rotação. Apesar dessa restrição, o método desenvolvido por 
Hardy Cross na década de 1930 (“Análise de Estruturas Contínuas pela Distribuição de 
Momentos nos Extremos Fixos”, Transações, ASCE, Paper n. 1793, vol. 96, 1936) ainda é 
empregado para a análise de estruturas.
 De acordo com Edmungo, Guimarães e Rojas (2018), considera-se, então, que 
os pontos de conexão da estrutura estão, de alguma maneira, imobilizados ou fixos 
e incapazes de sofrer qualquer forma de rotação. Após a aplicação das cargas sobre 
a estrutura, os pontos de conexão são gradualmente liberados, permitindo que cada 
um deles sofra rotações sequenciais. Uma vez liberado um ponto, ele é novamente 
imobilizado antes de passar para o próximo. Esse procedimento é repetido até que as 
liberações não resultem mais em rotações, alcançando assim o equilíbrio estático da 
estrutura (vide Figura).
 Ainda de acordo os mesmos autores, o método de Cross é essencialmente 
dependente da resolução de 3 desafios: a determinação dos momentos de engastamento 
perfeito, a avaliação da rigidez de cada viga e a identificação do fator de distribuição em 
cada componente da estrutura. O momento de engastamento perfeito é estabelecido 
com base nas condições de contorno da estrutura.
Figura 25: Bloqueio de nós para equilibrar as rotações
Fonte: Edmungo, Guimarães e Rojas (2018)
6.2 INTERPRETAÇÃO FÍSICA DO PROCESSO DE CROSS
 Os fundamentos do método são baseados em dois pontos essenciais (MARTHA, 
2022):
• A alocação de um momento aplicado em um nó de um pórtico em parcelas de 
momentos fletores balanceadores nas barras adjacentes;
• A resolução iterativa do sistema de equações de equilíbrio do método dos 
deslocamentos para uma estrutura que possui apenas rotações como 
deslocabilidades.
73
 Alguns aspectos importantes deste experimento merecem destaque (EDMUNGO; 
GUIMARÃES; ROJAS, 2018; MARTHA, 2022; SUSSEKIND, 1980):
• Em cada iteração do processo, apenas um nó tem sua rotação liberada, enquanto 
os demais permanecem fixos.
• Quando um nó tem sua rotação liberada, as barras adjacentes sofrem deformações, 
o que resulta na redistribuição dos momentos fletores e afeta o equilíbrio dos nós 
vizinhos.
• Após cada iteração, a rotação do nó liberado é fixada com o valor acumulado dos 
incrementos de rotação das iterações anteriores.
• O equilíbrio de um nó com rotação fixa é artificialmente alcançado por meio da 
aplicação de um momento externo.
 Quando os momentos fletores nas seções transversais adjacentes a um nó 
estão em equilíbrio, não é necessário fixar o nó, pois a liberação da fixação não exerce 
momento externo sobre o nó. 
 Com base no experimento, destacam-se dois pontos chave do método Cross. 
O primeiro é a distribuição de momentos fletores nas barras adjacentes a um nó com 
rotação liberada. Na próxima seção, será analisada essa redistribuição. 
 O segundo ponto chave é o processo iterativo e incremental de determinação 
das rotações nodais. Após a análise desses dois pontos chave, o método Cross será 
formalizado.
Figura 26: Representação esquemática da interpretação física do método de cross
Fonte: Martha (2022)
6.3 DESCRIÇÃO DA DISTRIBUIÇÃO DOS MOMENTOS FLETORES EM UM NÓ
 Com a imobilização do nó, impedindo sua rotação, é possível analisar a distribuição 
dos momentos nas proximidades desse ponto e sua relação com o coeficiente de rigidez 
das barras (EDMUNGO; GUIMARÃES; ROJAS, 2018). Podemos observar isto na Figura.
 Verifica-se, portanto, que a aplicação do momento no nó afeta todas as barras 
adjacentes a esse ponto, transferindo sua magnitude de forma proporcional à rigidez 
Quando os momentos fletores adjacentes ao nó estão em equilíbrio não é necessário 
travar o nó. Nesses casos, não hámomentos externos exercidos pela trava.
FIQUE ATENTO
74
das barras. Neste contexto, uma vez que os valores de rigidez permanecem constantes 
entre as barras, o momento exerce influência de maneira uniforme em todas elas. Isso 
ocorre se dá por 
 A determinação dos momentos de flexão finais nas barras é estabelecida por 
meio de uma superposição de efeitos entre o sistema principal (sem o bloqueio do nó) 
e o sistema secundário (onde o nó é bloqueado), isto é, o momento de flexão no nó é 
determinado pela soma das contribuições de equilíbrio ao longo do processo iterativo, 
acrescido do necessário para o equilíbrio inicial do nó (SUSSEKIND, 1981).
 Para melhor entender, vamos acompanhar um exemplo resolvido a seguir.
 Determine os momentos fletores nos nós A e B, levando em consideração que 
EJ=2J Cross.
 1º Passo: determinação dos momentos de engastamento perfeito conforme a 
figura anterior. Deve-se dividir a estrutura em trechos conforme as figuras abaixo.
Figura 27: Deformação da Estrutura devido a rotação do nó
Fonte: Edmungo, Guimarães e Rojas (2018).
75
 2º Passo: determinação do coeficiente de rigidez conforme a figura, segundo a 
tabela de Sussekind. 
 Para uma barra biengastada, deve-se fazer J/L = 2/6 = 0,333. Para uma barra 
apoiada-engastada, deve fazer 3/4 × J/L = 3/4 × 2/2 = 0,75. Para uma barra biengastada, 
deve-se fazer J/L = 2/4 = 0,5. 
 3º Passo: determinação do fator de distribuição. Levando-se em consideração que 
o somatório dos coeficientes de rigidez em cada nó é igual a 1,58, proporcionalmente 
tem-se então:
 Sabe-se que o desequilíbrio nos nós é a soma dos momentos de engastamento 
perfeito nos nós, ou seja, -10 +60 = 50, então multiplica-se o desequilíbrio pelos 
coeficientes de rigidez de cada parte no nó e tem-se, no nó A: 
 50 × 0,48 = 24 
 50 × 0,32 = 16 
 50 × 0,20 = 10 
 No nó B, repete-se o mesmo processo. Fazendo-se uma iteração de 0,5, o 
desiquilíbrio foi para 55. 
 Dessa forma, multiplica-se de novo todos os coeficientes de rigidez. 
 Tem-se então a seguinte distribuição: 
 M = -10 kNm M = 60 kNm M = -60 kNm M = 10 kNm
76
 55 × 0,48 = 26,4 
 55 × 0,32 = 17,6 
 55 × 0,20 = 11 
 Faz-se outra iteração de 0,5. 
 5,5 × 0,48 = 2,64 
 5,5 × 0,32 = 1,76 
 5,5 × 0,20 = -1,1 
 Faz-se outra iteração de 0,5. 
 0,55 × 0,48 = 0,264 
 0,55 × 0,32 = 0,176 
 0,55 × 0,20 = 0,11 
 Utilizando esses coeficientes para distribuir proporcionalmente os desequilíbrios 
dos nós, podemos chegar aos seguintes valores:
 Onde pode-se observar que, com os valores encontrados no método iterativo 
somados aos momentos de engastamento perfeito, tem-se aproximadamente os 
momentos fletores da estrutura. 
 Assim, somam-se aos valores de engastamento perfeito os valores obtidos pelo 
desequilíbrio dos nós, então: 
 -10-26,4 = -36,4 
 60-5,55 = 54,1
6.4 DEFINIÇÃO DE CARGAS MÓVEIS – TRENS-TIPO
 As cargas que incidem sobre uma estrutura podem ser divididas em dois amplos 
grupos: as cargas permanentes e as cargas acidentais. As cargas permanentes 
referem-se àquelas que exercem uma pressão constante sobre a estrutura ao longo 
do tempo, resultantes do peso próprio da estrutura e dos revestimentos e materiais de 
enchimento que ela suporta (SUSSEKIND, 1981). 
77
 O estudo dos esforços causados por essas cargas não apresenta grandes 
dificuldades, uma vez que são cargas cuja posição e magnitude são conhecidas e 
imutáveis, e já foram abordadas nos capítulos anteriores.
 Por sua vez, as cargas acidentais, como sugere o nome, são aquelas que podem 
ou não ocorrer na estrutura e são ocasionadas por diversos fenômenos, tais como 
ventos, pressões do solo ou da água, impactos laterais, forças centrífugas, frenagens 
ou acelerações de veículos, sobrecargas em edifícios, peso de materiais que serão 
adicionados à estrutura (como reservatórios de água, silos, etc.), efeitos de terremotos 
(de extrema relevância para projetos em regiões sísmicas), peso da neve acumulada 
em regiões frias e, por fim, as chamadas cargas móveis, originadas pelo tráfego de 
veículos sobre a estrutura (como pontes rodoviárias ou ferroviárias, viadutos e pontes 
rolantes industriais) (SUSSEKIND, 1981).
 Para efeitos de análise estática, as cargas acidentais, à exceção das cargas 
móveis, são aquelas que possuem posição e magnitude conhecidas na estrutura, 
podendo ou não agir ao longo do tempo. Seus esforços são calculados da mesma 
forma que os gerados pelas cargas permanentes; trata-se, portanto, de um problema 
já solucionado.
 Para as cargas móveis, a situação é diferente, pois, quando ocorrem (embora 
tenham valores conhecidos), suas posições na estrutura variam à medida que os 
veículos por elas representados a atravessam. Se tentássemos analisá-las usando 
o método até então empregado, teríamos que calcular os esforços para cada uma 
das infinitas posições que podem ocupar enquanto percorrem a estrutura (EDMUNGO; 
GUIMARÃES; ROJAS, 2018).
 Para entender o deslocamento da carga em um pavimento, é vantajoso empregar 
o conceito das linhas de influência para simplificar os cálculos. Tentar calcular o efeito 
da carga em todos os pontos da estrutura seria uma tarefa extremamente complexa e 
laboriosa. Na Figura podemos observar as cargas exercidas em um pavimento.
 Ao definirmos o conceito de carga móvel, deparamo-nos com a complexidade 
inerente à sua aplicação em diferentes cenários práticos. Imagine-se encarregado do 
projeto de um viaduto. Que tipos de veículos (cargas móveis) devemos considerar? E 
em que ordem?
Figura 28: Tensões e deformações exercidos por cargas móveis em pavimentos
Fonte: Edmungo, Guimarães e Rojas (2018) apud Franco (2011).
78
Percebendo, portanto, que há uma infinidade de combinações de veículos possíveis, qual 
delas é a mais adequada, isto é, qual representaria de forma fiel as diversas situações 
reais de cargas móveis que o viaduto poderá enfrentar ao longo de sua vida útil? A essa 
questão, pesquisadores de diferentes países responderam criando veículos ideais, co-
nhecidos como trens-tipo (inspirados nas pontes ferroviárias), definidos pelas normas de 
projeto de cada nação e variando de acordo com a natureza e o uso previsto da estrutura. 
Os trens-tipo têm uma característica comum: são compostos por cargas (concentradas 
e/ou uniformemente distribuídas), com valores conhecidos e mantendo uma distância 
constante entre si. Dessa forma, ao conhecermos a posição de uma das cargas do trem-
-tipo, conhecemos imediatamente a posição de todas as outras.
VAMOS PENSAR?
 Sussekind (1981), apresenta um exemplo ilustrativo de trem-tipo é disposto na 
Figura (observe-se que q1, q2, P1, P2, ... , Ps, a, ... , f, são variáveis conhecidas e de valor 
constante).
 Os padrões de trens-tipos mais comuns referem-se às estruturas de pontes 
rodoviárias e ferroviárias. No contexto das obras realizadas no Brasil, esses padrões são 
estabelecidos pelas normas NB-6 e NB-7 da Associação Brasileira de Normas Técnicas 
(ABNT), sendo exemplificados esquematicamente pelas Figuras para pontes rodoviárias 
e ferroviárias, respectivamente (SUSSEKIND, 1981).
 A questão que precisamos abordar é como determinar os esforços máximos 
e mínimos induzidos nas estruturas pelas cargas móveis. Ao obter esses valores 
e compreender os esforços resultantes das cargas permanentes (sejam elas 
realmente permanentes ou acidentais não móveis), teremos uma compreensão dos 
limites extremos dentro dos quais os esforços variarão em cada seção da estrutura, 
Figura 29: Representação de trens-tipos
Fonte: Sussekind (1981)
Figura 30: Trens-tipos para pontes rodoviárias
Fonte: Sussekind (1981)
Figura 31: Trens-tipos para pontes ferroviárias
Fonte: Sussekind (1981)
79
Figura 32: Sistema estático equivalente
Fonte: Edmungo, Guimarães e Rojas (2018)
estabelecendo assim sua faixa de trabalho.
6.5 LINHAS DE INFLUÊNCIA
 Sussekind (1981), define a linha de influência como um efeito elástico E em uma 
determinada seção S é a representação gráfica ou analítica do valor desse efeito, 
naquelaseção S, causado por uma carga concentrada unitária, aplicada de cima para 
baixo, que percorre a estrutura.
 Em todos os cenários em que as cargas móveis entram em ação, é imprescindível 
determinar cada uma das suas posições para avaliar os esforços, reações e 
deslocamentos resultantes. Essa análise é fundamental para identificar a posição mais 
crítica da carga móvel.
 Em estruturas caracterizadas por um comportamento elástico linear, como é o 
caso do aço, quando sujeitas a pequenos deslocamentos, é empregado o teorema 
da sobreposição de efeitos na análise. Essa abordagem se revela essencial, uma vez 
que compreender o comportamento das estruturas diante das cargas móveis permite 
identificar sua resposta às forças em ação (EDMUNGO; GUIMARÃES; ROJAS, 2018).
 Ao conceber um projeto para um elemento estrutural ou mecânico, é imperativo 
compreender a carga que atua sobre ele, garantindo assim sua capacidade de 
resistência. Considera-se, então, o equilíbrio do corpo e os esforços que incidem sobre 
ele os esforços Normal (N), Cortante (Q) e Momento fletor (M).
 A componente normal (N), também referida como força axial, representa a 
soma algébrica das projeções das forças atuantes em um dos lados na direção do 
eixo (perpendicular à seção) da estrutura. Essa força é responsável pela tração ou 
compressão do elemento, seguindo a convenção de sinais: N é positivo se causa tração 
e negativo se causa compressão.
 O momento fletor (M), representa a soma algébrica das projeções das forças 
atuantes de um dos lados da seção na direção perpendicular ao eixo da estrutura. Ele é 
responsável pela tendência de "flexão" da viga, sendo adotada a convenção de sinais: 
M é positivo se causa flexão no sentido horário e negativo se causa flexão no sentido 
anti-horário.
 O momento, denominado momento flexor, constitui a soma algébrica dos 
momentos das forças em ação de um dos lados da secção em relação ao seu centro 
de gravidade. Ele é responsável pela curvatura da viga, seguindo a convenção de sinais: 
M é positivo se induz curvatura para cima e negativo se induz curvatura para baixo.
 A definição das curvas de influência em qualquer estrutura está sujeita a 
80
determinadas condições. Essas incluem: a exigência de equilíbrio do sistema estrutural, 
que implica o cálculo das reações de apoio; e a necessidade de conhecer todos os 
esforços aplicados (ativos e passivos), a fim de determinar o ponto ou a seção onde 
se pretende calcular os esforços solicitantes, que constituem as incógnitas (MARTHA, 
2022).
Assista ao vídeo disposto no link a seguir, para melhor entender a aplicação das 
cargas móveis junto as linhas de influência. Nele você aprenderá a resolver um 
elemento estrutural submetido a cargas móveis e entender o seu funcionamento. 
Disponivel em: https://abre.ai/jMhe. Acesso em: 20 set. 2023.
BUSQUE POR MAIS
81
1. (VUNESP – 2019) Traçando a linha de influência para a viga simplesmente apoiada 
com balanço à direita, submetida ao carregamento representado pela multidão e o 
trem tipo indicados na figura, e calculando o valor do máximo momento fletor no meio 
do vão entre A e B, obtém-se
a) 360 kNm
b) 420 kNm.
c) 480 kNm.
d) 520 kNm.
e) 600 kNm.
2. (VUNESP – 2016). Para responder à questão, considere a figura em que a viga 
esquematizada é simplesmente apoiada em A e B.
Esboce a linha de influência do momento fletor em B para a viga, com o trem tipo 
indicado.
O máximo valor absoluto do momento fletor em B é
a) 750 kN·m.
b) 720 kN·m.
FIXANDO O CONTEÚDO
82
c) 640 kN·m.
d) 575 kN·m.
e) 525 kN·m.
3. (IFTO – 2023) Obtidas por interpolação de valores máximos e mínimos, respectivamente, 
de esforços calculados em determinado número de seções transversais ao longo da 
estrutura. Descrevem para um conjunto de cargas móveis ou acidentais, os valores 
máximos e mínimos desse esforço em cada uma das seções da estrutura, de forma 
análoga a que descreve o diagrama de esforços para um carregamento fixo.
As informações acima referem-se a uma característica de uma ponte, indique a 
alterativa correta a seguir:
a) Cargas móveis.
b) Envoltórios de esforços.
c) Estrutura de concreto protendido.
d) Cargas distribuídas.
e) Linhas de influência.
4. (CESGRANRIO – 2011) 
A linha de influência do momento fletor na seção S é a esquematizada em
a) 
83
b) 
c) 
d) 
e) 
5. (IFSULDEMINAS – 2013) Sobre linhas de influência em sistemas hiperestáticos o que é 
verdadeiro? 
I. As linhas de influência dos efeitos (esforços ou deslocamentos) causados por uma 
ação de qualquer tipo (carga ou deformação) numa estrutura podem ser obtidas 
de uma forma direta. Repete-se a análise supondo que uma ação unitária que 
percorre a estrutura ocupa várias posições. Como cada condição de carregamento 
permite apenas obter uma ordenada da linha de influência, este método direto 
só é conveniente quando se pretendem estudar várias secções e se utiliza um 
computador.
II. Para desenhar uma linha de influência particular impõe-se um deslocamento unitário 
na direção da força positiva. A deformada daí resultante tem de ser consistente com 
as restrições impostas na estrutura. Para a viga contínua representada na figura 
abaixo, a linha de influência da reação R1 que corresponde a uma carga unitária que 
se desloca entre 2 e 3 pode ser determinada substituindo o apoio por uma carga 
unitária 
84
a) I e II estão corretas 
b) I e II estão incorretas 
c) I está correta e a II incorreta 
d) I está incorreta e a II correta
e) nenhuma das alternativas
6. (Adaptada de CESPE – 2007)
Sob o ponto de vista da engenharia, pontes são estruturas
complexas que têm como função primordial transpor vãos. Por sua
responsabilidade na integração com outras obras de infraestrutura,
a concepção, o projeto e a execução dessas construções devem
atender a padrões técnicos rigorosos. Com relação a esse tema e
considerando a figura acima, julgue os itens seguintes.
As cargas móveis em pontes são responsáveis pela força longitudinal aplicada à 
superestrutura.
A respeito da afirmação em destaque assinale a alternativa correta.
a) a afirmação está incorreta
b) a afirmação está parcialmente correta
c) a afirmação não retrata sobre o contexto 
d) a afirmação está correta
e) a afirmação não corresponde a imagem apresentada
7. (CESGRANRIO – 2011). A NBR 7188/1984 (Carga Móvel em Ponte Rodoviária e Passarela 
de Pedestre) divide as pontes, quanto às cargas móveis, em três classes. A classe 45 é 
aquela na qual a base do sistema é um veículo-tipo, de peso total igual a
a) 45 kN
b) 45 MN
c) 450 N
d) 450 kN
85
e) 450 MN
8. (FCC – 2017) Considere a viga de uma ponte sobre a qual deve passar a carga móvel, 
como ilustrado na figura abaixo.
A carga móvel é formada por três forças concentradas P = 140 kN e pela carga 
uniformemente distribuída q = 20 kN/m. Ao se utilizar linhas de influência, verifica-se 
que o momento fletor na seção C é, em kNm,
a) 2.455.
b) 2.190.
c) 2.480.
d) 2.524.
e) 2.536.
86
RESPOSTAS DO FIXANDO O CONTEÚDO
UNIDADE 1
UNIDADE 3
UNIDADE 5
UNIDADE 2
UNIDADE 4
UNIDADE 6
QUESTÃO 1 C
QUESTÃO 2 C
QUESTÃO 3 B
QUESTÃO 4 B
QUESTÃO 5 A
QUESTÃO 6 C
QUESTÃO 7 D
QUESTÃO 8 E
QUESTÃO 1 E
QUESTÃO 2 B
QUESTÃO 3 E
QUESTÃO 4 D
QUESTÃO 5 A
QUESTÃO 6 D
QUESTÃO 7 C
QUESTÃO 8 A
QUESTÃO 1 A
QUESTÃO 2 B
QUESTÃO 3 B
QUESTÃO 4 D
QUESTÃO 5 D
QUESTÃO 6 C
QUESTÃO 7 A
QUESTÃO 8 B
QUESTÃO 1 A
QUESTÃO 2 B
QUESTÃO 3 C
QUESTÃO 4 B
QUESTÃO 5 E
QUESTÃO 6 B
QUESTÃO 7 B
QUESTÃO 8 A
QUESTÃO 1 B
QUESTÃO 2 E
QUESTÃO 3 A
QUESTÃO 4 B
QUESTÃO 5 D
QUESTÃO 6 D
QUESTÃO 7 B
QUESTÃO 8 D
QUESTÃO 1 B
QUESTÃO 2 A
QUESTÃO 3 B
QUESTÃO 4 E
QUESTÃO 5 A
QUESTÃO 6 D
QUESTÃO 7 D
QUESTÃO 8 B
87
ADORNA, D. L. Estruturas. [Digite o Local da Editora]: Grupo A, 2017. E-book. ISBN 
9788595022010. Disponível em: https://abre.ai/jMnv. Acesso em: 26 out. 2023.
CAMPANARI, F. A. Teoria das Estruturas. Rio de Janeiro: Guanabara Dois, 1985. V 1, 2, 3 e 4.
EDMUNGO, Douglas A.; GUIMARÃES, Diego; ROJAS, Fernando C.; e outros. Teoria das 
Estruturas . [Digite o Local da Editora]:Grupo A, 2018. E-book. ISBN 9788595023550. 
Disponível em: https://abre.ai/jMna. Acesso em: 25 jan. 2024.
EDMUNGO, D. A.; GUIMARÃES, D; ROJAS, F. C.; et al. Teoria das estruturas. Grupo A, 2018. 
E-book. ISBN 9788595023550. Disponível em: https://abre.ai/jMnd. Acesso em: 25 jan. 
2024.
GARRISON, F. Fundamentos de Estruturas . [Digite o Local da Editora]: Grupo A, [Inserir 
ano de publicação]. E-book. ISBN 9788582604816. Disponível em: https://abre.ai/jMnf. 
Acesso em: 25 jan. 2024.
HIBBELER, R. C. Análise das Estruturas, Ed. 8, Editora Pearson, 2013.
KASSIMALI, A. Análise Estrutural - Tradução da 5ª edição norte-americana. Cengage 
Learning Brasil, 2016. E-book. ISBN 9788522124985. Disponível em: https://abre.ai/jMnj. 
Acesso em: 18 jan. 2024.
MARTHA, L. F. Análise de Estruturas: Conceitos e Métodos Básicos. [Digite o Local da 
Editora]: Grupo GEN, 2022. E-book. ISBN 9788521638216. Disponível em: https://abre.ai/
jMnm. Acesso em: 25 jan. 2024.
MCCORMAC, J. C. Análise Estrutural Usando Métodos Clássicos e Métodos Matriciais, 
4ª edição. Grupo GEN, 2009. E-book. ISBN 978-85-216-2496-7. Disponível em: https://
abre.ai/jMno. Acesso em: 22 jan 2024.
MCGUIRE, W; GALLANGHER, R. H.; ZIEMIAN, R. D. Matrix Structural Analisys. 2. ed.: John Wiley 
& Sons, 1999. 480 p.
SORIANO, H. L. Análise de Estruturas: Método das forças e método dos deslocamentos. 
Editora Ciência Moderna. v.1. 2004.
SUSSEKIND, J. C. Curso de Análise Estrutural. Rio de Janeiro: Globo, 2ª ed. 1981. V 1.
SUSSEKIND, J. C. Curso de Análise Estrutural. Rio de Janeiro: Globo, 1980. V 2.
REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS
88
graduacaoead.faculdadeunica.com.br4.2 Grau de hiperestaticidade e Sistema Principal .......................................................................................................................................................................................................46
4.3 Determinação dos termos de carga e coeficientes de flexibilidade .......................................................................................................................................................48
4.4 Formulação do sistema de equações de compatibilidade ...........................................................................................................................................................................50
4.5 Obtenção dos hiperestáticos, reações de apoio e esforços externos .....................................................................................................................................................51
FIXANDO O CONTEÚDO ........................................................................................................................................................................................................................................................................53
MÉTODO DAS FORÇAS
5.1 Conceitos introdutórios ............................................................................................................................................................................................................................................................58
5.2 Sistema Hipergeométrico .......................................................................................................................................................................................................................................................59
5.3 Determinação dos termos de carga, coeficientes de rigidez e deslocabilidades ..........................................................................................................................61
5.4 Restabelecimento das condições de equilíbrio .....................................................................................................................................................................................................64
5.5 Obtenção das reações e esforços internos ...............................................................................................................................................................................................................65
FIXANDO O CONTEÚDO ........................................................................................................................................................................................................................................................................67
MÉTODO DOS DESLOCAMENTOS
UNIDADE 5
6.1 Definição do funcionamento da metodologia de Cross ....................................................................................................................................................................................72
6.2 Interpretação física do processo de Cross .................................................................................................................................................................................................................72
6.3 Descrição da distribuição dos momentos fletores em um nó .....................................................................................................................................................................73
6.4 Definição de cargas móveis – trens-tipo ....................................................................................................................................................................................................................76
6.5 Linhas de influência .....................................................................................................................................................................................................................................................................79
FIXANDO O CONTEÚDO..........................................................................................................................................................................................................................................................................81
RESPOSTAS DO FIXANDO O CONTEÚDO........................................................................................................................................................................86
REFERÊNCIAS ....................................................................................................................................................................................................................87
PROCESSO DE CROSS E EFEITOS DE CARGAS MÓVEIS EM ESTRUTURAS
UNIDADE 6
8
UNIDADE 1
A unidade I retrata os conceitos primordiais que envolvem a análise estrutural, bem 
como, aqueles que são relevantes para a análise de estruturas hiperestáticas que 
serão retratadas nas próximas unidades.
UNIDADE 2
A unidade II retrata sobre o Princípio dos Trabalhos Virtuais e a importância desta 
metodologia para o cálculo de deslocamentos em estruturas.
UNIDADE 3
Na unidade III vamos entender sobre o princípio que gerou a metodologia das 
forças e deslocamentos virtuais aplicados a corpos elásticos. Além disso, há a 
apresentação de tabelas usuais para o cálculo de integrais de momento.
UNIDADE 4
Nesta unidade você entenderá como funciona a metodologia do método 
das forças para resolver estruturas hiperestáticas, assim como, quais as 
condições que se aplica esta metodologia.
UNIDADE 5
Nesta unidade entenderemos a metodologia aplicada no método dos 
deslocamentos e a sua importância, bem como, sua aplicação funcional para o 
cálculo de deslocamentos em estruturas, principalmente, as hiperestáticas.
C
O
NF
IR
A 
NO
 LI
VR
O
UNIDADE 6
Na unidade VI iremos entender o que é uma carga móvel e como ela se comporta 
em estruturas do tipo ponte, assim como, entender o cálculo envolvendo as linhas 
de influência e trens-tipo.
9
CONCEITOS BÁSICOS DE 
ANÁLISE ESTRUTURAL
10
 A engenharia estrutural engloba a concepção, planejamento, ereção e 
manutenção de sistemas estruturais destinados a transporte, habitação, laboração e 
entretenimento. A expertise dos engenheiros estruturais transcende a simples erudição 
teórica, envolvendo a aplicação prática de princípios científicos e tecnológicos. O 
planejamento minucioso, a utilização de materiais avançados e a implementação de 
técnicas inovadoras são elementos fundamentais que delineiam o trabalho desses 
profissionais.
 A engenharia estrutural propõe-se à elaboração de um projeto estrutural que 
atenda exaustivamente a todas as exigências para as quais se destina, contemplando 
condições de segurança, usabilidade, viabilidade econômica, apelo estético, 
considerações ambientais, requisitos construtivos e conformidade legal. O desfecho 
derradeiro do projeto estrutural consiste na delimitação minuciosa de uma estrutura 
de modo abrangente, ou seja, englobando todos os aspectos de ordem geral, como a 
localização, e todos os pormenores imprescindíveis para a execução.
 De acordo com Martha (2022), a etapa de análise estrutural constitui o momento 
no qual se concebe o comportamento projetado da estrutura no âmbito do projeto 
estrutural. Esse comportamento se manifesta através de variados parâmetros, 
abrangendo os campos de tensões, deformações e deslocamentos na estrutura. 
 De modo geral, a análise estrutural objetiva determinar os esforços internos e 
externos, como cargas e reações de apoio, juntamente com as tensões correspondentes. 
Além disso, visa identificar os deslocamentos e as deformações correspondentes 
na estrutura em processo de concepção. Essa avaliação é conduzida levando em 
consideração os possíveis estágios de carregamentos e solicitações, os quais precisam 
ser previamente definidos.
 Ainda de acordo comMartha (2022), a elaboração das teorias que descrevem 
o comportamento estrutural teve seu início voltado, primariamente, para estruturas 
reticuladas, ou seja, aquelas constituídas por barras (elementos estruturais que possuem 
um eixo claramente definido). 
 Essas estruturas abrangem os tipos mais usuais, como a configuração de uma 
cobertura ou a estrutura básica de um edifício metálico. Mesmo em situações em que 
nem todos os elementos de uma estrutura podem ser categorizados como barras, como 
é o caso de edifícios de concreto armado, é comum realizar uma análise simplificada 
do comportamento global ou parcial da estrutura, utilizando-se um modelo baseado 
em barras.
 Devido à complexidade presente na análise de sistemas estruturais integrando 
todos os seus componentes, utiliza-se de hipóteses simplificadoras na construção dos 
modelos matemáticos para se analisar uma estrutura (SORIANO, 2013).
 Ainda de acordo com o mesmo autor, uma das simplificações mais utilizadas é a 
decomposição da estrutura em partes para se realizar sua análise, com a transmissão de 
esforços ocorrendo entre essas partes. Além disso, para facilitar a análise, as estruturas 
são consideradas como barras e estruturas contínuas.
1.1 OBJETIVO DA ANÁLISE ESTRUTURAL
1.2 NOÇÕES PRELIMINARES DAS ESTRUTURAS EM BARRAS
11
 As estruturas precisam ser concebidas de maneira a suportar as cargas às quais 
estão expostas, sem comprometer a segurança e a funcionalidade do edifício. Para 
atingir o objetivo, o projetista deve ter a capacidade de identificar todas as forças que 
atuam de forma regular ou excepcional sobre a estrutura ao longo de sua vida útil 
(ADORNA, 2017).
 Segundo Soriano (2013), as ações podem ser externas (ativas e reativas) e 
esforços seccionais ou transações internas, onde as ações externas ativas referem-se 
às forças que atuam sobre a estrutura devido a agentes externos e são subdivididas em 
permanentes, acidentais e especiais. 
 As ações permanentes operam de maneira contínua ao longo de toda a vida 
útil da estrutura, como o peso próprio da estrutura e dos elementos estruturais fixos. Já 
as ações acidentais, também chamadas de variáveis, ocorrem esporadicamente ao 
longo da vida útil, incluindo exemplos como o peso de pessoas e veículos estacionados, 
bem como a ação do vento na estrutura. 
 As ações ordinárias são de curta duração, alta intensidade e baixa probabilidade 
de ocorrência, englobando eventos como explosões, incêndios, choques de veículos, 
impactos de projetos e sismos. Por fim, as ações externas reativas manifestam-se nos 
vínculos externos, ou apoios, impedindo movimentos estruturais e equilibrando as ações 
externas ativas.
 De acordo com Martha (2022), um modelo estrutural apresenta condições de 
contorno em termos de deslocamentos e rotações, que representam as conexões 
do modelo com o meio externo, como as fundações da estrutura ou outra estrutura 
conectada a ela. A ligação entre um modelo estrutural e o meio externo é expressa por 
meio de apoios, que representam condições de suporte nos pontos de contato externo. 
Na Figura 1, podemos observar os principais apoios utilizados em modelos estruturais.
Estruturas em barras ou estruturas reticuladas são aquelas nas quais uma das dimen-
sões é preponderante em relação às suas demais dimensões. Estruturas contínuas são 
aquelas formadas por um ou mais componentes em que não se caracteriza uma única 
dimensão preponderante.
FIQUE ATENTO
12
Figura 1: Condições de apoio com suas respectivas reações
Fonte: Martha (2022)
Figura 2: Esforços internos em uma barra
Fonte: Soriano (2013)
 Adorna (2017) diz que, “os esforços solicitantes internos são resultantes da ação 
mútua entre as partes das seções, sendo causados também indiretamente pela ação 
das variações de temperatura, pela retração e por outros fenômenos de comportamento 
do material.” 
 Os esforços internos atuantes em uma barra são classificados em: esforço normal 
(N), esforço cortante (V), momento de flexão (M) e momento de torção (T). Na Figura 2, 
nota-se os esforços internos atuantes em uma barra.
 Além disso, as estruturas em barras podem ser classificadas quanto à geometria 
e esforços seccionais, ao equilíbrio, ao material utilizado, à finalidade e ao processo de 
fabricação. Quanto a geometria e aos esforços seccionais, temos os elementos do tipo 
viga, pórtico – no qual pode ser plano ou espacial –, grelha, treliça – que também pode 
13
Quadro 1: Tipos de estrutura quanto ao equilíbrio estático
Fonte: Disponível em: https://abrir.link/FCuZk. Acesso em: 20 fev.(2024)
 Outra classificação importante dentro do estudo de elementos de barra é quanto 
ao equilíbrio estático, onde as mesmas podem ser ditas como hipostáticas, isostáticas 
e hiperestáticas. Estruturas hipostáticas são aquelas em que o número de suportes 
e reações é menor do que o número de equações de equilíbrio disponíveis. Nessas 
estruturas, não há membros ou elementos suficientes para garantir a estabilidade e 
equilíbrio somente com as equações de equilíbrio. Geralmente, essas estruturas são 
instáveis ou colapsam sem suportes adicionais. Estruturas isostáticas são aquelas 
em que o número de suportes e reações é igual ao número de equações de equilíbrio 
disponíveis. Essas estruturas podem ser comprovadas usando apenas equações 
de equilíbrio de forças e momentos. Cada elemento da estrutura contribui para a 
determinação das reações sem criar redundâncias. Estruturas hiperestáticas são 
aquelas em que o número de suportes e reações é maior do que o número de equações 
de equilíbrio disponíveis. Essas estruturas têm membros ou elementos redundantes, o 
que significa que uma análise tradicional usando apenas as equações de equilíbrio não 
é suficiente. É necessário considerar também as deformações ou deslocamentos para 
obter soluções consistentes (SUSSEKIND, 1981).
 No Quadro 1, podemos observar cada tipo de estrutura citada acima.
ser plana ou espacial –, mista com arcos, escoras, membranas e cabos e/ou tirantes 
(SORIANO, 2013).
No livro Estática das Estruturas de Soriano (2013) você irá conseguir aprofundar 
sobre o conteúdo já abordado e, essencialmente, sobre as classificações que 
envolvem os elementos de barra. Link de acesso: https://abrir.link/wZTUd. Acesso 
em: 20 fev. 2024.
BUSQUE POR MAIS
Hipostática Isostática Hiperestática
Estrutura onde o número de 
reações de apoio é menor do 
que o número de equações 
de equilíbrio.
 
Estrutura onde o número 
de reações de apoio é 
menor do que equações 
de equilíbrio.
Estrutura onde o número 
de reações de apoio é 
menor do que equações 
de equilíbrio.
 As estruturas compostas por uma ou mais barras são conhecidas como estruturas 
lineares. Cruciais na indústria da construção, destacam-se nessa categoria as vigas, 
pilares, treliças, arcos, pórticos, entre outros. Os elementos estruturais cujo comprimento 
longitudinal é pelo menos três vezes superior à maior dimensão de sua seção transversal 
são designados como barras (EDMUNGO; GUIMARÃES; ROJAS, 2018).
 No Quadro 2, podemos observar os componentes de um sistema estrutural.
1.3 COMPONENTES E SISTEMAS ESTRUTURAIS
14
Componente Conceito Representação
Vigas Elementos lineares em que a 
flexão é o esforço preponde-
rante.
Pilares Elementos lineares de eixo reto, 
usualmente dispostos na verti-
cal, em que as forças normais 
de compressão são prepon-
derantes.
Tirantes Elementos lineares de eixo reto 
em que as forças normais de 
tração são preponderantes.
Arcos Esses são elementos lineares 
que possuem eixos curvos e 
estão principalmente sujeitos 
a forças de revisão normais, 
podendo ou não ser afetados 
simultaneamente por esforços 
de flexão, com todas as ações 
planejadas dentro de seu pla-
no.
Placas Estes são elementos de su-
perfície plana que estão sujei-
tos principalmente às forças 
normais em seu próprio plano. 
As placas feitas de concreto 
são frequentemente chama-
das de lajes. Placas com uma 
espessura que excede 1/3 do 
vão devem ser tratadas como 
placasespessas durante o 
estudo estrutural.
15
Chapas São elementos de superfície 
plana que estão principal-
mente sujeitos a forças conti-
das em seu próprio plano. As 
chapas de concreto, quando 
o vão é inferior a três vezes 
a maior dimensão da seção 
transversal, são comumente 
referidas como vigas-parede.
Quadro 2: Componentes de um sistema estrutural
Fonte: Disponível em: https://abrir.link/OHSoj. Acesso em: 22 fev. (2024)
Quadro 3: Tipos de sistemas estruturais
Fonte: Sales, Malite e Gonçalves (2020)
 Um elemento estrutural é um componente individual de uma estrutura, como uma 
viga ou coluna, responsável por desempenhar uma função específica na resistência e 
transferência de cargas. Já um sistema estrutural refere-se ao conjunto de elementos 
estruturais interconectados que, juntos, trabalham para suportar e transferir cargas 
coletivamente para as fundações. Enquanto um elemento foca em funções individuais, 
um sistema considera a interação e cooperação entre esses elementos.
 Os principais sistemas estruturais estão dispostos no Quadro 3.
Sistema estrutural Conceito Representação
Sistemas lineares São aqueles compostos 
por vigas simples, vigas 
contínuas, vigas contínuas 
rotuladas.
Sistemas Planos Os sistemas planos são 
os pórticos, arcos, treli-
ças, grelhas, vigas-balcão, 
dentre outros.
Sistemas Espaciais Os sistemas espaciais são 
suportados em duas estru-
turas funcionais. Um exem-
plo comum são as estrutu-
ras de edifícios, compostas 
por pórticos espaciais de 
vários andares e múltiplos 
andares.
16
 No âmbito da análise estrutural, o cálculo refere-se à obtenção dos esforços 
internos na estrutura, das respostas nos apoios, dos deslocamentos e rotações, 
bem como das tensões e deformações. As metodologias de design representam 
procedimentos matemáticos resultantes das suposições propostas na concepção do 
modelo estrutural.
 Martha (2022, p. 77) disserta que, 
 A fundamentação dos métodos de análise estrutural reside na imposição 
dessas condições. Em outras palavras, as metodologias dos métodos denominados 
fundamentais de análise estrutural são delineadas pela maneira como essas condições 
são impostas.
1.4 CONDIÇÕES BÁSICAS DA ANÁLISE ESTRUTURAL
As condições matemáticas que o modelo estrutural 
tem de satisfazer para representar adequadamente o 
comportamento da estrutura real podem ser divididas 
nos seguintes grupos:
•condições de equilíbrio;
•condições de compatibilidade entre deslocamentos e 
deformações;
•condições sobre o comportamento dos materiais que 
compõem a estrutura (leis constitutivas dos materiais).
Aprofunde o conhecimento a respeito das condições básicas da análise estru-
tural que são apresentadas no livro Análise de Estruturas: Conceitos e Métodos 
básicos de Luiz Fernando Martha, disposto na biblioteca virtual. Disponível em: 
https://abre.ai/jKyc. Acesso em: 24 fev. 2024.
BUSQUE POR MAIS
 Os métodos básicos para a análise estrutural são: método das forças e método 
dos deslocamentos. Tais métodos auxiliam, essencialmente, no estudo e análise de 
estruturas hiperestáticas, onde o primeiro método desenvolvido foi o método das forças.
Neste método específico, as incógnitas primordiais do problema residem nas forças e 
momentos, os quais podem ser traduzidos em respostas de apoio ou esforços internos. 
Todas as demais incógnitas são expressas em termos das incógnitas primárias eleitas e, 
posteriormente, inseridas nas equações de compatibilidade, as quais, por conseguinte, 
são devidamente solucionadas (SUSSEKIND, 1981).
 A essência do método das forças relativas à determinação, dentro do conjunto 
de soluções em forças que atendem às condições de equilíbrio, da solução que 
simultaneamente satisfez as condições de compatibilidade (SUSSEKIND, 1981).
 O segundo método fundamental na análise de estruturas é conhecido como o 
método dos deslocamentos. Neste método, as incógnitas primordiais do problema 
consistem em deslocamentos e rotações. Todas as demais incógnitas são expressas 
em termos das incógnitas principais escolhidas e, posteriormente, maximizadas em 
1.5 MÉTODOS BÁSICOS DA ANÁLISE ESTRUTURAL
17
equações de equilíbrio, as quais são então resolvidas (SORIANO; LIMA, 2004).
 A ideia central do método dos deslocamentos reside em determinar, entre o conjunto 
de soluções em deslocamentos que satisfaçam as condições de compatibilidade, qual 
solução proporciona também a satisfação das condições de equilíbrio (SORIANO; LIMA, 
2004).
 No Quadro 4, podemos observar a comparação entre parâmetros dos métodos 
apresentados.
Método das forças Método dos deslocamentos
Ideia básica: Determinar, dentro do con-
junto de soluções em forças que satisfa-
zem as condições de equilíbrio, qual das 
soluções faz com que as condições de 
compatibilidade também sejam satisfei-
tas.
Ideia básica: Determinar, dentro do 
conjunto de soluções em desloca-
mentos que satisfazem as condições 
de compatibilidade, qual das soluções 
faz com que as condições de equilíbrio 
também sejam satisfeitas.
Metodologia: Superpor uma série de 
soluções estaticamente determinadas 
(isostáticas) que satisfazem as condições 
de equilíbrio da estrutura para obter uma 
solução final que também satisfaz as 
condições de compatibilidade.
Metodologia: Superpor uma série de 
soluções cinematicamente determina-
das (configurações deformadas co-
nhecidas) que satisfazem as condições 
de compatibilidade da estrutura para 
obter uma solução final que também 
satisfaz as condições de equilíbrio.
Incógnitas: Hiperestáticos: forças e mo-
mentos associados a vínculos exceden-
tes à determinação estática da estrutura.
Incógnitas: Deslocabilidades: compo-
nentes de deslocamentos e rotações 
nodais que definem a configuração 
deformada da estrutura
Número de incógnitas: É o número de 
incógnitas excedentes das equações de 
equilíbrio, denominado grau de hiperes-
taticidade
Número de incógnitas: É o número de 
incógnitas excedentes das equações 
de compatibilidade, denominado grau 
de hipergeometria.
Estrutura auxiliar utilizada nas soluções 
básicas: Sistema principal (SP): estrutura 
estaticamente determinada (isostática) 
obtida da estrutura original pela elimina-
ção dos vínculos excedentes associados 
aos hiperestáticos. Essa estrutura auxiliar 
viola condições de compatibilidade da 
estrutura original.
Estrutura auxiliar utilizada nas soluções 
básicas: Sistema hipergeométrico (SH): 
estrutura cinematicamente determina-
da (estrutura com configuração defor-
mada conhecida) obtida da estrutura 
original pela adição dos vínculos ne-
cessários para impedir as desloca-
bilidades. Essa estrutura auxiliar viola 
condições de equilíbrio da estrutura 
original.
Equações finais: São equações de com-
patibilidade expressas em termos dos 
hiperestáticos. Essas equações recom-
põem as condições de compatibilidade 
violadas nas soluções básicas.
Equações finais: São equações de 
equilíbrio expressas em termos das 
deslocabilidades. Essas equações re-
compõem as condições de equilíbrio 
violadas nas soluções básicas.
18
Termos de carga das equações finais: 
Deslocamentos e rotações nos pontos 
dos vínculos liberados no SP provocados 
pela solicitação externa (carregamento).
Termos de carga das equações finais: 
Forças e momentos (reações) nos vín-
culos adicionados no SH provocados 
pela solicitação externa (carregamen-
to)
Coeficientes das equações finais: Coefi-
cientes de flexibilidade: deslocamentos e 
rotações nos pontos dos vínculos libera-
dos no SP provocados por hiperestáticos 
com valores unitários atuando isolada-
mente
Coeficientes das equações finais: Coe-
ficientes de rigidez: forças e momentos 
nos vínculos adicionados no SH para 
impor configurações deformadas com 
deslocabilidades isoladas com valores 
unitários.
Quadro 4: Comparação entre o método das forças e o método dos deslocamentos
Fonte: Martha (2022).
 Na formalização dos princípios fundamentais da análise estrutural, utiliza-se o 
princípio da superposição de efeitos. Esse princípio estabelece que asobreposição 
dos campos de deslocamento causados por vários sistemas de forças que atuam 
isoladamente é equivalente ao campo de deslocamento gerado pelos mesmos 
sistemas de forças estimuladas simultaneamente (GARRISON, 2018). Veja na Figura 2, 
como funciona a superposição de efeitos.
1.6 COMPORTAMENTO LINEAR E SUPERPOSIÇÃO DE EFEITOS
Figura 3: Combinação linear de duas forças e os correspondentes deslocamentos
Fonte: Martha (2022)
O princípio da superposição de efeitos pode ser utilizado em qualquer tipo de estrutura e 
em qualquer condição imposta? Martha (2022) diz que a aplicação desse princípio exige 
que a estrutura apresente um comportamento linear, fundamentado em duas condições 
essenciais. A primeira delas é que o material está operando no regime elástico-linear. A 
segunda condição é a validade das hipóteses de pequenos posicionamentos.
VAMOS PENSAR?
19
Em muitas situações, as estruturas civis apresentam deslocamentos pequenos em rela-
ção às dimensões características de seus elementos, como o comprimento da barra ou a 
altura da seção transversal.
20
FIXANDO O CONTEÚDO
1. (CESGRANRIO – 2010). O princípio da superposição de efeitos, que permite combinar 
os efeitos de carregamentos distintos sobre uma estrutura, se aplica a estruturas
a) Em catenária.
b) Com efeitos de segunda ordem.
c) Com comportamento elástico-linear e a pequenas deformações.
d) Com comportamento elástico-plástico e a grandes deformações.
e) Calculadas empregando-se o método .
2. (AVANÇA SP – 2023). Em edifícios, pontes e outras instalações mais comuns de 
engenharia civil, dois ou mais tipos estruturais básicos, tais como vigas, pilares, lajes e 
treliças etc. são montados em conjunto para formar um sistema estrutural que pode 
transmitir as cargas aplicadas para o solo através da fundação. Dentre os diversos tipos 
de cargas aplicadas à estrutura temos:
I. __________ são as cargas de grandezas e/ou posições diferentes provenientes 
pela utilização da estrutura. Às vezes, estas termo é usado para se referir a toda a 
carga sobre a estrutura que não sejam as cargas permanentes, incluindo as cargas 
ambientais, tais como as cargas de neve ou de vento.
II. __________ são produzidas pelo seu fluxo em torno da estrutura. Suas magnitudes 
dependem da localização geográfica da estrutura, obstruções no seu terreno 
circundante, tais como edifícios próximos, e da geometria e das características 
vibracionais da própria estrutura.
III. Em alguns países de clima frio, as __________ devem ser consideradas no projeto 
de estruturas.
Este tipo de carga pode ser obtida nas normas de construção ou nos dados 
meteorológicos para a região específica.
Assinale a alternativa que preenche, correta e respectivamente, as lacunas do texto:
a) Cargas acidentais – cargas de terremoto – cargas de vento.
b) Cargas de vento – cargas acidentais – cargas de neve.
c) Cargas acidentais – cargas de vento – cargas de neve.
d) Cargas de vento – cargas de neve – cargas acidentais.
e) Cargas acidentais – cargas de vento – cargas de terremoto.
3. (CEBRASPE – 2023).
21
A figura anterior apresenta uma estrutura que, em função do número de reações de 
apoio ou vínculos que possui, pode ser classificada como
a) Hipostática.
b) Isostática.
c) Treliça plana.
d) Hiperestática.
e) Estaticamente indeterminada.
4. (IFTO – 2023). Grelha é considerada uma estrutura plana onde as cargas atuam na 
direção perpendicular ao seu plano. Considere as afirmativas a seguir:
I. Grelhas são estruturas reticuladas.
II. As barras das grelhas estão submetidas a 3 esforços simples: Esforço Normal (N), 
Momento Fletor (M) e Momento Torsor (Mt).
III. As grelhas para serem consideradas isostáticas, o número de reações de apoio ou 
vínculos deverá ser igual ao número de equações fornecidas pelas condições de 
equilíbrio da estática.
Estão corretas apenas as afirmativas:
a) II e III;
b) I e III;
c) I e II;
d) I,II e III;
e) I, apenas.
5. A respeito do método das forças, assinale a alternativa correta
a) Determinar o conjunto de solução em forças que satisfazem as condições de equilíbrio, 
onde uma das soluções irá satisfazer as condições de compatibilidade.
b) Determinar o conjunto de solução em forças que satisfazem as condições de 
compatibilidade, onde uma das soluções irá satisfazer as condições de equilíbrio.
c) O número de incógnitas excedentes das equações de equilíbrio, denominado grau 
de hipergeometria.
d) A estrutura auxiliar básica é o sistema hipergeométrico.
e) Os coeficientes de rigidez são os coeficientes das equações finais.
6. A respeito do método dos deslocamentos, assinale a alternativa correta.
22
a) Determinar o conjunto de solução em forças que satisfazem as condições de equilíbrio, 
onde uma das soluções irá satisfazer as condições de compatibilidade.
b) Determinar o conjunto de solução em forças que satisfazem as condições de equilíbrio, 
onde uma das soluções irá satisfazer as condições de apoio.
c) O número de incógnitas excedentes das equações de equilíbrio, denominado grau 
de hipergeometria.
d) A estrutura auxiliar básica é o sistema principal.
e) Os coeficientes de flexibilidade são os coeficientes das equações finais.
7. Qual das condições a seguir faz parte das condições básicas da análise estrutural?
a) Condições de elasticidade.
b) Condições de movimentação.
c) Condições sobre o comportamento dos materiais que não compõe a estrutura.
d) Condições sobre o comportamento dos materiais que compõe a estrutura.
e) Nenhuma das opções.
8. (NUCEPE – 2012). Para a análise de estruturas hiperestáticas têm-se dois métodos 
principais: o Método das Forças e o Método dos Deslocamentos. A esse respeito, analise 
as proposições a seguir.
1) No Método das Forças, conhecido também como Método da Flexibilidade, as incógnitas 
primárias são as reações de apoio e/ou esforços seccionais.
2) O Método dos Deslocamentos, também conhecido por Método das Deformações, 
tem como incógnitas primárias os deslocamentos e rotações em pontos escolhidos na 
estrutura.
3) O Método da Rigidez é uma combinação dos métodos clássicos (o das Forças e o 
dos Deslocamentos), no qual se introduzem incrementos matriciais para o cálculo com 
computadores.
4) O Método das Forças pode ser resumido de acordo com a seguinte sistemática: 
I- Escolha de um sistema isostático (ou principal) pela retirada das restrições de um 
conjunto de redundantes estáticas da estrutura inicial. II- Cálculo dos coeficientes 
de flexibilidade e de cargas. III-Montagem e resolução do sistema de equações de 
compatibilidade e IV- Obtenção dos esforços finais.
5) O Processo de Cross é um caso particular do Método dos Deslocamentos.
Estão corretas, apenas: 
a) 2, 3 e 4.
b) 1, 3 e 5.
c) 1, 3 e 4.
d) 2, 3 e 5.
e) 1, 2 e 4.
23
PRINCÍPIO DOS 
TRABALHOS VIRTUAIS
24
 Vamos analisar uma barra com seção transversal constante sujeita a uma força 
axial, conforme apresentada na Figura 3. Podemos notar que l e δ são, respectivamente, o 
comprimento inicial e o alongamento da barra devido à aplicação da força P (SORIANO; 
LIMA, 2004). 
 A força P é assumida como aumentando gradualmente de zero até seu valor final, 
sem a presença de forças de inércia e amortecimento. Para um material elástico linear, 
e desconsiderando o efeito do tempo, o diagrama força-alongamento resultante é 
mostrado na Figura 3. Assume-se que, em compressão, o diagrama força-encurtamento 
possui a mesma inclinação que em tração (SORIANO; LIMA, 2004).
 Devido à aplicação da força normal P, há um afastamento entre duas seções 
transversais adjacentes, resultando na tensão normal σ = P/A.
 O trabalho mecânico realizado pela força P é expresso por:
 onde isto também representa a área sob o segmento linear força-alongamento 
representado na Figura 3.
2.1 TRABALHO DE FORÇAS EXTERNAS E ENERGIA DE DEFORMAÇÃO
𝑊 = � 𝑃𝑑𝛿
𝛿
0
=
1
2 𝑃𝛿
O termo elástico quer dizer que o material consegue retornar ao seu estado original, após 
sofrer algum carregamento externo, sem deformações residuais, isto é, recuperando-sedo trabalho realizado.
FIQUE ATENTO
Figura 4: Tração em barra de material elástico linear
Fonte: Soriano e Lima (2004)
25
 Isso é uma manifestação específica do princípio da conservação de energia, 
pois reflete que o trabalho realizado pela força externa P é armazenado como trabalho 
das forças internas na barra, conhecido como trabalho de deformação ou energia 
de deformação. As forças internas são compostas por componentes de tensão 
multiplicados por elementos infinitesimais de área. As resultantes dessas forças em 
cada seção transversal da barra são os esforços solicitantes descritos, os quais, no caso 
da barra da Figura 3, se reduzem à força normal (SORIANO; LIMA, 2004).
 Com isso, vamos ter que a energia de deformação da barra será:
 onde V é o volume da barra e ε=δ/l é a deformação específica (longitudinal). 
 Dessa mesma equação, podemos extrair a energia de deformação por unidade 
de volume ou densidade da energia de deformação.
 Ainda de acordo com Soriano e Lima (2004), ao aplicar simultaneamente diversas 
forças concentradas em uma estrutura de comportamento linear, de acordo com o 
princípio da superposição de efeitos e levando em consideração a equação descrita 
acima, a expressão para o trabalho dessas forças é:
 onde δi, é o deslocamento do ponto de aplicação e na direção da i-ésima força, 
e onde o símbolo Σ indica o somatório dos produtos de 1 até o número total de forças.
Outro ponto importante é que a taxa de variação da densidade energética em relação 
a uma componente específica de deformação revela a respectiva tensão associada. 
Já a variação da energia de deformação em relação a uma força externa concentrada 
oferece o deslocamento do ponto de aplicação dessa força, seguindo sua própria 
direção. Este fenômeno constitui o segundo teorema de Carlo Alberto Pio Castigliano. 
Em contrapartida, a derivada dessa energia em relação a tal deslocamento fornece 
a força correspondente, caracterizando o primeiro teorema de Castigliano (MARTHA, 
2022).
𝑈 =
1
2𝑃𝛿 =
1
2�
𝑃𝛿
𝐴ℓ 𝑑𝑉
�
𝑉
=
1
2�𝜎𝜀𝑑𝑉
�
𝑉
𝑈 = �𝑈∗𝑑𝑉
�
𝑉
𝑈∗ =
1
2𝜎𝜀
𝑊 =
1
2�𝑃𝑖𝛿𝑖
�
𝑖
 O axioma da conservação de energia se apresenta de maneira altamente 
intuitiva, entretanto, sua aplicabilidade se restringe consideravelmente quando se trata 
de calcular deslocamentos em estruturas. Fundamentalmente, conforme elucidado na 
seção anterior, esse axioma apenas viabiliza o cálculo de deslocamentos no caso de 
uma carga concentrada, exigindo que o deslocamento calculado ocorra no ponto de 
aplicação da força e na direção dela. De modo análogo, é factível calcular a rotação na 
2.2 PRINCÍPIO DOS TRABALHOS VIRTUAIS
26
direção de um momento concentrado aplicado (MARTHA, 2022).
 Ainda de acordo com Martha (2022), a generalização proposta em relação ao 
princípio da conservação de energia destaca que, atualmente, não se estabelece 
nenhuma conexão entre o sistema de forças e a configuração deformada, a menos que 
ambos ajam sobre uma mesma estrutura. Em outras palavras, não existe uma relação 
direta de causa e efeito entre o sistema de forças A e a configuração deformada B. As 
únicas condições impostas são as seguintes: (FA, σA) deve satisfazer o equilíbrio, e (DB, 
εB) deve atender à compatibilidade, de maneira isolada.
 A equação harmoniosa entre o trabalho externo e a energia de deformação 
interna, conciliando esses dois sistemas autônomos, culmina no estabelecimento do 
princípio dos trabalhos virtuais (PTV):
 em que:
 𝑊�𝐸 = �𝐹𝐴 � 𝐷𝐵
�
�
 → trabalho virtual das forças externas (FA) com os correspondentes 
deslocamentos externos (DB);
 𝑈� = �𝜎𝐴 � 𝜀𝐵 
�
�
→ energia de deformação interna virtual armazenada em uma 
estrutura, combinando as tensões internas (σA) com as correspondentes deformações 
internas (εB).
 A energia de deformação interna vai relacionar os esforços internos que ocorrem 
nas estruturas, isto é, terá as parcelas referentes ao esforço normal, cortante, momento 
fletor e momento torsor. Entretando, em análise no plano, não há a parcela do momento 
torsor e o PTV só é válido quando se sistema de forças satisfazer as condições de 
equilíbrio e se a configuração deformada satisfizer as condições de compatibilidade 
(SUSSEKIND, 1981).
 Com isso, temos que:
 Assim, esse princípio pode ser empregado para estabelecer condições de 
compatibilidade em relação a uma configuração deformada (D, d) qualquer. É suficiente 
selecionar de forma arbitrária um sistema de forças (F, f), denominado virtual, do qual 
se saiba que atende às condições de equilíbrio. Essa variante do PTV é designada como 
princípio das forças virtuais e será abordada na seção subsequente.
𝑊�𝐸 = 𝑈�→�𝐹𝐴 � 𝐷𝐵 = �𝜎𝐴 � 𝜀𝐵
�
�
�
�
𝑈� = �
𝑁�𝑁
𝐸𝐴 𝑑𝑠+ �𝑥
𝑄�𝑄
𝐺𝐴 𝑑𝑠 + �
𝑀�𝑀
𝐸𝐼 𝑑𝑠
�
𝑙
�
𝑙
�
𝑙
PTV = Princípio dos Trabalhos Virtuais.
GLOSSÁRIO
 Em uma estrutura de material elástico linear, o teorema das forças virtuais se 
2.3 PRINCÍPIO DAS FORÇAS VIRTUAIS
27
 Os deslocamentos que delineiam a deformação inicial da viga podem 
ser interpretados como deslocamentos virtuais em tais vigas auto equilibradas. 
Contrariamente, considerando que os sistemas de forças em equilíbrio são arbitrários, 
podem ser denominados virtuais, e esses deslocamentos, reais, deduz-se da equação 
que:
configura como uma expressão alternativa do teorema dos deslocamentos virtuais. 
O propósito é otimizar a aplicação desse teorema em cenários específicos (SORIANO; 
LIMA, 2004).
 Considere-se uma estrutura de comportamento linear sob a influência de forças 
externas e deslocamentos prescritos, tal como a representada na Figura 4, uma viga 
contínua. Desconsiderando essas ações e as condições de apoio da viga, analisemos 
sistemas de forças externas em equilíbrio, como demonstrado pelas vigas auto 
equilibradas na Figura.
Figura 5: Viga contínua
Fonte: Soriano e Lima (2004)
�𝑃�𝑖𝛿𝑖
�
𝑖
+ �𝑅�𝑖𝛿𝑖
�
𝑖
= � 𝑁�
𝑑𝛿
𝑑𝑥 + 𝑀�
𝑑𝜑
𝑑𝑥 +
�
𝑥
𝑉�
𝑑𝜆
𝑑𝑥 + 𝑇�
𝑑𝜃
𝑑𝑥
 Na formulação apresentada, a barra sobre a notação indica uma magnitude 
virtual. Nesta equação, δi representa deslocamentos predefinidos, onde são arbitradas 
forças virtuais 𝑅�𝑖 , enquanto δi, simboliza deslocamentos reais, presumindo-se forças 
virtuais 𝑃�𝑖 em equilíbrio com 𝑅�𝑖 .
 Sem a notação virtual, temos que:
 Essa equação expressa o teorema ou princípio das forças virtuais da seguinte 
maneira: ao considerar em uma estrutura um sistema de forças equilibradas quaisquer, 
�𝑃�𝑖𝛿𝑖
�
𝑖
+ �𝑅�𝑖𝛿𝑖
�
𝑖
= �
𝑁�𝑁
𝐸𝐴 𝑑𝑥 + �𝑥
𝑄�𝑄
𝐺𝐴𝑣
𝑑𝑥 + �
𝑀�𝑀
𝐸𝐼 𝑑𝑥 + �
𝑇�𝑇
𝐺𝐽 𝑑𝑥
�
𝑙
�
𝑙
�
𝑙
�
𝑥
28
chamadas de virtuais, o trabalho virtual das forças externas é igual ao trabalho virtual 
das forças internas. 
 Ao considerar o momento como uma força virtual, o trabalho correspondente é 
o produto deste momento pela rotação real no ponto correspondente da estrutura em 
questão. Devido à semelhança entre o teorema dos deslocamentos virtuais e o teorema 
das forças virtuais anteriores, ambos podem ser referidos como Princípio dos Trabalhos 
Virtuais.
 Vamos solucionar o problema a seguir para melhor entender o método abordado.
 Considere a viga apresentada e calcule o deslocamento vertical do ponto B da 
estrutura, desprezando-se o efeito das deformações devidas à força cortante. EI = 
2x10^5 kN.m² (constante).
 Como visto, deve-se adicionar uma força virtual unitária no ponto onde se quer 
descobrir o deslocamento e montar o Estado de Forças (Virtual), como mostrado a 
seguir.
 Deve-se calcular as reações para o estado de forças e seu respectivo diagrama 
de momento fletor (DMF) como aprendido em disciplinas anteriores.
Aprofunde seu conhecimento no capítulo 7 do livro de Luiz Fernando Martha que 
retrata da metodologia adotada para o cálculo do PTV e está disponível no link: 
https://encurtador.com.br/uzMUW. Acesso em: 20 set. 2023.
BUSQUE POR MAIS
29
 Em seguida, determina-se o Estado de Deslocamento (Real), isto é, o estado decomportamento real da estrutura, calculando-se suas reações e diagrama de momento 
fletor.
 Logo após, aplica-se o Princípio dos Trabalhos Virtuais para determinar o 
deslocamento.
 Em várias situações durante a análise estrutural, torna-se imperativo estabelecer 
condições de congruência para uma configuração deformada. Por exemplo, ao calcular 
uma componente de deslocamento em um ponto específico de uma estrutura, almeja-
se determinar o valor do deslocamento que esteja alinhado com a configuração 
2.4 PRINCÍPIO DOS DESLOCAMENTOS VIRTUAIS
30
deformada da estrutura, a qual é induzida por alguma forma de solicitação (HIBBELER, 
2013).
 Martha (2022) retrata que o princípio dos deslocamentos virtuais (PDV) se destaca 
como uma das principais ferramentas para a determinação das forças (e momentos) 
necessárias para impor uma configuração deformada específica, compatível com uma 
estrutura.
 Da mesma forma que o PFV, o Princípio dos Deslocamentos Virtuais (PDV) faz uso 
de um sistema auxiliar virtual completamente independente do sistema real. Neste 
caso, o sistema real representa a estrutura para a qual se deseja estabelecer uma 
condição de equilíbrio. O sistema virtual opera com a mesma estrutura, mas assume 
uma configuração deformada (D, d) escolhida de forma arbitrária. 
 Essa escolha é feita de modo a garantir que uma única força (ou momento) 
desconhecida, aquela que se deseja calcular, execute trabalho externo. Vale ressaltar 
que a configuração deformada do sistema virtual não tem existência real, sendo 
chamada de "virtual" por ser uma abstração exclusivamente utilizada para fins de 
cálculo.
 Na Figura, podemos observar a representação de um modelo real e de um modelo 
respectivo virtual.
PFV = Princípio das Forças Virtuais e PDV = Princípio dos Deslocamentos Virtuais.
GLOSSÁRIO
Figura 6: Representação do PDV
Fonte: Martha (2022)
Observando a Figura 5, nota-se um sistema isostático, pode-se afirmar que a energia de 
deformação virtual é nula? Dado que a viga em questão é isostática, a distribuição de 
deslocamentos virtuais, resultante da aplicação de um deslocamento virtual unitário no 
ponto de apoio à esquerda, se assemelha a um movimento de corpo rígido. Tal condição 
acarreta a observação de que a energia associada à deformação virtual é nula (U = 0).
VAMOS PENSAR?
 Nota-se, que o conjunto de deslocamentos externos virtuais não necessita 
atender às condições de compatibilidade, sejam elas externas ou internas, da estrutura 
31
real. Conforme mencionado, a única restrição em relação à configuração deformada 
virtual consiste na compatibilidade dos deslocamentos externos virtuais com os 
deslocamentos relativos (ou deformações).
 Para a mesma estrutura já apresentada anteriormente e que está exposta a 
seguir, vamos calcular a rotação no ponto B, desprezando-se o efeito das deformações 
devidas à força cortante. 
 Para o cálculo da rotação, deve-se adicionar um momento virtual unitário no 
ponto onde se quer descobrir a rotação e montar o Estado de Forças (Virtual), como 
mostrado a seguir.
 Deve-se calcular as reações para o estado de forças e seu respectivo diagrama 
de momento fletor (DMF).
 Em seguida, determina-se o Estado de Deslocamento (Real), isto é, o estado de 
comportamento real da estrutura, calculando-se suas reações e diagrama de momento 
fletor.
Para aprofundar seu conhecimento e entendimento da aplicação do PDV, assista 
ao vídeo referente ao conteúdo, no qual apresenta partes teóricas e práticas da 
aplicação deste método e está disponível no link: https://encr.pw/wmcpb. Acesso 
em 20 fev. 2024.
BUSQUE POR MAIS
32
 Logo após, aplica-se o Princípio dos Trabalhos Virtuais para determinar a rotação.
33
FIXANDO O CONTEÚDO
1. (COPEVE-UFMS – 2015). O Princípio dos Trabalhos Virtuais (PTV), desenvolvido em 
1717 por John Bernoulli, no qual se considera uma carga virtual unitária aplicada à 
estrutura é também conhecido como “Método da Carga Unitária”. Com base nesse 
método, sendo o módulo de Elasticidade Longitudinal E = 200GPa, Momento de Inércia 
da Seção I = 500x106 mm^4, e, considerando apenas a parcela devido à flexão, o valor 
do deslocamento vertical (ΔB) na extremidade livre da viga em balanço é de: 
a) ΔB = 407,50mm
b) ΔB = 350,40mm
c) ΔB = 130,75mm
d) ΔB = 250,15mm
e) ΔB = 102,40 mm
2. (Adaptada de FUNDEP UFMG – 2018) O princípio dos trabalhos virtuais (PTV) permite ao 
engenheiro calcular uma única componente de deflexão a cada aplicação do método.
Sobre a aplicação do PTV para cálculo de deflexões em estruturas isostáticas (vigas, 
pórticos e treliças), é incorreto afirmar:
a) Com base no princípio da conservação de energia, o trabalho virtual presume que as 
cargas são aplicadas lentamente para que nem energia cinética nem calorífica sejam 
produzidas.
b) Se uma deflexão tem componentes vertical e horizontal, apenas uma análise em uma 
dessas direções é necessária para encontrá-la, pois a deflexão real é a soma vetorial 
das duas componentes ortogonais.
c) O PTV é útil no estabelecimento do método da carga unitária, que permite o cálculo 
de deslocamentos na análise linear de estruturas, recorrendo apenas a soluções 
equilibradas complementadas com as apropriadas leis constitutivas.
d) Para um corpo elástico, que atingiu sua configuração de equilíbrio, o trabalho virtual 
total das forças externas que nele atuam é igual ao trabalho virtual das forças internas 
nele atuantes, para todos os deslocamentos virtuais arbitrários, compatíveis com os 
vínculos do corpo, que lhe sejam impostos.
e) nenhuma das opções.
3. (FGV – 2023) Sobre o conjunto de deslocamentos impostos a estruturas na aplicação 
do princípio dos trabalhos virtuais, ou seja, os deslocamentos virtuais, analise as 
34
afirmativas a seguir.
I. Os deslocamentos são grandes, isto é, são parcelas de primeira ordem. II. Os 
deslocamentos são arbitrários, mas compatíveis com os vínculos internos e externos do 
sistema mecânico. III. Os deslocamentos são diferenciais, pois satisfazem as regras de 
diferenciação, comuns ao cálculo infinitesimal.
Está correto o que se afirma em
a) I, apenas. 
b) II, apenas. 
c) III, apenas. 
d) I e III, apenas. 
e) II e III, apenas. 
4. (IBFC – 2020). O princípio do trabalho virtual foi desenvolvido por John Bernoulli em 1717 
e, como outros métodos de análise, baseia-se na conservação de energia. A respeito do 
estudo sobre o deslocamento e a inclinação de um ponto sobre um corpo deformável, 
assinale a alternativa correta.
a) O princípio do trabalho virtual pode ser usado para determinar o deslocamento, mas 
não a inclinação em qualquer ponto sobre um corpo deformável
b) O princípio do trabalho virtual não pode ser usado para determinar o deslocamento 
nem a inclinação em qualquer ponto sobre um corpo deformável
c) O princípio do trabalho virtual pode ser usado para determinar o deslocamento 
e a inclinação em qualquer ponto sobre um corpo deformável, desde que não haja 
nenhuma força atuando sobre ele
d) O princípio do trabalho virtual pode ser usado para determinar o deslocamento e a 
inclinação em qualquer ponto sobre um corpo deformável
e) O princípio do trabalho virtual deixou de ser utilizado após a adoção do Sistema 
Internacional de Unidades
5. Qual das alternativas a seguir representa o Princípio das Forças Virtuais?
a) O princípio das forças virtuais (PFV) é uma das principais ferramentas para a 
determinação de deslocamentos em estruturas.
b) O princípio das forças virtuais (PFV) é uma das principais ferramentas para a 
determinação de forças em estruturas.
c) O princípio das forças virtuais (PFV) é uma das principais ferramentas para a 
determinação de apoios em estruturas.
d) O princípio dos deslocamentos virtuais (PFV) é uma das principais ferramentas para 
a determinação de deslocamentos em estruturas.
e) nenhuma das alternativas.
6. Qual das alternativas a seguir representa o Princípio dos Deslocamentos Virtuais?
35
a) O princípio dos deslocamentos virtuais (PDV) é uma das principais ferramentas para 
adeterminação de deslocamentos em estruturas.
b) O princípio dos deslocamentos virtuais (PDV) é uma das principais ferramentas para 
a determinação de forças em estruturas.
c) O princípio dos deslocamentos virtuais (PDV) é uma das principais ferramentas para 
a determinação de apoios em estruturas.
d) O princípio dos deslocamentos virtuais (PDV) é uma das principais ferramentas para 
a determinação de forças (e momentos) necessárias para impor uma determinada 
configuração deformada compatível com uma estrutura
e) nenhuma das alternativas.
7. Assim como o _____, o _____ utiliza um sistema auxiliar virtual que é completamente 
independente do sistema real, sendo este a estrutura da qual se quer estabelecer uma 
condição de equilíbrio.
Assinale a alternativa que substitui adequadamente os espaços em branco e 
respectivamente. 
a) PDV e PFV
b) PDV e PTV
c) PFV e PDV
d) PDD e PDT
d) PVV e PDT
8. O ______ utiliza um sistema auxiliar, chamado sistema virtual, completamente 
independente do sistema real, sendo este a estrutura da qual se quer calcular um 
deslocamento ou rotação (ou estabelecer uma condição de ______).
Assinale a alternativa que substitui adequadamente os espaços em branco e 
respectivamente. 
a) PDV e compatibilidade
b) PFV e equilíbrio
c) PDV e PFV
d) PFV e compatibilidade
e) compatibilidade e PFV
36
CÁLCULO DE 
DESLOCAMENTOS 
EM ESTRUTURAS
37
 O Teorema dos Trabalhos Virtuais é baseado no princípio de d’Alembert e Jean 
d'Alembert introduziu na Mecânica Racional os conceitos de deslocamento e trabalho 
virtual, explorando o seguinte cenário apresentado na Figura.
 Se considerarmos um ponto material m em equilíbrio, ou seja, sujeito a um conjunto 
de forças Pi cuja resultante é nula, como indicado na Figura 6. Suponhamos que a este 
ponto seja aplicado um deslocamento δ sem a introdução de novas forças no sistema, 
ou seja, mantendo a resultante igual a 0. Esse deslocamento não pode ser atribuído 
a nenhuma causa física real, pois para que ocorra um deslocamento real do ponto, 
seria necessário introduzir uma nova força no sistema, permitindo esse deslocamento 
real do ponto m. Portanto, tratemos esse deslocamento δ, dado nessas condições da 
resultante igual a 0, como uma entidade puramente matemática, à qual chamaremos 
de deslocamento virtual (Sussekind, 1980).
 Ainda de acordo com Sussekind (1980), ao considerarmos o trabalho virtual W 
realizado pelo conjunto de forças Pi que atuam sobre o ponto m quando ele sofre o 
deslocamento virtual δ, temos que W= R⃗∙δ⃗=0. Concluímos, portanto, que quando 
um ponto material está em equilíbrio (R⃗=0), o trabalho virtual realizado pelo sistema 
de forças reais em equilíbrio que atua sobre o ponto, quando este sofre qualquer 
deslocamento virtual arbitrário, é nulo. Esse princípio é conhecido como o princípio de 
d'Alembert.
 Isso assegura a aceitação do novo conceito (trabalhos virtuais), pois mantém, 
para o ponto que experimentou um deslocamento virtual, suas duas condições de 
equilíbrio: a estática (expressa pela resultante nula) e a energética (expressa pelo 
trabalho virtual realizado nulo).
 Para um ponto material em estado de equilíbrio, é sabido que o "trabalho 
efetivamente realizado pelo conjunto de forças atuando sobre ele é nulo"; segundo o 
princípio de d'Alembert, "o trabalho virtual realizado pelo conjunto de forças atuando 
3.1 APLICAÇÃO DO TEOREMA DOS TRABALHOS VIRTUAIS 
AOS CORPOS ELÁSTICOS
Figura 7: Ponto material em equilíbrio
Fonte: Sussekind (1980).
38
sobre ele é nulo para qualquer deslocamento virtual arbitrário imposto". Assim, ao 
substituirmos a palavra "efetivamente" no enunciado da proposição da Mecânica 
sobre o trabalho (efetivo) realizado por um ponto em equilíbrio por "virtual", obtemos 
a proposição sobre o trabalho virtual realizado por um ponto material em equilíbrio, 
quando este sofre um deslocamento virtual arbitrário (SUSSEKIND, 1980; SORIANO; LIMA, 
2004).
 Sussekind (1980) ainda reforça que considerando que corpos rígidos e elásticos 
são, em essência, uma agregação infinita de pontos materiais, podemos prontamente 
enunciar os teoremas sobre trabalhos virtuais aplicáveis a eles, substituindo a palavra 
"real" nos enunciados dos teoremas de trabalhos reais relacionados a esses dois tipos 
de corpos pela palavra "virtual". Dessa forma, temos:
 a) Para corpos rígidos: "Para um corpo rígido em estado de equilíbrio, a soma 
algébrica dos trabalhos virtuais de todas as forças (reais) que agem sobre ele é nula, 
para todos os deslocamentos virtuais arbitrários (compatíveis com os vínculos do 
corpo) que lhe impusermos."
 b) Para corpos elásticos: "Para um corpo elástico que alcançou sua configuração 
de equilíbrio, o trabalho virtual total das forças externas que agem sobre ele é igual 
ao trabalho virtual das forças internas (esforços simples) que nele atuam, para todos 
os deslocamentos virtuais arbitrários (compatíveis com os vínculos do corpo) que lhe 
impusermos."
Para melhor entender sobre as formulações que envolvem o teorema dos traba-
lhos virtuais para corpos elásticos, sugiro a leitura do capítulo 1 do livro de Sus-
sekind (1980), que trata sobre análise estrutural e abrange muito bem diversos 
conceitos importantes. Disponível em: https://acesse.dev/aFozz. Acesso em 20 
fev. 2024.
BUSQUE POR MAIS
 O uso de tabelas como auxílio nas integrais geradas no Princípio dos trabalhos 
Virtuais é uma prática comum dentro da análise de estruturas, na Figura, podemos 
notar uma das tabelas usuais.
3.2 USO DE TABELAS PARA OS CÁLCULOS DOS MOMENTOS REAIS E 
VIRTUAIS E A APLICAÇÃO EM ESTRUTURAIS USUAIS NA PRÁTICA
39
 Para melhor entender seu uso, observe o exemplo que se segue abaixo.
 Calcular a rotação da tangente à elástica em B, para a estrutura da Figura. Dado: 
EJc = 2 x 10^4 tm².
 Temos: 
 a) Estado de carregamento
 Para o estado de carregamento, é inserido um momento unitário no ponto B, 
montado o sistema de carregamento ou de forças, isto é, o virtual, calculado suas reações 
de apoio e determinado o seu diagrama de momento fletor que está apresentado a 
seguir.
Figura 8: Tabelas de momentos
Fonte: Disponível em: https://encr.pw/EbI4O. Acesso em: 20 set. 2023.
Figura 9: Exemplo de estrutura usual na prática
Fonte: Sussekind (1980).
40
 b) Estado de deformação
 Para o estado de deformação, isto é, o real, calcula-se suas reações de apoio e 
determina-se o seu diagrama de momento fletor que está apresentado a seguir.
 c) Cálculo de δ:
 Temos, empregando a tabela:
 Com auxílio da Tabela 7, identifica-se qual figura geométrica representa o 
comportamento do momento fletor para cada barra e aplica-se a equação apresentada. 
Por exemplo, para a barra 1, vamos ter um triângulo e um triângulo somado a uma 
parábola. Portanto, terá a equação determinada na tabela 7 para dois triângulos e para 
um triângulo e uma parábola, onde irá somar esses valores no final.
 Para os dois triângulos iremos ter que será um terço do comprimento (1/3.l) vezes 
o momento do diagrama do estado de deslocamento (real) vezes diagrama do estado 
de carregamento (virtual). Isso resultará em 1
3 ∙3 (comprimento da barra)×9(momento 
estado real)×0,5(momento estado virtual)=-4,5. Note que o valor é negativo, já que 
o diagrama no estado virtual é negativo e no estado real é positivo. Por fim, aplica-
se a integral do resultado ao longo da barra. Ele irá se seguir para determinar os 
deslocamentos nas outras barras.
41
 δ = - 1,4 x 10^-4 rad (O sentido correto é, pois, o anti-horário.)
Por que o sentido correto seria o anti-horário para o resultado do deslocamento final? 
Veja que o resultado deu negativo e isso indica que o sentido horário adotado inicialmen-
te para desenvolvimento dos cálculos, não é o sentido no qual a estrutura está realmente 
se deslocando.
VAMOS PENSAR?
No caso deste exemplo, a combinação dos diagramas poderia ter sido feita diretamente, 
pois as parábolas terminam com tangente horizontal (já que o esforço cortante é nulo), e 
este caso está tabelado; não o fizemos, entretanto,para ilustrar o procedimento a adotar 
no caso de tal não ocorrer.
FIQUE ATENTO
42
FIXANDO O CONTEÚDO
1. (CESGRANRIO – 2011). A lei de Hooke, a respeito dos corpos elásticos submetidos a 
tensão, enuncia-se como:
a) tensão é diretamente proporcional à deformação.
b) A temperatura aumentando, diminui a deformação para dada tensão.
c) A temperatura aumentando, diminui a tensão necessária para obter certa deformação.
d) A tensão de cisalhamento deforma apenas a superfície do corpo.
e) A tração provoca deformação maior que a compressão.
2. (Adaptada de FUNDEP – 2018). O princípio dos trabalhos virtuais (PTV) permite ao 
engenheiro calcular uma única componente de deflexão a cada aplicação do método.
Sobre a aplicação do PTV para cálculo de deflexões em estruturas isostáticas (vigas, 
pórticos e treliças), é incorreto afirmar:
a) Com base no princípio da conservação de energia, o trabalho virtual presume que as 
cargas são aplicadas lentamente para que nem energia cinética nem calorífica sejam 
produzidas.
b) Se uma deflexão tem componentes vertical e horizontal, apenas uma análise em uma 
dessas direções é necessária para encontrá-la, pois a deflexão real é a soma vetorial 
das duas componentes ortogonais.
c) O PTV é útil no estabelecimento do método da carga unitária, que permite o cálculo 
de deslocamentos na análise linear de estruturas, recorrendo apenas a soluções 
equilibradas complementadas com as apropriadas leis constitutivas.
d) Para um corpo elástico, que atingiu sua configuração de equilíbrio, o trabalho virtual 
total das forças externas que nele atuam é igual ao trabalho virtual das forças internas 
nele atuantes, para todos os deslocamentos virtuais arbitrários, compatíveis com os 
vínculos do corpo, que lhe sejam impostos.
e) todas estão incorretas.
3. Se considerarmos um ponto material m em equilíbrio e que a este ponto seja aplicado 
um deslocamento δ sem a introdução de novas forças no sistema, ou seja, mantendo a 
resultante igual a 0. Esse deslocamento não pode ser atribuído a nenhuma causa física 
real, pois para que ocorra um deslocamento real do ponto, seria necessário introduzir 
_______.
Assinale a alternativa correta
a) um deslocamento no espaço
b) uma força no sistema
c) um apoio
d) um tirante
e) um arco
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4. Ao considerarmos o trabalho virtual W realizado pelo conjunto de forças Pi que atuam 
sobre o ponto m quando ele sofre o deslocamento virtual δ, temos que 
a) 𝑊 = 𝑅 � 𝛿 = 10.
b) 𝑊 = 𝑅 � 𝛿 = 1.
c) 𝑊 = 𝑅 � 𝛿 = 11.
d) 𝑊 = 𝑅 � 𝛿 = 0.
e) nenhuma das alternativas.
5. Para um ponto material em estado de equilíbrio, é sabido que 
a) "trabalho efetivamente realizado pelo conjunto de forças atuando sobre ele não é 
nulo".
b) "trabalho efetivamente realizado pelo conjunto de forças atuando sobre ele é unitário".
c) "trabalho efetivamente realizado pelo conjunto de momentos atuando sobre ele é 
unitário".
d) "trabalho efetivamente realizado pelo conjunto de forças atuando sobre ele é nulo".
e) nenhuma das opções.
6. Segundo o princípio de d'Alembert, assinale a alternativa correta.
a) "O trabalho virtual realizado pelo conjunto de forças atuando sobre ele não é nulo 
para qualquer deslocamento virtual arbitrário imposto".
b) "O trabalho virtual realizado pelo conjunto de forças atuando sobre ele é unitário 
para qualquer deslocamento virtual arbitrário imposto".
c) "O trabalho virtual realizado pelo conjunto de forças atuando sobre ele é nulo para 
qualquer deslocamento virtual arbitrário imposto".
d) "O trabalho virtual realizado pelo conjunto de forças atuando sobre ele é positivo 
para qualquer deslocamento virtual arbitrário imposto".
e) "O trabalho virtual realizado pelo conjunto de forças atuando sobre ele é negativo 
para qualquer deslocamento virtual arbitrário imposto".
7. Para os corpos rígidos, em relação aos trabalhos virtuais, assinale a alternativa correta.
a) "Para um corpo rígido em estado de equilíbrio, a soma algébrica dos trabalhos virtuais 
de todas as forças (reais) que agem sobre ele é nula, para todos os deslocamentos 
virtuais arbitrários (compatíveis com os vínculos do corpo) que lhe impusermos."
b) "Para um corpo rígido em estado de desorganização, a soma algébrica dos 
trabalhos virtuais de todas as forças (reais) que agem sobre ele é unitária, para todos 
os deslocamentos virtuais arbitrários (compatíveis com os vínculos do corpo) que lhe 
impusermos."
c) "Para um corpo rígido em estado de equilíbrio, a soma algébrica dos trabalhos virtuais 
de todas as forças (reais) que agem sobre ele é unitária, para todos os deslocamentos 
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virtuais arbitrários (compatíveis com os vínculos do corpo) que lhe impusermos."
d) "Para um corpo rígido em estado de equilíbrio, a soma algébrica dos trabalhos virtuais 
de todas as forças (reais) que agem sobre ele é negativa, para todos os deslocamentos 
virtuais arbitrários (compatíveis com os vínculos do corpo) que lhe impusermos."
e) "Para um corpo rígido em estado de desorganização, a soma algébrica dos trabalhos 
virtuais de todas as forças (reais) que agem sobre ele é negativa, para todos os 
deslocamentos virtuais arbitrários (compatíveis com os vínculos do corpo) que lhe 
impusermos."
8. Para os corpos elásticos, em relação aos trabalhos virtuais, assinale a alternativa que 
preenche a afirmação corretamente.
"Para um corpo elástico que alcançou sua configuração de ______, o trabalho virtual 
total das forças ______ que agem sobre ele é igual ao trabalho _____ das forças 
internas (esforços simples) que nele atuam, para todos os deslocamentos virtuais 
arbitrários (compatíveis com os vínculos do corpo) que lhe impusermos."
a) equilíbrio; internas; virtual.
b) equilíbrio; externas; virtual.
c) equilíbrio; externas; real.
d) equilíbrio; internas; real.
e) compatibilidade; externas; virtual.
45
MÉTODO DAS FORÇAS
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 Soriano e Lima (2004), diz que o propósito do método das forças consiste em 
determinar um conjunto de reações ou esforços solicitantes excedentes ao equilíbrio 
estático de uma estrutura hiperestática. Isso viabiliza o cálculo de outras reações ou 
esforços por meio das equações da estática.
 O método das forças aborda a resolução do problema considerando grupos 
específicos de condições a serem atendidas pelo modelo estrutural, seguindo uma 
ordem cuidadosamente delineada:
 1º: Condições de equilíbrio.
 2º: Condições relacionadas ao comportamento dos materiais (leis constitutivas).
 3º: Condições de compatibilidade.
 Na prática, entretanto, a metodologia empregada pelo método das forças para 
analisar uma estrutura hiperestática é agregar uma série de soluções fundamentais 
que satisfaçam as condições de equilíbrio, mas que não atendam às condições de 
compatibilidade da estrutura original. Posteriormente, através da superposição, 
restabelecer as condições de compatibilidade (SUSSEKIND, 1980). 
 Cada solução fundamental (designada como caso essencial) não atende, 
de forma isolada, todas as condições de compatibilidade da estrutura original. Tais 
condições são restauradas por meio da sobreposição de todos os casos fundamentais 
(MARTHA, 2022).
 A estrutura empregada para a superposição das soluções fundamentais é, 
comumente, uma estrutura isostática acessória derivada da estrutura original pela 
remoção de vínculos. Essa estrutura isostática é denominada sistema principal (SP). As 
forças ou momentos vinculados liberados, conhecidos como hiperestáticos, constituem 
as incógnitas do problema (MARTHA, 2022).
 Uma estrutura se diz hiperestática quando as equações de equilíbrio da estática 
não são suficientes para solucioná-la, isto é, o número de equações é menor do que o 
número de incógnitas. Vamos observar a estrutura disposta na Figura.
4.1 CONCEITOS INTRODUTÓRIOS
4.2 GRAU DE HIPERESTATICIDADE E SISTEMA PRINCIPAL
Figura 10: Componentes de reações de apoio da estrutura
Fonte: Martha (2022)
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 Para investigar a estrutura quanto às condições de equilíbrio, as cinco componentes 
das reações de apoio da estrutura são apresentadas na Figura