Modelagem e Controle de Sistemas unidade 5

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Modelagem e Controle 
de Sistemas
Material Teórico
Responsável pelo Conteúdo:
Prof.ª Dr.ª Claudia Barros dos Santos Demori
Revisão Textual:
Prof.ª Me.ª Natalia Conti
Análise da resposta Transitória de Sistemas 
de Primeira e Segunda Ordem
• Análise da Resposta Transitória 
e de Regime Estacionário;
• Sistemas de Segunda Ordem.
 · Aplicar o conteúdo de toda disciplina à análise da resposta de um 
sistema a determinados tipos de sinais de entrada;
 · Avaliar o comportamento de sistemas de primeira e segunda ordem 
para sinais de entrada típicos;
 · Reconhecer e saber escrever a função de transferência de malha fe-
chada de um sistema;
 · Recorrer a sua anti-transformada de Laplace; 
 · Esboçar o gráfico de resposta transitória do sistema como uma fun-
ção do tempo.
OBJETIVO DE APRENDIZADO
Análise da resposta Transitória de 
Sistemas de Primeira e Segunda Ordem
Orientações de estudo
Para que o conteúdo desta Disciplina seja bem 
aproveitado e haja maior aplicabilidade na sua 
formação acadêmica e atuação profissional, siga 
algumas recomendações básicas: 
Assim:
Organize seus estudos de maneira que passem a fazer parte 
da sua rotina. Por exemplo, você poderá determinar um dia e 
horário fixos como seu “momento do estudo”;
Procure se alimentar e se hidratar quando for estudar; lembre-se de que uma 
alimentação saudável pode proporcionar melhor aproveitamento do estudo;
No material de cada Unidade, há leituras indicadas e, entre elas, artigos científicos, livros, vídeos 
e sites para aprofundar os conhecimentos adquiridos ao longo da Unidade. Além disso, você 
também encontrará sugestões de conteúdo extra no item Material Complementar, que ampliarão 
sua interpretação e auxiliarão no pleno entendimento dos temas abordados;
Após o contato com o conteúdo proposto, participe dos debates mediados em fóruns de discus-
são, pois irão auxiliar a verificar o quanto você absorveu de conhecimento, além de propiciar o 
contato com seus colegas e tutores, o que se apresenta como rico espaço de troca de ideias e 
de aprendizagem.
Organize seus estudos de maneira que passem a fazer parte 
Mantenha o foco! 
Evite se distrair com 
as redes sociais.
Mantenha o foco! 
Evite se distrair com 
as redes sociais.
Determine um 
horário fixo 
para estudar.
Aproveite as 
indicações 
de Material 
Complementar.
Procure se alimentar e se hidratar quando for estudar; lembre-se de que uma 
Não se esqueça 
de se alimentar 
e de se manter 
hidratado.
Aproveite as 
Conserve seu 
material e local de 
estudos sempre 
organizados.
Procure manter 
contato com seus 
colegas e tutores 
para trocar ideias! 
Isso amplia a 
aprendizagem.
Seja original! 
Nunca plagie 
trabalhos.
UNIDADE Análise da resposta Transitória de 
Sistemas de Primeira e Segunda Ordem
Análise da Resposta Transitória e 
de Regime Estacionário
Já vimos em unidades anteriores que é possível analisar o comportamento de 
um sistema quando há uma função de entrada do tipo impulso, degrau, rampa, 
aceleração etc. Analisando a resposta do sistema a certos sinais de entrada é pos-
sível obter uma resposta sobre o próprio desempenho desse sistema ao longo do 
tempo. Essa resposta temporal é dividida em resposta transitória e resposta esta-
cionária. A resposta transitória é o comportamento que vai do estado inicial (por 
conveniência, considera-se que o sistema parte de repouso absoluto) até o estado 
final. Já a resposta estacionária é o comportamento de saída do sistema quando o 
tempo tende a infinito. 
Na prática, não se sabe qual será o sinal de entrada num sistema de controle. 
No entanto, no projeto de sistemas deve-se haver uma base de comparação do 
desempenho, estabelecida por testes específicos. Ou seja, detalhando-se sinais de 
entrada, temos uma resposta esperada pré-estabelecida. Sendo assim, estimamos 
a capacidade do sistema em responder a qualquer sinal de entrada real.
Note que já vimos como são, no geral, os sistemas de primeira ordem e segunda 
ordem. Todos os sistemas que têm a mesma função de transferência apresentarão 
a mesma saída para um mesmo impulso (sinal) de entrada. Além disso, sistemas de 
ordem superior apresentam respostas que no geral são combinações de sistemas 
de ordem 1 e 2.
Estabilidade de um Sistema
A estabilidade de um sistema é uma de suas características fundamentais. Por 
isso, no projeto, devem ser levados em consideração todos os seus componen-
tes e suas respectivas funções de transferência. Um sistema como um todo deve 
levar em consideração a Estabilidade absoluta, ou seja, o sistema é instável ou 
estável. O sistema, no geral, será estável se a saída tende a um estado de equi-
líbrio quando esse sistema é submetido a determinada condição inicial. Lembre-
-se, estamos estudando os sistemas lineares e invariantes no tempo.
O sistema será criticamente estável se as oscilações do sinal de saída se repetem 
continuamente. A saída, no entanto, poderá divergir a partir de um estado de equi-
líbrio, assim que o sistema for submetido a alguma condição inicial, e neste caso, 
o sistema é instável. 
Outra consideração a ser feita é o fato de que o sistema nem sempre respon-
derá imediatamente ao sinal de entrada. Ele pode apresentar o que chamamos de 
8
9
resposta transitória. Essa resposta transitória apresenta-se em formas de oscila-
ções amortecidas antes de o sistema entrar em equilíbrio e apresentar o chamado 
regime permanente. Normalmente pode ocorrer de o sinal de saída de um siste-
ma em regime permanente não coincidir com o sinal de entrada, essa diferença é 
conhecida como erro estacionário e é essa grandeza que indica quão preciso é 
o sistema. Sendo assim, no projeto deve-se considerar a resposta transitória e o 
estado estacionário do sistema.
Sistemas de Primeira Ordem
Vamos iniciar a nossa análise com a resposta de sistemas de primeira ordem a 
alguns dos sinais de entrada típicos. 
Já vimos com frequência a função de transferência de malha fechada para um 
sistema de primeira ordem:
C s
R s Ts
( )
( )
=
+
1
1
Vamos analisar a resposta desse sistema para uma entrada do tipo degrau, ou 
seja, R(s)=1⁄s (você pode conferir, utilizando a tabela de transformadas de Laplace).
C s
Ts s
( ) =
+
⋅
1
1
1
Para facilitar a análise e a leitura da tabela de transformadas de Laplace, vamos 
reescrever a equação utilizando as frações parciais:
C s
s
T
Ts
( ) = −
+
1
1
E rearranjando:
C s
s s T
( ) = −
+
1 1
1
Agora, vamos utilizar a anti-transformada de Laplace, para escrevermos a res-
posta C(s) em função do tempo c(t):
c t C s
c t e
t
T
( ) = ( )
( ) = −
−
−
L 1
1
9
UNIDADE Análise da resposta Transitória de 
Sistemas de Primeira e Segunda Ordem
Devemos considerar a função nula para valores de t < 0.
Vamos analisar alguns valores dessa função em relação à constante de tempo T, 
observando a tabela e o gráfico:
Tabela 1
t c(t)
0 0
T 0,6321
2T 0,8646
3T 0,9502
4T 0,9816
5T 0,9932
 
0T 1T 2T 3T 4T 5T
0.0
0.2
0.4
0.6
0.8
1.0
 
 
c(
t)
Tempo 
(0; 0,632)
(4T; 0,9816)
Entrada do tipo degrau unitário
Figura 1
Podemos inferir que para quando o tempo é igual à constante de tempo T, a 
resposta alcança 63,21 % de sua resposta total. Para quando o tempo é 2T, a res-
posta já é 86,46% de seu valor final, e assim por diante. Outra análise importante 
é verificar qual é a taxa de variação dessa resposta c(t) na origem, ou seja, como ela 
se comporta do início da medida ao longo do tempo. Para tanto, basta calcularmos 
a derivada no tempo da função c(t) para quando t = 0.
dc t
dt T
t
( )




 =
=0
1
10
11
Note, essa resposta nos mostra que c(t) varia com oinverso de T, ou seja, a 
função cresce mais rápido para valores próximos à origem, conforme t aumenta, 
a função passa a crescer menos, estabilizando o seu valor para uma resposta esta-
cionária. Observe no gráfico, para um tempo de 4T (ou seja, 4 vezes a constante 
de tempo), a resposta c(t) alcança 98% do seu valor final, o que é aceitável como 
regime estacionário. 
Agora vamos analisar a resposta de um sistema de primeira ordem a uma entra-
da do tipo rampa, ou seja R(s)=1⁄s2 . A resposta do sistema será:
C s
Ts s
( ) =
+
⋅
1
1
1
2
Para facilitar a leitura da tabela de transformadas de Laplace, vamos rearranjar 
a equação, utilizando as frações parciais:
C s T
s s
T
Ts
( ) = − + +
+
1
1
2
2
Agora, vamos utilizar a anti-transformada de Laplace para escrever a resposta 
C(s) em função do tempo c(t):
c t C s
c t T t Te
t
T
( ) = ( )
( ) = − + +
−
−
L 1
0T 1T 2T 3T 4T 5T
0T
1T
2T
 
 
c(
t)
Tempo 
Entrada do tipo rampa
Figura 2
11
UNIDADE Análise da resposta Transitória de 
Sistemas de Primeira e Segunda Ordem
Observe no gráfico acima, a saída c(t) é muito parecida com uma função do 
tipo rampa, exceto para valores pequenos de t. Podemos analisar o erro desse 
sistema. O erro é dado pela diferença entre função de entrada e de saída. Pode-
mos escrever:
Erro t r t c t
Erro t t T t Te
Erro t T e
t
T
t
T
( ) = ( ) − ( )
( ) = − − + +





( ) = +
−
−
1






Vamos observar a curva da resposta do sistema e do erro. Observe na equação 
acima que para t→∞ o erro se aproxima do valor T, que é a constante de tempo.
0T 1T 2T 3T 4T 5T
0
1
2
3
4
5
 
 
 
Tempo
 Saída (t)
 Entrada (t)
Erro em estado permanente
Figura 3
Observe que para um intervalo pequeno de tempo t (menor que a constante de 
tempo T), o erro entre saída e entrada é pequeno, no entanto, ao longo do tempo, 
esse valor (a distância entre as duas curvas) tende a se estabilizar, tendendo a T em 
regime permanente. 
Para finalizar a análise da saída de um sistema de primeira ordem, vamos con-
siderar uma entrada do tipo impulso, ou seja, R(s)=1. A saída do sistema será:
C s
Ts
( ) =
+
1
1
12
13
Utilizando a anti-transformada de Laplace teremos:
c t C s
c t
T
e
t
T
( ) = ( )
( ) =
−
−
L 1
1
Vamos plotar c(t) e observar como a saída é modificada em função da entrada:
0T 1T 2T 3T 4T 5T
0T
1T
2T
3T
4T
5T
c(
t)
Tempo
Entrada do tipo impulso 
Figura 4
Se o sistema for linear e invariante no tempo (LIT), note que a partir da resposta 
para entrada em degrau, é possível calcular matematicamente qual será a resposta 
para rampa e para o impulso. A resposta ao impulso é a derivada da resposta ao de-
grau, assim como a resposta ao degrau é a derivada à resposta para rampa. 
Por observar essas condições, a análise da resposta transitória de um sistema 
de segunda ordem é feita em termos da resposta transitória do sistema para uma 
entrada do tipo degrau, que é suficiente brusca para testar o sistema e é gerada 
com facilidade. 
Sistemas de Segunda Ordem
Sendo assim, vamos definir algumas especificações para os sistemas de segunda 
ordem. Não esqueça, essas especificações são para entradas do tipo degrau e para 
condições iniciais nulas.
13
UNIDADE Análise da resposta Transitória de 
Sistemas de Primeira e Segunda Ordem
Na unidade anterior foi observado que, na prática, a resposta transitória do sis-
tema pode apresentar certas oscilações até que então atinja o regime permanente. 
Sendo assim, ocorre o chamado regime transitório, onde algumas variáveis são de 
extrema importância para a análise da estabilidade e das características do sistema. 
São elas: 
Tabela 2
Variável Representação Definição
Tempo de atraso td
É o tempo necessário para que a resposta alcance a metade de seu valor final 
pela primeira vez.
Tempo de subida tr
É o tempo necessário para que a resposta vá de 10% a 90% ou ainda de 0% a 
100% de seu valor final.
Tempo de pico tp É o tempo necessário para que a resposta atinja o primeiro pico de sobressinal.
Máximo sobressinal Mp
É o valor máximo na curva de sobressinal. É dado em porcentagem.
M
c t c
cp
p=
( ) − ∞( )
∞( )
⋅100%
Tempo de acomodação ts
É o tempo necessário para que a curva de resposta chegue a 2% ou 5% de seu 
valor final.
Observe todas essas grandezas ilustradas no gráfico abaixo:
tr
t
td
tp
ts
0
0,5
Tolerância aceitável
0,05
ou
0,02
1
c(t)
Mp
Figura 5
Fonte: Adaptado de Pearson Prentice Hall, 2010
Note que pode ocorrer o caso onde em determinados sistemas nem todas es-
sas variáveis sejam convenientes. Por exemplo, em um sistema superamortecido, 
o máximo sobressinal não ocorre. E assim, por diante. 
14
15
O ideal é que a resposta transitória apresente rapidez nos tempos mostrados 
acima, e que seja amortecida. Nos sistemas de segunda ordem, para que isso 
ocorra, o coeficiente de amortecimento ξ deve estar entre 0,4 e 0,8. 
Não se esqueça, as definições são válidas para a resposta a uma entrada do tipo 
degrau de sistemas de segunda ordem que estejam associados à forma padrão, 
dada por:
C s
R s s s
n
n n
( )
( )
=
+ +
ω
ξω ω
2
2 22
Onde s é a variável complexa, ξ é o coeficiente de amortecimento e ωn
rad
s





 
é a frequencia natural não amortecida do sistema. Outras variáveis que não apare-
cem na equação, mas são importantes definições para o sistema, são a frequência 
natural amortecida ωd
rad
s





 e o coeficiente de atenuação σ
rad
s





. 
Ao testar no sistema de segunda ordem a entrada R(s) como um sinal degrau, 
encontramos as definições para ωd e σ. Não faremos essa definição aqui, mas o 
aluno poderá explorar mais.
Assista o vídeo “Características da resposta subamortecida“. Disponível em: 
https://goo.gl/kwe5wj.Ex
pl
or
Podemos escrever que:
ω ω ξd n= −1
2
 
e
σ ξω= n
E então definir equações para o tempo de subida, tempo de pico e tempo de 
acomodação em função das variáveis que definem o comportamento dinâmico do 
sistema ξ e ωn, o tempo de rampa:
tr
d
=
−pi β
ω
15
UNIDADE Análise da resposta Transitória de 
Sistemas de Primeira e Segunda Ordem
Onde o ângulo β está definido no plano complexo conjugado, conforme mostra 
o gráfico:
n 1
2
n
n
dj
j
0 σ-σ
β
Figura 6
Fonte: Adaptado de Pearson Prentice Hall, 2010
Ou ainda, podemos utilizar a equação:
β
ω
σ
= 





−tg d1
O tempo de pico:
t
dp
=
pi
ω
E o tempo de acomodação para o critério de 2% da resposta final:
ts =
4
σ
E o tempo de acomodação para o critério de 5% (também aceitável) da res-
posta final:
ts =
3
σ
E o máximo sobressinal:
M ep d=
−σ
ω
pi
16
17
Para exemplificar todos os conceitos que aprendemos aqui, vamos utilizar um 
servossistema e analisar cada parâmetro de sua resposta a uma entrada do tipo de-
grau. Observe a imagem abaixo. Ela mostra um servossistema representado por um 
diagrama de blocos em (a) que pode ser resumido, conforme mostra a imagem (b):
K
Js + B
R(s)
R(s) C(s)
C(s)
(a)
(b)
1
s
Kh
+
-
K
s(Js + B + KKh)
+
-
+
-
Figura 7
Fonte: Adaptado de Pearson Prentice Hall, 2010
Um servossistema é um sistema de controle com realimentação, e tem como 
saída um controle de posição, velocidade ou aceleração.
Vamos começar escrevendo a função de transferência de malha fechada para 
esse sistema, ou seja, C(s)/R(s).
Observe o diagrama representado acima, na imagem b. Podemos escrever a fun-
ção de transferência utilizando a equação geral para umdiagrama com realimenta-
ção (a mesma que aprendemos algumas unidades atrás), onde C s
R s
G s
G s
( )
( )
=
( )
+ ( )1
; desta 
maneira, a função de transferência de malha fechada para o servossistema do nosso 
exemplo será:
C s
R s
K
Js B KK s Kh
( )
( )
=
+ +( ) +2
Observe na equação acima, já vemos uma semelhança entre ela e a equação 
geral para um sistema de segunda ordem. Se R(s) é uma função do tipo degrau, 
ou seja, R(s)=1/s, não será necessário encontrar a anti-transformada de Laplace 
para caracterizá-la no tempo. As equações definidas acima (tempo de pico, tem-
po de subida, tempo de acomodação e máximo sobressinal) já nos fornecem os 
resultados esperados para o comportamento da resposta transitória do sistema. 
17
UNIDADE Análise da resposta Transitória de 
Sistemas de Primeira e Segunda Ordem
Sendo assim, temos a seguinte proposta: 
1. Deseja-se que o máximo sobressinal da resposta desse sistema à entrada 
do tipo degrau seja 0,2 ou seja, 20% e o tempo de pico seja 1s. Quais se-
riam o valor de ganho K e a constante de realimentação Kh? Suponha que 
J kg m=1 2. e B Nm
rad
s=1 . .
2. Obtenha o tempo de subida e o tempo de acomodação. 
3. Para verificar se os valores obtidos nos itens anteriores são adequados, 
vamos utilizar a anti-transformada de Laplace para obter um gráfico da 
resposta ao degrau em função do tempo.
Solução:
1. O primeiro passo é obtermos os valores das grandezas principais que 
caracterizam o comportamento do sistema de segunda ordem, ξ e ωn. 
Para tanto, vamos comparar a função de transferência de malha fechada 
à equação padrão de um sistema de segunda ordem. Sendo assim, pode-
mos utilizar a equação definida para o máximo sobressinal:
M ep d=
−σ
ω
pi
Para resolver teremos que recorrer às definições do coeficiente de atenuação 
e da frequência natural amortecida. Você se lembra? 
σ ξω ω ω ξ= = −n d ne 1
2
Substituindo os valores que temos na equação para o máximo sobres-
sinal, teremos:
M e ep d= → =
− −
−
σ
ω
pi
ξ
ξ
pi
0 2
1
2
,
Para resolver essa equação, você deve buscar compreender as propriedades de logarítmo 
em: STEWART, J. Cálculo. São Paulo: Cengage Learning 2003. ISBN 978-85-221-0661-5. 5 
ed. São Paulo, 2003.
Ex
pl
or
E solucionando a equação, temos: 
ξ = 0 456,
Se utilizarmos a expressão para o cálculo do tempo de pico, podemos obter 
o valor da frequência natural amortecida:
t rad sp
d d
d= → = → =
pi
ω
pi
ω
ω1 3 14, /
18
19
Agora, utilizando relações para frequência natural amortecida e não amor-
tecida, temos:
ω ω ξ ωd n n rad s= − → =1 3 53
2
, /
Uma vez que temos os parâmetros que caracterizam o sistema, basta com-
pararmos a função de transferência de malha fechada à equação geral de 
um sistema de segunda ordem, ou seja:
C s
R s
K
Js B KK s K s sh
n
n n
( )
( )
=
+ +( ) +
=
+ +2
2
2 22
ω
ξω ω
Pela comparação dos coeficientes de cada denominador, podemos con-
cluir que:
J =1
Obs.: J utiliza o Sistema internacional de Unidades, conforme o próprio 
enunciado nos forneceu;
K K rad sn= → =ω
2 2
12 5, /
e
B KK K sh n h+ = → =2 0 178ξω ,
2. O tempo de subida e o tempo de acomodação podem ser obtidos por meio 
de suas equações:
tr
d
=
−pi β
ω
Aqui será necessário fazer o cálculo do coeficiente de atenuação σ e do 
ângulo β:
σ ξω σ
β
ω
σ
β
= → =
= 




 → =
−
n
d
rad s
tg rad
1 61
1 10
1
, /
,
Sendo assim:
t t sr
d
r=
−
→ =
pi β
ω
0 650,
19
UNIDADE Análise da resposta Transitória de 
Sistemas de Primeira e Segunda Ordem
E por fim, o tempo de acomodação para o critério de 2% é: 
t t ss s= → =
4
2 48
σ
,
3. Para finalisar a nossa análise, podemos verificar que, se o sistema é do tipo 
C s
R s s s
n
n n
( )
( )
=
+ +
ω
ξω ω
2
2 22
para uma entrada do tipo degrau teremos:
C s
s s s
n
n n
( ) =
+ +
ω
ξω ω
2
2 2
2
1
.
E a resposta em função do tempo (você poderá verificar essa função na 
tabela de transformadas de Laplace) será:
Se plotarmos a c(t) acima com os valores obtidos no nosso problema, tere-
mos o seguinte gráfico:
0.0 0.5 1.0 1.5 2.0 2.5 3.0 3.5 4.0
0.0
0.2
0.4
0.6
0.8
1.0
1.2
 
 
c(
t)
Tempo 
Servossistema
Figura 8
Se você verificar os valores obtidos na teoria e buscá-los no gráfico, você 
verá que são uma boa aproximação. No gráfico, podemos inferir, com uma 
certa precisão, o valor para o qual a função chega pela primeira vez a 50% 
do seu valor final, o chamado tempo de atraso, que é, pela leitura, 0,5s. 
20
21
Material Complementar
Indicações para saber mais sobre os assuntos abordados nesta Unidade:
 Livros
Cálculo
STEWART, J. Cálculo. São Paulo: Cengage Learning 2003. ISBN 978-85-221-
0661-5. 5 ed. São Paulo, 2003.
 Vídeos
Características da resposta subamortecida
Variáveis no sistema de segunda ordem.
https://goo.gl/ituQyF
Sistemas de Controle (5/8) Sistemas de Segunda Ordem
https://youtu.be/UVFer8huMKE
 Leitura
Resposta no tempo de sistemas de primeira e de segunda ordem só com pólos
Estabilidade do sistema de segunda ordem.
https://goo.gl/cu3C4U
21
UNIDADE Análise da resposta Transitória de 
Sistemas de Primeira e Segunda Ordem
Referências
OGATA, K. Engenharia de Controle Moderno. 5. ed. São Paulo: Pearson Prentice 
Hall, 2010. 
OPPENHEIM, A. & Willsky, A. Sinais e Sistemas. 2ª Ed. São Paulo. Pearson, 2010.
STEWART, J. Cálculo. São Paulo: Cengage Learning 2003. ISBN 978-85-221-
0661-5. 5 ed. São Paulo, 2003.
22