Trabalho de Probabilidade Correlação e Regressão Linear

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FACULDADE PITÁGORAS 
Curso: Engenharia Química 
 Disciplina: Probabilidade e Estatística Período; terceiro (3º) sala 220 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
CORRELAÇÃO E REGREÇÃO LINEAR 
 
 
 COMPONENTES DA EQUIPE: 
 
Adriana Freitas Matos 
Anizia Furtado Durans 
Maxwell Costa Bezerra 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
São Luís, 14 de Novembro de 2016 
Engenharia Química | Probabilidade e Estatística| Correlação e regressão Linear 2 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
CORRELAÇÃO E REGREÇÃO LINEAR 
 
 
 
 
 
 
Pesquisa apresentada como requisito parcial 
para aprovação na disciplina de Probabilidade e 
Estatística do Curso de Engenharia Química da 
Faculdade Pitágoras. 
 
Prof.: José Wilson 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
São Luís, 14 de Novembro de 2016 
 
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 SUMÁRIO 
 
 
 
 
1 Introdução.................................................................................................................... 4 
 
 1.1 Correlação..................................................................................................... 4 
 
 1.2 O Coeficiente de correlação.......................................................................... 4 
 
 1.3 Correlação linear simples.............................................................................. 5 
 
 
 
 1.4 Coeficiente de correlação.............................................................................. 5 
2 Regressão................................................................................................................... 6 
 
 2.1 Regressão linear............................................................................................ 
 
6 
 
 
 2.2 Equação da regressão linear.......................................................................... 
 
7 
 2.3 Calculo dos fatores e ................................................................................ 
 
7 
 
 
2.4 Desenvolvimento do calculo ........................................................................... 
 
8 
3 Análise de Variancia................................................................................................... 10 
 
 3.1 Probabilidade.................................................................................................. 10 
 
10 Referencias Bibliográficas............................................................................................. 11 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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1- INTRODUÇÃO 
1.1 CORRELAÇÃO 
Ao se estudar uma variável o interesse eram as medidas de tendência central, dispersão, 
assimetria, etc. Com duas ou mais variáveis além destas medidas individuais também é de 
interesse conhecer se elas têm algum relacionamento entre si, isto é, se valores altos (baixos) 
de uma das variáveis implicam em valores altos (ou baixos) da outra variável. Por exemplo, 
pode-se verificar se existe associação entre a taxa de desemprego e a taxa de criminalidade 
em uma grande cidade, entre verba investida em propaganda e retorno nas vendas, etc. 
A associação entre duas variáveis poder ser de dois tipos: correlacional e experimental. 
Numa relação experimental os valores de uma das variáveis são controlados pela atribuição 
ao acaso do objeto sendo estudado e observando o que acontece com os valores da outra 
variável. Por exemplo, pode-se atribuir dosagens casuais de uma certa droga e observar a 
resposta do organismo; pode-se atribuir níveis de fertilizante ao acaso e observar as 
diferenças na produção de uma determinada cultura. 
No relacionamento correlacional, por outro lado, não se tem nenhum controle sobre as 
variáveis sendo estudadas. Elas são observadas como ocorrem no ambiente natural, sem 
nenhuma interferência, isto é, as duas variáveis são aleatórias. Assim a diferença entre as 
duas situações é que na experimental nós atribuímos valores ao acaso de uma forma não 
tendenciosa e na outra a atribuição é feita pela natureza. 
Freqüentemente é necessário estudar o relacionamento entre duas ou mais variáveis. Ao 
estudo do relacionamento entre duas ou mais variáveis denominamos de correlação e 
regressão. Se o estudo tratar apenas de duas variáveis tem-se a correlação e a regressão 
simples, se envolver mais do que duas variáveis, tem-se a correlação e a regressão múltiplas. 
A regressão e a correlação tratam apenas do relacionamento do tipo linear entre duas 
variáveis. 
A análise de correlação fornece um número que resume o grau de relacionamento linear 
entre as duas variáveis. Já a análise de regressão fornece uma equação que descreve o 
comportamento de uma das variáveis em função do comportamento da outra variável. 
 
1.2 O COEFICIENTE DE CORRELAÇÃO 
Apesar do diagrama de dispersão nos fornecer uma idéia do tipo e extensão do 
relacionamento entre duas variáveis X e Y, seria altamente desejável ter um número que 
medisse esta relação. Esta medida existe e é denominada de coeficiente de correlação. 
Quando se está trabalhando com amostras o coeficiente de correlação é indicado pela letra r 
que é, por sua vez, uma estimativa do coeficiente de correlação populacional: (rô). 
O coeficiente de correlação pode variar de –1,00 a + 1,00, com um coeficiente de +1, 
indicando uma correlação linear positiva perfeita. Neste caso, as duas variáveis serão 
exatamente iguais em termos de escores padronizados z, isto é, um elemento apresentando 
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um escore padronizado de 1,5 em uma das variáveis vai apresentar o mesmo escore 
padronizado na outra variável. Um coeficiente de correlação de –1, indica correlação linear 
perfeita negativa, com os escores padronizados exatamente iguais em valores absolutos, 
diferindo apenas no sinal. Uma correlação de +1 ou –1 é raramente observado. O mais 
comum é que o coeficiente fique situado no intervalo entre estes dois valores. Um coeficiente 
de correlação “0”, significa que não existe um relacionamento linear entre as duas variáveis. 
1.3 CORRELAÇÃO LINEAR SIMPLES 
Conceito: a correlação expressa à relação entre duas ou mais variáveis. Se duas ou mais 
variáveis variam concomitantemente, diz-se que estão correlacionadas. 
Exemplo: 
A estatura de uma pessoa e o seu peso. Para uma estatura maior corresponde, em geral, a 
um peso maior. Dizemos, por isso, que entre as variáveis peso e estatura existe correlação. 
 3.1 Correlação Positiva, Negativa e Curvilínea 
a) Correlação positiva: valores elevados de uma variável correspondem a valores elevados 
da outra. Exemplo peso e altura 
b) Correlação negativa: valores elevados de uma variável correspondem a valores baixos da 
outra e vice-versa. Exemplo: reprovações e nível de escolaridade. 
c) Correlação curvilínea: começa negativa e termina positiva ou vice-versa. Exemplo: tamanho 
da família e situação sócio econômica. 
1.4 COEFICIENTE DE CORRELAÇÃO (C) 
Expressa numericamente a força e o sentido da correlação. Os coeficientes oscilam 
entre -1 e 1. 
C = - 1 → correlação negativa perfeita 
-1 < C < - 0,6 → correlação negativa forte 
-0,6 < C < - 0,3 → correlação negativa moderada-0,3 < C < 0,0 → correlação negativa fraca 
0,0 < C < 0,3 → correlação positiva fraca 
0,3 < C < 0,6 → correlação positiva moderada 
0,6 < C < 1 → correlação positiva forte 
C = 1 → correlação positiva perfeita 
 
 
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onde e 
são os valores medidos de ambas as variáveis. Para além disso 
 
 
e 
 
são as médias aritméticas de ambas as variáveis. A análise correlacional indica a relação 
entre 2 variaveis lineares e os valores sempre serão entre +1 e -1. O sinal indica a direção, se 
a correlação é positiva ou negativa, e o tamanho da variavel indica a força da correlação. 
 
2 REGRESSÃO 
Em estatística, regressão é uma técnica que permite explorar e inferir a relação de 
uma variável dependente (variável de resposta) com variáveis independentes específicas 
(variáveis explicatórias). A análise da regressão pode ser usada como um método 
descritivo da análise de dados (como, por exemplo, o ajustamento de curvas) sem serem 
necessárias quaisquer suposições acerca dos processos que permitiram gerar os 
dados.Regressão designa também uma equação matemática que descreva a relação 
entre duas ou mais variáveis. 
O método de estimação mais amplamente utilizado é o método dos mínimos quadrados 
ordinários. Os principais problemas que devem ser enfrentados em uma regressão 
são: multicolinearidade, heteroscedasticidade, autocorrelação, endogeneidade e 
atipicidade. 
 
2.1 REGRESSÃO LINEAR 
 
 
 
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Em estatística ou economia regressão linear é um método para se estimar a 
condicional (valor esperado) de uma variável y, dados os valores de algumas outras 
variáveis x. 
A regressão, em geral, trata da questão de se estimar um valor condicional esperado. 
A regressão linear é chamada "linear" porque se considera que a relação da resposta às 
variáveis é uma função linear de alguns parâmetros. Os modelos de regressão que não são 
uma função linear dos parâmetros se chamam modelos de regressão não-linear. Sendo uma 
das primeiras formas de análise regressiva a ser estudada rigorosamente, e usada 
extensamente em aplicações práticas. Isso acontece porque modelos que dependem de 
forma linear dos seus parâmetros desconhecidos, são mais fáceis de ajustar que os modelos 
não-lineares aos seus parâmetros, e porque as propriedades estatísticas dos estimadores 
resultantes são fáceis de determinar. 
 
2.2 EQUAÇÃO DA REGRESSÃO LINEAR 
Para se estimar o valor esperado, usa-se de uma equação, que determina a relação entre 
ambas as variáveis. 
 
Em que: - Variável explicada (dependente); é o valor que se quer atingir; 
 - É uma constante, que representa a interceptação da reta com o eixo vertical; 
 - É outra constante, que representa o declive da reta; 
 - Variável explicativa (independente), representa o factor explicativo na equação; 
 - Variável que inclui todos os factores residuais mais os possíveis erros de medição. O seu 
comportamento é aleatório, devido à natureza dos factores que encerra. Para que essa 
fórmula possa ser aplicada, os erros devem satisfazer determinadas hipóteses, que são: 
serem variáveis normais, com a mesma variância (desconhecida), independentes e 
independentes da variável explicativa X. 
 
2.3 CÁLCULO DOS FATORES e 
 
 
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Definindo e , temos que e se relacionam por: 
 
2.4 Desenvolvimento 
Estas fórmulas podem ser desenvolvidas a partir da definição de mínimos 
quadrados 
O objectivo é determinar e de forma que a soma dos quadrados dos erros seja mínima, ou 
seja, devemos minimizar 
 
Desenvolvendo este quadrado e eliminando os termos constantes (ou seja, aqueles que não 
têm termos em e , chega-se a: 
 
A partir desse ponto, pode-se resolver usando-se cálculo (tomando as derivadas parciais, 
etc), ou através de uma transformação de coordenadas: 
 
 
ou 
 
Transformando a expressão a ser minimizada em: 
 
ou 
 
 
Esta expressão se separa na soma de duas expressões quadráticas independentes, que 
podem ser minimizadas usando matemática elementar: 
 
 
 
Cujos valores minimizadores são: 
 
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Ajuste de Curvas é um conjunto de técnicas numéricas que tem como objetivo ajustar curvas 
a um conjunto de dados para se obter estimativas intermediárias. As técnicas comumente 
utilizadas são: 
 Regressão: aplicada nos casos dos dados possuírem erros significativos. A curva obtida não 
intercepta, necessariamente, todos os pontos. Interpolação: aplicada nos casos dos dados 
serem bastante precisos. A curva obtida deve interceptar todos os pontos. 
 
 
 
 
 
 
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3. ANÁLISE DE VARIANCIA 
 
Uma análise de variância visa fundamentalmente verificar se existe uma diferença 
significativa entre as médias e se os fatores exercem influência em alguma variável 
dependente. Dessa forma, permite que vários grupos sejam comparados a um só tempo, 
esses fatores podem ser de origem qualitativa ou quantitativa, mas a variável dependente 
deverá necessariamente ser contínua. O teste é paramétrico (a variável de interesse deve ter 
distribuição normal) e os grupos tem que ser independentes. 
 
3.1 PROBALIDADES 
 
Por se tratar de um teste bastante difundido, inúmeros softwares estatísticos e planilhas 
eletrônicas possuem o procedimento para ser aplicado automaticamente. 
Considerando uma variável de interesse com média μ e variância temos dois estimadores 
da variância: 
 = dispersão entre os grupos (B ~ between) e = dispersão dentro dos grupos (W ~ 
within) 
O teste é aplicado com: 
 
Com graus de liberdade no numerador e no denominador. Sendo K o número de 
fatores ou grupos e N o número de observações, e = ( ) + ( ). 
 
 
 
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4- REFERENCIAS BIBLIOGRAFICAS 
 
https://www.eecis.udel.edu/~portnoi/classroom/prob_estatistica/2006_2/lecture_sl
ides/aula20.pdf 
 
PESQUISADO DIA: 13 de novembro de 2015 
 
ARTIGO PUBLICADO PELO PROFESSOR LUIS ALEXANDRE PARTENELLI 
http://www.dpi.ufv.br/~peternelli/inf162.www.16032004/materiais/CAPITULO9.pdf 
 
 PESQUISADO DIA: 14 de novembro de 2015.