AULA-06-MÉTODOS-ESTATÍSTICOS

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MÉTODOS 
ESTATÍSTICOS 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Olá! 
Nesta Unidade de Aprendizagem, você terá a oportunidade de estudar um 
dos métodos estatísticos mais utilizados: a regressão linear simples. Ao longo 
do conteúdo, você será introduzido às características desse modelo e aprenderá 
como avaliar sua significância estatística, além de aplicá-lo por meio de recursos 
computacionais. 
Além disso, será possível avaliar a qualidade do ajuste da reta aos dados 
e entender como essa avaliação é importante para a tomada de decisões 
baseadas em resultados estatísticos confiáveis. Por fim, o uso de recursos 
computacionais irá facilitar a aplicação desse modelo, tornando a análise de 
dados mais rápida e eficiente. 
Bons estudos! 
 
 
AULA 6 - 
REGRESSÃO LINEAR 
SIMPLES 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Nesta aula, você vai conferir os contextos conceituais da psicologia entenderá 
como ela alcançou o seu estatuto de cientificidade. Além disso, terá a oportunidade 
de conhecer as três grandes doutrinas da psicologia, behaviorismo, psicanálise e 
Gestalt, e as áreas de atuação do psicólogo. 
 Compreender o conceito de psicologia 
 Identificar as diferentes áreas de atuação da psicologia 
 Conhecer as áreas de atuação do psicólogo. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Nesta Unidade de Aprendizagem, você estudará as características de um 
modelo de regressão linear simples, avaliando sua significância e aplicando por 
meio de recurso computacional. 
 Identificar as características de um modelo de regressão linear simples. 
 Avaliar a significância do modelo de regressão linear simples. 
 Aplicar a regressão linear simples com o uso de recurso computacional. 
 
 
6 CORRELAÇÃO E REGRESSÃO LINEAR SIMPLES 
Duas variáveis podem correlacionar-se de diversas formas, pois o distribuição 
dos dados comportamento dos dados pode aproximar-se de uma exponencial, de uma 
parábola, de um logaritmo. Mas o modelo mais frequentemente utilizado é o de ajuste 
linear, através do qual podemos resumir os dados de uma amostra em uma reta e, 
posteriormente, realizar projeções, se o ajuste for significativo. No modelo de 
regressão simples, temos duas variáveis: uma independente, denominada de x, e uma 
dependente, y. 
Na literatura, os termos variáveis dependente e variável explicativa são 
descritos de vários modos, conforme representado na Figura 1, a seguir. 
 
Figura 1 – Terminologias para variáveis x e y 
 
Fonte: Gujarati e Porter (2011, p.44). 
 
 
 
A análise de dados bivariados (isto é, com duas variáveis) inicia-se geralmente 
com um gráfico de dispersão, que apresenta cada par de dados observados (xi , yi ) 
como um ponto em um gráfico X-Y. Esse diagrama fornece uma indicação visual da 
intensidade da relação ou da associação entre as duas variáveis (DOANE; SEWARD, 
2014). 
Com o diagrama de dispersão podemos verificar o comportamento dos dados 
e, assim, optar ou não por realizar uma análise de regressão linear simples, ou por 
algum outro ajuste. A correlação entre essas duas variáveis pode ser direta, ou seja, 
a variável x aumenta e explica o aumento da variável y. Ou inversa, ou seja, a variável 
x aumenta e explica a diminuição da variável y. 
Na Figura 2, podemos visualizar graficamente uma correlação direta (ou 
positiva), uma correlação inversa (ou negativa) e uma ausência de relação, por meio 
de representações das retas de regressão de cada um dos modelos. 
 
Figura 2 – Tipos de correlação linear 
Fonte: Freund (2007). 
 
Realizada essa análise gráfica e verificado o comportamento linear, passamos 
a calcular a intensidade dessa correlação e o poder explicativo da variável 
independente. Além de chegar à correlação, podemos estimar a reta de regressão 
que resume os dados. 
6.1 Coeficiente de correlação 
A análise de correlação, cujo principal objetivo é medir a intensidade da 
 
 
associação linear entre duas variáveis, está estreitamente relacionada à análise de 
regressão, mas conceitualmente é muito diferente. O coeficiente de correlação mede 
a força dessa associação (linear). Na análise de regressão, não estamos interessados 
primordialmente nessa medida. Em vez disso, buscamos estimar ou prever o valor 
médio de uma variável com base nos valores fixos de outras (GUJARATI; PORTER, 
2011). 
O resultado do coeficiente de correlação de Pearson varia entre –1 e 1: quanto 
mais próximo de 1 ou de –1, mais forte será a correlação. Uma correlação negativa 
indica uma correlação inversa, enquanto uma correlação positiva indica uma 
correlação direta. A equação que calcula o coeficiente de correlação é dada pela soma 
de quadrados de x, y e x · y. 
O critério que, hoje em dia, é usado quase exclusivamente para definir uma reta 
de “melhor” ajuste remonta à primeira metade do século XIX e ao trabalho do 
matemático francês Adrien Legendre. Ele é conhecido como o método dos mínimos 
quadrados. Da maneira como será utilizado aqui, esse método requer que a reta que 
ajustamos aos dados tenha a propriedade de ser mínima à soma dos quadrados das 
distâncias verticais dos pontos à reta (FREUND, 2007). 
Então, o coeficiente de correlação considera as distâncias dos pontos formados 
pelos pares x, y em relação à reta que melhor se ajusta aos dados 
 
 r é o coeficiente de correlação de Pearson; 
 ∑x é o somatório das n observações de x; 
 ∑y é o somatório das n observações de y; 
 ∑xy é o somatório das n observações de x multiplicado por y; 
 ∑x2 é o somatório de cada uma das n observações de x elevada ao quadrado; 
 ∑y2 é o somatório de cada uma das n observações de y elevada ao quadrado; 
 n é o número de pares x, y. 
 
Observe, na Figura 3, a seguir, o intervalo de variação do coeficiente de 
correlação, onde vamos desde a correlação perfeita inversa (r = –1) até a correlação 
 
 
perfeita direta (r = 1). 
Figura 3 – Intervalo de variação do coeficiente de correlação 
Fonte: Doane e Seward (2014, p. 486). 
6.2 Coeficiente de determinação 
O coeficiente de determinação é um valor percentual que estipula o poder 
explicativo da variável x sobre a variável y. Em programas que realizam a análise de 
correlação e regressão, esse valor é apresentado como R-quadrado, ou R2, ou, ainda, 
na regressão linear simples, por r2. Na regressão linear simples, podemos resolver o 
coeficiente por mínimos quadrados ordinários ou, então, somente elevar ao quadrado 
o valor do coeficiente de correlação. Isso vale somente para a regressão bivariada: 
 
 r é o coeficiente de correlação; 
 r2 é o coeficiente de determinação. 
6.3 Reta de regressão 
Ainda no diagrama de dispersão, vimos que existe uma reta que resume os 
pontos dos pares (x, y). 
O método dos mínimos quadrados ordinários é usado para estimar uma 
regressão de maneira a assegurar o melhor ajuste. O ‘‘melhor’’ ajuste, nesse caso, 
significa que o coeficiente angular e o intercepto são de tal forma que os resíduos 
sejam os menores possíveis (DOANE; SEWARD, 2014): 
 
 Yi é a variável dependente; 
 Xi é a variável independente; 
 
 
 Β0 é o intercepto; 
 Β1 é o coeficiente angular da reta; 
 Εi é o erro. 
Aqui será necessário, ainda, introduzir algumas suposições para as variáveis 
aleatórias envolvidas. Supomos que a variável x é, por hipótese, controlada e não está 
sujeita a variações aleatórias. Dizemos, primeiro, que x é uma variável fixa (ou 
determinística); segundo, para dado valor de x, os erros se distribuem ao redor da 
média β0 + β1 x com média zero; terceiro, supomos que os erros tenham a mesma 
variabilidade em torno dos níveis de x; e quarto, a restrição de que os erros sejam não 
correlacionados (BUSSAB; MORETTIN, 2017). 
Assim, definimos a estimativa da reta como: 
 
O coeficiente angular e o intercepto são calculados, respectivamente, por: 
 
Então, voltando aos dados utilizadosno exemplo, temos: 
 
Assim, a reta de regressão resulta em: 
 
Com isso, podemos estimar o valor de y para qualquer valor de x. Suponhamos 
que, para um x = 20 o valor estimado para y seja: 
 
 
 
Estes são os objetivos da análise de regressão: poder fazer previsões, estimar 
valores da variável y para qualquer valor futuro ou desconhecido de x. 
6.4 Teste de significância para validação do modelo 
Temos como avaliar o modelo pelo coeficiente de correlação que mede a 
intensidade e a direção da correlação. Podemos, também, calcular o poder explicativo 
da variável x. Mas como saber se é possível considerar o modelo escolhido como 
sendo significativo? Ou como avaliar quando um modelo representa bem os dados ou 
não? 
Isso é possível quando utilizamos uma análise estatística para avaliar esse 
modelo de regressão. Uma maneira mais rigorosa de validar uma equação de 
regressão é pela análise de variância — ANOVA. Essa análise verifica, primeiramente, 
os resíduos da variável y comparados aos valores esperados para y , calculando-
se, assim, as diferenças entre yi e . 
Essas diferenças podem ser precipitadamente confundidas com os erros. Mas 
não são. Os erros são as diferenças entre os valores de y e a reta verdadeira, isto é, 
a reta dada pelos valores populacionais de β0 e β1 (que não são conhecidos). As 
diferenças encontradas são entre os valores de e os dados pela reta com os valores 
estimados (amostrais) de . Não são, portanto, os erros, mas os estimadores 
dos erros, ou simplesmente os resíduos da regressão (SARTORIS, 2013). 
A ANOVA é calculada com base na soma de quadrados de resíduos: a soma 
de quadrados total (SQTotal), a soma de quadrados do resíduo (SQResíduos) e a 
soma de quadrados explicados pela regressão (SQRegressão). 
Na Figura 4, podemos verificar a tabela ANOVA para a validação do modelo de 
regressão linear simples. O valor que nos interessa é o de F, pois essa é a estatística 
de teste que verifica se a regressão é válida ou não. Se o valor F for significativo (p