Prévia do material em texto

1 
 
Matemática 12ª Classe 
Derivada de uma função 
Interpretação geométrica da derivada de uma função num ponto 
Consideremos uma função f e o seu gráfico. Tomemos os pontos P e Q. 
 
 
 Declive da recta secante tg
h
xfhxf
x
y




 )()(
 
 É a taxa de variação média da função f no intervalo  ,x x h 
 
 
2 
 
 
 
 
Declive da recta tangente )(
)()(
limlim
0
0
xftg
h
xfhxf
x
y
h
h








 
Este limite que mede a taxa de variação instantânea de f em qualquer ponto de abcissa x tem o 
nome de derivada de f em x e denota-se por ( ) , ou
dy
f x y
dx
  . 
Geometricamente, tem-se: 
 
A derivada de uma função f num ponto a é numericamente igual ao declive m da recta tangente 
ao gráfico da função f no ponto de abcissa a. 
 
Equação da recta tangente a uma curva num ponto ax  
 
 ))(()( axafafy 
 
 
Exemplo 1) Dada a função 
2)( xxf  
a) Determine a derivada da função no ponto de abcissa 1x ou )1(f  
b) Determine a equação da recta tangente ao gráfico da função no ponto 1x 
 
 
 
 
 
12
221
)1(21
)1)(1()1()
2
)2(
lim
121
lim
)1()1(
lim)1()
21)1()1(;1)1(
0
2
0
0
22















xy
xy
xy
xffyb
h
hh
h
hh
h
fhf
fa
hhhhff
hh
h
 
 
Exemplo 2: Seja 
2)( xxf  
a) Aplicando a definição, calcular a derivada da função no ponto de abcissa tx  ou 
)(tf  
 
3 
 
 
tht
h
hth
h
ththt
h
tfhtf
tfa
hthththtfttf
hhh
h
22lim
)2(
lim
2
lim
)()(
lim)()
2)()(;)(
00
222
0
0
2222











 
b) 
 
42.2)2( f 
c) 6)3.(2)3( f 
d) xxf 2)( 
 
É a função derivada de f 
 Derivadas laterais 
 
Derivada Lateral à direita de a e representa-se: 
 h
afhaf
af
h
)()(
lim)(
0




 
 
Derivada Lateral à esquerda de a e representa-se: 
 h
afhaf
af
h
)()(
lim)(
0




 
Se existirem e forem iguais as derivadas laterais no ponto a, então existe a derivada da 
função no ponto a e é igual ao valor comum das derivadas laterais. 
)()()( xfxfxf  
 
Exemplo:
 
Consideremos a função real de variável real definida por: 






12
1
)(
2
xsex
xsex
xf
 
Vamos averiguar se a função admite derivada no ponto de abcissa 1. 
1
11
lim
)1()1(
lim)1(
12)1()1(;1)1(
00








h
h
h
fhf
f
hhhff
hh
 
4 
 
2
)2(
lim
121
lim
)1()1(
lim)1(
21)1()1(;1)1(
0
2
00
22










h
hh
h
hh
h
fhf
f
hhhhff
hhh
 
A função não tem derivada no ponto de abcissa 1 porque 
 
)1()1(   ff
 
Regras de derivação 
 
1. Derivada duma constante, 0)( c 
2. Derivada duma função afim, 1)( x 
3. Derivada duma função linear, abax  )( 
Exemplos:
 
4. 
0)(
6)(


xf
xf
 
1)(
)(


xf
xxf
 
2)(
32)(


xf
xxf
 
 
 
1)(
3)(


xf
xxf
 
3
2
)(
3
3
2
)(


xf
xxf
 
2
1
)(
3
2
1
)(


xf
xxf
 
 
5. Derivada da potência, 
1)(  nn xnx 
6. Derivada duma constante por uma função,   )()( xfcxfc 

 
Exemplos: 
 a) 
xxf
xxf
2)(
)( 2


 b) 
2
3
3)(
)(
xxf
xxf


 c)
6
7
7)(
)(
xxf
xxf


 
 d) 
334
4
84.2)(2)(
2)(
xxxxf
xxf


 e)
223
3
23.
3
2
)(
3
2
)(
3
2
)(
xxxxf
xxf


 
5 
 
7. Derivada da soma ou diferença de duas funções,   )()()()( xgxfxgxf 

 
Exemplos: 
 
2
32
321)(
)()
xxxf
xxxxfa


 
2
32
622)(
224)()
xxxf
xxxxfb


 
 
32
432
4941)(
32)()
xxxxf
xxxxxfc


 
2125)(
423)()
34
45


xxxf
xxxxfd
 
8. Derivada dum produto,   )()()()()()( xgxfxgxfxgxf 

 
Exemplos: 
 
 
2222
22
2
1284)2(4)(4)(
))(4()()4()(
)).(4()()
xxxxxxxf
xxxxxf
xxxfa



 
 
 
26422)2(2)1(2)(
)1)(2()1()2()(
)1).(2()()
2222
22
2



xxxxxxxf
xxxxxf
xxxfb
 
9. Derivada dum quociente, 
 2)(
)()()()(
)(
)(
xg
xgxfxgxf
xg
xf 








 
Exemplos: 
 
2
1
4
2
4
)0)(()2)(1(
)2(
)2)(()2()(
2
)
2











 xxxx
a
 
 
22
22
)3(
4
)3(
13
)3(
)01)(1()3)(01(
)3(
)3)(1()3()1(
3
1
)






















xx
xx
x
xx
x
xxxx
x
x
b
 
6 
 
 
10. Derivada duma potência de expoente racional, 
     1
)()(.)(


 pp xfxfpxf 
Exemplos: 
a) 
3
312
2
4
4)2.(2)(
2)(
x
xxxxf
xxf




 
 
b) 
x
xxxxf
xxxf
2
1
1.)(
2
1
)()(
2
1
)(
)()(
2
1
1
2
1
2
1



 
 
c) 
12
1
1.)1(
2
1
)1()1(
2
1
)(
)1(1)(
2
1
1
2
1
2
1




x
xxxxf
xxxf
 
 
 
d) 
2323
3
2
1
3
1
3
1
3
)13(
1
)13(3
3
3.)13(
3
1
)13()13(
3
1
)(
)13(13)(






xx
xxxxf
xxxf
 
 
 
11. Segunda Derivada (derivada da primeira derivada),   )()( xfxf 

 
 
0)(
3)(
3)()



xf
xf
xxfa
 
2)(
12)(
1)() 2



xf
xxf
xxxfb
 46)(
443)(
242)()
2
23



xxf
xxxf
xxxxfc
 
 
Ficha de exercicios 
 
1. Dada a função xxf 21)(  
Aplicando a definição, calcular a derivada da função nos pontos de abcissa 
txex 1
 
 
7 
 
2. Dada a função 
22)( xxf  
Aplicando a definição, calcular a derivada da função nos pontos de abcissa 
txex  1 
 
3. Dada a função 1)( 2  xxf 
a) Determine a derivada da função no ponto de abcissa 2x 
b) Escreva equação da recta tangente ao gráfico da função no ponto 2x 
 
 
4. Calcula a função derivada das seguintes funções
3
2
2
3
35
53
8
479
52
3
2
1
10094
2
3
.302.293.28
5
4
.27
10
.26
3
.25)(.24
)2()(.23)8()(.22
3
2
)(.21
)3()(.20.19.18
.17.16.155
3
1
)3()(.14)41()(.13
)54()3()(.12)15()(.11
)1()84()(.10)21(1.9
)14()(.8)1()21()(.7
)12()1()(.63)(.55)(.4
3
1
3)(.3
4
)(.2)(.1
xyxyxyxy
x
y
x
yxy
xxfxxfxxf
xxfxyxy
xyxyxyxxxfxxxf
xxxfxxxf
xxxfx
xxxfxxxf
xxxfxxfxxf
xxfxfxxf




































 
 
x
xx
yxxyxy
x
x
yxy
x
y
xyxxyxy
xxyxxyxxy
xyxyxyxyxy
1
.47)45(.4612.45
1
3
.44
3
4
.43
2
.42
53.41)2(.40)12(.39
)8(.83
3
1
.73)43(.36
3.352.342.33.32.31
2
22
2
15
3
5
3512
2365
2
3
4
3
10108



























 
8 
 
 
2
33
543
5
.54
23
23
.53)32(.52
.51.50.49.48
x
y
x
x
yxxy
xyxyxyxy





 
 
 
5. Calcula a primeira derivada das seguintes funções: 
 
1. 
4 2 42  xy 
2. 
3
1



x
x
y 
3. xxy  
4. 10 14  xy 
5. 
12)53(  xy 
 
 
6. 
3 3 23 xxy  
7. 
2
2


x
x
y 
8. 
22xxy  
9. 
5 2 335  xxy 
10. 
12
1
2
1






 xy 
 
 
6. Calcula as sucessivas derivadas da função: 152)( 24  xxxxf 
7. Calcula a segunda derivada da função: 4
3
)(



x
x
xg
 
8. Calcula as três primeiras derivadas da função:
 
xy 3