22 Estatística

Prévia do material em texto

ESTATÍSTICA 
 
1 WWW.DOMINACONCURSOS.COM.BR 
Estatística 
Estatística é a ciência que utiliza-se das teorias probabilísticas para explicar a frequência da ocorrên-
cia de eventos, tanto em estudos observacionais quanto em experimentos para modelar a aleatorie-
dade e a incerteza de forma a estimar ou possibilitar a previsão de fenômenos futuros, conforme o 
caso. 
A estatística é uma ciência que se dedica à coleta, análise e interpretação de dados. Preocupa-se 
com os métodos de recolha, organização, resumo, apresentação e interpretação dos dados, assim 
como tirar conclusões sobre as características das fontes donde estes foram retirados, para melhor 
compreender as situações. 
Algumas práticas estatísticas incluem, por exemplo, o planejamento, a sumarização e a interpretação 
de observações. Dado que o objetivo da estatística é a produção da melhor informação possível a 
partir dos dados disponíveis, alguns autores sugerem que a estatística é um ramo da teoria da deci-
são. 
Devido às suas raízes empíricas e seu foco em aplicações, a estatística geralmente é considerada 
uma disciplina distinta da matemática, e não um ramo dela. 
Etimologia 
O termo "estatística" surge da expressão em latim statisticum collegium palestra sobre os assuntos 
do Estado, de onde surgiu a palavra em língua italiana statista, que significa "homem de estado", 
ou político, e a palavra alemã Statistik, designando a análise de dados sobre o Estado. A palavra foi 
proposta pela primeira vez no século XVII, em latim, por Schmeitzel na Universidade de Jena e ado-
tada pelo acadêmico alemão Godofredo Achenwall. Aparece como vocabulário na Enciclopédia Britâ-
nica em 1797, e adquiriu um significado de coleta e classificação de dados, no início do século XIX. 
De acordo com a Revista do Instituto Internacional de Estatística, Cinco homens, Hermann Conring, 
Gottfried Achenwall, Johann Peter Süssmilch, John Graunt e William Petty já receberam a honra de 
serem chamados de fundadores da estatística por diferentes autores.[4] 
Alguns autores dizem que é comum encontrar como marco inicial da estatística a publicação 
do "Observations on the Bills of Mortality" (Observações sobre os Censos de Mortalidade, 1662) de 
John Graunt. As primeiras aplicações do pensamento estatístico estavam voltadas para as necessi-
dades de Estado, na formulação de políticas públicas, fornecendo dados demográficos e econômicos. 
A abrangência da estatística aumentou no começo do século XIX para incluir a acumulação e análise 
de dados de maneira geral. Hoje, a estatística é largamente aplicada nas ciências naturais, e sociais, 
inclusive na administração pública e privada. 
Seus fundamentos matemáticos foram postos no século XVII com o desenvolvimento da teoria das 
probabilidades por Pascal e Fermat, que surgiu com o estudo dos jogos de azar. O método dos míni-
mos quadrados foi descrito pela primeira vez por Carl Friedrich Gauss, aproximadamente no ano de 
1794. O uso de computadores modernos tem permitido a computação de dados estatísticos em larga 
escala e também tornaram possível novos métodos antes impraticáveis. 
Fundamentos 
Ligações para estatística observacional fenômeno são coletados pelos fenômenos estatísticos. 
• Estatística inferencial é o conjunto de técnicas utilizadas para identificar relações entre variáveis que 
representem ou não relações de causa e efeito; 
• Estatística robusta é o conjunto de técnicas utilizadas para atenuar o efeito de outliers e preservar a 
forma de uma distribuição tão aderente quanto possível aos dados empíricos. 
A estatística não é uma ferramenta matemática que nos informa sobre o quanto de erro nossas ob-
servações apresentam sobre a realidade pesquisada. A estatística baseia-se na medição do erro que 
existe entre a estimativa de quanto uma amostra representa adequadamente a população da qual foi 
extraída. Assim o conhecimento de teoria de conjuntos, análise combinatória e cálculo são indispen-
 ESTATÍSTICA 
 
2 WWW.DOMINACONCURSOS.COM.BR 
sáveis para compreender como o erro se comporta e a magnitude do mesmo. É o erro (erro amostral) 
que define a qualidade da observação e do delineamento experimental. 
A faceta dessa ferramenta mais palpável é a estatística descritiva. A descrição dos dados coletados é 
comumente apresentado em gráficos ou relatórios e serve tanto a prospecção de uma ou mais variá-
veis para posterior aplicação ou não de testes estatísticos bem como a apresentação de resultados 
de delineamentos experimentais. 
Nós descrevemos o nosso conhecimento de forma matemática e tentamos aprender mais sobre aqui-
lo que podemos observar. Isto requer: 
• O planejamento das observações por forma a controlar a sua variabilidade (concepção do experi-
mento); 
• Sumarização da coleção de observações; 
• Inferência estatística - obter um consenso sobre o que as observações nos dizem sobre o mundo 
que observamos. 
Em algumas formas de estatística descritiva, nomeadamente mineração de dados (data mining), os 
segundo e terceiro passos tornam-se normalmente mais importantes que o primeiro. 
A probabilidade de um evento é definida como um número entre zero e um. 
Normalmente aproximamos a probabilidade de alguma coisa para cima ou para baixo porque elas são 
tão prováveis ou improváveis de ocorrer, que é fácil de reconhecê-las como probabilidade de um ou 
zero. Entretanto, isso pode levar a desentendimentos e comportamentos perigosos, porque é difícil 
distinguir entre, uma probabilidade de 10−4 e uma de 10−9, a despeito da grande diferença numérica 
entre elas. Por exemplo, se você espera atravessar uma estrada 105 ou 106 vezes na sua vida, definir 
o risco de atravessá-la em 10−9 significa que você está bem seguro pelo resto da sua vida. Entretanto, 
um risco de 10−4 significa que é bem provável que você tenha um acidente, mesmo que intuitivamente 
um risco de 0,01% pareça muito baixo. 
Estatística Computacional 
O crescimento rápido e sustentados no poder de processamento dos computadores a partir da se-
gunda metade do século XX teve um forte impacto na prática da estatística. Os modelos estatísticos 
mais antigos eram quase sempre lineares, mas os computadores modernos, junto 
com algoritmos numéricos apropriados, causaram um aumento do interesse nos modelos não-
lineares (especialmente redes neurais e árvores de decisão) assim como na criação de novos tipos, 
como o modelo linear generalizado e o modelo multi-nível. 
O aumento na capacidade de computação também tem levado à popularização de métodos que de-
mandam muitos cálculos baseados em reamostragem (em inglês e no jargão do meio resampling), 
como testes de permutação e bootstrap, enquanto técnicas como a amostragem de Gibbs tem feito 
com que os métodos de Bayes fiquem mais fáceis. A revolução informática também tem levado a um 
aumento na ênfase na estatística "experimental" e "empírica". Um grande número de softwares esta-
tísticos, de uso tanto geral como específico estão disponíveis no mercado. 
A Estatística é o ramo da Matemática responsável por métodos e técnicas de pesquisa envolvendo 
experimentos, coleta de dados, processamento, representações gráficas, análise e divulgação das 
informações. 
 
O crescente aperfeiçoamento e desenvolvimento da estatística no decorrer da história sempre visa-
ram à melhora nos processos de obtenção e recolhimento de informações, permitindo o estudo ade-
quado de diversos fenômenos, fatos, eventos e ocorrências nas diversas áreas do conhecimento 
humano. Portanto, a estatística tem como objetivo principal fornecer ferramentas que ao serem utili-
zadas permite lidarmos com situações sujeitas a incertezas. 
Os povos da Antiguidade utilizavam das técnicas estatísticas a fim de obter informações sobre o nú-
mero de habitantes, riquezas, casos de doenças, entre outras situações que levassem ao enfraque-
cimento do poderio militar dos povos. Os governantes passaram a realizar pesquisas estatísticas 
 ESTATÍSTICA 
 
3 WWW.DOMINACONCURSOS.COM.BR 
referentes às variáveiseconômicas: comércio, alimentos, produção de bens, exportações de produtos 
entre outras. 
 
No Brasil, órgãos como o IBGE (Instituto Brasileiro de Geografia e Estatística) e instituições como a 
FGV (Fundação Getúlio Vargas) têm por objetivo a coleta, análise e divulgação de informações rela-
cionadas ao meio político, econômico, social, segurança, educacional, saúde e diversos ramos da 
sociedade. 
Os levantamentos estatísticos são divulgados em jornais, Internet, noticiários de televisão e revistas, 
comumente possuem relação direta com a vida das pessoas, pois envolvem temas relacionados a 
hábitos da população em geral. 
O estatístico é um especialista no ramo da matemática voltado para a coleta, a análise e a interpreta-
ção de dados numéricos no estudo de fenômenos naturais, econômicos e sociais. 
Ele planeja e coordena o levantamento de informações por meio de questionários, entrevistas, medi-
ções e análise desses dados. Organiza, analisa e interpreta os resultados para explicar fenômenos 
sociais, econômicos ou naturais, e ajudar na tomada de decisões em empresas públicas e privadas. 
Monta banco de dados para os mais diversos usos. 
Na indústria, acompanha testes de qualidade e ajuda a fazer a previsão de vendas com base em 
modelos matemáticos. 
Em teoria das probabilidades e estatística, a função densidade de probabilidade (FDP), ou densidade 
de uma variável aleatória contínua, é uma função que descreve a probabilidade relativa de uma vari-
ável aleatória tomar um valor dado. A probabilidade da variável aleatória cair em uma faixa particular 
é dada pela integral da densidade dessa variável sobre tal faixa - isto é, é dada pela área abaixo da 
função densidade mas acima do eixo horizontal e entre o menor e o maior valor dessa faixa. A função 
densidade de probabilidade é não negativa sempre, e sua integral sobre todo o espaço é igual a um. 
A função densidade pode ser obtida a partir da função distribuição acumulada a partir da operação 
de derivação (quando esta é derivável). 
Se uma variável aleatória tem densidade dada por f(x), então o intervalo infinitesimal [x, x+dx] 
tem probabilidade f(x) dx. Formalmente, a função densidade de probabilidade (ou fdp), denotada 
por fx(x), de uma variável aleatóriacontínua X é a função que satisfaz 
Os termos função distribuição de probabilidade e função de probabilidade por vezes foram sido utili-
zados para denotar a função de densidade de probabilidade. No entanto, esse uso não é padrão en-
tre estatísticos. Em outras fontes, função de distribuição de probabilidade pode ser utilizado quando 
a distribuição de probabilidade é definida como uma função sobre conjuntos de valores, ou pode refe-
rir-se a função distribuição acumulada, ou ainda pode ser uma função massa de probabilidade (FMP), 
em vez de densidade. Existem outras confusões da terminologia porque função densidade também 
tem sido usado para o que é aqui chamado de função massa de probabilidade (FMP). Em geral, po-
rém, a FMP é usada no contexto de variáveis aleatórias discretas (variáveis aleatórias que tenham 
valores de um conjunto discreto), enquanto FDP é usado no contexto de variáveis aleatórias contí-
nuas. 
Exemplo 
Suponhamos que uma espécie de bactérias normalmente vive por 4 a 6 horas. Qual é a probabilidade 
de que uma bactéria viva exatamente 5 horas? A resposta é de 0%. Muitas bactérias vivem 
por aproximadamente 5 horas, mas não há nenhuma chance de que qualquer bactéria morra 
em exatamente 5.000000000 horas. 
Em vez disso, poderíamos perguntar: qual é a probabilidade de que a bactéria morra entre 5 horas e 
5,01 horas? Vamos dizer que a resposta é de 0,02 (ou seja, 2%). A seguir: qual é a probabilidade de 
que a bactéria morra entre 5 horas e 5.001 horas? A resposta é provavelmente em torno de 0,002, 
uma vez que este é um décimo do intervalo anterior. A probabilidade de que a bactéria morre entre 5 
horas e 5.0001 horas é provavelmente cerca de 0,0002, e assim por diante. 
Nestes três exemplos, a relação (probabilidade de morrer durante um intervalo)/(período de duração 
do intervalo) é aproximadamente constante, e igual a 2 por hora (ou 2 horas-1). Por exemplo, há uma 
probabilidade de 0,02 de morte no intervalo de 0,01 horas entre 5 e 5,01 horas, e (0,02 de probabili-
 ESTATÍSTICA 
 
4 WWW.DOMINACONCURSOS.COM.BR 
dade / 0,01 horas) = 2 horas-1. Esta quantidade de 2 horas-1 é chamada de densidade de probabilida-
de para a morte em cerca de 5 horas. 
Portanto, em resposta à pergunta qual é a probabilidade de que a bactéria morra em 5 horas?, a res-
posta literalmente correta, mas inútil, é 0, mas uma melhor resposta pode ser escrita como (2 horas-
1) dt. Esta é a probabilidade de que a bactéria morra dentro de um pequeno (infinitesimal) a janela de 
tempo de cerca de 5 horas, onde dt é a duração da janela. 
Por exemplo, a probabilidade de que ela viva por mais do que 5 horas, mas menos do que (5 horas + 
1 nanossegundo), é (2 horas-1) x (1 nanosegundo) ≃ 6 × 10-13 (usando a conversão de unidade 3,6 × 
1012 nanossegundos = 1 hora). 
Existe uma função de densidade de probabilidade com f sendo f (5 horas) = 2 horas-1. 
A integral de f sobre qualquer janela de tempo (não apenas janelas infinitesimais, mas também gran-
des janelas) é a probabilidade de que a bactéria morra nessa janela. 
Diferença entre "função de probabilidade" e "função densidade de probabilidade" 
O conceito de "função densidade de probabilidade" é muito semelhante ao conceito de "função de 
probabilidade", que serve para o caso de variáveis aleatórias discretas. No entanto, é preciso enten-
der bem a diferença entre eles. 
Uma variável aleatória discreta tem um número definido de possíveis ocorrências. Por exemplo, 
a variável aleatória "resultado de um dado" tem apenas 6 possíveis ocorrências: 1,2,3,4,5 e 6. Por 
isso, a função de probabilidade a ela associada também só pode assumir 6 valores (1/6 cada uma, se 
o dado não for viciado), que necessariamente somarão 1. 
Uma variável aleatória contínua, ao contrário, tem um número infinito de ocorrências. Por exemplo, 
a variável aleatória "idade de cada empregado de uma empresa" pode assumir infinitos valores, por 
exemplo 18,1 anos, 18,23 anos, 20,341 anos, 30,3167 anos etc. Por isso, se simplesmente tentarmos 
calcular p(x=x) como faz uma função de probabilidade para uma variável aleatória discreta, chegare-
mos ao seguinte: 
 
Ou seja, a probabilidade de a variável aleatória contínua X assumir um determinado valor x é zero. 
Por isso, a "função densidade de probabilidade" não trabalha com valores pontuais, e sim com inter-
valos infinitesimais - ela informa a probabilidade de a variável X assumir um valor naquele intervalo. 
No caso univariado contínuo acima, a medida de referência é a medida de Lebesgue. A função mas-
sa de probabilidade de uma variável aleatória discreta é a densidade no que diz respeito à medida 
contável sobre o espaço da amostra (normalmente o conjunto de números inteiros, ou um subconjun-
to dos mesmos). 
Note-se que não é possível definir uma densidade referindo a uma medida arbitrária (por exemplo, 
não se pode escolher a medida contável como uma referência para uma variável aleatória contínua). 
Além disso, quando ela existe, a densidade é em quase todos os lugares únicas. 
Nem toda distribuição de probabilidade tem uma função densidade: as distribuições de variáveis alea-
tórias discretas não possuem; nem a distribuição de Cantor, mesmo ela não tendo qualquer compo-
nente discreto, isto é, não atribui probabilidade positiva para qualquer ponto individual. 
Se uma distribuição de probabilidade admite uma densidade, então a probabilidade de cada conjunto 
de um ponto {a} é zero; o mesmo vale para conjuntos finitos e contáveis. 
Duas densidades de probabilidade f e g'’ representam precisamente a mesma distribuição de probabi-
lidade se eles diferem apenas em um conjunto com medida de Lebesgue zero. 
 ESTATÍSTICA 
 
5 WWW.DOMINACONCURSOS.COM.BR 
No campo da física estatística, uma reformulaçãonão formal da relação acima entre a derivada da 
função distribuição acumulada e a função densidade de probabilidade é geralmente utilizada como a 
definição da função densidade de probabilidade. 
Ligação Entre Distribuições Discretas E Contínuas 
É possível representar certas variáveis aleatórias discretas, bem como variáveis aleatórias que envol-
vem tanto uma parte contínua e uma parte discreta com uma função densidade de probabilidade ge-
neralizada, usando a função delta de Dirac. Por exemplo, considere uma variável aleatória discreta 
binária tendo uma distribuição de Rademacher – isto é, assumindo valores −1 ou 1, com probabilida-
de ½ cada. 
Isso unifica substancialmente o tratamento de distribuições de probabilidade discretas e contínuas. 
Por exemplo, a expressão acima permite determinar características estatísticas de uma variável dis-
creta (tais como a sua média e variância), a partir das fórmulas dadas para uma distribuição contínua 
da probabilidade. 
Famílias De Densidades 
É comum para funções densidade de probabilidade (e funções massa de probabilidade) serem para-
metrizadas, isto é, serem caracterizadas por parâmetros não especificados. Por exemplo, a distribui-
ção normal é parametrizada em termos da média e da variância, denotada, É importante ter em men-
te a diferença entre o domínio de uma família de densidades e os parâmetros da família. Diferentes 
valores dos parâmetros descrevem diferentes distribuições de diferentes variáveis aleatórias no 
mesmo espaço de amostra (o mesmo conjunto de todos os valores possíveis da variável); este espa-
ço de amostra é o domínio da família de variáveis aleatórias que esta família de distribuições descre-
ve. 
Um determinado conjunto de parâmetros descreve uma única distribuição dentro da família comparti-
lhando a forma funcional da densidade. Do ponto de vista de uma dada distribuição, os parâmetros 
são constantes e termos de uma função densidade que contêm apenas os parâmetros, mas não vari-
áveis, são partes do fator de normalização de uma distribuição (o fator multiplicativo que garante que 
a área sob a densidade - a probabilidade de algo no domínio ocorrer - é igual a 1). Este fator de nor-
malização é fora do kernel da distribuição. 
Uma vez que os parâmetros são constantes, re parametrizar uma densidade em termos de diferentes 
parâmetros, para se obter uma caracterização de uma variável aleatória diferente na família, significa 
simplesmente substituir os novos valores de parâmetros para a fórmula em lugar dos antigos. Alterar 
o domínio de uma densidade de probabilidade, no entanto, é mais complicado e exige mais trabalho: 
consulte a seção abaixo sobre a mudança de variáveis. 
Uma estatística é uma função (qualquer) das variáveis observáveis que não contém qualquer parâ-
metro desconhecido. 
Mais formalmente, a Teoria Estatística define uma estatística como uma função de uma amostra em 
que a função por si mesma é independente da distribuição que gerou a amostra. 
Este termo é utilizado usualmente tanto para a função quanto para o particular valor numérico da 
função aplicada a uma dada amostra observada. 
Uma estatística não representa o mesmo conceito que um parâmetro estatístico, que não é calculável 
da amostra. Por exemplo, a média amostral é uma estatística, enquanto que a média de uma popula-
ção é um parâmetro. Em geral utiliza-se um estimador (caso particular de estatística) para chegar 
num valor numérico que estima um parâmetro. No exemplo anterior, o estimador para a média da 
população é a média amostral. 
A palavra estatística é do latim e significa “estado”. Este termo provém do primeiro uso da estatística 
eu tinha como função o registro de dados (nº de habitantes da população, nº de casamentos...) e a 
elaboração de tabelas e gráficos para descrever resumidamente um determinado país em números. 
Passado muito tempo a estatística evoluiu, tornando-se uma ampla e complexa ciência, tirando con-
clusões sobre o conjunto todo a partir de amostras representativas. 
 ESTATÍSTICA 
 
6 WWW.DOMINACONCURSOS.COM.BR 
Uma boa definição de estatística é a de ser um conjunto de métodos especialmente apropriados à 
coleta, à apresentação (organização, resumo e descrição), à análise e à interpretação de dados de 
observação, tendo como objetivo a compreensão de uma realidade específica para a tomada da de-
cisão. 
Mais precisamente a estatística se preocupa com: 
-A coleta, a organização, a sintetização e a apresentação de dados; 
-A medição da variação nos dados e levantamento de dados; 
-A estimativa dos parâmetros da população e a determinação da precisão das estimativas; 
-A aplicação dos testes de hipótese em relação aos parâmetros; 
-A análise da relação entre duas ou mais variáveis. 
A estatística trabalha com dois conjuntos de dados: o universo e a amostra. Apesar de a estatística se 
preocupar em obter informações sobre a população, dificilmente ela estuda todos os componentes da 
mesma (censo). 
Não existem estatísticas especiais, como bioestatística e estatística econômica, mas sim aplicações 
específicas de estatística em determinadas áreas, o que leva a dividir a estatística especificamente 
para questões didáticas. 
A Estatística Pode Ser Dividida Em Duas: 
-Estatística descritiva: é a parte que procura os melhores métodos para coletar, ordenar e sumarizar 
os dados dos experimentos. 
-Estatística experimental: é a parte que fornece os métodos de análise e interpretação dos resultados 
dos experimentos. 
Distribuições estáveis paretianas têm propriedades atraentes para modelagem empírica em finanças, 
porque incluem a distribuição normal como um caso especial, mas também pode permitir caudas 
mais pesadas e assimetria. 
 
Uma razão principal para a pouca utilização dessa distribuição em trabalhos acadêmicos aplicados é 
devido ao fato de que, em geral, não há expressão de "forma fechada" para a a função de densidade 
de probabilidade, e que as aproximações numéricas computacionais são não-triviais e computacio-
nalmente extensivas. 
 
Nesse post vou mostrar como é possível calcular a função densidade de probabilidade via Fast-
Fourier Transform (FFT). 
 
O trabalho original sobre esse assunto foi produzido por Mittnik, Doganoglu e Chenyao (1999). 
 
A Distribuição Alfa-Estável. 
A distribuição alfa-estável, em geral, não possui expressão analítica para sua função densidade de 
probabilidade (f.d.p) ou ainda para a sua função distribuição acumulada (f.d.a), mas pode ser escrita 
por meio de sua função característica (Rachev e Mittnik, 2000 ): 
 
onde é o expoente da distribuição ou índice de cauda, é o parâmetro de 
assimetria, é o parâmetro de escala e é o parâmetro de locação, a função é 
dada por: 
 ESTATÍSTICA 
 
7 WWW.DOMINACONCURSOS.COM.BR 
 
A distribuição alfa-estável representada acima e definida pela notação é denominada 
parametrização segundo Nolan (2010). 
 
A função densidade de probabilidade pode ser aproximada utilizando o método FFT (Fast Fourier 
Transform) o qual é computacionalmente eficiente e permite um processo de aproximação mais rápi-
do do que expansão por séries (Bergström, 1952) ou integração direta (Nolan, J. P., 2001. Maximum 
likelihood estimation of stable parameters. Manuscrito não publicado.). 
 
Segundo Durrett (2010) página 106 uma função densidade de probabilidade pode ser escrita pe-
la Transformada de Fourier da função característica, em outras palavras: 
 
 
A integral acima pode ser calculada para pontos igualmente espaçados com distância e soma 
resultante pode ser computada por meio do método FFT (Fast Fourier Transform). Mittnik e Dogano-
glu (1999) sugerem que os valores de e devem ser respectivamente e para que 
uma boa aproximação seja possível. 
A distribuição normal conhecida também como distribuição gaussiana é sem dúvida a mais importan-
te distribuição contínua. Sua importância se deve a vários fatores, entre eles podemos citar o teorema 
central do limite, o qual é um resultado fundamental em aplicaçõespráticas e teóricas, pois ele garan-
te que mesmo que os dados não sejam distribuídos segundo uma normal a média dos dados conver-
ge para uma distribuição normal conforme o número de dados aumenta. 
Além disso diversos estudos práticos tem como resultado uma distribuição normal. Podemos citar 
como exemplo a altura de uma determinada população em geral segue uma distribuição normal. En-
tre outras características físicas e sociais tem um comportamento gaussiano, ou seja, segue uma 
distribuição normal. 
A variação natural de muitos processos industriais é realmente aleatória. Embora as distribuições de 
muitos processos possam assumir uma variedade de formas, muitas variáveis observadas possuem 
uma distribuição de frequências que é, aproximadamente, uma distribuição de probabilidade Normal. 
Probabilidade é a chance real de ocorrer um determinado evento, isto é, a chance de ocorrer uma 
medida em um determinado intervalo. Por exemplo, a frequência relativa deste intervalo, observada à 
partir de uma amostra de medidas, é a aproximação da probabilidade. E a distribuição de frequências 
é a aproximação da distribuição de probabilidades. 
A palavra probabilidade deriva do Latim probare(provar ou testar). Informalmente, provável é uma das 
muitas palavras utilizadas para eventos incertos ou conhecidos, sendo também substituída por algu-
mas palavras como “sorte”, “risco”, “azar”, “incerteza”, “duvidoso”, dependendo do contexto. 
A probabilidade é um número que varia de 0 (zero) a 1 (um) e que mede a chance de ocorrência de 
um determinado resultado. 
Quanto mais próxima de zero for a probabilidade, menores são as chances de ocorrer o resultado e 
quanto mais próxima de um for a probabilidade, maiores são as chances. 
As probabilidades podem ser expressas de diversas maneiras, inclusive decimais, frações e percen-
tagens. Por exemplo, a chance de ocorrência de um determinado evento pode ser expressa como 
10%; 5 em 10; 0,20 ou 1/7. 
 Experimento Aleatório 
 ESTATÍSTICA 
 
8 WWW.DOMINACONCURSOS.COM.BR 
Experimento é qualquer atividade realizada que pode apresentar diferentes resultados. Um experi-
mento é dito aleatório quando não conseguimos afirmar o resultado que será obtido antes de realizar 
o experimento. Um experimento é dito equiprovável se todos os possíveis resultados possuem a 
mesma chance de ocorrer. 
Espaço Amostral E Evento 
Em uma tentativa com um número limitado de resultados, todos com chances iguais, devemos consi-
derar: 
 Espaço Amostral (E) 
Espaço amostral é o conjunto E cujos elementos são todos os possíveis resultados que podem ser 
obtidos na realização de um experimento. 
 Evento (A) 
Evento é qualquer subconjunto de um espaço amostral. 
 Cálculo De Probabilidades 
Seja um evento A de um espaço amostral referente a um experimento aleatório e equiprovável. 
A probabilidade P(A) de se obter o evento A é dada por: 
 
 Onde: 
▪ n(A) é o número de elementos do evento A; 
▪ n(E) é o número de elementos do espaço amostral 
Estatística 
A Estatística está presente em todas as áreas da ciência que envolvam o planejamento do experi-
mento, a construção de modelos, a coleta, o processamento e a análise de dados e sua consequente 
transformação em informação, para validar hipóteses científicas sobre um fenômeno observável. Des-
ta forma, a Estatística pode ser pensada como a ciência de aprendizagem a partir de dados. 
A aplicação de técnicas estatísticas a dados meteorológicos tem a vantagem de compactar o enorme 
volume de dados, medidos, por exemplo, em uma estação, em uma simples tabela ou uma equação, 
capaz de sumariar todas as informações de modo a facilitar as inferências sobre os dados. 
 Definição 
A estatística é uma coleção de métodos para planejar experimentos, obter dados e organiza-los, re-
sumi-los, analisá-los, interpretá-los e deles extrair conclusões. 
Noções De Estatística 
 Amostra 
São elementos coletados dentro do vasto universo. 
 ROL 
É toda sequência de dados numéricos. 
 Exemplo: 
 ESTATÍSTICA 
 
9 WWW.DOMINACONCURSOS.COM.BR 
Os cincos alunos de uma amostra apresentaram as seguintes notas na prova bimestral de matemáti-
ca 6; 4; 8; 7; 8. Apresentando esses dados em rol, temos: (4; 6; 7; 8; 8) ou (8; 8; 7; 6; 4). 
 Classes 
Qualquer intervalo real que contenha um rol da amostra. 
Medidas De Posição 
São as estatísticas que representam uma série de dados orientando-nos quanto à posição da distri-
buição em relação ao eixo horizontal do gráfico da curva de frequência. 
As medidas de posições mais importantes são as medidas de tendência central ou pro mé-
dias (verifica-se uma tendência dos dados observados a se agruparem em torno dos valores cen-
trais). 
As medidas de tendência central mais utilizadas são: média aritmética, moda e mediana. 
Média Aritmética 
É igual ao quociente entre a soma dos valores do conjunto e o número total dos valores. 
 
Média Aritmética Ponderada 
Consideremos uma coleção formada por n números, de forma que cada um esteja sujeito a um peso 
(valor que indica a quantidade de vezes em que cada número se repete). 
A média aritmética ponderada desses n números é a soma dos produtos de cada um por seu peso, 
dividida pelos somatórios dos seus pesos, isto é: 
 
Nota: “peso” é sinónimo de “ponderação 
 Moda: (MO) 
É o valor que ocorre com maior frequência. 
Quando dois valores ocorrem com a mesma frequência, cada um deles é chamado de uma moda, e o 
conjunto se diz BIMODAL. 
Se mais de dois valores ocorrem com a mesma frequência máxima, cada um deles é uma moda e o 
conjunto é MULTIMODAL. 
Quando nenhum valor é repetido o conjunto não tem moda 
 Mediana (MD) 
Valor do meio do conjunto de dados, quando os valores estão dispostos em ordem crescente ou de-
crescente; divide um conjunto de dados em duas partes iguais. 
Para calcular: 
 ESTATÍSTICA 
 
10 WWW.DOMINACONCURSOS.COM.BR 
▪ Disponha os valores em ordem (crescente ou decrescente) 
▪ Se o número de valores é ímpar, a mediana é o número localizado no meio da lista. 
▪ Se o número é par, a mediana é a média aritmética dos dois valores do meio. 
Medidas De Dispersão 
Existem algumas medidas chamadas medidas de dispersão, que procuram mostrar como os elemen-
tos do conjunto se comportam em torno da região central, ou seja, medidas que mostram se eles 
estão mais ou menos dispersos. 
Por exemplo, num jogo de duplas de tênis, são conhecidas as idades dos jogadores: 
Equipe A Equipe B 
O jogador 1 tem 26 anos; O jogador 1 tem 45 anos; 
O jogador 2 tem 24 anos. O jogador 2 tem 5 anos. 
 
Veja que, nos dois casos, a média das idades é a mesma, ou seja, 25 anos. 
No entanto, as idades da equipe B estão bem mais dispersas em torno da média do que as idades da 
equipe A. 
Duas medidas de dispersão são chamados de Variância e Desvio-Padrão. 
Variância 
Veja, por exemplo, o conjunto de dados: 
2, 5, 6, 8, 14, 
Onde a média aritmética é 7. A diferença entre cada valor é a média é chamada desvio. Assim, 
os desvios para o nosso conjunto de dados serão: 
 
Observação: a soma dos desvios é sempre nula. 
Chamamos variância de um conjunto de dados a média aritmética dos quadrados dos desvios. No 
nosso exemplo, temos: 
 
 ESTATÍSTICA 
 
11 WWW.DOMINACONCURSOS.COM.BR 
A variância é : 
 
Desvio-Padrão 
O desvio-padrão é definido como a raiz quadrada da variância, sendo indicado por 
Assim, no nosso exemplo, temos: 
 
_________________________________________________________________________________ 
_________________________________________________________________________________ 
_________________________________________________________________________________ 
_________________________________________________________________________________ 
_________________________________________________________________________________ 
_________________________________________________________________________________ 
_________________________________________________________________________________ 
__________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________ 
_________________________________________________________________________________ 
_________________________________________________________________________________ 
_________________________________________________________________________________ 
_________________________________________________________________________________ 
_________________________________________________________________________________ 
_________________________________________________________________________________ 
_________________________________________________________________________________ 
_________________________________________________________________________________ 
_________________________________________________________________________________ 
_________________________________________________________________________________ 
_________________________________________________________________________________ 
_________________________________________________________________________________ 
_________________________________________________________________________________ 
_________________________________________________________________________________