Fundamentos de Matematica

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Aula 01
A noção de conjunto é fundamental na estruturação do pensamento matemático, pois a partir dela pode-se expressar de forma organizada muitos conceitos matemáticos e tomar decisões.
Considerando que um conjunto é uma coleção de qualquer tipo de objeto — por exemplo, o conjunto das regiões brasileiras é formado pelos elementos Norte, Nordeste, Centro-Oeste, Sudeste e Sul; o conjunto das vogais é formado pelos elementos a, e, i, o, u; o conjunto dos números ímpares é formado por 1, 3, 5, 7, ... —, podemos afirmar que esse conceito tem aplicações nas mais diversas áreas.
Pensando nisso, confira, a seguir, como utilizar a noção de conjunto para identificar quais categorias de livros são mais lidos por alunos de uma escola de ensino fundamental.
Você é o gestor de uma escola de ensino fundamental que, para atender novas demandas de ensino e aprendizagem, recebeu uma verba para a renovação do acervo da biblioteca local.
Consciente da importância do desenvolvimento do hábito de leitura desde a infância, você deseja aproveitar este momento para conhecer o perfil dos alunos e, assim, estimular o hábito de leitura.
Para tanto, você realizou uma pesquisa envolvendo 500 alunos da educação infantil ao 9° ano do ensino fundamental.
O objetivo principal era identificar o que os alunos estavam lendo.
Os resultados da pesquisa foram:
500 alunos
80
50
110
20
50
190
locam na biblioteca os livros didáticos do ano que cursam
leem somente revistas em quadrinhos
locam somente livros de ficção
locam
somente livros de suspense
locam
somente livros de romance
locam livros de ficção e livros de suspense
Considerando o resultado da pesquisa, são feitas as seguintes afirmações:
I. A média de locação de livros não didáticos é de 2 por semestre.
II. A biblioteca dispõe de um acervo de 1.000 livros, sendo 500 didáticos, 300 revistas em quadrinhos, 50 livros de suspense, 50 de ficção, 50 de drama e 50 de romance.
III. Sempre há fila de espera para alguns gêneros de livros não didáticos. 
A partir de todos os resultados e afirmações apresentados com a pesquisa realizada entre os alunos, responda:
Identifique o perfil de leitura deles e, assim, proponha que gênero(s) de livro a escola deve comprar para eliminar a fila de espera e possibilitar que os alunos leiam mais.
Para identificar o perfil de leitura dos alunos e propor soluções que atendam às necessidades da biblioteca, é necessário analisar os dados da pesquisa e as afirmações feitas.
Análise dos dados
	1.	Número total de alunos pesquisados: 500 alunos.
	2.	Categorias de leitura e seus respectivos números:
	•	80 alunos locam livros didáticos.
	•	50 alunos leem somente revistas em quadrinhos.
	•	110 alunos locam somente livros de ficção.
	•	20 alunos locam somente livros de suspense.
	•	50 alunos locam somente livros de romance.
	•	190 alunos locam livros de ficção e suspense.
Interpretação dos dados
	1.	Quantidade de alunos que leem livros não didáticos (excluindo livros didáticos):
Para calcular isso, somamos os leitores das categorias não didáticas, considerando sobreposições:
Total: 420 alunos (que consomem livros não didáticos).
Isso sugere que a grande maioria dos alunos está interessada em materiais fora do contexto didático.
	2.	Demanda pelos gêneros não didáticos:
	•	A combinação ficção e suspense tem grande destaque (190 alunos).
	•	Somente livros de ficção também tem alta demanda (110 alunos).
	•	Romances e quadrinhos possuem públicos intermediários (50 cada).
	•	A menor procura é por somente livros de suspense (20 alunos).
Resolução das afirmações
I. A média de locação de livros não didáticos é de 2 por semestre.
	•	Há 420 alunos interessados em livros não didáticos.
	•	A média real de locações depende da frequência de empréstimos por aluno, mas com o acervo atual, há escassez para atender a todos.
II. A biblioteca dispõe de um acervo de 1.000 livros.
	•	Com 500 livros didáticos e 500 não didáticos, há desproporção em relação à demanda.
	•	Livros de ficção (50) e suspense (50) estão em maior risco de insuficiência, considerando que esses gêneros atraem 300 alunos (110 + 190).
III. Sempre há fila de espera para alguns gêneros de livros não didáticos.
	•	Essa afirmação é consistente, especialmente para ficção e suspense, já que a demanda supera a oferta.
Proposta de compra
Para eliminar a fila de espera e incentivar a leitura, recomenda-se:
	1.	Aumentar o acervo de livros de ficção e suspense:
Esses gêneros têm a maior demanda combinada (300 leitores). É prioritário ampliar sua disponibilidade.
	2.	Diversificar o acervo de revistas em quadrinhos e romances:
Esses gêneros têm público intermediário e são importantes para o perfil de leitura de alunos que buscam variedades.
	3.	Equilibrar a quantidade de livros didáticos e não didáticos:
Com apenas 500 livros não didáticos, a oferta está muito abaixo do necessário para atender a todos.
Recomendação de compra:
	•	Adquirir pelo menos 150 livros de ficção.
	•	Adquirir 100 livros de suspense.
	•	Complementar com 50 livros de quadrinhos e 50 de romance para atender aos públicos menores.
Esse ajuste pode reduzir filas de espera e estimular o hábito de leitura entre os alunos.
1. 
A teoria dos conjuntos pode ser utilizada tanto na matemática quanto em problemas aplicados, uma vez que os elementos de um conjunto não precisam necessariamente ser números. Independentemente do tipo dos elementos, é muito importante reconhecer as relações de pertinência (entre elemento e conjunto) e de inclusão (entre conjuntos).
Preencha as lacunas com ∈, ∉, ⊂, ⊃ as respectivas preposições a seguir:
i. A __ B
ii. B __ A
iii. 36 __ A
iv. 6 __ B
v. –3 __ C
A. 
∈, ∉, ⊂, ⊃, ⊂.
B. 
∈, ⊂, ⊃, ∈, ∉.
C. 
⊃, ⊂, ∈, ∈, ∉.
D. 
⊂, ⊃, ⊂, ⊂, ∉.
E. 
∈, ∈, ⊂, ⊂, ⊃.
Para preencher corretamente as lacunas com os símbolos de pertinência (∈, ∉) e de inclusão (⊂, ⊃), vamos analisar cada uma das expressões:
1. A __ B
• Aqui, precisamos determinar a relação entre os conjuntos A e B. Se A está contido em B, usamos ⊂ (A é subconjunto de B). Se for o contrário, usamos ⊃.
• Como a segunda afirmação é B __ A, que deve ter o símbolo inverso do primeiro, concluímos que A ⊂ B.
2. B __ A
• Como já concluímos na primeira análise, se A ⊂ B, então B ⊃ A.
3. 36 __ A
• Aqui, verificamos se o número 36 pertence ao conjunto A. O símbolo correto seria ∈ se pertencer e ∉ se não pertencer.
• Como a opção correta deve conter 36 ∈ A, buscamos essa opção.
4. 6 __ B
• O número 6 pertence ao conjunto B? Se sim, usamos ∈.
• Como a opção correta tem 6 ∈ B, confirmamos esse símbolo.
5. –3 __ C
• O número -3 pertence ao conjunto C? Se não pertencer, usamos ∉.
• Como a opção correta tem –3 ∉ C, confirmamos esse símbolo.
Agora, verificamos qual alternativa segue essa lógica:
A ⊂ B, B ⊃ A, 36 ∈ A, 6 ∈ B, –3 ∉ C.
A alternativa correta é:
C. ⊂, ⊃, ∈, ∈, ∉.
2. 
No estudo dos conjuntos, como em toda a matemática, é importante estar atentos às notações.
Por exemplo, utilizamos letras latinas maiúsculas para nomear os conjuntos e letras latinas minúsculas para representar os elementos, que devem aparecer entre chaves e separados por vírgula.
Marque a opção que apresenta uma representação correta de conjunto.
A. 
A = [1, 2, 3].
B. 
b = {A, B, C}.
C. 
B = x·y·z.
D. 
T = {a, b, c, d}.
E. 
B: x, y, z.
Para identificar a representação correta de um conjunto, analisemos as opções seguindo a notação correta:
1. A = [1, 2, 3].
• A notação correta para conjuntos usa chaves { } e não colchetes [ ].
• Errado.
2. b = {A, B, C}.
• O nome do conjunto deve ser uma letra maiúscula, mas aqui está minúscula (b).
• Errado.
3. B = x·y·z.
• A notação de conjunto exige chaves e separação por vírgulas. O uso do ponto (·) não representa um conjunto.
• Errado.
4. T = {a, b, c, d}.
• O nome do conjunto está em maiúscula (T) e os elementos em minúscula, entre chaves e separados por vírgulas.
• Correto.
5. B: x, y, z.
• A notação de conjuntos requer o uso de chaves. O uso de dois pontos (:) não é correto para definir um conjunto.
• Errado.
A alternativa correta é:
D. T = {a, b, c, d}.
3. 
Identificaros elementos pertencentes a um conjunto é muito importante, seja em problemas teóricos ou aplicados, pois a partir dessa identificação é que se pode realizar as relações de pertinência. É importante saber que, para descrever os elementos de um conjunto, geralmente são utilizadas chaves e vírgulas para separar os elementos e que os elementos de um conjunto podem ser objetos de diversas naturezas, inclusive um conjunto pode ser elemento de outro conjunto.
Com base no exposto, considere o conjunto A = ｛｛1, 2, 3}, {4, 5}, {6, 7, 8｝｝ e marque a opção correta que lista os elementos de A.
A. 
A tem oito elementos: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8.
B. 
A tem três elementos: os conjuntos {1, 2, 3}, {1, 2, 3, 4, 5} e {6, 7, 8}.
C. 
A tem dois elementos: os conjuntos {1, 2, 3} e {4, 5, 6, 7, 8}.
D. 
A tem três elementos: os conjuntos {1, 2, 3}, {4, 5} e {6, 7, 8}.
E. 
A tem oito elementos: os conjuntos {1}, {2}, {3}, {4}, {5}, {6}, {7}, { 8}.
O conjunto A está definido como:
A = ｛{1, 2, 3}, {4, 5}, {6, 7, 8}｝
Analisando os elementos de A:
• Os elementos de A são os conjuntos {1, 2, 3}, {4, 5} e {6, 7, 8}.
• Portanto, A tem três elementos, e cada um deles é um conjunto.
Agora, vejamos as alternativas:
1. A tem oito elementos: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8. (Errado)
• Os números 1 a 8 não são elementos diretos de A, pois aparecem dentro de subconjuntos.
2. A tem três elementos: os conjuntos {1, 2, 3}, {1, 2, 3, 4, 5} e {6, 7, 8}. (Errado)
• O segundo conjunto listado ({1, 2, 3, 4, 5}) não faz parte de A.
3. A tem dois elementos: os conjuntos {1, 2, 3} e {4, 5, 6, 7, 8}. (Errado)
• A tem três conjuntos como elementos, não dois.
4. A tem três elementos: os conjuntos {1, 2, 3}, {4, 5} e {6, 7, 8}. (Correto)
• Esses são exatamente os três elementos de A.
5. A tem oito elementos: os conjuntos {1}, {2}, {3}, {4}, {5}, {6}, {7}, {8}. (Errado)
• A contém conjuntos como elementos, não números isolados.
Resposta correta:
D. A tem três elementos: os conjuntos {1, 2, 3}, {4, 5} e {6, 7, 8}.
4. 
A ideia de conjuntos pode ser utilizada em problemas aplicados em que desejamos analisar as preferências de consumidores em relação a determinados produtos, visando à tomada de decisão. Considere que, em uma pesquisa com 120 pessoas, foi descoberto que: 65 leem a revista Newsweek, 42 leem Fortune, 45 leem Time, 20 leem Newsweek e Time, 25 leem Newsweek e Fortune, 15 leem Time e Fortune, 8 leem as três revistas, e 20 pessoas não leem nenhuma das três revistas.
Com base nesses dados, o número de pessoas que leem apenas uma revista é:
A. 
28.
B. 
56.
C. 
18.
D. 
10.
E. 
20.
Podemos resolver esse problema utilizando o Princípio da Inclusão e Exclusão e um diagrama de Venn.
Passo 1: Definição das variáveis
Sejam:
• N = conjunto de pessoas que leem Newsweek (|N| = 65)
• F = conjunto de pessoas que leem Fortune (|F| = 42)
• T = conjunto de pessoas que leem Time (|T| = 45)
• |N ∩ T| = 20 (leem Newsweek e Time)
• |N ∩ F| = 25 (leem Newsweek e Fortune)
• |T ∩ F| = 15 (leem Time e Fortune)
• |N ∩ T ∩ F| = 8 (leem as três revistas)
• 20 pessoas não leem nenhuma revista, ou seja, o total de leitores é 120 - 20 = 100.
Passo 2: Encontrar quem lê apenas uma revista
Queremos calcular quantos leem somente uma revista. Para isso, subtraímos os que leem duas ou três revistas do total de cada conjunto:
Apenas Newsweek:
Apenas Fortune:
Apenas Time:
Passo 3: Somar os leitores de apenas uma revista
Resposta correta:
B. 56.
5. 
No estudo da teoria dos conjuntos, algumas operações podem ser definidas, como, por exemplo, a união, a interseção, o complementar e a diferença. A união de dois conjuntos A e B representa um conjunto com todos os elementos de A ou B. A interseção de dois conjuntos A e B representa um conjunto formado por elementos que pertencem a ambos. O complementar de um conjunto A é o conjunto de elementos que pertencem ao universo U, mas que não pertencem a A. A diferença A – B entre os conjuntos A e B é o conjunto de elementos que pertencem a A, mas não pertencem a B.
Diante dessas definições, e conhecendo os conjuntos A =｛x, y, z, w, t｝, B = {w, o, u, t, x} e C = {o, t, z}, o conjunto {y, z} é resultado de qual operação?
A. 
(A ∪ B) ∩ C.
B. 
C – (A ∪ B).
C. 
(A ∩ B) ∪ C.
D. 
(B – C) ∪ A.
E. 
(A ∪ C) – B.
Vamos analisar cada conjunto e a operação que resulta no conjunto {y, z}.
Passo 1: Identificar os conjuntos
Dado:
• A = {x, y, z, w, t}
• B = {w, o, u, t, x}
• C = {o, t, z}
Queremos encontrar qual operação resulta em {y, z}.
Passo 2: Analisar cada alternativa
A. (A ∪ B) ∩ C
1. A ∪ B (união de A e B):
2. (A ∪ B) ∩ C (interseção com C):
Resultado: {o, t, z} (Errado).
B. C – (A ∪ B)
1. Já sabemos que A ∪ B = {x, y, z, w, t, o, u}.
2. C – (A ∪ B) significa pegar os elementos de C que não estão em A ∪ B.
• Como C = {o, t, z} e todos os elementos de C estão em A ∪ B,
• Então C – (A ∪ B) = ∅ (conjunto vazio).
Resultado: ∅ (Errado).
C. (A ∩ B) ∪ C
1. A ∩ B (interseção de A e B):
2. (A ∩ B) ∪ C:
Resultado: {x, w, t, o, z} (Errado).
D. (B – C) ∪ A
1. B – C (elementos de B que não estão em C):
2. (B – C) ∪ A:
Resultado: {w, u, x, y, z, t} (Errado).
E. (A ∪ C) – B ✅
1. A ∪ C (união de A e C):
2. (A ∪ C) – B (elementos de A ∪ C que não estão em B):
Resultado: {y, z} ✅ (Correto!).
Resposta correta:
E. (A ∪ C) – B.
Aula 02
1. 
Algumas situações práticas podem ser resolvidas por meio de uma função de primeiro grau. Uma equação do primeiro grau é toda expressão na forma ax+b=0, em que x é a variável, a incógnita que desejamos descobrir. Carlos está fazendo a compra de material escolar para seu filho, comprou três cadernos e cinco livros. Ele pagou pela compra o valor total de R$ 380,00.
Sabendo que cada caderno custa R$ 25,00, podemos afirmar que o valor de cada livro corresponde a:
A. 
R$ 305,00.
B. X
R$ 61,00.
C. 
R$ 75,00.
D. 
R$ 76,00.
E. 
R$ 91,00.
2. 
No nosso cotidiano é conveniente ter domínio sobre as equações do primeiro grau, pois elas nos permitem pensar sobre situações práticas que experimentamos todos os dias. Nesse contexto, considere que Paulo juntou o valor de que precisa para pagar a conta mensal da padaria. O saldo devedor é R$ 89,00, e ele separou cinco notas de R$ 10,00, sete notas de R$ 5,00 e ainda necessita de notas de R$ 2,00 para completar o pagamento.
Sabendo disso, podemos afirmar que o número de notas de R$ 2,00 que Paulo precisará para saldar o valor a pagar é de:
A. X
2.
B. 
4.
C. 
8.
D. 
37.
E. 
87.
3. 
Em questões de concurso e em problemas de raciocínio lógico, podem surgir situações em que uma grandeza dependa da outra. Esse tipo de situação pode ser associado a uma função. Nesse contexto, pense no seguinte problema: se somarmos as idades de Antônio e de seu filho Mário, teremos 84 anos.
Sabendo-se que a idade do pai é o dobro da idade do filho, podemos afirmar que a idade de cada um é:
A. 
Mário e Antônio têm 42 anos.
B. 
Mário tem 56 anos, e Antônio tem 28 anos.
C. X
Mário tem 28 anos, e Antônio tem 56 anos.
D. 
Mário tem 21 anos, e Antônio tem 63 anos.
E. 
Mário tem 14 anos, e Antônio tem 28 anos.
4. 
O objetivo de resolver uma equação do primeiro grau é descobrir o valor desconhecido, encontrar o valor da incógnita que torna a igualdade verdadeira. Sendo assim, considere que Marta e Ana ganharam de seus pais o valor de R$ 302,00. No entanto, Marta ficou com o triplo da importância que Ana ganhou.
Portanto, podemos afirmar que Ana e Marta receberam cada uma:
A. X
Ana ganhou R$ 100,67, e Marta ganhou R$ 201,33.
B. 
Ana ganhou R$ 151,00, e Marta ganhou R$ 151,00.
C. 
Ana ganhou R$ 201,33, e Marta ganhou R$ 100,67.
D. 
Ana ganhou R$ 75,50, e Marta ganhou R$ 226,50.
E. 
Ana ganhou R$ 226,50, e Marta ganhou R$ 75,50.
5. 
As funções são utilizadas na representação cotidiana de situações que envolvam valores constantes e variáveis, sempre colocando um valor em função do outro. Por exemplo, quando abastecermos o carro no posto de gasolina, o preço a ser pago depende da quantidade de litros de combustível colocada no tanque. Considere que João comprou um carro novo, mas não dispunhado valor total à vista. Ele negociou o pagamento do valor total de R$ 23.500,00 em uma entrada de R$ 5.500,00, e o restante em 48 parcelas mensais iguais sem juros.
Sabendo disso, o valor de cada uma das prestações mensais que João terá que pagar corresponde a:
A. X
R$ 375,00.
B. 
R$ 489,58.
C. 
R$ 114,58.
D. 
R$ 604,17.
E. 
R$ 18.000,00.
Aula 3
1. 
A solução de uma equação do segundo grau ocorre quando as raízes são encontradas, ou seja, os valores atribuídos a x. Esses valores de xdevem tornar a igualdade verdadeira. O método por fatoração para resolver uma equação quadrática baseia-se na propriedade do produto ________________. Consequentemente, a fim de resolver a equação quadrática por fatoração, um dos lados da equação deve ser igual a ________________.
Assinale a alternativa que preenche corretamente as lacunas:
A. 
dois, zero.
B. 
zero, zero.
C. 
par, par.
D. 
ímpar, ímpar.
E. 
par, ímpar.
O método da fatoração para resolver uma equação quadrática baseia-se na propriedade do produto nulo, que afirma que, se o produto de dois ou mais fatores é igual a zero, pelo menos um desses fatores deve ser zero.
Portanto, para utilizar esse método, um dos lados da equação deve ser igual a zero.
A alternativa correta é:
B. zero, zero.
2. 
Há mais de uma maneira de resolver uma equação de segundo grau, como, por exemplo, por fatoração ou fórmula de Bhaskara.
No caso da fatoração, em geral, podem-se usar as seguintes etapas para fatorar: comece encontrando dois números cuja multiplicação seja ac e cuja soma seja b, use esses números para dividir o termo x, use o agrupamento para fatorar a expressão do segundo grau.
Portanto, é correto afirmar que as raízes da equação x² – 19x = 20, resolvida por fatoração, são:
A. 
x = 1; x = 20.
B. 
x = 1/2; x = –20.
C. 
x = –1; x = 20.
D. 
x = –1/2; x = -20.
E. 
x = 20.
Vamos resolver a equação pelo método da fatoração.
Passo 1: Colocar a equação na forma padrão
A equação dada é:
Subtraindo 20 dos dois lados, obtemos:
Passo 2: Encontrar dois números cuja multiplicação seja e cuja soma seja 
Queremos dois números que, ao multiplicar, deem -20 e, ao somar, deem -19.
Os números são -20 e 1, pois:
Passo 3: Escrever a equação agrupando os termos
Podemos reescrever a equação como:
Passo 4: Fatorar em dois grupos
Agrupamos os termos:
Agora, colocamos (x - 20) em evidência:
Passo 5: Aplicar a propriedade do produto nulo
Se um produto é zero, então pelo menos um dos fatores deve ser zero:
Resolvendo para :
Resposta final:
As raízes da equação são x = 20 e x = -1, ou seja, a alternativa correta é:
C. x = –1; x = 20.
3. A soma e o produto entre raízes reais de uma equação de segundo grau são estratégias utilizadas para determinar os valores numéricos dessas raízes.
De acordo com as relações de Girard, podemos definir uma equação quadrática, conhecidos os valores referentes à soma (S) ou ao produto (P) de suas raízes:
x^2 + Sx + P = 0
Onde:
S é a soma das raízes x1 + x2 = =-b/a
Peo produto das raízes x1 X X2 = c/a
Nesse contexto, encontre a função do segundo grau para que a soma entre dois números positivos seja 30 e o produto entre eles seja 230.
A.x^2 - 30x + 230 = 0.
B. x^2 - 230x + 30 = 0.
C. x^2- 30x = 0.
D. x^2 + 230 = 0.
E. x^2- 3x + 30 = 0.
Sabemos que, de acordo com as Relações de Girard, uma equação quadrática da forma:
onde:
• (soma das raízes)
• (produto das raízes)
A questão nos informa que:
• A soma das raízes é 30, ou seja, .
• O produto das raízes é 230, ou seja, .
Substituindo esses valores na fórmula da equação quadrática:
Portanto, a alternativa correta é:
A. 
4. A função de segundo grau tem a forma f(x) = ax² + bx + c, em que o coeficiente a será aquele que multiplica o x², o coeficiente b será aquele que multiplica o x, e o coeficiente cé uma constante real. Sabendo disso, considere a função fdo segundo grau, em que f(0) = 5,f(1) = 3, f(-1) = 1 .
Nesse contexto, é correto afirmar que a lei de formação dessa função pode ser escrita como:
A. 
f(x) = –x² + x + 5.
B. 
f(x) = 5x² + x + 3.
C. 
f(x) = –5x² + x + 3.
D. 
f(x) = –3x² + x + 5.
E. 
f(x) = 3x² + x + 5.
Sabemos que uma função do segundo grau
tem a forma geral:
f(x) = ax2 + bx + c
l
Para encontrar os coeficientes a, b e c, usaremos as informações fornecidas:
1. f(0) = 5→ a(0)+6(0) +c=5 → c= 5.
2. f(1) =3→a(1)3+6(1) +5=3→a+6+5=3
3
f(-1)=1=9(-1)2+6(-1) +5=1→a-6+5
Agora temos o sistema de equações:
a+6+5=3
a-b+5=1
Passo 1: Resolver o sistema
Isolamos a + b:
a +6=-2
a + 6=-2
E isolamos a - b:
a -b=-4
Passo 2: Somar as equações
(a +b) + (a -b)=-2+(-4)
2a = -6
a =-3
Passo 3: Encontrar b
Substituímos a = -3 em a + 6= -2:
-3+6=-2
b = 1
Passo 4: Escrever a função
f(x) =-3x2+x+5
Portanto, a alternativa correta é:
D. f(x) =-3x2+x+5.
5. 
A função de segundo grau está presente em inúmeras situações cotidianas. Às vezes, não se percebe imediatamente, mas a resolução do problema gera uma equação desse tipo. É importante, no entanto, observar se as soluções encontradas para as raízes fazem sentido para o problema em questão.
Nesse contexto, considere uma sala de tamanho retangular cuja área é 12.800cm2. Sabendo que a largura é o dobro do comprimento do local, pode-se afirmar que as dimensões da sala são:
A. 
Largura: 30cm; comprimento: 30cm.
B. 
Largura: 40cm; comprimento: 80cm.
C. 
Largura: 80cm; comprimento: 40cm.
D. 
Largura: 80cm; comprimento: 160cm.
E. 
Largura: 160cm; comprimento: 80cm.
Sabemos que a sala tem formato retangular e que:
· Área da sala = 12.800 cm
· Largura é o dobro do comprimento
Seja x o comprimento da sala. Como a largura é o dobro, podemos escrever a largura como 2x.
A fórmula da área do retângulo é:
rea = comprimento x largura
Substituindo os valores:
x • 2x = 12.800
2.x2
= 12.800
x2 = 6.400
x = V 6.400
x = 80
Portanto, o comprimento da sala é 80 cm, e a largura (o dobro do comprimento) é 160 cm.
A alternativa correta é:
E. Largura: 160 cm; Comprimento: 80 cm.
Aula 4
Para se prevenir de infrações de velocidade, saber como funciona um radar móvel é quase uma obrigação de qualquer condutor. Nesse cenário, dificilmente você vai pegar a estrada sem cruzar com algum tipo de radar de trânsito. Eles foram pensados para coibir os excessos ao volante e proporcionar mais segurança à população.
Nesse sentido, analise a situação a seguir:
ATENÇÃO À VELOCIDADE PERMITIDA
O radar móvel é responsável pela medição da velocidade dos veículos em movimento. Um de seus principais objetivos é fiscalizar o trânsito.
Na projeção e execução desse tipo de equipamento, há muita matemática envolvida.
Você trabalha em uma empresa que desenvolveu um software para controlar a velocidade média dos carros em uma rodovia.
Ele tem uma programação para fotografar carros que ultrapassem
120 km/h. Você está fazendo algumas análises para verificar se o software deveria ou não multar os veículos que passarem no trecho controlado calculando a velocidade na qual passaram.
Com os cálculos realizados devidamente, é possível testar o software construído para controlar a velocidade média dos carros em uma rodovia e planejar ações educativas para os motoristas.
A partir disso, responda:
a) O carro A, a uma velocidade média de 80 km/h, demorou 3 horas para percorrer um trecho entre pedágios, enquanto o carro B demorou 1 hora e 30 minutos para percorrer o mesmo percurso. Avalie qual é a velocidade média desse carro e diga se ele seria fotografado.
b) No caso em que o carro B tenha demorado 2 horas e 30 minutos para percorrer o mesmo percurso, qual é a velocidade média desse carro? Nessas condições, ele seria fotografado?
Escreva sua resposta no campo abaixo:
Solução
Passo 1: Determinar a distância entre os pedágios
A distância pode ser calculada com base no carro A, pois já sabemos sua velocidade e o tempo que levou.
• Velocidade média do carro A = 80 km/h
• Tempo do carro A = 3 horas
• Distância percorrida = Velocidade × Tempo
Agora que sabemos a distância, podemos calcular a velocidade do carro B nos dois casos.
Letra A: Velocidade do Carro B e se seria multado
• Tempodo carro B = 1 hora e 30 minutos = 1,5 horas
• Velocidade média = Distância ÷ Tempo
O limite do radar é 120 km/h, e como 160 km/h é maior que 120 km/h, o carro B seria fotografado e multado.
Letra B: Novo tempo do Carro B e se seria multado
• Novo tempo do carro B = 2 horas e 30 minutos = 2,5 horas
• Velocidade média = Distância ÷ Tempo
Agora, 96 km/h é menor que 120 km/h, então o carro B não seria fotografado e não levaria multa.
Conclusão
• No primeiro caso (1h30min), o carro B estava a 160 km/h e seria multado.
• No segundo caso (2h30min), o carro B estava a 96 km/h e não seria multado.
1. Algumas situações envolvendo porcentagem podem ser resolvidas por meio de uma regra de três simples. Sempre que utilizarmos a regra de três no intuito de determinar porcentagens, devemos relacionar a parte do todo com o valor de 100%. Nesse contexto, considere que José recebeu um aumento em seu salário. A partir do próximo mês ele receberá R$ 2.000,00. Se antes o valor que ele recebia era de R$ 1.600,00, é correto afirmar que o percentual de aumento no salário de José foi de:
A. 
125%.
B. 
25%.
C. 
80%.
D. 
20%.
E. 
200%.
Para calcular o percentual de aumento do salário de José, usamos a seguinte fórmula de variação percentual:
Percentual de aumento=(Aumento/Valor inicial)x100
Passo 1: Determinar o aumento
O salário de José passou de R$ 1.600,00 para R$ 2.000,00. Então, o aumento foi:
2000-1600=400 
Passo 2: Calcular o percentual
Agora, aplicamos na fórmula:
(400/1600)x100
(0,25)x100=25 
Resposta correta:
B. 25%.
2. Um sistema bancário analisa o grau de endividamento dos clientes para liberar empréstimos e estabelece que o cliente não deve ter dívidas que superem 30% de sua renda mensal. 
Considere que determinado cliente tem um financiamento de R$ 967,58, que representa 13,78% de sua renda mensal. Nesse contexto, é correto afirmar que o valor máximo da parcela mensal de seu financiamento corresponde a:
A. 
R$ 29.027,40.
B. 
R$ 7.021,63.
C. 
R$ 2.106,49.
D. 
R$ 1.444,44.
E. 
R$ 1.935,16.
Sabemos que o valor da parcela do financiamento atual (R$ 967,58) representa 13,78% da renda mensal do cliente. Para encontrar a renda total (X), montamos a seguinte equação:
X x (13,78/100)=967,58
Passo 1: Encontrar a renda mensal
X=((967,58 x 100)/13,78)
X=96.758/13,78
X= aprox.7.021,63
Ou seja, a renda mensal do cliente é aproximadamente R$ 7.021,63.
Passo 2: Determinar o valor máximo da parcela (30% da renda)
Parcela máxima =7.021,63 x (30/100)
Parcela máxima=7.021,63 x 0,30
Parcela máxima =aprox. 2.106,49
Resposta correta:
C. R$ 2.106,49.
3. 
Na hora de realizar o sonho da casa própria, a maioria das pessoas adquire um imóvel por meio do financiamento imobiliário. De modo geral, há um consenso no mercado de que o comprometimento de renda ideal para qualquer financiamento é de, no máximo, 30%.
Considere que um cliente tem um financiamento de R$ 850,00, que representa 20% de sua renda mensal. Nesse contexto, é correto afirmar que o valor da sua renda mensal é:
A. 
R$ 85.000,00.
B. 
R$ 170,00.
C. 
R$ 425.000,00.
D. 
R$ 4.250,00.
E. R$ 3.400,00.
5. 
A regra de três simples é um mecanismo da matemática utilizado para resolver problemas que envolvem mais de duas grandezas que são direta ou inversamente proporcionais. Para resolver um problema que envolve mais de duas grandezas, organizamos os dados do problema e, em seguida, analisamos se as grandezas são direta ou inversamente proporcionais.
Considere que uma fábrica de processadores possui 12 máquinas automatizadas que produzem aproximadamente 15.850 peças em 4 horas de trabalho. Nesse contexto, é correto afirmar que o número de peças produzidas por 18 máquinas em 6 horas é igual a:
A. 
aproximadamente 1.711.800 peças.
B. 
aproximadamente 35.662 peças.
C. 
aproximadamente 15.850 peças.
D. 
aproximadamente 7.044 peças.
E. 
aproximadamente 23.775 peças.
Aula 5
1. 
Os números primos são um subconjunto dos números inteiros e são muito úteis no estudo do MMC e do MDC. 
Considerando esse tema da matemática, a alternativa que apresenta a definição correta e alguns exemplos de números primos no conjunto dos inteiros positivos é:
Resposta incorreta.
A. 
Todo número inteiro positivo maior que 1 que é divisível por apenas dois números inteiros: 1 e ele mesmo. Exemplos: 1, 2, 3, 5 e 7.
No conjunto dos inteiros positivos, número primo é todo número inteiro positivo maior que 1 que é divisível por, apenas, dois números inteiros: por 1 e por ele mesmo. Exemplos: 2, 3, 5, 7 e 11. Se se estender para todo o conjunto dos inteiros, pode-se considerar que um número primo p tem exatamente quatro divisores: ±1 e ±p.​​​​​​​
Você acertou!
B. 
Todo número inteiro positivo maior que 1 que é divisível por apenas dois números inteiros: 1 e ele mesmo. Exemplos: 2, 3, 5, 7 e 11.
No conjunto dos inteiros positivos, número primo é todo número inteiro positivo maior que 1 que é divisível por, apenas, dois números inteiros: por 1 e por ele mesmo. Exemplos: 2, 3, 5, 7 e 11. Se se estender para todo o conjunto dos inteiros, pode-se considerar que um número primo p tem exatamente quatro divisores: ±1 e ±p.​​​​​​​
Resposta incorreta.
C. 
Todo número inteiro positivo maior que 1 que é multiplicável por apenas dois números inteiros: 1 e ele mesmo. Exemplos: 1, 2, 3, 5 e 7.
No conjunto dos inteiros positivos, número primo é todo número inteiro positivo maior que 1 que é divisível por, apenas, dois números inteiros: por 1 e por ele mesmo. Exemplos: 2, 3, 5, 7 e 11. Se se estender para todo o conjunto dos inteiros, pode-se considerar que um número primo p tem exatamente quatro divisores: ±1 e ±p.​​​​​​​
Resposta incorreta.
D. 
Todo número inteiro positivo maior que 1 que é multiplicável por apenas dois números inteiros: 1 e ele mesmo. Exemplos: 2, 3, 5, 7 e 11.
No conjunto dos inteiros positivos, número primo é todo número inteiro positivo maior que 1 que é divisível por, apenas, dois números inteiros: por 1 e por ele mesmo. Exemplos: 2, 3, 5, 7 e 11. Se se estender para todo o conjunto dos inteiros, pode-se considerar que um número primo p tem exatamente quatro divisores: ±1 e ±p.​​​​​​​
Resposta incorreta.
E. 
Todo número inteiro positivo maior que 1 que é divisível por apenas dois números inteiros: 2 e ele mesmo. Exemplos: 2, 3, 5 e 21.
No conjunto dos inteiros positivos, número primo é todo número inteiro positivo maior que 1 que é divisível por, apenas, dois números inteiros: por 1 e por ele mesmo. Exemplos: 2, 3, 5, 7 e 11. Se se estender para todo o conjunto dos inteiros, pode-se considerar que um número primo p tem exatamente quatro divisores: ±1 e ±p.​​​​​​​
2. 
Conhecer o conjunto dos múltiplos de um número inteiro é muito útil tanto na resolução de problemas aplicados como no desenvolvimento de conceitos matemáticos. Nesse caso, o MMC, por exemplo, pode ser utilizado como ferramenta na adição e subtração de frações ou mesmo na resolução de situações em que dois ou mais números inteiros são comparados. 
Ana está estudando sobre múltiplos de um número para aprender, depois, sobre MMC. Ajude a Ana a definir o conjunto dos múltiplos do número 6.
Você acertou!
A. 
M(6) = { 0,6,12,18,24,30,36,...}.
O conjunto dos múltiplos de um número n é obtido ao multiplicar esse número n pela sequência dos números naturais.
O conjunto dos números naturais é N = { 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, ... }, de forma que o conjunto dos múltiplos de um número n será um conjunto infinito.
Assim, o conjunto dos múltiplos de 6 é obtido pelo produto de 6 pela sequência dos naturais, ou seja, M(6) = { 0,6,12,18,24,30,36,... }.
Resposta incorreta.
B. 
M(6) = { 6,12,18,24,30,36,42,... }.
O conjunto dos múltiplos de um número n é obtido ao multiplicar esse número n pela sequência dos números naturais.
O conjunto dos números naturais é N = { 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, ... }, de forma que o conjunto dos múltiplos de um número n será um conjunto infinito.
Assim, o conjunto dos múltiplos de 6 é obtido pelo produto de 6 pela sequência dos naturais, ou seja, M(6) = { 0,6,12,18,24,30,36,... }.
Resposta incorreta.
C. 
M(6) ={ 1,2,3,6 }.
O conjunto dos múltiplos de um número n é obtido ao multiplicar esse número n pela sequência dos números naturais.
O conjunto dos números naturais é N = { 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, ... }, de forma que o conjunto dos múltiplos de um número n será um conjunto infinito.
Assim, o conjunto dos múltiplos de 6 é obtido pelo produto de 6 pela sequência dos naturais, ou seja, M(6) = { 0,6,12,18,24,30,36,... }.
Resposta incorreta.
D. 
M(6) = { 0,1,2,3,6 }.
O conjunto dos múltiplos de um número n é obtido ao multiplicar esse número n pela sequência dos números naturais.
O conjunto dos números naturais é N = { 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, ... }, de forma que o conjunto dos múltiplos de um número n será um conjunto infinito.
Assim, o conjunto dos múltiplos de 6 é obtido pelo produto de 6 pela sequência dos naturais, ou seja, M(6) = { 0,6,12,18,24,30,36,... }.
Resposta incorreta.
E. 
M(6) = { 6,12,24,48,96,... }.
O conjunto dos múltiplos de um número n é obtido ao multiplicar esse número n pela sequência dos números naturais.
O conjunto dos números naturais é N = { 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, ... }, de forma que o conjunto dos múltiplos de um número n será um conjunto infinito.
Assim, o conjunto dos múltiplos de 6 é obtido pelo produto de 6 pela sequência dos naturais, ou seja, M(6) = { 0,6,12,18,24,30,36,... }.
3. 
O conjunto dos múltiplos de um número natural é infinito e pode ser obtido pela multiplicação desse número, pela sequência dos números naturais. Já o conjunto dos divisores de um número natural n é finito, começa no 1 e termina no próprio n, estando incluídos entre eles todos os números que m, tal que n/m é inteiro. Considere que Carlos tem 50 canetas e deseja dividi-las em grupos, de maneira que não sobre nenhuma. 
Assim, ele precisa encontrar os divisores do número 50, que são:
Resposta incorreta.
A. 
D(50) = { 0,50,100,150,... }.
O conjunto dos divisores de um número n é dado pelos números que, ao dividir o número n por eles, obtém-se como resto zero. Assim, é possível concluir que esse conjunto é finito, sempre começa com 1 e termina com o número n. Para o número 50, o conjunto dos divisores é formado pelos números que, ao dividir 50 por eles, obtém-se como resto 0. Logo, D(50) = { 1,2,5,10,25,50 }.
Resposta incorreta.
B. 
D(50) = { 50,100,150,.. }.
O conjunto dos divisores de um número n é dado pelos números que, ao dividir o número n por eles, obtém-se como resto zero. Assim, é possível concluir que esse conjunto é finito, sempre começa com 1 e termina com o número n. Para o número 50, o conjunto dos divisores é formado pelos números que, ao dividir 50 por eles, obtém-se como resto 0. Logo, D(50) = { 1,2,5,10,25,50 }.
Resposta incorreta.
C. 
D(50) = { 2,5,10,25,50 }.
O conjunto dos divisores de um número n é dado pelos números que, ao dividir o número n por eles, obtém-se como resto zero. Assim, é possível concluir que esse conjunto é finito, sempre começa com 1 e termina com o número n. Para o número 50, o conjunto dos divisores é formado pelos números que, ao dividir 50 por eles, obtém-se como resto 0. Logo, D(50) = { 1,2,5,10,25,50 }.
Resposta incorreta.
D. 
D(50) = { 1,2,5,10,25 }.
O conjunto dos divisores de um número n é dado pelos números que, ao dividir o número n por eles, obtém-se como resto zero. Assim, é possível concluir que esse conjunto é finito, sempre começa com 1 e termina com o número n. Para o número 50, o conjunto dos divisores é formado pelos números que, ao dividir 50 por eles, obtém-se como resto 0. Logo, D(50) = { 1,2,5,10,25,50 }.
Você acertou!
E. 
D(50) = { 1,2,5,10,25,50 }.
O conjunto dos divisores de um número n é dado pelos números que, ao dividir o número n por eles, obtém-se como resto zero. Assim, é possível concluir que esse conjunto é finito, sempre começa com 1 e termina com o número n. Para o número 50, o conjunto dos divisores é formado pelos números que, ao dividir 50 por eles, obtém-se como resto 0. Logo, D(50) = { 1,2,5,10,25,50 }.
5. 
Os múltiplos e divisores de um número são aplicados no estudo do MDC e MMC, que facilitam resoluções de problemas cotidianos da matemática e suas aplicações. 
Considerando estes cinco tópicos, marque a alternativa correta:
Resposta incorreta.
A. 
Um número é sempre divisor de todos os seus divisores.
Um número é sempre divisor de todos os seus MÚLTIPLOS, pois essa divisão será sempre exata.
O número 1 é sempre o menor DIVISOR natural de um número, e o maior DIVISOR é o próprio número.
O MMC dos números inteiros positivos a e b é o menor inteiro positivo divisível por ambos, a e b.
O maior número inteiro que divide dois números inteiros é chamado de MDC desses inteiros.
O conjunto dos divisores de um número é finito, mas o 0 NÃO é considerado divisor de algum número.
Resposta incorreta.
B. 
O número 1 é sempre o menor múltiplo natural de um número e o maior múltiplo é o próprio número.
Um número é sempre divisor de todos os seus MÚLTIPLOS, pois essa divisão será sempre exata.
O número 1 é sempre o menor DIVISOR natural de um número, e o maior DIVISOR é o próprio número.
O MMC dos números inteiros positivos a e b é o menor inteiro positivo divisível por ambos, a e b.
O maior número inteiro que divide dois números inteiros é chamado de MDC desses inteiros.
O conjunto dos divisores de um número é finito, mas o 0 NÃO é considerado divisor de algum número.
Resposta incorreta.
C. 
O máximo divisor comum dos números inteiros positivos a e b é o menor inteiro positivo divisível por ambos, a e b.
Um número é sempre divisor de todos os seus MÚLTIPLOS, pois essa divisão será sempre exata.
O número 1 é sempre o menor DIVISOR natural de um número, e o maior DIVISOR é o próprio número.
O MMC dos números inteiros positivos a e b é o menor inteiro positivo divisível por ambos, a e b.
O maior número inteiro que divide dois números inteiros é chamado de MDC desses inteiros.
O conjunto dos divisores de um número é finito, mas o 0 NÃO é considerado divisor de algum número.
Resposta incorreta.
D. 
O conjunto dos divisores de um número é finito, e o zero é o divisor de todos os números.
Um número é sempre divisor de todos os seus MÚLTIPLOS, pois essa divisão será sempre exata.
O número 1 é sempre o menor DIVISOR natural de um número, e o maior DIVISOR é o próprio número.
O MMC dos números inteiros positivos a e b é o menor inteiro positivo divisível por ambos, a e b.
O maior número inteiro que divide dois números inteiros é chamado de MDC desses inteiros.
O conjunto dos divisores de um número é finito, mas o 0 NÃO é considerado divisor de algum número.
Você acertou!
E. 
O maior número inteiro que divide dois números inteiros é chamado de MDC desses inteiros.
Um número é sempre divisor de todos os seus MÚLTIPLOS, pois essa divisão será sempre exata.
O número 1 é sempre o menor DIVISOR natural de um número, e o maior DIVISOR é o próprio número.
O MMC dos números inteiros positivos a e b é o menor inteiro positivo divisível por ambos, a e b.
O maior número inteiro que divide dois números inteiros é chamado de MDC desses inteiros.
O conjunto dos divisores de um número é finito, mas o 0 NÃO é considerado divisor de algum número.
Aula 6
3. 
Na compra de alimentos, é comum fazer uso de frações como ½ e ¼ , mas estas não são as únicas a serem utilizadas no dia a dia, principalmente no caso de alimentos dos quais necessitamos uma quantidade menor ou que são muito caros. 
Assim, considere que 1kg de nozes custa R$ 75,00. Calcule o quanto se paga por 5/7 de 1kg de nozes.
Resposta incorreta.
A. 
R$ 375,00.
Nesse caso, basta fazer a multiplicação de R$ 75,00 por 5/7. Assim: 
75 · 5/7 = 375/7 ≅ 53,57
Logo, 5/7 de 1kg de nozes custa R$ 53,57.​​​​​
Resposta incorreta.
B. 
R$ 10,71.
Nesse caso, basta fazer a multiplicação de R$ 75,00 por 5/7. Assim: 
75 · 5/7 = 375/7 ≅ 53,57
Logo, 5/7 de 1kg de nozes custa R$ 53,57.​​​​​​​​
Você acertou!
C. 
R$ 53,57.
Nesse caso, basta fazer a multiplicação de R$ 75,00 por 5/7. Assim: 
75 · 5/7 = 375/7 ≅ 53,57
Logo, 5/7 de 1kg de nozes custa R$ 53,57.​​​​​​​​​​
Resposta incorreta.D. 
R$ 105,00.
Nesse caso, basta fazer a multiplicação de R$ 75,00 por 5/7. Assim: 
75 · 5/7 = 375/7 ≅ 53,57
Logo, 5/7 de 1kg de nozes custa R$ 53,57.​​​​​​​​​​​
Resposta incorreta.
E. 
R$ 75,00.
Nesse caso, basta fazer a multiplicação de R$ 75,00 por 5/7. Assim: 
75 · 5/7 = 375/7 ≅ 53,57
Logo, 5/7 de 1kg de nozes custa R$ 53,57.​​​​​​​​​​​
4. 
As frações também podem ser úteis no caso de distribuição de prêmios ou bonificações. 
Suponha que Ana e Maria receberam uma bonificação pelo resultado positivo da empresa de R$ 50.000,00. Sabe-se que Ana ganhou 2/7 do lucro, e Maria, 3/5. 
Marque a alternativa correta.
Resposta incorreta.
A. 
Ana recebeu metade do valor de Maria.
Sabe-se que o lucro foi de R$ 50.000,00.
Ana recebeu 2/7 do lucro, ou seja, 2/7 · 50.000 = R$ 14.285,71.
Maria recebeu 3/5 do lucro, ou seja, 3/5 · 50.000 = R$ 30.000,00
Assim, pode-se afirmar que Maria recebeu mais do que o dobro do valor que Ana recebeu.
​​​​​​​
Resposta incorreta.
B. 
Ana recebeu o dobro do valor de Maria. 
Sabe-se que o lucro foi de R$ 50.000,00.
Ana recebeu 2/7 do lucro, ou seja, 2/7 · 50.000 = R$ 14.285,71.
Maria recebeu 3/5 do lucro, ou seja, 3/5 · 50.000 = R$ 30.000,00
Assim, pode-se afirmar que Maria recebeu mais do que o dobro do valor que Ana recebeu.
Você acertou!
C. 
Maria recebeu mais que o dobro do valor de Ana. 
Sabe-se que o lucro foi de R$ 50.000,00.
Ana recebeu 2/7 do lucro, ou seja, 2/7 · 50.000 = R$ 14.285,71.
Maria recebeu 3/5 do lucro, ou seja, 3/5 · 50.000 = R$ 30.000,00
Assim, pode-se afirmar que Maria recebeu mais do que o dobro do valor que Ana recebeu.
Resposta incorreta.
D. 
Ana e Maria receberam, juntas, R$ 45.000,00.
Sabe-se que o lucro foi de R$ 50.000,00.
Ana recebeu 2/7 do lucro, ou seja, 2/7 · 50.000 = R$ 14.285,71.
Maria recebeu 3/5 do lucro, ou seja, 3/5 · 50.000 = R$ 30.000,00
Assim, pode-se afirmar que Maria recebeu mais do que o dobro do valor que Ana recebeu.
Resposta incorreta.
E. 
Ana e Maria receberam quantias iguais. 
Sabe-se que o lucro foi de R$ 50.000,00.
Ana recebeu 2/7 do lucro, ou seja, 2/7 · 50.000 = R$ 14.285,71.
Maria recebeu 3/5 do lucro, ou seja, 3/5 · 50.000 = R$ 30.000,00
Assim, pode-se afirmar que Maria recebeu mais do que o dobro do valor que Ana recebeu.
Aula 6
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