AULA 08

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AULA 8 - CURVA 
NORMAL, AMOSTRAGEM 
APLICADA
• Reconhecer curva normal e amostragem aplicada
CONTEXTUALIZANDO A APRENDIZAGEM
Prezado(a) Aluno(a), como vimos ao longo de nossas Aulas, a Estatística se divide em três áreas: 
Estatística Descritiva, Inferência Estatística e Probabilidade. Nesta Aula, trabalharemos com 
noções de Probabilidade para compreendermos a distribuição normal e, ao longo do material, 
será introduzido o conceito de variável aleatória, que permite a modelagem probabilística de 
fenômenos da vida real. Você sabia que existem vários tipos de distribuições de 
probabilidade? Saiba que a mais importante é a distribuição normal, pois através dela é possível 
conhecer a forma, o centro e a variabilidade de uma distribuição de probabilidade para tomar 
decisões em inferências estatísticas. Que tal iniciar nossa última etapa? Então, realize esta Aula 
com bastante atenção, pois isso lhe ajudará muito ao longo do curso e também durante sua 
jornada profissional. Bons estudos e vamos em frente!
Mapa mental panorâmico
Para contextualizar e ajudá-lo(a) a obter uma visão panorâmica dos conteúdos que você estudará na Aula 8, bem como entender a inter-
relação entre eles, é importante que se atente para o Mapa Mental, apresentado a seguir:
CURVA NORMAL, AMOSTRAGEM APLICADA
1 CONCEITOS INICIAIS DE PROBABILIDADE
1.1 EXPERIMENTO ALEATÓRIO
1.2 ESPAÇO AMOSTRAL
1.3 VARIÁVEL ALEATÓRIA
2 DISTRIBUIÇÃO DE PROBABILIDADE
2.1 DISTRIBUIÇÕES DISCRETAS DE PROBABILIDADE
2.2 DISTRIBUIÇÕES CONTÍNUAS DE PROBABILIDADE
3 DISTRIBUIÇÃO NORMAL
CURVA NORMAL, AMOSTRAGEM APLICADA
1 CONCEITOS INICIAIS DE PROBABILIDADE
Quando estudamos Probabilidade analisamos a possibilidade de ocorrer um evento com determinada característica de interesse. 
Nesse caso, basta dividir o número de ocorrências de interesse pelo número de eventos possíveis. Ou seja, a probabilidade é igual 
número de ocorrências dividida pelo número de observações ou resultados possíveis:
Qual a probabilidade de ocorrer face 6 quando se joga um dado? Vamos aos cálculos:
·         Número de observações ou resultados possíveis: 1, 2, 3, 4, 5, 6.
·         Número de observações: 6
·         Número de ocorrências: 1 tentativa
Aplicando a fórmula, temos:
 
1.1 EXPERIMENTO ALEATÓRIO
Chamamos de experimentos aleatórios aqueles que, repetidos em idênticas condições, produzem resultados diferentes. Embora não 
saibamos qual o resultado que irá ocorrer num experimento, em geral, conseguimos descrever os conjuntos de todos os resultados 
possíveis que podem ocorrer. As variações de resultados, de experimento para experimento, são devidas a uma multiplicidade de 
causas que não podemos controlar, as quais denominamos acaso.
São exemplos de experimentos aleatórios:
• Lançar uma moeda e observar a face para cima.
• Lançar um dado e observar o número da face de cima.
• Lançar duas moedas e observar as sequências de caras e coroas obtidas.
• De um lote de 80 peças boas e 20 defeituosas, selecionar 10 peças e observar o número de peças defeituosas.
• De um caixa contendo 3 bolas vermelhas e 2 bolas brancas, selecionar uma bola e observar sua cor.
• De um baralho de 52 cartas, selecionar uma carta e observar o seu naipe.
• Numa cidade onde 10% dos habitantes possuem determinada moléstia, selecionar 20 pessoas e observar o número de portadores 
da moléstia.
1.2 ESPAÇO AMOSTRAL
O conjunto de todos os possíveis resultados de um experimento aleatório é chamado de espaço amostral e é indicado pela 
letra grega   (lê-se “ômega”).
No lançamento de uma moeda, por exemplo, o espaço amostral é o  conjunto    =  ( k, C), em que K representa a face cara e C 
representa a face coroa. Nesse caso, , isto é, o número de elementos do conjunto  é igual a 2. Já no lançamento de um dado, o 
espaço amostral é  .
Suponhamos que um dado seja lançado duas vezes, sucessivamente, e seja observada a sequência de números obtidos nas faces 
voltadas para cima. Veja na Tabela 1, uma forma de representar o espaço amostral para o lançamento de dois dados.
Tabela 1: Representação de espaço amostral para dois dados.
Fonte: Elaborado pela Autora.
Assim, 
1.3 VARIÁVEL ALEATÓRIA
Chamamos de variável aleatória toda variável quantitativa, cujo o resultado (valor) depende de fatores aleatórios, ou seja, que não 
podem ser controlados, como por exemplo, o número de coroas obtido no lançamento de 2 moedas ou o número de itens defeituosos 
em uma amostra retirada, aleatoriamente, de um lote. Assim, se considerarmos um experimento (E) e  um espaço amostral associado 
a E, uma função X que associa a cada elemento w  de um número real X (w) é denominado por uma variável aleatória.
Vamos entender o resultado do lançamento de duas moedas, onde o espaço amostral do experimento (E) é  . Se 
X for o número de caras (K), tem-se:
·         X (KK) = 2
·         X (KC) = C (C,K) = 1
·         X (CC) = 0
Veja na Figura 1 como chegamos a essa variável.
Figura 1: Variável aleatória
Fonte: Elaborada pela Autora.
Entende-se, então, que X é a variável aleatória e o valor que essa variável pode assumir é x.
Portanto, a variável aleatória representa um valor numérico associado à cada resultado de um experimento de probabilidade e pode 
ser classificada em:
·         Variável aleatória discreta
quando o conjunto de valores possíveis que ela assume for finito ou infinito enumerável como, por exemplo, tempo de vida em horas de 
uma lâmpada produzidas por uma fábrica ou número de títulos da bolsa de valores.
·         Variável aleatória contínua
quando o conjunto de valores possíveis que ela assume for não enumerável como, por exemplo, peso em toneladas de uma carga ou 
o volume de água em um contêiner.
Na maioria das aplicações práticas, as variáveis aleatórias discretas representam dados contáveis, enquanto as variáveis contínuas 
representam dados mensuráveis.
2 DISTRIBUIÇÃO DE PROBABILIDADE
Para cada valor de uma variável aleatória discreta pode ser atribuída uma probabilidade. Ao listar cada valor da variável aleatória 
com sua probabilidade correspondente, estaremos formando uma distribuição discreta de probabilidade.
A probabilidade de cada valor da variável aleatória discreta está entre 0 e 1, inclusive. Em símbolos: 
A soma de todas as probabilidades é 1, então  . Como as probabilidades podem ser indicadas por frequências relativas, uma 
distribuição de probabilidades discreta pode ser representada graficamente em um histograma de frequência relativa.
Para construir uma distribuição discreta de probabilidade, basta seguir alguns passos (Figura 2), desde que seja uma variável aleatória 
discreta com resultados possíveis.
Figura 2: Passos para construção de distribuição discreta de probabilidade
Fonte: Elaborado pela Autora/ Equipe NEAD.
O setor de recursos humanos e um psicólogo aplicaram um teste de personalidade em uma empresa de engenharia, para verificar o 
perfil de liderança em 150 colaboradores. Aos indivíduos foram atribuídos valores de 1 a 5, como podemos observar na Tabela 2:
Tabela 2: Tabela de dados
É importante que você consiga diferenciar entre variáveis 
aleatórias discretas e contínuas, porque técnicas estatísticas 
diferentes são usadas para analisar cada uma.
Matematicamente, o usual é um gráfico de barras ou 
segmentos verticais.
Tipo de Liderança Pontuação Frequência
Direcionador 1 24
Autoritário 2 33
Maternal 3 42
Instrutor 4 30
Democrático 5 21
 fi = 150
Muito bem, agora, vamos estabelecer uma distribuição de probabilidade de indivíduos no estudo para obter a probabilidade de cada 
valor da variável aleatória.
Solução:
Primeiro, vamos dividir a frequência de cada pontuação pelo número total de indivíduos no estudo para obter a probabilidade de 
cada valor da variável aleatória.
A distribuição discreta de probabilidade está representada na Tabela 3. Observe que cada probabilidade está representada entre 0 e 
1 e que a soma de todas as probabilidades é 1.
Tabela 3: Distribuição discreta de probabilidade
1 2 3 4 5
0,160,22 0,28 0,2 0,14
Fonte: Elaborada pela Autora.
Observe o histograma de frequência relativa na Figura 3.
Figura 3: Tipos de liderança
Fonte: Elaborada pela Autora.
É importante lembrar que a área de cada bloco é igual à probabilidade de um resultado específico. Da mesma forma, a 
probabilidade de um evento corresponde à soma das áreas dos resultados dos incluídos no evento. A probabilidade de o evento pode 
ter uma pontuação de dois ou três, por exemplo, é igual à soma das áreas do segundo e do terceiro blocos. Veja:
Interpretando a distribuição de probabilidade do exemplo anterior é possível notar que a distribuição é aproximadamente simétrica.
As funções de probabilidade são usadas para modelar fenômenos observados. Os testes estatísticos são realizados para afirmar ou 
rejeitar a concordância da distribuição de probabilidade com os dados. Em muitas áreas, os métodos evoluíram e melhores 
distribuições de probabilidade foram criadas para atender aos problemas. Veja alguns exemplos.
·         Economia
A bolsa de valores é uma instituição de troca de bens e títulos. É realizado um estudo, incluindo a modelagem da variação de preços 
para melhor estimar os preços futuros de um título.
·         Jogos de azar
Para jogar na loteria os jogadores devem escolher números discretos.
·         Engenharia e manutenção
Uma boa compreensão da degradação permite melhorar a performance da manutenção. Várias distribuições são usadas para 
modelar a evolução das fissuras de calçadas, ponte e outros. Ainda na engenharia, podemos modelar problemas relacionados à 
hidrologia, como a pluviometria que é o estudo da quantidade de água depois de uma chuva em um ponto do solo por um 
determinado período de tempo.
Veja, a seguir, alguns exemplos de distribuições, onde são modeladas as funções de probabilidade. Iniciaremos um estudo com 
exemplos de distribuições discretas e, posteriormente, as distribuições contínuas.
2.1 DISTRIBUIÇÕES DISCRETAS DE PROBABILIDADE
Como falamos aqui, é importante conseguir diferenciar entre variáveis aleatórias discretas e contínuas, porque técnicas estatísticas 
diferentes são usadas para analisar cada uma.
É chamada de distribuição discreta aquela que descreve a probabilidade de ocorrência de cada valor de uma variável aleatória 
discreta. Com uma distribuição de probabilidade discreta, cada valor possível da variável aleatória discreta pode ser associado a uma 
probabilidade diferente de zero.
Em um levantamento perguntou-se a uma amostra de 20 famílias quantos filhos (X) possuíam, os resultados em forma de probabilidade 
que estão representados na Tabela 4:
Tabela 4: Dados número de filhos
Número de filhos Número de famílias Probabilidade
0 4 0,2
1 6 0,3
2 7 0,35
3 3 0,15
Fonte: Elaborado pela Autora.
Observe que a somatória das probabilidades (0,2 + 0,3 + 0,35 + 0,15) é igual a 1.
As distribuições discretas mais importantes são: distribuição binomial, distribuição geométrica e distribuição de Poisson.
2.2 DISTRIBUIÇÕES CONTÍNUAS DE PROBABILIDADE
A variável aleatória contínua é aquela que pode assumir inúmeros valores num intervalo de números reais e é medida numa escala 
contínua. Por exemplo, uma variável aleatória contínua deve ser definida entre os números reais 0 e 1, ou números reais não negativos 
ou, para algumas distribuições, qualquer número real.
A temperatura, a pressão, a precipitação ou qualquer elemento, medindo numa escala contínua é uma variável aleatória contínua.
Saiba ainda que as distribuições contínuas mais importantes são: distribuição exponencial, distribuição Weibull e distribuição Normal.
Portanto, uma distribuição de variável aleatória contínua é a distribuição uniforme, cuja função de probabilidade é constante dentro 
de um intervalo de valores da variável aleatória x.
Aqui, trabalharemos com a distribuição normal, por ser ela, a 
distribuição estatística mais importante tanto na teoria como na 
prática.
A teoria da probabilidade tem aplicações em diversas áreas. Na engenharia, por exemplo, é usado para o controle de qualidade da 
produção industrial. Em cálculos atuariais são associados aos seguros de vida. E em estudos demográficos são usados em estudos de 
incidência de doenças infecciosas e o efeito da vacinação.
Para saber mais sobre as várias aplicações da Teoria das Probabilidades, clique aqui e leia o artigo: “O desenvolvimento das 
aplicações das probabilidades” que traz mais informações sobre o tema.
Muito bem, após a leitura, você consegue identificar o surgimento das modernas aplicações da Teoria das Probabilidades? Como 
pudemos ver, a teoria da probabilidade está presente no nosso cotidiano e em modernas aplicações na Física, Engenharia e Estatística. 
Bem interessante, não é mesmo?
3 DISTRIBUIÇÃO NORMAL
Como dissemos, entre as distribuições teóricas de variável aleatória contínua, uma das mais empregadas é a distribuição normal. Sua 
importância em análise matemática resulta do fato de que muitas técnicas estatísticas, como análise de variância, de regressão e 
alguns testes de hipótese, assumem e exigem a normalidade dos dados. Vale ressaltar que a variável aleatória X pode assumir todo e 
qualquer valor real. Veja o comportamento do gráfico de uma distribuição normal e suas propriedades:
Figura 4: Gráfico de distribuição.
Fonte: Elaborada pela Autora.
Note que a representação gráfica da distribuição normal é uma curva em forma de sino, simétrica em torno da média  , que recebe o 
nome de curva normal ou de curva de Gauss.
A área total limitada pelo eixo das abscissas é igual a 1, já que essa área corresponde à probabilidade da variável aleatória X, 
assumindo qualquer valor real.
A curva normal é assintótica em relação ao eixo das abscissas, isto é, aproxima-se indefinidamente do eixo das abscissas sem, contudo, 
alcançá-lo.
Como a curva é simétrica em torno de   , a probabilidade de ocorrer valor maior do que a média é igual à probabilidade de ocorrer 
valor menor do que a média, ou seja, ambas as probabilidades são iguais a 0,5. Sendo assim, escrevemos:
Quando temos em mãos uma variável aleatória com distribuição normal, nosso principal interesse é obter a probabilidade dessa 
variável aleatória e assumir um valor em um determinado intervalo.
http://www.mat.ufrgs.br/~portosil/histo2c2.html
Para facilitar o cálculo da probabilidade das distribuições contínuas segundo a distribuição normal, vamos considerar a fórmula:
Sendo x uma variável aleatória com distribuição normal de média   e desvio padrão  . Lembrando que essa distribuição é padronizada 
admitindo média zero e desvio padrão 1.
Muito bem, se X é uma variável aleatória com distribuição normal de média   e desvio padrão   , podemos, então, escrever:
Os valores na Tabela 5 referem-se à probabilidade de Z tomar valores entre 0 e z pretendido. Essa tabela apenas inclui valores para a 
porção positiva da distribuição, por isso os valores que nela constam variam entre 0 e 0,5.
Tabela 5: Distribuição normal
Fonte: Arquivo pessoal da Autora.
Em um primeiro exemplo, vamos determinar as seguintes probabilidades:
a)     
b)   
c)   
Veja que a probabilidade a)  corresponde à parte hachurada da Figura 5:
Figura 5: Probabilidade exemplo a)
Fonte: Elaborada pela Autora.
Solução:
Sabemos que por simetria, temos:  e olhando na tabela: 1,25 = 1,2 (linha) e 0,05 (coluna).
Note que até o primeiro valor depois da vírgula encontramos na vertical (linha) e será igual a 1,2.  O segundo valor depois da vírgula 
encontramos na horizontal (coluna) e corresponde a 0,05.
Usaremos sempre uma tabela para conversão dos dados.
Tabela 6: Tabela de distribuição
Fonte: Arquivo pessoal da Autora.
Sendo assim, temos:  .
Já a probabilidade b)   corresponde à parte hachurada da Figura 6.
Figura 6: Probabilidade exemplo c)
Fonte: Elaborada pela Autora.
Para resolver a questão, basta encontrar o valor de p (0Elaborada pela Autora.
E aí, conseguiu acompanhar os exemplos? Observe que a área hachurada corresponde a:
Figura 8: Probabilidade exemplo a), b) e c)
Fonte: Elaborada pela Autora.
Note que a área colorida na primeira área corresponde a: 
Já a área colorida na segunda área corresponde a: 
E a área colorida na terceira área corresponde a:  
Assim a probabilidade procurada (Figura 5) é igual a diferença entre a probabilidade da Figura 6 e a probabilidade da Figura 7:
Agora observe Tabela 7 com alguns valores de probabilidade:
Tabela 7: Valores de probabilidade
Fonte: Arquivo pessoal da Autora.
Na Tabela podemos perceber que  , assim faremos:  .
E  , assim faremos  .
Olhando na Tabela 7, encontramos os valores de probabilidade:
 e 
Logo,  .
Voltando à Tabela 7, agora, vamos encontrar a probabilidade  .
Solução:
A probabilidade procurada corresponde à parte hachurada da Figura 9.
Figura 9: Probabilidade exemplo
Fonte: Elaborada pela Autora.
Então:
Muito bem, em outro exemplo, agora de uma fábrica de cimentos que embala sacos com peso médio  ,  infelizmente, nem todos os 
sacos ficam exatamente com a quantidade média de 50 kg, havendo alguns que ficam com mais e outros com menos.
Estudada a variabilidade ou dispersão, quantificou-se a variância do processo, tendo-se concluído que é de      ou o 
desvio padrão  .
Admitindo que o processo de ensacamento segue a lei de distribuição normal, vamos calcular a probabilidade de que, selecionando 
aleatoriamente, contenha:
a)    Entre 50kg e 51kg.
b)    Entre 49,5kg e 50 kg.
c)    Acima de 51,5 kg.
Para solucionar, inicialmente vamos encontrar o valor de Z, por meio da fórmula:
a) Calculando z para x = 50, temos: 
E para x = 51, temos: 
Então: 
b) Calculando z para x = 49,5, temos: 
Para x = 50, temos: 
Então, a probabilidade procurada é 
Bem simples, não é mesmo? Mas e aí, que tal praticar.
Agora, vamos exercitar o nosso entendimento. Assim, sugiro a você responder à questão, abaixo sobre o conteúdo que estudamos 
nesta Aula. São questões para assimilação do conteúdo. Você está pronto? Então, vamos lá!
1 - A duração de um certo componente eletrônico tem média de 850 dias e desvio padrão de 40 dias. Sabendo que a duração é 
normalmente distribuída, calcule a probabilidade desse componente durar mais de 800 dias.
Agora que você realizou atentamente o VAMOS PRATICAR?, vá até o final desta aula e confira as possíveis respostas.
Ao final desta Aula, você é capaz de reconhecer a curva normal como a principal distribuição de probabilidade e suas aplicações?
Caso você tenha conseguido responder a essa questão, parabéns! Você atingiu os objetivos específicos da Aula 8. Caso tenha 
dificuldades para responder a algumas delas, aproveite para reler o conteúdo desta Aula; e acesse o UNIARAXÁ Virtual e interaja com 
seus Colegas, Tutor(a) e Professor(a). Você não está sozinho(a) nessa caminhada. Conte conosco!
Chegou o momento de complementar seu conhecimento. Vá até seu Ambiente Virtual de
Aprendizagem e acesse esta aula para assistir a Video Aula
RECAPITULANDO
Nessa Aula, vimos que probabilidade é a possibilidade de ocorrer um evento com determinada característica de interesse. Estudamos 
que a variável aleatória representa um valor numérico associado à cada resultado de um experimento de probabilidade e pode ser 
variável aleatória discreta e contínua. Saber diferenciar entre essas variáveis aleatórias é importante, porque para analisar cada uma 
são usadas técnicas estatísticas diferentes. E por fim, aprendemos que a forma de distribuição de probabilidade mais importante que 
temos é a distribuição normal. Lembre-se que é preciso caracterizar o problema e aplicar a distribuição que melhor modela seus dados.
E finalizamos aqui, a disciplina de Estatística. Foi um prazer estar com você durante esse período. Espero que os conteúdos aqui 
estudados possam ajuda-lo(a) no entendimento estatístico, além de ser muito importante para a formação geral de qualquer 
profissional, já que permite a habilidade de organizar dados, interpretar tabelas e gráficos. Uma dica: revise e estude os novos 
conhecimentos adquiridos, eles irão contribuir de forma muito importante na sua formação. Espero nos rever em breve. Um grande 
abraço!
CADERNO DE RESPOSTAS
Questão 1:
Vamos procurar o valor de Z da distribuição.
REFERÊNCIAS
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BOYER, Carl B. História da Matemática. 3. ed. São Paulo: Edgard blucher, 2010.
BUSSAB, W. O. e MORETTIN, P. A. Estatística Básica. São Paulo: Editora Saraiva, 2003.
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. Acesso em: 14 de fev. 2019.
COSTA NETO, P. L. O. Estatística. 2. ed. São Paulo: Edgard Blücher, 2009.
COSTA, Paulo Roberto da. Estatística. 3. ed. Santa Maria: Universidade Federal de Santa Maria, 2011.
COUTINHO,  Cileda  de Q. S.; SILVA, Cláudia B. O nascimento da estatística e sua relação com o surgimento da Teoria de 
Probabilidade. Revista Integração, n. 41, p.191-196, 2005.
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FONSECA, J. S. Estatística aplicada. 2. ed. São Paulo: Atlas, 2013.
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LARSON, R.  Estatística aplicada.      4. ed. São Paulo: Pearson Prentice Hall, 2008. Disponível 
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MARTIN, Olivier. Da estatística política à sociologia estatística. Desenvolvimento e transformações da análise estatística da sociedade 
(séculos XVII-XIX). Revista Brasileira de História, vol. 21, n. 41, p. 13-34,2001.
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