TEMA 04 - AMOSTRAGEM ESTRATIFICADA

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Amostragem Estratificada
Utilização da amostragem estratificada para estimação das quantidades de interesse, Alocação das
amostras entre os estratos, Estimação da proporção e o tamanho amostral necessário para esses cálculos.
Prof. Leandro Vitral Andraos
1. Itens iniciais
Propósito
Apresentar a técnica de amostragem estratificada para estimação das quantidades de interesse em uma
pesquisa, realizando a alocação da amostra para distribuir essas unidades nos estratos.
Preparação
Antes de iniciar o conteúdo deste tema, certifique-se de ter papel e lápis por perto para acompanhar os
exemplos e demonstrações. Além disso, a tabela da distribuição normal será importante quando estudarmos
os tamanhos amostrais.
Objetivos
Descrever o método de seleção por amostragem aleatória estratificada, a importância da utilização de
estratos e as razões para estratificação
 
Definir as notações utilizadas na estratificação, com as expressões de estimação de totais, médias e
variâncias na amostragem estratificada
 
Definir variáveis de proporção e o tamanho de amostra utilizado na amostragem estratificada simples
com as diferentes alocações disponíveis
Introdução
Abordaremos inicialmente os conceitos básicos da amostragem estratificada e os aspectos sobre sua seleção.
Em seguida, faremos estimações de algumas variáveis de interesse, como a média e o total, por exemplo.
Além disso, aprenderemos as diferentes formas de alocação das amostras nos estratos. Conheceremos
também a estimação para variáveis do tipo proporção e, por fim, veremos como calcular o tamanho de
amostra para as diferentes alocações amostrais.
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1. Método de seleção por amostragem aleatória estratificada
Introdução
Em muitas pesquisas, há um interesse em se criar estratos de seleção, o que chamamos de estratificação.
Depois de criados esses estratos, podemos selecionar amostras de cada um desses grupos, o que irá
constituir nossa amostragem estratificada.
Este módulo analisará os tipos de seleção por amostragem aleatória estratificada. Veremos quais as
vantagens em fazer uma estratificação na amostra e como realizá-la. Em seguida, faremos a estimação de
quantidades de interesse a partir de amostras selecionadas após a estratificação. Outro aspecto importante
que estudaremos é como realizar a alocação, ou seja, a distribuição da amostra nos estratos. Você vai
perceber como é útil estratificar uma amostra antes de se realizar uma amostragem.
 
Por fim, apresentaremos o estimador baseado numa amostragem estratificada por variáveis de proporção,
pois muitas vezes a natureza do estudo é qualitativa e variáveis do tipo proporção são necessárias.
Conceitos sobre amostragem estratificada
Geralmente, no mundo real, as populações encontradas são heterogêneas, isto é, há grande variabilidade
entre as suas unidades em relação à média de uma variável X, por exemplo. Diante de situações em que se
tem populações heterogêneas, a aplicação da amostragem aleatória simples pode acarretar em um tamanho
de amostra elevado, tornando irrealizável a pesquisa pelo aumento do custo.
Exemplo
Imagine que você deseja fazer uma pesquisa sobre hábitos de vida da população brasileira. Você
poderia fazer uma amostragem aleatória simples e selecionar pessoas ao longo do País. Porém, nesse
caso, você teria pessoas espalhadas de forma aleatória em todo o território. Se você fosse selecionar
1000 pessoas, poderiam entrar poucas pessoas em alguns estados e muitas em outros. Ou pior, pode
ser que vários estados, ou até mesmo regiões, ficassem de fora. Seria muito ruim fazer um levantamento
sobre hábitos de vida dos brasileiros e sua amostra acabasse investigando 90% das pessoas que moram
no Sudeste. Ou então selecionar duas pessoas em regiões muito distantes, o custo poderia não
compensar a coleta de dois questionários. Como resolver esse problema? A resposta é: Fazendo a
estratificação. 
O que deveríamos fazer seria selecionar uma amostra em cada um dos estados brasileiros ou pelo menos em
cada uma das regiões. Parece bem mais intuitivo criar essas zonas de seleção do que selecionar pessoas de
forma aleatória, não é mesmo?
Etapa 1
Fazendo isso, seria possível obter amostras específicas para esses locais e o melhor de tudo é que
poderemos dar resultados para cada um desses locais também. Já que a pesquisa é sobre hábitos de
vida, é muito mais interessante ter um resultado desagregado por região, ou ainda, por estado, do
que algo único para todo o Brasil.
Etapa 2
Havendo informações a priori que possibilitem dividir as populações em partes, ou subconjuntos ou
estratos, é possível usá-las de modo que pesquisando cada subconjunto ou estrato da população
seja possível reduzir o erro de amostragem ou diminuir o tamanho da amostra.
Etapa 3
Isso permite que o erro amostral possa diminuir, pois como pesquisaremos em cada grupo de
interesse, nenhum deles ficará vazio, logo o erro irá diminuir. Poderemos, ainda, utilizar, se possível,
alguma variabilidade diferenciada em cada estrato, isso fará com que tenhamos amostras diferentes
em cada estrato.
É muito comum que alguns objetivos de pesquisa queiram o conhecimento de características de partes ou
subconjuntos das populações, por exemplo: Classificações, regionalização, divisões administrativas em
situação urbana e rural etc. Nessas situações cada subconjunto da população também é tratado como 
estrato.
Definições básicas
Existem alguns termos importantes a respeito dos tipos de estratos existentes e da forma como eles podem
ser construídos.
Estratificação
O processo de estabelecer a divisão da população em subconjunto, de modo que cada elemento da
população pertença somente a um subconjunto, é chamado de estratificação.
Estrato
O processo no qual cada subconjunto em que a população é particionada ou dividida é definido como
sendo o estrato.
Estratos naturais
Quando os elementos da população são subdivididos em subconjuntos definidos por critérios
geográficos, divisões político-administrativas, classes, categorias etc., diz-se que tais subgrupos
constituem estratos naturais. A classificação dos estabelecimentos industriais, a divisão do Brasil em
Unidades da Federação, a separação da população segundo a situação do domicílio em população
urbana e rural são exemplos de estratos.
Estratos estatísticos
São definidos pelos estatísticos ou pesquisadores da área que tentam definir esses estratos como
subgrupos mais homogêneos da população. A ideia é aumentar a eficiência na estimação. Quando os
elementos da população são reunidos em subconjuntos definidos em função da dimensão de uma
variável X, de modo a possibilitar o aumento da precisão da amostra com redução no seu tamanho,
diz-se que tais subgrupos constituem estratos de tamanho, por exemplo. A classificação de indústrias
segundo algumas faixas de produção ou a classificação dos estabelecimentos agropecuários em
função da área total são exemplos de estratos de tamanho.
Exemplo real de pesquisa utilizando a estratificação
Na prática não utilizamos apenas uma forma de estratificação, podemos ter estratos naturais e de tamanho ao
mesmo tempo. É muito comum utilizarmos essas definições conjuntas para aumentar ainda mais a qualidade
da pesquisa.
Um exemplo interessante sobre isso é a
pesquisa anual de serviços (PAS) do IBGE. De
acordo com as notas técnicas da PAS em 2017,
O objetivo contemplado no desenho da amostra
foi a obtenção de estimativas dos totais
populacionais referentes às variáveis
investigadas de empresas de serviços, por 
Unidades da Federação e segundo os níveis de
classificação de atividades definidos
previamente. Além disso, a amostra da PAS é
composta por dois tipos de estratos: Natural e
final.
O natural é composto da combinação de
Unidade de Federação e atividade econômica para cada
uma das empresas. Depois que o estrato natural é
construído, passa-se para o estrato de tamanho (estrato
definido pelos estatísticos). Nesse caso, a distribuição das
empresas em cada um desses estratos é dada pela
quantidade de funcionários dasempresas. Os estratos são
definidos de acordo com o tamanho da empresa, empresas
no estrato A1 (0 a 4 funcionários), estrato A2 (5 a 9
funcionários), estrato A3 (10 a 19 funcionários) e outro
estrato com as empresas maiores, de 20 funcionários.
Na pesquisa da PAS teremos inicialmente os estratos
naturais sendo os estados do Brasil e depois os estratos de
tamanho de acordo com o porte da empresa (número de
funcionários). Primeiramente, selecionam-se empresas em cada estrato natural (estado) e depois selecionam-
se as empresas de acordo com o seu estrato de tamanho. É uma ótima forma de garantir representatividade
por unidade da federação e por porte da empresa.
Vantagens da amostragem estratificada
criação ou a utilização de estratos naturais já existentes traz uma série de vantagens na seleção amostral e,
consequentemente, na divulgação dos resultados. Em relação aos aspectos positivos, podemos destacar:
Melhoria da precisão das estimativas
A estratificação pode aumentar a precisão das estimativas para o conjunto da população. Ao
comparar a amostragem estratificada (AE) com a amostragem aleatória simples (AAS), não
necessariamente teremos uma amostra com erro menor.
De acordo com Bolfarine (2005), a simples utilização dos estratos por si só não produz
necessariamente estimativas mais eficientes do que a AAS. Porém, se os estratos forem feitos de
forma correta, consegue-se com o mesmo tamanho da amostra diminuir a variância do estimador.
Esse é um resultado excelente, pois é possível ter uma amostra menor, com provavelmente um custo
menor e, além disso, uma variabilidade menor.
Garantir a observação de amostras nos estratos
criados
Dado que os estratos foram definidos, você obrigatoriamente precisa selecionar amostras em cada
um deles de forma independente. Assim, nenhum estrato pode ficar vazio. Dizemos que a seleção é
feita de forma independente e os estratos são mutuamente excludentes, ou seja, um indivíduo não
pode estar lotado em dois grupos (estratos) ao mesmo tempo.
Permite estimação para cada grupo da população da
pesquisa
Uma das maiores vantagens da amostragem estratificada é permitir a estimação para cada um dos
grupos criados na pesquisa. Podemos então fazer a estimativa para cada um dos estratos e, caso o
pesquisador tenha necessidade, ele pode estimar de forma diferente em cada estratificação
realizada. Como os estratos são independentes, você logicamente pode estimar de forma
independente também. Você pode querer a estimação de um total de um estrato e de uma média de
outro, por exemplo.
Pode ser operacionalmente mais conveniente
Uma pesquisa realizada por AAS na qual a amostra é toda aleatorizada na população pode ser muito
custosa, pois a população pode estar muito espalhada. Com a estratificação, podem-se limitar os
grupos de interesse, simplificando a operação de coleta. Além disso, o gasto por unidade coletada
diminui, já que não se coleta apenas uma unidade de um lugar, e sim vários indivíduos por estrato.
Desvantagens da amostragem estratificada
Nem tudo são flores, então não temos apenas pontos positivos na amostragem estratificada. Alguns autores
não chamam nem de desvantagens da AE, preferem chamar de requisitos básicos para a realização desse tipo
de seleção amostral. Entre os principais requisitos, temos:
 
Requer conhecimento das variáveis de estratificação para todas as unidades do cadastro antes da
amostragem.
Requer conhecimento das variáveis de estratificação para todas as unidades do cadastro
antes da amostragem.
É impossível construir uma pesquisa estratificada sem que exista essa variável construída no cadastro,
pois é a partir dela que iremos selecionar a amostra. Nesse caso, precisamos que cada unidade amostral
(aquele indivíduo que possa ser selecionado), tenha sua variável de estrato preenchida com todas as
opções possíveis. 
Na pesquisa da PAS, cada empresa terá uma variável de unidade da federação, atividade econômica e
quantidade de funcionários preenchida. Assim, primeiro se usa a variável de estrato da unidade da federação
e atividade econômica para selecionar as empresas que farão parte da amostra e depois a quantidade de
funcionários para distribuir essa amostra nos estratos.
 
Dividir a população em muitos estratos pode levar à existência de amostras muito pequenas em cada estrato.
Dividir a população em muitos estratos pode levar à existência de amostras muito
pequenas em cada estrato.
Um ponto extremamente importante na amostragem estratificada é a boa construção das variáveis de
estratificação. Se isso não for feito de maneira correta, pode ser que muitos estratos fiquem muito
rarefeitos, ou seja, fiquem vazios. Um estrato vazio ou que conte com apenas uma empresa é muito ruim,
pois não é possível calcular nenhum tipo de variância naquele estrato. A variância mede variabilidade,
então como poderemos calcular isso com apenas um elemento? Não faz sentido calcular variância para
apenas um indivíduo.
Teoria na prática
Ao se definir os estratos, deve-se verificar no cadastro se ele contém indivíduos suficientes que possam ser
selecionados, pois além de não poder estimar variância, a estimativa de um total também fica muito limitada.
Imagine o seguinte estrato de empresas da Tabela 1:
Estrato Empresa Respondeu à pesquisa Número de funcionários
1 A Não -
1 B Não -
1 C SIM 2
1 D Não -
Tabela 1: Exemplo de um estrato.
Nesse estrato 1 temos 4 empresas, porém somente uma respondeu (empresa C) à pesquisa. Perceba como a
quantidade de informações disponível nesse estrato é pobre. Não podemos calcular variância, pois existe
apenas uma empresa, assim como não podemos estimar um total, por exemplo, pois estaríamos concentrando
todo nosso resultado em apenas uma empresa.
 
O que fazer nesse caso?
Resolução
Pode-se correr atrás das empresas que não responderam para tentar reverter a não coleta das informações,
ou definir melhor esse estrato para que seu tamanho seja maior do que apenas 4 empresas.
Razões para estratificar
Há vários fatores importantes para se fazer a estratificação, entre os quais podemos enumerar:
 
1 - O desejo de aumentar a precisão das estimativas globais, dado que a variabilidade da característica de
interesse pode ser grande. Essa melhora da precisão das estimativas pode ser feita reduzindo a variância dos
estimadores após a construção dos estratos.
 
2- Garantir a divulgação das informações para cada domínio de interesse, ou seja, podemos obter estimativas
para diversos segmentos da população. Assim, podemos fixar a precisão para cada estrato, e ter um melhor
controle sobre os erros existentes.
 
3- Os estratos formam grupos naturais que podem ser de interesse. Pessoas que moram num determinado
bairro podem ter hábitos de vida muito diferentes de outros bairros. Dessa forma, já existem naturalmente
estratos que podem ser objetos de estudo.
 
4- Pode-se replicar na amostra a mesma composição da população de acordo com algumas características.
Se soubermos que a população é formada por 52% de mulheres e 48% de homens e, além disso, temos 10%
com nível superior, 50% com nível médio e 40% com nível fundamental, podemos criar uma amostra
exatamente com essa mesma distribuição. A amostra será, então, criada de forma proporcional às variáveis na
população.
 
5- Espalhar a amostra sobre a população. Como todos os estratos devem ter amostras selecionadas, esse
processo de estratificação automaticamente espalha a amostra em cada um desses grupos amostrais.
Critério de eficiência
Para conseguir ganhar eficiência com o uso da estratificação, a ideia é tornar os valores da(s) variável(is) de
estudo dentro de cada estrato os mais similares/homogêneos possíveis, isto é, minimizar a variância dentro
dos estratos. A ideia da estratificação é, então, de criar estratos que sejam mais homogêneos entre si, ou seja,
espera-se que dentro de cada estrato as populações ali existentes sejam semelhantes. Isso faz com que a
variância dentro dos estratos seja menor enquanto a variância entre os estratos seja maior.
ComentárioPara que isso ocorra, é fundamental ter acesso a cadastro com variáveis auxiliares que possam ser
usadas para estratificar a população de forma eficiente. Dessa forma, minimizaremos a variabilidade
intraestratos e maximizaremos a variância entre os estratos. 
Método geral
Primeiramente, deve-se particionar a população em subconjuntos mutuamente exclusivos e exaustivos
chamados estratos. Dois eventos são chamados de mutuamente exclusivos quando eles não podem ocorrer
ao mesmo tempo. Ao jogar uma moeda, os eventos podem ser cara ou coroa, mas nunca os dois
simultaneamente. Já o termo exaustivo diz respeito ao fato de todas as categorias terem que ser
contempladas com pelo menos uma unidade amostral.
 
Assim, as amostras têm que estar em apenas um estrato e todos os estratos devem ser contemplados com
alguma amostra. Em notação matemática, temos a representação de cada estrato denotada por , assim
temos , de modo que . Seja 
o tamanho de , então .
Após estarem definidos os estratos populacionais, podemos selecionar uma amostra de tamanho 
, segundo uma seleção amostral independente dentro de cada estrato h , onde 
 e . Assim, fica assegurado que cada estrato terá sua população representada
na amostra final, pois .
Amostragem estratificada simples
Como vimos, a AE é um método em que os elementos da população serão divididos em grupos denominados
por estratos. Vamos supor que nosso objetivo seja de fazer uma pesquisa sobre indústrias em uma região.
Temos dois tipos de indústrias, as vermelhas e as azuis. Porém, as vermelhas são maioria, logo podemos a
partir da população criar dois estratos, como pode ser visto na Figura 1.
Figura 1: Processo de estratificação e seleção amostral
Após a criação dos estratos 1 e 2, podemos selecionar uma amostra que representa exatamente essa
proporção populacional. Se tínhamos 2/3 de vermelhas e 1/3 de azuis, podemos selecionar em cada um dos
estratos essa mesma proporção. Logo, se nossa amostra fosse de tamanho 9, teríamos 6 vermelhas e 3 azuis.
Mas como iremos selecionar as empresas dentro de cada um dos estratos?
 
Nesse caso, faremos a amostragem aleatória simples.
Etapa 1
Na amostragem aleatória simples (AAS), fazemos uma seleção aleatória em que cada elemento tem
igual probabilidade de ser sorteado para a amostra, e é selecionado independentemente de qualquer
outro.
Etapa 2
Ou seja, utilizando um procedimento aleatório, sorteia-se com igual probabilidade um elemento da
população. Dessa forma, uma amostra aleatória simples é retirada de cada estrato para representá-lo,
de modo a possibilitar melhores estimativas da população.
Etapa 3
Essa é a forma mais usual da AE, pois primeiro fazemos a estratificação e, em seguida, selecionamos
amostras em cada estrato por AAS constituindo a amostragem estratificada simples (AES).
O que é e para que serve a estratificação
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Verificando o aprendizado
Questão 1
(CESGRANRIO 2009 ‒ modificada) Existem vários tipos de métodos para seleção amostral dos
dados. O plano amostral denominado amostragem estratificada consiste na:
A
Divisão da população em subgrupos de unidades, seguida da seleção de uma amostra de subgrupos e na
seleção de amostras dentro desses subgrupos.
B
Seleção de n unidades de um cadastro populacional, de tal forma que todas as amostras de tamanho n
possíveis apresentem a mesma probabilidade de seleção.
C
Divisão da população em subgrupos de unidades, seguida da seleção de uma amostra dentro de cada
subgrupo, sendo cada seleção independente das demais.
D
Divisão da população em subgrupos de unidades, seguida da seleção de uma amostra de subgrupos e da
observação de todas as unidades desses subgrupos.
A alternativa C está correta.
A definição correta de amostragem estratificada é dividir a população em subgrupos, denominados de
estratos (por exemplo, pelo sexo, renda, bairro etc.) e, em seguida, selecionar amostras de cada um desses
grupos. Além disso, a seleção em cada estrato deve ser independente das demais. Portanto, a alternativa
correta é a letra c).
Questão 2
A partir da amostragem estratificada a população é dividida em estratos de seleção, e a cada
estrato construído é possível estimar sua variabilidade. Essa medida de variância pode ser
obtida entre os estratos e também dentro dos estratos. A respeito dessa variabilidade,
podemos afirmar que:
A
Não há diferença de variabilidade dos estratos, pois independente do seu tamanho, a seleção é sempre
aleatória.
B
Na amostragem estratificada, a variância dentro dos estratos deve ser grande, enquanto a variância entre os
estratos deve ser zero.
C
Na amostragem estratificada, a variância dentro dos estratos deve ser grande, enquanto a variância entre os
estratos deve ser pequena.
D
Na amostragem estratificada, a variância dentro dos estratos deve ser pequena, enquanto a variância entre os
estratos deve ser grande.
A alternativa D está correta.
De acordo com a teoria da amostragem estratificada, a população é dividida em estratos, porém espera-se
que dentro de cada estrato a população seja mais homogênea. A ideia é criar grupos nos quais as unidades
populacionais sejam semelhantes, ou seja, compartilham de hábitos, opiniões, costumes parecidos. Logo,
se a variabilidade dentro dos estratos é pequena, a variância entre os estratos deve ser grande. Portanto, a
resposta correta é a letra d), já que a variabilidade intraestratos deve ser pequena, enquanto a variabilidade
entre estratos deve ser grande.
2. Notações utilizadas na estratificação
Introdução
No módulo anterior, vimos todos os conceitos relacionados à amostragem estratificada, suas vantagens e
desvantagens e quais os motivos para fazer a estratificação.
A partir deste módulo, vamos aprender como fazer estimações de variáveis de interesse e alocações de
amostra utilizando a estratificação. Primeiramente, veremos o conceito de peso amostral, as notações e
definições básicas e, logo em seguida, utilizaremos todas as expressões matemáticas para fazer as
estimações na teoria da amostragem. Por fim, veremos como distribuir a amostra selecionada nos estratos de
acordo com diferentes tipos de alocação amostral.
Peso amostral
Um conceito extremamente importante que é a base de planos amostrais mais elaborados é a ideia de peso
amostral. O peso representa a importância que aquela unidade tem na população. Quando se faz uma
amostra, apenas uma parte da população vai ser analisada, logo, é preciso um fator de ajuste para que os
resultados amostrais sejam compatíveis e possam dar o resultado para a população. O peso amostral
representa, então, o número de unidades da população que vão ser representadas por aquela unidade
específica da amostra. Vamos ver um exemplo para entender isto melhor:
 
Imagine que você queira fazer uma pesquisa sobre o tempo dedicado aos estudos (yi) de uma certa
população que tenha 120 pessoas. Como você aprendeu sobre estratificação, você decide criar estratos para
separar os diferentes níveis de instrução. Usaremos o índice h para denotar a quantidade de estratos, no
exemplo, temos 3 estratos, logo h = 3.
Etapa 1
Inicialmente você constrói, então, 3 estratos:
 
Estrato 1 ‒ Nível fundamental
Estrato 2 ‒ Nível médio
Estrato 3 ‒ Nível superior
 
Ao consultar o cadastro da população, você descobre que existem 70 pessoas de nível fundamental, 30 de
nível médio e 20 de nível superior. Como seu tempo está escasso, você não consegue entrevistar todas as 120
pessoas, e faz uma amostragem para selecionar apenas 20 indivíduos.
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Etapa 2
A tabela abaixo resume os níveis de estudo de cada indivíduo obtido na amostra e seu respectivo estrato:
Indivíduo Estrato (Nível de estudo) Tempo de estudo diário (horas)
1 1 1
2 1 0.5
3 1 0.3
4 1 0
5 1 0.4
6 1 1
7 1 0.2
8 1 0.9
9 1 2
10 1 1.5
11 1 1
12 2 1.1
13 2 1.5
14 2 1.3
15 2 1.6
16 2 2
17 3 2
18 3 3
19 3 4
20 3 10
Tabela 2: Exemplo de umaestratificação.
Etapa 3
Com essa tabela, você decide fazer a média do tempo de estudos de todos os indivíduos. Somando
todos os valores e dividindo por , você encontra valor médio de 2,565 horas de
estudo. Vamos pensar um pouco, você acha justo fazer uma média geral única sabendo que existem estratos
diferentes e, além disso, o total da população em cada estrato também é diferente?
 
Vamos encontrar a média por estrato. Somando os valores e dividindo pela quantidade de amostra em cada
estrato temos:
- Estrato 1: horas
- Estrato 2: horas
- Estrato 3: horas
Temos agora um valor médio por estrato, isso já é um resultado bem interessante e que faz bem mais sentido
que aquele resultado anterior obtido. Mas, e se quisermos uma média geral, como devemos proceder?
 
Nesse caso, vamos levar em consideração o tamanho populacional de cada estrato. Para isso, usaremos a
quantidade da populaçäo como fator no cálculo da média geral, ou seja, e . Com
esses fatores, faremos uma espécie de média ponderada com a participação de cada estrato:
 
 
Portanto, a média geral é feita levando em consideração a estratificação. Esse é o valor correto para a média
geral, e não aquele anterior, ignorando todos os estratos. O que estamos fazendo aqui é levar em
consideração a participação (no cálculo da média) do tamanho de cada estrato populacional. Ou seja, se
sabemos que existem mais pessoas de nível fundamental, temos que dar maior "peso" a essa resposta.
 
Esse fator que utilizamos de nos dá exatamente essa ideia de peso amostral, ou seja, é uma ponderação
correspondente à fração de elementos existentes na população em relação ao total N. Essa fração amostral é
muito utilizada na prática e chamada de , logo, toda vez que precisarmos considerar o tamanho de algum
estrato em relação ao total, faremos a divisão do seu total pelo total geral e chamaremos o resultado de .
Notação básica e estimação
A amostragem estratificada utiliza de muitas variáveis na construção das expressões usadas no processo de
estimação. Para a população, chamamos essas variáveis de interesse de parâmetros. Nosso objetivo, então, é
conseguir estimar esses parâmetros populacionais através da amostra. Para identificar as unidades, usaremos
a seguinte notação:
- Um identificador para indicar o estrato a que pertence.
- Um identificador para indicar a unidade dentro do estrato.
- O valor de alguma variável da pesquisa chamamos de , para i , e .
- Os tamanhos populacionais são dados por: .
- Os tamanhos amostrais são dados por: .
Parâmetros populacionais
Total
Média
Variância
Estimação dos parâmetros populacionais
As expressões acima são referentes aos valores populacionais, porém, na prática, iremos trabalhar com
amostras. Como a amostragem é feita independente por estrato, podemos estimar de forma separada os
parâmetros de cada estrato. Portanto, a estimação da amostragem estratificada com seleção das unidades
amostrais por amostragem aleatória simples com reposição é dada por:
Estimador do total
Estimador da média
Estimador da variância
Estimador da variância do estimador do total
Erro padrão do estimador da variância do total
Estimador da variância do estimador da média
Erro padrão do estimador da variância da média
Vejamos um exemplo prático de como fazer essas estimações:
 
Uma empresa de tecnologia está interessada em conhecer o comportamento dos usuários de uma pequena
cidade no que diz respeito ao acesso à internet. Para isso, ela contratou uma equipe para fazer uma pesquisa,
de modo que consiga estimar o número médio de horas que os moradores permaneçam online.
 
Ao todo, foram entrevistadas 80 pessoas selecionadas sob o esquema de amostragem estratificada simples
com reposição. O município está dividido em quatro áreas: Área A, área B, área C e área D. As áreas A, B e C
são consideradas urbanas, enquanto a área D é rural. Existem 620 moradores na cidade, divididos da seguinte
forma: 310 na área A, 155 na área B, 93 na área C e 62 na área D.
 
O tamanho de amostra selecionado foi diferente entre os estratos. A tabela abaixo resume os pesos de cada
estrato, o tamanho selecionado, a média e a variância encontrada.
Áreas wh nh Yh sh
A NhN=310620=0,50 40 30 5
B NhN=155620=0,25 20 25 16
C NhN=93620=0,15 12 23 13
D NhN=62620=0,10 8 19 9,5
Tabela 3: Exemplo prático de uma estratificação.
Etapa 1
Vamos encontrar agora a estimativa da média populacional do número de horas que os moradores acessam a
internet. Para isso, vamos utilizar a expressão
Portanto, em média, as pessoas dessa cidade ficam conectadas 26,6 horas.
Etapa 2
Da mesma forma que encontramos o estimador da média amostral, podemos encontrar a estimativa de sua
variância. Assim, fazemos
Encontrando o erro padrão, temos . Ou seja, o erro médio da estimativa é um pouco
mais de 1 hora por dia de uso da internet.
Alocação da amostra
Vimos até o momento como realizar o procedimento de estimação de acordo com uma amostra que já havia
sido definida para os estratos. Agora, vamos entender como é feita a distribuição das n unidades da amostra
pelos estratos. Esse processo chama-se alocação da amostra e é bem importante, pois garante a precisão do
procedimento amostral.
 
Temos três principais formas de distribuir a amostra através dos estratos. Essa alocação é feita, em geral, a
partir do conhecimento dos pesquisadores ou do conhecimento prévio das variáveis envolvidas. Assim, temos:
Alocação uniforme
Na amostragem estratificada uniforme, temos o mesmo tamanho de amostra para cada estrato. É a alocação
mais simples e básica e, apesar de ser a mais intuitiva, pode não ser a melhor escolha em termos de
eficiência.
Figura 2: Amostragem estratificada com alocação uniforme
Imagine que sua população seja dividida em três cores, porém não é uma divisão igual. Na hora de se fazer
uma AE com alocação uniforme, a amostra distribui-se de forma exatamente igual. Assim, para cada estrato h:
Onde k representa o número de estratos.
 
O tamanho global da amostra é dividido pelo número k de estratos. Então, se você tiver um tamanho de
amostra de 90 e 3 níveis de estratos, a amostra em cada estrato será:
Simplesmente divide-se o total da amostra pela quantidade de estratos.
Alocação proporcional
Outra forma de fazer a distribuição é pelo critério que mantém a fração da amostragem em cada estrato h
igual à fração populacional. Ou seja, nesse tipo de alocação, a amostra previamente definida de tamanho n é
distribuída proporcionalmente ao tamanho dos estratos.
Figura 3: Amostragem estratificada com alocação proporcional
Perceba como a amostra reflete exatamente a estrutura da população. Se existem 75% de indivíduos azuis na
população, logo deve haver exatamente 75% de indivíduos azuis na amostra também. E assim sucessivamente
para todos os estratos. É uma forma um pouco mais justa de distribuir a amostra pelos estratos. Assim, temos:
Imagine que, em uma pesquisa, você tenha na população 800 famílias na zona urbana e 300 famílias na zona
rural (total populacional -> N = 800 + 300 = 1100 famílias). Se o total de uma amostra a ser selecionado é de
90 famílias, fazemos:
Dessa forma, com a alocação proporcional e arredondando os valores para cima, teremos n= 91 famílias com
66 do estrato 1 (urbano) e 25 do estrato 2 (rural). Basicamente, replicamos a estrutura populacional na
amostra.
Alocação ótima de Neyman
Esse é um método mais sofisticado de alocação das amostras nos estratos. Como o próprio nome diz, ele é
ótimo, ou seja, apresenta um resultado bastante interessante. Nesse caso, a distribuição da amostra não é
feita somente pensando na proporção existente na população, mas também na sua variabilidade.
 
Na alocação de Neyman, a variabilidade da variável de interesse também é levada em consideração, pois se
ela for mais homogênea na população, não precisaremos de amostras muito grandes naquele estrato. Ou seja,
essa distribuição leva em consideração a dispersão da variável na população. Assim, os tamanhos nh serão
proporcionais aos Nhda população e também aos desvios padrões sh da característica Y em cada estrato h. A
expressão é dada por:
Onde n representa o tamanho da amostra, representa o desvio padrão da variável y no estrato h e 
representa o tamanho do estrato .
Figura 4: Amostragem estrtificada com alocação ótima de Neyman
Perceba nesse caso como a distribuição da amostra não segue o padrão populacional. Isso ocorreu porque a
variabilidade dos indivíduos vermelhos era maior que a dos azuis. Assim, precisamos de uma amostra maior
vermelha do que azul. Dessa forma, a estrutura da amostra leva em consideração não apenas o tamanho
populacional como também sua variabilidade. Vamos ver um exemplo:
Teoria na prática
Uma população de tamanho 20 é dividida em 2 estratos, 8 no estrato 1,12 no estrato 2 . O desvio padrão do
estrato 1 é de e . Se uma amostra de tamanho 10 for selecionada, como seria a
distribuição em cada um dos estratos?
Resolução
Ao somar e temos 10 , porém temos que decidir se arredondamos ambos para cima ou não. Se for
feito para cima, teremos e . A amostra passaria a ser 11 , esse valor seria o mais correto,
porém, se não puder fazer uma amostra de 11, recomenda-se arredondar para cima o estrato de menor
tamanho, pois já que é baixo, melhor ter um valor acima. Teríamos, então, e .
Conceitos auxiliares para estimação
Para entender melhor o assunto, assista ao vídeo a seguir.
Conteúdo interativo
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Verificando o aprendizado
Questão 1
(CESGRANRIO ‒ 2013 modificado) Em uma pesquisa utilizando amostragem estratificada
simples para avaliação da safra de café no Nordeste, verificou-se que a variável mais
adequada para estratificação dos estabelecimentos produtores era o efetivo de pés de café
fornecido pelo Censo Agropecuário/IBGE — 2006. A tabela abaixo apresenta o total de
estabelecimentos e a variância em cada estrato. Supondo que o custo de amostragem é igual
em todos os estratos e o tamanho da amostra total é de 1000, determina-se o tamanho da
amostra em cada estrato, segundo a alocação ótima de Neyman.
Então, os valores amostrais de e , respectivamente, são aproximadamente iguais a:
A
20, 60 e 920
B
20, 50 e 930
C
6, 56 e 938
D
10, 60 e 930
A alternativa C está correta.
Para resolver essa questão, usaremos a alocação ótima de Neyman. Temos os totais N_h e as variâncias
s_h^2 para cada estabelecimento. Pela fórmula de Neyman, temos: . Precisamos encontrar o
desvio padrão, que é a raiz da variância, logo, fazemos: . Assim, temos:
Questão 2
Uma pesquisa de um shopping center quer determinar o total de dinheiro gasto no cinema baseado na sua
condição socioeconômica. A ideia é pensar em programas diferenciados de descontos futuros. Foram criados
3 estratos baseados na renda dos indivíduos. Estrato 1 classe alta, estrato 2 - classe média e estrato 3 -
classe baixa. Sabe-se também que e . Uma amostra de 200 indivíduos foi
entrevistada. A tabela abaixo resume os valores obtidos.
Qual a estimativa do total gasto pela população com cinema naquele mês e qual sua
estimativa de erro padrão?
A
hat(y)_("est ")=143500" reais e " widehat(E)_(p)( hat(y)_("est "))=1414" reais "
B
hat(y)_("est ")=143500" reais e " widehat(E)_(p)( hat(y)_("est "))=1414" reais "
C
hat(y)_("est ")=143500" reais e " widehat(E)_(p)( hat(y)_("est "))=1414" reais "
D
hat(y)_("est ")=143500" reais e " widehat(E)_(p)( hat(y)_("est "))=1414" reais "
A alternativa A está correta.
Para resolver essa questão, usaremos as expressões de estimação relacionadas ao total populacional. Para
a estimação desse total populacional, faremos:
Em relação ao estimador da variância do estimador do total, temos:
Dessa forma, a estimativa do total gasto com cinema nesse mês dessa cidade foi de R$143.500,00 e o erro
padrão associado a essa medida foi de aproximadamente R$1.886.
3. Variáveis de proporção e o tamanho de amostra na amostragem estratificada simples
Introdução
Vimos no módulo anterior como estimar quantidades de interesse em uma pesquisa, totais e médias, por
exemplo, no caso da amostragem estratificada simples. Além disso, vimos como estimar a variância e o erro
padrão para essas estimativas. Em seguida, entendemos como fazer a alocação da amostra em cada um dos
estratos de acordo com a escolha entre uniforme, proporcional ou Neyman.
Agora, veremos como dimensionar o tamanho da amostra para o plano amostral da amostragem estratificada.
Além disso, veremos também como fazer as estimações para variáveis do tipo proporção, nas quais o
interesse é estudar a ocorrência de alguma característica da população.
Estimação de proporções na amostragem estratificada
Além de variáveis quantitativas, uma pesquisa também pode conter variáveis qualitativas. O tratamento
relativo à estimação dos dados e o cálculo do tamanho amostral são feitos de forma diferente. Às vezes,
deseja-se estimar a proporção ou a percentagem de unidades da população que possuem certa característica
e atributo ou que se integram em determinada categoria. Muitos dos resultados dos censos e levantamentos
assumem essa forma, como, por exemplo, a proporção de pessoas que pegaram empréstimo no banco, a
percentagem da população constituída de estrangeiros etc.
Saiba mais
Basicamente, a variável de proporção é uma razão entre o número de unidades de uma população com
uma determinada característica e total de unidades dessa população. O denominador é sempre o
número de unidades da população e o resultado da proporção está sempre entre 0 e 1, podendo ser
representado em porcentagem. 
Em variáveis qualitativas, não podemos fazer nenhum tipo de cálculo, já que isso é restrito somente às
variáveis quantitativas. O que podemos fazer nesse caso é contar quantos indivíduos têm aquela
característica na população. Dessa forma, criamos uma variável y, por exemplo, que recebe valor para
cada unidade com aquela característica e yi=0 no caso contrário:
Na amostragem estratificada, teremos que fazer a soma de y_i em cada um dos estratos que foram
construídos. Se quisermos estimar a proporção de unidades na população que se enquadram em alguma
classe C definida, a estratificação ideal seria aquela em que no primeiro estrato estivessem todos ou a maioria
dos indivíduos com aquela característica, e no outro estrato, os indivíduos que não apresentam essa mesma
característica (ou apresentam pouca).
Exemplo
Por exemplo, queremos fazer uma pesquisa para estimar a proporção de várias características de
pessoas que frequentam shopping. O ideal seria no estrato 1 haver somente pessoas que frequentam
shopping e no estrato 2 os demais indivíduos. 
Como podemos estimar de forma independente em cada estrato, seria muito interessante ter estratos bem
diferenciados no que diz respeito à nossa variável de interesse. Para efeitos práticos você conseguiria os
melhores resultados caso fizesse isso, porque seria possível estimar em cada estrato (um com a característica
e outro sem) e depois fazer comparações. Por isso, dizemos que a etapa da construção dos estratos é um
ponto fundamental da pesquisa, que pode afetar a eficácia dos resultados.
 
Com os valores de uma amostra em cada um dos estratos h podemos estimar a proporção populacional, a
variância da proporção e seu erro padrão através da amostragem estratificada simples sem reposição, da
seguinte forma:
 
Proporção populacional
Proporção amostral em um estrato
A variância de Y no estrato H é dado por
A estimativa da proporção em toda a população, ou seja, para todos os estratos simultaneamente na
amostragem aleatória estratificada é dada por:
Variância populacional do estimador da proporção
Estimador da variância do estimador da proporção
Erro padrão do estimador da proporção
Pelas expressões acima, você pode ver que a proporção comporta-se como se fosse uma média ponderada,
levando em consideração o peso de cada estrato na população, só que ao invés de somar os valores das
variáveis, somam-se os para cada estrato e indivíduo e depois divide-se pelo total.Vamos ver um exemplo de estimação da proporção para entendermos como isso acontece na prática.
Exemplo
Seja uma amostra estratificada simples de 400 crianças menores de 6 meses de um certo hospital.
Dados da maternidade sugerem a construção de dois estratos de acordo com a utilização ou não de
incubadora após o nascimento. No estrato 1, ficaram os bebês que tiveram assistência neonatal com um
total de crianças Já no estrato 2 ficaram os bebês que não precisaram de internação, perfazendo um
total de crianças. Foi perguntado para os pais se cada um desses bebês tinha tomado as primeiras
vacinas. No estrato 1, 328 bebês tinham tomado e no estrato 2 foram 406 bebês. Qual a proporçã̃o de
bebês que tomaram a vacina e qual o erro padrão da medida na amostragem estratificada com alocação
proporcional? 
Etapa 1
Inicialmente, sabemos que o total populacional é de bebês. O peso amostral do estrato 1 é
de e . Além disso, a proporção amostral dos bebês que tomaram a vacina
é de e .. Agora, podemos encontrar a estimativa da proporção, assim faremos 
 
Etapa 2
Como fizemos a alocação proporcional, sabemos que do total de 400 bebês temos , assim, 
 e . Ou seja, a amostra do estrato 1 foi de 132 bebês e a amostra do
estrato 2 foi de 268 bebês. Para encontrar o erro padrão, precisamos primeiro encontrar a variância. Logo,
fazemos
Etapa 3
Fazendo a raiz da variância, encontramos o valor de . Ou seja, o erro padrão da
estimativa é de 0,02 e como é uma proporção, temos, então, um erro de cerca de dos bebês.
Tamanho da amostra
No planejamento de uma pesquisa, o cálculo do tamanho de amostra é uma etapa muito importante. Um
desenho amostral com uma quantidade de respondentes muito grande pode implicar em desperdício de
recursos, enquanto uma amostra muito pequena pode diminuir a qualidade dos resultados. A decisão nem
sempre pode ser feita de forma satisfatória e é preciso tomar decisões baseado no orçamento disponível e na
qualidade que se deseja.
 
O método mais básico de seleção de amostragem é a aleatória simples (AAS). Nesse plano amostral, todas as
unidades amostrais têm a mesma probabilidade de serem selecionadas. Já na amostragem estratificada, esse
valor é alterado de acordo com o estrato de origem da unidade. Se formos retirar a mesma quantidade de
amostra em cada um dos estratos por AAS, é natural que estratos maiores tenham unidades de seleção com
probabilidade menor de serem selecionadas e estratos pequenos tenham unidades com probabilidade maior,
pois sua população é menor. Esse peso da amostra é uma variável importante e precisa ser levado em
consideração no momento de se realizar os cálculos de tamanhos amostrais.
Teoria na prática
Imagine, por exemplo, que se deseja retirar uma amostra de 5 indivíduos de 3 estratos referentes a classes
sociais. No estrato 1 há indivíduos, no estrato 2 há indivíduos, e no estrato 3 há 
 indivíduos. A probabilidade de seleção do estrato 1 é de ; e 
. Perceba que estratos menores apresentam maiores probabilidades de seleção. Porém, na
prática, para encontrarmos o tamanho da amostragem estratificada, seguiremos os seguintes passos:
Resolução
1 - Identificaremos qual a variável que estamos interessados em investigar: É uma média? Um total? Uma
proporção?
 
2- Após a identificação da variável do estudo, usaremos as expressões específicas de cada variável para
encontrarmos o tamanho de amostra.
 
3 - Por fim, com o tamanho total da amostra, utilizaremos a alocação para distribuir essa amostra nos
estratos. No final, a soma das amostras de cada estrato tem que ser igual ao tamanho total da amostra.
 
Vamos ver então como calcular o tamanho da amostra baseado em médias, totais e proporções e suas
diferentes alocações.
Tamanho de amostra para estimação da média na
amostragem estratificada
Se o interesse da pesquisa for responder a questões ligadas a médias de determinadas variáveis, temos que
utilizar um conjunto de expressões específicas para o tamanho da amostra. Essas expressões variam
conforme a alocação da amostra foi pensada no momento da construção da pesquisa. A expressão geral para
o tamanho de amostra na amostragem estratificada para a estimação da média é dada por:
onde e é uma constante que define o tipo de alocação utilizado. Porém, não utilizaremos
simplesmente a fórmula acima, pois ao fazer as alocações na amostra, podemos já encontrar as expressões
específicas para cada caso. Assim, as fórmulas mudam de acordo com a alocação escolhida. Vamos tratar
aqui das duas distribuições amostrais mais utilizadas, que é o caso da proporcional e da ótima de Neyman.
Alocação proporcional
Para uma amostragem estratificada com alocação proporcional, temos a seguinte expressão para o tamanho
da amostra:
Onde V é a variância mínima desejada para estimar a média da população. Essa variância está em função da
margem de erro "d" e do valor z da tabela normal. Caso não seja dada, pode ser calculada por:
Ou seja, neste caso, primeiramente calculamos e depois calculamos . Poderíamos fazer a substituição e
ter apenas uma fórmula, mas de acordo com Cochran (1977), fazer essa separação traz ganhos em termos
computacionais.
 
Vamos ver um exemplo prático para entender como o tamanho amostral seria calculado nesse caso.
Exemplo
Uma empresa de minério de ferro está interessada em estimar a quantidade média de um tipo de ferro
em uma nova placa que está produzindo. O ferro utilizado é dividido em três tipos para que a
componente fique mais resistente e menos oxidativa (tipo I, tipo II e tipo III). Pesquisas anteriores já
tinham avaliado a variância desses tipos de ferro nessas placas e a variância encontrada foi para o tipo I,
para o tipo II e para o tipo III. Outro dado fornecido foi a quantidade de ferro produzido de cada tipo:
13800T para o tipo I, 23400T para o tipo II e 22800T para o tipo III. A variância mínima V estabelecida foi
de 0,02. Qual o tamanho de amostra mínimo necessário, dado que queremos uma alocação proporcional
em cada estrato? 
Etapa 1
Para responder a essa questão, precisamos encontrar primeiramente o peso de cada estrato, ou seja, o valor 
. Assim, fazemos:
Etapa 2
Com o peso encontrado, podemos encontrar fazendo:
Etapa 3
A partir de , podemos encontrar n . Logo,
Arredondando para cima, temos então um tamanho de amostra de 74 placas de ferro para essa pesquisa.
Alocação ótima de Neyman
A outra forma de distribuição amostral nos estratos que vimos foi a alocação ótima de Neyman. Como ela leva
em consideração a variabilidade de cada estrato, acaba sendo preferida, se possível, na utilização prática da
amostragem estratificada. Assim, para uma AE com alocação ótima de Neyman, para estimação da média,
temos a seguinte expressão para o tamanho da amostra:
Tamanho de amostra para estimação do total na
amostragem estratificada
Da mesma forma que fizemos para a estimação da média, podemos fazer os cálculos do tamanho de amostra
caso nossa variável de interesse seja estimar um total populacional. Os resultados são bem semelhantes.
Novamente, as expressões variam conforme a alocação da amostra foi pensada no momento da construção
da pesquisa.
 
O caso geral é dado por:
Onde e é uma constante que define o tipo de alocação utilizado. Porém, não utilizaremos
simplesmente a fórmula acima, pois ao fazer as alocações na amostra, podemos já encontrar as expressões
específicas para cada caso. Assim, as fórmulas mudam de acordo com a alocação escolhida. Vamos tratar
novamente aqui das duas distribuições amostrais mais utilizadas, que é o caso da proporcional e da ótima de
Neyman e a variância é dada por:
 
Alocação proporcional
No caso da amostragem estratificada com alocação proporcional, o peso do estrato e o percentual de amostra
em cada estrato têm o mesmo valor. Se tiver do estrato A na população, teremos da amostra
como sendo de A. Assim, . Substituindo esse valor na expressão do caso geral, temos o seguinte
resultado para o tamanho da amostra no caso de um total populacional:
Alocação ótima de Neyman
Damesma forma que fizemos na alocação de Neyman para a média, podemos fazer para o total também.
Nesse caso, o peso amostral fica em função da variabilidade de cada um dos estratos. Portanto, temos a
seguinte expressão para o cálculo do tamanho de amostra na alocação ótima de Neyman:
Tamanho de amostra para estimação da proporção
Se o interesse da pesquisa for responder a questões qualitativas, deve-se pensar no cálculo amostral
utilizando a proporção. As fórmulas são semelhantes aos casos anteriores, em que devemos apenas substituir
as variáveis de média ou total por variáveis de proporção. Essas expressões também variam conforme a
alocação da amostra foi pensada no momento da construção da pesquisa.
Alocação proporcional
Para uma amostragem estratificada com alocação proporcional, temos a seguinte expressão para o tamanho
da amostra no caso da proporção:
Onde V é a variância mínima desejada para estimar a proporção da população. Essa variância está em função
da margem de erro "d" e do valor z da tabela normal. Caso não seja dada, pode ser calculada por 
Alocação ótima de Neyman
Da mesma forma que fizemos na alocação de Neyman para a média e para o total, podemos fazer também
para a proporção. Nesse caso, o peso amostral fica em função da variabilidade de cada um dos estratos.
Portanto, temos a seguinte expressão para o cálculo do tamanho de amostra na alocação ótima de Neyman:
Novamente, as fórmulas de n e n0 poderiam ter sido colocadas juntas. Isso só não foi feito porque em termos
computacionais é mais eficiente trabalhar com elas separadamente.
Exercícios
Para entender como funciona na prática, assista ao vídeo a seguir.
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Verificando o aprendizado
Questão 1
Uma pesquisa sobre tempo de trabalho doméstico vai ser realizada em uma empresa. A ideia
é criar dois estratos, um para o sexo masculino (estrato 1) e outro para o sexo feminino
(estrato 2). Existem 200 mulheres e 300 homens nessa empresa. Foi perguntado se a pessoa
fazia os afazeres domésticos. A pesquisa foi feita com 110 indivíduos de forma proporcional e
o resultado foi de 25 homens que disseram realizar afazeres domésticos enquanto esse valor
para as mulheres foi de 20. Qual a proporção de funcionários que fazem atividades
domésticas?
A
A proporção é de 40% dos funcionários
B
A proporção é de 50% dos funcionários
C
A proporção é de 30% dos funcionários
D
A proporção é de 20% dos funcionários
A alternativa A está correta.
Na questão, temos que o total populacional é de
.. Já o total amostral é de
. A proporção no estrato 1 foi
. O peso amostral de cada estrato é de 
. A estimativa da proporção é dada por
Portanto, a proporção de funcionários que fazem atividades domésticas nessa empresa é de 40%.
Questão 2
O município de São Paulo deseja estimar o total de salário de funcionários de algumas empresas de uma
determinada região. Foram criados 3 estratos de acordo com o porte da empresa. Estrato 1: Empresas com
até 10 funcionários. Estrato 2: Empresas com mais de 10 e menos de 50 funcionários, e estrato 3 para
empresas acima de 50 funcionários. De acordo com a prefeitura, existem 70 empresas no estrato 1, 50
empresas no estrato 2 e 20 empresas no estrato 3 . Além disso, em levantamentos anteriores, tem-se que 
, . Supondo um erro amostral de e um nível de confiança de 95\%
(z=1,96), qual o tamanho mínimo de amostra para estimar o total da receita supondo alocação ótima de
Neyman?
A
n = 67 empresas
B
n = 34 empresas
C
n = 50 empresas
D
n = 63 empresas
A alternativa D está correta.
Primeiramente, devemos encontrar a Variância . Com isso, temos a seguinte expressão
para o cálculo do tamanho de amostra na alocação ótima de Neyman:
Arredondando para cima, encontramos 63 empresas para o tamanho amostral. Logo, a alternativa correta é
a letra "D".
4. Conclusão
Considerações finais
Ao longo dos módulos, foi possível entender mais sobre o método de amostragem estratificada, as formas de
construção dos estratos e de como isso pode melhorar os resultados da pesquisa.
 
Inicialmente, discutimos os conceitos fundamentais da amostragem estratificada simples, ou seja, a
amostragem estratificada permite a construção dos estratos e, depois, em cada estrato, são selecionadas
amostras por meio da amostragem aleatória simples.
 
No segundo módulo, apresentamos as ferramentas estatísticas de estimação das quantidades de interesse.
Aprendemos como estimar um total e uma média a partir de uma amostra estratificada e também as
estimativas de variância dessas medidas. Além disso, vimos como distribuir a amostra nos estratos, ou seja,
fazer a alocação amostral. Vimos que a partilha pode ser feita de forma uniforme, proporcional ou pela forma
ótima de Neyman, sendo esse último caso aquele que garante melhor precisão dos resultados.
 
Por fim, investigamos também a estimação de proporções no caso da amostragem estratificada, já que em
determinadas pesquisas o foco em variáveis qualitativas pode ser de maior interesse do que em variáveis
quantitativas. Outro assunto importante que vimos juntos foi o cálculo do tamanho de amostra para fazer as
estimações. Conhecemos as expressões utilizadas para se definir uma amostra para estimar totais, médias,
proporções e de como a alocação pode afetar esse dimensionamento.
 
Assim, temos certeza de que, ao chegar ao fim deste tema, o estudante entendeu a importância de se fazer
uma estratificação e como fazer estimativas das variáveis de interesse.
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Para saber mais sobre os assuntos tratados neste tema, leia:
 
No site do IBGE, a Pesquisa Anual de Serviços (PAS). A Pesquisa Anual de Serviços ‒ PAS tem por
função principal identificar as características estruturais básicas da atividade de serviços não
financeiros no País, excetuando-se Saúde e Educação, e suas transformações no tempo.
Referências
BOLFARINE, H.; BUSSAB, W. O. Elementos de Amostragem. São Paulo: Blucher, 2005.
 
• 
BONAFINI, C. F. Probabilidade e Estatística. São Paulo: Pearson Education do Brasil, 2015.
 
COCHRAN, W. G. Sampling Techniques. 3rd. edition. New York: John Wiley & Sons, 1977.
 
FERREIRA, V. A. M. Análise Estatística. Rio de Janeiro: Estácio, 2015.
 
IBGE. Pesquisa anual de serviços. Notas técnicas. 1. ed. Rio de Janeiro: IBGE, 2017. Consultado em meio
eletrônico em: 14 out. 2020.
 
JESSEN, R. J. Statistical Survey Techniques. New York: Wiley, 1978.
 
LARSON, R.; FABER, B. Estatística Aplicada. 4. ed. São Paulo: Pearson, 2009.
 
LOHR, S. Sampling: Design and Analysis. 2nd edition. California: Duxbury Press, 2010.
 
MORETTIN, P. A.; BUSSAB, W. de O. Estatística Básica: Probabilidade e Inferência. Volume único. São Paulo:
Pearson Prentice Hall, 2010.
 
PFEFFERMANN, D.; RAO, C. R (Eds.). Handbook of Statistics 29A: Sample Surveys: Design, Methods and
Applications. Amsterdam: NorthHolland, 2009, p. 698.
 
SARNDAL, C. E.; SWENSSON, B.; WRETMAN, J. Model assisted survey sampling. New York: Springer-Verlag,
1992.
	Amostragem Estratificada
	1. Itens iniciais
	Propósito
	Preparação
	Objetivos
	Introdução
	1. Método de seleção por amostragem aleatória estratificada
	Introdução
	Conceitos sobre amostragem estratificada
	Exemplo
	Etapa 1
	Etapa 2
	Etapa 3
	Definições básicas
	Estratificação
	Estrato
	Estratos naturais
	Estratos estatísticos
	Exemplo real de pesquisa utilizando a estratificação
	Vantagens da amostragem estratificada
	Melhoria da precisão das estimativas
	Garantir a observação de amostras nos estratos criados
	Permite estimação para cada grupo da população da pesquisa
	Pode ser operacionalmente mais conveniente
	Desvantagens da amostragem estratificada
	Teoria na prática
	Resolução
	Razões para estratificar
	Critério de eficiência
	Comentário
	Método geral
	Amostragem estratificada simples
	Etapa 1
	Etapa 2
	Etapa 3
	Oque é e para que serve a estratificação
	Conteúdo interativo
	Verificando o aprendizado
	(CESGRANRIO 2009 ‒ modificada) Existem vários tipos de métodos para seleção amostral dos dados. O plano amostral denominado amostragem estratificada consiste na:
	A partir da amostragem estratificada a população é dividida em estratos de seleção, e a cada estrato construído é possível estimar sua variabilidade. Essa medida de variância pode ser obtida entre os estratos e também dentro dos estratos. A respeito dessa variabilidade, podemos afirmar que:
	2. Notações utilizadas na estratificação
	Introdução
	Peso amostral
	Etapa 1
	Etapa 2
	Etapa 3
	Notação básica e estimação
	Parâmetros populacionais
	Total
	Média
	Variância
	Estimação dos parâmetros populacionais
	Estimador do total
	Estimador da média
	Estimador da variância
	Estimador da variância do estimador do total
	Erro padrão do estimador da variância do total
	Estimador da variância do estimador da média
	Erro padrão do estimador da variância da média
	Etapa 1
	Etapa 2
	Alocação da amostra
	Alocação uniforme
	Alocação proporcional
	Alocação ótima de Neyman
	Teoria na prática
	Resolução
	Conceitos auxiliares para estimação
	Conteúdo interativo
	Verificando o aprendizado
	Questão 1
	(CESGRANRIO ‒ 2013 modificado) Em uma pesquisa utilizando amostragem estratificada simples para avaliação da safra de café no Nordeste, verificou-se que a variável mais adequada para estratificação dos estabelecimentos produtores era o efetivo de pés de café fornecido pelo Censo Agropecuário/IBGE — 2006. A tabela abaixo apresenta o total de estabelecimentos e a variância em cada estrato. Supondo que o custo de amostragem é igual em todos os estratos e o tamanho da amostra total é de 1000, determina-se o tamanho da amostra em cada estrato, segundo a alocação ótima de Neyman.
	Questão 2
	Qual a estimativa do total gasto pela população com cinema naquele mês e qual sua estimativa de erro padrão?
	3. Variáveis de proporção e o tamanho de amostra na amostragem estratificada simples
	Introdução
	Estimação de proporções na amostragem estratificada
	Saiba mais
	Exemplo
	Variância populacional do estimador da proporção
	Estimador da variância do estimador da proporção
	Erro padrão do estimador da proporção
	Exemplo
	Etapa 1
	Etapa 2
	Etapa 3
	Tamanho da amostra
	Teoria na prática
	Resolução
	Tamanho de amostra para estimação da média na amostragem estratificada
	Alocação proporcional
	Exemplo
	Etapa 1
	Etapa 2
	Etapa 3
	Alocação ótima de Neyman
	Tamanho de amostra para estimação do total na amostragem estratificada
	Alocação proporcional
	Alocação ótima de Neyman
	Tamanho de amostra para estimação da proporção
	Alocação proporcional
	Alocação ótima de Neyman
	Exercícios
	Conteúdo interativo
	Verificando o aprendizado
	Uma pesquisa sobre tempo de trabalho doméstico vai ser realizada em uma empresa. A ideia é criar dois estratos, um para o sexo masculino (estrato 1) e outro para o sexo feminino (estrato 2). Existem 200 mulheres e 300 homens nessa empresa. Foi perguntado se a pessoa fazia os afazeres domésticos. A pesquisa foi feita com 110 indivíduos de forma proporcional e o resultado foi de 25 homens que disseram realizar afazeres domésticos enquanto esse valor para as mulheres foi de 20. Qual a proporção de funcionários que fazem atividades domésticas?
	4. Conclusão
	Considerações finais
	Podcast
	Conteúdo interativo
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	Referências