Modelagem de Sistemas Mecânicos

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MODELAGEM DE 
SISTEMAS MECÂNICOS
UNIDADE I
CINEMÁTICA E CINÉTICA
Autoria
Pedro Augusto Fernandes Pereira
Produção
Equipe Técnica de Avaliação, Revisão Linguística e Editoração
SUMÁRIO
INTRODUÇÃO ..........................................................................................................................4
UNIDADE I
CINEMÁTICA E CINÉTICA ...........................................................................................................7
CAPÍTULO 1 
CINEMÁTICA DE CORPOS RÍGIDOS ...................................................................................... 7
CAPÍTULO 2 
CINÉTICA DE CORPOS RÍGIDOS ......................................................................................... 25
REFERÊNCIAS ........................................................................................................................35
4
INTRODUÇÃO
Ao nos depararmos com a complexidade dos sistemas mecânicos, a necessidade de 
antecipar e compreender seu comportamento se torna imperativa. A modelagem 
desses sistemas, por meio da formulação cuidadosa de equações que buscam 
capturar, na medida do possível, a realidade intrínseca, emerge como uma 
ferramenta essencial. Essa abordagem não é apenas um exercício teórico; é uma 
busca ativa para prever com precisão o movimento e as interações entre corpos 
rígidos, desempenhando, assim, um papel crucial na engenharia e na solução de 
desafios práticos.
Enquanto o estudo da estática remonta à época dos filósofos gregos, a primeira 
contribuição significativa à dinâmica foi feita por Galileu (1564-1642). Os experimentos 
de Galileu sobre corpos uniformemente acelerados levaram Newton (1642-1727) a 
formular suas leis fundamentais do movimento. A dinâmica inclui a cinemática, que é o 
estudo da geometria do movimento, usado para relacionar deslocamento, velocidade, 
aceleração e tempo, sem referência às causas do movimento, e a cinética, que é o 
estudo da relação existente entre as forças que atuam sobre um corpo, a massa do 
corpo e seu movimento. A cinética é usada para prever o movimento causado por 
forças conhecidas ou para analisar as forças atuantes em um corpo em movimento 
(Beer; Johnston; Cornwell, 2012, p. 606).
Nesta apostila, exploraremos a Cinemática e Cinética de corpos rígidos, e 
empregaremos o Método de Newton-Euler. A análise de momento de inércia para 
corpos de geometria simples será abordada, bem como a dinâmica de sistemas de 
múltiplos corpos, tanto no plano quanto no espaço.
As equações de movimento para corpos rígidos serão uma ferramenta central desse 
estudo. Para enriquecer a compreensão, faremos uso de exemplos práticos ao longo 
do curso, destacando a aplicabilidade dos conceitos discutidos. A implementação 
prática será realizada no ambiente de programação MATLAB, oferecendo uma 
experiência tangível na aplicação dos conhecimentos adquiridos. Destaca-se a 
importância de compreender as relações cinemáticas e dinâmicas entre corpos 
mecânicos, fundamentais para o projeto e otimização de sistemas.
Assim como em outros campos da engenharia, enfrentaremos desafios reais, 
demandando a aplicação de teorias e leis fundamentais. Não estamos interessados 
apenas na descrição do movimento, mas sim na criação de modelos precisos que 
representem fielmente o comportamento de sistemas mecânicos complexos.
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INTRODUÇÃO
Ao adentrar essa jornada de descoberta, esperamos que você desenvolva uma 
compreensão aprofundada dos fenômenos físicos subjacentes e das equações 
fundamentais que governam a dinâmica dos sistemas mecânicos. Este material busca 
ser um guia valioso, capacitando-o a analisar e abordar desafios práticos no vasto 
campo da engenharia mecânica.
Objetivos 
 » Abordar os princípios fundamentais da cinemática, estudando a geometria do 
movimento em corpos rígidos.
 » Compreender a cinética, examinando a relação entre forças, massa e movimento, 
essenciais para a análise de sistemas mecânicos.
 » Analisar o momento de inércia em corpos com diferentes geometrias.
 » Investigar a dinâmica de sistemas de múltiplos corpos, tanto no plano quanto no 
espaço.
 » Discutir a aplicação prática usando MATLAB.
 » Estabelecer uma base sólida que capacite os estudantes a analisar e abordar 
desafios práticos no vasto campo da engenharia mecânica, promovendo a 
aplicação prática dos conhecimentos adquiridos.
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UNIDADE ICINEMÁTICA E CINÉTICA
CAPÍTULO 1 
CINEMÁTICA DE CORPOS RÍGIDOS
1.1. Introdução
A cinemática, ramo fundamental da mecânica, dedica-se ao estudo do movimento 
dos corpos, desconsiderando as forças que o impulsionam. Essa abordagem permite 
uma descrição minuciosa e matemática do deslocamento dos objetos no espaço, 
prescindindo da necessidade de compreender as causas físicas subjacentes.
Ao eliminarmos a consideração das forças atuantes nos corpos, simplificamos 
a análise e podemos empregar conceitos como posição, velocidade e aceleração 
para descrever o movimento de maneira mais acessível. Essa simplificação é 
particularmente valiosa em contextos nos quais uma compreensão aprofundada das 
forças não é essencial para alcançar os objetivos do estudo ou análise.
A introdução ao conceito de cinemática tipicamente se dá por meio da análise do 
movimento de partículas, em que a dimensão dos corpos não é uma preocupação, 
facilitando grandemente a análise. Entretanto, nesta apostila, almejamos ir além, 
analisando o comportamento de corpos rígidos, ou seja, com dimensões significativas.
A cinemática de corpos rígidos concentra-se no estudo do movimento de objetos 
que não sofrem deformações. Corpos rígidos são definidos como aqueles nos quais 
as distâncias entre quaisquer dois pontos do corpo permanecem constantes durante 
o movimento. Para entender melhor essa definição, podemos considerar um exemplo 
simples. Imagine um cubo. Se o cubo for um corpo rígido, então as distâncias entre 
quaisquer dois vértices do cubo permanecerão constantes durante o movimento do 
cubo. Isso significa que, se o cubo for girado em torno de um eixo, as distâncias entre 
os vértices do cubo não mudarão.
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UNIDADE I | CINEMÁTICA E CINÉTICA
Ao explorarmos a cinemática de corpos rígidos, nosso enfoque principal reside 
na compreensão do deslocamento e da posição desses corpos no espaço, sem a 
necessidade imediata de considerar as complexidades das forças envolvidas. Essa 
abordagem se revela especialmente útil em situações em que as forças podem ser 
desconhecidas, difíceis de mensurar ou quando o objetivo primordial é simplesmente 
descrever e antecipar o movimento.
Para construir uma base sólida, nos primeiros capítulos, exploraremos o movimento 
de corpos rígidos em um plano. Segundo Hibbeler (2017), o movimento plano de um 
corpo ocorre quando todas as partículas do corpo rígido se deslocam ao longo de 
trajetórias equidistantes de um plano fixo. Dessa forma, adentraremos os três tipos de 
movimento de corpos rígidos: translação, rotação e movimento plano geral.
1.1.1. Translação
A translação é o movimento de um corpo rígido como um todo, sem que haja mudança 
na orientação do corpo. Isso significa que o corpo rígido se move como um único 
bloco, sem girar.
A velocidade de um corpo rígido em translação é a mesma para todos os pontos 
do corpo. Isso significa que, se você medir a velocidade de um ponto qualquer do 
corpo, obterá o mesmo valor que se você medir a velocidade de qualquer outro 
ponto do corpo. Uma consequência importante disso é que uma linha sobre o corpo 
permanece paralela à sua orientação original durante o movimento.
1.1.2. Rotação
A rotação pura é o movimento de um corpo rígido em torno de um eixo fixo. Isso 
significa que o corpo rígido gira em torno de um ponto fixo, sem se mover para frente 
ou para trás. A velocidade de um corpo rígido em rotação não é a mesma para todos 
os pontos do corpo. Isso ocorre porque os pontos que estão mais próximos do eixo 
de rotação se movem mais rápido do que os pontos que estão mais distantes do eixo 
de rotação.
Podemos considerarum exemplo simples. Imagine um disco. Se o disco for um corpo 
rígido e estiver girando em torno de seu eixo central, então o disco girará em torno de 
um ponto fixo, que é o centro do disco. Isso significa que, se você colocar um ponto 
qualquer no disco, o ponto se moverá em círculos ao redor do centro do disco.
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CINEMÁTICA E CINÉTICA | UNIDADE I
1.1.3. Movimento plano geral
Chamamos assim quando o corpo sofre ao mesmo tempo translação e rotação. A 
diferença entre esses movimentos pode ficar mais clara ao observarmos a Figura 1.
Figura 1. Tipos de movimento.
 
Trajetória de translação retilínea 
(a) 
Trajetória de translação curvilínea 
(b) 
Rotação em torno de um eixo fixo 
(c) 
Movimento plano geral 
(d) 
Fonte: Hibbeler (2017).
1.1.4. Conceitos e equações básicas
Inicialmente serão apresentados alguns conceitos e equações básicas vindas da 
análise do movimento de partículas. Embora algumas equações possam parecer 
complexas, ao trabalharmos com exemplos, em momento posterior, elas serão 
facilmente entendidas.
Por praticidade, ao longo deste texto, utilizaremos o recurso em negrito 
para indicar que um termo é um vetor. Para as derivadas temporais de uma 
determinada função, indicaremos a primeira derivada com o operador ponto 
sobrescrito na função, enquanto dois pontos indicam a segunda derivada, e assim 
sucessivamente. Ex.: s , s sendo respectivamente a primeira e a segunda derivada 
de s em relação ao tempo. 
1.1.4.1. Posição e deslocamento
A posição de um corpo em relação a um sistema de referência é um conceito 
fundamental na descrição do movimento. Essa posição é representada por um vetor r, 
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UNIDADE I | CINEMÁTICA E CINÉTICA
em que r(t) indica a posição do corpo em um determinado tempo t. Se considerarmos 
uma partícula como um ponto no corpo rígido, podemos denotar a posição em um 
tempo inicial t1 como r1, e em um tempo posterior (t2) como r2.
O deslocamento de um corpo é a mudança em sua posição ao longo do tempo. Se um 
ponto se desloca entre os tempos t1 e o tempo t2, ele passará de uma posição inicial 
r1 para uma posição final r2. O deslocamento (∆s) entre essas duas pode ser expresso 
pela equação:
∆s= r2 - r1 Eq. 11
1.1.4.2. Velocidade e aceleração
Velocidade: é a taxa de mudança da posição em relação ao tempo. 
Para uma velocidade média, podemos definir como a variação do vetor posição 
dividida pela variação do tempo (∆t).
∆
=
Ǝm d t
rv
Eq. 2
Para definir a velocidade em um determinado momento específico, utilizamos a 
chamada velocidade instantânea (v), e para esta:
= =
d
dt
rv r
Eq. 3
Aceleração: representa a taxa de mudança da velocidade em relação ao tempo.
Assim, para uma aceleração média:
∆
=
Ǝm d t
va
Eq. 4
Ou para a aceleração instantânea:
d
dt
= =
va v
Eq 5
11
CINEMÁTICA E CINÉTICA | UNIDADE I
Podemos perceber, desse modo, uma outra forma de se obter a velocidade instantânea 
(a partir de agora omitiremos instantânea na velocidade e na aceleração; quando for o 
termo médio, estará explícito):
dt∆ = ∫v a Eq. 6
Da mesma forma, podemos fazer para o vetor posição:
dt∆ = ∫r v ou seja, dt∆ =r a∬ Eq. 7
Ou:
2
2
dr
dt
= =
ra
Eq. 8
1.1.5. Esclarecendo os conceitos
Para compreendermos de maneira clara a distinção entre os conceitos, podemos 
recorrer à analogia de uma viagem de carro entre duas cidades, por exemplo, São 
Paulo e Curitiba. As cidades serão nossas posições inicial e final e o deslocamento será 
a distância entre essas cidades, aproximadamente 650 km. Podemos ilustrar, assim, a 
diferença entre esses termos ao longo da jornada.
 » Velocidade média: Suponha que a viagem leve 8 horas para ser concluída. 
Nesse caso, a velocidade média seria calculada dividindo-se a distância total 
pelo tempo total decorrido. Portanto, uma velocidade média de 81,25 km/h 
seria obtida (650 km/8h = 81,25 km/h).
 » Velocidade instantânea: entretanto, se durante a viagem consultarmos o 
indicador de velocidade do veículo em algum momento específico, teremos a 
velocidade instantânea nesse instante, digamos, 100 km/h. Vale ressaltar que 
a velocidade instantânea pode variar significativamente ao longo do tempo, 
dependendo das condições da estrada, tráfego e outras influências.
Essa analogia ilustra como a velocidade média representa uma média geral ao 
longo de todo o percurso, enquanto a velocidade instantânea oferece uma medida 
específica em um ponto particular da jornada. Ambos os conceitos são cruciais para 
uma compreensão abrangente do movimento, sendo a velocidade média uma visão 
mais abrangente e a velocidade instantânea uma visão mais pontual e detalhada.
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UNIDADE I | CINEMÁTICA E CINÉTICA
Da mesma forma, aplica-se a diferença entre a aceleração média e a aceleração 
instantânea.
É importante que esses conceitos estejam claros, e que a sua aplicação ao 
movimento de partículas seja bem entendida antes de iniciarmos nossos estudos 
de corpos rígidos. Para relembrar todos os conceitos, é recomendada uma revisão 
em livros de Física I - Mecânica. Uma boa sugestão é o livro do Halliday, muito 
utilizado em cursos de graduação: 
 » HALLIDAY, David; RESNICK, Robert; WALKER, Jearl. Fundamentos de física V. 
1. 8. ed. Rio de Janeiro, RJ: LTC, 2009.
1.2. Sistema de coordenada
A escolha entre sistemas de coordenadas é muitas vezes ditada pela natureza 
do problema em análise e pela conveniência na descrição de um sistema. As 
coordenadas cartesianas, comumente utilizadas, fornecem uma representação direta 
e intuitiva do espaço tridimensional, facilitando a análise de movimentos em linhas 
retas ou em geometrias simples.
Por outro lado, as coordenadas cilíndricas se destacam ao lidar com sistemas que 
exibem simetria axial, como cilindros ou objetos com características circulares. 
Essa abordagem polar simplifica cálculos em contextos em que a simetria é uma 
vantagem, tornando mais eficiente a descrição de fenômenos, como o movimento 
em torno de um eixo central.
Assim, a escolha entre coordenadas cartesianas e cilíndricas é guiada pela necessidade 
de precisão, simplicidade e eficiência na descrição matemática de um determinado 
sistema ou fenômeno físico. A flexibilidade oferecida pelo uso de diferentes tipos de 
coordenadas permite uma modelagem mais adequada às características específicas 
de cada problema.
1.2.1. Coordenadas cartesianas
Em algumas situações, é mais apropriado descrever o movimento de uma partícula 
ao longo de uma trajetória que pode ser expressa em termos das coordenadas x, y, z. 
Nesses casos, devemos avaliar cada um dos vetores. Se a partícula está localizada em 
um ponto (x, y, z) ao longo da trajetória curva s, conforme ilustrado na Figura 2, sua 
posição é definida pelo vetor posição:
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CINEMÁTICA E CINÉTICA | UNIDADE I
r = rx + ry + rz Eq. 9
Em que rx, ry e rz são, respectivamente, as componentes da posição nas direções x, y e 
z. Conforme a partícula se desloca, as componentes x, y, z de r se tornam funções do 
tempo; ou seja, rx = rx(t), ry = ry(t), rz = rz(t), de modo que r = r(t).
Figura 2. Movimento de uma partícula ao longo de uma coordenada cartesiana.
Fonte: elaborada pelo autor, 2024.
Do mesmo modo, podemos pensar na velocidade e na aceleração como funções de 
suas coordenadas, sendo apresentadas na forma das equações abaixo:
= + +x y zv v v v
Eq. 10
= + +x y za a a a
Eq. 11
Repare que, nesta notação, as componentes dos vetores também estão em 
negrito, mostrando que são vetores também. Poderíamos escrever esses termos, 
por exemplo, a Eq. 9, como r = rxi + ryj + r2k, em que os termos sem negrito 
representam o módulo do vetor, e i, j e k são os vetores unitários na direção de 
cada um dos eixos ordenados, x, y e z, respectivamente. Lembrando que, para o 
cálculo do módulo do vetor, utilizamos a relação do tipo:
2 2 2
x y zr r r r= + +
Eq. 12
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UNIDADE I | CINEMÁTICA E CINÉTICA
1.2.2. Componentes normal e tangencial do movimento
A velocidade de uma partícula que descreve um movimento curvilíneo é um vetor 
tangente à trajetóriadessa partícula. No entanto, em geral, a aceleração não segue 
a tangente da trajetória. Em algumas situações, é útil decompor a aceleração em 
seus componentes, direcionados ao longo da tangente e da normal à trajetória da 
partícula, respectivamente.
É possível ver na Figura 4 que, em qualquer momento, podemos decompor a 
aceleração em duas componentes, uma que aponta para o centro de curvatura da 
trajetória e outra que aponta para uma direção tangencial a trajetória. Conforme 
uma partícula sai da posição P para a posição P’, a sua aceleração tangencial muda 
de at1 para at2. Podemos definir a aceleração total da partícula como:
a = an + at Eq. 13
Em que, 
ta v=  Eq. 14
e 
2vaθ ρ
=
Eq. 15
Figura 3. Componentes normal e tangencial da aceleração.
Fonte: elaborada pelo autor, 2024.
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CINEMÁTICA E CINÉTICA | UNIDADE I
Nesse caso, ρ será o raio de curvatura da trajetória. Caso a partícula se mova com 
um raio fixo, por exemplo, um ponto qualquer de uma roda gigante, ρ será o próprio 
raio R da roda. Em caso de variação de ρ, devemos calcular o seu valor instantâneo, 
dado pela fórmula:
( )
3/22
2 2
1 /
/
dy dx
d y dx
ρ
 +  =
Eq. 16
Segundo Hibbeler (2017), podemos concluir que a componente tangencial da 
aceleração representa a taxa de variação temporal na intensidade da velocidade, 
enquanto a componente normal da aceleração representa a taxa de variação 
temporal na direção da velocidade. Visto que an sempre age na direção do centro 
de curvatura, essa componente é às vezes referida como a aceleração centrípeta (ou 
que busca o centro).
1.2.3. Coordenadas cilíndricas
Em determinadas situações, a descrição mais apropriada do movimento de uma 
partícula ocorre quando restrito a uma trajetória que se beneficia do uso de 
coordenadas cilíndricas. Quando o movimento está restrito a um plano (bidimensional), 
optamos por coordenadas polares para uma representação mais eficaz.
Segundo Beer et al. (2012), em alguns cenários de problemas envolvendo movimento 
no plano, a localização da partícula P é caracterizada por suas coordenadas polares 
r e θ na Figura 3. Nesse contexto, torna-se vantajoso decompor a velocidade e a 
aceleração da partícula em componentes que são paralelas e perpendiculares, 
respectivamente, à linha OP. Essas grandezas desmembradas são conhecidas como 
componentes radial e transversal.
Figura 4. Partícula P em um plano definido pelas coordenadas r e θ. 
Fonte: elaborada pelo autor, 2024.
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UNIDADE I | CINEMÁTICA E CINÉTICA
1.2.3.1. Velocidade
Em qualquer instante a velocidade total será dada pela derivada do vetor posição no 
tempo. Assim, fazendo a derivada e rearranjando os termos, teremos:
= = +
rèv r v v Eq. 17
Em que: 
rv r=  Eq. 18
E:
v rθ θ= 
Eq. 19
Sendo r o módulo de r.
O termo θ é a variação do ângulo θ com o tempo ( /d dtθ ), e é chamado de 
velocidade angular, tipicamente dada em radianos/segundo. Quando multiplicada 
por r, o resultado será a velocidade na direção θ, e se r estiver em metros, resultará 
em metros/segundo.
1.2.3.2. Aceleração
Da mesma forma que para a velocidade, utilizaremos a definição da aceleração em 
termos de derivada para calculá-la; dessa vez, derivando a velocidade em relação ao 
tempo. Assim, fazendo a derivada e rearranjando os termos, teremos:
v θ= = + ra a a Eq. 20
Em que: 
2
ra r rθ= − 
Eq. 21
E:
2a r rθ θ θ= + 

Eq. 22
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CINEMÁTICA E CINÉTICA | UNIDADE I
O termo θ é a aceleração angular do ponto.
O aluno atento poderá notar que surgem diversos termos novos nessas equações. 
Nesta apostila, não focaremos as deduções desses termos, mas basta que o 
aluno imagine uma partícula que se move ao mesmo tempo na direção r e θ. A 
velocidade na direção r poderá variar como função de θ e vice-versa. Dessa forma, 
embora a velocidade na direção θ seja dada apenas pelo produto da velocidade 
angular (θ ) por r, ao derivarmos a velocidade para calcular a aceleração, 
aparecerão termos relativos às variações de vr e vθ nas direções θ e r.
1.3. Movimento de translação pura
Segundo Zilio e Bagnato (2015), um corpo rígido é composto por um conjunto de 
partículas (massas pontuais) arranjadas de modo que as distâncias relativas entre 
elas permaneçam fixas. As leis da mecânica de ponto ainda são aplicáveis quando 
consideramos apenas o movimento do centro de massa do corpo rígido. Além 
do movimento translacional descrito pelas leis de Newton, o corpo também pode 
experimentar rotação em torno de um eixo, que pode passar pelo seu centro de 
massa. Portanto, para determinar com precisão a posição de um corpo rígido, é 
necessário compreender o movimento do seu centro de massa e o ângulo de rotação 
associado. Iniciaremos nossos estudos avaliando a translação.
A translação de corpos rígidos é um conceito fundamental que descreve o movimento 
de um corpo rígido como um todo, sem alterar sua orientação. Esse fenômeno é 
caracterizado pelo deslocamento paralelo de todas as partículas constituintes do corpo, 
mantendo constantes as distâncias relativas entre elas.
Ao considerar a translação, concentramo-nos no movimento global do centro de 
massa do corpo rígido. O centro de massa é um ponto fictício que representa a 
distribuição média de massa do corpo, e seu deslocamento linear é descrito pelas leis 
fundamentais da dinâmica, como as leis de Newton.
Durante a translação, todas as partículas do corpo rígido percorrem trajetórias 
paralelas, mantendo uma relação constante entre elas. Esse comportamento 
simplifica significativamente a análise do movimento, permitindo-nos aplicar 
conceitos como velocidade e aceleração para descrever quantitativamente a 
translação do corpo. Considerando dois pontos sobre um corpo rígido, conforme 
a Figura 5, e observando que o corpo se move apenas devido à translação, ou seja, 
sua orientação não será alterada, fica simples observar três considerações simples.
18
UNIDADE I | CINEMÁTICA E CINÉTICA
1.3.1. Posição dos pontos
A distância entre os pontos não será alterada (aqui, consideramos o corpo 
indeformável), mas a posição em relação a um referencial fixo irá variar com o tempo. 
Como definimos anteriormente, a posição dos pontos A e B em relação ao referencial 
inercial é dado por rA e rB respectivamente. A posição de B em relação a A, ou a 
distância entre eles, pode ser representada por rB/A. Assim, podemos pensar em uma 
situação hipotética: caso saibamos a posição de A em relação a um ponto inercial, mas 
não saibamos a de B, como podemos determinar a posição de B?
Por óbvio, podemos pensar que seria a posição de A mais a distância de B até A 
(posição relativa), ou seja rB = rA + rB/A.
Figura 5. Corpo rígido em translação.
 
Sistema de 
coordenadas 
de translação 
Sistema de 
coordenadas fixo 
Fonte: Hibbeler (2017).
1.3.2. Velocidade
Como o corpo se move como uma unidade, podemos ver facilmente que vA = vB = vG, 
em que o índice G indica o centro de gravidade.
1.3.3. Aceleração
Da mesma forma que para a velocidade, aA = aB = aG.
É importante destacar que, durante a translação, a orientação do corpo rígido 
não sofre alterações, e ele se move como uma entidade coesa. Esse conceito é 
fundamental na compreensão de sistemas mecânicos mais complexos, em que a 
translação frequentemente coexiste com outros tipos de movimentos, como rotação.
Em resumo, a translação de corpos rígidos representa o movimento linear do centro 
de massa do corpo, proporcionando uma base crucial para a análise de sistemas 
19
CINEMÁTICA E CINÉTICA | UNIDADE I
mecânicos e a compreensão do comportamento dinâmico de objetos sólidos em 
movimento.
1.4. Movimento de rotação pura
Além da translação, a rotação pura é um fenômeno importante que ocorre em corpos 
rígidos. Enquanto a translação descreve o movimento linear do centro de massa 
do corpo, a rotação pura se refere à oscilação angular ao redor de um eixo fixo. 
Durante a rotação pura, as partículas individuais do corpo rígido mantêm distâncias 
constantes entre si, mas a orientaçãoglobal do corpo muda continuamente.
A rotação pura é caracterizada pelo movimento circular de cada partícula em torno 
do eixo de rotação, com velocidades angulares idênticas para todas as partículas. 
Essa movimentação em círculo é descrita por leis específicas, como a lei de 
conservação de momento angular (que discutiremos mais adiante), que relaciona o 
torque aplicado a um corpo à sua taxa de rotação.
Vamos examinar algumas grandezas físicas essenciais para descrever a rotação de 
um corpo rígido em torno de um eixo fixo. Suponhamos a presença de um ponto 
situado a uma distância r do eixo de rotação, de modo que seu vetor posição forme 
um ângulo θ com a linha tracejada horizontal, conforme a Figura 6.
Figura 6. Rotação de um corpo rígido em torno de um eixo fixo.
Fonte: Zilio e Bagnato (2015).
A velocidade angular de um corpo é expressa como a taxa de variação temporal do 
ângulo θ, conforme definido anteriormente. Pode ser representado por:
( ) dt
dt
θω =
Eq. 23
20
UNIDADE I | CINEMÁTICA E CINÉTICA
É importante notar que a velocidade angular ω(t) pode depender do tempo, e sua 
variação define a aceleração angular α:
( )
2
2
d dt
dtdt
θ ωα = =
Eq. 24
Durante um intervalo de tempo dt, um ponto localizado a uma distância r do eixo 
de rotação percorre um arco ds = rdθ = rωdt. Ou seja, s representa a trajetória do 
ponto, assim, a intensidade da velocidade desse ponto será dada por:
dsv r
dt
ω= =
Eq. 25
Ou na sua forma vetorial, será dado pelo produto vetorial entre a velocidade angular 
e o vetor posição de P em relação ao eixo de rotação (rp). 
pv rω= × Eq. 26
Como o corpo possui apenas rotação, a velocidade dele será apenas tangencial, 
semelhante à discutida anteriormente. Podemos enxergar o vetor velocidade de 
forma visual também, calculando o seu módulo de acordo com a Eq. 25, e determinar 
a direção do vetor pela regra da mão direita.
1.4.1. Regra da mão direita
Imagine que você tenha dois vetores, A e B. Aqui estão os passos usando a regra da 
mão direita para encontrar o produto vetorial A×B:
 » Aponte o primeiro dedo (indicador) na direção do vetor A.
 » Aponte o segundo dedo (médio) na direção do vetor B.
 » O polegar estendido, apontando perpendicularmente ao plano formado pelos 
dedos indicador e médio, mostrará a direção do vetor resultante de A×B.
Note que, em um produto vetorial, a ordem dos termos é importante, e o produto 
rp x ω seria diferente. Se usarmos a regra da mão direita para esse produto, 
podemos enxergar isso mais facilmente.
21
CINEMÁTICA E CINÉTICA | UNIDADE I
Nesse contexto, a aceleração do ponto pode ser expressa em termos de suas 
componentes normais e tangenciais. Para a aceleração tangencial, visto que a 
distância r permanece constante durante a rotação de um corpo rígido, essa 
aceleração tangencial é definida como:
at = αr Eq. 27
Como o ponto descreve um movimento circular, ele também está sujeito à aceleração 
normal ou centrípeta, que é dada por:
an = ω2r Eq. 28
A componente tangencial da aceleração reflete a variação temporal na magnitude 
da velocidade. Quando a velocidade do ponto está aumentando, a componente 
tangencial da aceleração (at) atua na mesma direção que v. Se a velocidade está 
diminuindo, at age na direção oposta a v. Finalmente, quando a velocidade é 
constante, at é igual a zero.
A componente normal da aceleração representa a taxa temporal de variação na 
direção da velocidade. A direção da componente normal (an) é sempre voltada para 
o ponto O, o centro da trajetória circular.
Assim como a velocidade, a aceleração do ponto P pode ser expressa em termos de 
suas componentes.
a = at + an = α x r - ω2r Eq. 29
Observem que o sinal negativo da equação surge de o sentido da aceleração normal 
ser sempre para o centro da trajetória.
Como para todos os vetores, podemos calcular o módulo (ou intensidade) da 
aceleração:
2 2
t na a a= + Eq. 30
1.5. Movimento plano geral
Um corpo em movimento plano geral realiza simultaneamente translação e rotação. 
Se visualizarmos o corpo como uma placa fina, essa placa translada em seu plano e 
22
UNIDADE I | CINEMÁTICA E CINÉTICA
ao mesmo tempo gira em torno de um eixo perpendicular a esse plano. Podemos 
descrever completamente esse movimento conhecendo dois aspectos: a rotação 
angular de uma linha fixa no corpo e o movimento de um ponto específico sobre o 
corpo.
Uma forma de relacionar esses movimentos é utilizar duas coordenadas: uma 
coordenada linear (s) para indicar a posição ao longo da trajetória do ponto e 
uma coordenada angular (θ) para especificar a orientação da linha. A relação entre 
essas coordenadas é estabelecida através da geometria do problema. Aplicando 
diretamente o conjunto de equações diferenciais em relação ao tempo (v = ds/dt, 
a = dv/dt, ω = dθ/dt, α = dω/dt), podemos conectar o movimento do ponto e a 
rotação da linha.
Esse método é semelhante à abordagem utilizada para resolver problemas com 
movimento dependente, como aqueles envolvendo polias.
Em alguns casos, podemos aplicar esse mesmo procedimento para relacionar o 
movimento de um corpo que está se movendo por rotação em torno de um eixo fixo 
ou realizando uma translação, até mesmo àquele de um corpo conectado que está 
passando por um movimento plano geral.
1.5.1. O movimento plano geral decomposto – movimento 
relativo
O movimento plano geral de um corpo rígido pode ser decomposto em uma 
combinação de translação e rotação. Para analisar esses movimentos separadamente, 
adotamos uma abordagem de movimento relativo, utilizando dois conjuntos de eixos 
coordenados. Essa abordagem é muito utilizada, sobretudo na análise de eixos e 
engrenagens mecânicas.
A forma mais simples de fazer essa decomposição e de entender o sistema é imaginar 
dois pontos em um corpo sujeito a rotação e translação, os pontos A e B. O ponto 
A estará na linha de rotação do corpo, ou seja, ele gira em torno de A, e o ponto B 
estará em qualquer ponto diferente da linha de rotação. Assim, podemos perceber 
que A, como é apenas um ponto e, portanto, r = 0, terá velocidade e aceleração 
tangencial igual a zero, e podemos descrever o seu movimento como sendo apenas 
de translação. Por outro lado, B sofrerá rotação e translação.
Podemos, então, determinar o movimento de A e, conforme comentado anteriormente, 
determinar o movimento de B relativo a A. Para a posição, isso já foi feito:
23
CINEMÁTICA E CINÉTICA | UNIDADE I
/B A B A= +r r r Eq. 31
Considerando agora a velocidade, podemos escrever:
/B A B A= +v v v Eq. 32
Ou seja, a velocidade de B é igual à velocidade de A mais a velocidade de B em relação 
a A. Como a velocidade de translação dos dois pontos é a mesma (pois estão em um 
corpo rígido), a velocidade de B em relação a A será apenas a velocidade de rotação, 
ou seja, o produto da velocidade angular pela distância de B até A:
/B A B Av v rω= + × Eq. 33
1.5.2. Centro instantâneo de velocidade nula (CI)
O centro instantâneo de velocidade nula é um conceito importante em cinemática 
para corpos rígidos em movimento plano. Ele representa um ponto no corpo rígido 
em que, em um determinado instante, a velocidade é momentaneamente zero. 
Esse ponto é crucial para entender o movimento relativo de diferentes partes do 
corpo em um dado momento.
A definição precisa do centro instantâneo de velocidade nula pode variar dependendo 
do tipo de movimento envolvido. Vamos considerar o caso de um corpo rígido em 
movimento plano.
Suponha que você tenha um corpo rígido em movimento plano composto por várias 
partículas. Para encontrar o centro instantâneo de velocidade nula, siga estes passos:
1. Escolha duas partículas:
 › Selecione duas partículas distintas no corpo rígido.
2. Determine as velocidades:
 › Calcule as velocidades lineares das duas partículas escolhidas em relação ao 
plano de movimento.
3. Trace perpendiculares:
 › Desenhe retas perpendiculares às direções das velocidades nas duas partículas.
4. Interseção das retas:
 › O ponto de interseção dessas retas éo centro instantâneo de velocidade nula.
24
UNIDADE I | CINEMÁTICA E CINÉTICA
Para visualizar de forma mais simplificada, podemos imaginar um pneu de carro ou 
bicicleta que está se movendo. Considerando o chão como o referencial, em qualquer 
momento o ponto P que está em contato com o solo terá velocidade zero em relação 
ao solo. Assim, o pneu estará sujeito a apenas rotação em torno desse ponto, que será 
o eixo de rotação.
Se representarmos graficamente a velocidade em dois pontos distintos de P e 
traçarmos um eixo perpendicular ao vetor de velocidade para os dois pontos, veremos 
que as duas linhas cruzam em P.
Esse conceito é especialmente útil para analisar o movimento relativo de diferentes 
partes de um corpo rígido, permitindo uma compreensão mais profunda do 
comportamento cinemático em um determinado instante e facilitando muito a 
análise em diferentes casos.
1.5.3. Aceleração relativa
A aceleração relativa é a medida da variação na velocidade de uma partícula em 
relação a outra em um corpo rígido. Em outras palavras, é a aceleração percebida por 
uma partícula em relação a outra no mesmo corpo.
É importante enfatizar que temos acelerações normais e tangenciais, dessa forma:
/ /( ) ( )B A B A t B A n= + +a a a a Eq. 34
Ou seja, a aceleração do ponto B será a aceleração absoluta do ponto A somada 
das acelerações normais e tangenciais de B em relação a A, que também pode ser 
representada por:
2
/ /B A B A B Aa a r rα ω= + × − Eq. 35
25
CAPÍTULO 2 
CINÉTICA DE CORPOS RÍGIDOS
2.1. Introdução
A investigação da parte cinética na dinâmica de corpos rígidos emerge como um campo 
vasto e intrinsecamente fundamental no estudo do movimento e comportamento dos 
sistemas mecânicos. Essa vertente aprofundada explora meticulosamente como as 
forças e torques, componentes essenciais da dinâmica, desempenham papéis cruciais 
na modelagem do movimento de corpos rígidos. Essa análise aprimorada vai além 
da simples observação do movimento, pois busca entender, de maneira detalhada, 
as interações entre as forças aplicadas e as respostas resultantes desses corpos, 
considerando tanto a translação quanto a rotação.
2.1.1. Comparação com cinemática
É imperativo ressaltar a distinção entre cinemática e cinética para uma compreensão 
completa do movimento. Se a cinemática se concentra na descrição pura das 
posições, velocidades e acelerações, a cinética adiciona uma camada crucial ao 
incorporar as forças e torques, permitindo uma compreensão não apenas do “como” 
os corpos se movem, mas também do “porquê” desse movimento específico. Na 
cinemática temos conhecimento apenas de que o corpo se move, mas não sabemos 
devido a quê, quais forças externas geraram esse movimento.
Para entender a origem do movimento, a cinética faz uso das leis de Newton aplicadas 
a diversos sistemas.
2.1.2. Princípios de Newton
Os princípios fundamentais da segunda lei de Newton são estendidos para ambas 
as formas de movimento. Na translação, a soma das forças aplicadas resulta em 
uma aceleração linear, enquanto na rotação, a soma dos torques aplicados resulta 
em uma aceleração angular. Essa aplicação dos princípios de Newton possibilita a 
compreensão das relações entre as forças e os movimentos correspondentes nos 
corpos rígidos.
A aplicação prática dos princípios fundamentais da segunda lei de Newton, tanto em 
translação quanto em rotação, representa o cerne da dinâmica de corpos rígidos. O 
entendimento de que a soma das forças resulta em aceleração linear na translação 
26
UNIDADE I | CINEMÁTICA E CINÉTICA
e que a soma dos torques resulta em aceleração angular na rotação é crucial. Essa 
aplicação direta desses princípios newtonianos oferece insights profundos sobre 
como as forças afetam e modelam o movimento desses corpos complexos.
2.1.3. Análise detalhada e ferramentas de engenharia
A análise cinética oferece uma abordagem detalhada na investigação das forças e 
torques que moldam o comportamento dos corpos rígidos. O emprego de ferramentas 
como diagramas de corpo livre, equações de movimento e métodos matemáticos 
avançados capacita os engenheiros a modelar e compreender o comportamento 
intricado desses sistemas mecânicos complexos. Essa compreensão detalhada 
é essencial para a otimização de projetos, garantindo a eficiência operacional e 
permitindo previsões precisas do desempenho em diversas condições.
A análise deste capítulo se estende também para incluir aspectos energéticos. 
Aqui, entra em cena a energia cinética, o trabalho realizado por forças e binários, 
e o princípio fundamental do trabalho e energia. Outro conceito importante 
que devemos discutir é o impulso e a quantidade de movimento, introduzindo 
os princípios da conservação da quantidade de movimento. Esse tópico explora 
as mudanças nas quantidades de movimento linear e angular, fornecendo uma 
perspectiva abrangente sobre como forças aplicadas podem alterar o estado 
de movimento de um corpo rígido. Esses conceitos fornecem uma abordagem 
alternativa e valiosa para compreender as complexas interações envolvidas no 
movimento de corpos rígidos, adicionando um novo nível de perspicácia à cinética.
Assim, a cinética de corpos rígidos encontra aplicações abrangentes na engenharia, 
desempenhando um papel vital em diversos contextos. Desde o design de motores 
e veículos até a análise estrutural de pontes e edifícios, a compreensão aprofundada 
da dinâmica cinética é indispensável. Essa compreensão permite aos engenheiros 
antecipar e corrigir potenciais problemas mecânicos, contribuindo significativamente 
para a segurança e eficácia de uma ampla gama de aplicações práticas. Essa é uma 
visão abrangente, e existem muitos aspectos específicos que podem requerer maior 
exploração e detalhamento.
2.2. Forças e acelerações – translação
As forças externas exercendo sua influência sobre o corpo na Figura 7 encapsulam 
uma variedade de interações, abrangendo desde as forças gravitacionais, elétricas 
e magnéticas até aquelas derivadas do contato direto entre corpos adjacentes. Essa 
gama diversificada de forças, proveniente de distintas fontes físicas, contribui para 
27
CINEMÁTICA E CINÉTICA | UNIDADE I
a complexidade das influências externas que moldam o comportamento dinâmico 
do sistema em questão.
Figura 7. Representação das forças agindo sobre um corpo.
Fonte: Beer; Johnston; Cornwell (2012).
A segunda lei de Newton é uma pedra angular na análise dinâmica de corpos rígidos, 
oferecendo um arcabouço teórico fundamental para entender como as forças 
afetam o movimento desses sistemas mecânicos. Essa lei estabelece uma relação 
direta entre a força aplicada a um corpo e a aceleração resultante desse corpo. 
Na dinâmica de corpos rígidos, a segunda lei de Newton é expressa em termos de 
movimento de translação e rotação.
Para a translação, a segunda lei de Newton estabelece que a soma vetorial de todas 
as forças aplicadas a um corpo é igual ao produto da massa do corpo pela aceleração 
linear de seu centro de gravidade. Matematicamente, isso pode ser expresso como:
Gm∑ =F a Eq. 36
Para o movimento no plano x-y, podemos decompor a força em suas componentes:
G xm∑ =xF a Eq. 37
G ym∑ =yF a
Eq. 38
Ou seja, os conceitos de mecânica de partícula ainda são válidos para aplicação aos 
corpos rígidos, porém devemos considerar sempre o centro de massa do corpo.
28
UNIDADE I | CINEMÁTICA E CINÉTICA
2.2.1. Quantidade de movimento linear
A conservação da quantidade de movimento linear (ou simplesmente quantidade de 
movimento, representada por L) é um princípio fundamental na física que descreve 
como o movimento de um corpo rígido é afetado pelas forças que atuam sobre ele.
Definindo a quantidade de movimento linear (L): a quantidade de movimento 
linear é o produto da massa de um corpo pela sua velocidade. Matematicamente, 
é expressa como L=m⋅vG, em que m é a massa do corpo e vG é a velocidade de 
seu centro de massa. Em termos mais simples, é uma medida da quantidade de 
movimento que um corpopossui devido à sua massa e velocidade.
Princípio de conservação (Linicial = Lfinal): o princípio da conservação da quantidade 
de movimento linear afirma que, em um sistema isolado (sem forças externas 
atuando), a quantidade total de movimento linear antes de um evento é igual à 
quantidade total após o evento. Em outras palavras, a quantidade de movimento 
linear total do sistema permanece constante. Da mesma forma que aplicamos esse 
conceito para movimento de partículas, podemos usar o mesmo princípio para 
cálculos envolvendo corpos rígidos. Note que a velocidade utilizada deve ser a 
velocidade linear do corpo.
Aplicações práticas: vamos considerar um exemplo prático. Imagine dois 
patinadores de massas diferentes inicialmente em repouso em uma pista de 
gelo. Quando eles se afastam um do outro, observamos que, de acordo com a 
conservação da quantidade de movimento linear, a soma total de suas quantidades 
de movimento iniciais deve ser igual à soma total de suas quantidades de 
movimento finais.
Se um patinador se move para a direita, o outro deve se mover para a esquerda de 
maneira que a quantidade total de movimento linear seja preservada. A relação é 
dada por (m1 v1)inicial + (m2 v2)inicial = (m1v1)final + (m2 v2)final .
Essa conservação da quantidade de movimento linear é crucial em muitos contextos, 
desde a física de partículas até colisões em esportes. Ela fornece uma ferramenta 
valiosa para prever e entender como as interações entre objetos afetam seus 
movimentos em sistemas fechados.
2.3. Forças e acelerações – rotação
Quando se trata da rotação, a segunda lei de Newton para corpos rígidos conecta a 
soma dos torques (forças rotacionais) aplicados a um corpo à sua aceleração angular. 
29
CINEMÁTICA E CINÉTICA | UNIDADE I
Para entendermos essa relação, precisamos inicialmente definir momento de uma 
força e momento de inércia.
2.3.1. Momento de uma força (torque)
O momento em torno de um ponto é um conceito crucial na análise de movimentos 
rotacionais, pois ele descreve a tendência de uma força giratória agir sobre um 
objeto em relação a um ponto específico. O momento em torno de um ponto O, 
frequentemente denotado como MO, é calculado multiplicando a força aplicada pelo 
braço de alavanca, que é a distância perpendicular entre o ponto de aplicação da 
força e o ponto de rotação.
A fórmula geral para o momento de uma força FA em torno de um ponto O é dada por:
O A= ×M r F Eq. 39
Em que:
 » M0 é o momento.
 » r é o vetor de posição que aponta do ponto de rotação até a linha de ação da 
força.
 » FA é o vetor de força aplicada.
O momento é uma grandeza vetorial, o que significa que sua direção é determinada 
pela regra da mão direita. Se você apontar o dedo indicador ao longo de r e o dedo 
médio ao longo de F, então o polegar indica a direção do momento.
O ponto em torno do qual o momento é calculado é crucial, pois afeta a resposta 
do corpo rígido às forças aplicadas. O momento resultante em torno de um ponto 
pode ser expresso como a soma dos momentos individuais causados por diferentes 
forças. Essa abordagem é particularmente útil ao analisar sistemas complexos, em 
que várias forças atuam em pontos diferentes.
2.3.2. Momento de inércia
Na cinética de corpos rígidos, o momento de inércia surge como um conceito central 
na descrição do movimento rotacional. Esse momento, que depende da distribuição 
de massa em torno do eixo de rotação, desempenha um papel análogo à massa na 
translação, influenciando a facilidade com que um corpo rígido pode ser acelerado 
em rotação. O momento de inércia de um corpo também estará sempre relacionado 
30
UNIDADE I | CINEMÁTICA E CINÉTICA
a um eixo de rotação; dessa forma, costuma-se representar o momento de inércia em 
torno do eixo O como I0.
Neste capítulo, vamos nos limitar a dar a definição do momento de inércia, o qual 
será discutido com mais detalhes no capítulo 2 da Unidade II.
2.3.3. Segunda lei de Newton para rotação (equações de Euler)
Podemos agora partir para a aplicação da segunda lei de Newton para rotação.
A segunda lei de Newton para rotação é uma extensão dos princípios fundamentais 
da dinâmica que descreve o movimento angular de objetos. Essa lei é fundamental 
para entender como os corpos rígidos respondem a torques, que são forças 
rotacionais.
A segunda lei de Newton para rotação afirma que o torque, ou momento (M), que é a 
força rotacional aplicada a um corpo rígido, é diretamente proporcional à aceleração 
angular (α) que ele experimenta. Essa relação é expressa pela fórmula:
α∑ = ×MO OI Eq. 40
Segundo Hibbeler, essa equação de movimento rotacional estabelece que a soma 
dos momentos de todas as forças externas em relação ao centro de massa G do 
corpo é igual ao produto do momento de inércia do corpo em relação a um eixo 
passando por O e a aceleração angular do corpo.
2.3.4. Conservação da quantidade de movimento angular
A quantidade de movimento angular (H) é uma grandeza física associada ao 
movimento de rotação de um corpo em torno de um eixo específico. Ela é análoga à 
quantidade de movimento linear (L) no movimento de translação. A quantidade de 
movimento angular é definida como o produto do momento de inércia (I) do corpo 
e sua velocidade angular (ω).
ω=O OIH Eq. 41
A quantidade de movimento angular possui uma relação próxima com o momento de 
uma força, pois ele é definido como a taxa de variação temporal de L, ou seja:
31
CINEMÁTICA E CINÉTICA | UNIDADE I
∑ = O
O
d
dt
H
M
Eq. 42
Essencialmente, o torque aplicado a um corpo em rotação é igual à taxa de 
mudança de sua quantidade de movimento angular em relação ao tempo. Se o 
torque resultante em um sistema é zero (M = 0), não há variação na quantidade de 
movimento angular, indicando que o momento angular do corpo é constante. Dessa 
forma, semelhante à conservação de momento linear, quando as forças resultantes 
sobre um ponto são iguais a zero, gerando aceleração linear nula, temos também 
a conservação da quantidade de movimento angular, quando a aceleração angular 
será nula.
A conservação do momento angular é um princípio que se manifesta quando a 
grandeza física, conhecida como quantidade de momento angular, permanece 
constante ao longo do movimento de rotação de um corpo em torno de um eixo 
específico.
Analogamente à conservação do momento linear, que se aplica à translação, a 
quantidade de momento angular é preservada quando não há forças externas 
agindo sobre o corpo ou quando a resultante dessas forças é nula. Para garantir a 
conservação do momento angular, é crucial que não haja torque atuando sobre o 
corpo em rotação, ou seja, que a somatória dos toques seja igual a zero.
É interessante notar a relação entre a força e o movimento de translação, assim 
como entre o torque e o movimento de rotação. Uma ilustração prática desse 
conceito pode ser observada em uma bailarina. Inicialmente girando nas pontas dos 
pés com uma certa velocidade angular ω1 e momento de inércia I1 (braços abertos), 
ela aumenta sua velocidade angular ao fechar os braços, concentrando sua massa 
mais próxima ao eixo de rotação e diminuindo o momento de inércia.
Ao aproximar a distribuição de massa do eixo de rotação, reduzindo o momento de 
inércia, a bailarina aumenta a velocidade angular, facilitando a variação na velocidade 
de rotação. Esse fenômeno está intrinsecamente ligado à conservação do momento 
angular.
32
UNIDADE I | CINEMÁTICA E CINÉTICA
Figura 8. Bailarina em duas posições de giro distintas.
 Bailarina em posição de giro 
Fonte: https://vamosestudarfisica.com/conservacao-do-momento-angular-o-que-significa/#:~:text=A%20
Conserva%C3%A7%C3%A3o%20do%20Momento%20Angular,em%20torno%20de%20um%20eixo.
No cenário da bailarina, ao diminuir o momento de inércia ao aproximar os braços 
do corpo (eixo de rotação), a velocidade angular aumenta para manter constante 
o momento angular. Isso é expresso pela equação L1 = L2 , em que o momento 
angular inicial (braços abertos) é igual ao momento angularfinal (braços fechados), 
considerando que não há torque significativo nas pontas dos pés que possa alterar a 
rotação da bailarina.
Paraquedistas também fazem uso desse princípio ao ajustar a distribuição de sua 
massa. Ao estender um braço ou uma perna, ele aumenta o momento de inércia 
em relação ao eixo de rotação (geralmente o eixo vertical, passando pelo centro 
de massa dele). Como o momento angular total deve ser mantido constante na 
ausência de torques externos, ao aumentar o momento de inércia, a velocidade 
angular deve diminuir.
Posteriormente, quando o paraquedista retrai a perna ou o braço, reduzindo 
o momento de inércia, a velocidade angular aumenta para manter a 
constância da quantidade de movimento angular total. Esse movimento é uma 
aplicação prática da conservação da quantidade de movimento angular e é 
frequentemente observado em atividades de paraquedismo para controle de 
orientação e velocidade de rotação.
2.4. Conservação de energia
A conservação de energia é um princípio fundamental na física que descreve a 
constância da energia total de um sistema isolado ao longo do tempo. Quando 
aplicada a corpos rígidos, esse conceito se torna essencial para entender como a 
energia do sistema se transforma entre diferentes formas durante o movimento.
33
CINEMÁTICA E CINÉTICA | UNIDADE I
Em um contexto de corpos rígidos, a conservação de energia abrange as formas 
translacionais e rotacionais de energia. A energia translacional está associada ao 
movimento linear do corpo, enquanto a energia rotacional está relacionada ao seu 
movimento de rotação em torno de um eixo.
A expressão geral da conservação de energia para corpos rígidos é dada pela soma 
da energia cinética (T) e da energia potencial (V). Matematicamente, isso pode ser 
expresso como:
T + V = constante
 » Energia cinética (Tt):
T = Tt + Tr Eq. 43
 › Energia cinética translacional (Tt): representa a energia associada ao movimento 
linear do corpo e é dada por:
= 21
2tT mv
Eq. 43
em que m é a massa do corpo e v é sua velocidade linear.
 › Energia cinética rotacional (Tr): representa a energia associada ao movimento 
de rotação do corpo e é dada por:
ω= 21
2rT I
Eq. 44
em que I é o momento de inércia do corpo em relação ao eixo de rotação e ω 
é a velocidade angular.
 » Energia potencial (V): quando um corpo rígido é submetido a um sistema 
de forças constituído exclusivamente por forças conservativas, é possível 
empregar o teorema da conservação da energia para resolver um problema 
que, de outra forma, seria abordado pelo princípio do trabalho e energia. A 
aplicação desse teorema frequentemente se torna mais simples, uma vez que 
o trabalho realizado por uma força conservativa é independente da trajetória 
e, em vez disso, depende unicamente das posições inicial e final do corpo. 
O trabalho realizado por uma força conservativa pode ser expresso como a 
diferença na energia potencial do corpo, medida em relação a um datum ou 
uma referência escolhida arbitrariamente.
34
UNIDADE I | CINEMÁTICA E CINÉTICA
V = Vg + Ve Eq. 45
 › Energia Potencial Gravitacional (Vg): Representa a energia devido à posição do 
corpo em um campo gravitacional e é dada por:
Vg = mgh Eq. 46
Em que g é a aceleração devida à gravidade e ℎ é a altura do corpo acima de 
uma referência.
 › Energia potencial elástica (Ve): a energia potencial elástica em uma mola pode 
ser calculada usando a fórmula:
= 21
2eV ks
Eq. 47
Em que k é a constante elástica da mola e s é a deformação (compressão ou 
extensão) da mola a partir de sua posição de equilíbrio.
Durante um processo em que a mola está envolvida, como compressão e 
subsequente liberação, a conservação de energia mecânica também se aplica. 
A energia potencial elástica inicial é convertida em energia cinética à medida 
que a mola se expande ou comprime, e vice-versa.
Exemplo prático: considere um sistema composto por um bloco preso a uma 
mola. Se o bloco é comprimido contra a mola e depois liberado, a energia 
potencial elástica armazenada na mola é convertida em energia cinética do 
bloco à medida que ele se move. Em seguida, durante o retorno do bloco à sua 
posição inicial, a energia cinética é novamente convertida em energia potencial 
elástica.
Ao longo do movimento do corpo, essas diferentes formas de energia podem se 
transformar umas nas outras, mas a soma total permanece constante em um sistema 
isolado, desde que nenhuma força externa realize trabalho ou nenhum torque externo 
aplique um momento angular. Podemos escrever:
T1 + V1 = T2 +V2 Eq. 48
A conservação de energia é uma ferramenta poderosa para analisar o comportamento 
de corpos rígidos, permitindo prever a evolução de suas energias e entender como 
diferentes fatores influenciam o sistema ao longo do tempo.
35
REFERÊNCIAS
BEER, Ferdinand P.; JOHNSTON JUNIOR, Russel; CORNWELL, Phillip J.; Dinâmica: Mecânica Vetorial para 
Engenheiros. 9. ed. São Paulo: McGraw-Hill, 2012.
BERNARDO, N. Conservação do Momento Angular: o que significa? 2017. Disponível em: https://
vamosestudarfisica.com/conservacao-do-momento-angular-o-que-significa/#:~:text=A%20
Conserva%C3%A7%C3%A3o%20do%20Momento%20Angular,em%20torno%20de%20um%20eixo. 
Acesso em: 15 abr. 2024.
CHAVES, J. C. et al. Octave and Python: High-Level Scripting Languages Productivity and Performance 
Evaluation. Proceedings... HPCMP USERS GROUP CONFERENCE, 6, [Denver]. [S.l]: IEEE, pp. 429-434, 2006.
HAHN, B. H.; VALENTINE, D. T. Essential MATLAB for Engineers and Scientists. [S.l.]: Elsevier, 2017.
HAHN, Hubert. Rigid body dynamics of mechanisms: 1 Theoretical Basis. Berlin: Springer, 2002.
HALLIDAY, David; RESNICK, Robert; WALKER, Jearl. Fundamentos de física V1. 8. ed. Rio de Janeiro, RJ: 
LTC, 2009.
HIBBELER, R.C. Análise das estruturas. São Paulo, SP: Pearson Education do Brasil, 2013. 522 p.
HIBBELER, R. C. Dinâmica: mecânica para engenharia. 14. ed. São Paulo: Pearson, 2017.
LACHNIET, J. Introduction to GNU Octave. 3. ed. Mountain View: Jason Lachniet, 2020. Disponível em: 
https://www.wcc.vccs.edu/sites/default/files/Introduction-to-GNU-Octave.pdf. Acesso em: 15 abr. 2024.
LEROS, A. P.; ANDREATOS, A., ZAGORIANO, A. Matlab – Octave science and engineering benchmarking 
and comparison. In: WSEAS INTERNATIONAL CONFERENCE ON COMPUTERS, 14. Latest Trends on 
Computers (Volume II). [S.l.]: WSEAS Press, p. 746-754, 2010
NELSON, E. W.; BEST, Charles L.; MCLEAN, W.; POTTER, G. Engenharia Mecânica: Dinâmica. Porto Alegre: 
Bookman, 2013.
SANTOS, Ilmar F. Dinâmica de sistemas mecânicos: modelagem, simulação, visualização, verificação. 
São Paulo, SP: Makron, 2001. 272p.
SHABANA, Ahmed A. Computational dynamics. 3. ed. New York Weinheim: Wiley, 2010.
TENENBAUM, Roberto A. Dinâmica aplicada. 3.ed. São Paulo, SP: Manole, 2006. 792 p.
ZILIO, S. C.; BAGNATO, V. S. Apostila do Curso de Física, Mecânica, calor e ondas. 2015. Disponível em: 
https://www.ifsc.usp.br/~strontium/Teaching/Material2015-1%20FFI0132%20Vibracoesondas/Zilio%20
-%20Fisica%20II%20-%20Mecanica,%20calor,%20ondas.pdf. Acesso em: 15 abr. 2024.
https://vamosestudarfisica.com/conservacao-do-momento-angular-o-que-significa/#:~:text=A%20Conserva%C3%A7%C3%A3o%20do%20Momento%20Angular,em%20torno%20de%20um%20eixo
https://vamosestudarfisica.com/conservacao-do-momento-angular-o-que-significa/#:~:text=A%20Conserva%C3%A7%C3%A3o%20do%20Momento%20Angular,em%20torno%20de%20um%20eixo
https://vamosestudarfisica.com/conservacao-do-momento-angular-o-que-significa/#:~:text=A%20Conserva%C3%A7%C3%A3o%20do%20Momento%20Angular,em%20torno%20de%20um%20eixo
https://www.wcc.vccs.edu/sites/default/files/Introduction-to-GNU-Octave.pdf
	_Hlk155971755
	_Hlk160461718
	Introdução
	UNIDADE i
	Cinemática e cinética
	Capítulo 1 
	Cinemática de corpos rígidos
	Capítulo 2 
	Cinética de corpos rígidos
	Referências