Erros e Incertezas de Medição

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Erros de mediação
Conceitos de Metrologia relacionados aos erros e incertezas de medição, com base no Vocabulário
Internacional de Metrologia (VIM) e na guia de expressão de incerteza de medição (ISO GUM).
Prof. Raimundo Alves de Rezende
1. Itens iniciais
Propósito 
Apresentar os efeitos e as influências dos erros nas medições efetuadas e a justificativa para a zona de
confiabilidade metrológica dos resultados de medição apresentados nas operações metrológicas,
desenvolvidas nas atividades dos laboratórios de calibrações e ensaios, nas avaliações de conformidade de
produtos, nas calibrações de equipamentos e instrumentos, ou no dia a dia do controle de processos de
fabricação.
Preparação
Antes deste estudo, tenha em mãos papel, caneta e uma calculadora científica, mesmo que seja a do
smartphone ou do computador.
Objetivos
Reconhecer erros e suas caracterizações.
 
Identificar os principais tipos de fatores que influenciam os erros.
 
Definir a estimativa da incerteza de medição em um processo experimental.
Erros de medição
Neste vídeo, conheça mais sobre erros de medição.
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1. Erros e suas caracterizações
Introdução à Metrologia
Neste vídeo, descubra o que será abordado neste módulo. 
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Caracterização de erros
Em qualquer processo de medição, existem erros presentes
e associados, portanto, é primordial saber interpretar o
processo de medição, identificar os erros e trabalhá-los a
fim de minimizar seus efeitos ou estimar a faixa de validade
dos resultados.
Segundo o Vocabulário
Internacional de Metrologia
Legal (VIM, 2012), podemos
definir o erro de medição
como “a diferença entre o valor medido de uma
grandeza e um valor de referência.”
Assim, um valor de erro com módulo positivo significa que a medição realizada indica valores maiores do que
os de referência, enquanto um valor de erro com módulo negativo representa que a medição indicou valores
menores do que o valor de referência considerado.
 
Identificado o erro e sua fonte em um processo de medição, o próximo passo que devemos trabalhar é o seu
processamento, e a ação tomada depende da classificação do erro. O VIM classifica o erro em duas
categorias:
Erros sistemáticos
 
Erros aleatórios
Isso não significa que não existam outras classificações, mas a separação nessas duas categorias auxilia o
processo de tomada de decisão quando damos início ao procedimento de análise de erros de um processo de
medição.
 
Uma medição, geralmente, é influenciada por diversos fatores. Alguns desses fatores podem ser controlados,
outros, não, e essa falta de controle sobre todos os aspectos de uma medição é que pode gerar erros
imprevisíveis cuja correção não pode ser aplicada utilizando-se um fator numérico ou uma função de medição.
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Atenção
A confiabilidade dos resultados está diretamente relacionada com o controle e a correção dos erros de
medição envolvidos no processo de obtenção dos resultados e conhecer todas as fontes de erros é
fundamental para um completo entendimento deste processo. 
Erros sistemáticos
Os erros de medição de um processo de
obtenção experimental de um conjunto de
medidas podem ser classificados e separados
em dois grupos distintos. No primeiro grupo,
estão enquadrados todos os erros cuja origem
é bem conhecida e determinada e cuja
correção correspondente não pode ser aplicada
por motivos distintos; todavia, existe um único
valor para aplicar como correção a um
resultado de medição ou a cada medida
realizada separadamente.
Exemplo
Ao medirmos a massa de um objeto em uma balança cuja indicação inicial não é nula, e indica 15g,
automaticamente, conferimos a cada indicação de medição um erro de +15g, que deve ser
posteriormente corrigida para que seja expresso o seu real resultado. 
Chamamos esse componente do erro de medição de erro sistemático, pois é sistematicamente apresentada
em cada medição realizada até que sejam corrigidas as causas do problema.
O erro sistemático é a parcela do erro que atua de
modo previsível, ou seja, sua influência sempre ocorre
em um mesmo sentido, contribuindo
sistematicamente com um acréscimo ou uma
diminuição em relação ao valor de referência.
O tratamento de um erro sistemático pode ocorrer de duas maneiras: uma primeira, emergencial, quando
apenas corrigimos o erro sistemático apresentado, e a outra, com análise e correção da causa raiz.
 
A diferença entre essas abordagens é similar ao tratamento de uma goteira que surge no teto de uma casa.
Sabendo onde a goteira está localizada, podemos colocar um balde imediatamente abaixo da goteira: isso é
um tratamento emergencial do erro sistemático, pois havendo chuvas, sempre haverá goteiras.
 
Uma segunda maneira de tratar o problema é analisando o telhado em busca de rachaduras e calafetando-as,
aplicando uma manta ou reforçando as estruturas com novas camadas de materiais, introduzindo ou
aperfeiçoando um sistema de escoamento ou sucção para água, entre outros. O importante é aplicar uma
medida compatível com a necessidade apresentada.
Análise da Causa Raiz (RCA – Root Cause Analysis)
Para facilitar o processo de identificação da causa raiz de um erro sistemático em uma medição, relacionamos
quatro fontes comuns de erros nesse processo:
Decorrentes das fontes teóricas do modelo de
medição
Oriundas da utilização de modelos matemáticos de medições realizadas de forma indireta, que
recorrem ao uso de equações contendo aproximações no modelo ou no uso de constantes físicas
associadas.
Decorrentes da instrumentação utilizada
Quando ocorrem desvios na indicação do instrumento de medição utilizado por falta de regulagem
interna ou não observação dos valores declarados em certificado de calibração do item.
Decorrentes de fatores ambientais
Quando fatores como umidade relativa do ar, temperatura ambiente, pressão atmosférica do local de
medição e similares afetam o desempenho dos instrumentos de medição utilizados ou necessitam de
correções para efeitos físicos, tais como dilatações térmicas ou similares.
Decorrentes dos procedimentos utilizados pelo
operador da medição
Quando a falta de conhecimento sobre o processo de medição afeta os resultados por causa da
realização de sequências erradas de medição, observação feita de pontos incorretos e que afetam a
leitura (paralaxe), ou colocações enviesadas de peças em pontos de medição do instrumento, entre
outros.
A análise e estudo de erros sistemáticos em instrumentos devem ser analisados para que sejam conhecidas
as tendências do instrumento e aplicadas correções, sempre que forem desenvolvidas medições. A calibração
de instrumentos de medição é importante para que possam ser declarados os erros de um instrumento de
medição em dada situação, portanto, convém que a calibração seja desenvolvida em condições similares às
condições de uso regular e contínuo do instrumento de medição.
Erros aleatórios
Outra possibilidade da ocorrência de erros em uma medição é devida a fatores ocasionais, temporais ou
inesperados, cuja presença não é esperada pelo autor das medições e pode influenciar o resultado de uma
medição. Esse segundo grupo de erros é classificado como erros aleatórios, pois sua correção não era
esperada.
 
Por desconhecimento do fenômeno, da causa ou origem de tal modificação, ou da introdução de erro na
realização da medição, não é possível atribuir um valor a ser corrigido ou uma função de correção para ser
aplicada em cada indicação individual.
Exemplo
Na realização da medição da massa de um objeto com uma balança, uma janela próxima à bancada de
medição foi aberta, causando uma corrente de ar que influenciou a medição ora para mais, ora para
menos. Sua presença não foi notada e houve alteração no fluxo de ar que passava pela janela. A
medição prosseguiu com suas variações, sem que fosse possível a correção do erro. 
O erro aleatório é o componente do erro de medição que provoca alterações de formarandômica, ou seja, sua
influência é imprevisível no resultado de uma medição. Esses erros são de natureza diversa e é comum não
ser possível identificar a origem e o módulo da contribuição (é um procedimento difícil).
 
Isso oferece às medições uma zona de dúvida em torno do valor medido, por isso, minimizar os efeitos da
origem acaba sendo o modo mais seguro de controle, ainda que não seja possível garantir a eliminação total
dos efeitos aleatórios.
Curva de distribuição normal conhecida como curva
Gaussiana
Vibrações produzidas por um banho termostático na
estabilização térmica de um líquido, que será posto em
pesagem: podemos reduzir os efeitos de vibração, bem
como identificar sua origem, mas os efeitos de sua ação
sobre o sistema de medição são aleatórios. Possíveis
soluções são o afastamento do banho termostático e a
utilização de amortecedores, mas não podemos
garantir a eficiência em 100% dos amortecedores, e o
afastamento do banho aumenta o risco de variações
térmicas no transporte, perdendo sua utilidade,
dependendo do grau de exatidão requerido pelo
processo.
É importante fixar a necessidade de repetições das medições, para que seja possível estimar a incerteza de
medição associada. O uso do valor da média como o valor mais provável de um mesmo mensurando contribui
para a diminuição do erro aleatório, portanto, conceitos básicos de estatística são necessários para estimativa
do resultado de uma medição.
Testando valores extremos (outliers)
Apesar de não compor o procedimento de avaliação e estimativa da incerteza de medição, um procedimento
muito comum associado à detecção de erros ou desvios no processo experimental é a aplicação de testes
estatísticos para verificar a ocorrência de valores extremos na amostra observada. Valores extremos podem
ser originados a partir de erros grosseiros, oriundos de falhas do operador na transcrição dos dados, inclusive
precipitações de registro da indicação de instrumentos, que necessitam de tempo de espera para leitura
adequada, ou aleatórios, oriundos da variabilidade aleatória inerente aos dados.
Existem diversos testes estatísticos para
identificar casos com valores extremos e
rejeitá-los em relação ao conjunto de dados da
amostra. Para testar se o conjunto de dados se
baseia em uma distribuição normal, testes
estatísticos específicos podem ser utilizados,
por exemplo, o teste de Kolmogorov-Smirnov, o
teste de Shapiro-Wilk, o teste de Anderson-
Darling, o teste de Ryan-Joiner, entre outros.
Um teste muito utilizado para um conjunto de
dados da amostra comum é o teste de Grubbs,
pois é um teste de fácil aplicação e que
necessita apenas da condição de normalidade
da distribuição dos dados do conjunto,
atendida para a maior parte dos casos de
dados de medição, de acordo com o teorema
central do limite.
Verificando o aprendizado
Questão 1
Sobre as sete grandezas de base que compõem o Sistema Internacional de Unidades (SI), é
correto afirmar que:
A
O erro grosseiro é o componente do erro de medição que não toleramos em uma medição.
B
O erro sistemático é o componente do erro de medição imprevisível em um processo de medição.
C
O erro aleatório é o componente do erro de medição que provoca alterações de forma randômica, ou seja, sua
influência é imprevisível no resultado de uma medição.
D
O erro instrumental é o componente do erro de medição devido ao instrumento inadequadamente utilizado.
E
O erro ocasional é o componente do erro de medição relacionado aos erros aleatórios produzidos por falta de
treinamento.
A alternativa C está correta.
O erro aleatório é o componente do erro de medição que provoca alterações de forma randômica, ou seja,
sua influência é imprevisível no resultado de uma medição. Já o erro sistemático é a parcela do erro que
atua de modo previsível, ou seja, sua influência sempre ocorre em um mesmo sentido, contribuindo
sistematicamente com um acréscimo ou uma diminuição em relação ao valor de referência.
Questão 2
É correto afirmar a respeito do tratamento de um erro sistemático:
A
Pode ocorrer em duas formas: emergencial e com a análise e correção da causa raiz.
B
Pode ocorrer de forma emergencial – quando apenas corrigimos o erro aleatório apresentado.
C
Pode ocorrer de forma emergencial com a análise e correção da causa raiz.
D
Pode ser tratado apenas com a análise e correção da causa raiz.
E
Não pode ser tratado, pois não há correção aplicável.
A alternativa A está correta.
O tratamento de um erro sistemático pode ocorrer de duas maneiras: uma primeira, emergencial, quando
apenas corrigimos o erro sistemático apresentado; e a outra, com análise e correção da causa raiz.
2. Principais tipos de fatores que influenciam os erros
Fatores internos e externos de erros
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Fontes de erros
O resultado de uma medição é, em geral, somente uma
estimativa do valor do mensurando e só pode ser
considerado como uma informação completa quando
acompanhado de uma declaração da confiabilidade dos
resultados apresentados. Declarar esse valor não é uma
tarefa complicada, mas será necessário ter conhecimentos
básicos de estatística populacional e dos sistemas de
medição utilizados se desejarmos atribuir maior significado
para os seus números, provenientes de medições.
Atenção
Para declarar a confiabilidade de uma medida, é requerido um amplo conhecimento sobre o processo de
medição e sobre todos os fatores que podem influenciar o resultado da medição. Conhecer esses
fatores, muitas vezes, é impraticável, financeiramente dispendioso, ou complicado; portanto, é
necessário ter uma prática uniformizada para determinação da estimativa da incerteza de medição de
determinado fenômeno ou parâmetro. 
Fatores internos de erros
Embora toda avaliação de levantamento das
fontes de erros internos, ou seja, do próprio
sistema de medição, exija criteriosa e única
análise, algumas fontes de erros são
observadas com mais frequência em diversos
sistemas de medição. A presença dessas
fontes nem sempre será significativa em todos
os níveis de medição, mas seu efeito deve ser
considerado, ao estimarmos a incerteza total
da medição, em função de sua participação, em
maior ou menor grau.
O desempenho dos instrumentos de medição
durante a calibração deve ser avaliado para
determinar sua contribuição para o erro e a
incerteza total do processo de medição. A avaliação de desempenho precisa cobrir os atributos do
instrumento, significativos para o processo de medição.
 
A avaliação deve incluir alguns ou todos os fatores:
I. Repetitividade da medição
 
II. Linearidade na faixa utilizada
 
III. Número de dígitos do indicador/valor da menor divisão (resolução)
 
IV. Excentricidade (carregamento fora do centro)
 
V. Efeitos magnéticos
Outro efeito interessante que deve ser considerado é a decorrência da deriva dos padrões (artefatos físicos)
utilizados. Deriva instrumental é a propriedade decorrente da variação lenta, contínua ou incremental, das
características metrológicas atribuídas. Diante disso, é necessário levar em consideração a provável mudança
no valor declarado do padrão de referência, desde a sua última calibração.
 
Essa mudança pode ser estimada, a partir dos resultados de sucessivas calibrações dos padrões de
referência. Se não existir um histórico de calibrações anteriores para os padrões, é usual assumir que o valor
certificado possa mudar em uma quantidade igual à sua incerteza de medição entre as calibrações.
A estabilidade dos padrões pode ser afetada pelo
material e pela qualidade da sua fabricação, pelo
acabamento superficial, material de ajuste instável,
desgaste físico, desleixo e contaminação ambiental (e
isso, normalmente, está relacionado com sua classe de
exatidão).
O valor adotado para a estabilidade precisará ser reconsiderado se o uso ou ambiente dos padrões mudar – o
que exigirá a realização de uma avaliação específica. O intervalo de calibração para os padrõesde referência
precisará estar baseado na estabilidade deles. Outras contribuições podem ser avaliadas apenas após
observação do sistema de medição e suas características inerentes à montagem.
Atenção
Compreender – além de estimar – essas fontes de erros é fundamental para o processo de estimativa da
incerteza de medição. Agora que já classificamos o erro de medição em duas parcelas, o erro
sistemático e o erro aleatório, e já compreendemos que uma dessas parcelas pode ser corrigida,
enquanto a outra pode apenas ser estimada, entendemos que a parcela estimada reflete o grau de
incerteza do processo de medição. 
Saiba mais sobre os sistema mecânicos e elétricos:
Sistemas mecânicos
Os erros de geometria de partes e mecanismos são as principais fontes
de erros internos em sistemas de medição mecânicos. As limitações de
custos e tecnológicas, a qualidade dos componentes e das partes que
compõem os mecanismos, e o rigor na montagem e nos alinhamentos
comumente se afastam do ideal. O uso contínuo também tende a
desgastar os componentes, o que pode causar folgas e piorar a
performance do conjunto.
Sistemas elétricos
Nesses sistemas de medição, as conexões e propriedades térmicas e de
condução elétrica dos componentes eletrônicos, além do desempenho
dos circuitos, são as mais frequentes fontes de erros internos. Essas
condições não ideais dos circuitos eletrônicos tendem a causar erros de
medição.
Fatores externos de erros
Existem muitas causas para erros provenientes de fatores externos (por exemplo, o operador). Os fatores
externos podem provocar erros de medição, que alteram diretamente o comportamento do sistema de
medição, ou afetam diretamente a grandeza a ser medida.
 
Há diversos fatores externos relacionados ao processo de medição (arredondamentos, formulação
matemática utilizada etc.), ao instrumento padrão (incerteza do padrão, deriva etc.), aos fatores humanos
(cansaço, acuidade visual, à falta de treinamento etc.), às condições ambientais (ruído, umidade, vibração,
temperatura ambiental etc.), entre outros fatores.
 
Em grande parte dos sistemas de medição, o fator externo mais crítico é a variação da temperatura ambiente.
A dilatação das escalas dos instrumentos de medição, por exemplo, pode ser provocada por essa variação.
A variação da temperatura pode, também, ser causada
por fator interno. Exemplo típico é o da não
estabilidade dos sistemas elétricos de medição, em
determinado tempo, após serem ligados. É necessário
aguardar a estabilização térmica dos instrumentos/
equipamentos para reduzir os efeitos da temperatura.
Outro fator externo que necessita de grande atenção são os fatores humanos. Os profissionais, por mais
qualificados que sejam, estão sujeitos a cometer erros. Afinal, são afetados por condições humanas típicas de
sua natureza e seu comportamento (saúde, humor, cansaço etc.), nem sempre sendo suas atividades
contínuas e racionais. Portanto, as atividades que envolvem o fator humano devem ser tratadas como críticas
dentro de um processo ou sistema.
 
Contudo, apesar de existirem diversos motivos que podem levar ao erro humano, uma boa parte é previsível e
detectável. É importante compreender também que os erros podem surgir de ações deliberadas. Há casos em
que o erro é causado pela decisão consciente de tomar uma atitude inadequada. Importante observar que os
profissionais em geral são potenciais geradores de erros, sejam os responsáveis pela limpeza, execução de
medições, ou os responsáveis pela emissão de resultados de medição.
 
Confira possíveis motivos que acarretam erros de medição sistemas mecânicos e elétricos:
1
Sistemas mecânicos
Além do grande impacto das variações de temperatura, a presença de vibrações mecânicas pode
provocar erros de medições expressivos nos sistemas de medição.
2
Sistemas elétricos
Os fatores que podem afetar o comportamento dos sistemas de medição elétricos incluem a
presença de campos eletromagnéticos, as variações da tensão de alimentação, as variações na
frequência da rede elétrica, a umidade excessiva e a variação da temperatura ambiental.
Minimizar fatores de erros
A falta de conhecimento do valor exato de
determinada propriedade ocorre por diversos
fatores, exteriores e interiores à medição. A
causa mais aparente desse desconhecimento é
apresentada pela variabilidade dos resultados
de medição no momento da coleta de dados.
Pequenas flutuações no resultado, observadas
por uma instrumentação metrológica adequada
ao processo, impedem-nos de determinar com
base (apenas) na indicação de uma leitura de
determinada grandeza uma característica
metrológica.
Saiba mais
Na tentativa de estimar uma incerteza no processo de obtenção de uma medição, as contribuições de
cada erro aleatório devem ser quantificadas; portanto, o primeiro passo para determinação desse
parâmetro é o conhecimento dos fatores de influência, ou das grandezas de influência, no processo de
medição. 
Uma ferramenta facilitadora do processo de compreensão de como cada grandeza de influência pode afetar o
resultado de uma medição é o diagrama de Ishikawa, ou diagrama de espinha de peixe, potente instrumento
da qualidade, que nos permite verificar cada variável do processo que interfere na garantia da qualidade dos
resultados obtidos.
Exemplo genérico da aplicação de um diagrama de Ishikawa a um processo de
medição.
Nesse diagrama, a grandeza em medição é representada por uma seta longa na horizontal, atingida por outras
setas, representando as grandezas de influência para o processo de medição. Cada nova grandeza de
influência introduzida passa a ser uma variável importante para a garantia dos resultados de medição; ela
deve ser avaliada e ter as suas grandezas de influência qualificadas para compreensão da causa raiz de
determinado problema e fornecer as informações necessárias ao operador da medição, para que ele possa
minimizar os efeitos da grandeza de influência e quantificar, futuramente, seus efeitos para a instabilidade do
resultado de medição. Esse procedimento segue para toda e qualquer variável ou grandeza de influência que
interfira no resultado da medição.
Todos os fatores internos e externos, incluindo
características não ideais do sistema de medição,
condições humanas e influências das condições ambientais,
são exemplos de fatores que levam a erros de medição. Por
melhor que seja a qualidade do sistema de medição, por
mais qualificados e cuidadosos sejam os profissionais, e por
mais estáveis sejam as condições ambientais, ainda assim,
em maior ou menor grau, os erros de medição não serão
plenamente eliminados.
Verificando o aprendizado
Questão 1
A avaliação de desempenho precisa cobrir atributos do instrumento, que são significativos
para o processo de medição. Com base nessa afirmação, é incorreto afirmar que a avaliação
precisará incluir o seguinte fator interno:
A
Baixa repetitividade da medição.
B
Instrumentos analógicos.
C
Número de dígitos do indicador/valor da maior divisão (resolução).
D
Excentricidade (carregamento fora do centro).
E
Variação da temperatura ambiental.
A alternativa E está correta.
A variação da temperatura ambiental é um fator externo de erro e não interno.
Questão 2
Que ferramenta da qualidade é muito útil para a compreensão de como cada grandeza de
influência pode afetar o resultado de uma medição?
A
Diagrama de Pareto
B
Diagrama de dispersão
C
Diagrama espinha de peixe
D
Lista de verificação
E
Brainstorming
A alternativa C está correta.
O diagrama de Ishikawa, também conhecido como diagrama espinha de peixe, é uma ferramenta da
qualidade que facilita a compreensão de como cada grandeza de influência pode afetar o resultado de uma
medição. Ela possibilita uma análise de cada variável do processo que interfere na garantia da qualidade
dos resultados de medições.
3. Estimativa da incerteza de medição em um processo experimental
Avaliação da incerteza
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Atribuição das incertezas
Em 1977, reconhecendo a falta de consenso internacional sobre a expressão da estimativa da incerteza de
medição, a maior autoridade mundial em Metrologia, o Comitê Internacional de Pesos e Medidas (CIPM),
solicitou ao Bureau Internacional de Pesos e Medidas (BIPM) que fosse elaborado um guia orientativo para
execução da prática, em conjunto com os laboratórios nacionais de Metrologia.
Saiba mais
Vinte e um laboratórios de diferentes países atenderam ao chamado do BIPM, e foi formado o primeiro
grupo de trabalho com o objetivo de padronizar essa prática. O Grupo de Trabalho sobre a Declaração
de Incertezas produziu a Recomendação INC-1 (1980), Expressão de Incertezas Experimentais, aprovada
pelo CIPM, em 1981, e ratificada em 1986 pelo mesmo organismo. 
A recomendação proposta ganhou proporções e, anos depois, o CIPM transferiu a tarefa de desenvolver um
guia detalhado com base na Recomendação do Grupo de Trabalho para a ISO, que prosseguiu com os
trabalhos assessorado pelas organizações Comissão Eletrotécnica Internacional (IEC), Organização
Internacional de Metrologia Legal (OIML), União Internacional de Química Pura e Aplicada (IUPAC), União
Internacional de Física Pura e Aplicada (IUPAP) e Federação Internacional de Química Clínica e Medicina
Laboratorial (IFCC).
Esses institutos elaboraram um documento orientativo,
com base na recomendação do Grupo de Trabalho do
BIPM sobre a Declaração de Incertezas, que fornecia
regras sobre a expressão de incerteza de medição para
ser utilizada em normalização, calibração, acreditação
de laboratórios e serviços de metrologia, promovendo
completa informação sobre como conseguir uma
declaração de incerteza e fornecendo uma base para a
comparação internacional de resultados de medição.
Desse modo, foi criado o Guia para Expressão da
Incerteza de Medição (ISO GUM), que estabelece as
diretrizes básicas para determinação da estimativa da
incerteza de medição.
Suas recomendações são simples e de fácil compreensão, em virtude da completeza do documento no que
tange à expressão da incerteza de medição. Existem particularidades e a leitura do documento deve vir
acompanhada de uma bibliografia auxiliar de estatística populacional.
 
Entretanto, os conceitos básicos acerca da teoria de propagação de erros podem ser facilmente empregados,
de modo a expor um tratamento estatístico dos resultados de medição, para apresentar resultados,
juntamente com uma incerteza adequada ao processo de medição executado, propor regularidades e
redescobrir teorias, dentro de sua zona de validade. De posse do levantamento das grandezas de influência, é
possível utilizar os passos descritos para determinação da incerteza de medição.
Estimativa da incerteza das grandezas de entrada
A incerteza do resultado de uma medição reflete a falta de conhecimento exato do valor de um mensurando
que, mesmo após as correções dos efeitos sistemáticos, é apenas uma estimativa do valor do mensurando,
por causa da incerteza proveniente dos efeitos aleatórios e da correção imperfeita do resultado de efeitos
sistemáticos.
 
Uma solução viável para esse problema é a indicação do valor mais provável que se possa medir da grandeza
específica em medição. Indicar o valor mais provável, estatisticamente, significa utilizar uma medida de
tendência desses resultados, e as medidas de tendência mais comuns que conhecemos são as seguintes:
Média
É o valor que aponta para onde mais se concentram os dados de uma distribuição ou o ponto de
equilíbrio das frequências de determinado processo estatístico. Em suma, a média é o valor médio de
uma distribuição, determinado segundo uma regra estabelecida a priori, e utilizado para representar
todos os valores da distribuição.
Mediana
É uma medida de tendência central de uma distribuição de valores, que ordena um grupo de dados,
separando igualitariamente uma amostra, população ou distribuição de probabilidade em dois
subconjuntos, e cujo valor é igual ao valor do termo que divide os dois subconjuntos de dados.
Moda
É o valor que se apresenta com maior frequência em uma dada distribuição de valores, ou seja, é o
valor que detém o maior número de observações, ou o valor que ocorre com maior frequência em um
conjunto de dados, sendo, assim, o valor mais comum entre eles.
[...] na maioria dos casos, a melhor estimativa disponível da esperança ou valor esperado de uma
grandeza que varia aleatoriamente e para a qual n observações independentes foram obtidas sob as
mesmas condições de medição é a média aritmética das n observações.
(INMETRO, 2012, p.10)
Expressando os resultados em termos de medidas de tendências centrais, a aleatoriedade dos resultados
pode ser indicada em função das medidas de dispersão de amostras estatísticas. Em um conjunto de dados,
se todas as observações de uma variável estão próximas, isso indica que os indivíduos dessa população não
são muito diferentes com relação a essa variável.
 
Por outro lado, se as observações estão dispersas, isso aponta divergências entre as indicações desses
indivíduos e a intensidade dessas divergências pode ser considerada como um indicador da qualidade dos
resultados apresentados; portanto, a indicação de uma medida de dispersão de uma amostra é um fator que
quantifica e classifica a qualidade dos resultados de medição obtidos de forma experimental. Para atribuirmos
tal fator numérico aos resultados, as medidas de dispersão estatística dos resultados mais comuns são:
1
Amplitude
Definida como o resultado da diferença entre o maior e o menor valor de um conjunto de dados.
2
Desvio
Definido como o resultado da diferença de um valor de um conjunto de dados e um valor de
referência desse mesmo conjunto.
3Variância
Uma medida de dispersão, constituindo-se como a soma dos desvios quadráticos das observações
em relação à sua média aritmética, sendo aquela soma dividida pelo número de observações menos
um.
4
Desvio padrão
É a raiz quadrada da variância.
Por refletir com mais riqueza as particularidades do conjunto de dados, as medidas mais utilizadas são as de
desvio padrão ou variância. Entretanto, as duas medidas são consideradas para conjuntos de dados que
refletem uma amostra estatística de uma população.
 
Como não é prático, nem possível, obter todos os dados de uma população (para o caso de medidas
laboratoriais, significa medir todas as possibilidades de medição, considerando suas infinitas possibilidades),
uma solução é considerar o desvio padrão da média como uma medida normalizada do parâmetro de desvio
padrão.
Desse modo, os efeitos estatísticos de
repetitividade / flutuabilidade dos resultados de
medição, além de efeitos da realização de
medições em posições excêntricas ou
tendenciosas, e demais efeitos que possam ter
sido causados pelo operador da medição,
durante a realização das medidas, poderão ter
uma estimativa do desvio causado na medição.
Assim, poderão ter seus efeitos quantificados
para fins de estimativa da incerteza de
medição, mas nem todos os efeitos que
interferem na medição são provenientes da
própria medição. Informações de manuais e
catálogos, a vivência de um operador com mais
experiência, e informações de calibrações e certificados de calibração são exemplos de fatores que
influenciam a qualidade dos resultados de medição e não são evidenciados por intermédio de medições.
Todas as suposições informadas, palpites e imaginações
fazem parte dos atos exploratórios e podem servir para
a descoberta da "verdade", segundo certos estudiosos
em filosofia da ciência, como Michael Polanyi, um físico-
químico e polímata húngaro-britânico. Polanyi
escreveu em The Tacit Dimension, que devemos
começar da premissa de que "podemos saber mais do
que podemos dizer" e chamou essa fase de pré-lógica
de saber como "conhecimento tácito".
O conhecimento tácito é composto por uma gama de informações conceituais, sensoriais e imagens que
podem ser trazidas em uma tentativa de dar sentido a algo ou para ajudar a formar um novo modelo ou teoria.
Na tentativade expressar um modelo para determinação de uma estimativa para a incerteza de medição,
todas essas informações “tácitas” são importantes e não devem ser desprezadas.
 
No entanto, o uso adequado desse conjunto de informações disponíveis para a avaliação de uma estimativa
para a incerteza de medição exige discernimento baseado na experiência e no conhecimento geral, habilidade
que pode ser aprendida com a prática e considerada tão confiável quanto uma avaliação estatística de
resultados experimentais, especialmente, em uma situação de medição em que a avaliação para a incerteza é
baseada em um número comparativamente pequeno de observações estatisticamente independentes.
Para prosseguirmos com a análise das influências que
compõem a incerteza de medição, agruparemos as
contribuições em dois grupos distintos: quanto ao método
de avaliação e à quantificação de suas influências para o
resultado de medição.
Método de avaliação
No primeiro grupo, classificaremos todas as contribuições para a incerteza de medição obtidas com
base na análise estatística de uma série de observações de um resultado de medição, e
denominaremos esse procedimento de avaliação da incerteza do Tipo A.
Quantificação das influências
A avaliação da incerteza do Tipo B é baseada em outros métodos diferentes da análise estatística de
uma série de observações; nesse grupo, estão todas as informações complementares (tácitas), ou
exteriores ao processo de medição (informações de manuais, certificados etc.).
O propósito da classificação das contribuições para a incerteza, em contribuições do Tipo A e contribuições
do Tipo B, serve apenas para indicar as duas maneiras diferentes de avaliar os componentes da incerteza de
medição e para discussão. Os dois tipos de avaliação são baseados em distribuições de probabilidade e os
componentes da incerteza resultantes de cada tipo são quantificados por variâncias ou desvios padrão.
Se um laboratório de medição tivesse recursos
e tempo ilimitados, ele poderia conduzir uma
exaustiva investigação estatística de todas as
causas concebíveis de incerteza, utilizando, por
exemplo, muitas marcas e tipos diferentes de
instrumentos, diversos métodos de medição,
aplicações do método, e aproximações dos
seus modelos teóricos de medição. As
incertezas associadas a todas essas causas
poderiam, então, ser avaliadas pela análise
estatística de séries de observações, e a
incerteza de cada causa seria caracterizada por
um desvio padrão estatisticamente avaliado.
Em outras palavras, todos os componentes da
incerteza seriam obtidos por meio de
avaliações do Tipo A; entretanto, como tal investigação não tem nenhuma praticidade econômica, os
componentes da incerteza de medição podem ser avaliados por quaisquer outros meios que sejam práticos.
Determinação dos coeficientes de sensibilidade
adequados
No ato de estimarmos todas as contribuições para a incerteza de medição, muitas grandezas, cuja influência
foi contabilizada, são distintas daquela que desejamos determinar. Antes de as combinarmos, devemos avaliar
os efeitos que cada grandeza causa na grandeza em medição, ou seja, devemos avaliar a sensibilidade do
mensurando com cada grandeza de entrada.
O coeficiente de sensibilidade é um termo matemático
que descreve como o mensurando varia com pequenas
mudanças nos valores das estimativas da incerteza das
grandezas de entrada e está associado com a taxa de
variação da função, que descreve o modelo matemático
da medição, em relação a cada uma de suas variáveis
de entrada.
Outro modo interessante de determinação desses coeficientes de sensibilidade é variar, experimentalmente,
determinada grandeza de entrada enquanto as demais grandezas são mantidas constantes. Nesse caso, o
conhecimento da função (ou de parte dela, quando somente alguns coeficientes de sensibilidade são
determinados) é, de forma correspondente, reduzido a uma expansão empírica de primeira ordem da série de
Taylor, baseada nos coeficientes de sensibilidade medidos.
Atenção
Uma aplicação importante dos coeficientes de sensibilidade está no balanceamento dimensional das
unidades das incertezas das grandezas de entrada para que, quando combinadas, indiquem as unidades
da grandeza em medição. 
Agrupamento das incertezas das grandezas de entrada
Uma vez que já tenham sido considerados os efeitos das contribuições para a incerteza obtidas por
intermédio das avaliações do Tipo A e do Tipo B, e tenham sido adequadamente avaliados os coeficientes de
sensibilidade de cada estimativa da incerteza das grandezas de entrada, um modelo simplificado para a
combinação dos componentes das incertezas do Tipo A e do Tipo B pode ser expresso pela soma pitagórica
(soma quadrática) desses dois componentes, caso as grandezas de entrada sejam não correlacionadas entre
si.
Apresentação da incerteza expandida de medição
A incerteza expandida é uma medida adicional de incerteza que fornece um intervalo em torno do resultado
de medição, que corresponde a um intervalo dentro do qual existe maior probabilidade de encontrarmos
valores que se aproximem do valor verdadeiro da medição.
 
O valor da incerteza expandida de medição resulta do produto da incerteza padrão combinada por um fator
de abrangência, obtido a partir da distribuição de t de student, e depende do grau de confiança ou da
probabilidade de abrangência pretendida, e dos graus de liberdade efetivos da incerteza combinada.
Saiba mais
De modo simplificado, podemos afirmar que os graus de liberdade efetivos da incerteza combinada são
o grau de confiabilidade na estimativa da incerteza dos desvios padrão. Em suma, é como determinar a
incerteza da incerteza. Determinar os graus de liberdade efetivos não é intuitivo, mas não é tão
complicado. 
A tarefa consiste em combinar a confiança (graus de liberdade) atribuída nas avaliações da incerteza do Tipo
A (geralmente, igual ao número de medições efetuadas menos um) com a confiança em informações obtidas
por outros meios (por meio da avaliação do Tipo B), e cuja liberdade é desconhecida a priori.
 
A solução para determinação desse valor é apresentada quando observamos a relação de Welch-
Satterthwaite, que postula a razão entre a incerteza combinada (elevada à quarta potência), e os graus de
liberdade dessa incerteza combinada são iguais à soma das razões de cada contribuição da incerteza, obtidas
pelas avaliações do Tipo A e do Tipo B (elevadas à quarta potência), pelos seus respectivos graus de
liberdade.
 
Como os graus de liberdade das contribuições do Tipo B não eram conhecidos a priori, atribuir mais liberdade
para essas informações significa levar a razão contribuição para a incerteza do Tipo B (elevada à quarta
potência) pelos seus graus de liberdade a um limite que tenda a zero e permita a solução da equação.
A equação de Welch-Satterthwaite permite assegurar que
quanto maior for o grau de liberdade, maior será a
confiabilidade da incerteza expandida; contudo, deve-se
ter em mente que essa fórmula só é válida quando as
grandezas de entrada são independentes (não
correlacionadas).
Equação de Welch Satterthwaite
Ver página 13 da Nota Técnica 02 da DIMEC/INMETRO – “A estimativa da incerteza de medição pelos
métodos do ISO GUM 95 e de Simulação de Monte Carlo”. INMETRO - DIMEC / nt-02 (Nota Técnica 02)
Exemplo de estimativa da incerteza de medição de um processo
Estimar a incerteza de medição de um processo é tarefa que exige prática, portanto, para iniciar os estudos,
vejamos o processo de estimativa da incerteza de medição de uma medição indireta, com avaliação não tão
rica na definição das contribuições da incerteza de entrada, para que possamos acompanhar um caso
relativamente simples da aplicação do método.
 
Futuramente, recomendamos que você retorne a esse caso e amplie a avaliação sobre as grandezas de
entrada, aperfeiçoe o modelo matemático de medição, insira outras contribuições para a incerteza, que não
sejam provenientes da estatística, entre outros.
Teoria na prática
Em uma indústria de lajotas cerâmicas, o controle da qualidadedos insumos, que chegam no formato de
pequenos cilindros para serem prensados e moldados, é realizado com o auxílio da medição da densidade da
matéria-prima.
 
Para determinar a densidade, utilizamos um processo indireto de medição em que são realizadas medições da
massa, altura e diâmetro desses cilindros. Certa vez, após as medições de um cilindro específico, foram feitas
todas as compensações dos efeitos sistemáticos, as medições foram desenvolvidas em ambiente controlado
e os valores obtidos, e seus respectivos graus de liberdade (ν), foram os seguintes:
Massa: 
 
Diâmetro: 
 
Altura: 
 
Determine o valor da densidade do cilindro e estime a incerteza de medição associada.
Chave de resposta
O primeiro passo que devemos adotar é apresentar as contribuições para a incerteza das grandezas de
entrada. Sua estimativa deve ser obtida pela divisão da incerteza da medida (obtida por meio dos
certificados ou da propagação feita por medição direta) pelo seu respectivo fator de abrangência
(adquirido a partir da distribuição t de student, para 95,45% de abrangência).
Tabela: Fator de abrangência (k) a partir da distribuição “t” de student.
Extraído de: Brasil, 2012, p. 78.
A partir da tabela, relacionamos que para ν = 14, k = 2,20; para ν = 4, k = 2,87; e para ν = 9, k = 2,32;
portanto, as contribuições para as grandezas de entrada são:
Massa 
Diâmetro 
Altura 
Conhecida a relação para a expressão da densidade de um cilindro e utilizando os valores do problema, é
possível determinar o valor da densidade da matéria-prima para a confecção da lajota:
Os coeficientes de sensibilidade podem ser calculados da seguinte forma:
A incerteza combinada de medição deve ser obtida pelo produto entre as contribuições para a incerteza
das grandezas de entrada multiplicadas pelos seus coeficientes de sensibilidade, em uma soma pitagórica
entre as partes:
Isso significa que a incerteza combinada da medição é 0,15g/cm³. Para finalizar nosso cálculo, basta
expandir essa incerteza, multiplicando-a pelo fator de abrangência correspondente, a partir da equação de
Welch-Satterthwaite. Nesse caso, como cada grandeza específica tem uma unidade diferente da unidade
de saída, as contribuições na equação de Welch-Satterthwaite devem ser inseridas como incertezas
padrão relativas, que são adimensionais:
Portanto, a incerteza expandida dessa medição é 0,15 x 2,32 = 0,35 g/cm² e o resultado dessa medição
deve ser expresso como:
Conforme discutido anteriormente, outras contribuições podem ser consideradas ao estudo, tais como
incerteza das constantes utilizadas no modelo matemático, desvios de forma inerentes ao material, efeitos de
dilatação térmica não incorporados ao modelo de medição, entre outros.
 
 
A riqueza da estimativa da incerteza de medição
dependerá da riqueza da avaliação das grandezas de
entrada e definição do modelo matemático de medição
utilizado, além da qualidade dos insumos e das
medições desenvolvidas no estudo.
Verificando o aprendizado
Questão 1
Marque a alternativa correta a respeito do documento de referência amplamente aplicado na
estimativa e cálculo da incerteza de medição, internacionalmente aceito e reconhecido:
A
Guia Internacional de Unidades de Medida
B
Guia para Expressão da Incerteza de Medição
C
Manual das Contribuições Estatísticas para a Incerteza da Medição
D
Manual de Expressão de Incerteza em Metrologia
E
Vocabulário Internacional de Pesos e Medidas
A alternativa B está correta.
O Guia para Expressão da Incerteza de Medição (ISO GUM) estabelece internacionalmente as diretrizes
básicas para determinação da estimativa da incerteza de medição.
Questão 2
Quando as contribuições para a incerteza de medição expandida não apresentarem a mesma
unidade de medida, é possível, na determinação dos graus de liberdade efetivos:
A
Revisitar o diagrama de causa e efeito e manter apenas contribuições de entrada com a mesma unidade de
medida.
B
Refazer os experimentos, utilizando, se possível, um transdutor adequado.
C
Buscar meios não estatísticos para contabilizar as contribuições para a incerteza das fontes com unidades de
medida diferentes.
D
Utilizar as contribuições para a incerteza de forma relativa, multiplicando-as pelo fator de abrangência
correspondente, obtido a partir da equação de Welch-Satterthwaite.
E
Utilizar as contribuições na equação de Welch-Satterthwaite inseridas como incertezas padrão absolutas.
A alternativa D está correta.
Para finalizar o cálculo de incerteza de medição, é necessário expandir a incerteza combinada
multiplicando-a pelo fator de abrangência correspondente, a partir da equação de Welch-Satterthwaite.
Nesse caso, se cada grandeza específica tem uma unidade diferente da unidade de saída, as contribuições
na equação de Welch-Satterthwaite devem ser inseridas como incertezas padrão relativas, que são
adimensionais.
4. Conclusão
Considerações finais
Apresentamos conceitos básicos relacionados aos erros e incertezas, além dos efeitos do erro no processo de
medição e sua classificação. Foi possível compreender que conhecer o erro e suas causas é o primeiro passo
para minimizarmos os seus efeitos, aplicando correções, quando possível.
 
Estudamos, também, conceitos e explicações que levam à compreensão de que toda medição possui um erro
associado e a medida da incerteza de medição associada é o parâmetro que deve ser levado em
consideração para estimar a confiança que podemos atribuir a um resultado. Porém, propagar erros na
tentativa de realizar adequada estimativa para a incerteza de medição é um processo interativo e dinâmico e
necessita de tempo para ganhar robustez; por isso, necessita ser operado e treinado sempre que possível. É
fundamental buscar conteúdos atualizados sobre o tema e debater com especialistas da área, para aumentar
a confiança dos valores declarados: o resultado é a redução de desperdícios, a melhoria do controle de
processos e o aumento da confiança agregada.
Podcast
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Para saber mais sobre os assuntos explorados neste conteúdo, leia os livros:
 
“Estatística descritiva”, de Bento José Ferreira Murteira e George Hubert Joseph Black, editora
McGraw-Hill Portugal, 1993.
 
“Estatística”, de Murray R. Spiegel, editora McGraw-Hill, 1976.
 
“Schaum’s Outline of Statistics”, de Murray R. Spiegel e Larry Stephens, editora McGraw-Hill, 2011.
 
“Fundamentos da teoria de erros”, de José Henrique Vuolo, editora Blucher, 1996.
Referências
BRASIL. Instituto Nacional de Metrologia, Qualidade e Tecnologia. Avaliação de dados de medição: guia para a
expressão de incerteza de medição – GUM 2008. Duque de Caxias: INMETRO/CICMA/SEPIN, 2012.
 
COUTO, P. R. G. Estimativa da incerteza da massa específica da gasolina pelo ISO GUM 95 e método de
Monte-Carlo e seu impacto na transferência de custódia. 2006. Dissertação (Mestrado em Tecnologia de
Processos Químicos e Bioquímicos) – Faculdade de Química, Universidade Federal do Rio de Janeiro, Rio de
Janeiro, 2006.
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• 
• 
 
INMETRO. Avaliação de dados de medição: Guia para a expressão de incerteza de medição. 1. ed. Rio de
Janeiro: Inmetro/Cicma/Sepin, 2012.
 
INMETRO. Vocabulário Internacional de Metrologia‒ Conceitos fundamentais e gerais e termos associados
(VIM 2012). 1. ed. luso-brasileira, autorizada pelo BIPM, da 3. ed. internacional do Vocabulário Internacional de
Metrologia (VIM). Rio de Janeiro: Inmetro, 2012.
 
MENDONÇA, A. J.; SERENO, H. R. S. Metrologia em massa. Rio de Janeiro: Inmetro, 2009.
 
MENDONÇA, A. J. Tópicos de Metrologia aplicada à Engenharia: estimativa e cálculo da incerteza de medição.
Rio de Janeiro: Inmetro, 2010.
 
MENDONÇA, A. J. Tópicos de Metrologia da grandeza massa, uma leitura do curso de pesagens industriais
ministrado para o Curso Técnico em Metrologia. Rio de Janeiro: Inmetro, 2011.
	Erros de mediação
	1. Itens iniciais
	Propósito
	Preparação
	Objetivos
	Erros de medição
	Conteúdointerativo
	1. Erros e suas caracterizações
	Introdução à Metrologia
	Conteúdo interativo
	Caracterização de erros
	Segundo o Vocabulário Internacional de Metrologia Legal (VIM, 2012), podemos definir o erro de medição como “a diferença entre o valor medido de uma grandeza e um valor de referência.”
	Atenção
	Erros sistemáticos
	Exemplo
	O erro sistemático é a parcela do erro que atua de modo previsível, ou seja, sua influência sempre ocorre em um mesmo sentido, contribuindo sistematicamente com um acréscimo ou uma diminuição em relação ao valor de referência.
	Decorrentes das fontes teóricas do modelo de medição
	Decorrentes da instrumentação utilizada
	Decorrentes de fatores ambientais
	Decorrentes dos procedimentos utilizados pelo operador da medição
	Erros aleatórios
	Exemplo
	Vibrações produzidas por um banho termostático na estabilização térmica de um líquido, que será posto em pesagem: podemos reduzir os efeitos de vibração, bem como identificar sua origem, mas os efeitos de sua ação sobre o sistema de medição são aleatórios. Possíveis soluções são o afastamento do banho termostático e a utilização de amortecedores, mas não podemos garantir a eficiência em 100% dos amortecedores, e o afastamento do banho aumenta o risco de variações térmicas no transporte, perdendo sua utilidade, dependendo do grau de exatidão requerido pelo processo.
	Testando valores extremos (outliers)
	Verificando o aprendizado
	Sobre as sete grandezas de base que compõem o Sistema Internacional de Unidades (SI), é correto afirmar que:
	É correto afirmar a respeito do tratamento de um erro sistemático:
	2. Principais tipos de fatores que influenciam os erros
	Fatores internos e externos de erros
	Conteúdo interativo
	Fontes de erros
	Atenção
	Fatores internos de erros
	A estabilidade dos padrões pode ser afetada pelo material e pela qualidade da sua fabricação, pelo acabamento superficial, material de ajuste instável, desgaste físico, desleixo e contaminação ambiental (e isso, normalmente, está relacionado com sua classe de exatidão).
	Atenção
	Sistemas mecânicos
	Sistemas elétricos
	Fatores externos de erros
	A variação da temperatura pode, também, ser causada por fator interno. Exemplo típico é o da não estabilidade dos sistemas elétricos de medição, em determinado tempo, após serem ligados. É necessário aguardar a estabilização térmica dos instrumentos/equipamentos para reduzir os efeitos da temperatura.
	Sistemas mecânicos
	Sistemas elétricos
	Minimizar fatores de erros
	Saiba mais
	Verificando o aprendizado
	A avaliação de desempenho precisa cobrir atributos do instrumento, que são significativos para o processo de medição. Com base nessa afirmação, é incorreto afirmar que a avaliação precisará incluir o seguinte fator interno:
	Que ferramenta da qualidade é muito útil para a compreensão de como cada grandeza de influência pode afetar o resultado de uma medição?
	3. Estimativa da incerteza de medição em um processo experimental
	Avaliação da incerteza
	Conteúdo interativo
	Atribuição das incertezas
	Saiba mais
	Esses institutos elaboraram um documento orientativo, com base na recomendação do Grupo de Trabalho do BIPM sobre a Declaração de Incertezas, que fornecia regras sobre a expressão de incerteza de medição para ser utilizada em normalização, calibração, acreditação de laboratórios e serviços de metrologia, promovendo completa informação sobre como conseguir uma declaração de incerteza e fornecendo uma base para a comparação internacional de resultados de medição. Desse modo, foi criado o Guia para Expressão da Incerteza de Medição (ISO GUM), que estabelece as diretrizes básicas para determinação da estimativa da incerteza de medição.
	Estimativa da incerteza das grandezas de entrada
	Média
	Mediana
	Moda
	Amplitude
	Desvio
	Variância
	Desvio padrão
	Todas as suposições informadas, palpites e imaginações fazem parte dos atos exploratórios e podem servir para a descoberta da "verdade", segundo certos estudiosos em filosofia da ciência, como Michael Polanyi, um físico-químico e polímata húngaro-britânico. Polanyi escreveu em The Tacit Dimension, que devemos começar da premissa de que "podemos saber mais do que podemos dizer" e chamou essa fase de pré-lógica de saber como "conhecimento tácito".
	Método de avaliação
	Quantificação das influências
	Determinação dos coeficientes de sensibilidade adequados
	O coeficiente de sensibilidade é um termo matemático que descreve como o mensurando varia com pequenas mudanças nos valores das estimativas da incerteza das grandezas de entrada e está associado com a taxa de variação da função, que descreve o modelo matemático da medição, em relação a cada uma de suas variáveis de entrada.
	Atenção
	Agrupamento das incertezas das grandezas de entrada
	Apresentação da incerteza expandida de medição
	Saiba mais
	A equação de Welch-Satterthwaite permite assegurar que quanto maior for o grau de liberdade, maior será a confiabilidade da incerteza expandida; contudo, deve-se ter em mente que essa fórmula só é válida quando as grandezas de entrada são independentes (não correlacionadas).
	Exemplo de estimativa da incerteza de medição de um processo
	Teoria na prática
	A riqueza da estimativa da incerteza de medição dependerá da riqueza da avaliação das grandezas de entrada e definição do modelo matemático de medição utilizado, além da qualidade dos insumos e das medições desenvolvidas no estudo.
	Verificando o aprendizado
	Marque a alternativa correta a respeito do documento de referência amplamente aplicado na estimativa e cálculo da incerteza de medição, internacionalmente aceito e reconhecido:
	Quando as contribuições para a incerteza de medição expandida não apresentarem a mesma unidade de medida, é possível, na determinação dos graus de liberdade efetivos:
	4. Conclusão
	Considerações finais
	Podcast
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	Referências