DOC-20241209-WA0019

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Universidade Federal de Pernambuco
CCEN - Departamento de Matemática - Área II
Primeiro Semestre de 2024
Primeira Prova de Cálculo 1 - 19/ago/2024
1. Calcule os seguintes limites:
a. (1,5 ponto) lim
x→0
4x cos(2x)
tg(3x) .
Solução
Para x próximo de 0 com x ≠ 0 temos tg(3x) = sen(3x)
cos(3x) ≠ 0, logo
4x cos(2x)
tg(3x) =
4x cos(2x)
sen(3x)
cos(3x)
=
4x cos(2x) cos(3x)
sen(3x)
=
4
3
· 3x
sen(3x) · cos(2x) · cos(3x) .
Quando x → 0, temos u = 3x → 0, logo
lim
x→0
3x
sen(3x) = lim
u→0
1
sen(u)
u
=
1
1
= 1 .
Aplicando este resultado junto com a lei do produto para limites e a continuidade
da função cosseno, concluímos que
lim
x→0
4x cos(2x)
tg(3x) =
4
3
· 1 · cos(2 · 0) · cos(3 · 0) = 4
3
.
2
b. (1,0 ponto) lim
t→2−
1 − t
(t − 2)(t − 6) .
Solução
Quanto t → 2− temos t − 2 → 0−, logo
lim
t→2−
1 − t
(t − 2)(t − 6) =
1 − 2
0− · (2 − 6)
=
−1
0− · (−4)
=
1
4
· 1
0−
=
1
4
· (−∞)
= −∞ .
3
2. (1,5 ponto) Dado a ∈ ℝ, considere a função f : ℝ → ℝ definida por
f(t) =

5(t − a)
t2 + 4
, se t ⩽ 1;
24(t − 1)
t2 + 4t − 5
, se t > 1.
Determine o valor de a que faz com que f seja contínua no ponto t = 1.
Solução
Primeiramente note que t2 + 4 > 0, logo a expressão de f(t) para t ⩽ 1 existe como
número real (de fato existe para todo t ∈ ℝ).
Por outro lado, vale t2 + 4t − 5 = (t + 5)(t − 1), logo t2 + 4t − 5 = 0 apenas para
t = −5 e t = 1; em particular, a expressão de f(t) para t > 1 faz sentido como número
real, e satisfaz
(✠) f(t) = 24 ·����(t − 1)
(t + 5) ·����(t − 1) =
24
t + 5
(pois t − 1 > 0).
Ora, continuidade de f no ponto t = 1 significa que vale
(‡) f(1) = lim
t→1−
f(t) = lim
t→1+
f(t) .
Se t → 1−, então em particular vale t 1, logo por (✠) teremos
lim
t→1+
f(t) = lim
t→1+
24
t + 5
=
24
1 + 5
= 4 .
Desta forma, a condição (‡) equivale a termos 1 − a = 4, logo a = −3.
4
3. a. (1,5 ponto) Calcule, usando a definição, a derivada da função g(t) = 4
3 − t2
no
ponto t = −1.
Solução
Note que 3− t2 = 0 apenas para t = ±
√
3 . Em particular a função g está definida
no intervalo aberto I = (−
√
3 ,
√
3 ), o qual contém o ponto t = −1. Para t neste
intervalo I vale
g(t) − g(−1) = 4
3 − t2
− 4
3 − (−1)2
=
4
3 − t2
− 4
2
=
4 · 2 − 4 · (3 − t2)
2(3 − t2)
=
−4 + 4t2
2(3 − t2)
=
4(t2 − 1)
2(3 − t2)
=
2(t + 1)(t − 1)
3 − t2
.
Se t → −1, então em particular vale t ∈ I e t ≠ −1, logo t + 1 ≠ 0, o que implica
g(t) − g(−1)
t − (−1) =
2(t+1)(t−1)
3−t2
t+1
1
=
2 ·����(t + 1) · (t − 1) · 1
����(t + 1) · (3 − t2) =
2(t − 1)
3 − t2
.
Portanto
g′(−1) = lim
t→−1
g(t) − g(−1)
t − (−1) = lim
t→−1
2(t − 1)
3 − t2
=
2(−1 − 1)
3 − (−1)2 =
−4
2
= −2 .
5
b. (1,5 ponto) Determine a equação da reta tangente ao gráfico da função h(x) =
(x − 1) sen(x) − 2 no ponto com abscissa 0.
Solução
Lembre que a equação da reta passando pelo ponto (x0,y0) com coeficiente angu-
lar m é dada por y−y0 = m(x−x0). No caso particular da reta tangente requerida
temos (x0,y0) = (0,h(0)) e m = h′(0).
Ora, h(0) = (0 − 1) sen(0) − 2 = (−1) · 0 − 2 = −2. Ainda, usando as regras de
derivação obtemos
h′(x) = [(x − 1) sen(x)]′ − 2′
= (x − 1)′ sen(x) + (x − 1) sen′(x) − 0
= 1 · sen(x) + (x − 1) cos(x) ,
o que implica h′(0) = sen(0)+(0−1) cos(0) = 0+(−1)·1 = −1. Consequentemente,
a equação da reta tangente requerida é y − h(0) = h′(0)(x − x0), isto é,
y − (−2) = −(x − 0)
(a qual, após simplificação, vira y = −x − 2).
6
4. Usando regras de derivação calcule a derivada das seguintes funções:
a. (1,0 ponto) Q(t) = (t6 − 2)8 − (9 − t3) 4√
t .
Solução
Escrevendo 4√
t = t1/4, obtemos
Q(t) = (t6 − 2)8 − (9 − t3)t1/4
= (t6 − 2)8 − 9t1/4 + t3+(1/4) .
Aplicando as regras da soma, da cadeia e da função potência, obtemos
Q′(t) = 8(t6 − 2)7(t6 − 2)′ − 9 · 1
4
· t(1/4)−1 +
(
3 + 1
4
)
t3+(1/4)−1
= 8(t6 − 2)7(6t5 − 0) − 9
4
· t−3/4 + 13
4
· t9/4
= 48t5(t6 − 2)7 − 9
4
· t−3/4 +
13
4
· t9/4 .
7
b. (1,5 ponto) A(x) = sec3(2x − 1) .
Solução
Se u = 2x − 1 e z = sec(u), então temos A(x) = z3. Assim, pela regra da cadeia
aplicada duas vezes teremos
dA
dx
=
dz3
dz
· dz
dx
= 3z2 ·
(
dz
du
· du
dx
)
= 3 sec2(u) · [sec(u) tg(u) · 2]
= 6 sec3(2x − 1) tg(2x − 1) .
8
c. (1,5 ponto) h(θ) = cos θ
1 −
√
θ
.
Solução
Escrevendo
√
θ = θ1/2, e aplicando as regras do quociente, da subtração e da
função potência, temos
h′(θ) = cos′(θ) · (1 − θ1/2) − cos(θ) · (1 − θ1/2)′
(1 − θ1/2)2
=
− sen(θ) · (1 − θ1/2) − cos(θ) · (0 − 1
2θ
(1/2)−1)
(1 − θ1/2)2
=
− sen(θ) · (1 − θ1/2) + 1
2 cos(θ) · θ
−1/2
(1 − θ1/2)2
.