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Bola aberta e ponto de acumulação Limites Continuidade Referências LIMITES E CONTINUIDADE (FUNÇÕES REAIS DE DUAS VARIÁVEIS REAIS) Prof. Ricardo Saldanha de Morais Centro Federal de Educação Tecnológica de Minas Gerais Departamento de Matemática (http://www.dm.cefetmg.br) I semestre de 2024 http://www.dm.cefetmg.br Bola aberta e ponto de acumulação Limites Continuidade Referências Sumário 1 Bola aberta e ponto de acumulação 2 Limites Definição Propriedades dos limites 3 Continuidade 4 Referências Bola aberta e ponto de acumulação Limites Continuidade Referências Bola aberta e ponto de acumulação Se P � �x1, y1� e Q � �x2, y2� são pontos no plano, então a distância entre P e Q é dada por dist�P,Q� � Õ�x2 � x1�2 � �y2 � y1�2 . Se P � �x1, y1, z1� e Q � �x2, y2, z2� são pontos no espaço, dist�P,Q� � Õ�x2 � x1�2 � �y2 � y1�2 � �z2 � z1�2 . De modo geral, se P � �p1, p2, . . . , pn� e Q � �q1, q2, . . . , qn� são pontos no Rn , então a distância entre P e Q é dada por dist�P,Q� � Ô�q1 � p1�2 � �q2 � p2�2 ��� �qn � pn�2 . Definição (Bola aberta) Sejam A um ponto do Rn e r um número real positivo. A bola aberta B�A; r� é o conjunto de todos os pontos P " Rn tais que dist�P,A� $ r, i.e., B�A; r� � sP " Rn ·dist�P,A� $ ry . Exemplo 1 (Bola aberta no R1 ) Sejam a " R1 e r um número real positivo. A bola aberta B�a; r� é o conjunto de todos os pontos x " R1 tais que dist�x, a� $ r, isto é,Õ�x � a�2 $ r¿ ¶x � a¶ $ r¿ �r $ x � a $ r¿ a � r $ x $ a � r . Exemplo 2 (Bola aberta no R2 ) Sejam A � �x0, y0� " R2 e r um número real positivo. A bola aberta B�A; r� é o conjunto de todos os pontos �x, y� " R2 tais que dist ��x, y� , �x0, y0�� $ r¿Ô�x � x0�2 � �y � y0�2 $ r¿ �x � x0�2 � �y � y0�2 $ r 2 . Exemplo 3 (Bola aberta no R3 ) Sejam A � �x0, y0, z0� " R3 e r um número real positivo. A bola aberta B�A; r� é o conjunto de todos os pontos �x, y, z� " R3 tais que dist ��x, y, z� , �x0, y0, z0�� $ r¿Õ�x � x0�2 � �y � y0�2 � �z � z0�2 $ r¿ �x � x0�2 � �y � y0�2 � �z � z0�2 $ r 2 . Isto é, B�A; r� é a região delimitada pela esfera�x � x0�2 � �y � y0�2 � �z � z0�2 � r 2 , exclúıda a esfera. Definição (Ponto de acumulação) Um ponto P0 é um ponto de acumulação de um conjunto não vazioR N Rn se, para todo r % 0, a bola aberta B�P0; r� contém uma infinidade de pontos da região R. Bola aberta e ponto de acumulação Limites Continuidade Referências Exemplo 4 Seja R � t�x, y� " R2 ·x % 1 e y % 1z�x,y���0,0� �Óx � Ó y�� P2 � � lim �x,y���0,0� x� � lim �x,y���0,0� x 1©2 � lim �x,y���0,0� y 1©2� P0 e P5 � 0 �01©2 � 0 1©2� � 0 . Como o limite, quando existe, é único, vale a seguinte Regra dos Caminhos Se ao longo de dois caminhos diferentes para o ponto �x0, y0�, os limites de f�x, y�, quando�x, y� tende a �x0, y0�, são distintos ou um de- les não existe, então lim �x,y���x0,y0� f�x, y� não existe. Exemplo 10 Seja f�x, y� � 2x y x2 � y2 . Mostre que lim �x,y���0,0� f�x, y� não existe. Solução: Ao longo do eixo y, isto é, x � 0 e y j 0, temos que f�x, y� »»»»»»»»x�0, yj0 � 2 � 0 � y 02 � y2 � 0 y2 � 0 e, por isso, lim �x,y���0,0� f�x, y� � lim y�0 0 � 0 . Exemplo 10 (cont.) Ao longo da reta y � x, x j 0, temos que f�x, y� »»»»»»»»y�x,xj0 � 2xx x2 � x2 � ��2x2 ��2x2 � 1 e, assim, lim �x,y���0,0� f�x, y� � lim x�0 1 � 1 . Visto que os limites acima são distin- tos, pela Regra dos Caminhos, lim �x,y���0,0� f�x, y� não existe. Exemplo 11 Seja f�x, y� � ~�������� x y 2 x2 � y4 se �x, y� j �0, 0� 1 se �x, y� � �0, 0� . Calcule lim �x,y���0,0� f�x, y� se existir. Solução: Seja m " R. Ao longo da reta y � mx, x j 0, temos que f�x, y� »»»»»»»»y�mx,xj0 � x�mx�2 x2 � �mx�4 � m 2 ��x 3 �m4x2 � 1���x2 � m 2 x m4x2 � 1 . Bola aberta e ponto de acumulação Limites Continuidade Referências Definição Propriedades dos limites Exemplo 11 (cont.) Portanto, ao longo de qualquer reta não vertical passando pela origem, lim �x,y���0,0� f�x, y� � lim x�0 m 2 x m4x2 � 1 � 0 . Em relação à reta vertical x � 0, y j 0, o limite também é zero (verifique!). Ao longo da parábola x � y 2 , y j 0, vemos que f�x, y� »»»»»»»»x�y2, yj0 � y 2 y 2 �y2�2 � y4 � ��y 4 2��y 4 � 1 2 . Então, ao longo desse caminho, lim �x,y���0,0� f�x, y� � lim y�0 1 2 � 1 2 . Dado que os limites acima são diferentes, de acordo com a Regra dos Cami- nhos, lim �x,y���0,0� f�x, y� não existe. É oportuno destacar que, no exemplo anterior, o limite da função ao longo de uma infinidade de caminhos para �0, 0� é zero. Contudo, o limite da função, quando �x, y� tende a �0, 0�, não existe. Exemplo 12 Seja f�x, y� � 3x y 2 x2 � y2 . Calcule lim �x,y���0,0� f�x, y� se existir. Solução: Ao longo do caminho y � x, x j 0, lim �x,y���0,0� f�x, y� � lim x�0 3xx 2 x2 � x2 � lim x�0 3��x 3 2��x 2 � lim x�0 3 2 x � 0 . Ao longo da curva y � x 2 , x j 0, lim �x,y���0,0� f�x, y� � lim x�0 3x �x2�2 x2 � �x2�2 � lim x�0 3��x 5 ��x 2 �1 � x2� � lim x�0 3x 3 1 � x2 � 0 . Neste caso, f é uma função racional com grau do numerador maior que o grau do denominador e tal que lim �x,y���0,0� 3xy 2 � lim �x,y���0,0� �x2 � y 2� � 0. Es- sas condições, juntamente com os resultados dos limites por caminho acima, nos levam a suspeitar que o limite existe e que ele deve ser igual a zero (Cui- dado! Isto não é um critério determinante). Vamos então tentar provar que lim �x,y���0,0� f�x, y� � 0 usando a definição de limite, já que nenhum dos resultados vistos, até o momento, pode ser apli- cado. Exemplo 12 (cont.) Queremos mostrar que, para todo ϵ % 0, existe δ % 0 tal que, se 0 $ Õ�x � 0�2 � �y � 0�2 $ δ, então ¶f�x, y� � 0¶ $ ϵ (2) Podemos escrever ¶f�x, y� � 0¶ � »»»»»»»»» 3x y 2 x2 � y2 »»»»»»»»» � 3¶x¶ y 2 x2 � y2 . Além disso, como y 2 & x 2 � y 2 e x 2 & x 2 � y 2 , temos que y 2 x2 � y2 & 1 eÓ x2 & Ô x2 � y2. Consequentemente, 3¶x¶ y 2 x2 � y2 & 3¶x¶ � 3 Ô x2 & 3 Õ x2 � y2 . Desse modo, 0 $ Ô x2 � y2 $ ϵ 3 implica que ¶f�x, y� � 0¶ & 3 Õ x2 � y2 $ 3 � ϵ 3 � ϵ. Isto é, para δ � ϵ 3 , a condição (2) é satisfeita. Logo, lim �x,y���0,0� f�x, y� � 0. Teorema 4 (Teorema do Confronto) Se f�x, y� & h�x, y� & g�x, y� para todo �x, y� pertencente a bola aberta centrada no ponto �x0, y0� (exceto possivelmente em �x0, y0�) e lim �x,y���x0,y0� f�x, y� � lim �x,y���x0,y0� g�x, y� � L , então lim �x,y���x0,y0� h�x, y� � L . Exemplo 13 Sabemos, do exemplo anterior, que »»»»»»»»» 3x y 2 x2 � y2 »»»»»»»»» & 3 Ô x2 � y2 para todo �x, y� " R2 � r�0, 0�x . Isso implica que �3 Õ x2 � y2 & 3x y 2 x2 � y2 & 3 Õ x2 � y2 para todo �x, y�, �x, y� j �0, 0�, de uma bola aberta centrada na origem e de raio qualquer. Como lim �x,y���0,0� �3 Õ x2 � y2 � lim �x,y���0,0� 3 Õ x2 � y2 � 0, o Teorema do Confronto assegura que lim �x,y���0,0� 3x y 2 x2 � y2 � 0 . Bola aberta e ponto de acumulação Limites Continuidade Referências Continuidade Definição (Continuidade) Uma função f � D N R2 º R é cont́ınua no ponto �x0, y0� se e só se (i) f está definida em �x0, y0�, isto é, �x0, y0� " D, (ii) lim �x,y���x0,y0� f�x, y� existe e (iii) lim �x,y���x0,y0� f�x, y� � f�x0, y0�. f é cont́ınua se e só se é cont́ınua em todos os pontos de seu domı́nio D. Se f está definida em �x0, y0� mas uma das condições (ii) e (iii) acima não é satisfeita, dizemos que f é descont́ınua no ponto �x0, y0�. Teorema 5 (Uma classe bem comportada) Uma função racional é cont́ınua em todos os pontos de seu domı́nio. Exemplo 14 Seja g�x, y� � ~�������� 3x y 2 x2 � y2 se �x, y� j �0, 0� 0 se �x, y� � �0, 0� . Essa função é cont́ınua? Solução: A função g está definida em todo R2 . Para �x, y� j �0, 0�, g�x, y� coincide com f�x, y� � 3x y 2 x2 � y2 , que é uma função racional definida em R2 �r�0, 0�x . Portanto, g é cont́ınua em cada um dos pontos de R2 � r�0, 0�x . Resta saber se g é cont́ınua no ponto �0, 0�. De acordo com o Exemplo 12, podemos escrever lim �x,y���0,0� g�x, y� � lim �x,y���0,0� 3x y 2 x2 � y2 � 0. Em outros termos, lim �x,y���0,0� g�x, y� � g�0, 0�, isto é, g é cont́ınua em �0, 0�. Como g é cont́ınua em todos os pontos de seu domı́nio, g é uma função cont́ınua. Teorema 6 (Propriedades básicas) Sejam f e g funções reais de duas variáveis reais cont́ınuas no ponto �x0, y0�. Então, (i) f � g é cont́ınua em �x0, y0�, (ii) f � g é cont́ınua em �x0, y0� e (iii) f g é cont́ınua em �x0, y0�, desde que g�x0, y0� j 0 . Teorema 7 (Continuidade de funções compostas) Sejam g uma função real de uma variável real e h uma função real de duas variáveis reais. Suponha que h seja cont́ınua em �x0, y0� e que g seja cont́ınua em h�x0, y0�. Então a função composta g ` h é cont́ınua em �x0, y0�. Exemplo 15 Identifique os pontos nos quais a função f�x, y� � ln �4 � x 2 � y 2� é cont́ınua. Solução: A função f é composta das funções g�u� � lnu e h�x, y� � 4 � x 2 � y 2 , isto é, f�x, y� � g�h�x, y��. Sabemos que g é cont́ınua no intervalo �0,�� e que h é cont́ınua em R2 . Além disso, h�x, y� % 0¿ 4 � x 2 � y 2 % 0¿ x 2 � y 2 $ 4. Por conseguinte, pelo Teorema 7, podemos inferir que f é cont́ınua em cada um dos pontos do conjunto Df � t�x, y� " R2 ·x2 � y 2 $ 4z . Exemplo 16 Pelo mesmo racioćınio empregado no exemplo anterior, podemos deduzir que as funções r�x, y� � e x�y e s�x, y� � sen �x � y� são cont́ınuas em R2 e que a função t�x, y� � arctg � yx é cont́ınua no con- junto Dt � t�x, y� " R2 ·x j 0z (confira!). Podemos então estabelecer, por exemplo, as seguintes igualdades Exemplo 16 (cont.) (a) lim �x,y���π,π©2� sen�x � y� x P4 � lim �x,y���π,π©2� sen�x � y� lim �x,y���π,π©2� x � sen �π � π©2� π � � 1 π , (b) lim �x,y���ln3,ln2� e x�y � e ln3�ln2 � e ln 3 2 � 3 2 e (c) lim �x,y���1,Ó3� arctg � yx � arctg�Ó3 1 � � π 3 . Teorema 8 Sejam g uma função de uma única variável e h uma função de duas variáveis. Se lim �x,y���x0,y0� h�x, y� � a e g é cont́ınua em a, então lim �x,y���x0,y0� g�h�x, y�� � g�a� ou lim �x,y���x0,y0� g�h�x, y�� � g � lim �x,y���x0,y0� h�x, y� . Bola aberta e ponto de acumulação Limites Continuidade Referências Exemplo 17 Seja f�x, y� � ~���������� cos� 3x y 2 x2 � y2 � se �x, y� j �0, 0� 0 se �x, y� � �0, 0� . Essa função é cont́ınua na origem? Solução: Vimos no Exemplo 12 que lim �x,y���0,0�3x y 2 x2 � y2 � 0. Uma vez que a função cosseno é cont́ınua, o Teorema 8 implica que lim �x,y���0,0� f�x, y� � lim �x,y���0,0� cos� 3x y 2 x2 � y2 � � cos� lim �x,y���0,0� 3x y 2 x2 � y2 � � cos 0 � 1. Como lim �x,y���0,0� f�x, y� j f�0, 0�, a função f é descont́ınua no ponto �0, 0�. Bola aberta e ponto de acumulação Limites Continuidade Referências Referências THOMAS, G. Cálculo. 12. ed. São Paulo: Addison Wesley, 2009. v. 2. STEWART, J. Cálculo. 7. ed. São Paulo: Cengage Learning, 2013. v. 2. LEITHOLD, L. O Cálculo com Geometria Anaĺıtica. 3. ed. São Paulo: Harbra, 1994. v.2. https://www.geogebra.org/ LATEX https://www.latex-project.org/ https://www.geogebra.org/ https://www.latex-project.org/ Bola aberta e ponto de acumulação Limites Definição Propriedades dos limites Continuidade Referências
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