Grupo Prominas - Educação e Tecnologia

Prévia do material em texto

1
A
JU
ST
A
M
E
N
TO
S 
- 
 G
R
U
P
O
 P
R
O
M
IN
A
S
2
A
JU
ST
A
M
E
N
TO
S 
- 
 G
R
U
P
O
 P
R
O
M
IN
A
S
3
A
JU
ST
A
M
E
N
TO
S 
- 
 G
R
U
P
O
 P
R
O
M
IN
A
S
Núcleo de Educação a Distância
GRUPO PROMINAS DE EDUCAÇÃO
Diagramação: Rhanya Vitória M. R. Cupertino
PRESIDENTE: Valdir Valério, Diretor Executivo: Dr. Willian Ferreira.
O Grupo Educacional Prominas é uma referência no cenário educacional e com ações voltadas para 
a formação de profissionais capazes de se destacar no mercado de trabalho.
O Grupo Prominas investe em tecnologia, inovação e conhecimento. Tudo isso é responsável por 
fomentar a expansão e consolidar a responsabilidade de promover a aprendizagem.
4
A
JU
ST
A
M
E
N
TO
S 
- 
 G
R
U
P
O
 P
R
O
M
IN
A
S
Prezado(a) Pós-Graduando(a),
Seja muito bem-vindo(a) ao nosso Grupo Educacional!
Inicialmente, gostaríamos de agradecê-lo(a) pela confiança 
em nós depositada. Temos a convicção absoluta que você não irá se 
decepcionar pela sua escolha, pois nos comprometemos a superar as 
suas expectativas.
A educação deve ser sempre o pilar para consolidação de uma 
nação soberana, democrática, crítica, reflexiva, acolhedora e integra-
dora. Além disso, a educação é a maneira mais nobre de promover a 
ascensão social e econômica da população de um país.
Durante o seu curso de graduação você teve a oportunida-
de de conhecer e estudar uma grande diversidade de conteúdos. 
Foi um momento de consolidação e amadurecimento de suas escolhas 
pessoais e profissionais.
Agora, na Pós-Graduação, as expectativas e objetivos são 
outros. É o momento de você complementar a sua formação acadêmi-
ca, se atualizar, incorporar novas competências e técnicas, desenvolver 
um novo perfil profissional, objetivando o aprimoramento para sua atua-
ção no concorrido mercado do trabalho. E, certamente, será um passo 
importante para quem deseja ingressar como docente no ensino supe-
rior e se qualificar ainda mais para o magistério nos demais níveis de 
ensino.
E o propósito do nosso Grupo Educacional é ajudá-lo(a) 
nessa jornada! Conte conosco, pois nós acreditamos em seu potencial. 
Vamos juntos nessa maravilhosa viagem que é a construção de novos 
conhecimentos.
Um abraço,
Grupo Prominas - Educação e Tecnologia
5
A
JU
ST
A
M
E
N
TO
S 
- 
 G
R
U
P
O
 P
R
O
M
IN
A
S
6
A
JU
ST
A
M
E
N
TO
S 
- 
 G
R
U
P
O
 P
R
O
M
IN
A
S
Olá, acadêmico(a) do ensino a distância do Grupo Prominas!
É um prazer tê-lo em nossa instituição! Saiba que sua escolha 
é sinal de prestígio e consideração. Quero lhe parabenizar pela dispo-
sição ao aprendizado e autodesenvolvimento. No ensino a distância é 
você quem administra o tempo de estudo. Por isso, ele exige perseve-
rança, disciplina e organização. 
Este material, bem como as outras ferramentas do curso (como 
as aulas em vídeo, atividades, fóruns, etc.), foi projetado visando a sua 
preparação nessa jornada rumo ao sucesso profissional. Todo conteúdo 
foi elaborado para auxiliá-lo nessa tarefa, proporcionado um estudo de 
qualidade e com foco nas exigências do mercado de trabalho.
Estude bastante e um grande abraço!
Professor: Josevando de Sousa Silva
7
A
JU
ST
A
M
E
N
TO
S 
- 
 G
R
U
P
O
 P
R
O
M
IN
A
S
O texto abaixo das tags são informações de apoio para você ao 
longo dos seus estudos. Cada conteúdo é preprarado focando em téc-
nicas de aprendizagem que contribuem no seu processo de busca pela 
conhecimento.
Cada uma dessas tags, é focada especificadamente em partes 
importantes dos materiais aqui apresentados. Lembre-se que, cada in-
formação obtida atráves do seu curso, será o ponto de partida rumo ao 
seu sucesso profissional.
8
A
JU
ST
A
M
E
N
TO
S 
- 
 G
R
U
P
O
 P
R
O
M
IN
A
S
Esta unidade abordará os principais conceitos acerca do ajus-
tamento de observações geodésicas. Para compreender o que é ajusta-
mento é necessário saber que este é um ramo da matemática aplicada 
e que tem como objetivo a solução única para questões que o número 
de observações (medições) é redundante e o sistema ao qual estas 
observações estão inseridas é dotado de inconsistências nas equações 
e nos modelos matemáticos, assim como as estimativas para a solução 
e para a precisão que se espera do levantamento/estudo. Desta for-
ma, convencionou-se adotar a solução única pelo Método dos Mínimos 
Quadrados (MMQ) que foi desenvolvido pelos matemáticos Legendre 
em 1805 e Gauss em 1795. Além disso, serão apresentados os concei-
tos de teoria dos erros de observações, bem como os métodos para se 
realizar o ajustamento e quais os modelos que podem ser usados para 
tal fim. 
Ajustamento de Observações. Método dos Mínimos Quadrados. 
Modelos para Ajustamento.
9
A
JU
ST
A
M
E
N
TO
S 
- 
 G
R
U
P
O
 P
R
O
M
IN
A
S
 CAPÍTULO 01
FUNDAMENTOS DO AJUSTAMENTO DE OBSERVAÇÕES GEODÉSI-
CAS 
Apresentação do Módulo ______________________________________ 11
13
36
15
21
Conceito de Observação ou Medida ____________________________
Princípios do MMQ ____________________________________________
Modelo Matemático ____________________________________________
Precisão e Acurácia _____________________________________________
 CAPÍTULO 02
MÉTODO DOS MÍNIMOS QUADRADOS (MMQ)
Introdução ao MMQ ___________________________________________ 35
28Recapitulando ________________________________________________
Modelos Lineares e Não Lineares _______________________________ 39
18
23
Erros de Observação ___________________________________________
Princípios e Técnicas de Propagação ____________________________
38Ajustamento pelo MMQ _______________________________________
Condicionamento de Sistemas e Ajustamento de Observações 
Diretas ________________________________________________________
Análise Estatística do Ajustamento _____________________________
Recapitulando _________________________________________________
44
50
52
10
A
JU
ST
A
M
E
N
TO
S 
- 
 G
R
U
P
O
 P
R
O
M
IN
A
S
Método Paramétrico ___________________________________________
Método dos Correlatos _________________________________________
56
62
Método dos Combinados ______________________________________ 67
Recapitulando _________________________________________________ 73
Fechando a Unidade ___________________________________________ 79
Referências ____________________________________________________ 92
Injunções, Análise da Qualidade do Ajustamento, Elipse e Elipsoi-
de dos Erros e Testes Estatísticos para Análise __________________ 70
 CAPÍTULO 03
MÉTODOS DE AJUSTAMENTOS
11
A
JU
ST
A
M
E
N
TO
S 
- 
 G
R
U
P
O
 P
R
O
M
IN
A
S
Este módulo apresentará os principais conceitos acerca do 
tema de Ajustamentos de observações geodésicas. Sendo o ajusta-
mento um ramo da matemática aplicada, esta operação tem por finali-
dade a solução única para problemas onde o número de medidas (ob-
servações) tenham um sistema de equações inconsistentes e número 
abundante e/ou redundante de observações, através da resolução pelo 
método dos mínimos quadrados (MMQ), método este desenvolvido por 
Gauss e Legendre.
A Figura 1 exemplifica uma rede de nivelamento geométrico. 
Dado os desníveis medidos, a altitude de A pode ser transportada até L 
de diversas maneiras e caminhos, sob inúmeras soluções e métodos. 
O intuito do ajustamento é, portanto, conduzir a uma única solução, 
independente do modelo que será adotado e fazendo as variáveis e 
os resultados serem consistentes com o modelo matemático utilizado. 
Caso, por exemplo, o valor de L seja fixo, as medidas são ajustadas 
de tal forma que o transporte das coordenadas (altitudes) a partir de A 
influencie L a valores idênticos ao fixado. 
Figura 1: Rede de nivelamento
FONTE: GEMAEL (1994)
Além disso, para que haja ajustamento, é necessário o núme-
ro de dados, quer seja observações ou medidas, excederam o mínimo 
indispensável à solução do problema. No fim, estima-se valores para 
as incógnitas, bem como para suas precisões,os parâmetros 
aproximados quanto às observações e que representa o erro de fecha-
mento da equação W, tem-se:
A matriz das derivadas parciais em relação aos parâmetros é 
dada por:
A matriz X, o vetor da diferença é dado por X = Xa – X0, assim, 
aplicando B em relação a matriz das derivadas parciais, tem-se:
O vetor dos resíduos é dado por V = La - Lb, assim, linearizando 
o modelo para o método combinado tem-se:
68
A
JU
ST
A
M
E
N
TO
S 
- 
 G
R
U
P
O
 P
R
O
M
IN
A
S
As equações normais para este método são dadas por:
Onde K é o vetor dos multiplicadores de Lagrange. Anulando 
as derivadas parciais em relação a V, K e X, tem-se:
A primeira equação matricial é dada por:
A segunda:
A terceira:
Assim, tem-se o vetor das correções dos parâmetros aproxi-
mados dado por:
A variância a posteriori é dada por:
O vetor dos parâmetros ajustados é dado por Xa = X0 + X e a 
estimativa do valor (ou do conjunto de valores) dos parâmetros é dada 
por:
Assim, aplicando a Lei de Propagação de Covariâncias e de-
senvolvendo, matematicamente todas as variáveis envolvidas, tem-se:
69
A
JU
ST
A
M
E
N
TO
S 
- 
 G
R
U
P
O
 P
R
O
M
IN
A
S
O vetor das observações ajustadas é dado por:
Por meio do qual pode ser calculado La = Lb + V (vetor dos va-
lores observados ajustados). A matriz variância-covariância é dada por:
70
A
JU
ST
A
M
E
N
TO
S 
- 
 G
R
U
P
O
 P
R
O
M
IN
A
S
O vetor dos resíduos é dado por:
O vetor do erro de fechamento é dado por W = F(Lb, X0).
INJUNÇÕES, ANÁLISE DA QUALIDADE DO AJUSTAMENTO, ELIP-
SE E ELIPSOIDE DOS ERROS E TESTES ESTATÍSTICOS PARA 
ANÁLISE
Injunções no ajustamento de observações é uma restrição 
imposta em alguns dos parâmetros. A equação da injunção é descrita 
como uma equação onde só existem parâmetros e é representada por 
G (Xa) = 0. Elas podem ser de três tipos: injunções absolutas, injunções 
relativas ou injunções funcionais. A primeira se dá quando um parâme-
tro é fixado no ajustamento e sua variância é tida como nula.
A injunção relativa é quando os parâmetros são tratados como 
observações adicionais ou pseudo-observações. É também conhecida 
como injunção com peso. Por último, a injunção funcional é quando há 
uma relação (funcional) entre os parâmetros, e esta relação deve obe-
decer a uma estipulada condição, quer seja física ou geométrica e o seu 
valor pode ser conhecido ou não. Também é importante mencionar que 
podem envolver todos os parâmetros, ou apenas partes deles.
A análise da qualidade do ajustamento diz respeito ao controle 
de qualidade que o ajustamento deve ter para se encaixar numa boa 
precisão ou acurácia. Em geral, num problema de ajustamento, os fa-
tores mais importantes a considerar-se no controle de qualidade são a 
economia, a precisão e a confiabilidade. A economia é importante do 
ponto de vista financeiro ao projetar um empreendimento, a precisão 
indica a dispersão dos resultados onde não há erros aparentes.
A confiabilidade indica a capacidade das observações redun-
dantes na detecção de erros, quer seja nos modelos quer seja nas ob-
servações e com nível de confiança satisfatório. Baarda (1968) definiu o 
tamanho máximo do erro não detectado. Os maiores exemplos de testes 
estatísticos que avaliam a qualidade do ajustamento são: método de Baar-
da (teste data snooping), teste Qui-quadrado (ou Teste Global do Modelo, 
da sigla TGM ou ainda teste n-dimensional), teste de Pope, teste de Tau. 
A temática elipse e elipsoide dos erros é útil quando, ao realizar 
o ajustamento, por exemplo, de redes de topografia, geodésia ou aero-
fotogrametria através do método dos mínimos quadrados, além da sua 
matriz variância-covariância, é possível vislumbrar uma interpretação 
visual do resultado do ajustamento. A Figura 8 representa uma elipse 
71
A
JU
ST
A
M
E
N
TO
S 
- 
 G
R
U
P
O
 P
R
O
M
IN
A
S
dos erros, para fins de demonstração, obtidos através de um exemplo 
contido na Apostila da UNESP de Ajustamento de Observações.
72
A
JU
ST
A
M
E
N
TO
S 
- 
 G
R
U
P
O
 P
R
O
M
IN
A
S
Figura 8: Representação da elipse dos erros
FONTE: CAMARGO (2000)
Além dos testes apresentados anteriormente para fins de ve-
rificação da confiabilidade do levantamento, alguns outros testes são 
usuais na literatura acadêmica sobre o ajustamento. São eles: os testes 
de detecção e análise de deformação, teste de congruência global, aná-
lise de tendência e precisão. Tais testes e aplicações analíticas devem 
ser empregadas a fim de obter um resultado mais robusto para o ajusta-
mento, sendo capaz assim de qualificá-lo de alta precisão.
73
A
JU
ST
A
M
E
N
TO
S 
- 
 G
R
U
P
O
 P
R
O
M
IN
A
S
QUESTÕES DE CONCURSOS
QUESTÃO 1
Ano: 2017 Banca: FUNRIO Órgão: SESAU-RO Prova: Estatístico.
Observe a tabela de contingências a seguir:
O valor da estatística qui-quadrado usual para se testar a indepen-
dência entre os atributos A e B é igual a:
a) 7,6.
b) 10,2.
c) 14,4.
d) 20,6.
e) 22,8.
QUESTÃO 2
Ano: 2013 Banca: CETRO Órgão: Ministério das Cidades Prova: 
Estatístico.
Para verificar a aderência de um ajuste, assinale a alternativa que 
apresenta a estratégia adequada.
a) Médias móveis.
b) Teste do qui-quadrado.
c) Teste de T-student.
d) Covariância.
e) Coeficiente de Pearson.
QUESTÃO 3
Ano: 2016 Banca: FGV Órgão: IBGE Prova: Analista - Geoproces-
samento.
Na estimação de coordenadas por meio das tecnologias GNSS, o 
processamento das observações tem aspecto fundamental na ob-
tenção de uma melhor qualidade das coordenadas. Na fase de pro-
cessamento das observações, podem ser utilizados:
a) a estimação por MMQ; a escolha do ambiente computacional; o con-
trole de qualidade;
74
A
JU
ST
A
M
E
N
TO
S 
- 
 G
R
U
P
O
 P
R
O
M
IN
A
S
b) a estimação por filtragem de Kalman; a elaboração do plano de coleta 
das observações; o uso de centragem forçada; 
c) os modelos funcional e estocástico adequados às observações; a 
escolha do método de posicionamento; a calibração do rastreador;
d) a técnica Data Snooping; a elaboração dos DoPs – Dilution of Pre-
cision; a verificação da existência e estado do apoio geodésico básico;
e) a reescalação da matriz variância covariância dos parâmetros; a de-
finição do intervalo e tempo de rastreio; a identificação das possíveis 
obstruções às observações.
QUESTÃO 4
Ano: 2019 Banca: IFTO Órgão: IFTO Prova: Professor de Ensino 
Básico, Técnico e Tecnológico - Área: Geomática.
O princípio básico do ajustamento é regido pelo critério do Método 
dos Mínimos Quadrados, proposto há dois séculos por GAUSS e LE-
GENDRE: “Aceitar como melhor estimativa de La, o valor que torne 
mínima a soma dos quadrados dos resíduos” (GEMAEL, 2004). Para 
um determinado modelo e conjunto de observações, o Método dos 
Mínimos Quadrados produz um único resultado, porém há diversos 
métodos que podem ser empregados. Qualquer que seja o método 
empregado, a resposta final será a mesma. Em relação aos métodos 
de ajustamento empregados, assinale a alternativa correta:
a) Quando os valores observados ajustados podem ser expressos expli-
citamente como uma função dos parâmetros ajustados, isto é, quando 
se verifica o modelo matemático: F(La,Xa)=0, dizemos que o ajusta-
mento se processa pelo método paramétrico.
b) O modelo matemático que caracteriza o método das equações de 
condição ou dos correlatos, sob notação matricial: F(La)=0, sintetiza o 
conjunto de equações a serem satisfeitas pelas observações ajustadas.
c) O modelo matemático La= F(Xa) reúne tanto parâmetros ajustados 
como valores observados, porém ligados por uma função não explícita, 
denominado método combinado.
d) O método paramétrico apresenta no modelo os valores observados 
para obter as equações de condição transformadas com outras incóg-
nitas (os resíduos).
e) O método das equações de condição trabalha com observações indi-
retas, quando se deseja estimar grandezas que se vinculam às grande-
zas observadas através de algum modelo matemático.
QUESTÃO 5
Ano: 2016 Banca: ESAF Órgão: FUNAI Prova: EngenheiroAgrimen-
sura. 
75
A
JU
ST
A
M
E
N
TO
S 
- 
 G
R
U
P
O
 P
R
O
M
IN
A
S
Após o ajustamento das observações, no método de variação 
de coordenadas, faz-se o cálculo da matriz variância-covariância 
(MVC) para se ter as estimativas das precisões das coordenadas 
ajustadas. Assinale a opção que indica corretamente como se ob-
tém os semieixos da elipse dos erros.
a) raiz quadrada dos autovetores da MVC.
b) Raiz quadrada das variâncias da MVC.
c) Os autovalores da MVC.
d) Os autovetores da MVC.
e) A raiz quadrada dos autovalores da MVC.
QUESTÃO DISSERTATIVA – DISSERTANDO A UNIDADE
Disserte sobre o controle de qualidade de observações geodésicas. 
Como sugestão de pesquisa, é indicada a dissertação de mestrado 
de Klein, disponível através do link: https://www.lume.ufrgs.br/hand-
le/10183/38615.
TREINO INÉDITO
Quais os tipos de injunções possíveis no ajustamento de observa-
ções?
a) Injunções absolutas, injunções normativas ou injunções funcionais.
b) Injunções absolutas e injunções relativas.
c) Injunções absolutas, injunções relativas ou injunções funcionais.
d) Injunções absolutas e injunções estocásticas.
e) Injunções absolutas, injunções relativas ou injunções estocásticas.
NA MÍDIA
QUAL A PREVALÊNCIA DE ESTEATOSE HEPÁTICA EM CRIAN-
ÇAS COM FIBROSE CÍSTICA?
A fibrose cística (FC) é uma doença genética grave, frequente em indiví-
duos de raça branca. Ocorre em uma incidência de cerca de um para cada 
três mil nascidos vivos. A FC é multissistêmica e acomete glândulas sudo-
ríparas, pâncreas, pulmões, fígado, intestino e ductos de Wolff. O acometi-
mento hepático é a terceira principal causa de óbito, depois da insuficiência 
respiratória e das complicações relacionadas ao transplante pulmonar.
Os pesquisadores utilizaram os seguintes testes estatísticos: o teste t 
de Student, o teste de Mann-Whitney e o teste do qui-quadrado, com 
nível de significância de 5%.
Fonte: PEB-MED
Data: 10 jan. 2020
Leia a notícia na íntegra: https://pebmed.com.br/qual-a-prevalencia-de-
-esteatose-hepatica-em-criancas-com-fibrose-cistica/ 
76
A
JU
ST
A
M
E
N
TO
S 
- 
 G
R
U
P
O
 P
R
O
M
IN
A
S
NA PRÁTICA
No dia a dia, utiliza-se linguagem de programação computacional para o 
desenvolvimento dos cálculos do ajustamento, onde calcula-se por meio 
das matrizes e vetores os resíduos, desvio-padrão e demais. Na figura se-
guinte, um exemplo de um código feito em linguagem SciLAB para o méto-
do paramétrico, em que, por meio de inserção dos dados e análises proba-
bilísticas, chegou-se aos resultados. Vale ressaltar que o exemplo mostra 
somente o programa de código desenvolvido e não os seus resultados.
77
A
JU
ST
A
M
E
N
TO
S 
- 
 G
R
U
P
O
 P
R
O
M
IN
A
S
78
A
JU
ST
A
M
E
N
TO
S 
- 
 G
R
U
P
O
 P
R
O
M
IN
A
S
79
A
JU
ST
A
M
E
N
TO
S 
- 
 G
R
U
P
O
 P
R
O
M
IN
A
S
GABARITOS
CAPÍTULO 01
QUESTÕES DE CONCURSOS
01 02 03 04 05
E A C A D
QUESTÃO DISSERTATIVA - PADRÃO DE RESPOSTA
Devido às propriedades estocásticas das observações, ou seja, sua va-
riabilidade, a redundância não é compatível com o modelo funcional que 
de fato represente a realidade, assim, precisa-se aplicar o ajustamento 
de observações a fim de fazer uma análise dos dados. Em fotograme-
tria, a figura seguinte exemplifica alguns casos em que esse ajustamen-
to se faz necessário. Como sugerido, o material do prof. Daniel comple-
menta a questão abordada neste tópico com maior profundidade.
TREINO INÉDITO
Gabarito: D
80
A
JU
ST
A
M
E
N
TO
S 
- 
 G
R
U
P
O
 P
R
O
M
IN
A
S
CAPÍTULO 02
QUESTÕES DE CONCURSOS
01 02 03 04 05
D C B D C
QUESTÃO DISSERTATIVA - PADRÃO DE RESPOSTA
Em Teunissen (2003) é demonstrada uma interpretação geométrica 
para o método dos mínimos quadrados. Esta interpretação geométrica 
será apresentada para o caso bidimensional já definido anteriormente 
(n=2 e u=1).
Visando auxiliar nesta interpretação, inicialmente, considera-se a se-
guinte equação geral, envolvendo um vetor genérico z de dimensão n e 
uma matriz simétrica W de dimensão nxn:
No caso bidimensional (n=2), a expressão (12) se torna:
A equação (13) descreve uma elipse no plano. Se w11 = w22 e w12 = 0 a 
elipse é um círculo. Se w11≠ w22 e w12 = 0 a elipse possui seus semieixos 
paralelos aos eixos z1e z2. E se w12≠ 0 a elipse pode ter uma orientação 
arbitrária (Figura 3).
https://www.scielo.br/j/bcg/a/cXvxyW5LsMwpxVpxS5ftQBx/?lang=pt
81
A
JU
ST
A
M
E
N
TO
S 
- 
 G
R
U
P
O
 P
R
O
M
IN
A
S
Definindo uma função F(z) para o vetor z2x1 como F(z) = zT Wz = C, sabe-
-se do cálculo, que o gradiente de F(z), calculado em um ponto z0, é um 
vetor que é normal à elipse F(z) = C em z0. Em outras palavras, o vetor 
gradiente em z0 é perpendicular à linha tangente da função que descre-
ve a elipse neste ponto z0. O vetor gradiente da função F(z), calculado 
em um ponto z0, é dado por:
Aplicando as derivadas parciais em (14), resulta em (Teunissen, 2003):
Este gradiente é normal à elipse F(z) = C no ponto z0 (Figura 4).
https://www.scielo.br/j/bcg/a/cXvxyW5LsMwpxVpxS5ftQBx/?lang=pt
82
A
JU
ST
A
M
E
N
TO
S 
- 
 G
R
U
P
O
 P
R
O
M
IN
A
S
Analisando a Figura 4, nota-se que, para um dado vetor z que se esten-
de da origem até um ponto sobre a linha tangente a elipse em z0, têm-se 
a relação de ortogonalidade:
Ou seja, o vetor Wz0 é perpendicular ao vetor (z – z0), pois o produto 
interno entre estes dois vetores é nulo (Strang e Borre, 1997). Nota-se 
também que o escalar 2 que multiplica o vetor Wz0 não interfere nesta 
condição de ortogonalidade (não altera a direção e o sentido, apenas o 
módulo do vetor Wz0).
Ainda considerando o caso bidimensional (n=2 e u=1), o estimador por 
mínimos quadrados ponderados do parâmetro x é dado por um escalar 
 tal que o vetor dos erros aleatórios ê = (y – ) é paralelo a linha 
tangente da elipse zTWz = aTWa em a, (Figura 5), pois realizando ope-
rações algébricas em (9), pode-se escrever: 
https://www.scielo.br/j/bcg/a/cXvxyW5LsMwpxVpxS5ftQBx/?lang=pt
https://www.scielo.br/j/bcg/a/cXvxyW5LsMwpxVpxS5ftQBx/?lang=pt
https://www.scielo.br/j/bcg/a/cXvxyW5LsMwpxVpxS5ftQBx/?lang=pt
83
A
JU
ST
A
M
E
N
TO
S 
- 
 G
R
U
P
O
 P
R
O
M
IN
A
S
Ou seja, o vetor dos erros aleatórios ê deve ser perpendicular ao ve-
tor Wa e, portanto, paralelo a linha tangente da elipse aTWa = C no 
vetor a.
Nota-se ainda que, quando W2x2=I2x2, resulta em aT(y – ) = 0, a elip-
se se torna um círculo (w11 = w22 =1 e w12 = w12 = 0 ) e a estimativa por 
mínimos quadrados não ponderados é obtida a partir da relação de or-
togonalidade entre os vetores
ê
e
ŷ= a 
Ver Figura 6.
https://www.scielo.br/j/bcg/a/cXvxyW5LsMwpxVpxS5ftQBx/?lang=pt
https://www.scielo.br/j/bcg/a/cXvxyW5LsMwpxVpxS5ftQBx/?lang=pt
84
A
JU
ST
A
M
E
N
TO
S 
- 
 G
R
U
P
O
 P
R
O
M
IN
A
S
De acordo com a expressão (10),ŷ = [A(ATWA)-1AT W] y , e, segundo a 
expressão (11), ê = [I – A(ATWA)-1AT W] y.
Analisando estas expressões e a Figura 5, nota-se que os veto-
res ŷ e ê são projeções oblíquas do vetor y, ou seja, as matrizes A(A-
TWA)-1ATW e
[I – A(ATWA)-1ATW] são projetores oblíquos, denotados por (Teunissen, 
2003):
Em outras palavras, o vetor das observações ajustadas ŷ e o vetor dos 
erros aleatórios ajustados ê são projeções oblíquas do vetor das obser-
vações y, sendo estas duas projeções definidas pelos projetores oblí-
quos Pa, (Wa)┴ e P┴a, (Wa)┴ em (18), respectivamente.
No caso bidimensional em questão (n=2 e u=1), o vetor Pa, (Wa)┴ pro-
jeta sobre uma linha gerada pelo vetor a2x1, e ao longo de uma linha 
gerada pelo vetor (Wa)┴ , que é ortogonal ao vetor W2x2 a2x1 (Figura 7), e 
o vetor P┴a, (Wa)┴ projeta sobre uma linha ortogonal ao vetor W2x2 a2x1, 
e paralelamente à direção do vetor a2x1 (Figura 7).
https://www.scielo.br/j/bcg/a/cXvxyW5LsMwpxVpxS5ftQBx/?lang=pt
https://www.scielo.br/j/bcg/a/cXvxyW5LsMwpxVpxS5ftQBx/?lang=pt
https://www.scielo.br/j/bcg/a/cXvxyW5LsMwpxVpxS5ftQBx/?lang=pt
https://www.scielo.br/j/bcg/a/cXvxyW5LsMwpxVpxS5ftQBx/?lang=pt
85
AJU
ST
A
M
E
N
TO
S 
- 
 G
R
U
P
O
 P
R
O
M
IN
A
S
Como Wa e (Wa)┴ são ortogonais entre si, o produto interno destes 
vetores resulta em [(Wa)┴]T Wa =0.
Com o auxílio de um vetor b2x1, definido de forma que seja ortogonal ao 
vetor a2x1, ou seja, (b1x2)T a2x1=0, pode-se escrever (Wa)┴ como W-1b.
Portanto, (W-1b)T(Wa)=0, pois a inversa W-1 de W existe, desde 
que W seja positiva-definida (Lay, 1997). 
Desta forma, com o auxílio do vetor W-1b, pode-se representar os dois 
projetores definidos em (18) alternativamente como (Teunissen, 2003):
A expressão (19) é melhor compreendida com o auxílio da Figura 8, 
que se utiliza de relações trigonométricas elementares, e das expres-
sões (18) e (11), podendo-se escrever, para o vetor dos erros aleatórios 
https://www.scielo.br/j/bcg/a/cXvxyW5LsMwpxVpxS5ftQBx/?lang=pt
86
A
JU
ST
A
M
E
N
TO
S 
- 
 G
R
U
P
O
 P
R
O
M
IN
A
S
ênx1 (Teunissen, 2003):
Onde o escalar define o módulo do vetor resultante 
, e o vetor normalizado (unitário) define a dire-
ção deste vetor resultante , lembrando que o vetor dos 
erros aleatórios ajustados ê é uma projeção oblíqua do vetor das obser-
vações y e a matriz é o seu projetor.
Rearranjando a expressão (20), de forma a agrupar os termos escalares 
87
A
JU
ST
A
M
E
N
TO
S 
- 
 G
R
U
P
O
 P
R
O
M
IN
A
S
(unidimensionais) à direita, pode-se escrever:
Analisando a Figura (8), o escalar ||y||cosα é igual ao produto interno 
entre os vetores b2x1 e y2x1 (ver Lay, 1997; e também Strang e Borre, 
1997), ou seja, ||y||cosα =bTy, e de maneira análoga, ||W-1b||cosβ = 
(W-1b)T b.
Desta forma, pode-se finalmente escrever (Teunissen, 2003):
Ou seja, a segunda expressão de (19) é demonstrada geometricamen-
te. A primeira expressão de (19) relativa ao projetor oblíquo do vetor das 
observações y em a (sendo sua projeção resultante o vetor ŷ), pode ser 
demonstrada de maneira similar. Dando continuidade à interpretação 
geométrica do MMQ, relembrando o critério dos mínimos quadrados 
ponderados, que busca o vetor dos parâmetros x que minimiza a se-
guinte expressão: 
Definindo um vetor z por z = Ax, a expressão (23) é equivalente a:
Como e = y – Ax, logo z = y – e. Para o caso bidimensional considerado, 
o vetor b é ortogonal ao vetor a, ou seja, bTa=0. Com este pressuposto, 
resulta em:
A expressão (25) é satisfeita quando bTy = bTe. Mas se e = y – Ax, a 
expressão (23) é equivalente a:
Ou seja, no caso bidimensional considerado, o método dos mínimos qua-
drados ponderados consiste em estimar um vetor dos erros aleatórios ê 
que minimiza a expressão eT
1xnWnxnenx1 e obedece a relação bTy = bTe.
Fazendo eT
1xnWnxnenx1 = Constante = C, têm-se a equação de uma elip-
https://www.scielo.br/j/bcg/a/cXvxyW5LsMwpxVpxS5ftQBx/?lang=pt
88
A
JU
ST
A
M
E
N
TO
S 
- 
 G
R
U
P
O
 P
R
O
M
IN
A
S
se, conforme já fora visto. Para diferentes valores da constante C têm-
-se diferentes elipses, e quanto maior o valor da constante C, maior o 
tamanho da elipse (Figura 9).
A estimativa ê do vetor dos erros aleatórios é dada pelo ponto de tan-
gência da linha bTy = bTe com a elipse eT
1xnWnxnenx1 = Mínimo = F( ), 
(Figura 10):
https://www.scielo.br/j/bcg/a/cXvxyW5LsMwpxVpxS5ftQBx/?lang=pt
https://www.scielo.br/j/bcg/a/cXvxyW5LsMwpxVpxS5ftQBx/?lang=pt
89
A
JU
ST
A
M
E
N
TO
S 
- 
 G
R
U
P
O
 P
R
O
M
IN
A
S
Neste ponto de tangência ê, a normal da elipse, é paralela a normal da 
linha bTy = bTe. Mas como a normal da linha bTy = bTe é dada por b, a 
normal da elipse em ê também é dada por b (para maiores detalhes ver 
produto interno de vetores em Lay, 1997). Portanto, o vetor ê é paralelo 
a W-1b. Logo, pode-se expressar o vetor ê por um produto entre W-1b e 
um escalar α (Teunissen, 2003):
O escalar desconhecido α pode ser determinado pelo fato de que o ve-
tor ê tem que se estender até a linha bTy = bTe. Desta forma, pré-multi-
plicando (27) por bT e realizando operações algébricas, resulta em:
Substituindo (28) em (27), os estimadores ê e ŷ por mínimos quadrados 
ponderados tornam-se (Teunissen, 2003):
90
A
JU
ST
A
M
E
N
TO
S 
- 
 G
R
U
P
O
 P
R
O
M
IN
A
S
Quando Wnxn=Inxn, tem-se:
Analisando as expressões (29) e (30), nota-se que com as relações 
geométricas estabelecidas, para os casos em que o vetor dos parâ-
metros xux1 se torna um escalar x1x1 e consequentemente, a matriz 
design Anxu se torna um vetor anx1, é possível estimar o vetor das ob-
servações ajustadas ŷnx1 e o vetor dos erros aleatórios ênx1 sem o co-
nhecimento prévio do parâmetro ajustado , definindo um vetor bnx1 que 
seja ortogonal ao vetor anx1 e lembrando que ŷnx1= anx1 .
Os vetores ŷnx1e ênx1 também poderiam ser obtidos diretamente em fun-
ção de ynx1, Wnxn e Anxu, conforme mostram as expressões (10) e (11).
Para problemas envolvendo um maior número de parâmetros, esta so-
lução alternativa se torna mais complexa, pois se deve definir uma ma-
triz Bnxu cujos vetores (colunas) sejam ortogonais a todos os vetores 
(colunas) da matriz design Anxu, sendo as matrizes A e B dois subespa-
ços ortogonais entre si de u vetores cada e dimensão n (Kock, 1999).
FONTE: Klein, Ivandro et al. Ajustamento de observações: uma inter-
pretação geométrica para o método dos mínimos quadrados. Boletim 
de Ciências Geodésicas [online]. 2011, v. 17, n. 2 [Acessado 05 Julho 
2021] , pp. 272-294. Disponível em: . Epub 30 Ago 2011. ISSN 1982-2170. https://doi.
org/10.1590/S1982-21702011000200007.
TREINO INÉDITO
Gabarito: C
91
A
JU
ST
A
M
E
N
TO
S 
- 
 G
R
U
P
O
 P
R
O
M
IN
A
S
CAPÍTULO 03
QUESTÕES DE CONCURSOS
01 02 03 04 05
C B A B E
QUESTÃO DISSERTATIVA - PADRÃO DE RESPOSTA
Baseando-se na dissertação de mestrado indicada como pesquisa, 
existem alguns testes estatísticos que apresentam o escopo do controle 
de qualidade quando se fala de observações geodésicas. No trabalho 
em específico, foi utilizado, por exemplo, o teste de Baarda (1968), o 
teste global de ajustamento para detecção de erros, o procedimento 
data snooping para identificação e localização dos erros, além do teste 
Tau, desenvolvido por Pope (1976). 
FONTE: KLEIN, I. Controle de qualidade no ajustamento de observações 
geodésicas. Dissertação de mestrado. UFRGS. Disponível em: . Acesso em 05 jul. 2021. 
TREINO INÉDITO
Gabarito: C
92
A
JU
ST
A
M
E
N
TO
S 
- 
 G
R
U
P
O
 P
R
O
M
IN
A
S
CAMARGO, P. O. Ajustamento de observações: notas de aulas. UNESP.
GEMAEL, C. Introdução ao ajustamento de observações: aplicações 
geodésicas 1.ed. Curitiba: Editora da UFPR, 1994.
SANTOS, D. R. Fotogrametria I. Disponível em: . Acesso em: 05 jul. 2021.
SOUSA, J. S. Reestruturação e automatização do sistema de classi-
ficação de teodolitos e da componente angular de estações totais no 
laboratório de instrumentação geodésica. Dissertação de mestrado. 
Programa de Pós Graduação em Ciências Geodésicas, UFPR. 2021.
SOUZA, Iara Alves Martins de. A calibração de instrumentos de medi-
ções topográficas e geodésicas: a busca pela acreditação laboratorial. 
2010. Dissertação (Mestrado em Infraestrutura de Transportes) - Escola 
de Engenharia de São Carlos, Universidade de São Paulo, São Car-
los, 2010. doi:10.11606/D.18.2010.tde-14102010-161333. Acesso em: 
05/07/2021.
93
A
JU
ST
A
M
E
N
TO
S 
- 
 G
R
U
P
O
 P
R
O
M
IN
A
S
	_Hlk77673099
	frm12
	frm13
	frm14
	frm15
	frm16
	frm17
	fig05
	frm18
	frm19
	frm20
	frm21
	frm22
	frm23
	frm24
	frm25
	frm26
	frm27
	frm28
	frm29
	frm30além da estimativa da 
qualidade do levantamento. Todos os resultados, para ter caráter técni-
co ou científico deverá ter valores de precisão, expressa por 𝜎. Ainda, é 
necessário no processo de ajustamento identificar a presença de erros, 
quer sejam eles grosseiros, sistemáticos ou acidentais. 
Nos últimos tempos, o ajustamento se beneficiou da linguagem 
matricial e da evolução tecnológica para fazer operacionalizar a mani-
pulação e tratamento de matrizes de enormes dimensões, que à mão 
seriam impossíveis de calcular. Além das técnicas estatísticas, que trou-
12
A
JU
ST
A
M
E
N
TO
S 
- 
 G
R
U
P
O
 P
R
O
M
IN
A
S
xeram confiabilidade e qualidade (precisão e acurácia) aos resultados 
dos ajustamentos. Assim, pode-se resumir o objetivo do ajustamento 
por: estimar, por meio de modelos matemáticos próprios e o MMQ um 
valor único para cada incógnita do levantamento, além de fazer uma 
estimativa da precisão destas e as correlações entre elas.
 
13
A
JU
ST
A
M
E
N
TO
S 
- 
 G
R
U
P
O
 P
R
O
M
IN
A
S
O primeiro capítulo deste módulo busca elucidar sobre os con-
ceitos de observação geodésica, bem como discriminar quais são os 
modelos matemáticos utilizados no processamento de dados geodési-
cos. Também serão apresentados, neste capítulo, os conceitos de teo-
ria dos erros e seus tipos, bem como os princípios e técnicas de propa-
gação destes erros e quais métodos são utilizados a fim de minimizar as 
variáveis envolvidas neste processo.
CONCEITO DE OBSERVAÇÃO OU MEDIDA
Observação ou medida nos processos de geodésia são práti-
cas que se referem à operação de algum método, sistema ou processo. 
Os valores numéricos, ou alfanuméricos, encontrados após um proces-
so de observação em qualquer que seja a análise deve ser submetido 
FUNDAMENTOS DO AJUSTAMENTO 
DE OBSERVAÇÕES GEODÉSICAS
A
JU
ST
A
M
E
N
TO
S 
- 
 G
R
U
P
O
 P
R
O
M
IN
A
S
14
A
JU
ST
A
M
E
N
TO
S 
- 
 G
R
U
P
O
 P
R
O
M
IN
A
S
para fins de análise e manipulação. Na ciência, na engenharia, na tec-
nologia ou instrumentação, alguns pontos devem ser considerados no 
processo de medição/observação de qualquer grandeza, como:
- Observar é realizar uma operação física, portanto tem várias 
etapas intrínsecas a ela, como preparar o instrumento que vai ser utili-
zado, calibrá-lo, retificá-lo, realizar as medidas, dentre outras.
- O resultado de uma observação é sempre uma medida e esta 
medida no geral é feita com a utilização de algum instrumento. Vale 
ressaltar que estas medidas encontradas ao fim do processo são refe-
renciadas a um padrão específico, estabelecido por convenção e que 
irá evidenciar se aqueles dados são de qualidade ou não.
- Medidas são conceitos teóricos, mas esta teoria, por fim, per-
mite fazer relações com situações e elementos reais, por exemplo, na 
área da geodésica, com localização geográfica, área, limites.
Para que esta conceituação teórica faça sentido, recorre-se a 
adotar modelos matemáticos. As medidas estão atreladas a probabilida-
des, por exemplo, quando se repete n vezes a medida de uma grandeza 
específica, estes n valores são iguais, entretanto estão dispersos num 
certo local ou espaço, levando a considerar que estes sejam erros de 
observação, conforme exemplifica a Figura 2. 
Figura 2: Erros de observação
FONTE: CALDEIRA (2017)
Para entender um pouco mais sobre região de incerteza 
nas medições, acesse o vídeo: https://www.youtube.com/watch?-
v=Lnpx4Mp1-_k&ab_channel=MarcoA.B.Andrade
As observações podem ser de três tipos: diretas, diretas con-
dicionadas e indiretas. A primeira consiste em realizar as observações 
sobre as próprias grandezas incógnitas. A segunda consiste em quando 
estas incógnitas estão ligadas por equações e condições específicas e 
15
A
JU
ST
A
M
E
N
TO
S 
- 
 G
R
U
P
O
 P
R
O
M
IN
A
S
a terceira, a observação da grandeza está associada com as incógnitas, 
também chamada de parâmetros por meio de relações funcionais que 
já são conhecidas. 
MODELO MATEMÁTICO
Para descrever uma realidade física difícil de representação, 
como por exemplo, o geoide, é necessário utilizar-se de fórmulas, ex-
pressões, equações e sistemas matemáticos para representar esta 
realidade com a maior aproximação possível. Sendo assim, o modelo 
matemático é visto como um conceito abstrato ou teórico, sem corres-
pondências reais com o sistema físico, demonstrando, por exemplo, a 
representação da Terra, que é vista em conceitos como topografia ou 
geodésia através de planos, esferoides, elipsoides, geoides e outros, 
conforme exemplificado na Figura 3. 
Figura 3: Representação da Terra por modelos matemáticos
FONTE: CALDEIRA (2017)
Em outra área similar a estes conceitos mostrados, como por 
exemplo, na fotogrametria, é admitido que a propagação de luminosida-
de através da atmosfera e lentes tem trajetória reta, mas considerando 
o real efeito deste caso, sabe-se que existem efeitos de não colineari-
dade da luminosidade, bem como inclinação das fotos, conforme exem-
plificado na Figura 4. 
16
A
JU
ST
A
M
E
N
TO
S 
- 
 G
R
U
P
O
 P
R
O
M
IN
A
S
Figura 4: Modelo matemático utilizado em fotogrametria
FONTE: CALDEIRA (2017)
Logo, é possível afirmar que os modelos matemáticos são uti-
lizados para modelar os sistemas e fenômenos que não podem ser mo-
delados sem atribuição matemática. No geral, o modelo matemático é 
dividido em dois tipos diferentes de modelos: modelo funcional e esto-
cástico, sendo:
- Modelo funcional: em suma, ao executar uma medida é ado-
tado um modelo funcional a fim de representar o sistema físico ou fic-
tício pelo qual esta medida está vinculada. Assim, as observações são 
realizadas geralmente para fins de avaliação dos valores para um con-
junto específico ou todos os parâmetros do modelo funcional. Na área 
da geodésia, por exemplo, um dos modelos físicos que é estudado é o 
do campo gravitacional da Terra. Na topografia, através de geometria, 
por exemplo, um triângulo, e na aerofotogrametria, através da obtenção 
de imagens aéreas que, por sua vez, representam as imagens do ponto 
de vista do terreno. Estes exemplos são apresentados na Figura 5.
- O modelo estocástico: este tem a ver com a estatística das 
observações, haja visto que essas observações sempre estão passíveis 
de diferentes formas de influências internas e externas que podem preju-
dicar os resultados observados. Os fatores que levam a estes resultados 
serem passíveis de erros são dos mais diversos, desde a causas físicas 
(temperatura, pressão), as imperfeições ou imprecisões dos instrumentos 
utilizados, como a possibilidade de o operador do instrumento falhar na 
obtenção, armazenamento e processamento destas observações.
17
A
JU
ST
A
M
E
N
TO
S 
- 
 G
R
U
P
O
 P
R
O
M
IN
A
S
Figura 5: Modelo funcional e exemplos de aplicação
FONTE: CALDEIRA (2017)
18
A
JU
ST
A
M
E
N
TO
S 
- 
 G
R
U
P
O
 P
R
O
M
IN
A
S
Para saber mais sobre alguns conceitos apresentados até 
aqui, acesse o vídeo: https://www.youtube.com/watch?v=TvZ0J-
-8OK2w&ab_channel=geocastbrasil
ERROS DE OBSERVAÇÃO
Atualmente, na linguagem científica e educacional, o termo 
“teoria dos erros de observação” caiu em desuso, haja vista o avanço 
técnico-científico na área e os conhecimentos que ao longo do tempo 
foi-se aumentando acerca da temática. De modo geral, convencionou-
-se adotar o termo “propriedades estatísticas das observações”. Embo-
ra tendo caído em desuso, muito se utiliza ainda o termo, então para 
esta Unidade será mencionado o termo, mas convém ressaltar que é 
necessário ser feito um esforço para inutilizá-lo cada vez mais.
Quando se trata dos erros de observação, no geral, eles são 
divididos em três: erros grosseiros, erros sistemáticos e erros aleatórios 
(acidentais). O primeiro, tem a ver, na maioria dos casos, com relação à 
desatenção do observador/operador de um instrumento e/ou nas ano-
tações do levantamento. Exemplos de erros grosseiros mais comuns: 
inversão de dígitos na leitura deum instrumento, contagem errada do 
número de lances num levantamento, a troca de pontaria, do alvo, a 
digitação ou anotação de valores errados, etc.
Estatisticamente, os erros grosseiros não devem ser tratados 
como pertencentes a uma amostra de dados e serem usados parale-
lamente aos demais dados, pois prejudicam bastante as observações. 
Assim, quando há ocorrência de erros grosseiros, em geral, estes são 
detectáveis rapidamente, haja visto a discrepância dele. Existem vá-
rias técnicas que minimizam ou simplificam a possibilidade de ocorrer 
erros grosseiros, como leituras múltiplas, ou seja, em pontaria direta 
e inversa da luneta do instrumento e checagens de consistência. Por 
exemplo, considerando uma amostra de uma coleta de ângulos numa 
estação total para fins de certificação do aparelho de acordo com a 
NBR 13.133/1994: ao realizar as medidas, o observador anota os dados 
dos ângulos e observa que em média a diferença da observação em 
pontaria direta e inversa é de poucos segundos, mas num dos casos, a 
diferença é na ordem dos minutos; este provavelmente é um erro gros-
seiro. Todos os dados contaminados de erros grosseiros devem ser re-
19
A
JU
ST
A
M
E
N
TO
S 
- 
 G
R
U
P
O
 P
R
O
M
IN
A
S
jeitados no levantamento. Caso não seja detectável e seja utilizado, são 
grandes as chances da qualidade do levantamento serem imprecisas 
e não atenderem aos padrões de qualidade estabelecidos por Órgãos 
regulamentadores. 
Os erros sistemáticos não têm causas conhecidas, mas no ge-
ral podem ser evitados por meio de técnicas especiais de observação 
ou eliminados por meio de formulação matemáticas teóricas. A minimi-
zação ou completa eliminação de erros deste tipo é feita por meio da 
calibração e/ou verificação dos instrumentos, técnicas de observação 
especiais ou processamento das observações para minimizar os efeitos 
que geraram os erros (como atmosféricos). Estatisticamente, repetir o 
número de observações não muda em nada o resultado dos erros siste-
máticos, nem afetam os resultados destes. Exemplos mais comuns de 
erros sistemáticos: disposição do nível numa distância igual das miras 
ao qual se observa, pois esta configuração corrige os efeitos de refra-
ção, colimação, esfericidade da Terra, leituras conjugadas (múltiplas) 
ao observar ângulos, pois este elimina os efeitos como graduação do 
limbo, erro de colimação, erros referentes à alidade.
Em determinados casos, a falta de cuidados pode transformar 
fatores que seriam erros sistemáticos em erros grosseiros. A falta de 
verticalidade da mira, que ocorre quando o nível esférico presente na 
parte posterior da mira não permite a coincidência da vertical, é um 
exemplo de erro operacional. Outro exemplo comum é o erro de ponta-
ria, que ocorre devido à limitação da resolução óptica do instrumento, 
da limitação visual do observador ou por causa das variáveis de cunho 
atmosférico (SILVA et al., 2007).
Já os erros aleatórios ou acidentais, do contrário dos erros sis-
temáticos, ocorrem sem ordem e sentido lógico e não podem ser vin-
culados a causa conhecida. Feita as devidas correções nos erros gros-
seiros e sistemáticos e ainda sobrando variáveis que se revelam, estas 
se mostram como erros acidentais. Nos erros sistemáticos, a tendência 
é que eles se acumulem à medida do número de observações, já os 
erros acidentais se neutralizam. O conceito de erro aleatório/acidental é 
usualmente restrito à distribuição normal de probabilidade. As proprie-
dades dos erros das medidas são paralelas a propriedades estatísticas 
da amostragem. Alguns erros instrumentais mais comuns no processo 
de levantamento com instrumentos topográficos como estação total ou 
teodolito, são mostrados na Figura 6. Em ordem são eles: verticalidade 
do eixo principal, erro de índice vertical, erro de colimação e erro da 
excentricidade da alidade.
20
A
JU
ST
A
M
E
N
TO
S 
- 
 G
R
U
P
O
 P
R
O
M
IN
A
S
Figura 6: Erros instrumentais
FONTE: SILVA (2021)
Para entender mais sobre fundamentos dos erros de obser-
vação, acesse o Blog do Sadeck, um dos mais completos do Brasil 
na área. Link: https://geotecnologias.wordpress.com/2019/11/04/
fundamentos-da-teoria-de-erros/
21
A
JU
ST
A
M
E
N
TO
S 
- 
 G
R
U
P
O
 P
R
O
M
IN
A
S
PRECISÃO E ACURÁCIA
A precisão está ligada ao grau de aproximação da observação 
com a sua média, estando vinculada apenas aos efeitos aleatórios ou 
acidentais e refletindo a dispersão dos dados. Já a acurácia, também 
conhecida como exatidão, está ligada ao grau de aproximação de uma 
estimativa do seu valor, em tese, verdadeiro; estando vinculada tanto 
aos efeitos aleatórios ou acidentais e/ou sistemáticos. A Figura 7 repre-
senta uma exemplificação de precisão e acurácia.
Figura 7: Precisão e acurácia
FONTE: CALDEIRA (2017)
Para o caso N-dimensional, a precisão é representada pela 
matriz de variância-covariância (Σ). O traço desta matriz é comumente 
associado à indicação da precisão média, que é dado por:
Exemplificando para as variâncias 𝜎𝑖
2 e covariâncias 𝜎𝑖j
2, de um 
determinado conjunto com n observações (Lb), que são dispostas de 
uma forma que compõem a matriz quadrada (n x n), representada por 
ΣLb.
22
A
JU
ST
A
M
E
N
TO
S 
- 
 G
R
U
P
O
 P
R
O
M
IN
A
S
Assim, a matriz ΣLb que é simétrica a 𝜎𝑖
 = 𝜎𝑖j, é denominada ma-
triz de variância-covariância, matriz MVC, ou matriz covariância (MC). 
Caso as observações sejam independentes umas das outras, as cova-
riâncias são nulas e a matriz ΣLb se deteriora numa matriz diagonal. No 
dia a dia, a matriz MVC é comumente substituída pela variância/cova-
riância relativa, sendo assim, utiliza-se o termo matriz dos coeficientes 
de peso ou cofator, representado por Q e seu elemento por q, sendo 
assim, um cofator está relacionado com a suas variâncias e covariân-
cias, respectivamente por:
Como na equação acima 𝜎0
2 é uma constante sem dimensão 
(adimensional) e arbitrária, denominada de variância de referência/fator 
de variância ou variância da unidade de peso unitário, ao aplicar uma 
MVC nesta, tem-se:
Se esta matriz Q não for singular (ou seja, única), ela terá uma 
matriz inversa, denominada de matriz dos pesos e representada por P, 
conforme exemplificado:
Como a matriz P é simétrica, ela é reduzida a uma matriz dia-
gonal quando as observações não têm correspondência entre si, ou 
seja, são independentes. Assim, os elementos diagonais de Q e P são o 
inverso dos pesos das observações e os pesos. Caso seja possível es-
tabelecer uma perfeita correlação entre as variáveis, é possível denomi-
nar uma matriz covariância e uma matriz cofatora, porém não é possível 
denominar uma matriz de pesos, tendo em vista que os elementos da 
diagonal da matriz dos pesos não são os pesos e os da matriz inversa 
são os inversos dos pesos.
23
A
JU
ST
A
M
E
N
TO
S 
- 
 G
R
U
P
O
 P
R
O
M
IN
A
S
Há de se estabelecer também os modelos matemáticos dos er-
ros verdadeiros, aparentes e os resíduos. Sendo X o valor designado de 
uma grandeza medida, 𝜇 o seu valor verdadeiro e 𝑙𝑖 os valores observa-
dos, tem-se para os erros verdadeiros a equação 𝜀𝑖=𝑙𝑖−𝜇, para os erros 
aparentes a equação 𝑒𝑖=𝑙𝑖 – X e para os resíduos a equação 𝑣𝑖= 𝑋−𝑙𝑖, 
sendo este último com o sinal trocado. O erro aparente é geralmente 
conhecido, exceto nos casos de fechamento de triângulos.
Um vídeo explicativo que exemplifica as diferenças dos 
conceitos de precisão vs acurácia. Link: https://www.youtube.com/
watch?v=hTBwCh8CDpo&ab_channel=VidadeTop%C3%B3grafo
PRINCÍPIOS E TÉCNICAS DE PROPAGAÇÃO
Por meio da propagação é possível ser obtido as característi-
cas estocásticas das variáveis funcionalmente dependentes e aquelas 
funcionalmente independentes e a relação entre elas, do ponto de vista 
estatístico, sobre estas variáveis. Seja xi(i=1,2,3,..,n) um conjunto de va-
riáveis aleatórias, com a correspondente distribuição de probabilidade 
dada pela função densidade da probabilidade (fdp), Φx(x1,x2,x3,...,xn) eyk(k=1,2,3,...,m), outro conjunto de variáveis aleatórias, que estão re-
lacionadas com xi por meio do modelo funcional yk= f(x1,x2, x3, ..., xn); k 
= 1, 2, 3, ..., m. Os valores de yk são obtidos dos atribuídos a xi, assim 
pode-se chamar yk e xi de variáveis funcionalmente dependentes e fun-
cionalmente independentes, de forma respectiva. 
Propagando-se, pode-se determinar as propriedades estocás-
ticas das variáveis yk, a partir das propriedades das variáveis xi, ou seja, 
calcular a função densidade(Φ), a média(μ) e a MVC(Σ) de yk. No dia a 
dia, utilizam-se geralmente três tipos de propagação, sendo elas: pro-
pagação de média, propagação de distribuição e propagação de variân-
cia-covariância (também conhecida como propagação de covariâncias 
ou de erros). Se tratando de ajustamento de observações, a última é a 
mais importante e, portanto, objeto de maior destaque nesta Unidade.
A propagação de média é obtida através do conceito de espe-
rança matemática. Já no caso da propagação de distribuição, em trans-
formações lineares de variáveis aleatórias, a propagação tem como 
consequência uma distribuição normal. Para o caso da propagação de 
24
A
JU
ST
A
M
E
N
TO
S 
- 
 G
R
U
P
O
 P
R
O
M
IN
A
S
variância-covariância, na área da geomensura (topografia, geodésia, car-
tografia e aerofotogrametria), as quantidades de medidas são em geral 
usadas para o cálculo de outras quantidades de interesse, isto é, os parâ-
metros a serem estimados. Se as medidas estão dispersas ao redor de 
um valor, ou seja, tem variância, assim as quantidades também terão. 
Em suma, portanto, a propagação de variância-covariância é a 
avaliação das dispersões (ou variâncias) nas quantidades que se calcu-
lam e possíveis correlações como funções das dispersões em uma me-
dição/observação. Elas podem ser de dois tipos: para funções lineares 
e para funções não lineares. Para o primeiro caso, sejam duas variáveis 
aleatórias x1 e x2 com médias 𝜇 x1 e 𝜇 x2 e variâncias dada por 𝜎x1
2 e 𝜎x2
2, 
sendo que as variáveis y1 e y2 são obtidas da seguinte forma:
Para obter a dispersão de y1 e y2 e a sua eventual correlação, 
faz-se:
Para o segundo caso, no geral, as equações são não lineares, 
devendo ser linearizadas. Esta linearização é feita através das formula-
ções matemáticas desenvolvidas por Taylor, onde despreza-se os ter-
mos de ordem superior a primeira ordem. Seja uma função não linear: y 
= f(x), desenvolvendo-a em série de Taylor, tem-se:
25
A
JU
ST
A
M
E
N
TO
S 
- 
 G
R
U
P
O
 P
R
O
M
IN
A
S
Desprezando o termo de ordem superior a primeira, tem-se:
Considerando um caso geral, na forma de matriz onde Y = 
F(X), e expandindo por série de Taylor, tem-se:
Desprezando o termo de ordem superior a primeira, tem-se:
Onde:
Realizando um procedimento semelhante ao anterior, conside-
rando D a matriz Jacobiana dos coeficientes, tem-se:
Sendo esta última equação a fórmula da propagação da va-
26
A
JU
ST
A
M
E
N
TO
S 
- 
 G
R
U
P
O
 P
R
O
M
IN
A
S
riância-covariância para o caso de funções não lineares. Sendo assim, 
as fórmulas para a propagação da variância-covariância para os mode-
los lineares e não lineares, são respectivamente:
Onde:
G: matriz dos coeficientes
D: matriz Jacobiana (derivada) dos coeficientes.
Vale ressaltar também que a propagação não tem dependência 
das distribuições de probabilidade e se a MVC das medidas é diagonal, 
isso não quer dizer que a nova MCV também será, haja vista que os mo-
delos matemáticos que ligam as variáveis promovem esta correlação.
Existem alguns casos particulares que devem ser levados em 
consideração, como quando, por exemplo, as componentes do vetor 
aleatório X são independentes, ou seja, não se correlacionam, assim a 
MVC será diagonal e a função linear se apresenta desta forma:
Onde as variáveis aleatórias x1, x2,..., xn são independentes. 
Ao aplicar a fórmula da propagação da variância, tem-se:
Resultando em:
Já para uma função não linear, onde:
27
A
JU
ST
A
M
E
N
TO
S 
- 
 G
R
U
P
O
 P
R
O
M
IN
A
S
Onde as variáveis aleatórias x1, x2,..., xn são independentes. 
Ao aplicar a fórmula da propagação da variância, tem-se:
Resultando na variância:
Resultando no desvio padrão:
Sobre matrizes de variância-covariância (MVC), segue o 
link de um vídeo que conceitua e exemplifica este importante con-
ceito do ajustamento de observações geodésicas. Link: https://
www.youtube.com/watch?v=lEkTtFaQvuc&ab_channel=Marcelo-
TomioMatsuoka
28
A
JU
ST
A
M
E
N
TO
S 
- 
 G
R
U
P
O
 P
R
O
M
IN
A
S
QUESTÕES DE CONCURSOS
QUESTÃO 1
Ano: 2013 Banca: CESGRANRIO Órgão: IBGE Prova: Tecnologista 
- Cartografia.
Após o ajustamento das observações realizadas em um levan-
tamento geodésico, obtêm-se os valores da variância e da cova-
riância das coordenadas através da matriz variância-covariância. 
Esses valores indicam o comportamento da elipse de erros em re-
lação aos eixos X e Y. As Figuras a seguir mostram como a posição 
dessa elipse varia em função de σxy, σ2
x e σ2
y.
a) σx 0 e) σx = σy
b) σxyde engenharia e diversos estudos científicos. Com o reajustamento im-
plementado em 2018, a altimetria do Brasil se alinha ao Sistema Inter-
nacional de Referência para Altitudes.
O IBGE divulga hoje a segunda edição do relatório de cálculo das no-
vas altitudes de alta precisão, que servem de base para atividades de 
engenharia, mapeamento e estudos científicos em todo o território na-
cional. O Relatório do Reajustamento da Rede Altimétrica com Números 
Geopotenciais 2018 está disponível aqui.
Fonte: IBGE
Data: 30 set. 2019.
Leia a notícia na íntegra: https://agenciadenoticias.ibge.gov.br/agencia-
-sala-de-imprensa/2013-agencia-de-noticias/releases/25548-ibge-di-
vulga-nova-edicao-do-relatorio-de-reformulacao-metodologica-do-cal-
culo-das-altitudes-de-referencia 
NA PRÁTICA
Na prática, os cálculos do ajustamento de observações são realizados 
em softwares específicos que fazem análises probabilísticas ou por 
meio de códigos de programação. Abaixo, um exemplo de um levan-
tamento realizado com uma estação total da fabricante TOPCON e os 
cálculos necessários para se realizar o ajustamento no Excel de dados 
obtidos na cidade de Florianópolis – SC, para um estudo que tinha um 
intuito avaliar a qualidade das observações geodésicas e a dispersão 
dos dados obtidos pelo instrumento.
33
A
JU
ST
A
M
E
N
TO
S 
- 
 G
R
U
P
O
 P
R
O
M
IN
A
S
34
A
JU
ST
A
M
E
N
TO
S 
- 
 G
R
U
P
O
 P
R
O
M
IN
A
S
35
A
JU
ST
A
M
E
N
TO
S 
- 
 G
R
U
P
O
 P
R
O
M
IN
A
S
MÉTODO DOS MÍNIMOS 
QUADRADOS (MMQ)
Neste capítulo serão apresentados conceitos essenciais acerca 
do ajustamento de observação por meio do método dos mínimos quadra-
dos (MMQ), além de explicitar a teoria sobre o ajustamento de observa-
ções diretas, estimativas de precisão e uma sucinta introdução sobre os 
métodos de ajustamentos, que será mais bem explanado no Capítulo 3. 
INTRODUÇÃO AO MMQ
É bastante importante mencionar que para se utilizar do ajus-
tamento de observações ou aplicar o Método dos Mínimos Quadrados 
(MMQ), só é possível fazê-lo, quando se têm dados de observação re-
dundantes ou superabundantes. Com o método do MMQ é possível es-
timar as variáveis incógnitas X (parâmetros) e sua precisão Σx, a partir 
A
JU
ST
A
M
E
N
TO
S 
- 
 G
R
U
P
O
 P
R
O
M
IN
A
S
36
A
JU
ST
A
M
E
N
TO
S 
- 
 G
R
U
P
O
 P
R
O
M
IN
A
S
de observações (Lb), com precisão ΣLb, assim, tem-se:
Dados: Lb e ΣLb > estimar X e Σx
Quando se fala de espaços envolvidos nos problemas de ajus-
tamentos, tem-se três tipos diferentes: o espaço das observações ou me-
didas Rn, o espaço do modelo matemático Rm e o espaço dos parâmetros 
incógnitos Ru. Métodos excepcionais podem envolver um ou mais espaços. 
Em função dos espaços envolvidos no ajustamento, deriva-se os métodos 
de ajustamento e um modelo fica determinado por um número mínimo de 
variáveis, quer seja parâmetros, observações ou ambos e as respectivas 
relações entre elas. Assim sendo, a família dos modelos se constitui por y = 
ax + b; está possuindo infinitas soluções e sendo necessária para determi-
ná-la, a fixação de no mínimo dois parâmetros, ou seja, a e b. Já a forma de 
um triângulo plano é definida por seus ângulos. Minimamente dois ângulos 
já definem sua forma, de acordo com o modelo α+β+γ= 180°.
Caso o problema seja fixar a forma e as dimensões do triângulo 
plano, o número de variáveis sobe para três, já que uma escala é somada 
ao problema anterior. Caso o intuito seja determinar a posição e a orien-
tação, tendo como base um referencial específico, do dito triângulo, seis 
variáveis são necessárias. De acordo com a complexidade da realidade 
física que se tem como objetivo representar aumenta, aumentam também 
o número de variáveis mínimas requeridas para a resolução do problema. 
Quando se escolhe o modelo, este fica definido por meio de um número 
mínimo de variáveis distintas, que no caso do ajustamento são as obser-
vações ou medidas geodésicas. Considerando o número mínimo de va-
riáveis por n0 e o número total de observações por n, o grau de redundân-
cia (r) do sistema é, portanto, a diferença entre n e n0, assim r = n - n0. O 
grau de redundância também pode ser chamado de graus de liberdade. 
Para os casos em que n é maior que n0, é porque existe redundância, ou 
seja, o ajustamento é necessário para que seja obtido um único conjunto 
de estimativas para o modelo. As observações podem ser derivadas a 
partir de algumas ou de todas as observações restantes (n-10).
PRINCÍPIOS DO MMQ
Para o modelo funcional, as observações redundantes não são 
compatíveis. Isso se deve ao fato das propriedades estocásticas das 
observações. Assim, num modelo ou sistema de equações, quer sejam 
lineares ou que se linearize estas, quer sejam redundantes ou sem con-
sistência, seriam distintas as soluções que se obteriam para o conjunto 
destas variáveis, considerando como referencial vários outros subsiste-
37
A
JU
ST
A
M
E
N
TO
S 
- 
 G
R
U
P
O
 P
R
O
M
IN
A
S
mas. Para o caso de observações redundantes, não é possível um re-
sultado único apenas, a menos que seja introduzido algum critério. Esta 
configuração, portanto, dá possibilidade à aplicação do princípio básico 
do ajustamento pelo método dos mínimos quadrados, a fim de que este 
derive um conjunto único de estimativas para todas as variáveis do mo-
delo e que estas tenham determinadas propriedades, como estimativa 
não tendenciosa de variância mínima.
O vetor Lb, que corresponde ao conjunto original de observa-
ções, quando composto de observações redundantes e sem consis-
tência como modelo, ao ser realizado o ajustamento, é substituído por 
outro conjunto de estimativas, conhecido como vetor La, este assim sa-
tisfazendo o modelo. Existem diferenças entre os conjuntos de estimati-
vas Lb e La, sendo esta diferença representada por: V = La - Lb.
Onde:
V: vetor das correções ou vetor dos resíduos, assim: La = Lb + V
Para que o modelo seja satisfeito, é necessário que o vetor 
Lb seja bem escolhido, e esta escolha perpassa a escolha também do 
vetor V. Assim, através dos matemáticos e geodesistas Gauss e Legen-
dre, foi considerado como padrão, aceitar como melhor estimativa de La 
o valor que torna mínima a soma dos quadrados dos resíduos. Assim, o 
princípio do MMQ sugere que:
Ф = VTPV = mínimo
Esta formulação é conhecida como a forma quadrática funda-
mental do MMQ, onde o vetor dos resíduos é dado por V e a matriz peso 
das observações é dada por P, assim:
Onde:
𝜎0
2: escalar conhecido como fator de variância a priori
Σ: matriz variância-covariância (MVC) das observações
Vale ressaltar que a formulação acima representa as equações 
desenvolvidas por Gauss e Legendre, mas existem outros casos parti-
culares, onde por exemplo, podem ser derivados a partir da matriz peso. 
Para o caso em que as observações não se relacionam (𝜎ij = 0), a matriz 
peso torna-se uma matriz diagonal, portanto, a equação que representa 
o MMQ é:
38
A
JU
ST
A
M
E
N
TO
S 
- 
 G
R
U
P
O
 P
R
O
M
IN
A
S
Onde:
pi: i-ésimo elemento de P
vi: resíduo associado com a correspondente i-ésima observa-
ção
Para o caso em que as observações não são correlacionadas 
e tenham um mesmo grau de confiança, a matriz peso pode ser consi-
derada como matriz identidade, se satisfazer a condição de que 𝜎0
2 é 
igual a variância das observações. Logo, tem-se que a forma quadrática 
fundamental é representada de duas formas:
Ф = VTV = mínimo
Ou:
Vale mencionar também que, para se aplicar o MMQ não é ne-
cessário um conhecimento a priori da distribuição de probabilidade que 
tenha associação com as observações. Para o caso em que a distribui-
ção seja normal, o método de Máxima Verossimilhança já proporciona 
resultados iguais ao MMQ. Deve-se dar destaque ao vetor dos resíduos 
no processo de ajustamento, haja visto que é possível analisar os ele-
mentos deste vetor a fim de testar o modelo, quer seja ele o funcional ou 
o estocástico e as suas devidas observações associadas.AJUSTAMENTO PELO MMQ
Uma vez conhecido o modelo matemático que será utilizado no 
ajustamento, é selecionado através dos aspectos práticos e computacio-
nais, o método pelo qual se realizará o ajustamento pelo MMQ. Através 
do MMQ é possível se ter estimativas atualizadas ou ajustadas de todas 
as variáveis do modelo, além da sua matriz de variância-covariância. Ao 
se aplicar um algoritmo computacional, é necessário avaliar estatistica-
mente os resultados obtidos, julgando o modelo adotado, quer seja ele 
funcional ou estocástico e as observações. A depender do grau de robus-
tez da linguagem computacional, esta pode levar a um remodelamento 
ou refinamento do modelo, caso o modelo original prove-se inadequado, 
ou seja, rejeitadas observações com grandes erros embutidos.
Para um específico modelo e conjuntos de observações ado-
39
A
JU
ST
A
M
E
N
TO
S 
- 
 G
R
U
P
O
 P
R
O
M
IN
A
S
tados, o MMQ retorna um único resultado. O que difere é o método que 
pode ser utilizado. Vale ressaltar que independentemente do método 
adotado, a resposta final é sempre a mesma. No modelo, além das ob-
servações, podem ser adicionados outras variáveis e constantes. Estas 
variáveis são denominadas de parâmetros. Estes parâmetros, no geral, 
têm valores iniciais incógnitos e os seus valores finais são obtidos no 
processo de ajustamento. 
Depois que os modelos, quer sejam eles funcionais ou esto-
cásticos são estabelecidos, definem-se os métodos do ajustamento, 
estes operando com um conjunto de funções, equações e sistemas 
matemáticos que descrevem o modelo funcional. Neste processo, dois 
grupos de técnicas de ajustamento são muito importantes: as equações 
de condição e as injunções; assim formando a denominação ajusta-
mento pelos mínimos quadrados com condições, ajustamento pelos mí-
nimos quadrados com condições e injunções ou ajustamento pelo MQ 
com injunções. A depender das variáveis envolvidas nas equações de 
condição, sejam elas observações e/ou parâmetros, o ajustamento de 
observações pode ser dividido em três tipos de métodos:
- Método paramétrico: quando as equações de condição en-
volvem observações e parâmetros, porém as observações são funções 
explícitas dos parâmetros, assim: La = F(Xa).
- Método correlatos: quando as equações de condição incluem 
uma ou mais observações, assim, envolvem-se neste método somente 
as equações de observação, sendo representada por: F(La) = 0.
- Método combinado: quando as equações de condição envol-
vem observações e parâmetros, representada por F(La,Xa) = 0.
Para os casos das injunções, a equação da injunção somada à 
equação de condição levará aos mesmos métodos citados anteriormen-
te, entretanto aliado com injunções. Assim, a equação de injunção só tem 
relação com a função dos parâmetros e é representada por G(Xa) = 0.
MODELOS LINEARES E NÃO LINEARES
As equações de condição e as injunções podem ser lineares 
ou não, porém para os casos em que as equações não sejam lineares, 
é necessário que seja feita a sua linearização através da série de Taylor. 
Quando se utiliza modelos linearizados, é definido um conjunto de va-
lores aproximados (X0) para as incógnitas. Existem diversos caminhos 
para obter estes valores aproximados, sendo um deles, dependendo da 
precisão que se espera ao fim do levantamento, a realização de itera-
ções. Assim, define-se um critério de convergência a fim de obter-se os 
40
A
JU
ST
A
M
E
N
TO
S 
- 
 G
R
U
P
O
 P
R
O
M
IN
A
S
valores finais ajustados das incógnitas. Como base para esse processo 
de linearização, utiliza-se a expansão em série por Taylor, que propor-
ciona o valor de uma função com y = f(x), onde no ponto x, quando é 
conhecido o valor da função para x=x0: 
Para os casos em que o x tenha valores próximos ao x0, podem 
negligenciar os valores de potências iguais ou superiores à segunda, ou 
seja, nas proximidades de x0 a curva f(x) pode ser substituída por uma 
reta, onde: f(x) = f(x0) + f’(x0) Δx. Em suma, a aproximação linear da sé-
rie de Taylor de forma matricial é dada por:
No Sistema de Equações Lineares e o Método dos Mínimos 
Quadrados, para os casos de ajustamento de observações, existem duas 
possibilidades: os casos gerais e os casos particulares. Para o primeiro 
caso, sendo o sistema de equações lineares não homogêneas: nAu uX1 = 
nL1, onde A é uma matriz qualquer, X o vetor das incógnitas e L o vetor 
dos termos conhecidos (independentes), o sistema tem, portanto, uma 
solução não única para o caso, onde X = A9 L + (A9 A – I) M, onde A9 é a 
matriz inversa generalizada, M o vetor arbitrário e I a matriz identidade.
Nos casos particulares, discute-se um sistema de equações li-
neares não homogêneas e redundantes (n > u), onde procura-se respon-
der a duas perguntas que têm relação com o sistema anterior, sendo elas:
- O sistema é compatível e/ou consistente? Neste caso, obser-
va-se as características da matriz A e da matriz aumentada A. Esta ma-
triz A é obtida através do acréscimo do vetor dos termos independentes 
(A = [A | L ] ) à matriz A e será consistente quando: car (A) = car (A) = r.
- Depois de satisfeita a condição anterior, tem que se saber se 
o sistema tem uma única solução (determinado) ou infinitas soluções 
(indeterminado). Caso o r seja igual ao número de parâmetros incógni-
tos (u), assim r = u, pode-se dizer que o sistema é determinado, caso 
não seja igual, é indeterminado.
A solução do sistema consistente se dá pela fórmula AT A X = 
AT L, cuja solução é obtida através da formulação X = (ATA)-1 AT L. Para 
o caso em que a matriz A seja quadrada, ou seja u x u e tenha caracte-
rística integral, o sistema será consistente, determinado e tem solução 
única dada por X = A-1 L. Para o caso em que o sistema seja inconsis-
41
A
JU
ST
A
M
E
N
TO
S 
- 
 G
R
U
P
O
 P
R
O
M
IN
A
S
tente, o sistema (A X = L), onde L for constituído de observações, as 
flutuações de probabilidade denotam que car (A) ≠ car (A).
Quando se utiliza o sistema inconsistente para resolução de 
sistemas pelo método do MMQ, para que se remova as inconsistências 
de sistemas não homogêneos, é introduzido o vetor das correções ou 
vetor dos resíduos, assim:
Onde o circunflexo do X é um indicador que este é um valor esti-
mado de X. O vetor dos resíduos para este caso é dado por V = A X - Lb.
No geral, nas ciências geodésicas, o número de observações 
(n) é superior ao de incógnitas (u). Desta forma, aplica-se o critério do 
MMQ e obtém-se uma solução única para o sistema, onde a forma qua-
drática fundamental do MMQ é dada pelas seguintes equações:
Derivando esta formulação em relação a X e igualando a zero, 
tem-se:
Esta formulação representa um conjunto de u equações nor-
mais à u incógnitas, onde a matriz A (AT PA)uxu, for não singular, a solu-
ção é dada por:
42
A
JU
ST
A
M
E
N
TO
S 
- 
 G
R
U
P
O
 P
R
O
M
IN
A
S
Quando se trata de definição de estimador imparcial, pode-se 
afirmar que o estimador X de X é não tendencioso ou imparcial quando: 
E {X} = X e ocorre quando E {V} = 0. Partindo da expressão:
Conclui-se, portanto, que o método dos mínimos quadrados 
conduz a uma estimativa imparcial. Quando se fala se solução de va-
riância mínima (VM), pode-se afirmar que este é um método de estima-
tiva que leva um estimador cuja matriz variância-covariância tem traço 
mínimo dado por:
Onde mostra-se que:
Que no caso, é a solução de variância mínima (VM) e que coin-
cide com a solução encontrada pelo método dos mínimos quadrados. 
Para o caso de Solução de Máxima Verossimilhança, a aplicação do 
43
A
JU
ST
A
M
E
N
TO
S 
- 
 G
R
U
P
O
 P
R
O
M
IN
A
S
MMQ e da VM dispensa o conhecimento da distribuição de probabili-
dade das variáveis aleatórias, ou seja, observações. Mas para o caso 
de solução pelo método estatístico de estimação conhecido como Má-
xima Verossimilhança (MV), é necessário o conhecimento da função 
densidade de probabilidade das observações. Assim, com este método, 
determina-se os parâmetros da distribuição de modoa aumentar a de-
nominada função de verossimilhança, dada pela equação:
Assim, a fdp de uma variável aleatória, que seja contínua (x) e 
tenha distribuição normal é dada por:
A equação acima determina a média da distribuição (𝜇) e o 
desvio padrão (𝜎), por meio do conhecimento dos parâmetros. No caso 
de um vetor aleatório X = [X1, X2, ..., Xn]T com média U = [𝜇1, 𝜇2, ..., 𝜇n]
T e diferentes precisões Σ = [𝜎1, 𝜎2, ..., 𝜎n]T, esta última representando 
uma matriz diagonal com as variâncias das componentes de X, a fdp 
conjunta é dada por: 
A fdp Φ pode ser generalizada, substituindo a matriz diagonal 
(Σ) por uma matriz de mesma ordem, que seja completa (ΣX), onde as 
componentes de X sejam dependentes, ou seja:
44
A
JU
ST
A
M
E
N
TO
S 
- 
 G
R
U
P
O
 P
R
O
M
IN
A
S
Como P é a matriz peso, com 𝜎2
0 = 1 e admitindo que o vetor 
dos resíduos (V), que tenha distribuição normal, chega-se à equação:
Para os casos em que E{V} = 0, tem-se:
E minimizando a forma quadrática fundamental, que é VTPV, 
a função densidade é maximizada para VTPV = mínimo, sendo assim, 
Φ(X) = máxima, com 
V = AX – Lb resultando em: X = (ATPA)-1 ATPLb, admite-se, por-
tanto, V ou Lb como distribuição normal, assim a solução pelo MMQ é 
também uma solução MV.
CONDICIONAMENTO DE SISTEMAS E AJUSTAMENTO DE OBSER-
VAÇÕES DIRETAS
Um sistema mal condicionado é quando, no sistema AX = L, o 
vetor X demonstra grande sensibilidade a erros pequenos nos coeficientes 
da matriz A ou no vetor dos resíduos independentes L. Um sistema mal 
condicionado é extremamente perigoso para o ajustamento de observa-
ções, uma vez que, especialmente em casos particulares, onde se opera 
com valores aproximados para calcular os coeficientes da matriz A e o ve-
tor L nos problemas de ajustamento, estes dados provém de observações 
45
A
JU
ST
A
M
E
N
TO
S 
- 
 G
R
U
P
O
 P
R
O
M
IN
A
S
e assim podem comprometer todos os resultados obtidos. Um exemplo de 
condicionamento que pode gerar problemas no ajustamento de observa-
ções é o arredondamento de casas decimais. Em softwares de programas 
computacionais, que converte o sistema decimal para o sistema binário, 
pode gerar erros insignificantes, onde o sistema mal condicionado pode 
comprometer em alto grau a solução de determinados problemas.
Quando se trata de número de condições, não dá para saber 
antes sobre o condicionamento de matrizes, entretanto, caso ela seja 
mal condicionada, ela no geral demonstra ter determinante pequeno e 
a matriz inversa com elementos em grandes números. Existem diver-
sos indicadores que um sistema está mal condicionado, porém nenhum 
pode determinar um diagnóstico definitivo, sem exceções. Um destes 
indicadores diz respeito à correlação, se esta for forte, pode ser uma 
possibilidade que o sistema esteja mal condicionado. O outro seria o 
número de condições, onde eles servem de indicadores. Estes números 
de condições em geral são apresentados por formulações de matemá-
ticos famosos, como Turing, Todd. 
No ajustamento de observações diretas, que é quando as ob-
servações são conduzidas diretamente sobre uma grandeza desconhe-
cida, quer seja a medida de um ângulo, uma distância. Assim, é feita 
uma média aritmética, que é verificável se satisfaz ao princípio do mé-
todo dos mínimos quadrados. Para o caso em que é feito o ajustamento 
de observações diretas de mesma precisão, para estimar o valor a ser 
ajustado, faz-se uma média aritmética simples (MAS). O valor ajusta-
do é dado por uma estimativa pontual, onde o resultado conduz a um 
único número. Por exemplo, numa mesma grandeza desconhecida foi 
executado uma série de n medidas repetidas e independentes entre si. 
Depois de eliminados os erros grosseiros e as influências sistemáticas 
embutidas em todo os processos de observação geodésica, resta um 
conjunto de n observações, onde: l1, l2, l3, ..., ln e aplicando o critério dos 
mínimos quadrados, de tal forma que VTV = mínimo, obtém-se:
Derivando esta equação na sua forma quadrática e a igualando 
a 0, tem-se:
46
A
JU
ST
A
M
E
N
TO
S 
- 
 G
R
U
P
O
 P
R
O
M
IN
A
S
Assim, para o caso em que as observações diretas sejam de 
mesma precisão e não estejam relacionadas, o valor provável de x é a 
MAS. Aplicando a equação acima em forma de matrizes, tem-se:
Onde:
A: vetor coluna (nx1) de termos unitários
Lb: vetor resíduo (nx1) das observações
Uma vez escolhida a média aritmética enquanto representação 
da grandeza medida, deve-se estimar o seu grau de precisão, seja ele o 
desvio padrão ou o erro médio quadrático. Assim, necessita-se de uma 
estimativa de precisão das observações ajustadas, que podem ser de 
dois tipos: através do desvio padrão ou erro médio quadrático de uma 
observação isolada ou desvio padrão ou erro médio quadrático do valor 
ajustado. Para o primeiro caso, tem-se como índice de precisão a utili-
zação do desvio padrão 𝜎̂ ou o erro médio quadrático (m), com 𝜎̂ = | m |. 
Esta formulação foi proposta por Gauss, este definindo a raiz quadrada 
da média dos quadrados dos erros verdadeiros, por:
Onde:
n: número de observações
ε: erros verdadeiros, em média, desconhecidos
Para Gemael (1994), o erro médio quadrático pode ser definido 
em função dos resíduos em relação à média, assim tem-se:
47
A
JU
ST
A
M
E
N
TO
S 
- 
 G
R
U
P
O
 P
R
O
M
IN
A
S
Portanto:
Que na sua forma matricial é representada por:
Para o segundo caso, onde o erro médio quadrático ou des-
vio padrão é ajustado, na prática, substitui as observações pela média 
aritmética simples, assim, interessa, de fato, a precisão dessa média. 
Aplicando a Lei de Propagação de Covariâncias, dada por:
Obtém-se, assim, o desvio padrão e o erro médio quadrático, 
dado por:
Onde ΣLb é a matriz variância-covariância do vetor das obser-
vações. Resultando em:
48
A
JU
ST
A
M
E
N
TO
S 
- 
 G
R
U
P
O
 P
R
O
M
IN
A
S
Que na sua forma matricial é representada por:
Para o caso de ajustamento de observações diretas de preci-
são desigual, estima-se o valor ajustado através da média aritmética 
ponderada. Exemplificando, para o caso de observações diretas, re-
petidas sobre uma mesma grandeza, independentes, porém, que não 
oferecem o mesmo grau de confiança, a diferença entre as precisões 
observadas é dada pelos pesos. Aplicando o MMQ, tem-se:
Derivando a forma quadrática em relação a x e igualando a 0, 
tem-se:
49
A
JU
ST
A
M
E
N
TO
S 
- 
 G
R
U
P
O
 P
R
O
M
IN
A
S
Representando a equação acima, que é a estimativa do valor 
ajustado e corresponde à média aritmética ponderada (MAP), tem-se:
Onde:
A: vetor coluna (nx1) de termos unitários
L: vetor (nx1) das observações
Assim, é obtida através da forma matricial a equação:
Sendo V o vetor (nx1) dos resíduos, tem-se:
50
A
JU
ST
A
M
E
N
TO
S 
- 
 G
R
U
P
O
 P
R
O
M
IN
A
S
ANÁLISE ESTATÍSTICA DO AJUSTAMENTO
Como é arbitrado um valor para o fator de covariância, este 
não influencia em nada no ajustamento (cálculo da média aritmética 
ponderada). Esta escolha é feita anteriormente ao ajustamento para fi-
xar os pesos, assim, denomina-se fator de variância a priori. Após o 
ajustamento, estima-se um valor de desvio padrão em função dos re-
síduos, assim, denomina-se fator de variância a posteriori. Com estes 
valores de variância a priori e variância a posteriori, faz-se a análise do 
ajustamento através da estatística Qui-quadrado (ꭕ2). A escolha do des-
vio padrão não influencia no resultado do ajustamento, seja, portanto:
Onde:
Esta, resulta em:
Assim, o valor de variância a posteriori é calculado, por Mikhail, 
como:
Onde:
n-u: graus de liberdade ou números de observações redundan-
tes, mas:
51
A
JU
ST
A
M
E
N
TO
S 
- 
 G
R
U
P
O
 P
R
O
M
IN
A
S
Assim, obtém-se uma estimativa imparcial, dada por:
A análise do ajustamento feita pelo Qui-quadrado, por meio de 
testes estatísticos, testando a hipótese básica:
Em relação a hipótese alternativa:
Para validar uma das duas hipóteses, compara-se o valor cal-
culadopor:
Portanto, a análise do ajustamento deve ser feita para verificar 
possíveis fontes de erros, tais como erros grosseiros, sistemáticos ou 
acidentais. Além de verificar se a MVC não é condizente com a precisão 
das observações, ou o modelo funcional é inconsistente com as obser-
vações ou ainda se o sistema está mal condicionado. 
52
A
JU
ST
A
M
E
N
TO
S 
- 
 G
R
U
P
O
 P
R
O
M
IN
A
S
QUESTÕES DE CONCURSOS
QUESTÃO 1
Ano: 2020 Banca: IBFC Órgão: EBSERH Prova: Analista Adminis-
trativo - Estatística.
Num modelo de regressão linear pelo método dos mínimos qua-
drados sabe-se que a inclinação da reta é igual a 3,27 e o intercepto 
da reta é igual a 35,42, então o valor de para x = 21 é:
a) 126,83
b) 136,82
c) 116,27
d) 104,09
e) 109,8
QUESTÃO 2
Ano: 2015 Banca: FCC Órgão: TRE-RR Prova: Analista Judiciário - 
Estatística.
Para responder à questão considere um estudo com o objetivo de 
obter a relação entre duas variáveis X e Y por meio do modelo Yi = 
α + βXi + ∈i, em que i corresponde à i-ésima observação de X e Y. 
Os parâmetros α e β são desconhecidos e ∈i é o erro aleatório com 
as respectivas hipóteses consideradas para a regressão linear 
simples. Com base em 20 pares de observações (Xi, Yi), i = 1, 2, ..., 
20 e utilizando o método dos mínimos quadrados foram obtidas as 
estimativas para α e β.
Considerando a equação da reta obtida pelo método dos mínimos 
quadrados, tem-se que o valor para X tal que Y = 15 é
a) 6,0.
b) 10,5.
c) 9,0.
d) 7,5.
e) 12,0.
QUESTÃO 3
Ano: 2012 Banca: ESAF Órgão: Receita Federal Prova: Auditor Fis-
cal da Receita Federal - Prova 1 - Gabarito 1.
Um modelo de regressão linear múltipla foi estimado pelo método 
de Mínimos Quadrados, obtendo-se, com um nível de confiança de 
53
A
JU
ST
A
M
E
N
TO
S 
- 
 G
R
U
P
O
 P
R
O
M
IN
A
S
95%, os seguintes resultados:
I. Ŷ= 10 + 2,5 x1 + 0,3 x2 + 2 x3
II. o coeficiente de determinação R2 é igual a 0,9532
III. o valor-p = 0,003
Desse modo, pode-se afirmar que:
a) se a variável x1 for acrescida de uma unidade, então Y terá um acrés-
cimo de 2,5 %.
b) 0,003 é o mais baixo nível de significância ao qual a hipótese nula 
pode ser rejeitada.
c) x3 explica 95,32% das variações de Y em torno de sua média.
d) as probabilidades de se cometer o Erro Tipo I e o Erro Tipo II são, 
respectivamente, iguais a 5% e 95%.
e) se no teste de hipóteses individual para ß2 se rejeitar a hipótese nula 
(H0), então tem-se fortes razões para acreditar que x2 não explica Y.
QUESTÃO 4
Ano: 2018 Banca: FGV Órgão: AL-RO Prova: Analista Legislativo - 
Estatística. 
Se b0 e b1 são as estimativas por mínimos quadrados de β0 e β1, 
respectivamente, então seus valores são dados por:
a)
b)
c)
d)
e)
QUESTÃO 5
Ano: 2015 Banca: FCC Órgão: CNMP Prova: Analista do CNMP - 
Estatística.
Para responder à questão, considere o modelo linear Yi = α + βXi + 
ε i sendo i a i-ésima observação, Yi a variável dependente na obser-
vação i, X i a variável explicativa na observação i e εi o erro aleató-
54
A
JU
ST
A
M
E
N
TO
S 
- 
 G
R
U
P
O
 P
R
O
M
IN
A
S
rio com as respectivas hipóteses para a regressão linear simples. 
Os parâmetros α e β são desconhecidos e suas estimativas (a e b, 
respectivamente) foram obtidas pelo método dos mínimos quadra-
dos e com base em 20 pares de observações ( Xi,Yi), i = 1, 2, ... , 20. 
Sabe-se que os pontos (10 ; 9,8) e (40 ; 33,8) pertencem à reta de 
equação Y = a + bX.
Pelo quadro de análise de variância correspondente, observa-se que
a) o coeficiente de determinação (R2), definido como sendo o resultado 
da divisão da variação explicada pela variação total, é igual a 80%.
b) a variação explicada, fonte de variação devido à regressão, é igual 
a 240.
c) o valor da estatística F (F calculado) utilizado para testar a existência 
da regressão é igual a 32.
d) o valor da estimativa da variância do modelo teórico é igual a 10,8.
e) a variação explicada, fonte de variação devido à regressão, tem dis-
tribuição qui-quadrado com 18 graus de liberdade.
QUESTÃO DISSERTATIVA – DISSERTANDO A UNIDADE
O método dos mínimos quadrados (MMQ) é um dos mais importantes 
na área das ciências geodésicas e/ou que trabalham com resultados de 
observações e precisa-se realizar o ajustamento para refinamento dos 
dados. Descreva sobre a interpretação geométrica do MMQ.
TREINO INÉDITO
Na análise estatística do ajustamento, após realizar o ajustamento, 
estima-se um valor de desvio padrão em função dos resíduos. Esta 
estimativa denomina-se: 
a) Variância a priori
b) Covariância a priori
c) Variância a posteriori
d) Covariância a posteriori
e) Matriz de variância e covariância.
NA MÍDIA
MÉTODO INOVADOR DA EMBRAPA USA INFRAVERMELHO 
PARA IDENTIFICAR FUNGOS NO MILHO
55
A
JU
ST
A
M
E
N
TO
S 
- 
 G
R
U
P
O
 P
R
O
M
IN
A
S
Cientistas da Embrapa e da Universidade Federal de Minas Gerais 
(UFMG) conseguiram identificar os principais fungos que prejudicam la-
vouras de milho, combinando imagens hiperespectrais de infravermelho 
próximo, com métodos de reconhecimento de padrões.
Para obter esse método foi desenvolvida uma tese de doutorado na 
UFMG, em parceria com a Embrapa Algodão e a Embrapa Milho e Sor-
go. “Nosso objetivo foi utilizar a técnica de HSI-NIR e técnicas de análise 
multivariada de imagens combinadas com a de reconhecimento de pa-
drões, como a discriminante de mínimos quadrados parciais (PLS-DA) 
de imagens. E assim desenvolver um método rápido para identificação 
de F. verticillioides e F.graminearum”, conta Simeone.
Fonte: Canal Rural
Data: 18 mai. 2021.
Leia a notícia na íntegra: https://www.canalrural.com.br/noticias/agricul-
tura/milho/metodo-inovador-embrapa-fungos-milho/ 
NA PRÁTICA
No dia a dia, nas obras de engenharia que envolvem ajustamento de ob-
servações geodésicas, esses “amontoados” de formulações matemáticas, 
equações e demais técnicas mostradas neste Capítulo para se realizar 
o ajustamento de dados, utilizando-se a técnica do método dos mínimos 
quadrados, é usualmente desenvolvido em ambiental computacional. São 
fórmulas extensas, que até as mais sofisticadas calculadoras científicas 
não conseguem desenvolver sem o auxílio da computação. Desta forma, 
além dos conhecimentos teóricos em matemática aplicada, neste caso, é 
necessário ter conhecimentos de linguagens de programação, quaisquer 
que sejam a linguagem. Os softwares de programação usualmente utiliza-
dos pela Academia como Python, MATLab, SciLAB, Java, C++ e outros, 
chegam aos mesmos resultados e as mesmas variáveis, portanto, o mais 
importante é conhecer alguma linguagem e saber “programar”. 
56
A
JU
ST
A
M
E
N
TO
S 
- 
 G
R
U
P
O
 P
R
O
M
IN
A
S
MÉTODOS DE AJUSTAMENTOS 
No ajustamento de observações geodésicas, existem três 
métodos para se realizar o ajustamento: método paramétrico, método 
correlato e método combinado. Cada um tem as suas particularidades, 
suas equações e formulações específicas e suas vantagens e desvan-
tagens ao ser aplicado. Neste capítulo estudaremos cada um destes 
métodos, bem como sobre as injunções e as análises estatísticas ne-
cessárias para se ter um controle do ajustamento.
MÉTODO PARAMÉTRICO
O método paramétrico é também conhecido como ajustamen-
to de observações indiretas ou método das equações de observação. 
Neste caso, as observações indiretas não são processadas sobre as 
A
JU
ST
A
M
E
N
TO
S 
- 
 G
R
U
P
O
 P
R
O
M
IN
A
S
57
A
JU
ST
A
M
E
N
TO
S 
- 
 G
R
U
P
O
 P
R
O
M
IN
A
S
grandezas procuradas, mas, sim, são vinculadas matematicamente a 
outras e podem ser medidas diretamente. Neste método, cada obser-
vação promove uma equação. Sendo n o número total de observações, 
tem-se, portanto, n equações. Estas equações explicitam cada obser-
vação em função dos parâmetros envolvidos, que será de igual número 
das observações e é denominado u.
O modelo matemático deste método é apresentado por: La = 
F(Xa), onde o La é o vetor das observações ajustadas (n x 1), o Xa o vetor 
dos parâmetros ajustados (u x 1) e o F a funçãoque relaciona La e Xa 
(pode ser linear ou não linear). Quando a função F(Xa) do modelo é não 
linear, significa que o ajustamento paramétrico é não linear. Como em 
média, nos trabalhos de ajustamento, trabalha-se com modelos linea-
res, para os casos em que o modelo é não linear, é necessário linearizar 
o modelo para facilitar a obtenção de solução para o problema. Assim, 
é necessário ser feito uma fase de testes com iterações. Ao linearizar 
um modelo, emprega-se o valor aproximado (X0) para os parâmetros in-
cógnitos, como pontos de expansão da função F(Xa) em série de Taylor, 
utilizando de fato somente os dois primeiros termos da série. A lineari-
zação do modelo pela série de Taylor é dada por:
Sendo: La = Lb + V
Onde:
Lb: vetor das observações (n x 1)
V: vetor dos resíduos (n x 1)
Assim:
Utilizando os parâmetros iniciais como L0, tem-se: L0 = F(X0) e 
utilizando a matriz das derivadas parciais por A, tem-se:
Esta matriz A é denominada de matriz dos coeficientes ou ma-
58
A
JU
ST
A
M
E
N
TO
S 
- 
 G
R
U
P
O
 P
R
O
M
IN
A
S
triz design. Portanto, tem-se:
Sendo a diferença entre L0 e Lb por L, tem-se que L = L0 - Lb, 
assim, tem-se como modelo matemático linearizado para o método pa-
ramétrico a seguinte equação:
Para os casos em que o modelo é linear, tem-se:
Para os casos em que o modelo é linear e o L0 for 0, tem-se:
As equações normais do método, sendo o modelo lineariza-
do, apresenta n equações, onde se tem como incógnitas n resíduos e 
u parâmetros, que forma um sistema compatível, porém com número 
superior de incógnitas (n + u) em detrimento do número de equações 
(n). Assim, utiliza-se o MMQ para obtenção de uma solução única, onde 
tem-se:
59
A
JU
ST
A
M
E
N
TO
S 
- 
 G
R
U
P
O
 P
R
O
M
IN
A
S
Assim:
Portanto:
Derivando esta última equação em relação a X e igualando-a 
a 0, tem-se:
Sendo N = ATPA a matriz dos coeficientes das equações nor-
mais (u x u) e U = ATPL o vetor dos termos independentes (u x 1), 
tem-se:
Onde o u representa um sistema de u equações normais. Para 
este caso, admitindo que N é não singular, a solução é dada por:
Assim, as componentes do vetor X convertem os parâmetros 
aproximados em ajustados, por meio da equação Xa = X0 + X, onde:
Xa: vetor dos parâmetros ajustados (u x 1)
X0: vetor dos parâmetros aproximados (u x 1)
X: vetor das correções aos parâmetros (u x 1)
É necessário se fazer uma estimativa da precisão, onde esta, 
seja de um valor único ou de um conjunto de valores (parâmetros), tem 
que necessariamente ter um indicador da qualidade deles, no caso, sen-
do a matriz de variância-covariância. No método paramétrico, tem-se a 
equação Xa = X0 + X, onde o X0 é um vetor dos valores aproximados e 
não se dispõe de sua MVC, logo:
60
A
JU
ST
A
M
E
N
TO
S 
- 
 G
R
U
P
O
 P
R
O
M
IN
A
S
Assim aplicando a Lei de propagação de covariâncias, obtém-
-se a MVC dos parâmetros ajustados, através da fórmula:
Simplificando:
Para calcular o fator de variância a posteriori, tem-se:
Caso o ajustamento seja aceito no teste estatístico, este valor 
significa que a estimativa é não tendenciosa do fator de variância a prio-
ri, que foi arbitrado no início do ajustamento, logo tem-se:
Como em geral os modelos não são lineares, devendo ser li-
nearizados, é preciso ser feita uma etapa de iterações no ajustamen-
to, haja visto que somente utilizar a série de Taylor ou adotar valores 
iniciais aproximados podem induzir a erros no trabalho. No geral, nem 
todos os sistemas iterativos são convergentes, alguns podem ser diver-
gentes, outros apresentar oscilação em torno de um valor e outros se-
rem convergentes, porém com a solução incorreta. Existem três grupos 
de critérios para o encerramento das iterações, sendo eles: o primeiro 
grupo, o segundo grupo e o terceiro grupo. No primeiro caso, tem-se:
61
A
JU
ST
A
M
E
N
TO
S 
- 
 G
R
U
P
O
 P
R
O
M
IN
A
S
Onde é um valor de tolerância apropriado e i o índice de 
iteração
Para o segundo caso, tem-se:
Onde:
Xk é uma subclasse dos parâmetros e ε um valor escolhido 
para cada problema de forma aleatória e específica.
O terceiro grupo consiste em especificar o número de itera-
ções, assim: 
i r-u, onde r-u representa os graus de liberdade. O modelo ma-
temático do método dos combinados é dado por F (La, Xa) = 0, onde 
La é o vetor das observações ajustadas (n x 1), o Xa o vetor dos parâ-
metros ajustados e F a função, em média, não linear e que simboliza r 
equações de condições. 
Tal qual os outros dois métodos apresentados anteriormente, 
caso o modelo seja não linear, este deve ser linearizado e, devido a 
aproximação introduzida no modelo, uma fase de testes e também de 
iterações é necessária. Assim, tem-se:
Onde, ao designar a função que envolve tanto