Lei de Gauss na Eletrostática

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Lei de Gauss para a Eletrostática
A Lei de Gauss é um dos pilares da eletrostática e relaciona o campo elétrico gerado por distribuições de carga elétrica com a carga total contida em uma região do espaço. Essa lei está presente nas equações de Maxwell e possui duas formas fundamentais: a forma integral e a forma diferencial.
Forma Integral da Lei de Gauss
∮ E ⋅ dS = Q / ε₀
Onde:
• E: vetor campo elétrico.
• dS: vetor área orientado para fora da superfície fechada.
• Q: carga total contida na superfície.
• ε₀: permissividade elétrica do vácuo.
A forma integral expressa que o fluxo do campo elétrico através de uma superfície fechada é proporcional à carga elétrica dentro dessa superfície.
Forma Diferencial da Lei de Gauss
∇ ⋅ E = ρ / ε₀
Onde:
• ∇ ⋅ E: divergência do campo elétrico.
• ρ: densidade volumétrica de carga elétrica.
• ε₀: permissividade elétrica do vácuo.
Essa forma descreve como a presença local de cargas elétricas influencia a divergência do campo elétrico.
Ligação entre as Formas
As formas integral e diferencial da Lei de Gauss estão conectadas pelo Teorema da Divergência:
∭ (∇ ⋅ E) dV = ∮ E ⋅ dS
Isso significa que o fluxo da divergência de E num volume V é igual ao fluxo de E na superfície que delimita V.
Aplicações da Lei de Gauss
A Lei de Gauss é especialmente útil para calcular o campo elétrico em sistemas com simetria, tais como:
• Carga pontual (simetria esférica).
• Casca esférica carregada.
• Fio infinito uniformemente carregado (simetria cilíndrica).
• Plano infinito com carga superficial (simetria planar).
Ela permite determinar o campo elétrico de forma mais simples do que usar diretamente a Lei de Coulomb.
Exemplo de Exercício Resolvido
Considere uma carga pontual Q colocada no centro de uma esfera de raio R. Qual o fluxo elétrico através da superfície da esfera?
Solução:
Como a esfera é simétrica e a carga está no centro, aplicamos a Lei de Gauss:
∮ E ⋅ dS = Q / ε₀
O fluxo elétrico através da superfície esférica é:
Φ = Q / ε₀
Ou seja, depende apenas da carga total interna e não do raio da esfera.