Aula 4 - Curvas Verticais

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CENTRO DE CIÊNCIAS TECNOLÓGICAS – CCT
DEPARTAMENTO DE ENGENHARIA CIVIL – DEC
CURSO DE ENGENHARIA CIVIL
AULA 4
CURVAS VERTICAIS
Prof. Esp. Wanderson Moraes Soares
PROJETO DE ESTRADAS
REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS
INTRODUÇÃO
INTRODUÇÃO
O projeto de uma estrada em perfil longitudinal é composto de
greides retos concordados dois a dois por curvas verticais.
Os greides retos são definidos pela sua declividade (tangente do
ângulo em %.
 Greides ascendentes: (+ )
 Greides descendentes: (- )
INTRODUÇÃO
INTRODUÇÃO
INTRODUÇÃO
INTRODUÇÃO
PONTOS NOTÁVEIS
REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS
CURVA VERTICAL
CURVA VERTICAL
As curvas mais usadas em todo o mundo são as seguintes:
 Parábola do 2º grau;
 Curva circular;
 Elipse;
 Parábola cúbica.
O DNIT recomenda o uso da parábola do 2º grau, simétricas em
relação ao PIV (ou seja, as distância de PIV a PCV e de PIV a PTV são
iguais L/2)
CURVA VERTICAL
CURVA VERTICAL
As parábolas do 2º grau são definidas pelo seu parâmetro K, que
traduz a taxa de variação da declividade longitudinal em unidade de
comprimento, estabelecida para cada velocidade.
O valor de "K" representa o comprimento da curva no plano horizontal,
em metros, para cada 1% de variação na declividade longitudinal.
Mais informações: Manual de Projeto Geométrico DNIT (p. 124)
CURVA VERTICAL
Nos estudos de curvas verticais é muito utilizada a expressão abaixo,
que é a variação total da declividade do greide.
CURVA VERTICAL
CURVA VERTICAL
A parábola simples é uma curva muito próxima a uma circunferência;
É usual referir-se ao valor do "raio" da curva vertical, entendido como o
menor raio instantâneo da parábola, dado por:
CURVA VERTICAL
TIPOS DE CURVAS VERTICAIS
 CURVAS CONVEXAS
CURVA VERTICAL
TIPOS DE CURVAS VERTICAIS
 CURVAS CÔNCAVAS
CURVA VERTICAL
PROPRIEDADES DA PARÁBOLA DE 2º GRAU
 Parábola simétrica ao PIV:
 Em projeção horizontal, a distância entre o PCV e o PIV é igual à
distância entre o PIV e o PTV;
 Ambas são iguais à metade do comprimento da curva (Lv).
CURVA VERTICAL
CÁLCULO DE COTAS E FLECHAS DA PARÁBOLA SIMPLES
 Na origem do sistema de eixos:
x = 0 e y = 0  c = 0
CURVA VERTICAL
CÁLCULO DE COTAS E FLECHAS DA PARÁBOLA SIMPLES
 Derivada da curva em PCV  inclinação da reta tangente:
CURVA VERTICAL
CÁLCULO DE COTAS E FLECHAS DA PARÁBOLA SIMPLES
 Derivada da curva em PTV  inclinação da reta tangente:
CURVA VERTICAL
CÁLCULO DE COTAS E FLECHAS DA PARÁBOLA SIMPLES
 EQUAÇÃO GERAL DA PARÁBOLA
CURVA VERTICAL
CÁLCULO DE COTAS E FLECHAS DA PARÁBOLA SIMPLES
 Flecha da parábola
Flecha em um 
ponto 
qualquer
Flecha máxima
CURVA VERTICAL
CÁLCULO DE COTAS E FLECHAS DA PARÁBOLA SIMPLES
 Ponto Máximo ou Mínimo da parábola
CURVA VERTICAL
PONTOS NOTÁVEIS DA CURVA VERTICAL
CURVA VERTICAL
COTAS  CURVA CONVEXA
CURVA VERTICAL
COTAS  CURVA CÔNCAVA
REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS
COMPRIMENTO MÍNIMO
COMPRIMENTO MÍNIMO
CURVAS CONVEXAS
 Função das condições de visibilidade para uma frenagem segura, caso
exista um obstáculo na trajetória do motorista;
 Distância a se considerar: distância de visibilidade de parada;
 Adotando-se:
 Motorista a H = 1,10m acima do plano da pista;
 Obstáculo a h = 0,15m sobre a pista.
COMPRIMENTO MÍNIMO
CURVAS CONVEXAS
em 
porcentagem
COMPRIMENTO MÍNIMO
CURVAS CÔNCAVAS
 Para o tráfego noturno, a pista deve ser iluminada a uma distância de
visibilidade de parada pelo farol do veículo;
 Adota-se o facho luminoso a uma altura de 0,61m da pista e divergindo
em 1º do eixo longitudinal.
COMPRIMENTO MÍNIMO
CURVAS CÔNCAVAS
em 
porcentagem
COMPRIMENTO MÍNIMO
OBSERVAÇÃO
Para ambos os casos, o motorista deve também ter no mínimo 2
segundos para perceber a alteração da declividade longitudinal:
COMPRIMENTO MÍNIMO
RAMPAS MÁXIMAS
OBS. Os terrenos são classificados quanto ao relevo em:
a) Terreno plano  São os terrenos com declividade entre 0 e 8%;
b) Terreno ondulado  São os terrenos com declividade entre 8 e 20%; e
c) Terreno montanhoso  São os terrenos com declividade maior que 20%.
REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS
NOTA DE SERVIÇO DE TERRAPLENAGEM
NOTA DE SERVIÇO
A nota de serviço de terraplenagem é importante para construção da
estrada, pois possui os elementos necessários para execução do greide da
estrada no campo.
NOTA DE SERVIÇO
1. Cálculo das cotas do greide reto: a partir de uma cota conhecida (do
ponto PCV ou PIV), vão sendo calculadas as cotas dos diversos pontos dos
greides retos, de acordo com a inclinação dos greides, e é preenchida a
coluna greide reto na tabela..
NOTA DE SERVIÇO
2. Calcular o valor das flechas da parábola e inscrevê-las na coluna das
flechas, ou na coluna das “ordenadas da parábola” da tabela da nota de
serviço de terraplenagem.
Obs.: Para parábola simples ou simétrica em relação ao PIV, calcula-se os
valores das flechas para o primeiro ramo da parábola que vai de PCV a PIV;
e depois repetem-se os valores em ordem inversa para o outro ramo da
parábola
NOTA DE SERVIÇO
3. Calculados os valores das flechas (f), soma-se ou subtrai-se os valores
das flechas dos valores do greide reto. Deste modo, tem-se as cotas do
greide de projeto.
4. Para se obter as cotas vermelhas, ou seja, as alturas de corte e aterro;
Basta fazer a diferença entre as cotas do terreno natural e as cotas do greide
de projeto.
NOTA DE SERVIÇO
EXEMPLO:
NOTA DE SERVIÇO
CONSIDERAÇÕES FINAIS
a) Considerações quanto ao cálculo e a locação da curva vertical
 Para facilitar o cálculo e a locação das curvas verticais, os valores
adotados para L (comprimento da curva vertical) são geralmente
arredondados para múltiplos de 20m.
b) Considerações gerais sobre o perfil longitudinal (ou greide)
 O perfil longitudinal da estrada, necessariamente precisa ser escolhido em
harmonia com o traçado em planta, e nunca pode ser analisado
isoladamente.
NOTA DE SERVIÇO
Tem-se os seguintes critérios básicos, que podem ajudar na escolha do
perfil longitudinal mais adequado para um projeto:
a) Compensar cortes e aterros visando menor movimentação de terra.
b) Usar a rampa máxima ou próxima à máxima somente em casos extremos.
c) Evitar a coincidência de rampa máxima com o raio mínimo de curva horizontal.
d) Um bom perfil é composto por poucas curvas verticais de grandes raios.
e) Evitar sucessão de curvas verticais.
f) As curvas horizontais devem começar antes e terminarem depois das curvas
verticais correspondentes.
NOTA DE SERVIÇO
g) Toda ilusão ótica que o traçado possa provocar deve ser evitada. O
motorista nunca pode ter falsas impressões (ex. impressão de pista curta).
OBS. Uma ilusão ótica ocorre quando o início de uma curva horizontal é
escondido do motorista por causa de uma elevação intermediária, enquanto a
continuação da curva é vista à distância.
NOTA DE SERVIÇO
Ilusão ótica no trecho de uma rodovia, onde se tem a impressão que a pista
irá diminuir para apenas uma faixa
NOTA DE SERVIÇO
EXEMPLO 4.1: Calcular os elementos notáveis da curva abaixo e completar a nota de
serviço a seguir.
Dados:
Rv = 3000m
Dp = 98m
Cotas VermelhasGreide 
Projeto
Ordenada 
Parábola
Cotas (m)
Estaca
Aterro (-)Corte (+)Greide retoTerreno
820,00
821,10
822,00
823,00
824,00
825,12
826,40PIV = E80
827,80
828,20
828,90
829,15
830,30
830,50
Cotas VermelhasGreide 
Projeto
Ordenada 
Parábola
Cotas (m)
Estaca
Aterro (-)Corte (+)Greide retoTerreno
- 7,60827,600,00827,60820,00PCV = E74
- 6,83827,930,07828,00821,10E75
- 6,13828,130,27828,40822,00E76
- 5,20828,200,60828,80823,00E77
- 4,13828,131,07829,20824,00E78
- 2,81827,931,67829,60825,12E79
- 1,20827,602,40830,00826,40PIV = E80
0,67827,131,67828,80827,80E81
1,67826,531,07827,60828,20E82
3,10825,800,60826,40828,90E83
4,22824,930,27825,20829,15E84
6,37823,930,07824,00830,30E85
7,70822,800,00822,80830,50PTV = E86
NOTA DE SERVIÇO
EXEMPLO 4.2: Calcular os elementos notáveis da curva vertical e confeccionara nota de
serviço.
Dados:
Lv = L = 320m
Cotas Vermelhas
Greide de 
Projeto
Ordenada da 
Parábola
Cotas (m)
Estaca
Aterro (-)Corte (+)Greide RetoTerreno
558,50
557,90
558,00
559,00
561,00
562,27
563,42
552,20
553,10PIV = E76
556,00
554,85
556,87
557,00
558,40
558,90
558,27
560,00
Cotas Vermelhas
Greide de 
Projeto
Ordenada da 
Parábola
Cotas (m)
Estaca
Aterro (-)Corte (+)Greide RetoTerreno
0,30558,200,00558,20558,50PCV = E68
0,06557,84-0,04557,80557,90E69
0,45557,55-0,15557,40558,00E70
1,66557,34-0,34557,00559,00E71
3,80557,20-0,60556,60561,00E72
5,13557,14-0,94556,20562,27E73
6,27557,15-1,35555,80563,42E74
- 5,04557,24-1,84555,40552,20E75
- 4,30557,40-2,40555,00553,10PIV = E76
- 1,64557,64-1,84555,80556,00E77
- 3,10557,95-1,35556,60554,85E78
- 1,47558,34-0,94557,40556,87E79
- 1,80558,80-0,60558,20557,00E80
- 0,94559,34-0,34559,00558,40E81
- 1,05559,95-0,15559,80558,90E82
- 2,37560,64-0,04560,60558,27E83
- 1,40561,400,00561,40560,00PTV = E84
Wanderson Moraes
Obrigado!
https://www.linkedin.com/in/wms-engenharia
REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS
 DEPARTAMENTO NACIONAL DE ESTRADAS E RODAGEM. Manual de projeto
geométrico de rodovias rurais. Rio de janeiro, 1999.
 PONTES FILHO, G. (1998) Estradas de rodagem projeto geométrico. [S.I.]:
Bidim, 1998. 432p. (Bibliografia principal)