Revisão de Vetores em Mecânica

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MECÂNICA GERAL I
TURMA 2024-03
PROF. DR. FLÁVIO TIMÓTEO
BACHARELADO EM CIÊNCIA E TECNOLOGIA
ARQUITETURA E URBANISMO
1
AULA 02
REVISÃO DE VETORES – Parte 1
2
REVISÃO DE VETORES 
A MAIORIA DAS QUANTIDADES FÍSICAS, EM MECÂNICA, PODE SER EXPRESSA MATEMATICAMENTE POR: 
GRANDEZAS ESCALARES
X
GRANDEZAS VETORIAIS
VOCÊ SABE DIFERENCIÁ-LAS?
3
Exemplo de representação de forças
4
Exemplo de representação de forças
5
Representação Vetorial
6
OPERAÇÃO VETORIAL
Multiplicação e Divisão de um Vetor por um Escalar:
Vetor e sua contrapartida negativa
Multiplicação e divisão escalares
7
OPERAÇÃO VETORIAL
Adição Vetorial
Adição de Vetores Colineares
8
OPERAÇÃO VETORIAL
Subtração Vetorial
Subtração Vetorial
9
OPERAÇÃO VETORIAL
Decomposição de Vetores
Decomposição de um vetor
10
Adição e Decomposição de Forças Vetoriais
11
Adição de Forças Vetoriais
12
Lei do Senos e Lei dos Cossenos
13
Exemplo 01
O parafuso está sujeito a duas forças F1 e F2. Determine a intensidade e a direção da força resultante.
14
Exemplo 01: Intensidade de FR
15
Exemplo 01: Direção de FR
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Exemplo 02
Determine a magnitude do componente da força F, e a magnitude da força resultante FR, se FR está direcionada ao longo do eixo Y, positivo.
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Exemplo 02: Magnitude de F e de FR
18
Exemplo 03
Decomponha a força horizontal de 600lb, em suas componentes que atuam ao longo dos eixos U e V, e determine as magnitudes destes componentes.
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Exemplo 03: Decomposição da força 600lb.
20
Exemplo 04
É requerido que a força resultante que atua no olhal, seja direcionada ao longo do eixo X positivo e que F2 tenha a menor magnitude. Determine esta magnitude, o ângulo Ɵ e sua correspondente FR. 
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Exemplo 04: Intensidade de FR e F2 e Ɵ 
22
Revisão de Vetores - Parte 2
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Forças Coplanares
Adição de um sistema de forças coplanares
Quando uma força é decomposta em duas componentes ao longo dos eixos x e y, elas são então, chamadas de componentes retangulares.	
notação escalar.
notação de vetor cartesiano.
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Notação Escalar
Como essas componentes formam um triângulo retângulo, suas intensidades podem ser determinadas por:
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Notação Escalar
No entanto, 
Como esse triângulo e o triângulo maior sombreado são semelhantes, o comprimento proporcional dos lados fornece:
				 e
26
Notação Vetorial Cartesiana
Também é possível representar as componentes x e y de uma força em termos de vetores cartesianos unitários i e j. 
27
Notação Vetorial Cartesiana
Como a intensidade de cada componente de F é sempre uma quantidade positiva, representada pelos escalares (positivos) Fx e Fy, então, podemos expressar F como um vetor cartesiano. 
28
Resultante de Forças Coplanares
Qualquer um dos dois métodos descritos pode ser usado para determinar a resultante de várias forças coplanares. Por exemplo:
. 
29
Resultante de Forças Coplanares
Usando a notação vetorial cartesiana, cada força é representada como um vetor cartesiano, ou seja,
. 
F1 = F1xi + F1yj
F2 = – F2xi + F2yj
F3 = F3xi – F3yj
FR = F1 + F2 + F3
= F1xi + F1yj – F2xi + F2yj + F3xi – F3yj
= (F1x – F2x + F3x) i + (F1y + F2y – F3y) j
= (FRx) i + (FR y) j
30
Resultante de Forças Coplanares
Se for usada a notação escalar, temos então
(→ + )		FRx = F1x – F2x + F3x
(+ ↑) 		FRy = F1y + F2y – F3y
As componentes da força resultante de qualquer número de forças coplanares podem ser representadas simbolicamente pela soma algébrica das componentes x e y de todas as forças, ou seja,
. 
31
Resultante de Forças Coplanares
Uma vez que estas componentes são determinadas, elas podem ser esquematizadas ao longo dos eixos x e y com seus sentidos de direção apropriados, e a força resultante pode ser determinada pela adição vetorial.. 
32
Exemplo 05
Determine os componentes x e y de F1 e F2 que atuam sobre a lança. 
33
Exemplo 05
34
Exemplo 05
35
Vetores Cartesianos
As operações da álgebra vetorial, quando aplicadas para resolver problemas em três dimensões, são enormemente simplificadas se os vetores forem primeiro representados na forma de um vetor cartesiano.
Sistema de coordenadas destro
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Componentes retangulares de um Vetor
Em geral, quando A está direcionado dentro de um octante do sistema x, y, z:
A = Ax + Ay + Az 
A = A’ + Az
A’ = Ax + Ay.
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Vetores Cartesianos unitários
Os vetores cartesianos unitários são mostrados na figura abaixo:
A = Axi + Ayj + Azk
38
Intensidade de um Vetor Cartesiano
É sempre possível obter a intensidade de A, desde que ele seja expresso sob a forma de um vetor cartesiano.
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Direção de um Vetor Cartesiano
A direção de A é definida pelos ângulos de direção coordenados α (alfa), β (beta) e γ (gama), medidos entre a origem de A e os eixos x, y, z positivos, desde que estejam localizados na origem de A. 
40
Direção de um VetorCartesiano
Se A for expresso sob a forma de um vetor cartesiano, A = Axi + Ayj + Azk, então uA terá uma intensidade de um e será adimensional, desde que A seja dividido pela sua intensidade, ou seja,
vemos que as componentes i, j, k de uA representam os cossenos diretores de A, ou seja,
uA = cos αi + cos βj + cos γk
41
Direção de um Vetor Cartesiano
Algumas vezes, a direção de A pode ser especificada usando dois ângulos, θ e ϕ (fi),
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Adição de Vetores Cartesianos
A força resultante poderá ser escrita como:
FR = ΣF = ΣFxi + ΣFyj + ΣFzk
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Adição de Vetores Cartesianos
A força resultante poderá ser escrita como:
FR = ΣF = ΣFxi + ΣFyj + ΣFzk
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Exemplo 06
Determine a intensidade e os ângulos diretores coordenados da força resultante que atuam sobre o anel.
45
Exemplo 06
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Exemplo 07
Expresse a força F1 como vetor cartesiano, determine sua intensidade e seus ângulos diretores coordenados.
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Exemplo 07
48
Exemplo 07
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