Matematica-A14

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Instituto Universal Brasileiro Educação de Jovens e Adultos a Distância BRASILEIRO Curso a distância de: SUPLETIVO PREPARATÓRIO ENSINO MÉDIO Série MatemáticaENSINO MÉDIO MATEMÁ TICA SÉRIE AULA 14 NÚMEROS COMPLEXOS conjunto IR dos números reais, foi o conjunto Universo que adotamos até o momento, para resolver as equações dadas. Mas não era possível resolver por exemplo, a equação + 1 = 0, pois a mesma não admite raízes reais. Veja a resolução dessa equação, sendo U = IR: = - 1 - 1 mas V - IR S=0 Foi então, necessário ampliar o conjunto Universo a fim de encontrar solução para equações cujas raízes sejam iguais a raiz quadrada (ou raiz de índice par qualquer) de números negativos. Esse novo conjunto Universo é o conjun- to dos números complexos ou imaginários, o qual indicamos por C. A unidade fundamental dos números complexos é chamada de unidade imaginária. É indicada pela letra i, onde: ou - Assim, a partir da igualdade podemos calcular a raiz quadrada de qualquer número negativo. Exemplos V-4 = = 2i = = = 5i = = = Agora que você já sabe calcular raiz quadrada de números negativos, poderá entender facilmente como devemos calcular as raízes e x" de equações do 2° grau cujo discriminante A ("delta") é um número negativo. Exemplos A=4-8Mas Então, x' - 16 - POTÊNCIAS DA UNIDADE IMAGINÁRIA i Você acabou de aprender que Por definição temos , temos: , Vamos calcular as demais potências de i, determinando uma forma de calcular in onde n é um expoente inteiro positivo: , pois , pois = pois pois pois Vamos observar essas potências já calculadas: i°=1 pela lógica: etc..Podemos verificar que as potências de i repetem-se de 4 em 4, em relação aos expoentes. Então para calcular o valor de uma potência qualquer, basta dividir n por 4 e verificar o resto r dessa divisão: - a divisão for exata, isso é o resto r for 0, temos in = i° in = 1 Exemplos a) i8 8 4 0 2 r=0 b) 120 4 00 30 = i° = 1 II - Se o resto da divisão for igual a 1, temos Exemplos a) 9 4 1 2 r=1 b) 53 4 13 13 1 r=1 III - - Se o resto da divisão for igual a 2, temos in = Exemplos a) 10 4 2 2 r=2 b) 78 4 38 19 2IV - Se o resto da divisão for igual a 3, Exemplos 11 4 3 2 r=3 b) 107 4 27 26 3 r=3 FORMA ALGÉBRICA DE UM NÚMERO COMPLEXO A um par ordenado b) de números reais, isto é, e , associa-se um número complexo Então, Z ou Portanto a forma algébrica de um número complexo Z é: onde, a E IR. Exemplos São números complexos na forma algébrica: 3 1 - i = 3 = Observações: Um número complexo é chamado imaginário puro se Exemplo é um número imaginário puro, pois onde temos a = 0. Um número complexo é um número real, se Exemplo é um número real, pois onde temos b = 0. , Podemos concluir que o conjunto dos números reais é um subconjunto do conjunto dos números complexos, ou seja: IR C Então, todo número real é também um número complexo.IGUALDADE DE NÚMEROS COMPLEXOS Vamos considerar dois números e onde e . Esses dois números complexos são iguais, ou seja Z1 = se as suas partes reais e imaginárias forem respecti- vamente iguais. Dessa forma: = Exemplos a) Se e b) Dados , então: Z1 = se e ADIÇÃO DE NÚMEROS COMPLEXOS Dados dois números complexos + é um número complexo dado por: Exemplo Dados e vamos calcular Resolução: = 2)i 5i Observação: Podemos obter Z1 + nesse exercício, fazendo simplesmente: ou 2i i + SUBTRAÇÃO DE NÚMEROS COMPLEXOS Dados dois números complexos a subtração - é obtida, fazendo: - = - Exemplo Vamos calcular - dados e Resolução: Z1 - -MULTIPLICAÇÃO DE NÚMEROS COMPLEXOS Dados dois números complexos e o produto Z1 é obtido fazendo: di i Exemplo Vamos calcular . dados e = 2 Resolução: Aplicando a fórmula, temos: = = (10 12) + (8 Observação: Podemos obter o produto sem a aplicação direta da fórmula, fazendo: 5 + 4i = (lembrando que = 10 + 8i + 15i - 12 - = - 2 + 23i DIVISÃO DE NÚMEROS COMPLEXOS Dados dois números complexos o quociente Z1 : ou é dado por: = Sabemos que uma fração não se altera quando multiplicamos o seu numerador e seu denominador por um mesmo valor diferente de zero.Sabemos ainda que o produto da soma pela diferença de dois termos é igual ao quadrado do primeiro termo, menos o quadrado do segundo termo, por exemplo: (c + d) - Então os e o dados números complexos não se altera se multiplicarmos o numerador e o denominador dessa fração pelo conjugado de o conjugado do número complexo = + di é Veja outros exemplos: { o conjugado de Z = 2 + 3i é =2-3 o conjugado de - Então, = = = - - bd ac - adi + bci + bd = = (ac + bd) + = + Exemplo Vamos calcular dados Z1 11 2i = + e a = 11 Resolução: Aplicando a fórmula da divisão de números complexos, obtemos: = = = 25 + 50i = 25 = 25 25 + 50i 25 Z1 2i = 1 +Observação: A divisão ser efetuada, sem a aplicação direta da fórmula, o que geralmente, é mais conveniente. Vamos então, assim resolver sendo = e = Multiplicando e pelo conjugado temos: = = = = = 25 + = 25 = + = 1 + 2i EXERCÍCIOS PARA VOCÊ ESTUDAR 1. Assinalar (X) na alternativa correta. c) V-36 Os números - - 16 e - 64 não são números reais, = = = = 6i pois são raízes de índices par de números negativos. Essas raízes são, então d) V-10 a) números inexistentes = V 10 = = = 10 i b) ( ) números vazios c) ( ) números irracionais 3. Resolver as equações, adotando o conjunto Universo d) (X) números complexos ou imaginários igual ao conjunto dos números complexos. Comentário: conjunto C dos números complexos (ou imaginários) é a ampliação do conjunto IR dos números + 25 = 0 reais, estruturado para conter, além dos números reais, os = números que são raízes de índice par de valores negativos. = Portanto a alternativa d é a correta. d) 0 Resoluções: 2. Sabendo que , calcule as seguintes raízes: = a) V - + b) -100 S = c) d) - Resoluções: X = + V - 2 a) -9 X = + 2 = = = 9 b) -100 9 4 9 = 100 = = = = 10i S = 3 2 3 2d) i60 60 4 r = 0 20 15 0 = 2a 94 4 r=2 14 23 -4 2i 2 2 X 2 2 2i 2 5. Assinalar (X) na alternativa correta. Ao par ordenado (a b) pertencente ao produto carte- siano IR X IR é associado um número complexo na forma algébrica Z = a + bi. Então, ao par ordenado (5 , - 2) associa-se o número 4. Sabendo que as potências principais de i são: complexo: a) = 3i b) (X) = c) ( ) Z d) ( ) Z = Comentário: Se ao par ordenado (a, b) associa-se então: Calcular o valor das seguintes potências: ao par ordenado - 2) associa-se Z = 5 - 2i. c) 6. Dados os números complexos e d) , calcule X e y de modo que te- e) Comentário: Para calcular uma potência in qualquer basta dividir o expoente n por 4 e observar o resto da divisão: Resolução: Temos: + 5i y = 5 + 2 Resoluções: a) 7. Assinalar a alternativa correta. 29 4 r = 1 = i Dado o número complexo Z = 2x-5+5i - este é um 1 7 número imaginário puro se: b) a) ( ) X = -2 101 4 r = 1 = i 21 25 1 c) 87 4 r=3 Comentário: Número imaginário puro é aquele cuja 07 21 parte real é nula, isto é, é igual a zero. 3 Então, Z é imaginário puro se a = 0.Resolução: Em a parte real é 2x-5 9. Dado o número complexo Z calcular Z é um número imaginário Comentário: é o mesmo que puro se 2x-5=0 Resolução: Como = Z Z Resolvendo essa equação, temos: = 5 = 2 5 20i Portanto, Z = 2x - 5 + 5i é imaginário puro se 2 8. Dados os números complexos: Observação: podemos calcular Z1 = 4 + 7i e fazendo: Z = 5 + 2i = Lembrando que (a + = + 2ab + temos: b) c) = Resoluções: = 21 + 20i } 10. Dê o conjugado dos seguintes números complexos: + = 3 + 9i a) Z = 5 + 8i b) } + i - = 5 + 5i Respostas: a) conjugado de é b) conjugado de é c) conjugado de = 3 2 + i é = 2 i = d) conjugado de Z = 2i é - Observação: número complexo Z = 2i pode ser i escrito assim: Z = 0 + 2i Sendo Z = 0 + 2i, o seu conjugado é Z = 0 2i Observação: Lembrando que i2 = - 1, temos: + (-1) = - 14 Portanto o conjugado de Z = 2i e11. Dados , calcular Multiplicando o numerador e o denominador pelo conju- gado de (1 + i), que temos: = 1-(-1) = 2 = = = = - 2 + 2 = 2 + 4i 1 2 5 2 2 = 12. Dados os números complexos , temos = se 1 b) 3 2 = 4 c) 4i Portanto, EXERCÍCIOS PARA VOCÊ RESOLVER 1. Determine o valor das seguintes raízes: 3. Calcule as seguintes potências de i a) V-1 b) c) d) V-7 d) e) 4. Dados os números complexos 2. Resolva as seguintes equações do 2° grau, adotando e Z3 = efetue: U J=C. = = = 05. Dados os números complexos e = - o valor de de modo que o produto . c) seja um número real, é Sugestão: Aplicar o desenvolvimento de produtos notáveis e/ou desenvolvimento de Binômio de Newton. a) ( ) 2 3 (Binômio de Newton é matéria estudada na Apostila 6 da série). 7. Efetue as divisões de números complexos: d) a) 6. Efetue as seguintes potências de números complexos: a) (1 + CHAVE DE RESPOSTAS 1. 2. a) V - Comentário: - 1 é igual a unidade imaginária i que é o elemento fundamental dos números complexos. a = 1 A = 36 100 Portanto - b) A Fazendo - 81 = 81 (-1) temos: X = - 2a 6 + V 64 Lembrando que - 1 = X = (Sabemos que - 64 = 8i) 2 = = x' = 2 = 6 2 + 2 = 3 + 4i 6 + 8i = 2 6 8i x" = = - = c) V-25 = = = 2 2 2 V d) = = V -7 - = 7i x2 = - 4 e) V-48 = (Sabemos que 48 2 24 x' 2 = 12 6 2>22 2 2 3 3 1 V = {2i, 2i}4. Dados os números complexos e efetue: Resolução: - 10i) + (-2 + 5i) Z1 + = 7 - 2 - 10i + 5i 9 Z1 + = 5 - 5i 25 9 Resolução: (-5i) - 3 i 5 + Z3 = 2 x" V = = Z1 = 7 - 10i + 5i - 2 + 5i 3. 7 - 2 - 10i + 5i + 5i Comentário: Para calcular uma potência temos que 5 dividir o expoente n por 4 e verificar o resto. Resolução: - 5i) Se r = = 1 Se r = 1 = - r = 2 Z1 = - 14 + 55i - 50 (-1) Se r = 3 in = = - 14 + 55i + 50 Z1 = - 14 + 50 + 55i a) Z1 = 36 + 55i 12 4 r = 0 0 3 b) 21 4 r = 1 1 5 Z3 = 35i + 50 (-1) Z3 = - 50 - 35i c) 39 4 r 5. Dados os números complexos e 3 9 - o valor de de modo que o produto Z1 seja um número real, é d) 150 4 r 30 37 Comentário: Um número complexo é igual a 2 um número real quando b = 0.Resolução: Efetuando temos: Desenvolvendo o binômio de Newton (2 + i)4, temos: Z1 Z1 = 5 + 5 8i - 2i (3x+5) Z1 = 15x + 25 + 40i - 6xi - 10i - Z1 = 15x + 25 + 40i - 6xi - 10i - 16 . (-1) + - 24 - 8i + 1 = 15x + 25 + 40i - 6xi - 10i + 16 (2 = 15x + 25 + 16 + 40i - 6xi - 10i Z1 = 15x + 41 + (40 - 6x - 10) i 7. Efetue as divisões de números complexos: a b para b 40 - 6x - 10 = 0 Multiplicando o numerador e o denominador pelo conju- (-1) = - gado de 2 + 3i, temos: 6x = 40 - 10 o conjugado de 2 + 3i = = 2 + 3i - Portanto a alternativa b é a correta. Produto Notável 3 = = 6. a) = Lembrando que (a + = + 2ab + temos: Portanto = = = = - = -8 + 6i Multiplicando o numerador e o denominador por 1 + 2i, que é o conjugado de 1 - 2i, temos: Lembrando que (a = temos: (2 + = + 1 = = = = + 5 = -4 2i 4 = 8 - 6 + Portanto - +