Matemática: Conjuntos Numéricos e Equações

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2 
BEM-VINDO(A) À 
DISCIPLINA DE 
 
 
 
 
Matemática 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Bons estudos! 
 
 
 
 
3 
Sumário 
 
CONJUNTOS NÚMERICOS ...........................................................................................................................6 
1) Tipos de Números....................................................................................................................................6 
1.1) Operações ...............................................................................................................................................6 
2) Múltiplos, divisores e números primos ...........................................................................................7 
3) Potências e raízes ....................................................................................................................................7 
3.1) Potências .................................................................................................................................................8 
3.2) Raízes .......................................................................................................................................................8 
3.3) Relação entre Potências e Raízes ...................................................................................................9 
SISTEMAS DE UNIDADES DE MEDIDAS ....................................................................................................9 
RAZÃO E PROPORÇÃO .................................................................................................................................9 
1) Regra de três .......................................................................................................................................... 10 
1.1) Regra de três simples ...................................................................................................................... 10 
1.2) Regra de três composta .................................................................................................................. 10 
2) Porcentagem .......................................................................................................................................... 11 
3) Juros Simples e Juros Compostos .................................................................................................... 12 
3.1) Juros Simples ...................................................................................................................................... 12 
3.2) Juros Compostos ................................................................................................................................ 13 
EQUAÇÃO DO 1º GRAU, EQUAÇÃO DO 2º GRAU, SISTEMAS DE EQUAÇÕES; EQUAÇÕES 
EXPONENCIAIS E LOGARÍTMICAS ......................................................................................................... 14 
1) Equação do 1º Grau .............................................................................................................................. 14 
2) Equação do 1º Grau .............................................................................................................................. 14 
3) Sistemas de Equações ......................................................................................................................... 15 
3.1) Método da Substituição .................................................................................................................. 15 
3.2) Método da Eliminação ..................................................................................................................... 16 
4) Equações exponenciais e logarítmicas ......................................................................................... 16 
FUNÇÕES ...................................................................................................................................................... 17 
1) Funções Afins ......................................................................................................................................... 17 
2) Funções Quadráticas ........................................................................................................................... 18 
3) Funções Exponenciais ......................................................................................................................... 18 
4) Funções Logarítmicas ......................................................................................................................... 18 
5) Gráficos das funções ........................................................................................................................... 18 
PROGRESSÕES ARITMÉTICAS E GEOMÉTRICAS ................................................................................. 19 
 
 
4 
1) Progressões Aritméticas .................................................................................................................... 19 
2) Progressões Geométricas .................................................................................................................. 19 
ANÁLISE COMBINATÓRIA ........................................................................................................................ 20 
1) Princípio Fundamental da Contagem ............................................................................................ 21 
2) Permutação ............................................................................................................................................ 21 
3) Arranjo ..................................................................................................................................................... 22 
4) Combinação ............................................................................................................................................ 23 
PROBABILIDADE ......................................................................................................................................... 23 
1) Regras Básicas de Probabilidade..................................................................................................... 24 
1.1) Regra da Adição ................................................................................................................................. 24 
1.2) Regra da Multiplicação .................................................................................................................... 25 
2) Probabilidade Condicional ................................................................................................................ 25 
ESTATÍSTICA BÁSICA.................................................................................................................................. 26 
1) Conceitos básicos ................................................................................................................................. 26 
2) Medidas de Tendência Central ........................................................................................................ 27 
2.1) Média ..................................................................................................................................................... 27 
2.2) Mediana ................................................................................................................................................ 27 
2.2) Moda ...................................................................................................................................................... 27 
3) Leitura e Interpretação de Dados representados em Tabelas e Gráficos ........................ 27 
3.1) Série Estatística ................................................................................................................................. 28 
3.1.1) Séries Temporais:.......................................................................................................................... 29 
3.2) Outras Interpretações de Tabelas e Gráficos .......................................................................... 30 
GEOMETRIA PLANA ................................................................................................................................... 32 
1.1) Conceitos Básicos .............................................................................................................................. 32 
2) Polígonos ................................................................................................................................................. 33 
2.1) Triângulos ............................................................................................................................................ 34 
2.1.1) Teorema de Pitágoras .................................................................................................................. 35 
2.1.2) Trigonometria no triângulo retângulo ................................................................................... 36 
2.1.3) Semelhança de Triângulos.......................................................................................................... 36 
3) Circunferência e Círculo ..................................................................................................................... 37 
4) Perímetro e Áreas ................................................................................................................................ 37 
GEOMETRIA ESPACIAL .............................................................................................................................. 38 
1) Prisma....................................................................................................................................................... 38 
2) Pirâmide .................................................................................................................................................. 39 
 
 
5 
3) Cilindro ..................................................................................................................................................... 39 
4) Cone .......................................................................................................................................................... 39 
5) Esfera ........................................................................................................................................................ 40 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
6 
CONJUNTOS NÚMERICOS 
 
Na matemática, os números são entidades abstratas que servem para contar, medir e 
quantificar coisas. Eles são usados para representar quantidades e têm propriedades 
matemáticas específicas. 
 
1) Tipos de Números 
 
Existem diferentes tipos de números, cada um com suas próprias características e 
propriedades. Alguns dos tipos mais comuns incluem 
a) Números naturais: são os números usados para contar, são os números inteiros positivos, 
incluindo o zero. (N = 0,1,2,3 ...) 
b) Números inteiros: são os números naturais e seus opostos, incluindo o zero (Z = ...-2,-
1,0,1,2) 
c) Números racionais: são os números que podem ser escritos como frações de inteiros, tais 
como (Q = ... -3/4, 1/2, 5/6 ...). 
d) Números irracionais: são os números que não podem ser escritos como frações de inteiros, 
como raiz quadrada de 2 ou pi. 
e) Números reais: incluem todos os números inteiros, racionais e irracionais. 
f) Números complexos: são números que possuem uma parte real e uma parte imaginária, 
geralmente representados como a + bi, onde a é a parte real e bi é a parte imaginária. 
Além desses tipos básicos de números, existem outros tipos específicos, como números 
ordinais, cardinais, transcedentais, algebraicos e transcendentais. 
Os conceitos matemáticos relacionados aos números incluem operações aritméticas, como 
adição, subtração, multiplicação, divisão e potenciação, além de propriedades como 
divisibilidade, paridade, primalidade, entre outras. 
Exemplos de aplicação dos números incluem cálculos financeiros, como juros e amortizações, 
cálculos estatísticos, como médias e desvios padrões, cálculos de geometria, como áreas e 
volumes, e cálculos científicos, como física e química. 
 
1.1) Operações 
 
As operações matemáticas são procedimentos que realizam cálculos com números e outras 
entidades matemáticas. 
As operações matemáticas são procedimentos que realizam cálculos com números e outras 
entidades matemáticas. Algumas das operações matemáticas mais comuns incluem: 
a) Adição: adiciona dois ou mais números. Exemplo: 2 + 3 = 5 
 
 
7 
b) Subtração: subtrai um número de outro. Exemplo: 5 - 3 = 2 
c) Multiplicação: multiplica dois ou mais números. Exemplo: 2 x 3 = 6 
d) Divisão: divide um número pelo outro. Exemplo: 6 ÷ 3 = 2 
e) Potenciação: eleva um número a uma potência. Exemplo: 2³ = 8 
f) Radiciação: extrai a raiz de um número. Exemplo: √16 = 4 
É importante notar que cada operação tem suas próprias regras e propriedades, e essas regras 
devem ser seguidas para garantir que os cálculos sejam precisos. Além disso, existem técnicas 
específicas para resolver problemas complexos que envolvem operações matemáticas. 
 
2) Múltiplos, divisores e números primos 
 
A matemática, uma das ciências mais antigas e fundamentais, abrange diversos conceitos que 
são essenciais. Dentre esses, destacam-se os conceitos de múltiplos, divisores e números 
primos, que formam a espinha dorsal da teoria dos números. 
Múltiplos: Um múltiplo de um número é o produto desse número por qualquer número 
inteiro. Por exemplo, os múltiplos de 3 incluem 3, 6, 9, 12, 15, etc., pois cada um desses números 
pode ser obtido multiplicando 3 por um número inteiro (1, 2, 3, 4, 5, etc.). De forma geral, se 
você pode escrever um número a como n × b, onde n é um inteiro, então a é um múltiplo de 
b. 
Divisores: Um divisor de um número é um número que pode dividir esse número de forma 
exata, sem deixar resto. Por exemplo, os divisores de 12 são 1, 2, 3, 4, 6 e 12. Isso porque 12 
pode ser dividido igualmente por esses números. Se um número a pode ser dividido 
igualmente por um número b, então b é um divisor de a. 
Números Primos: Um número primo é um número natural maior que 1 que tem apenas dois 
divisores distintos: 1 e ele mesmo. Exemplos de números primos incluem 2, 3, 5, 7, 11, 13, etc. 
O número 2 é o único número primo par, pois todos os outros números pares podem ser 
divididos por 2, e, portanto, têm pelo menos três divisores. 
O estudo desses elementos não apenas fornece uma base sólida para o entendimento de 
conceitos matemáticos mais avançados, mas também desempenha um papel fundamental em 
aplicações práticas variadas, desde a resolução de problemas do cotidiano até avançadas 
aplicações em criptografia e análise numérica. 
 
3) Potências e raízes 
 
Será apresentado uma visão geral sobre o conceito de potências e raízes na matemática, duas 
operações fundamentais em várias áreas científicas, bem como a relação entre elas. 
 
 
 
8 
3.1) Potências 
 
Uma potência é uma expressão da forma an, onde a é a base e n é o expoente. O valor de an é 
obtido multiplicando a por si mesmo n vezes. Por exemplo, 34 (lê-se "três elevado à quarta 
potência") é 3×3×3×3, que resulta em 81. Aqui estão algumas propriedades importantes das 
potências: 
 
a) Produto de potências com a mesma base: am × an = am+n 
Quando multiplicamos potências que têm a mesma base, podemos simplesmente somar os 
expoentes. 
Por exemplo: 2m × 2n = 23+4 = 27 = 128 
Mantemos a base (2) e somamos os expoentes (3 e 4) 
 
b) Divisão de potências com a mesma base: am / an = am-n , com a ≠ 0 
Quando dividimos potências com a mesma base, subtraímosos expoentes. 
Por exemplo: 56 × 52 = 56-2 = 54 = 625 
Mantemos a base (5) e subtraímos os expoentes (6 e 2). 
 
c) Potência de uma potência: (am)n = am×n 
Quando elevamos uma potência a outra potência, multiplicamos os expoentes. 
Por exemplo: (32)4 = 32×4 = 38 = 6561 
Multiplicamos os expoentes (2 e 4). 
 
d) Potência de um produto: (a×b)n = am × bn 
Quando elevamos um produto a uma potência, cada termo do produto é elevado àquela 
potência. 
Por exemplo: (2×3)3 = 22 × 33 = 8 × 27 = 216 
Elevamos tanto 2 quanto 3 ao cubo. 
 
3.2) Raízes 
 
A raiz é a operação inversa da potência. A raiz enésima de um número a é um número b tal 
que bn = a. A raiz quadrada (raiz de segundo grau) é a mais comum, denotada como √a, que é 
o número que, quando multiplicado por si mesmo, dá a. Por exemplo, √9 = 3, porque 3×3 = 9 
 
 
9 
Da mesma forma, a raiz cúbica (raiz de terceiro grau) de a, denotada como 3√a, é o número que 
multiplicado por si mesmo três vezes resulta em a. Por exemplo, 3√8 = 2, porque 2×2×2 = 8 
 
3.3) Relação entre Potências e Raízes 
 
Potências e raízes estão intimamente relacionadas. A raiz enésima de um número pode ser 
expressa como uma potência com expoente fracionário: n√a = a1/n 
Isso mostra que as operações de elevar a uma potência e extrair raízes são, de certa forma, 
operações inversas. Estes conceitos são fundamentais em muitas áreas da matemática, 
incluindo álgebra, geometria e cálculo, e têm aplicações práticas em física, engenharia, 
economia e muitas outras ciências. 
 
SISTEMAS DE UNIDADES DE MEDIDAS 
 
As medidas de comprimento, área, volume, massa e tempo são unidades usadas para 
medir diferentes grandezas físicas. 
a) Medidas de comprimento: as medidas de comprimento são utilizadas para medir a 
distância entre dois pontos. Exemplos de unidades de medida de comprimento incluem metros 
(m), quilômetros (km), polegadas (in), pés (ft) e milhas (mi). 
b) Medidas de área: as medidas de área são utilizadas para medir a extensão de uma 
superfície. Exemplos de unidades de medida de área incluem metros quadrados (m²), hectares 
(ha) e acres (ac). 
c) Medidas de volume: as medidas de volume são utilizadas para medir a capacidade de um 
objeto. Exemplos de unidades de medida de volume incluem litros (L) e metros cúbicos (m³). 
d) Medidas de massa: as medidas de massa são utilizadas para medir a quantidade de matéria 
presente em um objeto. Exemplos de unidades de medida de massa incluem quilogramas (kg) 
e libras (lb). 
e) Medidas de tempo: as medidas de tempo são utilizadas para medir duração de eventos. 
Exemplos de unidades de medida de tempo incluem segundos (s), minutos (min), horas (h) e 
dias (d). 
Cada unidade de medida tem suas próprias características e propriedades, e é importante usar 
a unidade correta para cada medida. Além disso, é importante saber como converter entre 
unidades de medida diferentes para garantir que os cálculos sejam precisos. 
 
RAZÃO E PROPORÇÃO 
 
Razão e proporção são conceitos fundamentais em matemática, amplamente utilizados em 
diversas áreas, incluindo álgebra, geometria e até em aplicações práticas do dia a dia. 
 
 
10 
A razão é uma maneira de comparar duas quantidades pelo método de divisão. É expressa 
como a relação entre duas quantidades, mostrando quantas vezes uma quantidade contém a 
outra. Por exemplo, se temos 8 maçãs e 4 laranjas, a razão de maçãs para laranjas é 8 ÷ 4, ou 
na forma fracionária 
𝟖
𝟒
= 𝟐. Isso significa que, para cada laranja, existem 2 maçãs. 
Uma proporção é uma igualdade entre duas razões. Ela afirma que duas razões são 
equivalentes. 
Por exemplo, se 
𝒂
𝒃
= 
𝒄
𝒅
 , então dizemos que a,b,c, e d estão em proporção. Isso também pode 
ser escrito como a ÷ b = c ÷ d. 
Uma das propriedades mais importantes da proporção é a propriedade do produto cruzado: 
a×d = b×c. 
 
1) Regra de três 
 
A regra de três é um método matemático utilizado para resolver problemas que envolvem a 
proporção direta ou inversa entre duas grandezas. Ela é muito útil em situações onde é 
necessário encontrar um valor desconhecido quando são conhecidos três valores em duas 
grandezas relacionadas. Existem dois tipos de regra de três: simples e composta. 
 
1.1) Regra de três simples 
 
A regra de três simples é uma técnica matemática utilizada para calcular uma grandeza 
desconhecida a partir de uma grandeza conhecida relacionada a ela. É baseada na 
proporcionalidade direta, ou seja, quando duas grandezas estão em proporção direta, a razão 
entre elas é constante. A regra de três simples é representada por uma equação de forma: 
(grandeza conhecida x grandeza desconhecida) / grandeza conhecida = constante. 
Exemplo: Se uma caixa de suco tem 1 litro e custa R$ 5,00, quanto custaria meio litro de suco? 
(1 x meio litro) / 1 = 0,5 litro, então meio litro custaria R$ 2,50. 
 
1.2) Regra de três composta 
 
A regra de três composta é uma extensão da regra de três simples, é utilizada quando há mais 
de uma proporcionalidade envolvida. Ela é baseada na ideia de que uma proporção é 
equivalente a multiplicar ou dividir as grandezas envolvidas pela mesma constante. A regra de 
três composta é representada por uma equação de forma: (grandeza conhecida x grandeza 
desconhecida) / grandeza conhecida = (grandeza conhecida x grandeza desconhecida) / 
grandeza conhecida = constante. 
Exemplo: Se um determinado salário é de R$1.500,00 e um determinado funcionário trabalha 
8 horas por dia, quanto ganharia um funcionário que trabalhasse 10 horas por dia? (1500 x 10) 
/ 8 = 1875,00. 
 
 
11 
É importante lembrar que a regra de três simples e composta só é válida quando há 
proporcionalidade entre as grandezas envolvidas, ou seja, quando a razão entre elas é 
constante. 
 
2) Porcentagem 
 
A porcentagem é uma forma de expressar uma razão entre dois números como um número 
de 100. 
É geralmente utilizado para indicar uma fração de um número ou para indicar a variação de 
um número em relação a outro. A porcentagem é representada com o símbolo % e é calculada 
multiplicando o número desejado por 100 e dividindo pelo número total. 
A fórmula básica para calcular a porcentagem de um numero em relação a outro e dada por: 
 
Porcentagem = (
Parte
Todo
) × 100 
 
Onde: 
• Valor Parcial é a parte ou quantidade do todo que você está tentando calcular. 
• Valor Total é o valor total ou a quantidade total. 
• Porcentagem é a representação dessa parte em termos percentuais. 
 
Por exemplo, se você quer calcular qual é a porcentagem de 50 em um total de 200, a fórmula 
seria aplicada da seguinte maneira: 
 
Porcentagem = (
500
100
) × 100 = 25% 
 
Existem várias aplicações para porcentagem, como calcular juros, descontos, aumentos, entre 
outros. Alguns exemplos incluem: 
a) Calcular juros: Se você tem uma dívida de R$ 1000 e a taxa de juros é de 10%, você paga R$ 
100 de juros (1000 x 10% = 100). 
b) Calcular descontos: Se você quer comprar um produto que custa R$ 100 e tem um desconto 
de 20%, você pagará R$ 80 (100 - (100 x 20%) = 80). 
c) Calcular aumentos: Se você ganha R$ 1000 e há um aumento salarial de 10%, você ganhará 
R$ 1100 (1000 + (1000 x 10%) = 1100). 
É importante lembrar que as porcentagens podem ser convertidas em frações e decimais. Por 
exemplo, 20% é equivalente a 0,20 (20/100) e 1/5 (20/100). 
 
 
12 
A porcentagem é uma ferramenta útil para comparar e avaliar diferentes situações e para 
tomar decisões informadas. 
 
3) Juros Simples e Juros Compostos 
 
Juros simples e juros compostos são dois métodos fundamentais usados no cálculo de juros 
sobre empréstimos, investimentos e outros produtos financeiros. 
 
3.1) Juros Simples 
 
Juros simples são calculados apenas sobre o valor principal (ou capital inicial) de um 
empréstimo ou investimento. A fórmula para calcular juros simples é: 
M = C + J 
J = C × I × T 
 
Onde: 
J é o juro 
C é o capital inicial 
I éa taxa de juro anual (na forma decimal) 
T é o tempo do empréstimo ou investimento (em anos) 
M é o montante (principal + juros) 
 
Por exemplo: se você investir R$1.000 a uma taxa de juro simples de 5% ao ano durante 3 
anos, o juro que você ganhará será R$150,00, conforme cálculo abaixo 
 
C = 1000 
I = 5% = 5 ÷ 100 = 0,05 
T = 3 
 
J = 1000 × 0,05 × 3 = 150,00 
 
 
 
 
 
 
13 
3.2) Juros Compostos 
 
Juros compostos são calculados sobre o valor principal e também sobre os juros acumulados 
em períodos anteriores. Isso significa que os juros "compostos" ao longo do tempo, resultando 
em um crescimento exponencial. A fórmula para calcular juros compostos é: 
 
M = C + J 
M = C × (1 + I)T 
 
Onde: 
J é o juro 
C é o capital inicial 
I é a taxa de juro anual (na forma decimal) 
T é o tempo do empréstimo ou investimento (em anos) 
M é o montante (principal + juros) 
 
Por exemplo: se você investir R$1.000 a uma taxa de juro simples de 5% ao ano durante 3 
anos, o juro que você ganhará será R$157,62, conforme cálculo abaixo 
 
C = 1000 
I = 5% = 5 ÷ 100 = 0,05 
T = 3 
 
M = 1000 × (1 + 0,05)3 = 1.157,625 
M = C + J 
1.157,625 = 1000 + J 
J = 1.157,625 - 1000 
J = 157,625 (R$ 157,62) 
 
 
 
 
14 
EQUAÇÃO DO 1º GRAU, EQUAÇÃO DO 2º GRAU, SISTEMAS DE EQUAÇÕES; EQUAÇÕES 
EXPONENCIAIS E LOGARÍTMICAS 
 
Equações de 1º e 2º grau, sistemas de equações, e equações exponenciais e logarítmicas 
representam algumas das estruturas mais fundamentais da matemática. 
Enquanto as equações do 1º grau são lineares, envolvendo potências simples da variável, as 
equações do 2º grau são quadráticas, caracterizadas por termos com a variável ao quadrado. 
Sistemas de equações combinam múltiplas equações, exigindo a busca de soluções que 
satisfaçam simultaneamente todas as equações envolvidas. Já as equações exponenciais e 
logarítmicas introduzem uma complexidade adicional, lidando com variáveis em expoentes e 
logaritmos, respectivamente. 
Esses conceitos não apenas formam a base para o estudo avançado em matemática, mas 
também têm aplicações práticas em ciências, engenharia e economia, demonstrando a 
interconexão e a importância da matemática em diversos campos. 
 
1) Equação do 1º Grau 
 
Uma equação de 1º grau é uma expressão matemática em que a variável é elevada à primeira 
potência e não contém termos de grau superior. A forma padrão é ax + b = 0, onde a e b são 
constantes. A solução para essa equação é dada por 𝒙 = −
𝒃
𝒂
. 
Por exemplo: a equação abaixo 
3𝑥 − 7 = 2 
3𝑥 = 9 
𝑥 = 3 
Portanto, 𝑥 = 3 é a solução. 
 
2) Equação do 1º Grau 
 
Uma equação de 2º grau é uma expressão matemática em que a variável é elevada ao 
quadrado. A forma padrão é ax2 + bx + c = 0, onde a, b, e c são constantes e a ≠ 0. A fórmula 
de Bhaskara é frequentemente utilizada para encontrar as soluções para essa equação: 
𝑥 =
−𝑏 ± √𝑏2 − 4𝑎𝑐
2𝑎
 
Por exemplo: a equação 
x2 − 4x + 4 = 0 
a = 1 
b = 4 
 
 
15 
c = 4 
𝑥 =
−(−4) ± √(−4)2 − 4.1.4
2. (1)
 
𝑥 =
4 ± √16 − 16
2
 
𝑥 =
4 ± 0
2
 
𝒙 = 𝟐 
 
Atenção: 
A equação do 2º grau é classificada como completa quando todas as constantes são diferentes 
de 0, ou seja, a ≠ 0, b ≠ 0 e c ≠ 0. 
A equação do 2º grau é classificada como incompleta quando o valor das constantes b ou c 
são iguais a 0, isto é, b = 0 ou c = 0. 
 
3) Sistemas de Equações 
 
Os sistemas de equações consistem em um conjunto de duas ou mais equações que 
compartilham variáveis comuns. A resolução de sistemas lineares é uma ferramenta valiosa 
em matemática, permitindo encontrar soluções conjuntas para diferentes equações. Existem 
diferentes métodos para resolver sistemas, incluindo o método da substituição e o método da 
eliminação. 
 
3.1) Método da Substituição 
 
O método da substituição envolve isolar uma variável em uma das equações e substituir essa 
expressão nas outras equações do sistema. Isso é repetido até que todas as variáveis sejam 
determinadas. 
Considere o sistema: 
{
2𝑥 + 3𝑦 = 8
4𝑥 − 2𝑦 = 2
 
Começamos resolvendo a primeira equação para x: 
𝑥 =
8 − 3𝑦
2
 
Agora substituímos esta expressão para x na segunda equação: 
4. (
8 − 3𝑦
2
) = 3𝑦 = 8 → 𝑦 =
7
8
 
 
 
16 
Finalmente, substituímos y de volta na expressão para x para encontrar x = 2. 
 
3.2) Método da Eliminação 
 
O método da eliminação envolve somar ou subtrair equações do sistema para eliminar uma 
variável. Isso cria uma nova equação com uma única variável, que pode ser resolvida para 
encontrar seu valor. Esse valor pode então ser substituído em uma das equações originais para 
encontrar o valor da outra variável. 
Considere o sistema: 
{
𝑥 + 𝑦 = 12
3𝑥 − 𝑦 = 32
 
Verifica-se que nesse sistema a incógnita y possui coeficientes opostos, ou seja, 1 e - 1. Então, 
iremos começar a calcular somando as duas equações: 
+ {
𝑥 + 𝑦 = 12
3𝑥 − 𝑦 = 32
 
4 𝑥 = 44 
 𝑥 = 11 
Anulando o y, a equação ficou apenas com o x. 
Agora deve-se substituir o X em uma das duas equações: 
𝑥 + 𝑦 = 12 
11 + 𝑦 = 12 
y = 1 
 
4) Equações exponenciais e logarítmicas 
 
Equações exponenciais e logarítmicas são dois tipos importantes de equações que são 
frequentemente encontradas em matemática, especialmente em álgebra avançada, cálculo e 
suas aplicações. 
As equações exponenciais são aquelas em que a variável aparece no expoente. Por exemplo, 
a equação 2x = 8 é uma equação exponencial. 
Para resolver esse tipo de equação, geralmente buscamos expressar ambos os lados da 
equação como potências da mesma base e, em seguida, igualamos os expoentes, já que ax = ay 
implica x = y quando a é positivo e diferente de 1: 
2x = 8 
2x = 23 
X = 3 
 
 
17 
Em casos onde não é possível reescrever a equação com a mesma base, podemos usar 
logaritmos para resolver a equação. 
As equações logarítmicas são aquelas que contêm logaritmos. Por exemplo, log(x) + log (2) = 
3. 
Para resolver essas equações, frequentemente usamos as propriedades dos logaritmos para 
simplificar ou reescrever a equação. 
Por exemplo, podemos usar a propriedade de que logb(mn) – logb(m) + logb(n) para combinar 
termos logarítmicos: 
log(x) + log(2) = 3 
log(2x) = 3 
Neste caso, a base do logaritmo é 10, pois não está especificada (o logaritmo com base 10 é 
frequentemente chamado de logaritmo comum). Portanto, a equação se torna: 
log10(2x) = 3 
2x = 103 
x = 500 
Esses tipos de equações são fundamentais em muitos campos da ciência e da engenharia, 
especialmente em áreas que envolvem crescimento exponencial (como biologia populacional 
e finanças) e em fenômenos que seguem padrões logarítmicos (como certas reações químicas 
e a percepção de som e luz). 
 
FUNÇÕES 
 
Funções matemáticas são fundamentais para entendermos a relação entre diferentes variáveis 
e como uma influencia a outra. 
Entre as mais estudadas estão as funções afins, que representam relações lineares simples; as 
funções quadráticas, que descrevem parábolas e são cruciais em física e engenharia; as 
funções exponenciais, essenciais para modelar crescimento e decaimento em diversas áreas 
como biologia e finanças; e as funções logarítmicas, inversas das exponenciais, importantes em 
escalas de medição e na resolução de equações exponenciais. 
 
1) Funções Afins 
 
Uma função afim é da forma f (x) = ax + b, onde a e b são constantes. O coeficiente a determina 
a inclinação da reta, enquanto b é a ordenada no ponto de interseção com o eixo y. 
Por exemplo: f (x) = 2x + 3. 
Aqui, a = 2 e b = 3. A inclinação é 2, e a reta intersecta o eixo y em y = 3. 
 
 
 
18 
2) Funções Quadráticas 
 
Uma função quadrática é da forma f (x) = ax2 + bx + c, onde a, b, e c são constantes. O gráfico 
de uma função quadrática é uma parábola. 
Por exemplo: f (x) = x2 - 4x + 4. 
Aqui, a = 1, b = 4, e c = 4. A parábola abre para cima, tem vértice (2, 0) e corta o eixo y em y = 4. 
 
3) Funções ExponenciaisUma função exponencial é da forma f (x) = ax, onde a > 0 e a ≠ 1 
Por exemplo: f (x) = 23. Aqui, a = 2 e x = 3. 
A função cresce exponencialmente conforme x aumenta. 
 
4) Funções Logarítmicas 
 
Uma função logarítmica é a inversa de uma função exponencial e é da forma f (x) = logb(x), 
onde b é a base do logaritmo. 
Por exemplo: f (x) = log2(x). 
Aqui, a função nos dá o expoente ao qual 2 deve ser elevado para obter x. 
 
5) Gráficos das funções 
 
Uma informação importante em relação às funções é que cada uma delas gera um tipo de 
gráfico diferente no plano cartesiano: 
 
 
 
 
19 
PROGRESSÕES ARITMÉTICAS E GEOMÉTRICAS 
 
Progressões Aritméticas (PAs) e Progressões Geométricas (PGs) são conceitos fundamentais na 
matemática, cada um definindo um tipo específico de sequência numérica. 
As PAs caracterizam-se por uma razão aritmética constante entre termos consecutivos. Já as 
PGs são definidas por uma razão geométrica constante. Ambas as progressões têm fórmulas 
específicas para a soma de seus termos, refletindo suas naturezas aritmética e geométrica, 
respectivamente. 
 
1) Progressões Aritméticas 
 
As Progressões Aritméticas (PA) são sequências numéricas em que a diferença entre 
quaisquer dois termos consecutivos é constante. Essa diferença constante é chamada de razão 
aritmética, representada pela letra r. 
A fórmula geral para o termo n-ésimo de uma PA é dada por: 
an = a1 + (n − 1) · r 
 
Onde: 
an é o n-ésimo termo, 
a1 é o primeiro termo, 
n é a posição do termo na sequência, 
r é a razão aritmética. 
Por exemplo: dada a PA com primeiro termo a1 = 3 e razão r = 4, o quarto termo a4, aplicando 
a fórmula geral, será: 
a4 = 3 + (4 − 1)· 4 = 3 + 3 · 4 = 15 
 
Atenção: A soma dos n primeiros termos de uma PA, também conhecida como a soma dos 
termos de uma PA finita, é dada pela fórmula: Sn = (n/2)[2a1 + (n − 1) · r] 
 
2) Progressões Geométricas 
 
As Progressões Geométricas (PG) são sequências numéricas em que a razão entre quaisquer 
dois termos consecutivos é constante. Essa razão constante é chamada de razão geométrica, 
representada pela letra q. 
A fórmula geral para o termo n-ésimo de uma PG é dada por: 
an = a1 · q(n−1) 
 
 
20 
 
Onde: 
an é o n-ésimo termo, 
a1 é o primeiro termo, 
n é a posição do termo na sequência, 
q é a razão geométrica. 
 
A soma dos n primeiros termos de uma PG finita, também conhecida como a soma dos 
termos de uma PG finita, é dada pela fórmula: 
 
𝑺𝒏 = 𝒂𝟏.
𝒒𝒏 − 𝟏
𝒒 − 𝟏
 
 
Por exemplo: dada a PG com primeiro termo a1 = 2 e razão q = 3, o quarto termo a4 aplicando 
a fórmula geral, será: 
 
a4 = 2 · 3(4−1) = 2 · 27 = 54 
 
Outro exemplo: dada a PG com primeiro termo 𝒂𝟏 = 𝟓 e razão 𝒒 =
𝟏
𝟐
. A a soma dos 4 primeiros 
termos usando a fórmula da soma dos termos de uma PG finita será: 
 
𝑺𝟒 = 𝟓.
(
𝟏
𝟐)
𝟒
− 𝟏
𝟏
𝟐 − 𝟏
= 𝟓. (
𝟏 − 𝟏
−
𝟏
𝟐
) = 𝟐𝟎 
 
ANÁLISE COMBINATÓRIA 
 
A Análise Combinatória é um campo da matemática que lida com a contagem, organização e 
combinação de elementos seguindo certas regras ou condições. 
Ela fornece ferramentas para determinar a quantidade de diferentes maneiras de agrupar ou 
ordenar elementos sem a necessidade de listá-los todos explicitamente. Este campo é 
extremamente útil em diversos ramos, incluindo estatística, teoria das probabilidades, 
otimização e ciência da computação. 
 
 
 
21 
1) Princípio Fundamental da Contagem 
 
O Princípio Fundamental da Contagem (PFC) é um conceito básico em análise combinatória 
que fornece uma maneira rápida e eficiente de calcular o número total de diferentes 
combinações ou arranjos que podem ser formados a partir de um conjunto de itens. Este 
princípio é fundamental quando se lida com problemas de contagem e probabilidade. 
O PFC afirma que se um evento pode ocorrer de m maneiras diferentes e um segundo evento 
pode ocorrer de n maneiras independentes do primeiro evento, então o número total de 
maneiras que os dois eventos podem ocorrer em sequência é m×n. 
Esse princípio pode ser estendido a qualquer número de eventos sucessivos. 
Por exemplo: considere uma situação onde você tem 3 camisas diferentes e 4 calças 
diferentes. Se você quer saber de quantas maneiras distintas pode escolher um conjunto de 
camisa e calça, você simplesmente multiplica o número de escolhas para camisas (3) pelo 
número de escolhas para calças (4), resultando em 3 × 4 = 12 maneiras diferentes. 
 
 
 
 
 
 
 
 
Esse princípio é muito útil porque simplifica significativamente o processo de contagem em 
situações complexas, eliminando a necessidade de listar todas as possíveis combinações ou 
arranjos. 
 
2) Permutação 
 
Permutação é um conceito central em análise combinatória, que se refere à disposição de 
elementos em uma ordem específica. Em termos matemáticos, uma permutação é um arranjo 
ordenado de elementos, onde a ordem dos elementos é importante. 
Ela pode ser simples (sem repetição de elementos) ou com elementos repetidos. 
Atenção: Antes de continuarmos com os tipos de permutação deve-se entender sobre o 
fatorial de um número: 
O fatorial de um número n, denotado por n!, é o produto de todos os números inteiros 
positivos de 1 a n. 
 
 
22 
Matematicamente: n! = n × (n − 1) × (n − 2) × ... × 2 × 1. 
Por exemplo: O fatorial de 5 (5!) é calculado como 5 × 4 × 3 × 2 × 1 = 120. 
 
I) A permutação simples é representada da seguinte forma: 
 
𝑷𝒓 =
𝒏!
(𝒏 − 𝒓)!
 
Onde: 
n e o numero total de elementos 
r e o numero de elementos selecionados para a permutação. 
 
Por exemplo: para 4 elementos n = 4 organizados em grupos de 2 (r = 2), a permutação é 
 𝑃2 =
4!
(4−2)!
=
24
(2)!
= 12 
 
II) A permutação com elementos repetidos é representada da seguinte forma: 
 
𝑃𝑟 =
𝑛!
(𝑛1!. 𝑛2! … 𝑛𝑘!)
 
 
Onde: 
n1 representa o numero de repetições de cada elemento distinto. 
 
Por exemplo: Para a palavra "ALABAMA", a permutação considerando as repetições é 
 𝑃4 =
7!
4!1!1!1!
= 210 
 
3) Arranjo 
 
O arranjo de 𝑛 elementos distintos, tomados 𝑟 de cada vez, denotado como 𝐴𝑟, representa o 
número de maneiras distintas de organizar 𝑟 elementos de um conjunto de 𝑛 elementos. 
𝐴𝑟 =
𝑛!
(𝑛 − 𝑟)!
 
Por exemplo: se temos 5 livros e queremos organizar 3 deles em uma prateleira, o número de 
 
 
23 
r 
arranjos possíveis é 
 
𝑃3 =
5!
(5 − 3)!
=
5𝑥4𝑥3𝑥2𝑥1
2𝑥1
= 60 
 
4) Combinação 
 
A combinação de n elementos distintos, tomados r de cada vez, denotada como Cr, representa o 
número de maneiras distintas de escolher r elementos de um conjunto de n elementos, sem 
considerar a ordem. 
 
𝐶𝑟 =
𝑛!
𝑟! (𝑛 − 𝑟)!
 
 
Por exemplo: ao escolher 2 cartas de um baralho de 52 cartas, o número de combinações 
possíveis é 
 
𝐶2 =
52!
2! (52 − 2)!
=
52𝑥51
2𝑥1
= 1326 
 
PROBABILIDADE 
 
A probabilidade é um campo fundamental da matemática que lida com a medição e a análise 
da incerteza. Em termos simples, a probabilidade quantifica quão provável é que um evento 
aconteça em relação ao conjunto total de possíveis resultados. É um conceito central em 
estatísticas, ciência da computação, física, finanças, jogos de azar, e muitos outros campos que 
dependem da previsão e análise de eventos incertos. 
A probabilidade é um campo fundamental da matemática que lida com a medição e a análise 
da incerteza. Em termos simples, a probabilidade quantifica quão provável é que um evento 
aconteça em relação ao conjunto total de possíveis resultados. É um conceito central em 
estatísticas, ciência da computação, física, finanças, jogos de azar, e muitos outros campos que 
dependem da previsão e análise de eventos incertos. 
Alguns conceitos são importantes para entender a aplicação da probabilidade, quais sejam: 
Espaço Amostral: Conjunto de todos os possíveis resultados de um experimento. Para o 
lançamento de uma moeda, o espaço amostral é {Cara, Coroa}. 
Evento:Um subconjunto do espaço amostral. Por exemplo, obter "Cara" é um evento. 
Probabilidade de um Evento: É uma medida que vai de 0 (impossibilidade do evento) a 1 
 
 
24 
(certeza do evento). A probabilidade de um evento é calculada dividindo-se o número de 
maneiras que o evento pode ocorrer pelo número total de possíveis resultados. 
A fórmula básica para calcular a probabilidade de um evento A é: 
 
𝑃 (𝐴) =
𝑁ú𝑚𝑒𝑟𝑜 𝑑𝑒 𝑚𝑎𝑛𝑒𝑖𝑟𝑎𝑠 𝑞𝑢𝑒 𝐴 𝑝𝑜𝑑𝑒 𝑜𝑐𝑜𝑟𝑟𝑒𝑟
𝑁ú𝑚𝑒𝑟𝑜 𝑡𝑜𝑡𝑎𝑙 𝑑𝑒 𝑝𝑜𝑠𝑠í𝑣𝑒𝑙 𝑟𝑒𝑠𝑢𝑙𝑡𝑎𝑑𝑜𝑠
 
 
Por exemplo: 
Ao lançar um dado padrão de seis lados, queremos determinar a probabilidade de obter um 
número par. O espaço amostral é {1,2,3,4,5,6}, e os eventos favoráveis são {2, 3, 6}. A 
probabilidade é calculada como: 
Resultando em 
𝟑
𝟔
=
𝟏
𝟐
 , ou seja 50% de chance. 
Ao lançar uma moeda justa, a probabilidade de obter cara (C) é P(C) = 1/2 pois existem dois 
resultados possíveis (cara ou coroa) e apenas um é favorável. 
 
1) Regras Básicas de Probabilidade 
 
As duas principais regra de probabilidade, são a Regra da Adição e a Regra da Multiplicação. 
São duas noções fundamentais na teoria da probabilidade, usadas para calcular a 
probabilidade de ocorrência de diferentes tipos de eventos. 
 
1.1) Regra da Adição 
 
A Regra da Adição é utilizada para determinar a probabilidade da ocorrência de pelo menos 
um de dois eventos. Ela é particularmente útil quando os eventos são mutuamente exclusivos 
ou não. A fórmula é dada pela soma de suas probabilidades individuais, ajustada pela 
probabilidade da interseção (A ∩ B): 
P(A∪B) = P(A) + P(B) − P(A∩B) 
Onde P(A∩B) é subtraída para corrigir a contagem dupla da interseção dos eventos A e B. 
Exemplo: Imagine que você joga um dado e quer saber a probabilidade de tirar um 1 ou um 2. 
Aqui, os eventos A (tirar um 1) e B (tirar um 2) são mutuamente exclusivos (não podem 
acontecer ao mesmo tempo). 
Então, P (A∪B) = P(A) + P(B), já que P(A∩B) = 0. 
Como cada face de um dado tem a mesma probabilidade de 1/6, temos: 
P(A∪B) = 1/6 + 1/6 = 1/3. 
 
 
 
25 
1.2) Regra da Multiplicação 
 
A Regra da Multiplicação é aplicada para encontrar a probabilidade da ocorrência conjunta de 
dois eventos independentes (A e B). Eventos independentes são aqueles cuja ocorrência de um 
não afeta a probabilidade do outro. A fórmula é dada pelo produto de suas probabilidades 
individuais: 
P(A ∩ B) = P(A) × P(B) 
Exemplo: Considere o lançamento de um dado seguido pelo lançamento de uma moeda. O 
evento A é tirar um 3 no dado e o evento B é obter "Cara" na moeda. 
Como são eventos independentes, a probabilidade conjunta é o produto das probabilidades 
individuais. 
A probabilidade de tirar um 3 é 1/6 e a probabilidade de obter "Cara" é 1/2, logo: 
P(A ∩ B) =1/6 × 1/2 =1/12 
 
2) Probabilidade Condicional 
 
A probabilidade condicional de um evento A dado que ocorreu um evento B é denotada por 
P (A |B) e é calculada por: 
 
𝑃(𝐴| 𝐵) = 
𝑃(𝐴 ∩ 𝐵)
𝑃(𝐵)
 
 
Exemplo: 
Dado um dado justo, qual é a probabilidade de obter um número par (A), sabendo que o 
resultado é maior que 3 (B)? Utilizando a probabilidade condicional: 
Evento A: Obter um número par. 
Evento B: Obter um número maior que 3. 
Os números pares e maior que 3 são {4, 6} e os números maiores que 3 são {4, 5, 6}. 
P (P ∩ M): Probabilidade de obter um número simultaneamente par e maior que 3 = 
𝟐
𝟔
=
𝟏
𝟑
 
P (B): Probabilidade de obter um número maior que 3 = 
𝟑
𝟔
=
𝟏
𝟐
 
Aplicando a fórmula: 
𝑃(𝐴 |𝐵) =
1
3
1
2
=
1
3
 × 
2
1
= 
2
3
 
 
 
26 
𝑃(𝐴 |𝐵) =
2
3
 
Portanto, a probabilidade de obter um número par (A), dado que o resultado do lançamento 
de um dado justo é maior que 3 (B), é aproximadamente 0,67 ou 66.7%. 
 
ESTATÍSTICA BÁSICA 
 
A estatística é uma disciplina científica que se concentra na coleta, análise, interpretação, 
apresentação e organização de dados. Ela fornece métodos para descrever conjuntos de dados 
quantitativos e inferir conclusões a partir deles, auxiliando na tomada de decisões baseada em 
dados. 
 
 
1) Conceitos básicos 
 
A seguir os principais conceitos acerca do estudo da estatística: 
População: refere-se ao conjunto completo de elementos que compartilham uma 
característica específica. 
Universo: é a totalidade de todos os elementos que podem ser estudados. 
Amostra: é um subconjunto representativo da população 
Amostragem: é o processo de seleção da amostra, buscando garantir que ela seja uma 
representação fiel da população. 
Variáveis: são características ou propriedades que podem ser medidas ou observadas. Elas 
podem ser classificadas em dois tipos principais: variáveis qualitativas, que representam 
características não numéricas, e variáveis quantitativas, que expressam quantidades 
numéricas. 
Medidas de Dispersão: indicam a extensão em que os valores em um conjunto de dados se 
afastam da medida de tendência central. As principais medidas são a amplitude, o desvio 
padrão e a variância. 
a) Amplitude: é a diferença entre o maior e o menor valor em um conjunto de dados. 
b) Desvio Padrão: é uma medida da dispersão dos valores em torno da média. 
c) Variância: é o quadrado do desvio padrão, que é a raiz quadrada da variância. 
 
𝑉𝑎𝑟𝑖â𝑛𝑐𝑖𝑎 =
∑ (𝑥𝑖 − 𝑀é𝑑𝑖𝑎)2𝑛
𝑖=1
𝑛
 
𝐷𝑒𝑠𝑣𝑖𝑜 𝑝𝑎𝑑𝑟ã𝑜 = √𝑉𝑎𝑟𝑖â𝑛𝑐𝑖𝑎 
 
 
 
27 
2) Medidas de Tendência Central 
 
As medidas de tendência central resumem um conjunto de dados em um único valor que 
representa o centro ou a posição central. As principais medidas são a média, a mediana e a 
moda. 
2.1) Média 
 
A média aritmética é a soma de todos os valores dividida pelo número total de observações. 
 
𝑀é𝑑𝑖𝑎 =
∑ 𝑥𝑖
𝑛
𝑖=1
𝑛
 𝑜𝑢 𝑀é𝑑𝑖𝑎 =
𝑥1 + 𝑥2 + ⋯ + 𝑥𝑛
𝑛
 
Considere o conjunto de dados {12, 15, 18, 21, 24}. A média é calculada como: 
 
𝑀é𝑑𝑖𝑎 =
12 + 15 + 18 + 21 + 24
5
=
90
5
= 18 
 
2.2) Mediana 
 
A mediana é o valor que separa o conjunto de dados em duas partes iguais quando os dados 
estão organizados em ordem crescente ou decrescente. 
Se o número de observações (n) é ímpar, a mediana é o valor no meio. 
Se n é par, a mediana é a média dos dois valores no meio. 
Para o conjunto de dados {8, 12, 15, 20, 25}, a mediana é 15. 
 
2.2) Moda 
 
A moda é o valor que ocorre com maior frequência em um conjunto de dados. 
No conjunto de dados {3, 5, 2, 5, 8, 5}, a moda é 5. 
 
3) Leitura e Interpretação de Dados representados em Tabelas e Gráficos 
 
A habilidade de ler e interpretar dados apresentados em tabelas e gráficos é essencial no 
mundo moderno, onde a informação é frequentemente comunicada visualmente. Esta 
competência envolve a compreensão de várias formas de representações gráficas, como 
gráficos de barras, linhas, setores (pie charts) e histogramas, além de tabelas que organizam 
dados de maneira sistemática. Através da análise dessas representações, é possível extrair 
insights significativos, identificar tendências, fazer comparações e tomar decisões informadas. 
 
 
28 
Ao falar sobre leitura e interpretação de dados representados em tabelas e gráficos, podemos 
adentrar sobre o tema série estatística, conforme demonstrado a seguir: 
3.1) Série Estatística 
 
Uma série estatística refere-se a um conjunto de dados organizados em uma ordem específica, 
geralmente em termos de frequência ou distribuição. 
Esses dados podem representar observações de uma variável em diferentes momentos ou em 
diferentes condições. Uma série estatística pode ser univariada, envolvendo apenas uma 
variável, ou multivariada, envolvendo múltiplas variáveis. A análise de séries estatísticas é 
fundamental na estatística descritiva para entender padrões, tendências e características dos 
dados. 
As medidas estatísticas, como média, mediana, moda e dispersão, são frequentemente 
aplicadas para resumir e interpretar informações contidasem séries estatísticas. A seguir 
alguns exemplos: 
 
Nota Frequência 
5 3 
6 8 
7 12 
8 10 
9 5 
 
Veja que o gráfico é uma informação visual mais prática do que a tabela. 
 
 
 
 
29 
• Neste gráfico de barras, as notas estão no eixo x, e as frequências correspondentes 
estão no eixo y. 
• Cada barra representa a frequência de uma nota específica na distribuição. 
• Este tipo de gráfico é útil para visualizar a distribuição de dados discretos e entender a 
frequência de cada categoria. 
 
3.1.1) Séries Temporais: 
 
Uma série temporal é uma forma especializada de série estatística em que as observações são 
registradas em intervalos temporais regulares. Essas observações são geralmente organizadas 
em ordem cronológica, facilitando a análise das mudanças ao longo do tempo. 
Séries temporais são amplamente utilizadas para estudar fenômenos que evoluem 
continuamente, como o crescimento populacional, o desempenho financeiro de uma empresa, 
as condições climáticas, entre outros. A análise de séries temporais permite identificar padrões 
sazonais, tendências de longo prazo e variações cíclicas nos dados. Modelos matemáticos e 
estatísticos, como a suavização exponencial e modelos autoregressivos, são frequentemente 
aplicados para prever comportamentos futuros com base nas observações passadas. 
A seguir um exemplo: 
Mês Vendas (em milhares) 
jan 20 
fev 25 
mar 18 
abr 30 
mai 35 
Jun 28 
Jul 32 
ago 38 
set 42 
out 37 
nov 45 
dez 50 
 
 
 
30 
Veja agora o gráfico correspondente: 
 
 
• Neste gráfico de linha, os meses estão no eixo x, e as vendas correspondentes (em 
milhares) estão no eixo y. 
• Cada ponto no gráfico representa as vendas mensais ao longo do ano, e a linha 
conectando os pontos ajuda a visualizar a tendência temporal. 
• Esse tipo de gráfico é valioso para identificar padrões temporais, como sazonalidades e 
tendências de longo prazo. 
 
3.2) Outras Interpretações de Tabelas e Gráficos 
 
Vamos usar 3 tabelas que reunem informações distintas para gerar os gráficos a seguir. 
 
 
 
Nota Frequência 
50 3 
60 8 
70 12 
80 10 
90 5 
Gênero Percentual 
Masculino 45 
Feminino 50 
Outros 5 
Categoria Percentual 
Redes sociais 40 
Navegação na 
Web 
30 
Jogos 20 
Outros 10 
 
 
31 
 
Histogramas 
Os histogramas representam a distribuição de dados em intervalos. Veja o exemplo seguir: 
 
 
 
Gráficos de Setores 
Os gráficos de setores exibem a relação percentual entre partes e o todo. Veja o exemplo a 
seguir. 
 
Infográficos 
Infográficos são representações visuais que combinam texto e elementos gráficos para 
transmitir informações de maneira clara. Vamos criar um exemplo fictício de infográfico que 
destaca estatísticas sobre o uso de smartphones. 
 
 
32 
 
 
 
GEOMETRIA PLANA 
 
A Geometria Plana, também conhecida como Geometria Euclidiana, é o ramo da matemática 
que estuda as figuras que podem ser desenhadas em um plano. Este plano é considerado como 
tendo duas dimensões, geralmente representadas por 'x' e 'y'. 
A Geometria Plana foca em conceitos como pontos, linhas, segmentos de linha, raios, polígonos 
(como triângulos, quadrados, retângulos), círculos e outras formas que podem ser criadas 
neste plano bidimensional. 
 
1.1) Conceitos Básicos 
 
Alguns dos conceitos básicos em Geometria Plana incluem: 
Pontos: Em geometria, um ponto é geralmente representado por um pequeno ponto ou uma 
marca no papel, e é frequentemente rotulado com uma letra maiúscula (como A, B, C...). Os 
pontos servem como a unidade básica de construção na geometria. Eles definem posições no 
espaço e são usados para definir outros conceitos geométricos como linhas, segmentos de 
linha, raios e formas geométricas. 
Linha: É uma série de pontos que se estende infinitamente em ambas as direções. 
Segmento de Linha: Parte de uma linha que é limitada por dois pontos finais. 
Polígonos: Figura geométrica fechada formada por segmentos de reta. 
Área: é a medida do espaço interno de uma figura bidimensional. 
Ângulo: é formado quando duas linhas se encontram em um ponto comum chamado vértice. 
Círculo: Uma forma plana cujos pontos estão todos à mesma distância de um ponto central 
(raio). 
 
 
33 
Circunferência: É o perímetro de um círculo, calculado por 2πr, onde r é o raio. 
 
2) Polígonos 
 
São formas geométricas fechadas, compostas por uma sequência de segmentos de reta (lados) 
que se interligam. Os polígonos são classificados de acordo com o número de lados: 
Triângulo (3 lados): Tipos incluem equilátero (todos os lados iguais), isósceles (dois lados 
iguais), escaleno (nenhum lado igual), retângulo (um ângulo de 90°), acutângulo (todos os 
ângulos menores que 90°) e obtusângulo (um ângulo maior que 90°). 
Quadrilátero (4 lados): Inclui quadrados (todos os lados iguais e ângulos de 90°), retângulos 
(lados opostos iguais e ângulos de 90°), losangos (todos os lados iguais, mas não 
necessariamente ângulos de 90°), trapézios (um par de lados paralelos) e paralelogramos 
(lados opostos paralelos e iguais). 
Pentágono (5 lados): O pentágono regular tem todos os lados e ângulos iguais. 
Hexágono (6 lados): Um hexágono regular tem lados e ângulos internos iguais. 
Heptágono (7 lados): Menos comum na prática, mas pode ser regular (lados e ângulos iguais) 
ou irregular. 
Octógono (8 lados): O octógono regular é frequentemente usado em sinais de "PARE" no 
trânsito. 
Polígonos com mais lados: Incluem nonágonos (9 lados), decágonos (10 lados) e assim por 
diante. (Obs.: Polígonos com um grande número de lados podem se aproximar da forma de 
um círculo.) 
 
 
 
 
 
 
 
 
Atenção - Outras classificações acerca dos polígonos: 
• Regulares: Todos os lados e ângulos internos são iguais. 
• Irregulares: Lados e/ou ângulos internos não são iguais. 
 
• Convexos: Nenhum ângulo interno é maior que 180°. 
• Côncavos: Pelo menos um ângulo interno é maior que 180°. 
 
 
34 
 
2.1) Triângulos 
 
Os triângulos são figuras geométricas fundamentais na Geometria Plana. Eles são polígonos 
com três lados e três ângulos, e são classificados de diversas maneiras, dependendo de suas 
propriedades de lado e ângulo. Aqui estão os aspectos principais dos triângulos: 
 
Classificação por Lados: 
• Equilátero: Todos os três lados são iguais em comprimento, e todos os três ângulos 
internos são iguais, cada um medindo 60 graus. 
• Isósceles: Tem pelo menos dois lados de igual comprimento. Os ângulos opostos aos 
lados iguais também são iguais. 
• Escaleno: Todos os lados e ângulos são diferentes. 
 
 
 
 
 
 
Classificação por Ângulos: 
• Retângulo: Um dos ângulos é reto (90 graus). A característica mais importante dos 
triângulos retângulos é o Teorema de Pitágoras. 
• Acutângulo: Todos os ângulos são agudos (menos de 90 graus). 
• Obtusângulo: Um dos ângulos é obtuso (mais de 90 graus). 
 
 
 
 
 
 
Propriedades Importantes: 
• Soma dos Ângulos: A soma dos ângulos internos de qualquer triângulo é sempre 180 
graus. 
• Área: A área de um triângulo pode ser calculada de várias formas, dependendo das 
informações disponíveis. A fórmula mais comum é Área = base × altura 
• Perímetro: É a soma dos comprimentos de todos os lados. 
 
 
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Centros Notáveis: 
• Centroide: Ponto onde as medianas do triângulo se cruzam. É o "centro de massa" do 
triângulo. 
• Circuncentro: Ponto onde as mediatrizes dos lados se cruzam. É o centro da 
circunferência circunscrita ao triângulo. 
• Incentro: Ponto onde as bissetrizes dos ângulos internos se encontram. É o centro da 
circunferência inscrita no triângulo 
• Ortocentro: Ponto de interseção das alturas do triângulo. 
 
Teoremas Específicos: 
• Teorema da Base Média: Em um triângulo, a linha que conecta os pontos médios de 
dois lados é paralela ao terceiro lado e mede metade de seu comprimento. 
• Teorema de Pitágoras (em Triângulos Retângulos): Afirma que a somados 
quadrados dos catetos é igual ao quadrado da hipotenusa. 
 
2.1.1) Teorema de Pitágoras 
 
O Teorema de Pitágoras é uma das proposições mais fundamentais da geometria, 
estabelecendo uma relação crucial entre os lados de um triângulo retângulo. 
De acordo com o teorema, em um triângulo retângulo, o quadrado da hipotenusa (c) é igual à 
soma dos quadrados dos catetos (a e b): 
c2 = a2 + b2 
Por exemplo: Considere um triângulo retângulo com catetos a = 3 e b = 4. 
Podemos usar o Teorema de Pitágoras para encontrar o comprimento da hipotenusa (c): 
c2 = 32 + 42 = 9 + 16 = 25 
c = √25 = 5 
Portanto, no triângulo retângulo dado, a hipotenusa tem comprimento c = 5. 
O Teorema de Pitágoras desempenha um papel crucial na resolução de problemas geométricos 
e é uma ferramenta valiosa para qualquer estudante de matemática. 
 
 
 
 
 
 
 
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2.1.2) Trigonometria no triângulo retângulo 
 
A trigonometria no triângulo retângulo estuda as relações entre os ângulos e os lados de 
triângulos retângulos. 
Um triângulo retângulo é aquele que tem um ângulo reto (90 graus), e as funções 
trigonométricas são definidas com base nas razões entre os comprimentos dos lados deste 
tipo de triângulo. 
As três funções trigonométricas principais são o seno, o cosseno e a tangente: 
I) Seno (sen): É a razão entre o comprimento do cateto oposto a um ângulo agudo e o 
comprimento da hipotenusa. Matematicamente, para um ângulo A: 
sen(A) = 
𝑐𝑎𝑡𝑒𝑡𝑜 𝑜𝑝𝑜𝑠𝑡𝑜
ℎ𝑖𝑝𝑜𝑡𝑒𝑛𝑢𝑠𝑎
 
 
II) Cosseno (cos): É a razão entre o comprimento do cateto adjacente a um ângulo agudo e o 
comprimento da hipotenusa. Matematicamente, para um ângulo A: 
cos(A) = 
𝑐𝑎𝑡𝑒𝑡𝑜 𝑎𝑑𝑗𝑎𝑐𝑒𝑛𝑡𝑒
ℎ𝑖𝑝𝑜𝑡𝑒𝑛𝑢𝑠𝑎
 
 
III) Tangente (tan): É a razão entre o comprimento do cateto oposto e o comprimento do 
cateto adjacente a um ângulo agudo. Matematicamente, para um ângulo A: 
tan(A) = 
𝑐𝑎𝑡𝑒𝑡𝑜 𝑜𝑝𝑜𝑠𝑡𝑜
𝑎𝑡𝑒𝑡𝑜 𝑎𝑑𝑗𝑎𝑐𝑒𝑛𝑡𝑒
 
A tangente também pode ser expressa como a razão entre o seno e cosseno. 
Matematicamente, para um ângulo A: 
tan(A) = 
𝑠𝑒𝑛(𝐴)
𝑐𝑜𝑠(𝐴)
 
 
A identidade fundamental da trigonometria, sen(A) + cos(A) = 1, relaciona o seno e o cosseno 
de um ângulo. 
 
2.1.3) Semelhança de Triângulos 
 
A semelhança de triângulos é um conceito fundamental na geometria que descreve a relação 
entre triângulos que têm ângulos iguais e lados proporcionais. Dois triângulos são considerados 
semelhantes se seus ângulos correspondentes são congruentes, e os lados opostos a esses 
ângulos são proporcionais. 
Existem três critérios principais para determinar a semelhança entre triângulos: 
AA (Ângulo-Angulo): Se dois ângulos de um triângulo são congruentes aos dois ângulos corres- 
 
 
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pondentes de outro triângulo, então os triângulos são semelhantes. 
AAA (Ângulo-Angulo-Angulo): Se todos os três ângulos de um triângulo são congruentes aos três 
ângulos correspondentes de outro triângulo, então os triângulos são semelhantes. 
LAL (Lado-Angulo-Lado): Se dois lados proporcionais e o ângulo incluído de um triângulo são 
congruentes aos dois lados proporcionais e ao ângulo incluído de outro triângulo, então os 
triângulos são semelhantes. 
 
3) Circunferência e Círculo 
 
Circunferência é a linha curva fechada em que todos os pontos têm a mesma distância de um 
ponto central. Esta distância é conhecida como raio, o dobro dessa distância é o diâmetro (D) 
D = 2r 
O círculo é a região do plano limitada por uma circunferência. O círculo é uma figura 
geométrica definida por todos os pontos equidistantes de um ponto central. O comprimento 
da circunferência (C) de um círculo com raio r é dado por C = 2πr, e a área (A) é A = πr2. 
Onde: 
r é o raio, e 
π é uma constante “pi” aproximadamente igual a 3,14. 
 
 
 
 
 
 
 
4) Perímetro e Áreas 
 
Na Geometria Plana, o perímetro e a área são conceitos fundamentais que se referem, 
respectivamente, à medida do contorno de uma figura e à medida da superfície que ela ocupa. 
Vou detalhar cada um e fornecer exemplos para os principais tipos de figuras geométricas: 
I) Perímetro: 
Definição: O perímetro (P) de uma figura geométrica é a soma do comprimento de todos os 
seus lados. 
 
 
38 
Exemplos: 
• Quadrado (lado = a): P = 4 × a 
• Retângulo (base = b, altura = h): P = 2 × (b + h) 
• Triângulo (lados = a, b, c): P = a + b + c 
• Círculo (raio = r): P = 2πr (aqui, o perímetro é mais comumente chamado de 
circunferência) 
 
II) Área 
Definição: A área (A) é uma medida da extensão de uma superfície bidimensional. 
Exemplos: 
• Quadrado (lado = l): A = l² 
• Retângulo (base = b, altura = h): A = b × h 
• Triângulo (base = b, altura = h): A = 
𝑏×h 
2
 
• Círculo (raio = r): A = πr2. 
• Paralelogramo (base = b, altura = h): A = b × h 
• Trapézio (bases = b1, b2, altura = h): A = 
𝑏×h 
2
 × (b1 + b2) × h 
Essas fórmulas são usadas para calcular o perímetro e a área das figuras mais comuns na 
geometria plana. Cada figura tem suas próprias características e propriedades que definem 
como seus perímetros e áreas são calculados. 
 
GEOMETRIA ESPACIAL 
 
A Geometria Espacial é um ramo da matemática que estuda as figuras no espaço 
tridimensional. Nela, examinamos várias formas e seus atributos, como áreas e volumes. 
Vamos explorar algumas das formas mais comuns: 
 
1) Prisma 
 
Um prisma é um poliedro com duas bases paralelas e congruentes, que são polígonos, e faces 
laterais que são paralelogramos. 
Área: é a soma das áreas das bases e das áreas das faces laterais. 
Volume: é calculado multiplicando-se a área da base pela altura. 
 
 
 
 
 
 
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2) Pirâmide 
 
Uma pirâmide tem uma base, que é um polígono, e faces laterais que são triângulos 
convergindo para um ponto comum, o vértice. 
Área: inclui a área da base e a área das faces laterais. 
Volume: é um terço do produto da área da base pela altura. 
 
 
 
 
 
 
3) Cilindro 
 
Um cilindro é formado por duas bases circulares paralelas e uma superfície curva conectando 
as bases. 
Área: é a soma da área das duas bases e a área da superfície lateral (um retângulo enrolado 
ao redor das bases). 
Volume: é o produto da área da base (um círculo) pela altura. 
 
 
 
 
 
4) Cone 
 
Um cone possui uma base circular e uma superfície lateral que se estreita até um ponto, o 
vértice. 
Área: é a soma da área da base e da área lateral, que pode ser calculada usando o raio da base 
e a geratriz (linha inclinada que conecta a base ao vértice). 
Volume: é um terço do produto da área da base pela altura. 
 
 
 
 
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5) Esfera 
 
Uma esfera é um conjunto de pontos no espaço que estão todos à mesma distância de um 
ponto central. 
Área: é quatro vezes o produto de π pelo raio ao quadrado. 
Volume: é quatro terços do produto de π pelo raio ao cubo. 
 
 
 
 
 
 
Essas formas são fundamentais na matemática e encontram aplicações em diversas áreas, 
como arquitetura, engenharia e física. Cada uma tem suas peculiaridades e fórmulas 
específicas para calcular áreas e volumes, o que é fundamental para a compreensão e 
resolução de problemas práticos e teóricos no espaço tridimensional. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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