Calculo integrais

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CÁLCULO: INTEGRAIS 
E FUNÇÕES DE 
VÁRIAS VARIÁVEIS 
Raphael de Oliveira Freitas
Integral definida
Objetivos de aprendizagem
Ao final deste texto, você deve apresentar os seguintes aprendizados:
 � Relacionar a área de uma região plana à sua aproximação por 
retângulos.
 � Identificar as relações entre uma soma de Riemann e sua integral 
definida.
 � Aplicar os conceitos de áreas com sinal para o cálculo de integrais 
definidas.
Introdução
Neste capítulo, você aprenderá a identificar as relações entre uma soma 
de Riemann e sua integral definida aplicando os conceitos de áreas com 
sinal para o cálculo de integrais definidas e relacionará a área de uma 
região plana à sua aproximação por retângulos. Nesse sentido, pelo fato 
de os problemas aplicados a Física, Biologia, Química e Engenharia serem 
modelados por equações diferenciais, o conhecimento da definição e 
do conceito de integral definida é essencial para encontrar e analisar os 
dados pesquisados. Este capítulo se caracteriza como ponto de partida 
para o entendimento dos conceitos, cálculos, propriedades e noção 
geométrica de integrais como uma aproximação de áreas de retângulos 
também conhecida como soma de Riemann. 
Relação das áreas de regiões planas com 
as aproximações de retângulos
O cálculo da área de uma região S sob uma curva y = w(x) de a até b está 
associado às condições de limitação de retas verticais x = a e x = b pelo eixo 
x e de a função w ser contínua onde é positiva, ou seja, w (x) ≥ 0. A represen-
tação da área da região S é descrita como: S = {(x, y) | a ≤ x ≤ b, 0 ≤ y ≤ w(x)}. 
Em uma perspectiva geométrica, a Figura 1 ilustra essa problematização.
Figura 1. Representação geométrica da região S definida por S 
= {(x, y) | a ≤ x ≤ b, a ≤ y ≤ w(x)}.
Fonte: Stewart (2014, p. 326).
Em geral, a área de regiões de lados formados por segmentos de reta é 
mais simples de calcular, por exemplo, a área do quadrado é igual ao seu lado 
ao quadrado e a área do triângulo é dada pelo produto de sua base pela altura 
dividido por dois. Com esse resultado, também podemos calcular a área de 
um polígono, como o hexágono regular convexo, a partir da soma das áreas 
de seis triângulos equiláteros.
Já a determinação da área de uma região composta de lados curvos não é 
especificamente trivial, o que torna necessário levar em consideração condições 
de análise para sua investigação. 
No caso da ideia intuitiva de diferenciação, define-se uma reta tangente e, a 
partir de sua inclinação por secantes, são associadas as aproximações por limite.
De forma semelhante, ao aproximar a região S de retângulos e associando-a 
ao limite de suas áreas, aumentando cada vez mais a quantidade de retângulos, 
temos uma estimativa do valor da área. No Exemplo 1, a seguir, ilustraremos 
esse procedimento para estimar a áreas sob a parábola y = x2 limitada pelas 
retas x = 0 a x = 1 para a região y ≥ 0.
Exemplo 1
Dada a parábola y = x2 de 0 até 1 ilustrada pela Figura 2, estime a sua área 
utilizando retângulos.
Integral definida2
Figura 2. Representação geométrica da região S 
definida por S = {(x, y) | 0 ≤ x ≤ 1, y = x2}.
Fonte: Stewart (2014, p. 326).
Ao observar a área da região delimitada por S, a área sob a curva está entre 
0 e 1, uma vez que S está associada a um quadrado com lados de comprimento 
igual a 1. Dividindo a região S em quatro partes com S1, S2, S3 e S4, podemos 
 
também delimitá-las por retas verticais x = , x = e x = (Figura 3a).
Dessa forma, é possível aproximar cada parte da região delimitada por 
um retângulo de base congruente da largura da região delimitada e da altura 
congruente ao lado direito da região delimitada (Figura 3b).
Figura 3. Aproximações por retângulo do Exemplo 1.
Fonte: Stewart (2014, p. 326).
3Integral definida
Do ponto de vista geométrico, as alturas dos retângulos são os valores da fun-
ção w(x) = x2 nas extremidades direitas dos subintervalos: .
Sabendo que cada retângulo tem largura igual a e a altura é dada em 
cada intervalo por , e 12. Se associarmos R4 à soma dos retângulos 
de aproximação, temos:
Observando a Figura 3a, percebemos que a área A de S é menor que R4; logo, 
Anúmero de regiões limitadas (retângulos 
formados), isto é, quando n →∞, o valor da área se aproximará do real. Dessa 
aplicação, temos a definição dada a seguir.
A área A da região S que está sobre o gráfico de w (uma função continua) é dada pelo 
limite da soma das áreas dos retângulos de aproximação usando as extremidades 
direitas:
De forma análoga, é possível utilizar as extremidades esquerdas de aproximação 
para determinar a área.
Notação de somatório
Em geral, utiliza-se a notação sigma ou notação de somatório para descrever somas de 
muitos termos de maneira mais simplificada. No caso específico de valores expressos 
da estimativa de área, temos:
Integral definida10
A Figura 9 descreve a interpretação da notação de somatório.
Figura 9. Notação de somatório detalhada.
Dessa forma, a representação de somas fica mais simples. 
No Exemplo 3 (adaptado de STEWARD, 2014, p. 332), vamos determinar 
a região que está sob o gráfico de w(x) = e–x entre x = 0 e x = 2.
Exemplo 3
Sabendo que A representa a área que está sob o gráfico de w(x) = e–x entre x = 0 
e x = 2, determine a expressão que representa o limite para A utilizando os 
extremos direitos, mas sem calcular o limite. 
Dos dados apresentados, temos a = 0 e b = 2; portanto, a largura de um 
subintervalo é:
Então, x1 = , x2 = , xi = e xn = . Com isso, a soma das áreas dos retân-
gulos de aproximação é dada por:
11Integral definida
Usando a definição de área apresentada anteriormente, temos: 
Aplicando a notação de somatório, temos:
No vídeo disponível no link a seguir, o Professor Cláudio Possani, da Universidade 
Virtual do Estado de São Paulo (UNIVESP), apresenta os principais aspectos da integral 
definida a partir da aproximação de áreas de retângulos.
https://qrgo.page.link/mMoYh
Problema de distância
Para encontrar a distância percorrida por um objeto em determinado intervalo 
de tempo, geralmente utilizamos a velocidade como uma grandeza física cons-
tante, porém, se a velocidade variar, não é tão simples relacionar distância = 
velocidade × tempo. No Exemplo 4, apresentaremos uma forma de estimarmos 
o valor da distância percorrida a partir de dados tabelados.
Integral definida12
Exemplo 4
Calcule uma estimativa da distância percorrida por uma moto no intervalo de 
30 segundos, sabendo que, a cada 5 segundos, é marcada a velocidade apre-
sentada no velocímetro, conforme indicado no quadro a seguir.
Tempo (s) 0 5 10 15 20 25 30
Velocidade (km/h) 27 34 38 46 51 50 45
Convertendo a velocidade de km/h para m/s, em razão de a unidade de 
tempo estar apresentada em segundos, teremos a relação 1 km/h = 3,6 m/s. 
Reescreveremos o quadro:
Tempo (s) 0 5 10 15 20 25 30
Velocidade (m/s) 7,5 9,4 10,6 12,8 14,2 13,9 12,5
Nos 5 segundos iniciais, a velocidade não apresenta muita variação, então 
é possível estimar a distância percorrida durante esse tempo, já que, por 
hipótese, a velocidade é constante. Se a velocidade inicial for 7,5 m/s em 5 s, 
temos: 37,5 m.
De maneira semelhante, podemos estimar a distância de 5 segundos até 
10 segundos com 9,4 m/s ∙ 5 s = 47 m. Relacionando essas estimativas para 
os outros intervalos de tempo, temos:
(7,5 ∙ 5) + (9,4 ∙ 5) + (10,6 ∙ 5) + (12,8 ∙ 5) + (14,2 ∙ 5) + (13,9 ∙ 5) = 342 m
Consideramos, nesse caso, a velocidade no início de cada intervalo de tempo. 
Se utilizarmos o fim de cada intervalo tempo, temos: 
(9,4 ∙ 5) + (10,6 ∙ 5) + (12,8 ∙ 5) + (14,2 ∙ 5) + (13,9 ∙ 5) + (12,5 ∙ 5) = 367 m
Para tornar a estimativa mais precisa, basta diminuir as observações das 
velocidades em intervalos de tempo cada vez menores, por exemplo a cada 
2 segundos.
Associando esses dados a uma interpretação geométrica para velocidade 
versus tempo, temos a Figura 10.
13Integral definida
Figura 10. Interpretação geométrica do Exemplo 4.
Fonte: Stewart (2014, p 333).
Dessa forma, a área de cada retângulo pode ser interpretada como uma 
distância, já que a altura representa a velocidade, a largura e o tempo. A soma 
das áreas dos retângulos é L6 = 342, ou seja, a estimativa inicial apresentada.
Genericamente, se um objeto se movimenta com velocidade v = w(t) com 
as seguintes condições: a ≤ t ≤ b e w(t) ≥ 0, o objeto se desloca no sentido 
positivo. Se computássemos as velocidades nos instantes de tempo t0 = a, 
t1, t2, ..., tn = b supondo que a velocidade seja aproximadamente constante 
em casa subintervalo e se esses tempos forem igualmente espaçados, então, 
para duas leituras de velocidade consecutivas, teremos o intervalo de tempo 
∆x = (b – a)/n. No intervalo de tempo inicial, a velocidade será de aproxima-
damente w(t0) e, consequentemente, a distância percorrida será de w(t0)∆t.
De modo semelhante, a distância percorrida no período correspondente 
ao intervalo {a, b] é de aproximadamente:
Integral definida14
Utilizando as velocidades nas extremidades direitas. Já ao utilizarmos as 
extremidades à esquerda, a estimativa para a distância total é:
Novamente, observa-se que, quanto maior a quantidade de medições da 
velocidade, maior será a precisão na estimativa da distância percorrida. Apli-
cando a ideia de limite para uma distância exata d, temos:
Uma interpretação geométrica da relação apresentada anteriormente reside 
no fato de que a distância percorrida é igual à área sobre o gráfico da função da 
velocidade. Além dessa relação, existem outras, como o trabalho exercido por 
uma força variável ou a saída de água de um tanque, entre outras quantidades 
de grandezas que podem ser relacionadas por taxas de variação.
Integral definida a partir das somas de Riemann
Os limites que se configuram como
são consequência de investigações de situações-problema que envolvem cálculo 
diferencial e integral para a determinação de centros de massa, trabalho, volume 
de sólidos, comprimento de curvas, entre outras quantidades. Definiremos 
esse tipo de limite como integral definida.
15Integral definida
Seja w uma função contínua definida no intervalo a ≤ x ≤ b e o intervalo [a, b] 
seccionado em n subintervalos de comprimentos iguais a Consi-
dere, ainda, x0 = a, x1, x2, ..., xn = b as extremidades desses subintervalos com 
, denominados pontos amostrais arbitrários desses subintervalos, 
de maneira que encontre-se no i-ésimo subintervalo [xi–1, xi].
Com isso, temos que a integral definida de w de a até b é:
Com as condições do limite existentes, assumimos que w é integrável no 
intervalo [a, b].
Definição precisa de integral definida
Para todo ϵ > 0, existe um número inteiro N de forma que:
∀ inteiro n > N e toda seleção de em [xi–1, xi].
O sinal de integral ∫ foi apresentado inicialmente por Leibniz, cuja aparência, 
de uma letra S alongada, está associada a um limite de somas. Na notação 
, a e b, são denominados limites de integração, sendo b o limite 
superior e a o limite inferior, w(x) chamado de integrado, dx a indicação de 
variável dependente e o procedimento matemático para determinar (calcular) 
a integral integração. é um número em que também é possível 
substituir a letra x na notação, por exemplo: .
Integral definida16
Soma de Riemann
O elemento , que surge da definição de integral apresentada 
anteriormente, é denominado soma de Riemann, em homenagem ao matemá-
tico Bernhard Riemann (1826–1866). Essa definição apresenta que a integral 
definida de uma função que se configure como integrável tem a possibilidade 
de ser aproximada em qualquer grau de precisão por uma soma de Riemann 
(STEWART, 2014). Nesse sentido, se w(x) > 0, a soma de Riemann se revela 
como uma soma de áreas de retângulos de aproximação como descrito na 
Figura 11.
Figura 11. (a) Representação gráfica da soma de Riemann como soma das áreas dos retân-
gulos aproximadores. (b) Representação da área sob a curva y = w(x) de a até b.
Fonte: Stewart (2014, p 338).
Bernhard Riemann realizou seu doutorado sob orientação do legendário Gauss na 
Universidade de Göttingen, na Alemanha, onde também atuou como docente. Gauss, 
que não tinha o hábito de elogiar outros matemáticos,referiu-se a Riemann como “uma 
mente criativa ativa, e verdadeiramente matemática, e de uma originalidade glorio-
samente fértil". A definição de integral que usamos se deve a Riemann, que também 
ofereceu grandes contribuições para a teoria de funções de variáveis complexas, a 
física-matemática, a teoria dos números e os fundamentos da geometria. Os conceitos 
mais amplos de espaço e geometria de Riemann favoreceriam, 50 anos mais tarde, o 
desenvolvimento da teoria geral da relatividade de Einstein. Riemann, que nunca teve 
boa saúde, morreu de tuberculose aos 39 anos (STEWART, 2014, p 337).
17Integral definida
Se os valores de w adotados forem positivos e negativos, a soma de Riemann 
corresponderá à soma das áreas dos retângulos que estão acima do eixo das 
abcissas e do oposto das áreas dos retângulos que estão abaixo desse eixo, 
conforme a Figura 12.
Figura 12. Representação gráfica da soma de Riemann 
com valores positivos e negativos de w.
Fonte: Stewart (2014, p 339).
No caso da Figura 12, o elemento se configura como uma 
aproximação para a área do resultado representada (ou área resultante). Com 
isso, essa área pode ser representada como:
Sendo A1 a área da região acima do eixo das abcissas e abaixo do gráfico de w; 
já A2 representa a área abaixo do eixo das abcissas e acima do gráfico de w.
Podemos tomar como pontos amostrais as extremidades direitas, isto é, 
, e, com isso, reescrevemos a definição de integral como o seguinte 
teorema.
Se w for integrável no intervalo [a, b], então:
onde e xi = a + i∆x.
Integral definida18
No Exemplo 5 (adaptado de STEWART, 2014, p. 339), vamos aplicar essa 
definição e os conceitos apresentados.
Exemplo 5
Apresente
sen
como uma integral no intervalo [0, π].
Ao observar os dados apresentados, temos: w(x) = x³ + x sen x, a = 0 e 
b = π. Associando essas informações ao teorema anterior:
sen sen
De forma geral, substituímos os elementos lim ∑ por ∫, por x e ∆x por dx.
Para facilitar o cálculo de integrais, fórmulas da soma dos n termos, dos 
n2 termos e n3 termos, além das fórmulas que envolvem somatórios, são in-
teressantes (Figura 13).
Figura 13. Fórmulas de somatório.
19Integral definida
Os Exemplos 6, 7 e 8 funcionarão como aplicações dos conceitos 
desenvolvidos.
No link a seguir, você terá acesso a um portal eletrônico sobre integral da Khan Academy 
com diversos materiais didáticos, como vídeos exercícios e resumos. A partir dele, você 
poderá estudar a respeito de cálculo diferencial e integral:
https://qrgo.page.link/P4xhx
Exemplo 6
Determine a soma de Riemann para w(x) = x3 – 6x utilizando os pontos amos-
trais como extremidades direitas para a = 0, b = 3 e n = 6. Em seguida, encontre 
o valor de .
Para n = 6, temos o comprimento dos intervalos:
As extremidades direitas são x1 = 0,5, x2 = 1,0, x3 = 1,5, x4 = 2,0, x5 = 2,5 e 
x6 = 3. Então, a soma de Riemann é:
Como w não é uma função positiva, a soma de Riemann não representa 
uma soma de áreas de retângulos.
Integral definida20
Utilizando n subintervalos, temos:
Dessa forma: x0 = 0, x1 = 3/n, x2 = 6/n, ..., xi = 3i/n. Usando as extremidades 
direitas, temos:
De fato, essa integral assume valores positivos e negativos, não podendo 
ser associada ao valor de uma área, mas como uma diferença de áreas.
Exemplo 7
Dada a integral , encontre o seu valor interpretando-a como uma 
área. 
Sabendo que , é possível associar essa função com a 
área sobre a curva de 0 até 1. Como y2 = 1 – x2, temos y2 + x2 = 1. 
Com isso, temos que w se configura como 1/4 de círculo de raio igual a um, 
conforme mostrado na Figura 14.
21Integral definida
Figura 14. Representação gráfica da função w do Exemplo 8.
Fonte: Stewart (2014, p. 342).
As aplicações de integral definida são diversas nas ciências naturais e 
sociais, a partir da ideia de somas de Riemann e do limite descrito como 
aproximações de áreas de retângulos divididos por faixas em n subintervalos 
que tendem ao infinito.
No link a seguir, você verá um utilitário para calcular integrais definidas.
https://qrgo.page.link/hNG4T
Integral definida22
STEWART, J. Cálculo: volume 1. 7. ed. São Paulo: Cengage Learning, 2014. 664 p.
Leituras recomendadas
ADAMI, A. M.; DORNELLES FILHO, A. A.; LORANDI, M. M. Pré-cálculo. Porto Alegre: 
Bookman, 2015. 208 p.
KOLMAN, B.; HILL, D. R. Introdução à álgebra linear com aplicações. 9. ed. Rio de Janeiro: 
LTC, 2013. 607 p. 
MORETTIN, P. A.; HAZZAN, S.; BUSSAB, W. O. Cálculo: função de uma e várias variáveis. 
3. ed. São Paulo: Saraiva, 2016. 437 p.
SAFIER, F. Pré-calculo. 2. ed. Porto Alegre: Bookman, 2011. 412 p. (Coleção Schaum).
Referência
23Integral definida