Equação da Linha Elástica

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Equação da Linha 
Elástica 
Luís Eduardo Silveira Dias 
Introdução 
• O comportamento de vigas a flexão foi formalizado no início 
do século XIX por Navier; 
 
• As equações de equilíbrio e de compatibilidade para o 
comportamento à flexão de vigas fazem parte dessa 
formalização, a chamada teoria de vigas de Navier. 
 
• Essa teoria, que despreza deformação devidas ao efeito do 
cortante, estabelece um equação diferencial que relaciona os 
deslocamentos transversais v(x) de uma viga com taxa de 
carregamento distribuído transversalmente q(x). 
Introdução 
• Primeiro é obtida uma relação entre o momento fletor na seção 
transversal e a segunda derivada do deslocamento transversal 
em relação a x. 
2
2
( )
( )
M xd v
EI xdx

2
2
( )
d M
q x
dx

2 2
2 2
( ) ( )
d d v
EI x q x
dx dx
 
 
  
4
4
( )q xd v
EIdx

Linha elástica 
A equação da deformação da viga – equação da linha elástica – é 
necessária para determinar a deformação máxima ( flecha máxima) e a 
rotação. 
dv
dx

1 M
EI

M
d dx
EI

1d
dx

Rotação relativa interna por flexão de um 
elemento infinitesimal de barra 
d
Raio de curvatura da elástica transversal 
v(x) da barra 
1/ Curvatura da elástica transversal v(x) da 
barra 
Equação diferencial da curva de 
deflexão 
v – deflexão 
Hipótese de material elástico, 
flexão pura 
Equação diferencial da curva de 
deflexão 
Durante a flexão, cada ponto da viga sofre deflexão (v) e rotação (Ɵ) 
Equação diferencial da curva de 
deflexão 
Convenções: 
 
Deflexão (v): positiva pra cima (observar 
convenção dos esforços) 
 
Rotação (Ɵ) positiva regra da mão direita 
 
No ponto m1: Deflexão = v; rotação Ɵ 
 
No ponto m2: Deflexão = v + dv; rotação Ɵ + dƟ 
 
 
ds – distância de m1 e m2 (arco) 
dƟ – ângulo em rad 
cos( )
( )
dx
ds
dv
sen
dx


Equação diferencial da curva de 
deflexão 
Em vigas com pequenas rotações: 
 
São consideradas pequenas deformações, logo: 
ds = dx, então cos Ɵ = 1. 
 
Um ângulo pode ser definido como: 
 
cos( ) ( )
dx dv
e sen
ds dx
 
s

1d
k
dx
 Curvatura: 
Pode-se definir também: tan
dv
dx
 
Derivando em função de x, temos: 
tan
dv
dx
  2
2
1 d v
k
dx
 
Equação diferencial da curva de 
deflexão: Lei de Hooke 
Inclinação no Regime elástico: 
Deformação específica: 
Definição de momento usando as equações acima: 
A integral do produto dos elementos de uma área pelo quadrado da distância 
de um eixo pode substituída pela inércia: 
x x
E
. . ( . ). .
x
A A
dA y M E k y y dA M   
. ²
A
E k y dA M EkI M  
1
.
x
y k y 
Como: 2
2
1 d v
k
dx
 
M
k
EI

2
2
d v M
EIdx

4
4
3
3
2
2
d v w
EIdx
d v V
EIdx
d v M
EIdx
dv
dx





2
2
d v M
EIdx
dv
dx


( )
( )
dV
w x
dx
dM
V x
dx
 

Condições de Contorno 
0 0
0 0 0
( )
( ) ''( )
v x
M x EIv x
 
   
0 0
0 0 0
( )
( ) ''( )
v x
M x EIv x
 
   
0 0
0 0 0
( )
( ) '( )
v x
x EIv x
 
   
Exemplo 1 
• Qual a deflexão máxima e a rotação nos apoios da viga abaixo 
com rigidez constante?