3 RMA - Aula Estado de Tensão

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ESTADOS DE TENSÃO: 
 
 
 
 
Introdução: 
 
De acordo com o que foi visto no item 1.2 do capítulo 1, a intensidade e a 
intensidade e o tipo da tensão varia com a orientação do elemento a ser considerado. 
Para relembrar este tópico, considere o corpo abaixo, submetido a ação de forças 
exteriores e que será secionado por planos com diferentes direções: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Figura 1 
 
O plano a-a’ seciona o corpo perpendicularmente a força R, que é a resultante entre 
as forças externas P3 e P4. Considerando a figura 1.b observa-se que na seção considerada 
apenas ocorre o Esforço Normal N, o que dividido pela área produz TENSÃO NORMAL 
. 
Na figura 1.c o plano b-b’ secciona o corpo numa direção inclinada em relação a 
resultante R, e que provoca o aparecimento da FORÇA NORMAL N e da FORÇA 
CORTANTE Q, as quais divididas pela área produzem TENSÕES NORMAIS  e 
TENSÕES TANGENCIAIS , respectivamente. 
Assim, pode-se verificar que para um mesmo ponto, dependendo da orientação do plano as tensões 
poderão variar. 
Considere a viga da figura 2, submetida a um carregamento P. O elemento A da 
figura 2.b está submetido a TENSÕES NORMAIS DE COMPRESSÃO (), por este 
estar situado acima da linha neutra e, a TENSÕES DE CISALHAMENTO () 
POSITIVAS, as quais encontram-se orientadas de acordo com o sentido da força P. Neste 
caso as tensões normais e de cisalhamento são necessárias para descrever, de forma 
completa, todas as tensões que agem sobre o elemento, isto é, para definir o ESTADO DE 
TENSÃO DO ELEMENTO. 
Observando a figura 2.c, verifica-se novamente que girando o plano de corte de um 
ângulo , este provocará novas tensões, as quais estão denominadas de  , +90 e  as 
quais serão posteriormente discutidas. 
 
 
P1 
P2 
a b 
 b’ a’ 
P3 
P4 
a 
a’ 
N 
 
P3 
P4 
R F 
N 
Q 
b’ 

 
b P3 
R 
P4 
(a) (b) (c) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
  
  
  
 
 
Figure 2 
De acordo com os exemplos anteriores, demonstrar-se-á neste capítulo que, através 
de alterações na orientação de um elemento (giro de um ângulo ), é possível descrever o 
estado de tensão em um ponto de UM NÚMERO INFINITO DE MANEIRAS, as quais são 
todas EQUIVALENTES. 
 
ESTADO UNIAXIAL E BIAXIAL: 
Como definiu-se anteriormente, as tensões variam com a orientação dos planos que 
seccionam o elemento. 
Para a determinação das expressões analíticas, as quais fornecem as tensões no 
entorno de um ponto, considere a barra abaixo submetida a uma força P, de tração: 
 
 
 
 
 
 
 
 y' 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Figura 3 
b a 
a b 
P 
 
x 
(a) 
 
 
 +90 
+90  
(b) (c) 
m 
n 
(a) 
P A P 
 x 
 
n' 
m' 
A D 
 
 
 
B C 

x.sen 


x.cos  
 
 
x' 
 
 
(b) (c) 
 
 
Secciona-se a barra por um plano m-n, normal a sua seção e, seja o elemento A 
submetido somente a tensão normal x, determinada pelo quociente da força normal P e a 
área da seção transversal, a qual atua na face AB e CD do elemento. Logo: 
 
 x = P 
 A 
 
 sendo este valor possível de ser determinado e representado na figura 3.b. Quer-se 
determinar as tensões normais () e tangencial () que atuam na face AC do elemento o 
qual girou de um ângulo , conforme representado na figura 3.c. Para tanto, aplicar-se-á as 
equações de equilíbrio da estática, em função das tensões, sendo necessário determinar-se, 
as áreas das faces do elemento. 
Faz-se, então, a área da face AC igual a unidade e assim, tem-se as áreas das faces 
AB e BC, como sendo cos e sen, respectivamente. 
Decompondo as tensões e fazendo o somatório das forças na direção do eixo x' e y', 
tem-se: 
 
 Fx'= 0 .1 + x.sen .cos  = 0 
 Fy'= 0 .1 - x.cos .cos  = 0 
 
Assim: 
  = x . cos2  
 
  = x . sen 2 
 2 
Estas expressões fornecem a tensão normal e a tensão tangencial, respectivamente 
as quais atuam sobre um plano num elemento cuja normal forma um ângulo  com o eixo 
x, no qual atua a tensão x. 
No ESTADO BIAXIAL, no qual atuam tensões normais em duas direções, a 
determinação das expressões é feita de modo análogo, utilizando o Princípio da 
Superposição dos Efeitos. 
Considere o estado de tensão abaixo: 
 
 y 
 
 
 A A   
 x x x  
 
 B C B C 
 
 
 y y 
 
 (a) (b) 
Figura 4 
As tensões x e y são conhecidas, quer-se determinar as tensões  e que 
ocorrem sobre o plano inclinado, para tanto emprega-se o princípio da superposição dos 
efeitos. Assim: 
 
 y' y' 
 
   x.sen ' ' " " 
 
 x  = x  +  
 
 x.cos x' x' 
 
 sy y.sen y.cos 
 y 
 
 (a) (b) (c) 
Figura 2.5 
 
De modo análogo ao ESTADO UNIAXIAL determina-se ' e '. Assim, tem-se: 
 ' = x . cos2  
 
 ' = x . sen 2 
 2 
 
Para a determinação das tensões " e ", indicadas na figura 5.c, procede-se de 
modo análogo. Sabendo-se que a área da face AC é unitária, logo a área das faces AB e BC 
será dada, respectivamente, pelo cos e pelo sen. 
Aplicando as equações de equilíbrio da estática para as tensões dadas, em relação 
aos eixos x' e y', tem-se: 
Fx'=0 y.cos .sen  - ".1 = 0 
Fy'=0 y.sen .sen  - ".1 = 0 
 
Logo: 
 " = y.sen2  
 " = y.sen 2
 2 
 
Aplicando o princípio da superposição dos efeitos, a tem-se: 
  = ' + " 
  = ' +" 
Logo: 
  = x.cos2  + y.sen2  
  = x-y.sen 2 
 2 
 
As expressões anteriores fornecem as tensões normais e tangenciais em um 
elemento, sujeito a um estado biaxial, cujo plano de corte sofreu uma rotação de um ângulo 
. 
 Convenção de Sinais: 
 
Convenciona-se POSITIVO a TENSÃO NORMAL ()DE TRAÇÃO. A 
TENSÃO TANGENCIAL ( será POSITIVA quando o giro for HORÁRIO, 
considerando as tensões perpendiculares a direção x. 
O giro do ângulo  será POSITIVO, quando ocorrer no sentido ANTI-
HORÁRIO, em relação ao eixo plano de atuação de x. 
  
  
  
  
 
Figura 2.6 
 
ESTADO PLANO DE TENSÕES: 
 
Neste estado atuam simultaneamente tensões normais e de cisalhamento, conforme 
demonstrado na figura 2.7 
 
 y 
 
 
 A A   
  
 x x x 
 
 B C B C 
   
 
 y y 
 
 (a) (b) 
Figura 2.7 
 
As tensões nas faces AB e BC (x, y e ) são conhecidas, quer-se determinar as 
tensões nas faces AC ( e ). Assim, de modo análogo aos realizados anteriormente, e 
empregando as equações de equilíbrio em função das tensões e o princípio da superposição 
dos efeitos, tem-se: 
Fx'=0 .1 - x.cos .sen + y.sen .cos -.sen2 + .cos2 =0 
 
Fy'=0 .1-x.cos 2-y.sen 2-.cos .sen -.sen cos =0 
 
Conclui-se que: 
 
 
 
 
 = x.cos2  +y.sen2 -.sen 2
 = x-y .sen 2+.cos 2
 
Estas expressões permitem determinar as tensões normais e tangenciais para 
qualquer estado de tensão, sendo conhecidas as tensões normais x e y, a tensão tangencial 
 e o ângulo , em que se deseja o plano de corte. 
 
Tensões Principais e Planos Principais: 
 
Para a Resistência dos Materiais, o interesse é na determinação dos maiores valores possíveis 
das tensões. Para tanto, inicialmente deve-se determinar os planos em que estas tensões atuam, fazendo-se a 
derivada da tensão em relação ao plano, igual a zero, ou seja: 
 
 d = - 2.x.cos .sen  + 2.y.sen .cos  + 2..cos 2 (2.19) 
 d 
 
igualando a equação anterior a zero, tem-se: 
 
 -2.x.cos .sen + 2.y.sen .cos  + 2..cos 2 = 0 (2.20) 
 -x.sen 2+ y.sen 2 + 2..cos 2 = 0 (2.21) 
 
Dividindo a equação anterior por cos2a: 
 
 - x.tg 2 + y.tg 2 + 2 = 0 (2.22) 
Logo: 
 tg 2P = - 2. (2.23) 
 x - y 
 
Esta equação define dois valores de p com diferença de 90o e, portanto, 
caracterizam dois planos que são ortogonais entre si, o qual denomina-se de plano p e 
p+90
o. Estes dois planos definem os chamados PLANOS PRINCIPAIS. 
A equação anterior tem duas raízes, pois a tangente de um ângulo apresenta o 
mesmo valor em quadrantes opostos conforme pode ser verificado na figura 2.8. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
  
 
 
 x-yque ela atua. 
d) Construir o círculo de Mohr. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
12MPA 
12MPA 
6 MPA 6MPA 
5,4 MPA 
21º 
15 MPA 
15MPA 
3,2 MPA 
3,2 MPA 
20 MPA 
15º 
24,5 MPA 
24,5MPA 
8 MPA 
35º 
150 MPA 
150 MPA 
45 MPA 
45 MPA 
150 MPA 
32º 
150 MPA 
22,4 MPA 
11 MPA 
11 MPA 
22,4 MPA 
66º 
114MPA 
114MPA 
89 MPA 89MPA 
20,6 MPA 
52ºque ela atua. 
d) Construir o círculo de Mohr. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
12MPA 
12MPA 
6 MPA 6MPA 
5,4 MPA 
21º 
15 MPA 
15MPA 
3,2 MPA 
3,2 MPA 
20 MPA 
15º 
24,5 MPA 
24,5MPA 
8 MPA 
35º 
150 MPA 
150 MPA 
45 MPA 
45 MPA 
150 MPA 
32º 
150 MPA 
22,4 MPA 
11 MPA 
11 MPA 
22,4 MPA 
66º 
114MPA 
114MPA 
89 MPA 89MPA 
20,6 MPA 
52º