4 Flexão teoria e exercícios

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Tipos de Flexão: 
 
 - Quanto ao plano de solicitação 
1) Normal: plano perpendicular ao da barra 
2) Oblíqua: plano oblíquo ao da barra. 
 
- Quanto ao tipo de carga atuante: 
1) Simples 
2) Composta 
 
Flexão Normal Simples: o plano de solicitação coincidirá com um dos planos de simetria 
da seção transversal, atuando como esforço solicitante o Momento Fletor. 
 Poderá atuar Esforço Cortante que será responsável pelo surgimento das tensões de 
cisalhamento que serão vistas posteriormente. 
 
Flexão Pura: 
O plano de solicitação coincide com um dos planos de simetria, atuando apenas 
Momento Fletor. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Flexão Normal Composta: 
 O plano de solicitação coincide com um dos planos de simetria da seção. Atuam 
Momento Fletor e Esforço Normal. 
 
 
 
 
 
 
 
P P 
 A B A 
 A B C D 
P 
P 
P*A 
DEC 
DMF 
Trecho AB e CD – Flexão 
Normal Simples 
Trecho BC – Flexão Pura 
Z 
Y 
P 
E 
Flexão Oblíqua Simples: 
 O plano de solicitação não coincide com os planos de simetria da seção, atuando 
Momento Fletor. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Flexão Oblíqua Composta: quando a carga não coincide com nenhum dos eixos de 
simetria da peça. Atuam momento fletor e esforço normal. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Princípios Básicos da Resistência dos Materiais: 
1º) As seções transversais permanecem planas depois da deformação produzida pela Flexão 
– Axioma de Bernoulli 
 
2º) As deformações das fibras longitudinais são proporcionais as distâncias da fibra ao eixo 
baricêntrico. As fibras não fazem pressão entre si e sob a ação das tensões normais sofrem 
esforços de compressão e tração linear. Axioma de Navier. 
 
3º) As deformações das fibras independem de sua posição transversalmente à seção (sua 
posição em relação ao eixo vertical de simetria), dessa forma as tensões normais só variam 
com a altura e não com a largura da seção. 
 
 
 
 
Y 
Z 
Q 
Z 
Y 
P 
E1 
E2 
 
 
4º) O material da peça obedece a Lei de Hooke e é homogêneo. 
 = E* 
 
5º) O módulo de elasticidade a tração “E” é o mesmo da compressão. 
 
Cálculo da tensão em uma fibra qualquer 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Considerando o trecho infinitesimal dx, após a deformação, tem-se: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
ac – encurtamento da fibra ac 
bd – alongamento da fibra bd 
ef – transição da região comprimida para a tracionada, que não está sujeita a esforços. 
Todas as fibras tais como ef formam a superfície neutra, que passa no CG da seção. 
 
Deformação de uma fibra qualquer: 
Considere a fibra gh (em vermelho), cuja distância da LN é de “y” (em azul) 
 
 
 
 
 
P P 
A C 
 
 
 
B D 
 
 DX 
DΘ 
O 
R 
 A C 
 
 
E F 
 
B 
D 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Traçando uma paralela a reta ab (em verde), passando pelo ponto f, tem-se: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Fibra gh – comprimento da fibra deformada 
Fibra gh’ – comprimento inicial da fibra 
 
Comparando o triângulo obc e o triângulo fh’h, tem-se: 
 
DΘ 
O 
R 
 A C 
 
 
E F 
G 
H 
B 
D 
Y 
DΘ 
O 
R 
 A C 
 
 
E F 
G 
H 
B 
D 
Y 
Y 
F 
H’ H 
 DΘ 
 
tg dθ ~ dθ = ef tg dθ ~ dθ = h’h 
 r y 
Logo: 
ef = r dθ e h’h = y dθ 
 
Logo a deformação específica longitudinal será: 
 
 = l = h’h = y dθ  = y 
 L ef r dθ r 
 
Pela lei de Hooke: 
 
 = E* 
 
Onde: 
 
 1 = __ (1) 
 r E*y 
 
Considerando a seção transversal, um elemento de área dA onde atua uma força dF a 
uma distância “y” do eixo z 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Fazendo o equilíbrio da seção 
 
dF = *dA 
 
Fx = 0 
 
 r
E
*y*dA = 0 
 
  0dA*y
r
E
 
 
 
 = E* Y 
 R 
Z 
Y 
D
A 
DF 
 
(2) 
O que comprova que a superfície neutra coincide com o CG da seção. 
 
Para equilibrar o conjugado de forças interiores (tensões) que deverá equilibrar o 
conjugado exterior tem-se? 
 
dM = dF*y 
dM = *dA.y 
dM = E*y*dA*y 
r 
 
dM = E*y2*dA 
 r 
 
  MdM 
 
MdA*y
r
E 2  
 
 
 E * Iz = M 
 r 
 
 _1_ = _M_ (2) 
 r E* Iz 
 
 
Comparando (1) e (2), tem-se: 
 
__ = _M_ 
 E*y E*Iz 
 
Logo a tensão normal será dada por: 
 
 
 = M*y 
 Iz 
 
O que permite calcular a tensão em qualquer ponto da viga. O momento será dado pelo 
DMF, a inércia pela seção transversal e y é dado pela distância do ponto ao eixo z da seção 
transversal. 
 
 
 
 
 
 
MOMENTO DE 
INÉRCIA 
30 cm 20 cm 
10 
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Exercícios 
 
1) Para a viga abaixo determinar as tensões normais nas seções A e B indicadas na figura 
nas seguintes fibras: 
a) Sobre a LN (linha neutra); 
b) 5 cm acima da LN; 
c) 10 cm abaixo da LN; 
d) Nas extremidades da seção. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
2) Determinar as máximas tensões que ocorrem na viga abaixo: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
3) 
a) Construir o DEC e DMF 
b) As tensões máximas; 
c) A tensão na fibra situada a 8 cm da borda inferior na seção indicada (E) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
10 KN 0,8 KN/m 
40 cm 
20 cm 0,8 m 1,2m 2m 
A B C 
20 cm 
10KN 
0,5 KN/m 
1,0mĪ 0,5 0,5 1,5 m 
3 KNm 
A 
B C D 
 5,0 KN 8,KN 
 1m 1,5 m 0,8m 
E 
1,0 KN/m 
7 cm 5 cm 7 cm 
5 cm 
 
15 cm 
 
5 cm 
0,5 m