Trab CD - Telvio

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Universidade Católica de Moçambique
Instituto de Educação à Distância
Resolução de Exercícios
Nome e Código do Estudante: Telvio Antonio Charles - 708241906
Curso: Licenciatura em Ensino de Matemática
Disciplina: Cálculo Diferencial e Integral em R
Ano de Frequência: 3º
Nampula, Maio de 2025
Universidade Católica de Moçambique
Instituto de Educação à Distância
Resolução de Exercícios
Nome e Código do Estudante: Telvio Antonio Charles - 708241906
Curso: Licenciatura em Ensino de Matemática
Disciplina: Cálculo Diferencial e Integral em R
Ano de Frequência: 3º
O Tutor: Adamo Devi Cuchedza, PhD
Nampula, Maio de 2025
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 Organização dos
dados
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 Indicação correta da
fórmula
 Passos da resolução
 Resultado obtido
Aspectos
gerais
Formatação
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tamanho de letra,
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linhas
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Índice
Introdução ...................................................................................................................................3
Exercício Nº 1 .............................................................................................................................4
Exercício Nº 2 .............................................................................................................................4
Exercício Nº 3 .............................................................................................................................4
Exercício Nº 4 .............................................................................................................................5
Exercício Nº 5 .............................................................................................................................5
Exercício Nº 6 .............................................................................................................................6
Exercício Nº 7 .............................................................................................................................6
Exercício Nº 8 .............................................................................................................................7
Exercício Nº 9 .............................................................................................................................7
Exercício Nº 10 ...........................................................................................................................8
Exercício Nº 11 ...........................................................................................................................8
Exercício Nº 12 ...........................................................................................................................9
Exercício Nº 13 .........................................................................................................................10
Exercício Nº 14 .........................................................................................................................11
Exercício Nº 15 .........................................................................................................................11
Conclusão ................................................................................................................................. 12
Referências bibliográficas ........................................................................................................ 13
3
Introdução
O cálculo diferencial e integral é uma ferramenta fundamental no estudo da matemática, com
aplicações que se estendem a diversas áreas do conhecimento. Este trabalho de campo tem
como objectivo consolidar os conceitos teóricos por meio da resolução de exercícios práticos,
abordando temas como limites, continuidade, derivadas, optimização e integrais. Através da
aplicação de teoremas e técnicas de derivação e integração, busca-se desenvolver habilidades
analíticas e resolver problemas concretos, como determinar intervalos de funções, calcular
erros em medições e optimizar dimensões de terrenos. A realização deste trabalho
individualmente, seguindo as normas APA, visa não apenas avaliar o domínio dos conteúdos,
mas também promover a autonomia e a precisão na resolução de problemas matemáticos.
4
Exercício Nº 1
Dados Resolução
� = ] −∞;1]
� = ]0; 2]
� = −1; 1
� ∪ � ∩ � = ?
� ∩ � = ] −∞;1] ∩ ]0; 2] = ]0; 1]
� ∪ � ∩ � = [ − 1; 1] ∪ ]0; 1] = [ − 1; 1]
Exercício Nº 2
Um espaço métrico é um conjunto ℝ com uma função �:ℝ × ℝ → ℝ, que satisfaz:
Não-negatividade: �(�, �) ≥ 0 e �(�, �) = 0     ⟺ � = �
Simetria: �(�, �) = �(�, �)
Desigualdade triangular: �(�, �) ≤ �(�, �) + �(�, �)
Verificação para �(�, �) = � − � :
Não-negatividade:
∣� − �∣ ≥ 0 para todos �, � ∈ ℝ.
∣� − �∣ = 0  ⟺  � = �
Simetria:
∣� − �∣ = ∣� − �∣.
Desigualdade triangular:
Para quaisquer �, �, � ∈ ℝ:
∣� − �∣ = ∣(� − �) + (� − �)∣ ≤ ∣� − �∣ + ∣� − �∣
A recta real com �(�, �) = ∣� − �∣ satisfaz todas as condições de um espaço métrico.
Exercício Nº 3
lim
�→2
6 − � − 2
3 − � − 1
=
6 − 2 − 2
3 − 2 − 1
=
0
0
5
lim
�→2
6 − � − 2
3 − � − 1
∙
6 − � + 2
6 − � + 2
∙
3 − � + 1
3 − � + 1
=
(6 − � − 4) 3 − � + 1
(3 − � − 1) 6 − � + 2
lim
�→2
(2 − �) 3 − � + 1
(2 − �) 6 − � + 2
=
3 − � + 1
6 − � + 2
=
3 − 2 + 1
6 − 2 + 2
=
2
4
=
1
2
Exercício Nº 4
lim
�→0
� 2� + cos �
0 2 × 0 + cos 0 = 0 1 = 1∞
� 2� + cos � = (2� + cos �)
1
�
� =lim
�→0
(2� + cos �)
1
�
ln � =
ln 2� + cos �
�
=
0
0
�
��
ln 2� + cos � =
2 − sin�
2� + cos �
ln � = lim
�→0
2 − sin�
2� + cos �
=
2 − 0
0 + 1
= 2
Exponenciando para eliminar o ln:
� = �2
Exercício Nº 5
a) Esboçar o gráfico
6
b) Determine
Limite à esquerda
lim
�⟶1−
(�2 + 1) = 12 + 1 = 2
Limite à direita
lim
�⟶1+
� − 2 2 = 1 − 2 2 = 1
c) Existência do limite
Para que lim
�→1
� � exista, os limites laterais devem ser iguais:
lim
�⟶1−
(�2 + 1) = 12 + 1 = 2 � lim
�⟶1+
� − 2 2 = 1 − 2 2 = 1
Como 2 ≠ 1, o limite não existe.
Exercício Nº 6
� � =
2� − 4�, �� � = 3
2�2−5�−3
−�2+7�−12
, �� � ≠ 3 determine o(s) valor (es) reais de k que tornam a função
contínua no ponto x = 3 .
� � = lim
x→3
(2� − 4�) = 2 × 3 − 4k = 6 − 4k
� ≠ 3
lim
�→3
2�2 − 5� − 3
− �2 + 7� − 12
=
0
0
lim
�→3
2� + 1 (� − 3)
− � − 3 (� − 4)
= lim
�→3
2� + 1
− � − 4
= lim
�→3
6 + 1
−( − 1)
= 7
� 3 = lim
�→3
� � ⇒ 6 − 4� = 7 ⇒− 4� = 7 − 6 ⇒ � =−
1
4
� =−
1
4
Exercício Nº 7
� � = �4 − 3�3 + 5 [ − 1; 2]
7
� −1 = 14 − 3 −1 3 + 5 = 9
� 2 = 24 − 3 2 3 + 5 =− 3
� −1 ∙ � 2 0 ⟶ Mínimo local
� � =− 2�4 + 5�3 − 3
�' � = −2�4 + 5�3 − 3 ' =− 8�3 + 15�2
�'' � = −8�3 + 15�2 '' =− 24�2 + 30�
Em � = 0: �'' 0 = 0 ⟶ Ponto de inflexão (não é extremo)
Em � = 15
8
: �'' 15
8
=− 24 15
8
2
+ 30 15
8
 0 ⟶ Mínimo local
Em � = 0: �'' 0 =− 4 0 ⟶ Mínimo local
Exercício Nº 13
O capitão Tico-Tico, chutou a bola que se moveu sobre uma trajectória segundo a fórmula.
ℎ � =− 16�2 + 96� − 13 (t em segundos e h em metros). Determine a velocidade da bola ao
fim de 2 segundos após o chute.
�� = �ℎ
� � =
��
��
=
�
��
−16�2 + 96� − 13 =− 32� + 96
� = 2: � 2 =− 32 × 2 + 96 =− 64 + 96 = 32 �/�
11
Exercício Nº 14
Dados Formula/Resolução
� = 50�2
� = �
� = �
� = �� = 50
� = 2� + 2�
� =
50
�
� � = 2� + 2
50
�
= 2� +
100
�
�' � = 2 −
100
�2
2 =
100
�2
⇒ �2 =
100
2
⇒ � = 50 = 5 2 = 7,07�
� =
50
�
=
50
50
= 5 2 = 7,07�
As dimensões devem ser 5 2� por 5 2�
Exercício Nº 15
�)
�5 + 2�2 − 1
�4
� ��
�5 + 2�2 − 1
�4
=
�5
�4
+
2�2
�4
−
1
�4
= � + 2�−2 − �−4
� + 2�−2 − �−4� �� = ���� + 2�−2��� − �−4� �� =
�2
2 − 2�−1 −
1
3
�−3
�5 + 2�2 − 1
�4
� �� =
�2
2
−
2
�
+
1
3�3
+ �
�)
0
8
( 2�� + 3 �) ��
2� 1/2� + �1/3�� = 21/2� ∙ �1/2 + �1/3�� = 21/2� ∙ �1/2�� + �1/3���
12
2 2� ∙ �
3
+
3� ∙ 3 �
4
⇒
2 2� ∙ �
3
+
3� ∙ 3 �
4
8
0 =
2 2 ∙ 8 ∙ 8
3
+
3 ∙ 8 ∙ 3 8
4
−
2 2 ∙ 0 ∙ 0
3
+
3 ∙ 0 ∙ 3 0
4
=
2 ∙ 4 ∙ 8
3
+ 12 =
64
3
+ 12 = 21,33 + 12 = 33,33
Conclusão
A realização deste trabalho permitiu a aplicação prática dos conceitos de cálculo diferencial e
integral, demonstrando sua relevância na resolução de problemas matemáticos e situações
reais. Através dos exercícios propostos, foi possível explorar desde noções básicas, como
limites e continuidade, até temas mais avançados, como optimização e análise de funções. A
utilização de teoremas como o de Bolzano e técnicas de derivação e integração reforçou a
compreensão dos conteúdos e sua utilidade em contextos variados. Além disso, o
cumprimento das normas APA e a elaboração individual do trabalho contribuíram para o
desenvolvimento de habilidades académicas essenciais. Em suma, este trabalho não apenas
consolidou conhecimentos teóricos, mas também destacou a importância do cálculo como
ferramenta indispensável para a análise e solução de problemas complexos.
13
Referências bibliográficas
Stewart, J. (2013). Cálculo: Volume 1. (7ª ed.). Cengage Learning.
Guidorizzi, H. L. (2013). Um Curso de Cálculo: Volume 1. (6ª ed.). LTC.
Apostol, T. M. (2002). Cálculo: Volume 1. (2ª ed.). Reverté.
Larson, R., & Edwards, B. (2016). Cálculo: Volume 1. (10ª ed.). McGraw-Hill.