D Matematica 2023

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<p>Ideias Metodológicas do Ensino de Matemática – Ensino Básica e Educação de Adultos</p><p>____________________________________________________</p><p>Elaborado Por: Félix R.M. Moçambique</p><p>1</p><p>IDEIAS METODOLÓGICAS DO ENSONO DE MATEMÁTICA</p><p>ENSINO BÁSICO E EDUCAÇÃO DE ADULTOS</p><p>INTRODUÇÃO</p><p>A Matemática desempenha um papel decisivo na resolução de problemas da</p><p>vida diária. É um poderoso instrumento para o conhecimento do mundo, domínio</p><p>da natureza, construção de conhecimentos em outras áreas curriculares;</p><p>interferindo também na formação de capacidades intelectuais, na estruturação</p><p>do pensamento e na agilização do raciocínio do aluno.</p><p>O professor deve estar devidamente munido de conhecimentos metodológicos</p><p>que lhe permitam transmitir os conhecimentos desta disciplina de forma a</p><p>responder às exigências actuais da sociedade e promover um ensino com</p><p>significado para os alunos.</p><p>Duma maneira geral, todo o indivíduo, mesmo o menos alfabetizado, faz</p><p>operações de cálculo aritmético. Vejamos alguns exemplos: É a vendedeira, que</p><p>no seu processo de compra e venda, calcula a percentagem dos lucros. O</p><p>pedreiro mede a profundidade dos alicerces de acordo com o tipo de construção,</p><p>a dona de casa contrabalança os rendimentos familiares com os gastos</p><p>necessários. A mãe precisa de ver as horas para dar um medicamento ao seu</p><p>filho; o professor calcula as médias de seus alunos; muita informação é</p><p>publicada em forma de gráficos e tabelas, dentre outra actividade, informações</p><p>ou situações que obrigam o uso de conhecimentos de Matemática. Em suma, na</p><p>vida, os cálculos de Matemática não se efectuam por um mero prazer, mas para</p><p>resolver problemas que a vida impõe.</p><p>A escola deve, por isso, mostrar às crianças as razões que lhes levam a medir,</p><p>pesar, efectuar cálculos, resolver problemas, dentre outros conteúdos que se</p><p>desenvolvem nas aulas de Matemática. Para que estas condições sejam criadas</p><p>no processo do ensino-aprendizagem, é necessário, em primeiro lugar, que o</p><p>professor esteja motivado para o que vai ensinar, como vai ensinar e como vai</p><p>atingir os objecivos de ensino aprendizagem. Uma das condições que conduz à</p><p>motivação é o gosto e a capacidade de criar condições de ensino e</p><p>aprendizagem. Esta capacidade só pode ser adquirida pelo domínio adequado</p><p>das metodologias de ensino e aprendizagem.</p><p>O presente Programa tem por finalidade proporcionar aos futuros professores do</p><p>Ensino Básico, uma formação de base em Metodologia do ensino de</p><p>Matemática, capacitando-os a leccionar com maior segurança e eficácia as suas</p><p>aulas de Matemática.</p><p>OBJECTIVOS DO ESTUDO</p><p>Este trabalho tem em vista, os seguintes objectivos:</p><p>Ideias Metodológicas do Ensino de Matemática – Ensino Básica e Educação de Adultos</p><p>____________________________________________________</p><p>Elaborado Por: Félix R.M. Moçambique</p><p>2</p><p>- Melhorar a competência dos professores e formadores no ensino de</p><p>Matemática;</p><p>- Saber como planificar e orientar aulas de Matemática;</p><p>- Aplicar os principios didacticos no ensino de cálculos nas quatro operações</p><p>básicas, resolução de problemas, medidas de grandezas, cálculos de fracções,</p><p>geometria elementar e percentagens e outras áreas da Matemáticas.</p><p>- Reconhecer a necessidade da Matemática estar ao alcance de todos, devendo</p><p>o professor/formador envidar esforços neste sentido;</p><p>- Saber que os exercícios propostos devem ter alguma relação com o meio</p><p>social da criança;</p><p>- Seleccionar os materiais que facilitam o processo de ensino-aprendizagem da</p><p>Matemática;</p><p>Com este programa de Metodologia de Ensino de Matemática, pretende-se que</p><p>o formador ao implementa-lo no centro de formação de professores, tenha em</p><p>conta que a abordagem dos conteúdos deve ser feita de forma integrada entre a</p><p>parte cientifica e a parte metodológica. Isto quer dizer que, em cada unidade, os</p><p>conteúdos não devem ser abordados somente na forma metodológica. Mas</p><p>também, deve-se verificar o aprofudamento científico dos mesmos.</p><p>Sobre os temas transversais, a sua abordagem em conteúdos de matemática</p><p>pode ser feita através de exercícios do tipo problema, em que o aluno pode</p><p>interpretar, equacionar e resolver. Por exemplo:</p><p>i) A interpretação do nível de prevalência de HIV/SIDA em tabelas ou</p><p>gráficos de Estatística, Proporcionalidades ou percentagens.</p><p>ii) O João pretende plantar 120 árvores por mes durante um ano.</p><p>- Quantas árvores poderão plantar por dia?</p><p>- Quantas árvores irão plantar durante um ano?</p><p>Para cada unidade temática, deve se ter em conte o tratamento das diferentes</p><p>formas de avaliação, tais comoTeste diagonostico, avaliação somativa e</p><p>avalição formativa. A sua implementação do formador para os formandos, e</p><p>Ideias Metodológicas do Ensino de Matemática – Ensino Básica e Educação de Adultos</p><p>____________________________________________________</p><p>Elaborado Por: Félix R.M. Moçambique</p><p>3</p><p>como estes irão implementar nas escolas que irão trabalhar de forma contínua</p><p>como preconiza o Plano curricular do Ensino Básico. Neste contexto, o presente</p><p>trabalho tem em vista, os seguintes objectivos:</p><p>- Melhorar a competência dos professores e formadores no ensino de</p><p>Matemática;</p><p>- Saber como planificar e orientar aulas de Matemática;</p><p>- Aplicar os principios didacticos no ensino de cálculos nas quatro</p><p>operações básicas, resolução de problemas, medidas de grandezas,</p><p>cálculos de fracções, geometria elementar e percentagens e outras áreas</p><p>da Matemáticas.</p><p>- Reconhecer a necessidade da Matemática estar ao alcance de todos,</p><p>devendo o professor/formador envidar esforços neste sentido;</p><p>- Saber que os exercícios propostos devem ter alguma relação com o meio</p><p>social da criança;</p><p>- Seleccionar os materiais que facilitam o processo de ensino-</p><p>aprendizagem da Matemática;</p><p>1. DIDACTICA DE MATEMÁTICA COMO CIÊNCIA</p><p>Conteúdos</p><p>- Objectivos, objecto e métodos de estudo de metodologia de ensino de</p><p>Matemática</p><p>- A relação da disciplina de metodologia de ensino da Matemática com outras</p><p>disciplinas</p><p>- Os objectivos do ensino básico e métodos aplicáveis no ensino da</p><p>Matemática (indutivo e dedutivo)</p><p>- Os conhecimentos matemáticos da criança na fase pré-escolar</p><p>- Métodos aplicáveis no ensino de Matemática</p><p>Nesta unidade, pretende-se que o professor ou formador seja capaz de:</p><p>- Explicar o conceito de metodologia, objectivos, conteúdos de ensino de</p><p>Metodologia de Ensino da Matemática;</p><p>- Estabelecer a relação entre o ensino da Metodologia de Matemática e a</p><p>própria Matemática e com outras disciplinas, por exemplo a</p><p>psicopedagoia;</p><p>Ideias Metodológicas do Ensino de Matemática – Ensino Básica e Educação de Adultos</p><p>____________________________________________________</p><p>Elaborado Por: Félix R.M. Moçambique</p><p>4</p><p>- Abordar os principais métodos usados no ensino da Matemática no</p><p>tratamento de conceitos matemáticos, por exemplo: método indutivo e</p><p>dedutivo</p><p>- Dar noções de planificação de uma unidade temática, de uma lição</p><p>aplicando as bases de palnificação</p><p>- Explicar a importância da exercitação no ensino da Matemática para a</p><p>formação e desenvolvimento das capacidades e habilidades;</p><p>- Seleccionar os meios de ensino adequados para a concretização da aula</p><p>- Sistematizar os conteúdos de acordo com as suas exigências.</p><p>2. ESTUDO DOS PROGRAMAS DE ENSINO</p><p>a) Programa de ensino Básico</p><p>- I CICLO – objectivos e conteúdos</p><p>- II CICLO – objectivos e conteudos</p><p>- III CICLO – objectivos e conteúdos</p><p>b) Programa de Educação de Adultos</p><p>- 1º Ano – objectivos e conteúdos</p><p>- 2º Ano – objectivos e conteudos</p><p>- 3º Ano – objectivos e conteúdos</p><p>C)Programa de Ensino de Matemática</p><p>7ª, 8ª e 9ª Classe</p><p>O Professor deve orientar os formandos/alunos para o estudo profundo dos</p><p>programas noa aspectos estruturais, objectivos, conteúdos, competências</p><p>básicas, semelhanças e diferenças, entre eles e por cada ciclo de</p><p>aprendizagem. Também nesta unidade deve-se fazer uma análise dos</p><p>conteúdos de integração entre a matemática com as</p><p>verificar a validade das</p><p>propriedades e asregras de cálculo estudadas anteriormente em outros</p><p>domínios numéricos. No que diz respeito à radiciação, o professor poderá</p><p>orientar os alunos para fazerem a generalização do conceito de quadrado e raiz</p><p>quadrada de um número. Neste espaço, é necessário que o aluno calcule</p><p>mental e rapidamente quadrados de números simples e de raízes quadradas</p><p>perfeitas. O professor deverá ajudar o aluno a consultar a tabela de quadrados,</p><p>raízes quadradas e cúbicas. Para a introdução da raiz cúbica, o professor</p><p>poderá partir de umproblema concreto sobre o cálculo do volume de umcubo.</p><p>Deste problema, professor deverá mostrar aos alunos a relação entre o cubo de</p><p>um número e a sua raiz cúbica. Também é importante que desta relação, os</p><p>alunos entendam que entre o cubo de um número e a sua raiz cúbica há uma</p><p>relação de inversabilidade, isto é, uma das operações é inversa da outra,</p><p>salientando a existência da raiz cúbica de um número negativo. Na exercitação,</p><p>o professor deverá darmuitos exercícios sobre o cálculo da raiz quadrada e</p><p>cúbica, usando quadrados e cubos perfeitos, incluindo cubos e raízes cúbicas de</p><p>números negativos.</p><p>O aluno deverá usar a tabela para consultar a raiz quadrada e cúbica de</p><p>números não perfeitos, e o professor deverá estimular a estimação dos</p><p>resultados. Em seguida, o professor deverá explicar o processo de obtenção do</p><p>valor aproximado da raiz, estabelecendo a relação entre a potência de expoente</p><p>fraccionário e a raiz. Só depois desta explicação, é que o aluno poderá</p><p>transformar potências de expoente fraccionário em raiz e vice -versa. De</p><p>seguida, o professor introduz expressões simples numéricas, envolvendo</p><p>potências de expoente fraccionário.</p><p>Na multiplicação e divisão de radicais, o professor deverá partir das regras de</p><p>potenciação, onde o expoente da potência é um número fraccionário. Nas</p><p>operações com radicais, pretende-se que o aluno seja capaz de adicionar e</p><p>subtrair radicais semelhantes; multiplicar e dividir radicais; passar um factor para</p><p>fora ou dentro do radical; simplificar radicais, aplicando as propriedades:</p><p>𝒂𝟏/ 𝒏 . 𝒃 𝟏/ 𝒏 = ou 𝒂𝟏/ 𝒏 : 𝒃 𝟏/ 𝒏 =.</p><p>Ideias Metodológicas do Ensino de Matemática – Ensino Básica e Educação de Adultos</p><p>____________________________________________________</p><p>Elaborado Por: Félix R.M. Moçambique</p><p>31</p><p>Um dos pressupostos básicos que o aluno deve ter, antes de introduzir as</p><p>operações com radicais, é a decomposição de um número natural em produto</p><p>de factores primos. Então, o professor deverá verificar se este pressuposto está</p><p>garantido ou não. A cada actividade proposta pelo professor, o aluno deve</p><p>encontrar uma razão para a efectuar. É importante que o aluno entenda porquê</p><p>simplificar radicais bem como porquê passar um factor do radicando a factor do</p><p>radical. Esta compreensão ajudá-lo-á a efectuar qualquer o cálculo com os</p><p>radicais.</p><p>Na consolidação do conhecimento, o professor deverá estimular o trabalho em</p><p>grupo, na sala de aula assim como fora dela.</p><p>23. EQUACÕES E INEQUAÇÕES</p><p>Conteúdos</p><p>- Conceito de equação, termos de uma equação e termos semelhantes;</p><p>- Proposições (verdadadeira ou falsa)</p><p>- Noção de variável;</p><p>- Expressões com variáveis</p><p>- Resolução de equações envolvendo as quatro operações</p><p>- Problemas concreto sobre equações</p><p>- Desigualdades e inequações</p><p>- Resolução de inequações envolvendo as quatro operações</p><p>- Revisão da noção de variável;</p><p>- Solução de uma equação;</p><p>- Equações equivalentes;</p><p>- Princípios de equivalência de duas equações;</p><p>- Resolução de equações lineares do tipo: a + x = b; x – a = b, a – x = b, 𝒂 .</p><p>𝒙 = 𝒃; 𝒂 ÷ 𝒙 = 𝒃 e 𝒙 ÷ 𝒂 = 𝒃, com números fraccionários;</p><p>- Resolução de equações lineares do tipo:𝒂𝒙 = 𝒃, 𝒂𝒙 ± 𝒃 = 𝒄,𝒂𝒙 + 𝒃 = 𝒄𝒙 +</p><p>𝒅 (sendo a, b e c racionais e a e c diferentes de zero);</p><p>- Classificação de equações;</p><p>- Resolução de problemas conducentes á equações lineares;</p><p>- Equações literais.</p><p>Antes do formador explorar o assunto, sugerimos que trate de sentenças</p><p>matemáticas, ou outras</p><p>Expressões não matemáticas, onde o formando poderá ter a oportunidade de</p><p>julgar se são ou não verdadeiras. Por exemplo:</p><p>- O Gato é um animal doméstico:</p><p>- 3 + 13 = 23</p><p>O formador/professor deve ter em consideração que uma equação funciona</p><p>como uma balança equilibrada</p><p>Ideias Metodológicas do Ensino de Matemática – Ensino Básica e Educação de Adultos</p><p>____________________________________________________</p><p>Elaborado Por: Félix R.M. Moçambique</p><p>32</p><p>- O formador deve discutir com os formandos na sala de aulas sobre que tipo de</p><p>equações e inequaçoes a abordar no emsino básico, isto na base do programa</p><p>de ensino</p><p>- Formador deve mostrar e discutir com os formandos na sala de aulas sobre “</p><p>quando é que uma equação tem ou não tem solução”</p><p>Sugestões metodológicas</p><p>As equações fazem parte da álgebra. Elas permitem modelar situações da vida</p><p>e de outras disciplinas. Por isso, na abordagem das equações é importante e</p><p>aconselhável tratar fórmulas cujas equações são lineares, e que estão ligadas à</p><p>Física, Geometria, Estatística, Química, etc.; como forma de realizar a</p><p>interdisciplinaridade.</p><p>Para introduzir o conceito de equação linear, o professor poderá apresentar</p><p>diversos jogos conducentes às equações lineares, descritas na forma de</p><p>problemas, tais como, “O GRANDE MAGO”, como recurso de criar a motivação</p><p>dos alunos à aprendizagem dos conteúdos desta unidade. Este jogo consiste em</p><p>pensar num número qualquer e adicionar a este número um certo valor; de</p><p>seguida, multiplica-se o resultado por um outro número diferente dos primeiros</p><p>números; no fim, subtrai-se o resultado por um outro número, obtendo, assim,</p><p>um resultado previamente definido. Antes da resolução de problemas</p><p>conducentes às equações lineares, sugere-se que o professor inicie pelo</p><p>treinamento dos alunos na representação da linguagem comum para a</p><p>linguagem matemática, através da interpretação de sentenças matemáticas ou</p><p>outras expressões não matemáticas, onde os alunos poderão ter a oportunidade</p><p>de julgar se são ou não verdadeiras. É preciso mostrar aos alunos que há</p><p>expressões onde não é possível dizer se são verdadeiras ou não. A resolução</p><p>de equações deve ser entendida como a procura de uma incógnita que, ao</p><p>substituir na variável, dê o valor apresentado. O aluno deve ter em conta que as</p><p>actividades exigidas são: cálculo de uma parcela desconhecida, quando se trata</p><p>de uma adição; termo desconhecido, quando é uma subtracção; um factor,</p><p>quando se trata de uma multiplicação e um termo desconhecido, quando é uma</p><p>divisão.</p><p>Para desenvolver habilidades de resolução de equações, deve-se resolver,</p><p>primeiro, equações simples sem denominadores, aumentando o grau de</p><p>dificuldades das mesmas até chegar a ponto de colocar os casos extremos, isto</p><p>é, equações que não tenham solução ou que tenham infinitas soluções.</p><p>No fim da resolução de qualquer equação, deve-se exigir aos alunos para que</p><p>façam sempre uma verificação, se a solução da equação satisfaz ou não as</p><p>condições impostas, como forma de os levar a desenvolverem o hábito de se</p><p>certificarem, por si sós, dos resultados obtidos.</p><p>24. SISTEMAS DE INEQUAÇÕES LINEARES COM UMA VARIÁVEL</p><p>Conteúdos</p><p>Ideias Metodológicas do Ensino de Matemática – Ensino Básica e Educação de Adultos</p><p>____________________________________________________</p><p>Elaborado Por: Félix R.M. Moçambique</p><p>33</p><p>- Revisão de inequação linear</p><p>- Resolução analítica e geométrica de inequações lineares;</p><p>- Sistema de inequações;</p><p>- Noção de sistema de inequações lineares com uma variável;</p><p>- Resolução de sistema de inequações lineares com uma variável.</p><p>Sugestões metodológicas</p><p>O conceito de inequação linear for abordado na 8ª classe. Assim, sugere-se que,</p><p>antes de introduzir sistemas de inequações lineares com uma variável, o</p><p>professor faça uma revisão sobre o conceito de inequação linear, colocando</p><p>várias expressões para os alunos identificarem as que são inequações, ou</p><p>solicitando</p><p>alunos para darem exemplos de inequações.</p><p>Poderá, ainda, propor exercícios para os alunos identificarem o significado</p><p>diferenciado dos símbolos>, <ou = e de inequações equivalentes, assim como</p><p>dos outros princípios de equivalência que facilitam a compreensão na resolução</p><p>de inequações.</p><p>Na resolução de inequações lineares, o professor deverá mostrar aos alunos</p><p>exemplos de inequações lineares que, quanto à solução, são possível</p><p>determinado e indeterminado ou impossível.</p><p>Convém enfatizar que a representação da solução de uma inequação pode ser</p><p>por uma recta graduada, intervalos ou por diagrama. Neste contexto, na revisão</p><p>deve-se incluir exercícios de representação de números reais na recta graduada,</p><p>intervalos numéricos e de aplicação das operações de união</p><p>eintersecção.Depois de consolidar o conhecimento sobre inequaçõeslineares, o</p><p>professorintroduz ossistemas de inequações do 1º grau a uma variável, através</p><p>da resolução de problemas similares ao que se segue: “A Maria pretende</p><p>construir o seu quarto de forma rectangular, cujo comprimento é de 1m, maior</p><p>que o dobro da largura, e o seu perímetro é inferior a 42m.</p><p>Quais devem ser as dimensões do quarto (comprimento e largura)?” Para a</p><p>resolução deste tipo de problemas, o aluno deve ter alguns recursos básicos tais</p><p>como:</p><p>𝑷 = 𝟐 (𝑪 + 𝑳). Na base deste pressuposto básico, o professor deverá ajudar o</p><p>aluno a escrever as condições para a solução do problema, nomeadamente: 𝟎 <</p><p>𝑷 < 𝟒𝟐, onde</p><p>𝑷 = 𝟐(𝟐𝒙 + 𝟐 + 𝟐𝒙) = 𝟖𝒙 + 𝟒. Ou seja 𝟎 < 𝟖𝒙 + 𝟒 < 𝟒𝟐. Nesta expressão, tem-se</p><p>duas condições que devem ser satisfeitas, simultaneamente, a saber: 𝟖𝒙 + 𝟒 <</p><p>𝟒𝟐 e 𝟖𝒙 + 𝟒 > 𝟎. As duas expressões formam um sistema de duas inequações,</p><p>cuja incógnita é 𝒙. De acordo com o conhecimento que os alunos têm sobre</p><p>ossistemas de equações, as duas condições podem ser reescritas da seguinte</p><p>maneira. { 𝟖𝒙 + 𝟒 < 𝟒𝟐 𝟖𝒙 + 𝟒 > 𝟎 O professor orientará os alunos para</p><p>resolverem cada uma das duas inequações e a encontrarem a solução do</p><p>sistema de inequações, que é dada pela parte comum das duas inequações,</p><p>mostrando este facto através da ilustração gráfica.</p><p>Ideias Metodológicas do Ensino de Matemática – Ensino Básica e Educação de Adultos</p><p>____________________________________________________</p><p>Elaborado Por: Félix R.M. Moçambique</p><p>34</p><p>A aplicação de inequações na vida quotidiana deve ser explorada para mostrar</p><p>ao aluno que a matemática é importante para a solução dos problemas do</p><p>Homem</p><p>25. ORIENTAÇÃO E LOCALIZAÇÃO</p><p>Conteúdos</p><p>- O plano cartesiano: eixos e origem de coordenadas;</p><p>- Representação e localização de pontos no plano cartesiano</p><p>Sugestões metodológicas</p><p>Esta unidade constitui a primeira parte do estudo sobre a correspondência. É</p><p>preciso mostrar aos estudantes que os planos aparecem como instrumentos que</p><p>representama realidade e nos permitem localizar, comfacilidade, alguns lugares</p><p>ou pontos.É, neste contexto, que se sugere aos sistemas de referências para</p><p>localização de pontos no plano. O professor deverá insistir, fundamentalmente,</p><p>na leitura e localização de pontos no plano mediante, o uso de coordenadas.</p><p>Os mapas são um instrumento de representação da realidade e os sistemas de</p><p>coordenadas como instrumentos para localizar diferentes lugares, assim como</p><p>para nos orientarmos no espaço, por exemplo, a localização do local onde</p><p>vivemos, na cidade, na aldeia ou a nossa casa (a rua, o quarteirão e o número</p><p>da casa).</p><p>O professor pode usar o mapa para os estudantes localizarem alguns pontos,</p><p>como uma província, um distrito, um país e outros.</p><p>Na representação e localização de pontos no plano cartesiano, os alunos</p><p>deverão saber que o sistema de coordenadas é um sistema aceite</p><p>universalmente e que para a localização de um ponto no plano, é necessário</p><p>desenhar os eixos coordenados, isto é, eixo horizontal e eixo vertical.</p><p>26. CORRESPONDÊNCIAS</p><p>Conteúdos</p><p>- Correspondências: diagrama sagital e tabelas;</p><p>- Correspondências biunívocas e unívocas</p><p>- Tabelas de correspondência: consevação e inversão da ordem</p><p>- Tabelas de correspondência: lineardades</p><p>- Equações do tipo y=kx ou y=x/k, representando correspondências</p><p>lineares</p><p>- Sistemas de coordenadas</p><p>- Proporcionalidade directa: constante da proporcionalidade directa</p><p>- Gráfico da proporcionalidade directa</p><p>Ideias Metodológicas do Ensino de Matemática – Ensino Básica e Educação de Adultos</p><p>____________________________________________________</p><p>Elaborado Por: Félix R.M. Moçambique</p><p>35</p><p>- Aplicação na vida prática através de problemas</p><p>- Variação de grandezas directas ou inversamente proporcionais</p><p>- Proporcionalidade inversa</p><p>- Gráfico da proporcionalidade inversa</p><p>- Problemas de proporcionalidade inversa</p><p>Recordamos ao formador que:</p><p>a) grandezas</p><p>O formando sabe que um comprimento é uma grandeza, assim como uma área,</p><p>um volume, uma massa, etc. É ainda uma grandeza o número de laranjas</p><p>contidas num cesto, um número de alunos numa esacola, etc.</p><p>Teremos por vezes de falar de grandezas da mesma espécie. São da mesma</p><p>espécie dois comprimentos, mas são espécies diferentes um comprimento e</p><p>uma área.</p><p>Compreende-se ainda que duas grandezas da mesma espécie se podem</p><p>adicionar, resultando uma grandeza da masma espécie que é a sua soma. Por</p><p>exemplo, a soma de dois comprimentos é um comprimento; a soma de duas</p><p>massas é uma massa, etc. Quando se escreve 3kg + 5kg = 8kg, por exemplo,</p><p>indica-se a adição da grandeza 3kg com a grandeza 5kg, e afirma-se que a</p><p>soma é igual a 8kg.</p><p>Toda grandeza pode ser multiplicada por um número natural, obtendo-se como</p><p>produto, uma grandeza da mesma espécie.</p><p>Assim, o comprimento 4m, pode multiplicar-se por 3, dando o produto 12m. E</p><p>escrever-se-á então 4m  3 = 12m</p><p>Também em muitos casos se pode dividir uma grandeza por um número natural</p><p>diferente de zero (0). Assim, dividir 5m pelo número 7 é determinar a grandeza</p><p>cujo produto por 7 seja igual a 5m. A grandeza pedida é 5/7 de metro, escreve-</p><p>se então 5/7 m.</p><p>Nota-se que nem sempre a divisão é possivel. Por exemplo, a grandeza 12</p><p>canetas pode dividir-se por 4 ou por 6, mas não por 5 ou por 7.</p><p>a. Grandezas directamente proporcionais (correspondência)</p><p>Exemplo: Se 1kg de arroz custa 10,00 Mtn, quanto custarão 2, 3, 4, e 5</p><p>quilogramas?</p><p>É evidente que:</p><p>1kg custa 10,00Mtn</p><p>2kg custam 10,00Mtn x 2 = 20,00Mtn</p><p>3kg custam 10,00Mtn x 3 = 30,00Mtn</p><p>4kg custam 10,00Mtn x 4 = 40,00Mtn</p><p>5kg custam 10,00Mtn x 5 = 50,00Mtn</p><p>Ideias Metodológicas do Ensino de Matemática – Ensino Básica e Educação de Adultos</p><p>____________________________________________________</p><p>Elaborado Por: Félix R.M. Moçambique</p><p>36</p><p>Respondemos assim por sabermos que se supusermos o peso multiplicado por</p><p>2, 3, 4, 5.. ., também o custo de arroz deve vir multiplicado por 2, 3, 4, 5, . . .</p><p>Por esta razão, diz-se que o peso e o custo de arroz são directamente</p><p>proporcionais.</p><p>Os resultados anteriores podem ser representados no quadro de seguinte</p><p>maneira:</p><p>Quadro I</p><p>Peso em kg do arroz</p><p>comprado</p><p>1 2 3 4 5</p><p>Custo em meticais 10 20 30 40 50</p><p>Nota:</p><p>1) Quando duas grandezas são directamente proporcionais, a razão dos</p><p>números que exprimem em valores correspondentes é constante, desde</p><p>que os valores de cada uma das grandezas sejam expressos na mesma</p><p>unidade.</p><p>2) Quando duas grandezas são directamente proporcionais, a razão de dois</p><p>valores quaisquer de uma delas é igual a razão dos dois valores</p><p>correspondentes de outra.</p><p>c) Grandezas inversamente proporcionais</p><p>Exemplo: Se com certa importância podemos comprar 24 metros de pano de</p><p>15,00Mtn o metro, quantos metros poderá comprar com a mesma importância se</p><p>o preço do pano for de 30,00Mtn, 45,00Mtn ou 60,00Mtn o metro?</p><p>Compreende-se que, se duplicou o preço, o comprimento do pano virá reduzido</p><p>a metade; se triplicou o preço, o comprimento virá reduzido a um terço; etc.</p><p>Sendo assim, facilmente responderemos:</p><p>Se do pano de 15,00Mtn podemos comprar 24m;</p><p>Do pano de 30,00Mtn podemos comprar 24m  2 = 12m;</p><p>Do pano de 45,00Mtn podemos comprar 24m  3 = 8m;</p><p>Do pano de 60,00Mtn podemos comprar 24m  4 = 6m.</p><p>Diremos que o preço do pano e o comprimento do pano que podemos comprar</p><p>com a mesma importância são inversamente proporcionais.</p><p>Os resultados anteriores resumem no seguinte quadro:</p><p>Quadro II</p><p>Preço em Mtn por metro 15 30 45 60</p><p>Comprimento em metro 24 12 8 6</p><p>Nota:</p><p>1) Quando duas grandezas são inversamente proporcionais, o produto dos</p><p>números que exprimem valores correspondentes é constante, desde que,</p><p>em cada grandeza, todos os valores sejam expressos na mesma unidade.</p><p>Ideias Metodológicas do Ensino de Matemática – Ensino Básica e Educação de Adultos</p><p>____________________________________________________</p><p>Elaborado Por: Félix R.M. Moçambique</p><p>37</p><p>2) Quando duas grandezas são inversamente proporcionais, a razão de dois</p><p>valores de uma delas é igual a razão inversa dos valores correspondentes</p><p>da outra.</p><p>27. POLINÓMIOS</p><p>Conteúdos</p><p>1. Revisão de monómio:</p><p>- Adição algébrica monómios;</p><p>- Multiplicação e divisão de monómios;</p><p>- Potenciação de monómios;</p><p>2. Polinómios:</p><p>- Noção de polinómio;</p><p>- Grau de um polinómio;</p><p>- Soma algébrica de polinómios;</p><p>- Multiplicação de um polinómio por um monómio;</p><p>- Multiplicação de um polinómio por um binómio;</p><p>- Multiplicação de dois binómios;</p><p>- Propriedades da multiplicação;</p><p>- Decomposição de um polinómio em factores recorrendo;</p><p>- Propriedade distributiva (factor comum),</p><p>- Produtos notáveis (a ± b) e (a + b) (a – b);</p><p>- Divisão através da simplificação de um polinómio por um monómio.</p><p>Sugestões metodológicas</p><p>Para o tratamento de polinómios, o professor deverá, inicialmente, orientar os</p><p>alunos à resolução de exercícios diversificados, relacionados com a identificação</p><p>de monómios, indicação do grau e seus termos. O professor poderá introduzir o</p><p>estudo de polinómios, a partir da adição ou subtracção de dois ou mais</p><p>monómios não semelhantes.</p><p>Poderá, ainda, orientar os alunos a generalizar o conceito de polinómio,</p><p>classificando-o, determinando o grau de polinómio e identificando os termos que</p><p>o compõe.</p><p>As validades das regras das operações devem ser dadas sob o ponto de vista</p><p>de aplicações práticas e não teóricas. A abordagem dos polinómios semelhantes</p><p>deve ser feita a partir de monómios semelhantes, mostrando a importância do</p><p>estudo (semelhança de polinómios) na aplicação das operações com</p><p>polinómios.</p><p>Na consolidação do conhecimento, os alunos devem identificar polinómios assim</p><p>como diferenciar um polinómio de um monómio, privilegiando o cálculo do valor</p><p>numérico de um polinómio e a identificação de produtos ou casos notáveis. É</p><p>importante que o professor leve os alunos a identificarem os casos notáveis e a</p><p>Ideias Metodológicas do Ensino de Matemática – Ensino Básica e Educação de Adultos</p><p>____________________________________________________</p><p>Elaborado Por: Félix R.M. Moçambique</p><p>38</p><p>resolver tarefas que envolvem os seguintes casos: (𝒂 ± 𝒃) 𝟐 = 𝒂 𝟐 ± 𝟐𝒂𝒃 + 𝒃𝟐 e</p><p>(𝒂 + 𝒃)(𝒂 − 𝒃) = 𝒂 𝟐 − 𝒃 𝟐 . Ao efectuar algumas operações de adição algébrica, o</p><p>professor deverá considerar, também, as adições algébricas de expressões</p><p>fraccionárias.</p><p>28. SEMELHANÇA DE TRIÂNGULOS</p><p>Conteúdos</p><p>1. Homotetias:</p><p>- Revisão sobre razões e proporções numéricas;</p><p>- Razão e proporções entre segmentos;</p><p>2. Semelhança de triângulos:</p><p>- Ampliação e redução de figuras planas simples;</p><p>- Noção de semelhança;</p><p>- Conceito de semelhança de triângulos;</p><p>- Critérios de semelhança de triângulos (lll; aa; lal);</p><p>- Teorema de perímetro e de áreas;</p><p>- Teorema de Thales (T. das transversais):</p><p>- Aplicações do teorema de Thales;</p><p>- Casos de semelhança de triângulos e rectângulos;</p><p>- Demonstração do teorema de Pitágoras pela semelhança de triângulos;</p><p>- Resolução de problemas práticos da vida, aplicando a semelhança de</p><p>triângulos e os teoremas de Thales e de Pitágoras;</p><p>- Relações métricas do triângulo rectângulo</p><p>Sugestões metodológicas</p><p>Nesta unidade, o professor poderá, inicialmente, orientar a sistematização dos</p><p>conteúdos sobre triângulostendo em conta o conceito, a classificação, entre</p><p>outros aspectos.</p><p>De seguida, deverá orientar a resolução de diferentes tipos de exercícios e</p><p>problemas. Os exercícios e problemas deverão incidir sobre as proporções e as</p><p>homotetias. O conceito de semelhança poderá ser introduzido através de</p><p>exemplos concretos tais como observação e análise de fotografias de</p><p>ampliações diferentes.</p><p>Os alunos devem procurar exemplos concretos fora da aula em que está</p><p>presente a semelhança. A semelhança de triângulos poderá introduzir a partir de</p><p>redução e ampliação de triângulos. Os alunos poderão relacionar osconceitos de</p><p>semelhança e proporcionalidade. Assim sendo, os exercícios a resolver deverão</p><p>incidir nestes aspectos. Depois desta actividade, o professor poderá orientar,</p><p>aos alunos, para caracterizarem pares de triângulos, de modo a facilitar a</p><p>introdução dos critérios de semelhança.</p><p>Para isso, o professor deverá coloca vários pares de triângulos semelhantes e</p><p>não semelhantes incluindo alguns congruentes com as respectivas medidas dos</p><p>Ideias Metodológicas do Ensino de Matemática – Ensino Básica e Educação de Adultos</p><p>____________________________________________________</p><p>Elaborado Por: Félix R.M. Moçambique</p><p>39</p><p>lados e dos ângulos tendo em conta os critérios de semelhança ( ℓado − ℓado −</p><p>ℓado; ℓado − ângulo − ℓado e ângulo − ângulo.).</p><p>Nesta actividade, o aluno deverá ser capaz de justificar se dois triângulos são ou</p><p>não semelhantes. Depois da demonstração dos critérios da semelhança, o</p><p>professor poderá indicar exercícios práticos da aplicação e consolidação da</p><p>semelhança de triângulos, aplicações dos teoremas de Thales, dos perímetros e</p><p>das áreas</p><p>29. EQUAÇÕES QUADRÁTICAS</p><p>Conteúdos</p><p>Noção de equação quadrática;</p><p>Lei do anulamento do produto;</p><p>Resolução de equações quadráticas:</p><p>a) Incompletas do tipo: 𝒂𝒙𝟐 = 𝟎, 𝒂𝒙𝟐 + 𝒄 = 𝟎 𝒂𝒙𝟐 + 𝒃𝒙 = 𝟎 usando a lei do</p><p>anulamento;</p><p>b) Completas do tipo: 𝒂𝒙𝟐 + 𝒃𝒙 + 𝒄 = 𝟎 , usando a lei do anulamento de</p><p>produtos; Fórmula resolvente;</p><p>c) Soma e produto de raízes da equação quadrática;</p><p>d) Factorização de um trinómio: 𝒂𝒙𝟐 + 𝒃𝒙 + 𝒄 = 𝒂(𝒙– x𝟏)(𝒙 – 𝒙𝟐); </p><p>Problemas conducentes às equações quadráticas.</p><p>Sugere-se que o professor faça revisão do conceito da equação linear, a sua</p><p>representação gráfica, assim como a identificação de diferentes tipos de</p><p>equações lineares.</p><p>A construção do conceito de equação quadrática deverá partir pela identificação</p><p>de polinómios 𝑷(𝒙) de uma variável cujo grau é 2. Depois do conceito da</p><p>equação quadrática, os alunos deverão resolver exercícios que exijam a</p><p>identificação, definição, indicação dos coeficientes, assim como explicitação do</p><p>significado dos coeficientes reais a, b e c.</p><p>A resolução de equações quadráticas deverá estar estreitamente ligada à</p><p>resolução de problemas práticos, pois a pesquisa de soluções poderá constituir</p><p>ainda uma actividade de interesse para os alunos, permitindo-lhes usar várias</p><p>técnicas e experimentaçãode vários processos,tais como,cálculo mental,</p><p>enquadramento de soluções, valores aproximados de raízes, entre outros.</p><p>O professor deverá orientar os alunos na resolução de diferentestipos de</p><p>equações quadráticas, partindo da resolução de equações que exigem a</p><p>aplicação da lei do anulamento do produto, através da factorização (pôr em</p><p>evidência o factor comum), isto é, resolver exercícios do tipo</p><p>Na resolução de equações quadráticas incompletas do tipo:</p><p>Ideias Metodológicas do Ensino de Matemática – Ensino Básica e Educação de Adultos</p><p>____________________________________________________</p><p>Elaborado Por: Félix R.M. Moçambique</p><p>40</p><p>p(x)=0; 𝒂𝒙𝟐 + 𝒃𝒙 = 𝟎, 𝒂𝒙𝟐 = 𝟎 e 𝒂𝒙𝟐 + 𝒄 = 𝟎, deve-se demonstrar aplicação dos</p><p>princípios de equivalência.</p><p>Na sistematização dos casos acima apresentados, o professor deverá explicar</p><p>aos alunos o tipo de solução que é dada a cada caso:</p><p>Na equação quadrática do tipo 𝒂𝒙𝟐 = 𝟎, a solução é única e é nula;</p><p>Na equação do tipo 𝒂𝒙𝟐 + 𝒃𝒙 = 𝟎, uma das soluções é nula e a outra é diferente</p><p>de zero;</p><p>Para 𝒂𝒙𝟐 + 𝒄 = 𝟎, a equação tem solução se o 𝒄 < 𝟎 (c- negativo) e não tem</p><p>solução se o 𝒄 > 𝟎 (c- positivo) ou seja, não tem raízes em R, porque não se</p><p>pode determinar raízes quadráticas de um número negativo.</p><p>O professor deverá, ainda, considerar exercícios em que o aluno determina</p><p>coeficientes, usando as condições que conduzem a uma equação quadrática</p><p>incompleta, apresentando exercícios similares a este: “Determina m de modo a</p><p>obter-se uma equação do 2º grau incompleta.”</p><p>𝒙𝟐 − (𝒎 + 𝟏)𝒙 + 𝟒 = 𝟎 Condição: b= 0; − (𝑚 + 1) = 0 → 𝑚 = 1 𝒙𝟐 + (𝟑𝒎 − 𝟑)𝒙 + 𝒎</p><p>= 𝟎 Condição: 𝑏 = 0 e 𝑐 = 0 3𝑚 − 3 = 0 𝑒 𝑚 = 0 → 𝑚 = 1 e 𝑚 = 0</p><p>Ao orientar a resolução deste tipo de exercício, o professor deve exigir ao aluno</p><p>que, antes de resolver a tarefa, indique para cada caso a condição em causa.</p><p>Emseguida, os alunos deverão resolver equações quadráticas completas,</p><p>aplicando a lei do anulamento do produto. São pressupostos básicos: 𝒂.𝒃 = 𝟎 se</p><p>e só se 𝒂 = 𝟎 ou 𝒃 = 𝟎.</p><p>Para a dedução da fórmula resolvente, Assim, sendo este pressuposto do</p><p>conhecimento dos alunos, a fórmula resolvente poderá ser deduzida pelos</p><p>alunos, sob orientaçãoção do professor. É, também, relevante que o professor</p><p>explique o significado do discriminante (delta), pois é o delta que determina a</p><p>natureza das raízes de uma equação quadrática.</p><p>O professor deverá levar os alunos a perceberem que, tanto na aplicação da lei</p><p>do anulamento, como na fórmula resolvente, as soluções obtidas são as</p><p>mesmas, e que a soma e o produto das raízes da equação quadrática são</p><p>algumas das aplicações da fórmula resolvente.</p><p>A resolução de problemas que envolvem equações quadráticas devem, sempre</p><p>que possível, reflectir a vida real dos alunos.</p><p>30. FUNÇÃO QUADRÁTICA</p><p>Conteúdos</p><p>- Conceito de função quadrática;</p><p>- Função do tipo 𝑦 = 𝑓(𝑥) = 𝑎𝑥2 ;</p><p>- Representação gráfica da função 𝑦 = 𝑎𝑥2 ;</p><p>- Estudo completo da função 𝑦 = 𝑎𝑥2 : domínio, contradomínio, zeros da</p><p>função, vértices da parábola, variação do sinal da função, variação da</p><p>função (monotonia) e equação do eixo da simetria;</p><p>Ideias Metodológicas do Ensino de Matemática – Ensino Básica e Educação de Adultos</p><p>____________________________________________________</p><p>Elaborado Por: Félix R.M. Moçambique</p><p>41</p><p>- Função do tipo 𝒚 = 𝒂𝒙𝟐 + 𝒄;</p><p>- Representação gráfica da função 𝒚 = 𝒂𝒙𝟐 + 𝒄, a partir de 𝒚 = 𝒂𝒙𝟐 ;</p><p>- Estudo completo da função 𝑦 = 𝑎𝑥2 + 𝑐;</p><p>- Função do tipo 𝒚 = 𝒂𝒙𝟐 + 𝒃𝒙 + 𝒄: a) Caso 𝒚 = 𝒂 (𝒙 − 𝒑)𝟐</p><p>- Representação gráfica da função 𝒚 = 𝒂 (𝒙 − 𝒑)𝟐 a partir de 𝒚 = 𝒂𝒙𝟐 ;</p><p>- Estudo completo da função 𝒚 = 𝒂 (𝒙 − 𝒑)𝟐 ; b) Caso 𝒚 = 𝒂 (𝒙 − 𝒑)𝟐 + 𝒒;</p><p>- Representação gráfica da função 𝒚 = 𝒂 (𝒙 − 𝒑)𝟐 + 𝒒 a partir de 𝒚 = 𝒂𝒙𝟐</p><p>- Estudo completo da função 𝒚 = 𝒂 (𝒙 − 𝒑) 𝟐 + 𝒒;</p><p>- Resolução de problemas práticos que envolvem funções quadráticas</p><p>Sugestões metodológicas</p><p>As funções são aplicadas no nosso dia-a-dia ou em outras esferas da ciência,</p><p>tais como, Física, Química, Bilogia, Geografia e outras. A função linear já foi</p><p>estudada na 8ª classe. Por isso, será interessante recuperar este conhecimento</p><p>como pressuposto para perceber o comportamento das funções quadráticas.</p><p>Na análise de uma função, os alunos devem identificar as propriedades</p><p>principais das funções tais como o domínio, o contradomínio, os pontos notáveis</p><p>(intersecção com os eixos de coordenadas), monotonia, simetria em relação ao</p><p>eixo dos YY e determinação das imagens de objectivos para uma dada função</p><p>de variadasformas, tabelas, gráfico ou expressão algébricas. Ao analisar o</p><p>gráfico da função, os alunos devem encontrarsituações práticas da vida real. A</p><p>partir de umgráfico de uma função quadrática, os alunos devemidentificar a</p><p>imagem, dado o número 67 e o número da sua imagem.</p><p>A representação gráfica de funções quadráticas do tipo 𝒚 = 𝒇(𝒙) = 𝒂𝒙𝟐 e 𝒚 = 𝒂𝒙𝟐</p><p>+ 𝒄; deve partir de valores inteiros do coeficiente a (positivo e negativo) para</p><p>facilitar a compreensão da influência da variação do coeficiente 𝒂 no gráfico.</p><p>O aluno deverá identificar alguns pontos notáveis no gráfico da função tais</p><p>como, o vértice que pode determinar o mínimo ou o máximo da função</p><p>quadrática, dependendo da concavidade da parábola. Para a construção do</p><p>gráfico da função 𝒚 = 𝒂𝒙𝟐 + 𝒄, será fundamental que os alunostenham presente</p><p>um pré-requisito básico que é o conceito de translação.</p><p>A resolução de exercícios deverá incidir na construção de gráficos, leitura e</p><p>interpretação de gráfico de funções quadráticas, análise de situações concretas</p><p>do dia-a-dia que se assemelham a este tipo de funções.</p><p>A pesquisa de soluções, poderá constituir ainda uma actividade de interesse</p><p>para os alunos, permitindo-lhes para usar várias técnicas e experimentação de</p><p>vários processos.</p><p>Sempre que possível, o professor deve evidenciar aplicações das funções</p><p>quadráticas com situações vivenciadas pelos alunos, bem como estabelecendo</p><p>conexões entre os diferentes temas da Matemática assim como de outras áreas</p><p>Ideias Metodológicas do Ensino de Matemática – Ensino Básica e Educação de Adultos</p><p>____________________________________________________</p><p>Elaborado Por: Félix R.M. Moçambique</p><p>42</p><p>da ciência. É importante que no final da unidade, os alunos façam a</p><p>sistematização dos casos de funções estudados, o tipo de representação</p><p>gráfica, o domínio, o contradomínio, os zeros, a variação do sinal e da função</p><p>31. INEQUAÇÕES QUADRÁTICAS</p><p>Conteúdos</p><p>1. Revisão da resolução de inequações lineares:analítica e geométrica;</p><p>2. Inequações quadráticas:</p><p>- Conceito de inequação quadrática;</p><p>- Resolução gráfica de uma inequação quadrática;</p><p>- Resolução analítica de uma inequação quadrática;</p><p>- Resolução de problemas conducentes a uma inequação quadrática.</p><p>Sugestões metodológicas</p><p>Um dos requisitos para a aprendizagem das inequações quadráticas é a</p><p>exploração dos conhecimentos que os alunos possuem das classes anteriores,</p><p>nomeadamente, resolução de equações do 1º e 2ºgraus; resolução analítica e</p><p>gráfica de inequações do 1º grau e representação da solução na recta graduada</p><p>e na forma de intervalos.</p><p>Para a introdução das inequações quadráticas, sugere-se que se faça a</p><p>problematização do tema para motivar e criar curiosidade nos alunos. Assim, o</p><p>professor poderá encontrar problemas concretos, similares ao que se segue,</p><p>que conduzam a uma inequação quadrática: “sabe-se que o custo de produção</p><p>de x unidades de um certo bem é dado em MT, pela expressão 𝒚 = 𝒙𝟐 − 𝟖𝟎𝒙 +</p><p>𝟑𝟎𝟎𝟎.</p><p>Determine os níveis de produção cujo custo seja inferior a 𝟒𝟎𝟎𝟎𝑴𝑻. A partir</p><p>desta problematização, o professor poderá começar o estudo das inequações</p><p>quadráticas, onde os alunos vão reflectir sobre o problema e, na tentativa de</p><p>encontrar a sua solução, irão construir o conceito de uma inequação quadrática.</p><p>O professor deverá chamar atenção aos alunos sobre os métodos já conhecidos</p><p>de resolução de inequações, o método analítico e gráfico, pois são válidos na</p><p>resolução de inequações quadráticas.</p><p>Na resolução analítica, o professor deverá, primeiro, orientar os alunos a</p><p>factorizá-la, calculando as raízes, construindo uma tabela, similar a que se</p><p>segue, na qual irá representar cada factor correspondente da expressão</p><p>quadrática. 𝒙𝟐 – 𝟔𝒙 + 𝟓 < 0</p><p>x ] − ∞; 1[ ] 1; 5[ ] 5; +∞[</p><p>(x–1) – + +</p><p>(x–5) – – +</p><p>(x–1)(x–5) + – +</p><p>(x–1)(x–5)<0 ></p><p>></p><p>Ideias Metodológicas do Ensino de Matemática – Ensino Básica e Educação de Adultos</p><p>____________________________________________________</p><p>Elaborado Por: Félix R.M. Moçambique</p><p>43</p><p>Neste caso, os alunos devem escolher como solução, a porção onde o produto</p><p>dos dois sinais é negativo, segundo o sentido da inequação. Para clarificar a</p><p>solução, 69 os alunos deverão resolver a mesma inequação, mas com sentido</p><p>contrário (>). Para a resolução gráfica de uma inequação através do gráfico, o</p><p>professor deverá orientar os alunos a resolverem exercícios que exigem o</p><p>estudo da variação do sinal da função quadrática em que 𝒂 > 𝟎 ou 𝒂 < 𝟎.</p><p>Convém assinalar que não se trata de construção gráfica, mas sim do esboço de</p><p>uma parábola, obedecendo os casos acima referidos. Para a inequação acima</p><p>referenciada, o procedimento será determinar as raízes da equação quadrática</p><p>e, em seguida, esboçar o gráfico da função quadrática correspondente. Várias</p><p>são as aplicações das inequações quadrática na vida do Homem. Assim, o</p><p>professor poderá explorar situações concretas d e aplicação na Física, Química</p><p>e outras disciplinas, bem como da vidareal, através de trabalhos feitos pelos</p><p>alunos e com os quais se podem criar debates nas nas aulas.</p><p>Falta o gráfico</p><p>32. ESTATÍSTICA BÁSICA</p><p>Conteúdos</p><p>- Noções elementares de estatística:</p><p>- Objecto da Estatística e breve nota histórica sobre a evolução desta ciência</p><p>na vida moderna;</p><p>- Conceito população, amostra, variáveis (qualitativas e quantitativas)</p><p>- Recolha, organização e registo de dados em tabelas</p><p>- Frequência absoluta e relativa para dados simples;</p><p>- Tabelas de frequências (absoluta e relativa, percentual e acumulada);</p><p>- Gráfico de barras, circular, linhas e histograma</p><p>- Interpretação de tabelas e gráficos</p><p>- Cálculo de média aritmética, moda e mediana</p><p>- Pictograma.</p><p>Sugestões metodológicas</p><p>Sugere-se que o formador/professor</p><p>faça a revisão dos conceitos básicos de estatística, usando exemplos que</p><p>descrevem situações relacionadas com o quotidiano do aluno, procurando</p><p>sempre destacar a diferença que existe entre a população e amostra, bem como</p><p>a distinção das variáveis qualitativas e quantitativas e apresentar tabelas ou</p><p>gráficos e levar ao formando a interpretar.</p><p>Poderá construir um pequeno problema, usando elementos da própria turma.</p><p>Propõe-se também que o formador detalhe em situações simples e os</p><p>problemas devem ser possiveis, estar próximo da realidade do formando.</p><p>A seguir, é preciso mostrar ao formando como se recolhe dados e como se</p><p>constroi um gráfico de barra ou de linha.</p><p>Ideias Metodológicas do Ensino de Matemática – Ensino Básica e Educação de Adultos</p><p>____________________________________________________</p><p>Elaborado Por: Félix R.M. Moçambique</p><p>44</p><p>Para definir e mostrar a tabela de frequência relativa, sugere-se que se use a</p><p>recolha e organização de dados feitos pelos alunos na definição de frequência</p><p>absoluta. É importante que os alunos compreendam o significado bem como a</p><p>diferença dos conceitos de frequência absoluta e frequência relativa.</p><p>Esta forma de abordagem é válida para a introdução da frequência acumulada, a</p><p>qual deverá partir do cálculo das frequências absolutas e relativa.</p><p>Como forma de exercitar os alunos, o professor deverá colocar exercícios</p><p>diversificados que envolvem o cálculo e preenchimento de tabelas de</p><p>frequências absoluta, relativa e acumulada.</p><p>Os conceitos de valor médio e moda não são novos para os alunos. Entretanto,</p><p>podem ser consolidados e aprofundados na base de exemplos concretos,</p><p>solicitando os alunos a calcularem a média dassuas notas, a média da idade dos</p><p>alunos da turma, entre outros, e determinar o valor mais frequente (moda).</p><p>A mediana é um conceito novo para os alunos, pelo quese recomendam</p><p>exemplos na sua abordagem, para facilitar a sua compreensão. É importante</p><p>fazer referência aos dois casos, em que 𝒏 é par ou ímpar.</p><p>Em relação aos gráficos, os alunos têm duas actividades fundamentais:</p><p>Construir pictogramas, gráficos de barras e circulares, usando dados</p><p>organizados em tabelas e interpretar a informação dada através de pictogramas,</p><p>gráficos de barra e circulares. Importa referir que este conteúdo oferece</p><p>excelentes oportunidades para promover a interdisciplinaridade e trabalhos em</p><p>grupos. Por isso, os exemplos que forem usados no tratamento dos diversos</p><p>conceitos desta unidade, devem reflectir situações relacionadas com saúde,</p><p>doenças endémicas numa determinada aldeia, meio ambiente,sexualidade e</p><p>outras.</p><p>Oprofessor deverá chamar atenção sobre determinados comportamentos, como</p><p>forma de eliminar certas práticas negativas. O aluno deverá apresentar</p><p>conclusõessobre diferentesfenómenos naturais e sociais, a partir da</p><p>interpretação de informações representadas em tabelas ou gráficos.</p><p>33. COMO ORIENTAÇÃO DE UMA LIÇÃO DE MATEMÁTICA</p><p>Uma lição de Matemática, do ponto de vista do cumprimento dos seus objectivos</p><p>pode ser do seguinte tipo:</p><p>a) Inicial – introdução de cada tema.</p><p>b) Tratamento da nova matéria- destina-se à aprendizagem de conteúdos</p><p>novos;</p><p>c) Consolidação – destina-se à consolidação dos conhecimentos adquiridos;</p><p>Ideias Metodológicas do Ensino de Matemática – Ensino Básica e Educação de Adultos</p><p>____________________________________________________</p><p>Elaborado Por: Félix R.M. Moçambique</p><p>45</p><p>d) Revisão – serve para recordar determinados conteúdos do programa;</p><p>e) Verificação – serve para averiguar conhecimentos adquiridos;</p><p>f) Sistematização, serve para fixar os conhecimentos, procedimentos,</p><p>algoritmos de solução, construções geométricas, etc. A sistematização pode</p><p>ser feita através da consolidação, revisão ou verificação</p><p>Na preparação de uma aula inicial, o professor deve estudar cuidadosamente o</p><p>programa de ensino, a dosificação do tema, livro do aluno e do professor, o</p><p>conteúdo que vai leccionar, outros documentos educacionais, para evitar</p><p>possíveis embaraços e/ou introduzir noções incorrectas aos alunos, pensar nos</p><p>meios de ensino que vai empregar e nas situações problemáticas que deverá</p><p>propor.</p><p>Os passos fundamentais para aulas inicias são:</p><p>- Motivação – despertar interesse nos alunos – preparação psicológica e</p><p>preparação pedagógica;</p><p>- Pré-requisitos- conhecimento inicial dos alunos relacionado com o</p><p>conteúdo a desenvolver.</p><p>- Proposição de uma situação problemática;</p><p>- Analise das diferentes estratégias de resolução da situação problemática</p><p>apresentada.</p><p>- Elaboração do novo conteúdo.</p><p>- Verificação e consolidação da lição pela proposição de outros problemas.</p><p>Uma lição de revisão pode incidir sobre uma determinada matéria já dada num</p><p>determinado período, ou dia.</p><p>As lições de Verificação constituem um balanço da actividade do professor e do</p><p>aluno. Elas, vão dar indicativos sobre o aproveitamento dos alunos e também</p><p>permite a auto-avaliação do professor.</p><p>Nas primeiras classes, sempre que possível, a aprendizagem, deve ser</p><p>efectuada com base em jogos, em particular para a assimilação da tabuada cuja</p><p>fixação é enfadonha. Por isso, o seu ensino deve partir de objectos concretos</p><p>para facilitar a compreensão da criança Por exemplo: ♥ ♥ -- ♥♥ -- ♥♥ temos 2</p><p>corações 3 vezes = 6 ou seja 3 X 2 = 6.</p><p>34. AVALIAÇÃO</p><p>A avaliação deve ser conduzida em função dos objectivos que se pretende</p><p>alcançar em cada unidade temática, classe ou nível de ensino.</p><p>A avaliação na disciplina de Matemática pode proceder-se da seguinte forma:</p><p>Tipo de avaliação e questões a propor</p><p>Diagnóstico</p><p>O que é que o aluno compreende sobre o conceito ou conteúdo?</p><p>Quais os aspectos dos conteúdos que criam problemas?</p><p>Ideias Metodológicas do Ensino de Matemática – Ensino Básica e Educação de Adultos</p><p>____________________________________________________</p><p>Elaborado Por: Félix R.M. Moçambique</p><p>46</p><p>Objecto de avaliação: Aluno individual</p><p>Forma de avaliação: Actividade dirigida a uma capacidade específica, tipo de</p><p>procedimentos, conceitos, estratégias ou um tipo de raciocínio</p><p>Método de avaliação: Observação; Questão oral que levem o aluno a explicar</p><p>os seus procedimentos;</p><p>Testes escritos;</p><p>Perguntas directas</p><p>Reflexão sobre o ensino</p><p>O que é que os alunos sabem sobre a matéria apresentada?</p><p>Os alunos são capazes de aplicar o que aprenderam em novas situações?</p><p>Os alunos compreendem as conexões entre ideias?</p><p>O ritmo da apresentação dos conteúdos é pertinente?</p><p>A turma precisa de revisões mais intensiva ou que questões são mais</p><p>desafiadoras?</p><p>Objecto de avaliação: Turma</p><p>Forma de avaliação: Actividades que requeiram integração de conhecimentos;</p><p>Actividades que cubram um conjunto de capacidades, conceitos e</p><p>procedimentos;</p><p>Actividades que requeiram a aplicação da aprendizagem em novas situações;</p><p>Actividades que privilegiam o raciocínio;</p><p>Actividades que apresentam matéria em forma e contextos diversificados</p><p>Método de avaliação: Testes escritos; Trabalhos de casa e Trabalhos em grupo</p><p>Classificação</p><p>Até que ponto o aluno compreendeu ou integrou a matéria?</p><p>Será que os alunos são capazes de aplicar o que aprenderam em novas</p><p>situações?</p><p>Até que ponto o aluno está preparado para transitar de classe?</p><p>Objecto de avaliação: Aluno individual</p><p>Forma de avaliação: Actividades que requerem a integração da matéria</p><p>ensinada;</p><p>Actividades interessantes e desafiados para o aluno;</p><p>Actividades que requeiram que o aluno estruture a matéria e crie soluções tanto</p><p>em contexto como em matemática</p><p>Método de avaliação: Testes escritos e orais</p><p>Ideias Metodológicas do Ensino de Matemática – Ensino Básica e Educação de Adultos</p><p>____________________________________________________</p><p>Elaborado Por: Félix R.M. Moçambique</p><p>47</p><p>35. Aproveitamento Geral em Matemática</p><p>Qual é a capacidade, no geral, de cada aluno em matemática?</p><p>Objecto de avaliação: Aluno individualmente</p><p>– Actividades com um elevado índice de fiabilidade para discriminarem no</p><p>máximo os alunos.</p><p>Método de avaliação: Testes</p><p>Se o professor verifica que a maior parte dos alunos revelam fraco domínio dos</p><p>conteúdos é porque as estratégias utilizadas não foram as mais adequadas. Por</p><p>isso, o professor deve transmitir novamente os mesmos conteúdos adoptando</p><p>novas estratégias, como se de uma aula inicial se tratasse.</p><p>O resultado do desempenho dos alunos é o espelho da actividade docente. O</p><p>professor deve avaliar cada aula que lecciona, meditando sobre os seguintes</p><p>aspectos: motivação, encadeamento dos conteúdos, adequação dos</p><p>exercícios, interesse e se os alunos estavam sempre activos, uso</p><p>adequado do tempo, resultados colhidos pelos alunos, o que deve fazer</p><p>futuramente</p><p>É recomendado que o professor avalie os alunos no início do ano para recolher</p><p>informações sobre o nível das habilidades e capacidades adquiridas no ano</p><p>anterior. Os resultados obtidos nessa avaliação servem de base para a</p><p>planificação de suas aulas.</p><p>A avaliação na disciplina de Matemática deve incidir sobre os seguintes</p><p>aspectos:</p><p>- Desempenho dos alunos na aquisição de conceitos;</p><p>- No domínio dos conteúdos,</p><p>- No desenvolvimento de atitudes.</p><p>O professor deve sempre analisar com os alunos os erros que eles cometem e</p><p>tentar superá-los.</p><p>Importa que a avaliação seja um processo contínuo. O professor deve elogiar o</p><p>aluno aplicado e saber corrigir e motivar os menos capazes de modo a elevar o</p><p>seu desempenho.</p><p>Fazer testes para atribuir uma nota é uma das formas mais comuns de</p><p>avaliação. Mas, avaliar é uma tarefa muito mais abrangente, destinada a</p><p>determinar o que os alunos sabem, como pensam sobre a Matemática. A</p><p>avaliação deve fornecer informações seguras sobre o processo de</p><p>aprendizagem dos alunos, constituindo assim uma base para melhorar a</p><p>qualidade de ensino.</p><p>Quando os objectivos educacionais se restringem a aplicação de procedimento</p><p>matemáticos, fórmulas matemáticas, etc, os testes escritos (convencionais) dão</p><p>Ideias Metodológicas do Ensino de Matemática – Ensino Básica e Educação de Adultos</p><p>____________________________________________________</p><p>Elaborado Por: Félix R.M. Moçambique</p><p>48</p><p>nos apenas uma ideia do desempenho do aluno e à medida que os objectivos se</p><p>vão tornando mais amplos esta medida de avaliação mostra-se ineficiente</p><p>porque a avaliação deve fazer muito mais do que um teste escrito.</p><p>De acordo com Matos, e Serrazina, 1996 (pp), a avaliação, deve regular as</p><p>acções de todos os participantes na situação de aprendizagem. Os mesmos</p><p>autores, adianta que os principais usos de informação da avaliação para</p><p>melhorar o ensino e consequentemente a acção pedagógica são:</p><p>- Melhorar o ensino ao identificar as origens específicas do erro de um</p><p>aluno que requer remediação ou aos comportamentos de aprendizagem</p><p>específicas que podem necessitar de ser encorajados e desenvolvidos ou</p><p>desencorajados e substituídos;</p><p>- Melhorar o ensino ao identificar aquelas estratégias de ensino que têm</p><p>mais sucesso;</p><p>- Informar ao aluno dos seus pontos fortes e fracos, quer no conhecimento,</p><p>quer nas estratégias de aprendizagem, de forma que estratégias mais</p><p>eficazes possam ser aplicadas onde forem mais necessárias;</p><p>- Informar os processos subsequentes das competências do aluno, de</p><p>modo que possam prontamente adaptar o seu ensino às necessidades</p><p>dos alunos;</p><p>- Informar aos pais do progresso do seu filho, de modo que eles possam</p><p>dar um apoio mais eficaz.</p><p>Importa referir que as orientações que constam neste programa devem ser</p><p>vistas sob forma de sugestões com a perspectiva de contribuir para melhorar a</p><p>tarefa do professor na sala de aulas.</p><p>Assim, apelamos que o professor/formador na sua prática docente, tenha em</p><p>conta o seguinte:</p><p>- Ser criativo;</p><p>- Preparar com antecedência os temas;</p><p>- Fazer um plano de lição;</p><p>- Nunca improvisar as aulas;</p><p>- Pensar nos meios de ensino para si e para os alunos;</p><p>- Certificar-se que os alunos estão atentos;</p><p>- Manter os alunos motivados no decurso das aulas;</p><p>- Saber aproveitar as ideias dos alunos;</p><p>- Manter sempre um bom relacionamento com os alunos;</p><p>- Estar sempre bem-humorado;</p><p>- Chamar os alunos pelos nomes;</p><p>- Aproximar sempre o ensino à realidade;</p><p>- Exigir sempre respostas completas e correctas dos alunos;</p><p>- Fazer primeiro a pergunta e depois indicar o aluno que vai responder.</p><p>36. Sobre os erros cometidos pelos alunos</p><p>Ideias Metodológicas do Ensino de Matemática – Ensino Básica e Educação de Adultos</p><p>____________________________________________________</p><p>Elaborado Por: Félix R.M. Moçambique</p><p>49</p><p>Durante as aulas de metodologia de ensino da Matemática, os formando devem</p><p>ter a oportunidade de discutir os erros que os alunos cometem em Matemática.</p><p>A questão do erro na aprendizagem, principalmente na escola, não tem sido</p><p>tomada em consideração por muitos professores. Para muitos professores, o</p><p>exercício ou está certo ou está errado.</p><p>Para estes professores o erro deve ser combatido a todo o custo. Esta visão,</p><p>segundo sustentam Manhiça e Fumo, é defendida pela pedagogia tradicional.</p><p>A visão construtivista, de acordo com os mesmos autores, defende “o direito ao</p><p>erro” que o aluno tem, pois, o erro é tido como um revelador dum saber em</p><p>construção e necessário à aprendizagem.</p><p>Portanto, no processo de construção de conhecimento, os erros são</p><p>fundamentais para que as crianças possam aprender com eles e poder corrigi-</p><p>los ou seja os erros são fundamentais na tentativa de melhorar os</p><p>procedimentos, pois a acção é modificada de acordo com o resultado.</p><p>A pedagogia moderna ou seja a pedagogia construtivista, defende que o erro é</p><p>revelador de uma aprendizagem em formação, devendo portanto o professor</p><p>através de discussão com os alunos, saber como contribuir para ultrapassá-los.</p><p>Se for feita uma análise mais cuidada dos erros cometidos pelos alunos, poder-</p><p>se-a concluir que de certa maneira os alunos mostram possuírem algum</p><p>conhecimento que não é devidamente explorado pelo professor. É necessário</p><p>que o professor promova a aprendizagem partindo do conhecimento que o aluno</p><p>tem.</p><p>Os professores devem criar nos alunos mais hábitos de analisarem os</p><p>resultados em função do tipo de exercício apresentado e seus dados. Esta</p><p>situação, deve ser explorada a partir da sua formação.</p><p>Tipo de erros cometidos (alguns exemplos)</p><p>Entre vários erros que se cometem em cálculos, alguns tipos de erro, podem</p><p>advir de:</p><p>- Falta de conhecimentos</p><p>falta, por exemplo de procedimentos da adição</p><p>com transporte;</p><p>- Falta do domínio dos conceitos de adição e da subtracção. Os alunos</p><p>confundem a subtracção da adição e noutras vezes usam as duas</p><p>operações simultaneamente. Portanto não sabem quando adicionar e</p><p>quando subtraírem;</p><p>- Contagem deficiente de objectos concretos nomeadamente dedos,</p><p>pauzinhos e tracinhos;</p><p>- Ausência de consciência de que a operação inversa joga um papel</p><p>preponderante no cálculo mental e que esta estratégia já é um</p><p>pressuposto muito importante para a resolução de equações elementares.</p><p>Ideias Metodológicas do Ensino de Matemática – Ensino Básica e Educação de Adultos</p><p>____________________________________________________</p><p>Elaborado Por: Félix R.M. Moçambique</p><p>50</p><p>Bibliografia</p><p>Matemática, Actividades Preliminares de Matemática – O Desenvolvimento</p><p>dos Conceito de Número, Medição e Geometria – Nampula.</p><p>Equipa de Formação em (1998) – Módulo 2 (2º ciclo de Formação) –</p><p>Matemática, – Resolução de Problemas – as operações – Adição e</p><p>Subtracção – Nampula.</p><p>Gloria Manhiça e Castigo W. Fumo, (1998)- Mutumi-Revista do Professor nº 5</p><p>Beira-Moçambique.</p><p>Matos, José Manuel at al (1996) - Didáctica da Matemática, Universidade</p><p>Aberta-Lisboa.</p><p>INDE; (2003). Programas do 1º, 2º e 3º Ciclos; Maputo.</p><p>INDE; (S/D). Proposta de Programa de Didáctica de Matemática do curso de</p><p>10+2.</p><p>INDE; (2005). Manual de Didáctica de Matemática; Maputo.</p><p>INDE; (2005). Programa do Ensino de Matemática.</p><p>Ideias Metodológicas do Ensino de Matemática – Ensino Básica e Educação de Adultos</p><p>____________________________________________________</p><p>Elaborado Por: Félix R.M. Moçambique</p><p>51</p><p>INDE; (2005). Programa de Metodologia de Matemática 2005;</p><p>INDE; (2018). Língua Portuguesa, Matemática e Educação Física 1º Ciclo (1ª, 2ª</p><p>e 3ª Classes).</p><p>INDE; (2019). Programas do Ensino Primário Língua Portuguesa, Matemática,</p><p>Ciências Naturais, Ciências Sociais, Educação Visual e Ofícios e Educação</p><p>Física 2ºCiclo.</p><p>Carvalho, Dione Lucchesi, (1994) - Metodologia do Ensino da Matemática.</p><p>2ª Edição – São Paulo- Brasil.</p><p>Equipa de Formação em (1998) – Módulo 1 (2º ciclo de Formação) –</p><p>Matemática, Actividades Preliminares de Matemática – O Desenvolvimento</p><p>dos Conceito de Número, Medição e Geometria – Nampula.</p><p>Equipa de Formação em (1998) – Módulo 2 (2º ciclo de Formação) –</p><p>Matemática, – Resolução de Problemas – as operações – Adição e</p><p>Subtracção – Nampula.</p><p>Equipa de Formação em (1998) – Módulo 3 (2º ciclo de Formação) –</p><p>Matemática, Resolução de Problemas – as operações – Multiplicação e</p><p>Divisão –– Nampula.</p><p>Loureiro, Cristina et al (1997) - Matematizando – Livro de Exercícios, vol 5, Texto</p><p>Editora – Lisboa.</p><p>Loureiro, Cristina et al (1997)– Matematizando – Livro do Professor, vol 5, Texto</p><p>Editora – Lisboa.</p><p>outras disciplinas</p><p>(conteúdos ligados a interdisciplinaridade)</p><p>3. HISTÓRIA E ORIGEM DOS NÚMEROS</p><p>Conteúdos</p><p>- Diferentes conceitos de números, ou diferentes maneiras de uso de números;</p><p>- Tipos de contagem (abreviada um a um e verbal);</p><p>- Sistema de numeracão verbal nas línguas nacionais;</p><p>- Leitura e escrita de números romanos;</p><p>- A relação entre os números romanos e árabes;</p><p>Com esta unidade pretende-se que o professor tenha bases sobre a origem dos</p><p>números naturais a partir de objectos concretos seleccionados.</p><p>Os números naturais, sob ponto de vista histórico, foram os primeiros a ser</p><p>usados pelo Homem, desde os tempos mais remotos. Houve necessidade de</p><p>Ideias Metodológicas do Ensino de Matemática – Ensino Básica e Educação de Adultos</p><p>____________________________________________________</p><p>Elaborado Por: Félix R.M. Moçambique</p><p>5</p><p>contar o número de animais, o número de produtos, por exemplo na área Agro-</p><p>pecuária, etc. Ainda hoje, podemos encontrar tribos primitivas que o conceito de</p><p>número está pouco desenvolvido.</p><p>A ideia de número natural não é um produto puro de pensamento independente</p><p>das experiências, os homens não adquiraram primeiro os números naturais para</p><p>depois contarem, pelo contrário, os números foram aparecendo pela prática</p><p>diária através da contagem de objectos.</p><p>Segundo os conteúdos desta unidade temos:</p><p>a) Diferentes conceitos de números</p><p>- Números cardinais – exp: o formador poderá seleccionar diferentes</p><p>conjuntos com 3 elementos cada, independetemente da sua cor e forma</p><p>- Números ordinais</p><p>- Números de contagem (verbalística)</p><p>- Números como uma identificação. Exp: Matrícula de um carro.</p><p>b)Contagem</p><p>- Contagem de objectos</p><p>- Formas e tipos de contagens</p><p>- Contagem abreviada (p.e. 2 em 2,...)</p><p>- Contagem de subitagem - que consiste em determinar o número de</p><p>objectos sem contá-los</p><p>- Contagem verbal</p><p>c) Numeraçáo romana</p><p>Na vida real tem observado a aplicação de numeração romana em diferentes</p><p>objectos ou materiais, tais como relógios.</p><p>O futuro professor deve saber que aprendizagem da escrita dos números</p><p>romanos pelos alunos é importante. Por isso, recomenda-se que haja um</p><p>tratamento cuidadoso destes com os números árabes.</p><p>Na numeração Romana, o professor deve explicar aos alunos que a numeração</p><p>romana não é um sistema com grande uso nos nossos dias, mas aparece em</p><p>muitas inscrições antigas em algumas casa, em relógios e na leitura dos</p><p>séculos, dentre outras.</p><p>A aprendizagem do sistema de numeração romana vem depois dos alunos</p><p>terem adquirido domínio na contagem e escrita dos números árabes.</p><p>O Orofessor deve conhecer as regras para a escrita dos números romanos.</p><p>Estas regras deverão ser ensinadas pelo formador.</p><p>As regras são:</p><p>- Os símbolos I, X , C e M só se repetem 3 vezes;</p><p>- Os símbolos V e L não se repetem;</p><p>Ideias Metodológicas do Ensino de Matemática – Ensino Básica e Educação de Adultos</p><p>____________________________________________________</p><p>Elaborado Por: Félix R.M. Moçambique</p><p>6</p><p>- Os símbolos I e X colocam-se à esquerda de outros símbolos de maior valor</p><p>para representar a diferença entre eles. Por exemplo: IX significa 9, XL</p><p>significa 40, XC significa 90, etc.</p><p>- Os símbolos I e X colocam-se à direita de outros símbolos de maior valor</p><p>para representar a soma entre eles. Por exemplo: XI significa 11, LX significa</p><p>60, CL significa 150, etc.</p><p>Sugere-se que a elaboração (contagem, leitura e escrita) seja feita de forma</p><p>faseada isto é, primeiro até o limite 20. Só depois de ter a garantia de que os</p><p>formandos perceberam, poderá avançar para outros limites.</p><p>O professor em conjunto com os formandos/alunos deverá identificar as bases</p><p>de numeração e de cálculo das línguas nacionais</p><p>Consulte o Manual “ Didáctica de Matemática, INDE, 2005”</p><p>4. VOCABULÁRIO BÁSICO</p><p>O tratamento do vocabulário básico aborda como conteúdo:</p><p>- Noções de quantidade</p><p>- Noções de tamanho</p><p>- Noções de posição</p><p>- Noções de distância</p><p>- Noções de direcção e sentido</p><p>- Noções de peso</p><p>Para o estudo desta unidade, o professor deve orientar os formandos/alunos a</p><p>tomar em conta o tratamento desta unidade na 1ª classe, pois serve de base</p><p>para a compreensão dos conceitos matemáticos, em particilar os números</p><p>naturais e, por outro lado permite a familiarização das crianças com as</p><p>grandezas e noções dec espaço e forma nas primeiras semanas de escola, uma</p><p>vez que a maior parte delas têm como uma língua materna de origem Bantu.</p><p>Para esta unidade, consulte o manual do professor da 1ª classe do novo</p><p>curriculo</p><p>5. NÚMEROS NATURAIS E OPERAÇÕES</p><p>Conteúdos</p><p>- Leitura e escrita dos números naturais</p><p>- Comparação e ordenação dos números naturais</p><p>- Contagem progressiva e regressiva</p><p>- Adição e subtracção dos números naturais</p><p>Ideias Metodológicas do Ensino de Matemática – Ensino Básica e Educação de Adultos</p><p>____________________________________________________</p><p>Elaborado Por: Félix R.M. Moçambique</p><p>7</p><p>- Noção de unidade, dezena</p><p>- Subtracção como operação inversa da adição</p><p>- Decomposição e composição de números naturais</p><p>- Leitura e escrita dos números ordinais</p><p>- Representação de números na semi-recta graduada</p><p>- Números pares e ímpares</p><p>- Procedimentos escritos da adição e subtracção</p><p>- Noção de multiplicação (multiplicação por 2,3,4,5 e 10)</p><p>- Noção de divisão</p><p>- A divisão como operação inversa da multiplicação</p><p>- Propriedades da multiplicação</p><p>- Expressões numéricas</p><p>- Múltiplos de um número</p><p>- Procedimento escrito da multiplicação e divisão</p><p>- Valor aproximado e aplicação no cálculo das operações</p><p>O formador/professor deve orientar o futuro professor/aluno a conhecer as</p><p>principais etapas de introdução dos primeiros números naturais, cuja base do</p><p>seu tratamento é vocabulário básico. Exemplos: muito-pouco; mais-menos e</p><p>outros e uso de material concretizador</p><p>A introdução desses números faz-se por etapas:</p><p>- 1 à 5</p><p>- 6 à 9</p><p>- 0</p><p>Os números de 10 à 20 podem ser introduzidos de duas formas:</p><p>a) Manter a base 10 e adicionar sucessivamente os dígitos (1 a 9)</p><p>Exemplo: 10 + 1 = 11; 10 + 2=12; 10 + 3=13;..... 10 + 10 =20</p><p>b) Manter a unidade</p><p>Exemplo: 10 + 1 = 11; 11 + 1=12; 12 + 1=13; ..... 19 + 1 =20</p><p>Cabe ao formador/professor a escolha do melhor caminho, mas atendendo que</p><p>é preciso manter a noção de dezena nos aludos.</p><p>Mas o procedimento da alínea a) pode ser vantajoso porque permite que os</p><p>alunos obtenham primeiros conhecimentos sobre os múltiplos de 10 para</p><p>formação, por exemplo, dos números naturais até 50.</p><p>10 + 10 = 20; 20 + 10= 30; 30 + 10 = 40 e 40 + 10 = 50.</p><p>E na decomposição de números naturais em dezena e unidades para auxiliar o</p><p>cálculo de operações. Por exempo: 34 + 23 = 30 + 4 + 20 + 3= 30 +20 + 4 +</p><p>3=50 + 7</p><p>O ensino dos números naturais de 50 a 100 procede-se da mesma maneira que</p><p>de 20 a 50. Portanto formar os múltiplos de 10 até 100.</p><p>Ideias Metodológicas do Ensino de Matemática – Ensino Básica e Educação de Adultos</p><p>____________________________________________________</p><p>Elaborado Por: Félix R.M. Moçambique</p><p>8</p><p>A contagem progressiva e regressiva deve ser exercitada sempre que possível</p><p>nos primeiros 5 a 10 minutos de cada aula, para preparar os alunos a calcular as</p><p>operações de adição e subtracção respectivamente.</p><p>Procedimentos escritos de adição e subtracção</p><p>As estratégias de cálculo bem como os procedimentos de cálculo básicas devem</p><p>ser presentes e sistematizados.</p><p>É preciso ter em conta as fases dos procedimentos escritos da Adição e</p><p>Subtraçao:</p><p>- Adição sem tranporte (sem passagem), com trasporte nas unidedes e</p><p>com transporte nas unidades e desenas;</p><p>- Subtraçao sem emprestimo, com empréstimo nas nas dezenas, com</p><p>empréstimo nas dezenas e centenas.</p><p>Multiplicação</p><p>A Introdução da multiplicação na deve ser compreendida como sendo a adição</p><p>sucessiva de parcelas iguais:</p><p>Exemplo: 3 + 3 + 3 + 3= 4 x 3 = 12 ou 4 + 4 +4 = 3 x 4 = 12</p><p>O formando deve comprrender que apesar de produto ser igual, em termos</p><p>práticos</p><p>as operações 4 x 3 e 4 x 3 representam movimentos ou acções</p><p>diferentes.</p><p>Em 4 x 3, reporta que o factor 3 repete-se 4 vezes e a operação 3 x 4, quer dezir</p><p>que o factor 4 repete-se três vezes.</p><p>Divisão</p><p>A Introdução da divisão pode ser tratada pelo método de subtracção sucessiva.</p><p>Exemplo: 12: 3=</p><p>O Luis tem 12 bananas. Ele quer oferecer aos seus 3 amigos. Quantas bananas</p><p>vão receber cada um.</p><p>Aqui, e de forma prática pode-se pegar nas 12 bananas e distribuir aos 3 amigos</p><p>uma a uma para ver quantas bananas que cada um irá receber;</p><p>Ou usar a subtraçao sucessiva de 3 nas 12 bananas, como:</p><p>12 – 3 = 9; 9 – 3 = 6; 6 – 3 = 3; 3 – 3 = 0</p><p>Então, 12: 3 = 4 porque 4 x 3 = 12</p><p> Cada um vai receber 4 bananas.</p><p>Outros exemplos análogos podem ser tratados para consolidar o conceito de</p><p>divisão.</p><p>O formador deve orientar ao futuro professor para que faça a exercitação da</p><p>operação ensinada e sistematizar a estratégias da sua introdução.</p><p>6. CÁLCULO MENTAL</p><p>Ideias Metodológicas do Ensino de Matemática – Ensino Básica e Educação de Adultos</p><p>____________________________________________________</p><p>Elaborado Por: Félix R.M. Moçambique</p><p>9</p><p>O cálculo mental, constitui a base do cálculo aritmético que se usa no dia-a-dia.</p><p>Calculo Mental é quando alguém encontra um procedimento (caminho) fiável</p><p>para chegar a solução sem o uso de instrumentos como tracinhos, pauzinhos ou</p><p>dedos, ou sem registos escritos para efectuar a operação.</p><p> Importa realçar que o cálculo mental exerce um papel preponderante no uso</p><p>de algoritmo dai que seja pertinente que haja uma necessidade de se introduzir</p><p>nos cursos de formação de professores e na disciplina de didáctica orientações</p><p>aos formadores para treinamento dos futuros professores em técnicas e</p><p>estratégias de desenvolvimento do cálculo mental nas aulas que irão leccionar</p><p>apois a formação</p><p>O cálculo mental na adição e subtracção é uma parte muito importante no</p><p>ensino de Matemática, devido à sua relevância na vida diária e provavelmente</p><p>constitui um conteúdo mais importante que o uso do algoritmo, porque</p><p>desenvolve o raciocínio, porque obriga a criança a pensar nas várias</p><p>possibilidades (estratégias) para encontrar o resultado.</p><p>Quando o aluno está a pensar no melhor caminho de resolução de um exercício,</p><p>isso estimula-lhe o raciocínio.</p><p>Assim, sugerimos ao formador/professor que:</p><p>1. Seleccione dentre as diferentes estratégias de cálculo mental as mais</p><p>acessíveis à realidade dos alunos;</p><p>2. Prepare com os seus formandos/alunos o material necessário para a</p><p>aplicação das estratégias seleccionadas de cálculo mental;</p><p>3. Prepare os formandos/alunos sobre a importância de se desenvolver</p><p>habilidades de cálculo mental na sala de aula;</p><p>É importante que a capacidade de calcular mentalmente, seja introduzida logo</p><p>nos primeiros anos de escolarização, usando estratégias que levem os alunos a</p><p>compreender o sentido, a necessidades e a importância do cálculo mental na</p><p>vida.</p><p>O cálculo mental deve ser ensinado nas escolas por várias razões, onde se</p><p>pode destacar as seguintes:</p><p>1. Ajuda aos alunos a desenvolverem as suas próprias técnicas de cálculo e</p><p>não ficam limitados a um único processo.</p><p>2. Estimula a compreensão do sistema de numeração. Por exemplo quem</p><p>decompõe 123 em 100 + 20 + 3, o que permite a compreensão do princípio</p><p>aditivo e o valor posicional do sistema de numeração.</p><p>3. Proporciona maior desenvolvimento do raciocínio do que o algoritmo</p><p>mecanizado;</p><p>4. Prepara a construção do próprio algoritmo;</p><p>5. Usa-se com mais frequência no dia-a-dia</p><p>Ideias Metodológicas do Ensino de Matemática – Ensino Básica e Educação de Adultos</p><p>____________________________________________________</p><p>Elaborado Por: Félix R.M. Moçambique</p><p>10</p><p>As crianças que são estimuladas a efectuar cálculo mental demonstram, em</p><p>geral, mais segurança quando confrontado com situações problema, mostrando</p><p>mais autonomia e maior capacidade de escolher os caminhos mais adequados</p><p>para resolver o problema. Essas crianças compreendem também com mais</p><p>facilidade as técnicas usuais de cálculo, como “vai um”, por exemplo, nas</p><p>operações com transporte.</p><p>O estudo do algoritmo de cálculo (contas) é a última etapa da aprendizagem de</p><p>uma operação. Só assim as crianças podem compreender esta técnica de</p><p>cálculo.</p><p>O cálculo mental pode desenvolver-se através de:</p><p>- Situações problemáticas;</p><p>- Diversos tipos de exercícios (escritos ou orais)</p><p>- Jogos, etc.</p><p>7. POTENCIAÇÃO</p><p>Conteúdos</p><p>- Noção de potência</p><p>- Potência de base natural, fraccionária e decimal</p><p>- Adção e subtracção de potências</p><p>- Multiplicação e divisão de potências</p><p>- Regras de potenciação</p><p>Sobre a potenciação emN, deseja-se que o formando/aluno aprenda o conceito</p><p>a partir de exemplos concretos, onde ele observa a regularidade das expressões</p><p>que vão aparecendo.</p><p>O formador poderá dar muitos exemplos onde o formando escreve a poténcia</p><p>correspondente e faz a sua leitura até chegar a generalização.</p><p>Explo: 2x2x2x2x2x2 = 26</p><p>Para a aplicação de potências em tarefas concretas, o formador poderá explorar</p><p>situações em que pretende determinar a área do quadrado ou volume do cubo.</p><p>Dar aos alunos as regras de potenciação como uma generalização ou</p><p>conclusões que até podem ser tiradas pelos próprios alunos a partir das tarefas</p><p>que lhes são dadas.</p><p>8. RESOLUÇÃO DE PROBLEMAS</p><p>O futuro professor deve saber que nas suas aulas, a resolução de problemas é</p><p>um dos caminhos para o ensino da Matemática.</p><p>Ideias Metodológicas do Ensino de Matemática – Ensino Básica e Educação de Adultos</p><p>____________________________________________________</p><p>Elaborado Por: Félix R.M. Moçambique</p><p>11</p><p>É prática usual na sala de aula, o professor ensinar conceitos, procedimentos ou</p><p>técnicas e depois apresentar o problema para aplicação ou avaliação deste</p><p>conceito ou procedimento. É importante que o formando saiba que resolver um</p><p>problema, não significa apenas um acto de fazer cálculos com os números que o</p><p>enunciado apresenta ou aplicar alguma técnica aprendida na aula. Resolver um</p><p>problema é muito mais do que isso.</p><p>A aprendizagem de um conceito matemático, de uma técnica, deve ser</p><p>problematizada. A problematização funciona como um elemento de motivação</p><p>para a aquisição do conhecimento.</p><p>Um problema matemático é uma situação que demanda a realização de uma</p><p>sequência de acções ou operações para obter um resultado. (Parâmetros</p><p>Curriculares Nacionais, 44)</p><p>Portanto para resolver um problema, sugere-se que se tenha em conta os</p><p>seguintes passos:</p><p>1. Ler com cuidado o enunciado do problema verificando se todos os elementos</p><p>contidos no problema são por si conhecidos;</p><p>2. Reproduzir o problema em suas próprias palavras;</p><p>3. Interpretar o enunciado do problema;</p><p>4. Descobrir a operação ou operações;</p><p>5. Identificar os elementos essenciais do problema, isto é, os dados e o que se</p><p>pretende;</p><p>6. Elaborar um ou vários procedimentos de resolução, recorrendo se necessário</p><p>a esquemas, formular hipóteses, etc.</p><p>7. Estimar o resultado</p><p>8. Verificar se a solução encontrada está de acordo com as suas projecções ou</p><p>se é correcto (Crítica dos resultados),</p><p>9. Confrontação do resultado com o enunciado.</p><p>Sugerimos que, numa primeira fase, que as situações problemáticas sejam</p><p>dadas em forma de pequenas histórias ligadas à vida das crianças. E se</p><p>possível, serem dramatizadas, como forma de as interpretar.</p><p>As situações problemáticas podem ser apresentadas do seguinte modo:</p><p>Problemas ilustrados – partem de ilustrações para se enunciar o problema;</p><p>Problemas narrativos – situações problemáticas apresentadas na forma de oral</p><p>ou escritos</p><p>Problemas incompletos- despertam a atenção dos alunos. Eles terão de</p><p>descobrir a falta de dados, que os alunos completam.</p><p>Problemas propostos pelos alunos – despertem interesse e promove esforço</p><p>mental dos alunos.</p><p>Vestir o problema – apresentam-se os dados numéricos e os alunos vão dar</p><p>corpo ao problema;</p><p>Gráficos – são problemas apresentados em desenhos,</p><p>tabelas ou diagramas,</p><p>Ideias Metodológicas do Ensino de Matemática – Ensino Básica e Educação de Adultos</p><p>____________________________________________________</p><p>Elaborado Por: Félix R.M. Moçambique</p><p>12</p><p>estes têm aplicação nas classes mais adiantadas</p><p>Ideográficos – problemas que consistem em interpretação de imagens, têm</p><p>muita aplicação nas primeiras classes</p><p>A resolução de problemas é a espinha dorsal do ensino de Matemática: é um</p><p>meio e um fim da aprendizagem de Matemática. A criança faz cálculos para</p><p>resolver problemas.</p><p>Por isso, os problemas propostos devem retractar a realidade. Os dados dos</p><p>problemas e os resultados devem ser reais, só assim a criança pode ver a</p><p>utilidade e a necessidade de ter que aprender a resolver problemas na escola.</p><p>9. GRANDEZAS E MEDIDAS</p><p>Conteúdos</p><p>- Estimação de medidas</p><p>- O dinheiro em circulação</p><p>- Medidas de comprimento</p><p>- Medidas de massa</p><p>- Medidas de tempo</p><p>- Unidades de áreas (km2, hm2, dam2, m2, dm2, cm2 e mm2)</p><p>- Unidades agrárias (hectar, are e centiare)</p><p>- Relação entre as unidades agrárias e de superfície</p><p>Problemas concretos da vida prática</p><p>Em realção ao tempo e calendário o formador deve recomendar ao futuro</p><p>professor o uso do material didáctico para a concretização dos conteúdos e em</p><p>relação às medidas de comprimento, massa-peso, capacidade e áreas deve-se</p><p>recomendar o uso dos materiais concretizadores: cordas, pedrinhas, recipientes,</p><p>tampo de mesas, palmo, pé e o passo. Depois introduz-se as medidas</p><p>padronizadas (falando dos seus múmeros no Programa de Ensino de</p><p>Matemática</p><p>7ª, 8ª e 9ª Classes múliltiplos e submúltiplos).</p><p>Deve-se resolver problemas de vida prática, aplicando todas as grandezas e</p><p>medidas aprendidas.</p><p>O professor deve colocar os alunos numa situação que lhes obrigue a medir,</p><p>pesar, ver as horas, falar dos dias de semana, dos meses e do ano.</p><p>Medidas de comprimento</p><p>Todos os alunos devem ter oportunidade de medir usando o palmo, o pé, o</p><p>passo, lápis, paus, entre outros.</p><p>Os alunos devem chegar à conclusão de que todos nós temos instrumentos de</p><p>medida, mas que o mesmo espaço medido por diferentes alunos o número de</p><p>passos ou de pés não são iguais. As crianças devem compreender que esses</p><p>instrumentos não são precisos. A partir desta conclusão, inicia-se a</p><p>aprendizagem do sistema métrico que é um sistema de medidas padronizadas.</p><p>Ideias Metodológicas do Ensino de Matemática – Ensino Básica e Educação de Adultos</p><p>____________________________________________________</p><p>Elaborado Por: Félix R.M. Moçambique</p><p>13</p><p>Importa que o conhecimento do metro esteja aliado à prática do seu uso, em</p><p>medições constantes e estabelecer conexões com outras unidades de</p><p>comprimento.</p><p>Os alunos aprendem primeiro o metro e os seus submúltiplos, esta</p><p>aprendizagem servirá de base para a aquisição da noção de décima, centésima</p><p>e milésima de qualquer unidade.</p><p>Outas medidas</p><p>Mais tarde, introduzem-se as outras medidas: massa, capacidade, superfície,</p><p>volume, agrárias, utilizando os mesmos procedimentos utilizados nas medidas</p><p>de comprimento.</p><p>As crianças devem famializar-se com balanças, fazendo várias pesagens.</p><p>Em relação às medidas de tempo, os alunos devem sentir a necessidade de</p><p>controlar o tempo, usando um instrumento de precisão- o relógio. Numa aula de</p><p>Educação Visual e Tecnologia, o professor orienta os alunos na construção de</p><p>um relógio, usando cartão, um pico, alfinete ou arame para prender os ponteiros.</p><p>No uso do calendário, importa que se inicie a aprendizagem pelo dia, que o</p><p>momento mais próximo do aluno Passa-se à noção de semana, mês, ano e</p><p>século.</p><p>10. GEOMETRIA – ESPAÇO E FORMA</p><p>Conteúdos</p><p>- Elementos primitivos da geometria (linhas, rectas, plano e ponto)</p><p>- Posição horizontal e vertical de rectas e objectos</p><p>- Rectas e segmentos</p><p>- Figuras geométricas (triângulo, quadriláteros)</p><p>- Ângulos e diagonais no paralelogramo</p><p>- Polígonos regulares e irregulares</p><p>- Sólidos geométricos</p><p>- Construção de circunferências e círculos</p><p>- Mediatriz de um segmento e sua construção</p><p>- Construção de rectas concorrentes, oblíquas, perpendiculares e</p><p>perpendiculares</p><p>- Perímetro de figuras planas</p><p>- Construção de altura, mediana e bissectriz de triângulo issosceles</p><p>- Teorema sobre a soma de ângulos internos externos de um triângulo</p><p>- Circunfências e círculo (centro, raio, diâmetro, corda e arco)</p><p>- Semi-circunferencia e semi- círculo</p><p>- Perimetro do círculo</p><p>- Áreas de figuras planas.</p><p>O futuro professor deve ser criativo em elaborar material didáctico, tais como;</p><p>caixas, latas cilindricas, cubos rectêngulos, quadrados para identificar diferentes</p><p>espaços e formas de poligonos e sólidos geométricos.</p><p>Ideias Metodológicas do Ensino de Matemática – Ensino Básica e Educação de Adultos</p><p>____________________________________________________</p><p>Elaborado Por: Félix R.M. Moçambique</p><p>14</p><p>O formador/professor deve mostrar aos formandos/alunos como se classificam</p><p>os quadriláteros e quais sao os elementos escenciais para a definição dos</p><p>mesmos.</p><p>Deve-se mostrar aos formandos como calcular ou estimar a área de uma figura</p><p>geométrica sem uso de fórmulas; e depois demostrar como surgem as fórmulas</p><p>que se usam para calcular a área de figuras geométricas.</p><p> O mesmo deve ser feito para o cálculo de volume de sólidos geométricos.</p><p>Os conceitos de geometria, constituem uma parte muito importante do currículo</p><p>do Ensino Básico. Os alunos devem desenvolver um pensamento que lhe</p><p>permite compreender, descrever e representar o mundo em que vive. Assim, o</p><p>ensino de Geometria, deve começar pela observação do meio que rodeia o</p><p>aluno, iniciando-se pela sua posição em relação aos demais, e aos objectos</p><p>existentes na sala de aula. O professor faz ver os alunos as formas e posições</p><p>dos objectos. Por exemplo: a porta, o quadro, o livro, a carteira, o lápis, depois</p><p>chama a atenção dos mesmos para observarem que cada um desses objectos</p><p>tem formas diferentes. O professor e alunos levam para a sala de aula, por</p><p>exemplo: caixas, garrafas, pedras, latas, etc.</p><p>Para a noção de ângulo observa-se o canto da parede ou de um objecto.</p><p>A noção de superfície pode ser dada a partir de situações conhecidas pelo aluno</p><p>por exemplo: objectos da sala de aula e escola, em torno da comunidade. A</p><p>seguir pode-se usar figuras planas em papel quadriculado.</p><p>A noção de volume adquire-se pela introdução de um recipiente pequeno num</p><p>maior e leva-se o aluno a imaginar quantos recipientes seriam necessários para</p><p>encher o recipiente maior. Repete-se o processo com outros recipientes.</p><p>11. DIVISIBILIDADE DE NÚMEROS NATURAIS</p><p>Conteúdos</p><p>- Noção de múltiplos de um número</p><p>- Múltiplos cumuns de dois ou mais números</p><p>- Minimo multiplo comum pelo processo de conjunto</p><p>- Noção de divisor de um número</p><p>- Divisores comuns de dois ou mais números</p><p>- Critérios de divisibilidade por 2, 3, 4,5, 6, 9, 10, e 15.</p><p>- Número primo e números primos entre si</p><p>- Decomposição de um número natural em factores primos</p><p>- Máxímo divisor comum e mínimo múltiplo comum de dois ou mais números</p><p>pelo processo de decomposição em factores primos</p><p>O futuro professor deve determinar os múltiplos e divisores de um número e ter</p><p>a noção de divisão exacta. Determinar os divisores de um número por meio de</p><p>conjuntos e por meio de decomposição dos números em factores primos.</p><p>- Dar a noção de Múltiplos de um número.</p><p>Ideias Metodológicas do Ensino de Matemática – Ensino Básica e Educação de Adultos</p><p>____________________________________________________</p><p>Elaborado Por: Félix R.M. Moçambique</p><p>15</p><p>Exp: M3 = {3, 6, 9, 12, 15,. . . } - conjunto dos múltiplos de 3.</p><p>- Noçao de Divisores de un números</p><p>Exemplos: D 9= {1, 3 e 9}</p><p>D16= {1, 2. 4, 8 e 16} – Conjunto dos divisores de 16</p><p>Conduzir os formandos na definição de extratégias de cálculo de mínimo</p><p>múltiplo comum e máximo divisor comum entre dois ou mais números.</p><p>12. FRACÇÃO</p><p>Conteúdos</p><p>- Noção de fracção</p><p>- Leitura e escrita de fracções</p><p>- Comparação de fracções</p><p>- Operação</p><p>com fracções</p><p>- Representação gráfica de fracções</p><p>- Fracções mistas</p><p>Representação de fracções na semi-recta</p><p>O conceito de fracção deve ser tratado a partir de situações problemas,</p><p>envolvendo objectos observáveis. Por exemplo, divisão de uma barra de sabão</p><p>em unidades iguais, sublinhar que o numerador indica as partes tomadas e</p><p>denominador o número em que se dividiu a unidade.</p><p>O aluno já sabe que metade significa que se divide em duas partes iguais</p><p>qualquer objecto ou número. Do mesmo modo se obtém ¼, quando se divide um</p><p>objecto ou número em 4 partes iguais, 2/3 obtém-se dividindo em 3 partes iguais</p><p>e tiram-se 2 dessas partes.</p><p> O professor deve usar material concretizador como barras de sabão, fitas de</p><p>papel, pauzinhos, etc, com os quais vai fraccionar. Os alunos observam primeiro</p><p>e depois fazem com o seu material individual. Da representação com objectos</p><p>segue-se a representação por diagrama.</p><p>Esta noção deve ser dada a partir de uma situação problemática, para que os</p><p>alunos vejam o uso prático de fracções.</p><p>É importante que o formando tenha um conhecimento profundo sobre o conceito</p><p>de fracção, incluindo a sua leitura.</p><p> Poderá se usar a representação ideográfica de fracção para mostrar os tipos</p><p>de fracções, tais como fracções próprias e fracções impróprias. Assim poderá</p><p>levar o educando a observar que:</p><p>1. Todo o número natural pode ser representado sob a forma de fracção;</p><p>2. Não existe fracção com denominador zero porque a divisão por zero é</p><p>impossível, e encontrar uma forma plausível de explicar essa situação</p><p>através da multiplicação como operação inversa da divisão.</p><p>Ideias Metodológicas do Ensino de Matemática – Ensino Básica e Educação de Adultos</p><p>____________________________________________________</p><p>Elaborado Por: Félix R.M. Moçambique</p><p>16</p><p>3. Se o numerador da fracção for zero e o denominador um número natural</p><p>qualquer, o seu valor é zero.</p><p>As formas de conversão das fracções impróprias para a forma mista e vice-versa</p><p>sugerimos que seja feita pelo aluno através de exercícios práticos.</p><p>Deve se levar ao formando a entender que fracções equivalentes correspondem</p><p>a uma mesma quantidade ou seja uma mesma quantidade pode ser</p><p>representado de diversas maneiras. Para isso, a representação gráfica é uma</p><p>das melhores formas de ilustração de tais factos ou situações. Deve se explicar</p><p>com exercícios concretos, ao formando, que podemos obter fracções</p><p>equivalentes de duas formas.</p><p>Aconselhamos a que o estudante resolva inúmeros exercícios para a</p><p>consolidação deste conteúdo.</p><p>As habilidades que o formando adquiriu, vão ser muito úteis para a resolução de</p><p>diversos problemas que mais adiante irá abordar. Por exemplo uma das</p><p>aplicações de fracções é a simplificação de fracções. O formador poderá</p><p>explorar situações em que leva o estudante a obter fracções irredutíveis através</p><p>da simplificação. Como obter uma fracção irredutível? Então é preciso explorar</p><p>um mecanismo simples de obter tal fracção.</p><p>Em relação a comparação de fracções, sugere-se ao formador que represente</p><p>vários exemplos no quadro e que na base deles, os próprios formandos possam</p><p>formular as respectivas regras.</p><p>Deve-se dar a conversão de uma fracção em número decimal, percentagens e</p><p>vice-versa.</p><p>A noção de fracção decimal e ordinária não deve ser excluída.</p><p>As operações com fracções devem obedecer a mesma sequência das</p><p>operações com números naturais (adição, subtracção, multiplicação e divisão).</p><p>Para a redução de fracções ao mesmo denominador, o formador, poderá</p><p>introduzir o conceito de classe de equivalência. A seguir, deve-se mostrar ao</p><p>formando o processo prático para redução de fracções ao mesmo denominador.</p><p>A redução de fracções ao mesmo denominador é importante porque tem como</p><p>aplicação prática, a comparação de fracções assim como a realização de</p><p>operações como adição e subtracção com fracções. É importante que o</p><p>formando, consolide primeiro o tratamento de fracções com o mesmo</p><p>denominador.</p><p>13. NÚMEROS DECIMAIS</p><p>Conteúdos</p><p>- Leitura e escrita dos números decimais</p><p>- Operações com números decimais</p><p>- Decomposição e comparação dos números decimais</p><p>Ideias Metodológicas do Ensino de Matemática – Ensino Básica e Educação de Adultos</p><p>____________________________________________________</p><p>Elaborado Por: Félix R.M. Moçambique</p><p>17</p><p>- Representação dos números decimais na semi-recta graduada</p><p>- Multiplicação de números decimais por potências de base 10</p><p>- Divisão de números decimais por potências de base 10</p><p>O método mais facíl para introduzir os números decimais consiste em aplicar as</p><p>unidades de massa e de comprimento como ferramenta de concretização</p><p>Quanto ao tratamento dos números decimais sugere-se o seguinte:</p><p>- Uso de unidades de massa e de comprimento;</p><p>- Uso da recta graduada como ferramenta da operação com números</p><p>decimais</p><p>A abordagem das quatro operações com os números decimais deve obedecer a</p><p>mesma sequência das operações com números naturais (adição, subtracção,</p><p>multiplicação e divisão</p><p>14. EXPRESSÕES NUMÉRICAS</p><p>A partir de uma situação problemática, cuja solução implique mais do que uma</p><p>operação. Os alunos resolvem o problema da maneira que acharem mais</p><p>conveniente. Analisados, comentados e discutidos os procedimentos dos alunos,</p><p>o professor mostra como equacionar os dados colocando-os sobre a forma de</p><p>uma expressão numérica e a sua posterior resolução.</p><p>Dinheiro</p><p>Para a aprendizagem do dinheiro, o professor, dentro ou fora da sala deve</p><p>simular situações de compra e venda, armando uma pequena loja. Dois ou três</p><p>alunos fazem-se de vendedores e os outros compradores. Nos artigos expostos</p><p>para a venda devem ter pequenas etiquetas com preços reais.</p><p>É importante que essa simulação se faça depois dos alunos conhecerem em</p><p>primeiro lugar o valor das notas e moedas de uso corrente.</p><p>Ao fazer a soma do valor da compra de diversos produtos, irá resultar numa</p><p>expressão numérica.</p><p>15. RAZÕES E PROPORÇÕES</p><p>Conteúdos</p><p>- Noção de razão e proporção</p><p>- Equações do tipo proporção</p><p>- Resolução de problemas envolvendo proporções</p><p>- Valor da razão;</p><p>- Equivalência de razões;</p><p>- Simplificação da razão;</p><p>- Aplicação da razão;</p><p>- Proporções: extremos, meios e termos de uma proporção;</p><p>-Equações do tipo proporção;</p><p>-Aplicação da razão (Regra de três simples);</p><p>Ideias Metodológicas do Ensino de Matemática – Ensino Básica e Educação de Adultos</p><p>____________________________________________________</p><p>Elaborado Por: Félix R.M. Moçambique</p><p>18</p><p>Sugestões metodológicas</p><p>Para a abordagem do conceito “razão”, sugere-se que o professor tome a</p><p>fracção como base, visto que se trata de um quociente entre dois números. A</p><p>razão como um quociente exacto entre dois números, o professor deverá</p><p>orientar vários exercícios em que os alunos possam representar diferentes tipos</p><p>de fracções e, em seguida, ajudá-los a concluir o conceito da razão. O professor</p><p>poderá, também, admitir a hipótese de alguns alunos darem o significado de</p><p>razão num contexto social. Neste aspecto, é importante que os alunos saibam</p><p>que a divisão é outra forma de representar a razão. Para razões e proporções o</p><p>formador deve tomar a fracçao como base para facilitar a aprendizagem. A</p><p>razão como quociente exacto entre dois números.</p><p>Como as razões são quocientes, podemos ainda escrever aquelas proporções</p><p>de maneira seguinte: 10  4 = 15  6; 4  6 = 6  9; 2/31/5 = 5/2  3/4</p><p>A primeira por exemplo, lê-se 10 está para 4 assim como 15 está para 6</p><p>Na introdução das proporções, sugere-se que formador/professor inicie a</p><p>abordagem a partir das fracções equivalentes, uma vez que a proporção é uma</p><p>igualdade entre duas razões. De seguida, deverá propor exercícios variados</p><p>para o aluno formar proporções ou descobrir proporções</p><p>Os números que entram numa proporção são os seus termos. O primeiro e</p><p>último chamam-se extremos, os dois outros de meios.</p><p>a) Uma proporção diz-se contínua quando têm os meios iguais. É contínua a</p><p>proporção 4  6 = 6  9 que se</p><p>encontra acima.</p><p>b) Em qualquer proporção, o produto dos meios é igual ao produto dos</p><p>extremos (propriedade fundamental das proporções)</p><p>c) Numa proporção, um extremo é igual ao produto dos meios divididos por</p><p>um outro extremo.</p><p>d) Numa proporção um meio é igual ao produto dos extremos divididos pelo</p><p>outro meio.</p><p>e) O meio duma proporçao contínua é igual a raiz quadrada do produto dos</p><p>extremos.</p><p>A resolução de equações, aplicando a lei fundamental das proporções, é uma</p><p>outra fase do aprofundamento deste estudo. Sendo assim, o professor poderá</p><p>propor vários problemas concretos e simples para os alunos resolverem,</p><p>escrevendo a equação correspondente ao problema, determinar o valor de x na</p><p>equação e dar a resposta. Os exercícios deverão ser dados através de</p><p>problematização no contexto do dia-a-dia do aluno. Na resolução de problemas,</p><p>os alunos deverão rever a necessidade de escrever a equação correspondente e</p><p>de dar resposta, de acordo com o resultado</p><p>Ideias Metodológicas do Ensino de Matemática – Ensino Básica e Educação de Adultos</p><p>____________________________________________________</p><p>Elaborado Por: Félix R.M. Moçambique</p><p>19</p><p>16. PERCENTAGENS</p><p>Conteúdos</p><p>- Noção de percentagem</p><p>- Transformação de fracções em percentagem</p><p>- Percentagem de quantidade</p><p>- Problemas concretos com cálculo de percentagem que envolvem saldos,</p><p>lucros e prejuízos</p><p>- Gráficos circulares, rectangulares e de barra</p><p>Noção de permilagem</p><p>Nesta unidade recomendamos ao formador para introduzir as percentagens</p><p>depois das fracções e os númuros decimais. Com efeito, o trabalho com as</p><p>percentagens pode basear-se nos conhecimentos já adquiridos sobre as</p><p>fracções. Na abordagem deste tema com os formandos/alunos, deve-se deve-se</p><p>estudar temas tais como:</p><p>- Aproveitamento escolar;</p><p>- Produção agricola ou industrial;</p><p>- Controlo da população de um bairro;</p><p>- Uso de uma armação de 100 objetos;</p><p>- Utilização do dinheiro</p><p>Deve-se abordar tarefas que relacionam a percentagem com as quantidades.</p><p>Exp: interpretação de um diagrama circular, tabelas ou gráficos contendo</p><p>informações de carecter estatístico.</p><p>Para o estudo de percentagens,</p><p>Sugestões metodológicas</p><p>Como forma de rever conhecimentos sobre percentagens, o professor poderá</p><p>colocar problemas que refletem o quotidiano do aluno, mostrando a importância</p><p>do uso de percentagens na vida do homem. Estes problemas devem permitir</p><p>que o aluno use, na resolução, os três tipos de representação de percentagens:</p><p>fracção, decimal e percentual. Isto é o professor coloca uma situação</p><p>problemática cuja resolução implica o cálculo de percentagens. Por exemplo:</p><p>calcular a percentagem da idade dos alunos. O professor deve dar os vários</p><p>tipos de gráficos: circulares, poligonais, barras, pictogramas e linha. Para a</p><p>construção de alguns tipos de gráficos usa-se papel quadriculado.</p><p>Sugere-se, também, que o professor explore estas três representações,</p><p>apresentando exercícios diversificados para consolidar a matéria. As figurassão,</p><p>também, uma outra forma para transformar fracções em percentagens e vice-</p><p>versa. Assim, sugere-se que o professor explore as três situações de</p><p>Ideias Metodológicas do Ensino de Matemática – Ensino Básica e Educação de Adultos</p><p>____________________________________________________</p><p>Elaborado Por: Félix R.M. Moçambique</p><p>20</p><p>transformação de percentagens para números decimais, bem como para</p><p>fracções, apresentando exercícios que envolvem esta transformação, como</p><p>forma de rever conhecimentos das classes anteriores para o aluno consolidar</p><p>esta matéria. As figurassão, também, uma outra forma de transformação de</p><p>fracções em percentagens e vice-versa.</p><p>O professor poderá, também, colocar problemas que envolvem o cálculo mental</p><p>de percentagens simples e determinação da percentagem de uma determinada</p><p>quantidade. Na apresentação de problemas concretos, o professor deverá</p><p>mostrar ao aluno factos que ressaltem o uso e a necessidade de percentagens</p><p>na vida real, por exemplo, preços no mercado com descontos expressos em</p><p>percentagens, propondo exercícios tais como: Quanto é: 10% de 600 000,</p><p>00MT? 25% de 100 kg?, e outros.</p><p>Portanto, deve-se propor problemas simples e concretos que versem assuntos,</p><p>tais como, negócios, descontos bancários, saldos no mercado ou lojas, taxas de</p><p>juros bancários e outros. É importante que o aluno saiba dar importância ao uso</p><p>de percentagens na vida do homem, identificando situações simples em que se</p><p>aplica este conceito.</p><p>Na representação de percentagens em fracções (Gráficos circulares), deve-se</p><p>ter em conta o círculo, como uma unidade, que representa 360º e corresponde a</p><p>100%. Como consolidação, o professor deverá propor algumas fracções para o</p><p>aluno representar, graficamente, na forma circular. O aluno deve saber</p><p>interpretar e construir gráficos de sectores circulares, para casos simples</p><p>17. LITERACIA FINACEIRA</p><p>Conteúdos</p><p>- Resolução de problemas ligados ao aumento, diminuição, saldos, lucros,</p><p>prejuízo juros, empréstimo bancário, seguros e Iva.</p><p>Sugestões metodológicas</p><p>A literacia financeira é uma unidade temática transversal e transdisciplinar no</p><p>domínio da educação para a cidadania. Como componente transversal do</p><p>currículo, é integrado em todos os níveis e modalidades de ensino. Ela consiste</p><p>nos conhecimentos específicos, relacionados com assuntos monetários,</p><p>económicos ou financeiros, e nas decisões que o indivíduo é capaz de tomar</p><p>sobre estes assuntos. A literacia financeira está ligada à capacidade de ler,</p><p>analisar, gerir e comunicar sobre a condição financeira pessoal e à forma como</p><p>esta afecta o seu bem-estar material. Inclui, também, a capacidade de discutir e</p><p>decidir, entre escolhas, assuntos financeiros e monetários sem desconforto;</p><p>planificar o futuro e responder, de forma competente, às situações do dia-a-dia</p><p>que envolvem decisões financeiras, incluindo acontecimentos na economia</p><p>global.</p><p>Ideias Metodológicas do Ensino de Matemática – Ensino Básica e Educação de Adultos</p><p>____________________________________________________</p><p>Elaborado Por: Félix R.M. Moçambique</p><p>21</p><p>A abordagem de conteúdos ligados à literacia financeira sugere que o professor</p><p>coloque problemas que refletem o quotidiano do aluno, mostrando a importância</p><p>e a necessidade da educação financeira na vida do homem. Os problemas a</p><p>serem resolvidos devem estar relacionados com a gestão do orçamento e</p><p>rendimento familiar, o recurso ao crédito, os meios de pagamento, o sistema</p><p>financeiro, as aplicações de poupança, juros, seguros e os deveres do</p><p>consumidor, envolvendo cálculo de percentagens. Na análise e resolução de</p><p>problemas, o professor deverá colocar questões que ajudem ao aluno a</p><p>desenvolver competências que permitam responder, de forma correcta, às</p><p>situações que envolvem decisões financeiras do dia-a-dia e desenvolver</p><p>habilidades necessárias para lidar com as decisões financeiras que ele tomará</p><p>ao longo da sua vida. É importante que o aluno saiba que a aprendizagem de</p><p>tópicos relacionados com o dinheiro e as finanças pessoais é significativa, pois o</p><p>consequente desenvolvimento de capacidades técnicas e comportamentais</p><p>contribui para uma actuação esclarecida no presente e acautela, no futuro,</p><p>problemas de natureza financeira ou afins. Esta unidade está ligada ao cálculo</p><p>de percentagens, envolvendo valores monetários. Neste contexto, o professor</p><p>poderá criar situações de cálculo de percentagens (aumento, diminuição, saldos,</p><p>lucros, prejuízos, juros, empréstimo bancário, seguros e Iva). As actividades</p><p>relativas ao cálculo das percentagens devem retratar problemas concretos do</p><p>dia-a-dia do aluno.</p><p>Na apresentação destes problemas, o professor deverá mostrar ao aluno factos</p><p>que ressaltem o uso e a necessidade de percentagens na vida, como, por</p><p>exemplo, preços no mercado com descontos expressos em percentagens,</p><p>propondo exercícios, tais como: Quanto é 10% de 600 000, 00MT? 25% de 100</p><p>kg? e outros.</p><p>Portanto, deve-se propor problemas simples</p><p>e concretos que versem assuntos,</p><p>tais como, negócios, descontos bancários, saldos no mercado ou lojas, taxas de</p><p>juros bancários e outros.</p><p>18. MOVIMENTOS NO PLANO</p><p>Conteúdos</p><p>- Noção de vector</p><p>- Translação: elementos e propriedades</p><p>- Translação de figuras e segmentos</p><p>- Simetria: propriedades</p><p>- Figuras com eixo de simetria</p><p>- Construção de ponto simétrico, segmento simétrico e figuras simétricas</p><p>- Eixo de simetria em polignos regular</p><p>- Rotação: elementos e propriedades</p><p>- Construçaão geométrica aplicando translações, simetria e rotação</p><p>É importante que os formandos sejam levados a entenderem os vários tipos</p><p>de movimentos e a sua importância no desenho.</p><p>Ideias Metodológicas do Ensino de Matemática – Ensino Básica e Educação de Adultos</p><p>____________________________________________________</p><p>Elaborado Por: Félix R.M. Moçambique</p><p>22</p><p>O formando poderá realizar movimento de translação em determinadas</p><p>condições, identificar figuras simétricas e desenhar figuras simétricas em</p><p>papel quadriculado e o respectivo eixo de simétria em figuras planas.</p><p>Também sugere-se que o formando use evidentimente os instrumentos de</p><p>medição para desenhar figuras transformadas.</p><p>19. CONJUNTOS</p><p>Conteúdos</p><p>- Conjunto e elemento</p><p>- Designação de um conjunto</p><p>- Definição de um conjunto por extensão e por compreensão</p><p>- Representação de um conjunto em chavetas e em diagramas</p><p>- Relação de pertença e não pertença</p><p>- Conjunto singular e conjunto vazio</p><p>- Subconjunto</p><p>- Relação de inclusão</p><p>- Reunião e intersecção de dois conjuntos</p><p>Sugere-se que o formador teste inicialmente os conhecimentos dos formandos</p><p>sobre a concepção em relação a teoria de conjuntos. E verificar que tipo de</p><p>exemplo eles são capazes de construir.</p><p>Relacionar a teoria de conjuntos com aspectos da vida prática</p><p>Sugestões metodológicas</p><p>Os conjuntos têm uma importância fundamental na matemática. De maneira</p><p>formal, a mecânica interna da matemática (números, relações, funções,</p><p>equações, etc.) podem ser definidos em termos de conjuntos. Na introdução</p><p>deste conteúdo, sugere-se que o professor/formador teste inicialmente os</p><p>conhecimentos dos estudantes/formandos sobre a compreensão em relação aos</p><p>conjuntos, verificando que tipo de exemplos eles conseguem construir. Como</p><p>forma de integração e para facilitar a sua compreensão, o professor poderá</p><p>introduzir o conteúdo sobre conjuntos nos alunos, a partir da sua família, do</p><p>meio onde estão inseridos, brincam e estudam. É importante que, depois desta</p><p>fase, o professor procure exemplos que se identifiquem com a Matemática, para</p><p>reforçar estesfactos. Por ex: 45 é umnúmero natural ou pertence ao conjunto</p><p>dos números naturais e 𝟒, 𝟓 não é um número natural ou não pertence ao</p><p>conjunto dos númerosnaturais. Na definição de conjuntos em extensão ou em</p><p>compreensão, o professor poderá dar exemplos, tais como: números naturais,</p><p>paralelogramos ou quadrado, rectângulo, paralelogramo, losango. A família está</p><p>dentro de uma comunidade que é um agrupamento maior onde se inserem</p><p>outras famílias. Para a abordagem do conceito de subconjunto, esta situação</p><p>poderá servir para explicar a relação de inclusão. O aluno deve saber determinar</p><p>se um conjunto A é subconjunto de um conjunto B, e verificar se cada elemento</p><p>de A pertence a B. Nesta relação, o aluno poderá verificar também casos em</p><p>que há igualdade de conjuntos, isto é, A = B porque A está contido em B e B</p><p>está contido em A. É importante que o aluno saiba que a relação de inclusão</p><p>Ideias Metodológicas do Ensino de Matemática – Ensino Básica e Educação de Adultos</p><p>____________________________________________________</p><p>Elaborado Por: Félix R.M. Moçambique</p><p>23</p><p>relaciona dois conjuntos, enquanto a relação de pertença e não pertença</p><p>relaciona umelemento comum conjunto. A reunião e a intersecção de conjunto</p><p>devem ser exploradas, de modo que o aluno identifique e com certa</p><p>compreensão, o conjunto que representa a reunião ou a intersecção de dois</p><p>conjuntos dados. Simultaneamente, o professor poderá explorar este</p><p>conhecimento na base de exercícios onde o aluno identifica elementos, que</p><p>pertencema umou ao outro conjunto, para se referir à reunião e identifique</p><p>elementos que pertencem, ao mesmo tempo, aos dois conjuntos dados, que é a</p><p>intersecção. O professor poderá também explorar situações em que o aluno não</p><p>consegue identificar elementos comuns, para dizer que este tipo de conjunto</p><p>designa-se disjunto.</p><p>20. CONJUNTO DE NÚMEROS INTEIROS</p><p>Conteúdos</p><p>1. Revisão de números naturais</p><p>- Noção de número natural;</p><p>- Representação de números naturais na recta graduada;</p><p>- Decomposição de um número natural em factores primos;</p><p>- Máximo divisor comum e mínimo múltiplo comum pelo processo de</p><p>decomposição em factores primos;</p><p>- Adição e subtracção de potências;</p><p>- Multiplicação e divisão de potências de bases iguais e expoentes</p><p>diferentes;</p><p>- Multiplicação e divisão de potências de bases diferentes e expoentes</p><p>iguais;</p><p>- Resolução de problemas aritméticos, envolvendo as operações com</p><p>números naturais.</p><p>2. Introdução de números inteiros</p><p>- Noção de um número inteiro a partir da impossibilidade da subtracção em</p><p>N;</p><p>- Noção de número negativo;</p><p>- Representação de números inteiros na recta graduada;</p><p>- Números simétricos;</p><p>- Módulo ou valor absoluto de um número inteiro;</p><p>- Comparação de números inteiros;</p><p>- Operações em ℤ;</p><p>- Adição em ℤ: com/sem a recta graduada;</p><p>- Propriedades da adição;</p><p>- Adição sucessiva; -Subtracção em ℤ: com/sem a recta graduada;</p><p>- Adição algébrica e simplificação da escrita;</p><p>- Uso de parêntesis; -Multiplicação em ℤ; -Propriedades da multiplicação;</p><p>- Divisão em ℤ;</p><p>- Potência em ℤ;</p><p>- Expressões numéricas envolvendo todas as operações</p><p>Ideias Metodológicas do Ensino de Matemática – Ensino Básica e Educação de Adultos</p><p>____________________________________________________</p><p>Elaborado Por: Félix R.M. Moçambique</p><p>24</p><p>Sugestões metodológicas</p><p>O conhecimento adquirido no Ensino Primário sobre números naturais</p><p>permitirá que os alunos compreendam que o conjunto de números inteiros é</p><p>uma ampliação de conjunto de números naturais. A revisão de números</p><p>naturais deve ser feita através da resolução de exercícios e problemas</p><p>aritméticos do quotidiano que envolvem cálculos com números naturais,</p><p>representação de números naturais na recta graduada, evidenciando que o</p><p>número natural representa partes inteiras. Na abordagem do conceito de</p><p>número inteiro, é importante que o aluno esteja consciente da necessidade</p><p>do aparecimento dum determinado domínio numérico. Para o efeito, sugere-</p><p>se ao formador/professor que apresente problemas em que o estudante não</p><p>consiga obter a solução no domínio em que esteja a trabalhar. Os problemas</p><p>devem reflectir a vida quotidiana dos alunos, por exemplo, casos da venda</p><p>de mercadorias pode resultar em lucro ou prejuízo, da altitude de um</p><p>determinado lugar acima ou abaixo do nível médio das águas do mar, o</p><p>tempo antes e depois de cristo ou antes e depois da independência,</p><p>temperatura negativa ou positiva. O professor pode mostrar que o zero</p><p>aparece como referencial, e que pode colocar os números acima ou abaixo e</p><p>para os diferenciar adoptaram-se os sinais "+" e " −". Assim, fica</p><p>convencionado que os valores acima do zero e à direita são valores</p><p>positivos, precedidos do sinal (+) e os valores abaixo e à esquerda são</p><p>valores negativos, precedidos do sinal (−). Deste modo, o professor pode dar</p><p>a definição de números inteiros (positivos e negativos), dar a sua</p><p>representação na recta numérica, o conceito de números simétricos e o valor</p><p>absoluto. Depois desta abordagem, o professor pode colocar exercícios para</p><p>que os alunos tenham consciência do significado dos números inteiros. Estes</p><p>exercícios devem estar relacionados com problemas que refletem as</p><p>experiências ligadas ao quotidiano do aluno.</p><p>Para a abordagem da ordem dos números inteiros relativos, o professor</p><p>poderá apresentar exemplos de problemas relacionados com registos de</p><p>saldos de uma empresa, banco ou de instituições ligadas ao comércio, em</p><p>milhares de meticais, numa tabela, para serem usados. Para visualizar e</p><p>facilitar a comparação, o professor orientará aos estudantes a representarem</p><p>os saldos numa recta graduada. Na análise destes dados, o professor poderá</p><p>discutir com os estudantes sobre o papel do banco e das diversas</p><p>actividades que este desenvolve, como forma de integração de temas</p><p>transversais. As questões a ser em colocadas devem conduzir ao aluno a</p><p>concluir que qualquer número positivo é maior do que qualquer número</p><p>negativo; de dois números negativos, é maior o que tiver menor valor</p><p>absoluto; zero é maior do que qualquer número negativo e é menor do que</p><p>qualquer número positivo, bem como, de dois números positivos, é maior o</p><p>que tiver maior valor absoluto.</p><p>Na adição de números inteiros, sugere-se ao professor que antes de</p><p>introduzir as regras operatórias dos números inteiros faça recordar aos</p><p>Ideias Metodológicas do Ensino de Matemática – Ensino Básica e Educação de Adultos</p><p>____________________________________________________</p><p>Elaborado Por: Félix R.M. Moçambique</p><p>25</p><p>alunos as competências adquiridas nas aulas anteriores sobre o conceito de</p><p>números inteiros. Para tal, poderão ser dadas actividades que permitam</p><p>consolidar este conceito como, por exemplo, exercícios para identificar</p><p>números inteiros.</p><p>Tendo em conta que na fase inicial os alunos, duma forma geral, apresentam</p><p>dificuldades na assimilação e na aplicação das regras operatórias dos</p><p>números inteiros relativos, aconselha-se ao professor a procurar explicar o</p><p>significado destas regras na base de exemplos que refletem situações reais</p><p>da vida. Deve se evitar ensinar aos alunos estas regras de forma mecânica,</p><p>onde o aluno procura apenas decorá-las, sem compreender o seu</p><p>significado. Os exemplos devem ser de exercícios e problemas que reflitam</p><p>ganhos e perdas numa determinada actividade de produção ou entradas e</p><p>saídas de dinheiro, numa actividade comercial, durante uma semana ou</p><p>outro período. Na discussão e resolução destes exemplos, o professor</p><p>deverá colocar perguntas que conduzem o aluno a chegar à seguinte</p><p>conclusão:</p><p>Para se efectuar operações com números inteiros relativos, há que se ter em</p><p>conta dois sinais, nomeadamente:</p><p>O sinal de posição, que se escreve dentro de parêntesis, por exemplo: (−2);</p><p>(+ 1); …</p><p>O sinal da operação, que liga os números, que se escreve fora de parêntesis.</p><p>Exemplo:</p><p>a) (+3) + (+4);</p><p>b) (+5) + (−1); …</p><p>Na exercitação, é importante apresentar exercícios de forma variada,</p><p>incluindo problemas que reflictam o dia-a-dia dos alunos</p><p>21. NÚMEROS RACIONAIS</p><p>Conteúdos</p><p>Revisão de números inteiros:</p><p>1. Noção de número negativo;</p><p>- Representação de números inteiros na recta graduada;</p><p>- Números simétricos;</p><p>- Módulo ou valor absoluto de um número inteiro;</p><p>- Adição algébrica e simplificação da escrita em ℤ;</p><p>- Expressões numéricas envolvendo todas as operações em ℤ;</p><p>2. Conjunto dos números racionais;</p><p>- Número racional negativo.</p><p>- Representação de números racionais na recta graduada</p><p>- Relações entre IN, ℤ e Q;</p><p>- Comparação de números racionais;</p><p>- Operações em Q: -Adição em Q: Propriedades da adição;</p><p>- Subtracção em Q;</p><p>- Adição algébrica e simplificação da escrita;</p><p>- Multiplicação em Q:</p><p>Ideias Metodológicas do Ensino de Matemática – Ensino Básica e Educação de Adultos</p><p>____________________________________________________</p><p>Elaborado Por: Félix R.M. Moçambique</p><p>26</p><p>- Propriedades da multiplicação;</p><p>- Propriedade distributiva da multiplicação;</p><p>- Divisão em Q;</p><p>- Expressões numéricas envolvendo todas as operações em Q</p><p>- Potenciação em Q</p><p>- Revisão de potências:Potência de base natural, fraccionária e de</p><p>expoente natural;</p><p>- Adição e subtracção com potências de base racional e expoente natural;</p><p>- Potência de base positiva e expoente inteiro (positivo, negativo e zero);</p><p>- Potência de base negativa e expoente inteiro (positivo, negativo e zero);</p><p>- Regras de operações com potências de base racionais e expoente</p><p>natural;</p><p>- Potência de base 10 e expoente inteiro (positivo, negativo e zero);</p><p>- Notação científica; -Expressões numéricas envolvendo todas as</p><p>operações em Q;</p><p>- Resolução de problemas;</p><p>- Raiz quadrada em Q;</p><p>- Raiz quadrada de um número racional perfeito não negativo;</p><p>- Uso de tabelas;</p><p>- Estimação de raízes quadradas de números não perfeito.</p><p>Sugestões metodológicas O conhecimento adquirido no Ensino Primário sobre</p><p>números naturais e fracções bem como dos números inteiros, na 7ª classe,</p><p>permitirá que os alunos compreendam que o conjunto de números racionais é</p><p>uma ampliação de conjunto de números inteiros, números naturais e fracções a</p><p>partir de demonstrações de problemas da vida que não têm solução nestes</p><p>conjuntos. Da mesma forma, na introdução de conjunto de números racionais é</p><p>preciso que o professor apresente um problema no qual o aluno não terá</p><p>solução em IN nem em Z. Este problema deve ser antecedido pela revisão de</p><p>cálculo com números inteiros, de representação na recta graduada, de</p><p>determinação do valor absoluto de um número inteiro, de adição algébrica, de</p><p>resolução de problemas aritméticos do quotidiano, evidenciando que o número</p><p>natural representa partes inteiras. Os alunos já conhecem os números</p><p>fraccionários. Usando o conceito simétrico de um número, o professor poderá</p><p>introduzir as fracções negativas através da recta graduada à semelhança do que</p><p>é feito com os números inteiros negativos. Adicionalmente, o professor deverá</p><p>dar a definição de número racional da seguinte forma:𝑄 = { 𝑎 𝑏 ; 𝑎 ∈ 𝑧, 𝑏 ∈ 𝑧, 𝑏 ≠</p><p>0}.</p><p>O professor deve sublinhar o motivo pelo qual b tem que ser diferente de zero. É</p><p>importante que o professor dê exemplos sobre os elementos do conjunto Q,</p><p>mostrando que os números inteiros são parte deste conjunto. No que concerne</p><p>às regras operatórias dos números racionais, sugere-se ao professor que</p><p>consolide nos alunos as competências adquiridas nas aulas anteriores sobre o</p><p>conceito de números racionais Para tal, poderão ser dadas diversas actividades</p><p>Ideias Metodológicas do Ensino de Matemática – Ensino Básica e Educação de Adultos</p><p>____________________________________________________</p><p>Elaborado Por: Félix R.M. Moçambique</p><p>27</p><p>que permitam consolidar este conceito, tendo em conta que, numa primeira fase,</p><p>os alunos duma forma geral, apresentam dificuldades na assimilação e na</p><p>aplicação das regras operatórias dos números racionais. Aconselha-se ao</p><p>professor a procurar explicar o significado destas regras, na base de exemplos</p><p>que reflictam situações reais da vida quotidiana. Há que evitar, no máximo,</p><p>ensinar aos alunos estas regras de forma mecânica, onde o aluno procura</p><p>apenas decorá-las, sem compreender o seu significado. É importante que o</p><p>professor recorra às situações do dia-a-dia para introduzir as regras operatórias.</p><p>A multiplicação de números racionais deverá ser introduzida seguindo a mesma</p><p>estratégia usada no Ensino Primário. É importante que os alunos ampliem o</p><p>conhecimento adquirido, resolvendo exercícios em que se exigem que</p><p>transformem adições de parcelas iguais em multiplicação e vice-versa, sendo as</p><p>parcelas números racionais.</p><p>Por exemplo: (−5,1) + (−5,1) = 2. (−5,1); (− 1 3) + (− 1 3) + (− 1 3) = 3. (− 1 3); e</p><p>outros.</p><p>Quanto ao desenvolvimento de potências em Q, o professor deverá partir do</p><p>conhecimento que os alunos têm do Ensino Primário. Assim, deverá partir da</p><p>revisão sobre o conceito para potência de base racional e expoente positivo,</p><p>negativo e zero. Sugere-se, ainda, ao professor que antes da abordagem de</p><p>potência de base racional e expoente positivo, negativo e zero, comece com o</p><p>tratamento de quadrado de um número. O professor deve partir do produto do</p><p>tipo: (−3). (−3) =; (− 1 3). (− 1 3) =; (−5,1). (−5,1); e outros, estimulando os</p><p>alunos a relacionarem o conhecimento que têm sobre o quadrado de um</p><p>número. O professor deve conduzir os alunos a compreenderem que o quadrado</p><p>de</p><p>um número racional é sempre não negativo. Para tal, sugere-se a realização</p><p>de exercícios para calcular quadrados de números racionais, assim como de</p><p>operações combinadas, onde estejam envolvidas as operações dos números</p><p>racionais e os quadrados, similares a este: −5 + 8 − (10 − 20) − ( 1/2 ) 2.</p><p>O conceito de potenciação já foi desenvolvido no tratamento dos números</p><p>naturais. Contudo, é importante que os alunos trabalhem com situações que</p><p>envolva multiplicação sucessiva de factores iguais, que é frequente, por</p><p>exemplo, nos problemas de contagem. No desenvolvimento do conceito, o</p><p>professor poderá conduzir os alunos a observarem a regularidade das</p><p>sequências numéricas construídas. Deste modo, o aluno poderá identificar</p><p>propriedades da potenciação e, dessa forma, compreen: derá a potência de</p><p>expoente 1 e expoente zeo. O trabalho com potência com expoente natural</p><p>poderá ser estendido para a potência de expoente negativo. Assim, o aluno</p><p>poderá analisar uma situação análoga a da tabela a seguir:</p><p>33 32 31 30 3-1 3-2 3-3</p><p>27 9 3 1 1/3 1/9 1/27</p><p>O outro contexto relacionado com a potenciação é a notação científica. Assim, a</p><p>introdução deste conceito deverá ser explicada pela necessidade de simplificar o</p><p>cálculo envolvendo números ou muito grandes ou muito pequenos, tais como:</p><p>Ideias Metodológicas do Ensino de Matemática – Ensino Básica e Educação de Adultos</p><p>____________________________________________________</p><p>Elaborado Por: Félix R.M. Moçambique</p><p>28</p><p>a) Cada microlitro de sangue contém aproximadamente 5 000 000 de glóbulos</p><p>vermelhos;</p><p>b) O diâmetro de um glóbulo vermelho é de 0,000 000 8 metros;</p><p>c) A distância média em quilómetros da terra ao sol é de 149 509 000 𝑘𝑚; e</p><p>outros. É imperioso que o professor mostre a escrita sob forma de notação</p><p>científica, pois é um conhecimento que o aluno não possui Por exemplo,</p><p>0,0000008 = 8. 0,000 000 1 = 8.10-7</p><p>.</p><p>No que concerne ao tratamento de raiz quadrada de um número racional não</p><p>negativo, um conteúdo novo para os alunos, sugere-se ao professor que faça a</p><p>introdução do conceito de raiz, através de um problema, cingindo-se,</p><p>primeiramente, ao quadrado perfeito, tendo também em consideração a raiz</p><p>quadrada do um número fraccionária e decimal., como mostram os exercícios</p><p>que se seguem: Qual é o número cujo quadrado é 4; 1 /9; 25/36; 0,64; …. É</p><p>necessário que se conduza o aluno a interpretar cada uma das situações</p><p>apresentadas e entender que pretende-se encontrar números 𝒙 tais que 𝑥2 = 4;</p><p>𝑥2 = 1 /9; 𝑥2 = 25/ 36; 𝑥2 = 0,64. E, para cada caso, o aluno deverá justificar a</p><p>sua solução. Depois destas considerações, o professor poderá moderar a</p><p>introdução da definição da raiz quadrada de um número racional não negativo.</p><p>Sugere-se que, para calcular raízes quadradas de quadrados não perfeitos, o</p><p>professor ensine o algoritmo da raiz quadrada. O professor deverá colocar</p><p>exercícios e problemas que permitam o desenvolvimento de habilidades do</p><p>cálculo de quadrados e raízes quadradas.</p><p>Para a determinação de raízes quadradas, usando aritmética mental, o professor</p><p>poderá desenvolver nos seus alunos habilidades para o cálculo mental de raízes</p><p>quadradas exactas e aproximadas. Depois de o professor verificar que os alunos</p><p>possuem competências seguras sobre esta unidade temática, poderá preparar</p><p>fichas de trabalhos para eles realizarem em pequenos grupos.</p><p>22. NÚMEROS REAIS E RADICIAÇÃO</p><p>Conteúdos</p><p>1. Revisão dos números racionais</p><p>- Representação de números racionais na recta graduada;</p><p>- Adição, subtracção, multiplicação e divisão de números racionais;</p><p>- Cálculo de quadrados e raízes quadradas de números racionais;</p><p>- Cálculo de raízes quadradas e de quadrados não perfeitos, usando</p><p>algoritmo; Noção de números irracionais;</p><p>- Conjunto de números reais e os seus subconjuntos;</p><p>- Representação de números reais na recta graduada;</p><p>- Relação entre conjuntos numéricos IN, Z, Q e IR;</p><p>2. Radiciação:</p><p>- Cálculo de cubos e raízes cúbicas de números perfeitos;</p><p>- Potência de expoente fraccionário;</p><p>- Passagem de um factor para dentro e fora do radical;</p><p>- Propriedades de radicais; -Quadrado de uma raiz quadrada;</p><p>Ideias Metodológicas do Ensino de Matemática – Ensino Básica e Educação de Adultos</p><p>____________________________________________________</p><p>Elaborado Por: Félix R.M. Moçambique</p><p>29</p><p>- Potência de um radical; -Radical em que o radicando é um radical;</p><p>- Comparação de radicais;</p><p>3. Operações com radicais:</p><p>- Adição e subtracção de radicais;</p><p>- Multiplicação e divisão de radicais;</p><p>- Racionalização de denominadores;</p><p>- Expressões numéricas.</p><p>Sugestões metodológicas</p><p>Na 8ª classe, o aluno já fez o tratamento dos conteúdos sobre potência de</p><p>expoente inteiro e propriedades de números racionais e quadrados de números</p><p>e raízes quadradas perfeitas, como pressuposto para o tratamento dos radicais.</p><p>Aprendeu, ainda, que existe um novo domínio numérico, chamado conjunto dos</p><p>números reais, como extensão do conjunto dos númerosracionais; aprendeu a</p><p>operar compotências e radicais, como ferramenta importante para as</p><p>aprendizagens nas classes subsequentes. Deste modo, nesta classe, o aluno</p><p>vai consolidar os conhecimentos anteriormente aprendidos e aprofundar as</p><p>competências de cálculo no domínio de conjuntos numéricos já aprendidos. No</p><p>desenvolvimento do domínio dos números reais, os alunos irão resolver</p><p>exercícios que envolvem o cálculo de quadrados e raízes quadradas, partindo</p><p>de problemas concretos.</p><p>Neste contexto, o professor deverá propor problemas de variadas formas que</p><p>envolvem os números racionais, tomando em consideração à sua representação</p><p>na recta graduada, às operações, à ordenação e à comparação.</p><p>Na planificação destas actividades, sugere-se que o professor inclua problemas</p><p>que não são possíveis em Q, para poder mostrar a necessidade de introduzir um</p><p>novo conjunto de números, que dá resposta a estas situações, o conjunto dos</p><p>números irracionais. A partir de vários exemplos, os alunos poderão generalizar</p><p>o conceito de número irracional, identificar e representar na recta graduada, por</p><p>aproximação. Poderão, ainda, dar outros exemplos, de algumas constantes</p><p>usadas na Física, Química, Matemática, Geografia e outras ciências, tais como,</p><p>a constante de NEPER: 𝑒 = 2,718 …, 𝜋 = 3,141592 …, número de ouro: 𝜑 =</p><p>(1+√5)/ 2 = 1,61803 … , , 𝑎𝑠 dízimas infinitas não periódicas e entre outros.</p><p>É importante que os alunos saibam justificar a aparição dos números reais e</p><p>percebam que o conjunto dos números reais é uma extensão do conjunto dos</p><p>números racionais, isto é, dos númerosinteiros e fraccionários, positivos e</p><p>negativos e,também, todos os números irracionais. Quer dizer: 𝐼𝑅 = 𝑄 ∪</p><p>{números irracionais}.</p><p>O professor orienta os alunos a representarem este conjunto na forma de</p><p>diagrama de venn. A ordenação dos números reais vai permitir que os alunos</p><p>percebam que a cada ponto da recta, corresponde um e só um número real e</p><p>Ideias Metodológicas do Ensino de Matemática – Ensino Básica e Educação de Adultos</p><p>____________________________________________________</p><p>Elaborado Por: Félix R.M. Moçambique</p><p>30</p><p>vice-versa. De igual modo, deverão verificar que a densidade do conjunto dos</p><p>números reais e a comparação de alguns númerosreais poderá ser feita,sempre</p><p>que necessário, com recurso aos valores aproximados. A distinção entre</p><p>númerosracionais e irracionais, através dasrespectivas dízimas, não deve ser</p><p>mecânica, massim consciente. Portanto, a compreensão não deve ser</p><p>substituída pela memorização, pois esta traz sempre desvantagens. O professor</p><p>deve ajudar os alunos a caracterizarem os números racionais e irracionais,</p><p>através das suas dízimas, assim como a diferenciá-los. Para o efeito, o</p><p>professor poderá propor alguns exercícios de cálculo de raízes por estimação,</p><p>com aproximações por defeito ou por excesso. Em seguida, o professor poderá</p><p>mostrar que as operações introduzidas nos outros domínios, são as mesmas no</p><p>conjunto dos números reais. Os alunos deverão</p>