1 E- Conjuntos Numéricos

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INTRODUÇÃO 
No Cálculo I estuda-se o comportamento de funções reais de uma variável, que 
depende, dentre outras coisas, de seu domínio e imagem (contidos no conjunto dos 
números reais). Por isso é importante ter clareza sobre as propriedades dos 
números reais. 
Os conjuntos que o compõem serão apresentados a seguir. 
O conceito de função será discutido posteriormente. 
 
CONJUNTOS NUMÉRICOS 
 
Um conjunto é formado por uma coleção de elementos que possuem características 
semelhantes1. Na Matemática os números são agrupados conforme suas 
características e esses agrupamentos dão origem aos conjuntos numéricos. 
Os números naturais foram os primeiros a surgir, tendo como objetivo representar 
quantidades. São os números usados para contagem. 
ℕ = {0,1,2,3, … } 
Nas situações em que se torna necessário excluir o zero, a notação usada para este 
subconjunto de ℕ é 
ℕ∗ = {1,2,3, … } 
O conjunto ℕ possui infinitos elementos. Para indicar que um número é natural 
escrevemos 𝑥 ∈ ℕ (e dizemos que x pertence a ℕ). 
Uma representação geométrica para ℕ seria 
 
 
1
 Um requisito chave para que um agrupamento de objetos seja chamado de conjunto, é que seja possível 
determinar se um objeto específico pertence ou não a ele. 
 
Título: Conjuntos Numéricos 
 
Autor: Carina Alves 
 
 
O conjunto dos números inteiros, que permite resolver problemas de contagem e 
também representar situações de ganho e perda. 
Algebricamente isso foi feito inserindo-se um novo símbolo aos números já 
conhecidos: os positivos (que deveriam representar ganhos) recebiam o sinal de + 
(mais) e os negativos (que deviam representar perdas) recebiam o sinal de – 
(menos). 
ℤ = {… , −3, −2, −1,0, 1, 2, 3, … } 
 
Geometricamente foi feita uma reflexão, em torno do zero (origem) do conjunto ℕ. 
Portanto, uma representação geométrica para ℤ seria 
 
Observe que os pares de números 1 e -1, 2 e -2, 3 e -3 estão à mesma distância da 
origem. Por isso recebem o nome de simétricos. Portanto inverter o sinal de um 
número significa, geometricamente, tomar o seu simétrico. 
O conjunto ℤ possui infinitos elementos. Para indicar que um número é inteiro 
escrevemos 𝑥 ∈ ℤ (e dizemos que x pertence a ℤ). Como todo número natural é 
também um inteiro, dizemos que ℕ está contido em ℤ e escrevemos ℕ ⊂ ℤ. 
Nas situações em que se torna necessário excluir o zero, a notação usada para este 
subconjunto de ℤ é ℤ∗. 
Quando calculamos a razão entre dois números inteiros a e b, sendo b não nulo, 
temos um número racional. Dizemos então que um número q é racional (𝑞 𝜖 ℚ) se 
existirem inteiros 𝑎 ∈ ℤ e 𝑏 ∈ ℤ∗ tais que 
𝑞 =
𝑎
𝑏
 , 𝑏 ≠ 0. 
Nessa fração, a é chamado numerador e b (sempre não nulo) é chamado 
denominador. 
Algebricamente, ao realizarmos a divisão entre os inteiros a e b (𝑏 ≠ 0) obtemos 
resultados que contém partes decimais. As dízimas periódicas2 também pertencem 
ao conjunto dos números racionais. 
Temos, então, a seguinte relação entre os conjuntos estudados: ℕ ⊂ ℤ ⊂ ℚ. 
 
2 Um número decimal que tenha expansão decimal infinita, na qual um algarismo(s) se repete(m) 
indefinidamente. 
 
Não é possível fornecer uma representação geométrica para o conjunto dos 
números racionais. Imagine pontos, marcados sobre a reta, em todos os números 
inteiros e em todas as subdivisões inteiras de cada intervalo entre dois inteiros. 
Agora imagine os pontos não marcados anteriormente, as “lacunas”. Esses pontos 
representam os números que não são racionais – chamados então irracionais. O 
conjunto 𝕀 dos números irracionais contém, então, todos os números que não podem 
ser escritos como razão de inteiros (dentre esses, os números decimais com 
expansão decimal infinita não periódica). Observe que, pela sua própria construção, 
os conjuntos ℚ e 𝕀 não possuem elementos em comum. Ou seja, ℚ ∩ 𝕀 = ∅ 
A união3 de todos os conjuntos numéricos estudados até aqui originou a criação do 
conjunto ℝ dos números reais. De agora em diante, sempre que usarmos apenas a 
palavra número, estamos nos referindo a um número real. 
 
 
 
 
 
3
 Denomina-se união de conjuntos o conjunto formado pelos elementos de todos os conjuntos que 
se deseja unir.