Caderno_E_PE2024V1 0-prob

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Autor: Langa, Mauro 
Maputo, Julho de 2024 
 
Índice 
 
1. Estatística Descritiva ....................................................................................................................... 1 
1.1. Conceitos básicos. População e amostra. Classificação de variáveis ................................... 1 
1.2. Métodos tabulares e gráficos .................................................................................................. 3 
1.3. Medidas de posição, dispersão, separatrizes, Assimetria e curtose ...................................... 8 
1.4. Caixa de bigodes .................................................................................................................. 13 
2. Teoria de Probabilidades .............................................................................................................. 14 
2.1. conceitos básicos, definição clássica de probabilidade ........................................................ 14 
2.2. teorema de soma e produto .................................................................................................. 15 
2.3. Probabilidade condicional, total e teorema de Bayes ........................................................... 15 
3. Análise combinatória ..................................................................................................................... 18 
4. Variáveis Aleatórias Discretas e Contínuas. ................................................................................. 21 
4.1. variáveis aleatórias discretas ................................................................................................ 21 
4.2. variáveis aleatórias continuas ............................................................................................... 24 
5. Distribuição especial de probabilidades ........................................................................................ 27 
5.1. distribuição discretas: Bernoulli, Binomial, Binominal Negativa, Uniforme, Poisson, 
Geométrica e Hipergeométrica) ........................................................................................................ 27 
5.2. Distribuição continua: exponencial e normal ........................................................................ 31 
6. Teoria de amostragem .................................................................................................................. 34 
7. Correlação e Regressão linear Simples. ...................................................................................... 36 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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Caderno de Exercícios – PE 
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1. Estatística Descritiva 
 
1.1. Conceitos básicos. População e amostra. Classificação de variáveis 
 
 
1. Assinala com V, as afirmações verdadeiras e com F, as falsas. 
 
a) Estatística é um conjunto de técnicas destinadas a organizar um conjunto de valores 
numéricos. 
b) A estatística descritiva fornece uma maneira adequada de tratar um conjunto de valores, 
numéricos ou não, com a finalidade de conhecermos o fenómeno de interesse. 
c) Qualquer amostra representa, de forma adequada, uma população 
d) População é um conjunto de pessoas com uma característica comum. 
e) Ao nascer, os bebés são pesados e medidos, para saber se estão dentro das tabelas 
padrão. Estas variáveis são contínuas. 
f) A estatística descritiva compreende as técnicas por meio das quais são tomadas decisões 
sobre uma população com base na observação de uma amostra; 
 
2. Defina e/ou explique com suas próprias palavras, o que você entende por Estatística e quais os 
principais ramos (partes) da Estatística. 
 
3. Diferencie Estatística de Estatísticas. 
 
4. Através de um exemplo, defina: População e Amostra. 
 
5. Dê um exemplo de estudo em que se tem de retirar uma amostra por ser impossível estudar toda 
a população. 
 
6. O que você entende por variável? Justifique a sua resposta por intermédio de um exemplo. 
 
7. Como você diferencia uma variável discreta de uma variável contínua? Utilize um exemplo para 
melhor ilustrar. 
 
8. Para as situações descritas a seguir, identifique a população e a amostra correspondente e a 
variável em estudo: 
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a) Uma fábrica de vigas de aço quer determinar a resistência à tracção de suas vigas. Para 
isso, selecciona um lote de 100 vigas de aço de sua produção semanal e mede a 
resistência à tracção de cada uma. 
 
b) Uma empresa de pneus deseja avaliar o desgaste de um modelo específico de pneus após 
20.000 km de uso. Para isso, selecciona aleatoriamente 50 pneus desse modelo de 
diferentes lotes de produção e mede a profundidade da banda de rodagem de cada um. 
 
c) Uma cidade quer avaliar a eficiência energética de seus edifícios comerciais. Para isso, 
escolhe 30 edifícios comerciais de forma aleatória e registra o consumo de energia 
eléctrica mensal de cada um. 
 
d) Uma empresa de baterias de íon-lítio está interessada na durabilidade de suas baterias. 
Para isso, selecciona 200 baterias de diferentes lotes de produção ao longo do ano e mede 
a vida útil em ciclos de carga/descarga de cada uma. 
 
 
9. Classifique as seguintes variáveis como qualitativas ou quantitativas: 
a) Tipo de material (Aço, Alumínio, Cobre) 
b) Resistência à tracção (MPa): [350, 420, 390, 410, 380] 
c) Número de defeitos em um lote: [0, 1, 3, 2, 1] 
d) Temperatura de operação (°C): [75, 80, 78, 82, 79] 
 
10. Classifique as seguintes variáveis 
 
a) Número de dentes em uma engrenagem 
b) Tipo de material (aço, alumínio, titânio) 
c) Corrente eléctrica em um circuito (em amperes) 
d) Número de andares em um edifício 
e) Classe de resistência do concreto (C20, C25, C30) 
f) Tipo de fundação (superficial, profunda, radier) 
g) Diâmetro de um eixo (em milímetros) 
h) Tipo de sensor (térmico, de pressão, de proximidade) 
i) Número de fases em um motor eléctrico 
j) Velocidade de rotação de um motor (em revoluções por minuto, RPM) 
k) Nível de qualidade de acabamento superficial (baixo, médio, alto) 
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l) Número de ciclos de operação de um relé 
m) Comprimento de uma viga (em metros) 
n) Nível de acabamento de uma construção (baixo, médio, alto) 
o) Tipo de pavimento (asfalto, concreto, intertravado) 
p) Classificação de eficiência energética de motores (A, B, C, D 
q) Contagem de transístores em um circuito integrado 
r) Tipo de motor eléctrico (CC, CA, passo a passo) 
s) Resistência eléctrica de um componente (em ohms) 
t) Volume de concreto utilizado em uma fundação (em metros cúbicos) 
 
 
1.2. Métodos tabulares e gráficos 
 
 
11. A sequência abaixo representa a observação do número de acidentes por dia, em uma rodovia, 
durante20dias. 
0 2 0 1 1 0 0 0 3 2 1 0 1 2 0 1 3 2 2 0 
a) Indica e classifica a variável em estudo. 
b) Coloca os dados numa tabela de frequências 
c) Representa os dados num gráfico 
 
12. Um artigo reportou dados sobre um experimento, investigando o efeito de muitas variáveis de 
processos de oxidação, em fase vapor, de naftaleno. Uma amostra de conversão percentual molar 
de naftaleno em anidrido maléfico resulta em: 4, 2 ; 4,7 ; 4,7 ; 5,0 ; 3,8 ; 3,6 ; 3,0 ; 5,1 ; 3,1 ; 3,8 ; 
4,8 ; 4,0 ; 5,2 ; 4,3 ; 2,8 ; 2,0 ; 2,8 ; 3,3 ; 4, 8 ; 5,0 ; 4,8 ; 3,9 ; 5,3 ; 5,0 ; 4,7 ; 3,6 ; 3,8 ; 3,0 ; 3,2 ; 
4,2 ; 4,5 ; 4,7 ; 4,9 ; 4,0 ; 4,1 ; 4,4 ; 5, 0 
a) Organiza os dados numa tabela de frequências 
b) Com base em a) represente os dados num gráfico adequado. 
 
 
13. Número de vezes que estudantes procuram o serviço do registo académico do ISUTC, é uma 
variável aleatória cujo os resultados de um estudo estão na tabela abaixo: 
Nº de vezes (X) 0 1 2 3 4 5 
Nº de estudantes (fi)18 10 3 2 1 1 
 
a) Quantos estudantes procuram o serviço do registo acadêmico do ISUTC? 
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b) Qual é a percentagem de estudantes que procuram o serviço do registo académico no mínimo 
3 vezes? 
 
 
 
14. O Departamento de Comércio declarou ter recebido os seguintes formulários de inscrição para o 
Prémio de Qualidade Nacional Malcolm Baldrige (nos USA): 10000 de grandes empresas de 
manufactura, 500 de grandes empresas de serviços e 15000 de pequenas empresas de negócios. 
(EXAME, 1ª época, 2024) 
a) Qual foi o tamanho da amostra para essa pesquisa? 
b) Identifique e classifique o tipo de variável em questão. 
c) Que percentagem de formulários foi entregue pelas pequenas empresas? 
 
 
15. Pretendeu-se realizar um estudo para identificar os tipos de antivírus utilizados pelos alunos do 4° 
ano do ISUTC. Para isso, foi conduzido um inquérito, ao qual responderam 300 estudantes, destes 
20 afirmaram que não usam antivírus. Indique: 
a) A população e a mostra em estudo 
b) A variável em estudo e classifique-a 
c) Qual é a percentagem dos estudantes que não usam antivírus. 
 
 
 
16. Considera a seguinte tabela 
 
Intervalos de classe fi Ponto médio Fi fr 
 0,02 
 12 
62-65 0,06 
 66,5 84 
 126 
 36 
 225 
 0,15 
 300 
 
a) Completa a tabela 
b) Construa o polígono de frequências 
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17. Como parte de um estudo de controle de qualidade que visa melhorar uma linha de produção, os 
pesos (em onças) de uma amostra de 40 barras de sabão foram medidos. Os resultados estão 
abaixo: 
11,6 14,3 16,5 12,7 12,8 16,5 13,7 13,3 14,3 
14,6 15,9 15,2 15,6 15,8 16,5 16,5 16,5 17,3 
15,9 17,1 18,3 20,6 17,4 12,6 12,6 18,3 18,5 
17,7 17 16,1 16,4 19,2 14,6 14,6 14,8 15 
a) Identifica e classifica a variável em estudo 
b) Represente os dados numa tabela de frequências 
c) Represente estes dados por meio de um boxPlot 
 
18. O gráfico mostra a distribuição salarial por semana (em mil meticais) de um grupo de 200 Engenheiros 
formados no ISUTC. (EXAME, 2023) 
 
a) (Indique e classifique a variável em estudo. 
b) Determine o valor de a. 
c) Qual é a percentagem de engenheiros com um salário de pelo menos 4 mil? 
d) Quantos engenheiros tem um salário abaixo de 3200 meticais? 
 
 
0,06
0,02
0,04
0,12
a
0,30
0,19
0,10
fr
Salários(mil meticais)
2,0 4,84,44,03,63,22,82,4 5,2
 
 
 
19. Dado o gráfico a seguir, (no interior dos rectângulos estão anotadas as frequências relativas em 
%). 
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Sabendo que os dados do gráfico acima são referentes a 120 observações, apresente-os em 
uma tabela de frequências incluindo todo o tipo de frequências por si estudadas. 
 
 
 
20. A tabela abaixo mostra a prioridade de 30 projectos na área de engenharia mecânica, classificados 
como A (Alta), M (Média) e B (Baixa). O objectivo é analisar a distribuição dessas prioridades para 
optimizar a alocação de recursos. 
 
Use a estatística descritiva para sintetizar os seguintes dados colectados sobre a distribuição 
dessas prioridades. Qual é a sua impressão sobre as prioridades para optimizar a alocação de 
recursos? 
 
 
A M B A M B A M B A 
M B A M B A M B A M 
B A M B A M B A M B 
 
 
21. Como resposta a uma pergunta sobre os cursos frequentados pelos estudantes do ISUTC, obteve-
se: 150 Engenharia Electrotécnica, 90 Engenharia Electrónica e de Telecomunicações, 80 
Engenharia Mecânica e de Transportes, 190 Engenharia Informática 180 Contabilidade. 
a) Identifique e classifique a variável em estudo. 
b) Construa a tabela de frequências. 
c) Represente graficamente a informação anterior 
 
22. Considera com seguintes dados referentes a idades de 36 funcionários de uma Empresa de 
Construção Civil. 
45 47 49 50 51 50 52 53 59 
54 58 65 55 73 63 67 56 64 
60 62 71 56 61 65 61 71 56 
57 59 60 57 62 68 67 59 61 
 
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23. Uma Empresa usa um questionário para solicitar aos seus clientes uma avaliação da empresa, da 
qualidade dos serviços, dos preços e do ambiente da mesma empresa. Cada característica é 
avaliada numa escala de excelente (E), óptimo (O), bom (B), médio (M) e fraco (F). 
 
 B E O B M E O E O B E O
 M O E F M E B M E E E B
 E O M B E O F O E E B E
 E E B M E O E E B O M B 
 
a) Construa uma tabela de frequências 
b) Qual é a percentagem dos clientes que responderam que os serviços eram bons? 
c) Representa os dados num gráfico de barras. 
 
24. A tabela a seguir apresenta a categoria de 30 projectos, classificados conforme o tipo de projecto: 
Design (D), Manutenção(M) e Pesquisa (P). O objectivo é analisar a distribuição dessas categorias 
para entender a concentração de projectos em diferentes áreas de actuação. 
D M P D M P D M P D 
M P D M P D M P D M 
P D M P D M P D M P 
 
a) Representa os dados numa tabela de frequências 
b) Qual é a percentagem dos projectos do tipo Manutenção 
c) Representa os dados num gráfico circular. 
 
 
25. O Ministério de Obras Públicas e Habitação e Recursos Hídricos de Moçambique realizou um 
levantamento das obras inacabadas no país, conforme a tabela a seguir 
 
Tabela 1:Levantamento de obras inacabadas no pais, 2024 
N° 
Tipo de 
Engenharia 
Custo (em 
milhões de 
Meticais) 
Cidade 
Categoria do 
Projeto 
1 Civil 150 Maputo Infra-estrutura 
2 Eléctrica 100 Beira Energia 
3 Mecânica 200 Nampula Industrial 
4 Ambiental 80 Chimoio Sustentabilidade 
5 Civil 180 Tete Infra-estrutura 
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6 Eléctrica 90 Quelimane Energia 
7 Mecânica 220 Nacala Industrial 
8 Ambiental 70 Pemba Sustentabilidade 
9 Civil 160 Xai-Xai Infra-estrutura 
10 Eléctrica 110 Inhambane Energia 
11 Mecânica 210 Lichinga Industrial 
12 Ambiental 85 Angoche Sustentabilidade 
13 Civil 175 Maxixe Infra-estrutura 
14 Eléctrica 95 Mocuba Energia 
15 Mecânica 205 Cuamba Industrial 
 
 
 
a) Identifica e classifica que todas as variáveis descritas no banco de dados acima 
b) Construa tabelas de distribuição de frequência para as variáveis tipo de engenharia e 
categoria do projecto; 
c) Construa uma tabela de dupla entrada (ou tabela de contingência) para as variáveis tipo de 
engenharia e o custo; 
d) Represente com gráfico adequado para a variável tipo de engenharia. 
 
1.3. Medidas de posição, dispersão, separatrizes, Assimetria e curtose 
 
 
26. O artigo “The Pedaling Technique of Elite Endurance Cyclists” (Int. J. of Sport Biomechanics, 1991, 
p. 29- 53) relatou os dados a seguir sobre a potência de uma única perna de um ciclista em alta 
carga de trabalho: 244 191 160 187 180 176 174 205 211 183 211 180 194 200 
a) . Calcule e interprete a média e a mediana amostrais. 
b) Suponha que a primeira observação tenha sido 204 em vez de 244. Como a média e a 
mediana seriam afectadas? 
c) Calcule uma média aparada, eliminando a maior e a menor observações da amostra. Qual 
é a percentagem de truncamento correspondente? 
 
 
27. Numa serie de 25 medições obteve-se a média amostral de 56 m e desvio padrão igual a 2 metros. 
Depois de obtidos estes resultados descobriu-se que tinha sido cometido um engano numa das 
medições, que foi registada com o valor de 64 m. admitindo que a medição é omitida, determine a 
média. 
 
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28. As seguintes medições são registradas para o tempo de secagem (em horas) de umadeterminada 
marca de tinta esmalte. 
 
3.4 2.5 4.8 2.9 3.6 2.8 3.3 5.6 3.7 2.8 
4.4 4.0 5.2 3.0 4.8 
 
 
Suponha que as medições constituem uma amostra aleatória simples. 
a) Qual é o tamanho da amostra acima? 
b) Calcule a média amostral para esses dados. 
c) Calcule a mediana e a moda da amostra. 
 
29. De acordo com a revista Chemical Engineering, um profissionalUma propriedade importante de 
uma fibra é a sua absorção de água. Uma amostra aleatória de 20 peças de fibra de algodão e 
mede-se a absorção de cada uma. 
 
Os valores de absorção são os seguintes: 18,71 21,41 20,72 21,81 19,29 22,43 20,17 23,71 
19,44 20,50 18,92 20,33 23,00 22,85 19,25 21,77 22,11 19,77 18,04 21,12 
a) Calcule a média e a mediana da amostra para os valores da amostra anterior. 
b) Calcule a média aparada de 10%*. 
 
30. Os dados abaixo foram colhidos de uma amostra de funcionários públicos de certo Ministério em 
Moçambique, onde se estudou o tempo (em anos) que os funcionários levaram para abandonar o 
aparelho do Estado: 
TEMPO 5  10 10 15 15 20 20  25 25  30 
Nº de funcionários 2 8 24 8 2 
 
 Determine: Média, mediana, a moda(use a formula de King) e o percentil 25. Interprete o 
percentil 25. 
 
 
31. A tabela ao lado representa a distribuição de salários mensais em dólares de 160 funcionários de 
uma empresa. (80 pontos) 
Salário 
semanal 
Nº funcionários 
 if 
a) Trace o histograma das frequências absolutas 
b) Qual é a percentagem dos funcionários que auferem 
menos de 40 dólares por semana? 
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[25, 30[ 10 
[30, 35[ 20 
[35, 40[ 30 
[40, 45[ 40 
[45, 50[ 30 
[50, 55[ 20 
[55, 60[ 10 
Total 160 
c) Calcule a média, a mediana e a moda dos salários. 
 
 
32. Enquadrado na política de urbanização dum determinado município, relacionada com a definição 
obrigatória de espaços verdes, foram aprovados 100 projectos de construção de pequenos jardins 
públicos nesse concelho. As áreas, em m2, dos referidos jardins distribuem-se da seguinte forma: 
 
Áreas 300 -600 600-900 900-1200 1200-1500 1500-1800 
N° de jardins 50 30 9 5 6 
 
a) Represente os dados num gráfico 
b) Determina as medidas de tendência central (média, mediana e moda) 
 
 
33. Os dados a seguir são referentes aos diâmetros de 30 cabos eléctricos produzidos no mês de Maio 
por uma empresa localizada na Província de Maputo. 
Diâmetro de cabo eléctrico 0 - 4 4 - 8 8 - 12 12 - 16 16 - 20 
Nᵒ de cabos eléctricos 5 6 7 2 10 
 
a) Calcula a média, a mediana e a moda 
b) Qual é o diâmetro mínima dos 70% dos cabos com maior diâmetro. 
 
 
34. Em estudo realizado pelo Departamento de Engenharia Mecânica pela Virginia Tech As hastes 
de aço que fornecem dois empresas diferentes. Dez molas foram fabricadas amostra com as 
hastes de metal fornecidas pela cada uma das empresas e suas medições foram registradas de 
flexibilidade. Os dados são os seguintes: 
 
 Empresa A: 9,3 8,8 6,8 8,7 8,5 6,7 8,0 6,5 9,2 7,0 
 Empresa B: 11,0 9,8 9,9 10,2 10,19,7 11,0 11,1 10,2 9,6 
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a) Calcule a média e a mediana da amostra para os dados de ambas as empresas. 
b) Faça um gráfico dos dados das duas empresas na mesma linha e explique sua 
conclusão sobre quaisquer diferenças aparentes entre as duas empresas. 
 
 
35. O transporte público e o automóvel são dois meios que um empregado pode usar para ir ao 
trabalho diariamente. Amostras de tempo para cada meio estão registradas a seguir. Os tempos 
estão em minutos. (EXAME, 2024) 
 
 
Transporte público: 28 29 32 37 33 25 29 32 41 34 
 Automóvel 29 31 33 32 34 30 31 32 35 33 
 
a) Calcule o tempo médio da amostra de cada meio para ir ao trabalho. 
 
b) Com base nos conhecimentos adquiridos em estatística, ao longo do semestre, a 
quando do estudo de medidas de dispersão, que meio de transporte deve ser preferido? 
(Mostre com cálculos e fundamentos estatísticos). 
 
36. As seguintes medições são registradas para o tempo de secagem (em horas) de uma determinada 
marca de tinta esmalte. 
 
3.4 2.5 4.8 2.9 3.6 2.8 3.3 5.6 3.7 2.8 
4.4 4.0 5.2 3.0 4.8 
Calcula: 
a) Variância 
b) Desvio padrão 
c) Coeficiente de variação 
d) Desvio médio 
e) Classifica os dados quanto a assimetria e curtose 
 
37. Na analise de resistência à tração de um material compósito utilizado em peças de engenharia. 
Foram realizadas 10 medições da resistência (em MPa) e os valores obtidos são: 
 420, 430, 425, 440, 435, 445, 420, 430, 450, 460 
a) Amplitude total 
b) Variância 
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c) Desvio padrão 
d) Coeficiente de variação 
e) Desvio médio 
f) Classifica os dados quanto a assimetria e curtose 
 
38. Os dados a seguir são referentes aos diâmetros de 30 cabos eléctricos produzidos no mês de Maio 
por uma empresa localizada na Província de Maputo. 
Diâmetro de cabo eléctrico 0 - 4 4 - 8 8 - 12 12 - 16 16 - 20 
Nᵒ de cabos eléctricos 5 6 7 2 10 
 
a) Variância 
b) Desvio padrão 
c) Coeficiente de variação 
d) Desvio médio 
e) Classifica os dados quanto a assimetria e curtose 
 
39. Considera os seguintes dados a dureza de uma série de amostras de metal e tem os seguintes 
dados agrupados em classes para dureza (em HRA - Rockwell C) 
 
Classe de dureza Fi 
50-54 3 
55-59 11 
60-64 23 
65-69 30 
70-74 35 
 
a) Variância 
b) Desvio padrão 
c) Coeficiente de variação 
d) Desvio médio 
e) Classifica os dados quanto a assimetria e curtose 
 
 
40. Em estudo realizado pelo Departamento de Engenharia Mecânica pela Virginia Tech As hastes de 
aço que fornecem dois empresas diferentes. Dez molas foram fabricadas amostra com as hastes 
de metal fornecidas pela cada uma das empresas e suas medições foram registradas de 
flexibilidade. Os dados são os seguintes: 
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 Empresa A: 9,3 8,8 6,8 8,7 8,5 6,7 8,0 6,5 9,2 7,0 
 Empresa B: 11,0 9,8 9,9 10,2 10,19,7 11,0 11,1 10,2 9,6 
Qual das empresas apresenta menor variabilidade 
 
 
1.4. Caixa de bigodes 
 
41. Uma Empresa está comparando o tempo de vida útil (em horas) de dois tipos de equipamentos 
utilizados em uma linha de produção. Os box plots para os tempos de vida útil são os seguintes: 
 
 
 Equipamento A Equipamento B 
Mediana 800 850 
Q1 700 750 
Q3 900 950 
Máximo 1000 1100 
Mínimo 600 700 
 
a) Compare as medianas dos dois equipamentos e indique qual equipamento tem a mediana 
mais alta. 
b) Qual equipamento tem o maior intervalo interquartílico (IQR)? 
c) Qual equipamento apresenta uma maior variação nos tempos de vida útil (diferença entre o 
máximo e o mínimo)? 
 
 
42. Considere os seguintes dados de medição de precisão (em micrómetros) para um componente 
fabricado: 2.1, 2.4, 2.3, 2.5, 2.6, 2.2, 2.3, 2.4, 2.5, 2.7. 
 
 
a) Calcule a mediana, o primeiro quartil (Q1) e o terceiro quartil (Q3) para os dados de medição 
de precisão. 
b) Desenhe o box plot com base nos cálculos obtidos. 
 
 
43. Na avaliação da vida útil de rolamento em um equipamento de engenharia foi colectado o tempo 
de operação (em horas) antes da falha, para uma amostra de 20 rolamentos: 
14 
Caderno de Exercícios – PE 
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500, 520, 510, 530, 540, 550, 505, 515, 525, 535, 545, 555, 560, 570, 580, 600, 610, 620, 
a) Calcule a mediana, o primeiro quartil (Q1) e o terceiro quartil (Q3) para os dados de medição 
de precisão. 
b) Desenhe o box plot com base nos cálculos obtidos. 
 
44. Um relatório avaliamodelos de carros com base no número de reclamações de seguro preenchidas 
após os acidentes. Os índices avaliados próximos de 100 são considerados médios. Avaliações 
menores são melhores, indicando um modelo de carro mais seguro. A seguir são mostradas 
avaliações para 20 carros de tamanho médio e 20 carros pequenos 
 
Carros médios: 81, 91, 93, 127, 68, 81, 60, 51, 58, 75, 100, 103, 119, 82, 128, 76, 68, 81, 91, 82. 
 
Carros pequenos: 73,100, 127, 100, 124, 103, 119, 108, 109, 113, 108, 118, 103,120,102,122,96,133, 
80, 140. 
 
a) Mostre os boxplot para os dois tipos de carros. 
b) Faça um relatório sobre o que os números indicam acerca da segurança dos carros médios 
em comparação com os pequenos. 
 
 
 
 
 
 
2. Teoria de Probabilidades 
2.1. conceitos básicos, definição clássica de probabilidade 
 
45. Uma jarra contém 1 bola vermelha, 3 verdes, 4 amarelas e 8 azuis. São retiradas e sem reposição 
3 bolas. Calcule a probabilidade de sair (EXAME, 1ª época 2024) 
a) Duas da mesma cor. 
b) Duas bolas vermelhas e uma verde. 
c) Três bolas verdes. 
d) Uma bola vermelha. 
 
 
15 
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46. Numa estante existem 6 livros de matemática e 4 livros de física. Encontre a probabilidade de 3 
livros de matemática estarem juntos. (EXAME, 1ª época 2020) 
 
2.2. teorema de soma e produto 
 
47. A probabilidade de um componente apresente o defeito tipo 1 é de 3% e do tipo 2 é de 6%, e a 
probabilidade do componente apresente ambos é de 2%. Encontre: 
a) a probabilidade de um componente apresentar o defeito tipo 1 ou o defeito tipo 2 
b) a probabilidade não apresentar nenhum dos dois defeitos. 
 
48. Num grupo de 500 estudantes, 80 estudam Engenharia, 150 estudam Economia e 10 estudam 
Engenharia e Economia. Se um aluno é escolhido ao acaso, qual a probabilidade de que: 
a) Ele estude Economia e Engenharia 
b) Ele estude somente Economia 
c) Ele não estude Engenharia nem Economia 
 
2.3. Probabilidade condicional, total e teorema de Bayes 
 
 
49. Uma empresa administra um teste a um grupo de 40 seus colaboradores, que aspiram a 
determinado cargo, para qualificá-los. A tabela a seguir resume os resultados por género. 
 
 Masculino Feminino Total 
Aprovado 7 2 9 
Reprovado 18 13 31 
Total 25 15 40 
 
 Se um desses funcionários for seleccionado aleatoriamente, encontre a probabilidade de 
que: 
a) Ser homem ou ter sido aprovado no exame. 
b) Sabendo que o funcionário foi aprovado, qual é a probabilidade de ser do sexo 
feminino? 
c) Ser homem dado que foi reprovado? 
 
 
16 
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50. Em um laboratório de engenharia, um teste é realizado para verificar a presença de um defeito em 
um lote de peças. De um total de 100 peças, 30 têm um defeito conhecido. Destas 30 peças 
defeituosas, 15 são de um tipo específico. 
a) Calcule a probabilidade de uma peça ser defeituosa do tipo específico dado que ela é 
defeituosa. 
b) Calcule a probabilidade de uma peça ser defeituosa, dado que ela é do tipo específico. 
 
 
51. Em uma análise de falhas de materiais, você sabe que 25% dos testes mostram falhas de 
soldagem e 10% dos testes mostram falhas de soldagem em peças de um tipo específico. 
 
a) Calcule a probabilidade de uma peça ser do tipo específico, dado que ela apresentou falha 
de soldagem. 
 
b) Calcule a probabilidade de uma peça ter falha de soldagem, dado que ela é do tipo específico. 
 
 
52. Sejam A e B dois eventos aleatórios com 2/1)( AP , 3/1)( BP e 4/1)(  BAP . 
Determine: 
 
a) )|( BAP 
b) )|( ABP 
c) )( BAP  
d) )|(
_______
BAP 
 
53. Três máquinas A, B e C produzem, respectivamente, 60%, 30% e 10% do total de peças de uma 
fábrica. As percentagens de produção defeituosa destas máquinas são, respectivamente, 2%, 3% 
e 4%. Uma peça é seleccionada aleatoriamente e é defeituosa. Encontre a probabilidade da peça 
ter sido produzida pela maquina A.(EXAME, 1ª época, 2024) 
 
 
 
54. O Vicente Jr. é um estudante do ISUTC que decidiu testar a capacidade de raciocínio dos seus 
colegas na disciplina de Probabilidades e Estatística. Para tal, ele procurou duas urnas e chamou-
as de urnas A e B. Ele foi a FANTASIA, no GAME, e comprou 7 bolas brancas e 11 bolas pretas e 
distribuiu nas urnas da seguinte forma: .(EXAME, 1ª época 2023) 
17 
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 Urna A: 3 bolas brancas e 5 pretas; 
 Urna B: 4 bolas brancas e 6 pretas. 
 
Diante dos colegas ele fecha os olhos e escolhe uma urna ao acaso e de lá retira uma bola. No 
final, ele pede a um dos colegas para que calcule a probabilidade de ele ter retirado uma bola de 
cor preta desta urna escolhida ao acaso 
 
 
55. Um estudo realizado pelo Departamento de Ciência Básicas do ISUTC (DCB) encabeçado pelo 
Director do Departamento, o Dr Alberto Daniel, revelou que apenas 20% dos estudantes do 
primeiro ano estuda (fazem revisões em casa, TPC e vão às aulas de consulta). Ainda, dos 
resultados do estudo, constatou-se que se um estudante estuda ele tem 99% de chances de passar 
de nível. Infelizmente, mesmo com todos os esforços que os professores fazem para ensinar e 
persuadir aos estudantes para que revejam as matérias, apenas 2% dos estudantes que não 
estudam passam de nível. Preocupado com esta situação, a direcção do ISUTC (Sector 
Pedagógico) solicitou ao gabinete de estatística para prever o sucesso escolar para estes 
estudantes e as questões colocadas foram:(EXAME, 1ª época 2023) 
 
a) Qual a probabilidade de um estudante não passar de nível? 
b) Se o estudante não passou de nível, qual é a probabilidade de ele não ter estudado? 
 
 
56. O receptor de um determinado equipamento de uma rede de telecomunicações recebe mensagens 
de instruções através de três possíveis transmissores diferentes. Estatísticas da rede mostram que 
50% das mensagens recebidas são enviadas pelo transmissor 1, 40% pelo transmissor 2 e 10% 
pelo transmissor 3. Para fins de garantia de integridade das informações, o protocolo de 
comunicação exige que o receptor confirme o recebimento repetindo ao seu transmissor a 
mensagem recebida. Entretanto, a chance de os transmissores enviarem mensagens contendo 
erros nos bits que os identificam é de 1%, 3% e 6%, respectivamente. Com base nessas 
estatísticas, calcule:(EXAME,1ª época 2024) 
 
a) A probabilidade de chegar uma mensagem no receptor com erro de identificação do remetente 
e, portanto, o receptor não ter certeza sobre qual transmissor ele deve responder. 
b) Para cada um dos três transmissores, a probabilidade deste ter sido o remetente de uma 
mensagem que chegou no receptor com erro na identificação. 
 
57. Uma fábrica de parafusos utiliza três maquinas de acabamento com volume diário de produção, 
respectivamente de 500, 1000 e 2000 unidades. De acordo com a experiencia anterior sabe-se 
18 
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que a percentagem de parafusos defeituosos originados por cada maquina é respectivamente de 
0,005; 0,008 e 0,01. 
a) Determine a percentagem de parafusos defeituosos 
b) Sabendo que um parafuso foi encontrado defeituoso, pretende-se apurar qual a maquina que 
com maior probabilidade terá dado origem. 
 
 
 
58. Os clientes de uma empresa de telefonia de um país X são servidos por três centrais: alfa1, alfa2 
e alfa3. Constata-se que alfa2 e alfa3 servem o mesmo número de clientes, enquanto alfa1 serve 
o dobro daquelas. Por outro lado, tomou-se conhecimento de que 2% das ligações de alfa1 e 4% 
das ligações de alfa2 registaram falhas, enquanto que 94% das ligações de alfa3 não registaram 
qualquer problema. A empresa garante aos clientesque as suas ligações têm uma fiabilidade de 
95%. 
a) Concorda com a taxa de fiabilidade apresentada pela empresa? 
b) Um cliente acaba de informar a empresa que a sua ligação falhou. Qual a central que, com 
maior probabilidade, estaria a utilizar? 
 
59. Duas máquinas A e B produziram, respectivamente, 100 e 200 peças. Sabe-se que A produz 5% 
de peças defeituosas e B produz 6%. Selecciona-se uma peça ao acaso, qual é a probabilidade 
de ela ser defeituosa? 
60. Três máquinas A, B e C produziram igual número de peças. Sabe-se que A produz 5% de peças 
defeituosas, B produz 2% e C produz 6%. Selecciona-se uma peça ao acaso. Sabendo que está 
com defeito, qual é a probabilidade de ter sido produzida na maquina B? 
 
3. Análise combinatória 
 
61. Quantos números de 7 dígitos podem ser formados usando apenas os algarismos 1, 6, 6, 6, 8, 8, 
8? 
 
62. Existem 10 jogadores de futebol de salão, entre eles João e o Jorge que por sinal são os únicos 
que jogam como guarda redes. Nesta condição quantas equipas de 5 jogadores podem ser 
escaladas? 
63. Numa prova, um estudante deve responder exatamente 7 questões de um total de 10 questões. 
Quantas escolhas ele tem? Quantas escolhas ele tem se entre as 7 questões deve responder pelo 
menos 3 das primeiras 5 questões? 
19 
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64. Vinte e cinco membros de uma sociedade devem eleger um presidente, um secretário e um 
tesoureiro. Supondo que qualquer dos vinte e cinco membros é elegível para qualquer dos cargos, 
quantas são as hipóteses de um resultado final? 
 
 
65. Um cofre possui disco marcado com os dígitos 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9. O segredo do cofre é 
formado por uma sequência de 3 dígitos. Se uma pessoa tentar abrir o cofre, quantas tentativas 
deverá fazer (no máximo) para conseguir abrí-lo. (Suponha que a pessoa sabe que a pessoa sabe 
que o segredo é formado por dígitos distintos). 
 
66. Em relação à palavra TEORIA: 
 
a) Quantos anagramas existem? 
b) Quantos anagramas começam por T? 
c) Quantos anagramas começam por T e terminam com A? 
d) Quantos anagramas começam por vogal? 
e) Quantos anagramas têm as vogais juntas? 
 
67. Quatro livros de Matemática, seis de Física e dois de Química, todos diferentes, devem ser 
arrumados numa prateleira. Quantas arrumações diferentes são possíveis se: 
a) os livros de cada matéria ficarem todos juntos? 
b) apenas os livros de matemática devem ficar juntos? 
 
68. Uma rede de comunicação pode usar 3 tipos diferentes de modulação e cada tipo pode operar em 
5 frequências diferentes. Quantas configurações distintas de canal podem ser usadas? 
 
69. Um engenheiro planeja testar 2 diferentes métodos de processamento e 4 condições ambientais. 
Quantos experimentos diferentes podem ser realizados? 
 
70. Um engenheiro está criando um nome para um novo projecto usando as letras da palavra 
"ENGENHARIA". Quantos anagramas diferentes podem ser formados? 
 
71. Em um sistema de segurança, uma senha é formada pela permutação das letras da palavra 
"CIRCUITO". Quantas senhas distintas podem ser geradas? 
 
 
20 
Caderno de Exercícios – PE 
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72. Um laboratório tem 8 protótipos e deseja testar 3 deles em sequência. Quantos arranjos possíveis 
de testes podem ser realizados? 
 
73. Em um projecto de engenharia, 5 tipos diferentes de recursos precisam ser alocados em 3 
diferentes etapas do projecto. Quantos arranjos diferentes são possíveis para essas alocações? 
74. Em um design de circuito, você pode usar 4 tipos de componentes repetidamente em 5 posições 
diferentes. Quantos arranjos diferentes de componentes são possíveis? 
 
75. Em um processo de fabricação, há 6 diferentes tarefas e cada tarefa pode ser repetida 3 vezes. 
Quantos arranjos diferentes de tarefas podem ser feitos? 
 
76. Uma equipe de engenharia precisa organizar 7 diferentes componentes em uma linha de 
montagem. Quantas maneiras diferentes essa organização pode ser feita? 
 
77. Para um evento técnico, 6 palestrantes devem ser organizados em uma agenda. Quantas 
possíveis ordens de apresentação existem? 
 
78. Um software possui 4 opções de configuração, e cada configuração pode ser repetida até 3 vezes 
em um conjunto de 5 opções. Quantas permutações diferentes são possíveis? 
 
79. Uma máquina de testes possui 5 diferentes modos de operação, e você precisa executar uma 
sequência de 4 testes onde os modos podem se repetir. Quantas sequências diferentes podem 
ser realizadas? 
 
80. Em um projecto de engenharia, há 12 membros e você precisa seleccionar 4 para formar uma 
equipe. Quantas combinações diferentes de membros podem ser feitas? 
 
81. Uma empresa de engenharia tem 15 tipos de equipamentos e deseja seleccionar 5 para um teste. 
Quantas combinações possíveis podem ser seleccionadas? 
 
82. Em um experimento de engenharia química, você pode usar 6 diferentes compostos e cada um 
pode ser repetido até 4 vezes. Quantas combinações possíveis de compostos podem ser criadas? 
 
83. Um sistema de controle tem 8 opções de parâmetros, e você deve configurar um sistema com 5 
parâmetros onde cada opção pode se repetir. Quantas combinações possíveis existem? 
 
84. Um processo de fabricação envolve 3 etapas principais, cada uma podendo ter 4 variações 
diferentes. Quantas sequências distintas de operações podem ser realizadas? 
21 
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85. Um engenheiro está criando códigos de identificação para produtos usando as letras da palavra 
"PROJETO". Quantos códigos únicos podem ser gerados? 
 
86. Um sistema de software requer a organização de 6 módulos diferentes em uma sequência 
específica. Quantos arranjos possíveis de módulos podem ser organizados? 
 
87. Um engenheiro de software tem 4 diferentes módulos de programa e deseja criar uma sequência 
de 6 módulos, onde módulos podem se repetir. Quantas permutações diferentes podem ser feitas? 
 
 
4. Variáveis Aleatórias Discretas e Contínuas. 
4.1. variáveis aleatórias discretas 
 
88. A função de probabilidade da quantidade de memória X(GB) em um pen drive é dada por: 
x 1 2 4 8 16 
p(x) 0,05 0,1 0,35 a 0,1 
 
a) Determina o valor de “a” 
b) Calcula o valor esperado de X 
c) Calcula a variância de X 
d) Calcula )4( XP 
e) Escreva a função de distribuição acumulada 
f) Calcula )8(F 
 
 
89. Um indivíduo que tenha seguro automóvel de um determinado empresa é seleccionada 
aleatoriamente. Seja Y o número de violações móveis pelas quais o indivíduo foi citado durante o 
 últimos 3 anos. A função de distribuição de Y é: 
 
y 0 1 2 3 
p(y) 0,6 0,25 0,1 - 
a) Calcula )(YE 
b) Suponha que um indivíduo com violações Y incorra em uma sobretaxa de US$ 100Y2. Calcule 
o valor esperado da sobretaxa. 
c) Esboça o gráfico da função acumulada 
22 
Caderno de Exercícios – PE 
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90. Seja variável aleatória yxZ 43  , que se expressa através das variáveis X e Y cujas médias são: 
2)( xE e 6)( yE . 
a) Calcula a esperança matemática da variável aleatória Z . 
b) Determine a variância de Z , sabendo 5)( xVar e 3)( yVar 
 
 
91. o numero de vendas realizadas por um agente de segurança diariamente é uma v.a com a seguinte 
função de probabilidade: 
 
 
X 0 1 2 3 4 
f(x) w z t z w 
 
Sabendo que em 10% dos dias as vendas são inferiores a um e que 70% dos dias são superiores a 
um, 
a) Determine os alores de w, z e t. 
b) Calcula )2(F 
c) determina )(XE e )(XVar 
d) Escreva a função de distribuição acumulada 
 
 
92. A procura mensal de uma determinada marca de carro de luxo X é uma variável aleatória com a seguinte 
distribuição de probabilidade 
!
)(
x
kxf  , 3,2,1x , 
a) determine o valor de k . 
b) Qual é a procura média anual? 
 
 
93. Um estudante tem 70 % de chance de obter positiva sempre que realizar um teste. A lei de 
distribuição das probabilidades de número de positivas que o estudante possa ter é representada 
na tabela abaixo. 
23 
Caderno de Exercícios – PE 
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X 0 1 2 3 4 
)(xp 0.0256 0.1024 k 03456 0.1296 
 
a) Determine o valor de k . 
b) Determina a probabilidade de um estudante obter exactamente 3 positivas. 
c) Determina a probabilidade de obter no máximo 3 positivas. 
d) Qual é o número médio de positivas que o estudante pode ter? 
e) Determine a variância da variável X . 
f) Calcula )3(F 
 
 
 
94. Uma organização de consumidores que avalia automóveis novos costuma relatar o número de 
defeitos graves em cada carro examinado. Seja X denotar o número de defeitos maiores em um 
 carro seleccionado aleatoriamente de um determinado tipo. A função de distribuição acumulada de X 
é a seguinte: 
 
 






















61
6597,0
5492,0
4367,0
3239,0
2119,0
1006,0
00
)(
x
x
x
x
x
x
x
x
xF 
Calcula as seguintes probabilidades: 
a) )2( XP 
b) )2( XP 
c) )52(  XP 
d) )52(  XP 
e) )(XE 
 
 
 
24 
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95. Uma oficina de automóveis especializada em ajustes de motores sabe que 45% de todos os ajustes 
são feitos em automóveis de quatro cilindros, 40% em automóveis de seis cilindros, e 15% em 
automóveis de oito cilindros. Seja X = o número de cilindros do próximo carro a ser ajustado. 
a) Qual é a função de distribuição de X? 
 
b) Desenhe um gráfico de linha e um histograma de probabilidade para a função de distribuição da 
representada em (a). 
c) Qual é a probabilidade de que o próximo carro afinado tenha pelo menos seis cilindros? Mais de 
seis cilindros? 
 
96. Seja X o dano incorrido (em $) em um certo tipo de acidente durante um determinado ano. Os 
valores possíveis de X são 0, 1000, 5.000 e 10.000, com probabilidades de 0,8, 0,1, 0,08 e 0,02, 
respectivamente. Uma determinada empresa oferece uma apólice de franquia de $ 500. Se a 
empresa deseja que seu lucro esperado seja de $ 100. Qual valor do prémio deve cobrar? 
 
 
4.2. variáveis aleatórias continuas 
 
97. Considere a seguinte função densidade de probabilidade (f.d.p) para a duração de vida (em horas) de 
uma determinada peça mecânica: (EXAME, 1ª época, 2024) 
23
, 1 1
f( ) 2
0,
x
se x
x
caso contrário

  
 


 
a) Prove com cálculos que f(x) é f.d.p. 
b) Calcule ( 0.5)P X  . 
c) Encontre a função de distribuição acumulada. 
 
 
98. Seja X uma v.a.c., que representa o tempo necessário para a pintura de uma peça de automóvel, 
em horas, com função densidade de probabilidade dada por: (EXAME, 1ª época, 2022) 
 
a) Prove que f(x) é, de facto uma função densidade de probabilidade. 
b) Determine a probabilidade de gastar menos de meia hora para a pintura; 
25 
Caderno de Exercícios – PE 
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99. Uma máquina faz parafusos com diâmetros distribuídos Segundo uma v.a. X com a seguinte f.d.p 
 
 
a) Determina o valor de l 
b) Calcula 






2
1
xP 
 
 
100. Seja X uma variável aleatória com função: (EXAME, 1 época, 2023) 
 







cc
xx
xf
,0
20,
2
1
)( 
Encontre: 
a) Prove que f(x) é função densidade de probabilidade 
b) Calcule a probabilidade P(1de que num minuto se tenha: 
a) 10 ou mais chamadas. 
b) Menos de 9 chamadas. 
c) Entre 7 (inclusive) e 9 (exclusive) chamadas. 
 
 
115. Considere o tempo para recarregar o flash de uma câmara de celular. Assuma que a 
probabilidade de que uma câmara instalada no celular durante sua montagem passe no teste é de 
0.80, e que cada câmara tem seu desempenho independente. Determine as seguintes 
probabilidades. (EXAME, 1ª época 2022) 
a) Qual é a probabilidade de que a segunda falha ocorra na décima câmara testada? 
b) Qual é o valor esperado do número de câmaras testadas para obter a terceira falha 
 
 
116. Uma loja de electrónicos recebeu uma remessa de 20 mesas rádios que possuem conexões 
para um iPod ou iPhone. Doze deles possuem dois slots (para que possam acomodar ambos os 
dispositivos) e os outros oito possuem um único slot. Suponha que seis dos 20 rádios são 
seleccionados aleatoriamente para serem armazenados em uma prateleira onde ficam expostos 
os rádios, e o restante aqueles são colocados em um depósito. Seja X = o número entre os rádios 
armazenados sob a prateleira que possuem dois slots. 
a) Que tipo de distribuição X tem (nome e valor usos de todos os parâmetros)? 
b) Calcula )2( XP , )2( XP e )2( XP 
c) Calcule o valor médio e o desvio padrão de X. 
 
 
117. Suponha que uma variável aleatória X segue distribuição geométrica com o parâmetro 
5,0p . Determine as seguintes probabilidades 
a) )1( XP 
b) )4( XP 
c) )8( XP 
d) )2( XP 
e) )1( XP 
 
118. Uma balança electrónica em uma operação de enchimento automatizada interrompe a linha 
de fabricação após três embalagens abaixo do peso serem detectados. Suponha que a 
30 
Caderno de Exercícios – PE 
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probabilidade de uma subponderação (baixo peso) pacote é 0,001 e cada preenchimento é 
independente. 
a) Qual é o número médio de preenchimentos antes da linha parar? 
b) Qual é o desvio padrão do número de preenchimentos antes que a linha seja interrompida? 
 
119. Suponha que X é uma variável Binomial Negativa com 2,0p e 4r . Determine: 
a) )(XE 
b) )20( XP 
c) )19( XP 
 
120. Um lote de peças contém 100 peças de um fornecedor local de tubos e 200 peças de um 
fornecedor de tubos do estado vizinho. Se quatro peças forem seleccionadas aleatoriamente e 
sem reposição, qual é a probabilidade de serem todos do fornecedor local? 
 
121. Uma empresa emprega 800 homens com menos de 55 anos. Suponha que 30% carreguem um 
marcador no cromossomo masculino isso indica um risco aumentado de pressão alta. 
 
a) Se 10 homens da empresa forem testados para o marcador neste cromossomo, qual é a 
probabilidade de que exactamente 1 homem tem o marcador? 
b) Se 10 homens da empresa forem testados para o marcador neste cromossomo, qual é a 
probabilidade de que mais de 1 possua o marcador? 
 
 
122. Um lote de 75 arruelas contém 5 nas quais a variabilidade na espessura ao redor da 
circunferência da arruela é inaceitável. Uma amostra de 10 arruelas é seleccionada 
aleatoriamente, sem reposição. 
a) Qual é a probabilidade de que nenhuma das situações inaceitáveis arruelas estão na 
amostra? 
 
b) Qual é a probabilidade de que pelo menos uma situação inaceitável arruela está na 
amostra? 
c) Qual é a probabilidade de que exactamente uma situação inaceitável arruela está na 
amostra? 
 
 
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123. O número de chamadas telefónicas que chegam a um telefonema troca é frequentemente 
modelada como uma variável aleatória de Poisson. Suponha que haja em média 10 chamadas por 
hora. 
a) Qual é a probabilidade de haver exactamente 5 chamadas em uma hora? 
b) Qual é a probabilidade de haver 3 ou menos chamadas em uma hora? 
c) Qual é a probabilidade de haver exactamente 15 chamadas em duas horas? 
d) Qual é a probabilidade de haver exactamente 5 chamadas em 30 minutos? 
 
124. Quando um fabricante de discos de computador testa um disco, ele grava no disco e depois 
testa-o usando um certificador. O certificador conta o número de pulsos ausentes ou erros. O 
número de erros em uma área de teste em um disco tem uma distribuição de Poisson com 2,0
. 
a) Qual é o número esperado de erros por área de teste? 
b) Que percentagem de áreas de teste apresentam dois ou menos erros? 
 
125. Suponha que o número de clientes que entram em um banco em uma hora seja uma variável 
aleatória de Poisson e suponha que 05,0)0( XP . Determina a média e a variância da 
variável aleatória X. 
 
126. A probabilidade é de 0,6 de que uma calibração de um transdutor em um instrumento electrónico 
está em conformidade com as especificações do sistema de medição. Suponha que as tentativas 
de calibração sejam independentes. Qual é a probabilidade de que sejam necessárias no máximo 
três tentativas de calibração para atender às especificações para 
 o sistema de medição? 
 
 
 
 
 
5.2. Distribuição continua: exponencial e normal 
 
 
127. Suponha que um componente electrónico tem uma vida útil que segue uma distribuição 
exponencial com um tempo médio entre falhas de 10 horas. Qual é a taxa de falha (λ) desse 
componente? Qual é a probabilidade de que o próximo componente falhe em menos de 8 horas? 
 
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128. Em um call center, o tempo entre atendimentos de chamadas segue uma distribuição 
exponencial com uma taxa de atendimento de 0,2 chamadas por minuto. Qual é a probabilidade 
de que o próximo atendimento ocorra em mais de 5 minutos? 
 
129. Um servidor de banco de dados tem um tempo de operação antes de falhar que segue uma 
distribuição exponencial com um parâmetro de taxa de 0,01 falhas por hora. Qual é o tempo médio 
esperado até a próxima falha e qual a probabilidade de que a próxima falha ocorra em menos de 
50 horas? 
 
130. O tempo entre falhas de um determinado tipo de equipamento é modelado por uma distribuição 
exponencial com uma média de 30 horas. Se um equipamento está em operação há 20 horas, qual 
é a probabilidade de que o tempo até a próxima falha seja superior a 25 horas? 
 
 
131. Em um sistema electrónico, a vida útil de um componente é modelada por uma distribuição 
exponencial com uma média de 10.000 horas. 
 
a) Calcule o parâmetro da taxa (𝜆) da distribuição exponencial. 
b) Determine a probabilidade de o componente durar mais de 12.000 horas. 
 
 
132. O tempo de vida de uma peça de maquinaria segue uma distribuição exponencial com um 
parâmetro de taxa de 0,02 falhas por hora. 
 
 
a) Calcule a média e o desvio padrão da distribuição exponencial. 
b) Determine a probabilidade de a peça falhar em menos de 50 horas 
 
 
133. A duração de certos tipos de amortecedores, em km rodados é normalmente distribuída, possui 
duração média de 5000 km e desvio-padrão de 1000 km. Qual a probabilidade de um amortecedor 
escolhido ao acaso durar pelo menos 6350 km? (EXAME, 1ª época, 2024) 
 
134. A vazão instantânea de um rio (m3/s) em um determinado momento do mês de marco (mais 
húmido) pode ser modelada por uma v.a normal com média e variância iguais a 100. Por motivos 
de auditoria, exige-se uma memoria de calculo para todos os passos do projecto (explicação formal 
dos cálculos realizados). Assim, responda as seguintes questões: 
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a) Desejamos dimensionar a potencia de uma hidroeléctrica a ser construída na cabeceira deste 
rio. Para isso, precisamos encontrar o valor critico de vazão instantânea do mês mais húmido 
que não é excedido com 95% de probabilidade. Calcule este valor 
b) Calcule a probabilidade de um dado momento do mês de marco apresentar valores entre 88 e 
110 m3/s 
c) Suponhaque tenhamos uma amostra de 6 medições de vazões instantâneas dos meses de 
marco. Calcule a probabilidade de a média destas vazões ser superior a 110m3/s 
 
135. Suponha que as medidas da corrente eléctrica em pedaço de fio sigam a distribuição Normal, 
com uma média de 10 miliamperes e uma variância de 4 miliamperes. (EXAME, 1ª época, 2023) 
 
a) Qual a probabilidade de a medida não exceder 13 miliamperes? 
b) Qual a probabilidade de a medida da corrente estar entre 11 e 13 miliamperes? 
 
 
 
136. Uma fábrica de refrigerantes possui uma enchedora automática de refrigerantes que está 
regulada para que o volume médio de líquido em cada garrafa seja de 1000 cm3 e variância de 
100 m3. Admita que o volume siga uma distribuição normal. (EXAME, 1ª época, 2020) 
a) Qual é a percentagem de garrafas em que o volume de líquido é menor que 990 cm3? 
b) Se 10 garrafas são seleccionadas ao acaso, qual é a probabilidade de que, no máximo, 4 
tenham volume de líquido superior a 1002 cm3? 
 
 
137. O consumo de energia de um dispositivo electrónico segue uma distribuição normal com média 
de 49 watts e variância de 36 watts2. Qual é a probabilidade de que o consumo seja: 
a) Superior que 65 watts? 
b) Entre 68 e 70 watts? 
 
138. Suponha que a vida de dois aparelhos eléctricos A e B tenham distribuições )9;46(N e 
)36;46(N , respectivamente. Se o aparelho é para ser usado por um período de no mínimo de 45 
horas, qual aparelho deve ser preferido? 
 
 
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6. Teoria de amostragem 
 
139. Identifique o tipo de amostragem utilizado em cada caso. 
 
a) ao escalar uma comissão para actuar em determinado projecto, uma empresa decidiu 
seleccionar aleatoriamente 4 pessoas brancas, 3 pardas e 4 negras. 
 
b) um médico escreve o nome de todos os seus pacientes em pedaços de papel e coloca em 
uma caixa. Depois de misturá-los, sorteia 10 nomes. 
 
 
c) um administrador hospitalar faz uma pesquisa com as pessoas que estão na fila de espera 
para comprar senhas para consulta, entrevistando uma pessoa a cada 10 presentes na fila. 
 
d) deseja-se seleccionar uma amostra de agregados familiares da cidade de Maputo. As ruas 
estão identificadas pelas letras de A a F. As casas de cada rua estão identificadas pelo 
nome da rua, seguido por um número. Primeiro foram sorteadas duas ruas (B e F) e depois, 
foram seleccionados ao acaso 50% dos agregados familiares de cada rua. 
 
e) Uma professora quer saber se seus alunos estão fazendo a lição de casa, então ela 
selecciona aleatoriamente as linhas dois e cinco e, em seguida, chama todos os alunos da 
linha dois e todos os alunos da linha cinco para apresentar as soluções dos problemas da 
lição de casa para a turma. 
 
f) O gerente de marketing de uma rede de lojas de electrónicos deseja informações sobre a 
idade de seus clientes. Nas próximas duas semanas, em cada loja, 100 clientes 
seleccionados aleatoriamente recebem questionários para preencher pedindo informações 
sobre idade, bem como sobre outras variáveis de interesse. 
 
 
g) O bibliotecário de uma biblioteca pública quer determinar qual proporção dos usuários da 
biblioteca são crianças. A bibliotecária tem uma folha de registro na qual ela marca se os 
livros são retirados por um adulto ou uma criança. Ela registra esses dados para cada 
quarto cliente que pega livros. 
 
 
 
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140. Uma empresa de manufactura está realizando um estudo para avaliar a qualidade de seus 
produtos em diferentes linhas de produção. A empresa tem um total de 7.000 peças distribuídas 
por 4 linhas de produção distintas: 
 
Linha A: 3.000 peças 
Linha B: 2.000 peças 
Linha C: 1.500 peças 
Linha D: 500 peças 
A equipe de controle de qualidade determinou que a amostra deve conter no mínimo 700 peças para 
que os resultados sejam considerados representativos. 
 
a) Determine a taxa ou fracção de amostragem. 
b) Determine, usando amostragem estratificada proporcional, o número de peças que devem ser 
extraídas de cada linha de produção. 
 
 
141. Uma instituição de ensino superior, em Moçambique, tem 1900 estudantes. Pretende-se fazer 
um estudo aproveitamento escolar das mulheres e se este influencia na admissão das mesmas 
nesta instituição. Como se trata de um estudo muito rigoroso, escolheu-se uma confiança2 de 99% 
e um erro máximo de estimativa de 8%. Qual o tamanho mínimo da amostra a ser considerado? 
(EXAME, 1ª época, 2023) 
 
 
 
142. Um engenheiro de qualidade deseja estimar a proporção de defeitos em um lote de peças. Ele 
deseja que a estimativa tenha uma margem de erro de ±0,05 com um nível de confiança de 95%. 
Se não houver informação prévia sobre a proporção, use p = 0,5 para maximizar o tamanho da 
amostra. Calcule o tamanho da amostra necessário. 
 
 
143. Um engenheiro quer estimar a média do tempo de vida de um novo componente electrónico 
com um intervalo de confiança de 99% e uma margem de erro de ±2 horas. Se a variância 
conhecida é 16 horas², calcule o tamanho da amostra necessário. 
 
144. Uma pesquisa sobre a eficiência de um novo processo de produção requer um nível de 
confiança de 95% e uma margem de erro de ±0,1 unidade. Se um estudo preliminar indica que o 
desvio padrão é de 0,5 unidades, calcule o tamanho da amostra necessário. 
 
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145. Deseja se comparar a média de dois processos de produção com um nível de confiança de 
90% e uma margem de erro de ±1 unidade. Se o desvio padrão estimado para ambos os processos 
é 2 unidades, qual o tamanho da amostra necessário para cada processo? 
 
146. Em uma fábrica com 500 trabalhadores, um engenheiro deseja estimar a proporção de 
trabalhadores que utilizam equipamentos de protecção com uma margem de erro de ±0,05 e um 
nível de confiança de 95%. Se a proporção estimada é 0,3, calcule o tamanho da amostra 
necessário usando a correcção para população finita. 
 
147. Um engenheiro possui dados preliminares que indicam que 60% dos componentes de uma 
nova linha de produção estão dentro das especificações. Para garantir uma margem de erro de 
±0,03 com um nível de confiança de 95%, calcule o tamanho da amostra necessário. 
 
 
7. Correlação e Regressão linear Simples. 
 
 
148. A tabela abaixo apresenta os dados relacionados com o número de semanas de experiência 
de colocar fios em pequenos componentes electrónicos bem como o número de tais componentes 
que foram rejeitados durante uma determinada semana, dados estes referentes a 12 trabalhadores 
aleatoriamente escolhidos. 
 
Semanas de experiência 7 9 6 14 8 12 10 4 2 11 1 8 
Quantidade de rejeitados 26 20 28 16 23 18 24 26 38 22 32 25 
 
 
a) Indica a variável dependente e independente. 
b) Verifique se há correlação entre os dados. 
c) Determine a equação de regressão linear 
d) Estimar o número de componentes rejeitados para um empregado com 3 semanas de 
experiência. 
 
 
 
 
 
 
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149. São dados os custos totais e as quantidades produzidas de certo artigo: 
 
X=Quantidades produzidas 38 48 71 64 60 8 45 34 28 15 
Y=Custos totais 375 500 720 600 580 95 460 350 250 160 
 
 
a) Represente os dados um diagrama de dispersão. 
b) Calcula e interprete o coeficiente de determinação. 
c) Determine uma equação de regressão linear simples para estudar os custos do artigo referido; 
 
150. Um artigo em Concrete Research ("Near Surface Characteristics of Concrete: Intrinsic 
Permeability" Características do Concreto Perto da Superfície: Permeabilidade Intrínseca, Vol.41, 
1989) apresentou dados sobre resistência à compressão,x, e permeabilidade intrínseca, y, de 
várias misturas e curas de concreto. Um sumário das quantidades é: 
 
14n   572iy   23530
2
iy   43ix   15742
2
ix   80,1697ii yx 
Considere que as duas variáveis estejam relacionadas através de um modelo de regressão linear 
 simples. 
a) Estime a equação de regressão linear simples; 
b) Use a equação da linha ajustada para prever que o valor de permeabilidade seria observado 
quando a resistência à compressão fosse x = 4,3; 
c) Suponha que o valor observado da permeabilidade em x = 3,7 seja y = 46,1. Calcule o 
valor do resíduo correspondente 
 
O artigo “Alguma experiência de campo no uso de um 
151. Método Acelerado para Estimar a Força de 28 Dias de Concreto” (J. of Amer. Concrete 
Institute, 1969: 895) considerado regressivo contra y = 28 dias x = força acelerada (psi) da 
verdadeira linha de regressão é força de cura padrão (psi). Suponha a equação. y = 1800 + 1,3x 
a) Qual é o valor esperado da resistência de 28 dias quando a força acelerada for 52500? 
b) Em quanto podemos esperar que a força em 28 dias mude quando a força acelerada 
aumentar em 1 psi? 
c) Responda a parte (b) para um aumento de 100 psi. 
d) Responda a parte (b) para uma diminuição de 100 psi. 
 
 
 
 
 
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Tabela de Distribuição Normal 
 
z 0 0,01 0,02 0,03 0,04 0,05 0,06 0,07 0,08 0,09 
0 0,5000 0,5040 0,5080 0,5120 0,5160 0,5199 0,5239 0,5279 0,5319 0,5359 
0,1 0,5398 0,5438 0,5478 0,5517 0,5557 0,5596 0,5636 0,5675 0,5714 0,5753 
0,2 0,5793 0,5832 0,5871 0,5910 0,5948 0,5987 0,6026 0,6064 0,6103 0,6141 
0,3 0,6179 0,6217 0,6255 0,6293 0,6331 0,6368 0,6406 0,6443 0,6480 0,6517 
0,4 0,6554 0,6591 0,6628 0,6664 0,6700 0,6736 0,6772 0,6808 0,6844 0,6879 
0,5 0,6915 0,6950 0,6985 0,7019 0,7054 0,7088 0,7123 0,7157 0,7190 0,7224 
0,6 0,7257 0,7291 0,7324 0,7357 0,7389 0,7422 0,7454 0,7486 0,7517 0,7549 
0,7 0,7580 0,7611 0,7642 0,7673 0,7704 0,7734 0,7764 0,7794 0,7823 0,7852 
0,8 0,7881 0,7910 0,7939 0,7967 0,7995 0,8023 0,8051 0,8078 0,8106 0,8133 
0,9 0,8159 0,8186 0,8212 0,8238 0,8264 0,8289 0,8315 0,8340 0,8365 0,8389 
1 0,8413 0,8438 0,8461 0,8485 0,8508 0,8531 0,8554 0,8577 0,8599 0,8621 
1,1 0,8643 0,8665 0,8686 0,8708 0,8729 0,8749 0,8770 0,8790 0,8810 0,8830 
1,2 0,8849 0,8869 0,8888 0,8907 0,8925 0,8944 0,8962 0,8980 0,8997 0,9015 
1,3 0,9032 0,9049 0,9066 0,9082 0,9099 0,9115 0,9131 0,9147 0,9162 0,9177 
1,4 0,9192 0,9207 0,9222 0,9236 0,9251 0,9265 0,9279 0,9292 0,9306 0,9319 
1,5 0,9332 0,9345 0,9357 0,9370 0,9382 0,9394 0,9406 0,9418 0,9429 0,9441 
1,6 0,9452 0,9463 0,9474 0,9484 0,9495 0,9505 0,9515 0,9525 0,9535 0,9545 
1,7 0,9554 0,9564 0,9573 0,9582 0,9591 0,9599 0,9608 0,9616 0,9625 0,9633 
1,8 0,9641 0,9649 0,9656 0,9664 0,9671 0,9678 0,9686 0,9693 0,9699 0,9706 
1,9 0,9713 0,9719 0,9726 0,9732 0,9738 0,9744 0,9750 0,9756 0,9761 0,9767 
2 0,9772 0,9778 0,9783 0,9788 0,9793 0,9798 0,9803 0,9808 0,9812 0,9817 
2,1 0,9821 0,9826 0,9830 0,9834 0,9838 0,9842 0,9846 0,9850 0,9854 0,9857 
2,2 0,9861 0,9864 0,9868 0,9871 0,9875 0,9878 0,9881 0,9884 0,9887 0,9890 
2,3 0,9893 0,9896 0,9898 0,9901 0,9904 0,9906 0,9909 0,9911 0,9913 0,9916 
2,4 0,9918 0,9920 0,9922 0,9925 0,9927 0,9929 0,9931 0,9932 0,9934 0,9936 
2,5 0,9938 0,9940 0,9941 0,9943 0,9945 0,9946 0,9948 0,9949 0,9951 0,9952 
2,6 0,9953 0,9955 0,9956 0,9957 0,9959 0,9960 0,9961 0,9962 0,9963 0,9964 
2,7 0,9965 0,9966 0,9967 0,9968 0,9969 0,9970 0,9971 0,9972 0,9973 0,9974 
2,8 0,9974 0,9975 0,9976 0,9977 0,9977 0,9978 0,9979 0,9979 0,9980 0,9981 
2,9 0,9981 0,9982 0,9982 0,9983 0,9984 0,9984 0,9985 0,9985 0,9986 0,9986 
3 0,9987 0,9987 0,9987 0,9988 0,9988 0,9989 0,9989 0,9989 0,9990 0,9990 
3,1 0,9990 0,9991 0,9991 0,9991 0,9992 0,9992 0,9992 0,9992 0,9993 0,9993 
3,2 0,9993 0,9993 0,9994 0,9994 0,9994 0,9994 0,9994 0,9995 0,9995 0,9995 
3,3 0,9995 0,9995 0,9995 0,9996 0,9996 0,9996 0,9996 0,9996 0,9996 0,9997 
39 
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3,4 0,9997 0,9997 0,9997 0,9997 0,9997 0,9997 0,9997 0,9997 0,9997 0,9998 
3,5 0,9998 0,9998 0,9998 0,9998 0,9998 0,9998 0,9998 0,9998 0,9998 0,9998 
3,6 0,9998 0,9998 0,9999 0,9999 0,9999 0,9999 0,9999 0,9999 0,9999 0,9999 
3,7 0,9999 0,9999 0,9999 0,9999 0,9999 0,9999 0,9999 0,9999 0,9999 0,9999 
3,8 0,9999 0,9999 0,9999 0,9999 0,9999 0,9999 0,9999 0,9999 0,9999 0,9999 
3,9 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 
 
 
z 0 0,01 0,02 0,03 0,04 0,05 0,06 0,07 0,08 0,09 
0 0,5000 0,4960 0,4920 0,4880 0,4840 0,4801 0,4761 0,4721 0,4681 0,4641 
-0,1 0,4602 0,4562 0,4522 0,4483 0,4443 0,4404 0,4364 0,4325 0,4286 0,4247 
-0,2 0,4207 0,4168 0,4129 0,4090 0,4052 0,4013 0,3974 0,3936 0,3897 0,3859 
-0,3 0,3821 0,3783 0,3745 0,3707 0,3669 0,3632 0,3594 0,3557 0,3520 0,3483 
-0,4 0,3446 0,3409 0,3372 0,3336 0,3300 0,3264 0,3228 0,3192 0,3156 0,3121 
-0,5 0,3085 0,3050 0,3015 0,2981 0,2946 0,2912 0,2877 0,2843 0,2810 0,2776 
-0,6 0,2743 0,2709 0,2676 0,2643 0,2611 0,2578 0,2546 0,2514 0,2483 0,2451 
-0,7 0,2420 0,2389 0,2358 0,2327 0,2296 0,2266 0,2236 0,2206 0,2177 0,2148 
-0,8 0,2119 0,2090 0,2061 0,2033 0,2005 0,1977 0,1949 0,1922 0,1894 0,1867 
-0,9 0,1841 0,1814 0,1788 0,1762 0,1736 0,1711 0,1685 0,1660 0,1635 0,1611 
-1 0,1587 0,1562 0,1539 0,1515 0,1492 0,1469 0,1446 0,1423 0,1401 0,1379 
-1,1 0,1357 0,1335 0,1314 0,1292 0,1271 0,1251 0,1230 0,1210 0,1190 0,1170 
-1,2 0,1151 0,1131 0,1112 0,1093 0,1075 0,1056 0,1038 0,1020 0,1003 0,0985 
-1,3 0,0968 0,0951 0,0934 0,0918 0,0901 0,0885 0,0869 0,0853 0,0838 0,0823 
-1,4 0,0808 0,0793 0,0778 0,0764 0,0749 0,0735 0,0721 0,0708 0,0694 0,0681 
-1,5 0,0668 0,0655 0,0643 0,0630 0,0618 0,0606 0,0594 0,0582 0,0571 0,0559 
-1,6 0,0548 0,0537 0,0526 0,0516 0,0505 0,0495 0,0485 0,0475 0,0465 0,0455 
-1,7 0,0446 0,0436 0,0427 0,0418 0,0409 0,0401 0,0392 0,0384 0,0375 0,0367 
-1,8 0,0359 0,0351 0,0344 0,0336 0,0329 0,0322 0,0314 0,0307 0,0301 0,0294 
-1,9 0,0287 0,0281 0,0274 0,0268 0,0262 0,0256 0,0250 0,0244 0,0239 0,0233 
-2 0,0228 0,0222 0,0217 0,0212 0,0207 0,0202 0,0197 0,0192 0,0188 0,0183 
-2,1 0,0179 0,0174 0,0170 0,0166 0,0162 0,0158 0,0154 0,0150 0,0146 0,0143 
-2,2 0,0139 0,0136 0,0132 0,0129 0,0125 0,0122 0,0119 0,0116 0,0113 0,0110 
-2,3 0,0107 0,0104 0,0102 0,0099 0,0096 0,0094 0,0091 0,0089 0,0087 0,0084 
-2,4 0,0082 0,0080 0,0078 0,0075 0,0073 0,0071 0,0069 0,0068 0,0066 0,0064 
-2,5 0,0062 0,0060 0,0059 0,0057 0,0055 0,0054 0,0052 0,0051 0,0049 0,0048 
-2,6 0,0047 0,0045 0,0044 0,0043 0,0041 0,0040 0,0039 0,0038 0,0037 0,0036 
-2,7 0,0035 0,0034 0,0033 0,0032 0,0031 0,0030 0,0029 0,0028 0,0027 0,0026 
-2,8 0,0026 0,0025 0,0024 0,0023 0,0023 0,0022 0,0021 0,0021 0,0020 0,0019 
-2,9 0,0019 0,0018 0,0018 0,0017 0,0016 0,0016 0,0015 0,0015 0,0014 0,0014 
-3 0,0013 0,0013 0,0013 0,0012 0,0012 0,0011 0,0011 0,0011 0,0010 0,0010 
-3,1 0,0010 0,0009 0,0009 0,0009 0,0008 0,0008 0,0008 0,0008 0,0007 0,0007 
-3,2 0,0007 0,0007 0,0006 0,0006 0,0006 0,0006 0,0006 0,0005 0,0005 0,0005 
-3,3 0,0005 0,0005 0,0005 0,0004 0,0004 0,0004 0,0004 0,0004 0,0004 0,0003 
40 
Caderno de Exercícios – PE 
M. Langa/2024 Versão 1.0 
INSTITUTO SUPERIOR DE TRANSPORTES E COMUNICAÇÕES 
 
-3,4 0,0003 0,0003 0,0003 0,0003 0,0003 0,0003 0,0003 0,0003 0,0003 0,0002 
-3,5 0,0002 0,0002 0,0002 0,0002 0,0002 0,0002 0,0002 0,0002 0,0002 0,0002 
-3,6 0,0002 0,0002 0,0001 0,0001 0,0001 0,0001 0,0001 0,0001 0,0001 0,0001 
-3,7 0,0001 0,0001 0,0001 0,0001 0,0001 0,0001 0,0001 0,0001 0,0001 0,0001 
-3,8 0,0001 0,0001 0,0001 0,0001 0,0001 0,0001 0,0001 0,0001 0,0001 0,0001 
-3,9 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000