PROBLEMAS 7

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668 SINAIS E SISTEMAS LINEARES
7.1-1 Mostre que se x(t) é uma função par de t, então
e se x(t) for uma função ímpar de t, então
Logo, prove que se x(t) for real e uma função
par de t, então X(ω) é real e uma função par de
ω. Além disto, se x(t) for real e uma função
ímpar de t, então X(ω) é imaginário e uma
função ímpar de ω.
7.1-2 Mostre que para x(t) real, a Eq. (7.8b) pode
ser expressa por
Essa é a forma trigonométrica da integral de
Fourier. Compare essa equação com a série
trigonométrica compacta de Fourier.
7.1-3 Um sinal x(t) pode ser descrito pela soma de
componentes par e ímpar (veja a Seção 1.5-2):
(a) se x(t) ⇔ X(ω), mostre que para x(t) real,
e
(b) Verifique esses resultados obtendo a
transformada de Fourier das componen-
tes par e ímpar dos seguintes sinais (i)
u(t) e (ii) e–atu(t).
7.1-4 A partir da definição (7.8a), obtenha as trans-
formadas de Fourier dos sinais x(t) da Fig.
P7.1-4.
7.1-5 A partir da definição (7.8a), obtenha as
transformadas de Fourier dos sinais mostra-
dos na Fig. P7.1-5.
7.1-6 A partir da definição (7.8b), obtenha as trans-
formadas de Fourier inversas do espectro da
Fig. P7.1-6.
7.1-7 A partir da definição (7.8b), obtenha as trans-
formadas de Fourier inversas do espectro da
Fig. P7.1-7.
7.1-8 Se x(t) ⇔ X(ω), então mostre que
e
Mostre também que
7.2-1 Trace as seguintes funções:
Figura M7.5 Caso especial, janelas de Kaiser de duração unitária.
P R O B L E M A S
CAPÍTULO 7 ANÁLISE DE SINAIS NO TEMPO CONTÍNUO: A TRANSFORMADA DE FOURIER 669
7.2-2 A partir da definição (7.8b), mostre que a
transformada de Fourier de ret (t – 5) é sinc
(ω/2)e–j5ω. trace o espectro de amplitude e fa-
se resultante.
7.2-3 A partir da definição (7.8b), mostre que a
transformada de Fourier inversa de ret ((ω –
10)/2π) é sinc (πt)ej10t.
7.2-4 Obtenha a transformada de Fourier inversa de
X(ω) para o espectro ilustrado na Fig. P7.2-4.
[Dica: X(ω) = |X(ω)|ej∠X(ω). Este problema
ilustra como espectros de fase diferentes (com
o mesmo espectro de amplitude) representam
sinais totalmente diferentes.]
7.2-5 (a) Você pode obter a transformada de Fou-
rier de eatu(t) quando a > 1 fazendo s =
jω na transformada de Fourier de eatu(t)?
Explique.
(b) Obtenha a transformada de Fourier de
x(t) mostrado na Fig. P7.2-5. Você pode
obter a transformada de Fourier de x(t)
fazendo s = jω nessa transformada de
Fourier? Explique. Verifique sua resposta
determinando as transformadas de Fou-
rier e Laplace de x(t).
Figura P7.1-4
Figura P7.1-5
Figura P7.1-6
Figura P7.1-7
670 SINAIS E SISTEMAS LINEARES
Figura P7.2-5
7.3-1 Aplique a propriedade da dualidade ao par
apropriado da Tabela 7.1 para mostrar que
7.3-2 A transformada de Fourier do pulso triangular
x(t) da Fig. P7.3-2 é descrita por
Utilize essa informação e as propriedades de
deslocamento no tempo e escalamento no
tempo para obter as transformadas de Fourier
dos sinais xi(t) (i = 1, 2, 3, 4, 5) mostrados na
Fig. P7.3-2.
7.7-3 Usando apenas a propriedade de deslocamen-
to no tempo e a Tabela 7.1, obtenha as trans-
formadas de Fourier dos sinais mostrados na
Fig. P7.3-3.
7.3-4 Utilize a propriedade de deslocamento no tem-
po para mostrar que se x(t) ⇔ X(ω), então
Essa equação é dual à Eq. ( 7.41). Utilize esse
resultado e a Tabela 7.1 para obter as transfor-
madas de Fourier dos sinais mostrados na Fig.
P7.3-4.
Figura P7.2-4
Figura P7.3-2
CAPÍTULO 7 ANÁLISE DE SINAIS NO TEMPO CONTÍNUO: A TRANSFORMADA DE FOURIER 671
7.3-5 Prove os seguintes resultados, os quais são du-
ais um do outro:
Utilize o último resultado e a Tabela 7.1 para
determinar a transformada de Fourier do sinal
da Fig. P7.3-5
7.3-6 Os sinais da Fig. P7.3-6 são sinais modulados
com portadora cos 10t. Obtenha a transforma-
da de Fourier desses sinais usando as proprie-
dades apropriadas da transformada de Fourier
e a Tabela 7.1. Trace o espectro de amplitude
e fase para a Fig. P7.3-6a e P7.3-6b.
Figura P7.3-5
Figura P7.3-3
Figura P7.3-4
Figura P7.3-6
672 SINAIS E SISTEMAS LINEARES
7.3-7 Utilize a propriedade de deslocamento na fre-
qüência e a Tabela 7.1 para determinar a trans-
formada de Fourier inversa do espectro mos-
trado na Fig. P7.3-7
7.3-8 Utilize a propriedade de convolução no tempo
para provar os pares 2, 4, 13 e 14 da Tabela 2.1
(assuma λ 0 no par 13 e λ1 e λ2 > 0 no par 14).
Essas restrições são colocadas em função das
características de possibilidade de aplicação da
transformada de Fourier dos sinais. Para o par 2
você terá que aplicar o resultado da Eq. (1.23).
7.3-9 Um sinal x(t) é limitado em faixa a B Hz. Mos-
tre que o sinal xn(t) é limitado em faixa a nB Hz.
7.3-10 Obtenha a transformada de Fourier do sinal
da Fig. P7.3-3a por três métodos diferentes:
(a) pela integração direta usando a definição
(7.8a)
(b) Usando apenas o par 17 (Tabela 7.1) e a
propriedade de deslocamento no tempo.
(c) Usando as propriedades de diferenciação
no tempo e deslocamento no tempo, além
do fato de que δ(t) ⇔ 1.
7.3-11 (a) prove a propriedade de diferenciação na
freqüência (dual da propriedade de dife-
renciação no tempo):
(b) Utilize essa propriedade e o par 1 (Tabela
7.10) para determinar a transformada de
Fourier de te–atu(t).
7.4-1 Para um sistema LCIT com função de trans-
ferência
obtenha a resposta (de estado nulo) se a entra-
da x(t) for
7.4-2 Um sistema LCIT é especificado pela respos-
ta em freqüência
Obtenha a resposta ao impulso desse sistema
e mostre que ele é um sistema não causal. Ob-
tenha a resposta (estado nulo) desses sistema
se a entrada x(t) for
7.4-3 Os sinais x1(t) = 104 ret (104t) e x2(t) = δ(t) são
aplicados às entradas dos filtros passa-baixas
ideais H1(ω) = ret (ω/40.000π) e H2(ω) = ret
(ω/20.000π) (Fig. P7.4-3). As saídas y1(t) e
y2(t) desses filtros são multiplicadas para ob-
ter o sinal y(t) = y1(t)y2(t).
(a) Trace X1(ω) e X2(ω).
(b) Trace H1(ω) e H2(ω).
(c) Trace Y1(ω) e Y2(ω).
(d) Obtenha as larguras de faixa de y1(t), y2(t)
e y(t).
Figura P7.4-3
7.4-4 A constante de tempo de um sistema passa-bai-
xas é geralmente definida como a largura de
sua resposta h(t) ao impulso unitário (veja a Se-
ção 2.7-2). Um pulso p(t) de entrada nesse sis-
tema funciona como um impulso de força igual
a área de p(t) se a largura de p(t) for muito me-
nor do que a constante de tempo do sistema, e
desde que p(t) seja um pulso passa-baixa, im-
plicando que seu espectro seja concentrado em
baixas freqüências. Verifique esse comporta-
mento considerando um sistema cuja resposta
ao impulso unitário é h(t) = ret (t/10–3). O pul-
so de entrada é um pulso triangular p(t) =
Δ(t/10–6). Mostre que a resposta do sistema a
esse pulso é muito próxima da resposta ao im-
pulso Aδ(t), na qual A é a área sob o pulso p(t).
Figura P7.3-7
CAPÍTULO 7 ANÁLISE DE SINAIS NO TEMPO CONTÍNUO: A TRANSFORMADA DE FOURIER 673
7.4-5 A constante de tempo de um sistema passa-bai-
xas geralmente é definida como a largura de sua
resposta h(t) ao impulso unitário (veja a Seção
2.7-2). Um pulso p(t) de entrada nesse sistema
passa praticamente sem distorção se a largura de
p(t) for muito maior do que a constante de tem-
po do sistema e desde que p(t) seja um pulso
passa-baixa, implicando que seu espectro seja
concentrado em baixas freqüências. Verifique
esse comportamento considerando um sistema
cuja resposta ao impulso unitário é h(t) = ret
(t/10–3). O pulso de entrada é um pulso triangu-
lar p(t) = Δ(t). Mostre que a resposta do sistema
a esse pulso é muito próxima a kp(t), na qual k é
o ganho do sistema ao sinal cc, ou seja, k = H(0).
7.4-6 Um sinal causal h(t) possui transformada de
Fourier H(ω). Se R(ω) e X(ω) são as partes re-
al e imaginária de H(ω), ou seja, H(ω) = R(ω)
+ jX(ω), então mostre que
e
assumindo que h(t) não possui impulsos na
origem. Esse par de integrais define a trans-
formada de Hilbert. [Dica: seja he(t) e ho(t) as
componentes par e ímpar de h(t). Use os re-
sultados do Prob. 7.1-3. Veja a Fig. 1.24 para
a relação entre he(t) e ho(t).]
Este problema estabelece uma importantepropriedade de sistemas causais: as partes re-
al e imaginária da resposta em freqüência de
um sistema causal são relacionadas. Se a par-
te real é especificada, a parte imaginária não
pode ser especificada independentemente. A
parte imaginária é predeterminada pela parte
real e vice-versa. Esse resultado também leva
à conclusão de que a magnitude e ângulo de
H(ω) são relacionados desde que os pólos e
zeros de H(ω) estejam no SPE.
7.5-1 Considere um filtro com resposta em freqüência
Mostre que esse filtro é fisicamente não reali-
zável usando o critério no domínio do tempo
[h(t) não causal] e o critério no domínio da
freqüência (Paley-Wiener). Esse filtro pode
ser aproximadamente realizável escolhendo t0
suficientemente grande? Utilize seu próprio
(razoável) critério e determine t0 de forma a
realizar a aproximação desse filtro [Dica: uti-
lize o par 22 da Tabela 7.1].
7.5-2 Mostre que um filtro com resposta em fre-
qüência
é não realizável. Esse filtro pode ser aproxi-
madamente realizável escolhendo t0 suficien-
temente grande? Utilize seu próprio (razoá-
vel) critério e determine t0 de forma a realizar
a aproximação desse filtro.
7.5-3 Determine se os filtros com as seguintes res-
postas em freqüência H(ω) são fisicamente
realizáveis. Se eles não forem realizáveis,
eles podem ser aproximadamente realizados
permitindo um atraso de tempo finito na res-
posta?
7.6-1 Mostre que a energia de um pulso Gaussiano
é 1/(2σ ). Verifique esse resultado usando
o teorema de Parseval para obter a energia Ex
de X(ω). [Dica: use o par 22 da Tabela 7.1. Usa
o fato de que .]
7.6-2 Utilize o teorema de Parseval (7.64) para mos-
trar que
7.6-3 Um sinal passa-baixa x(t) é aplicado a um dis-
positivo que calcula o quadrado da entrada. A
saída x2(t) é aplicada a um filtro passa-baixas
com largura de faixa Δf (em hertz) (Fig. P7.6-
3). Mostre que se Δf for muito pequeno (Δf →
0), então a saída do filtro é um sinal cc y(t) ≈
2ExΔf. [Dica: se x2(t) ⇔ A(ω), então mostre
que Y(ω)≈ [4πA(0)Δf]δ(ω) se Δf → 0. Mostre,
depois, que A(0) = Ex.]
7.6-4 Generalize o teorema de Parseval para mos-
trar que para sinais reais transformáveis em
Fourier x1(t) e x2(t)
674 SINAIS E SISTEMAS LINEARES
7.6-5 Mostre que
[Dica: reconheça que
Utilize esse fato e o resultado do Prob. 7.6-4.]
7.6-6 Para o sinal
determine a largura de faixa essencial B (em
hertz) de x(t) tal que a energia contida nas com-
ponentes espectrais de x(t) de freqüências abai-
xo de B Hz seja 99% da energia Ex do sinal.
7.7-1 Para cada um dos seguintes sinais banda-base,
(i) m(t) = cos 1000t, (ii) m(t) = 2 cos 1000t +
cos 2000t e (iii) m(t) = cos 1000t cos 3000t:
(a) Trace o espectro de m(t).
(b) Trace o espectro do sinal DSB-SC m(t)
cos 10.000t.
(c) Identifique o espectro da faixa lateral su-
perior (USB) e da faixa lateral inferior
(LSB).
(d) Identifique as freqüências na banda-base
e as freqüências correspondentes no es-
pectro DBS-SC, USB e LSB. Explique a
natureza do deslocamento de freqüência
em cada caso.
7.7-2 Você deve projetar um modulador DSB-SC
para gerar um sinal modulado km(t) cos ωct,
no qual m(t) é um sinal limitado em faixa a B
Hz (Fig. P7.7-2a). A Fig. P7.7-2 mostra um
modulador DSB-SC disponível no almoxari-
fado. O filtro passa-banda é sintonizado para
ωc e possui largura de faixa de 2B Hz. O gera-
dor de portadora disponível não gera cos ωct,
mas cos3ωct.
(a) Explique se você poderá ou não gerar o
sinal desejado usando apenas este equi-
pamento. Se sim, qual é o valor de k?
(b) Determine o espectro do sinal nos pontos
b e c e indique as faixas de freqüência
ocupadas por estes espectros.
(c) Qual é o menor valor possível para ωc?
(d) Esse esquema funcionaria se a saída do ge-
rador de portadora fosse cos2ωct? Explique.
(e) Esse esquema funcionaria se a saída do
gerador de portadora fosse cosn ωct para
qualquer inteiro n ≥ 2?
7.7-3 Na prática, a operação de multiplicação ana-
lógica é difícil e cara. Por essa razão, em mo-
duladores de amplitude, é necessário encon-
trar alguma alternativa para a multiplicação
de m(t) por cos ωct. Felizmente, para esse
propósito, podemos substituir a multiplica-
ção pela operação de chaveamento. Uma ob-
servação similar se aplica aos demodulado-
res. No esquema mostrado na Fig. P7.7-3a, o
período do pulso retangular x(t) mostrado na
Fig. P7.7-3b é T0 = 2π/ωc. O filtro passa-fai-
xa é centrado em ±ωc e possui largura de fai-
Figura P7.6-3
Figura P7.7-2
CAPÍTULO 7 ANÁLISE DE SINAIS NO TEMPO CONTÍNUO: A TRANSFORMADA DE FOURIER 675
xa de 2B Hz. Note que a multiplicação por
um pulso quadrado periódico x(t) na Fig.
P7.7-3 resulta em um chaveamento liga/des-
liga de m(t), o qual é limitado em faixa a B
Hz. Tal operação de chaveamento é relativa-
mente simples e barata.
Mostre que esse esquema pode gerar um si-
nal modulado em amplitude k cos ωct. Determi-
ne o valor de k. Mostre que o mesmo esquema
também pode ser utilizado na demodulação,
desde que o filtro da Fig. P7.7-3 seja substituí-
do por um filtro passa-baixas (ou banda-base).
Figura P7.7-3
7.7-4 A Fig. P7.7-4 mostra um esquema para trans-
mitir dois sinais m1(t) e m2(t) simultaneamente
no mesmo canal (sem causar interferência es-
pectral). Tal esquema, o qual transmite mais
do que um sinal, é chamado de multiplexação
de sinal. Neste caso, transmitimos múltiplos
sinais dividindo uma faixa espectral disponível
no canal e, portanto, este é um exemplo de
multiplexação por divisão na freqüência. O si-
nal no ponto b é o sinal multiplexado, o qual,
agora, modula uma portadora de freqüência
20.000 rad/s. O sinal modulado no ponto c é
transmitido no canal.
(a) Trace o espectro nos pontos a, b e c.
(b) Qual deve ser a largura de faixa mínima
do canal?
(c) Projete um receptor para recuperar os si-
nais m1(t) e m2(t) do sinal modulado no
ponto c.
7.7-5 O sistema mostrado na Fig. P7.7-5 é utilizado
para misturar sinais de áudio. A saída y(t) é a
versão misturada da entrada m(t).
(a) Obtenha o espectro do sinal misturado y(t).
(b) Sugira um método para recuperar o sinal
misturado y(t), obtendo m(t).
Uma versão um pouco modificada desse
misturador foi inicialmente utilizada co-
mercialmente no circuito de rádio-telefo-
ne de 40 km conectando Los Angeles à
Ilha Santa Catalina.
7.7-6 A Fig. P7.7-6 apresenta um esquema para a
demodulação coerente (síncrona). Mostre que
esse esquema pode demodular o sinal AM [A
+ m(t)] cos ωct, independente do valor de A.
7.7-7 Trace o sinal AM [A + m(t)] cos ωct para o si-
nal triangular periódico m(t) ilustrado na Fig.
P7.7-7 correspondente aos seguintes índices
de modulação:
Como você interpreta o caso μ = ∞?
7.M-1 Considere o sinal x(t) =e–atu(t). Modifique
MS7P2 para calcular as seguintes larguras de
faixa essenciais:
Figura P7.7-4
676 SINAIS E SISTEMAS LINEARES
(a) Fazendo a = 1, determine a largura de fai-
xa essencial W1 que contém 95% da ener-
gia do sinal. Compare esse valor com o va-
lor teórico apresentado no Exemplo 7.20.
(b) Fazendo a = 2, determine a largura de fai-
xa essencial W2 que contém 90% da ener-
gia do sinal.
(c) Fazendo a = 3, determine a largura de fai-
xa essencial W3 que contém 75% da ener-
gia do sinal.
7.M-2 Um pulso de amplitude unitária de duração τ
é definido por
(a) Determine a duração τ1 que resulta em
uma largura de faixa essencial de 95%
igual a 5 Hz.
(b) Determine a duração τ2 que resulta em
uma largura de faixa essencial de 90%
igual a 10 Hz.
(c) Determine a duração τ3 que resulta em
uma largura de faixa essencial de 75%
igual a 20 Hz.
7.M-3 Considere o sinal x(t) = e–atu(t).
(a) Determine o parâmetro de decaimento a1
que resulta em uma largura de faixa es-
sencial de 95% igual a 5 Hz.
(b) Determine o parâmetro de decaimento a2
que resulta em uma largura de faixa es-
sencial de 90% igual a 10 Hz.
(c) Determine o parâmetro de decaimento a3
que resulta em uma largura de faixa es-
sencial de 75% igual a 20 Hz.
7.M-4 Utilize o MATLAB para determinar as lar-
guras de faixa essenciais de 95, 90 e 75%
Figura P7.7-5
Figura P7.7-6
Figura P7.7-7
CAPÍTULO7 ANÁLISE DE SINAIS NO TEMPO CONTÍNUO: A TRANSFORMADA DE FOURIER 677
de uma função triangular de um segundo
com amplitude de pico igual a um. Lembre-
se de que a função triangular pode ser cons-
truída pela convolução de dois pulsos retan-
gulares.
7.M-5 Um sinal x(t) de pulso quadrado com ciclo de
trabalho de 1/3 e período T0 é descrito por
(a) Utilize a amostragem espectral para de-
terminar os coeficientes Dn da série de
Fourier de x(t) para T0 = 2π. Calcule e tra-
ce Dn para (0 ≤ n ≤ 10).
(b) Utilize a amostragem espectral para de-
terminar os coeficientes Dn da série de
Fourier de x(t) para T0 = π. Calcule e tra-
ce Dn para (0 ≤ n ≤ 10). Como esse resul-
tado se compara com sua resposta da par-
te (a)? O que pode ser dito sobre a relação
de T0 e Dn para o sinal x(t), o qual possui
um ciclo de trabalho fixo de 1/3?
7.M-6 Determine a transformada de Fourier do pul-
so Gaussiano definido por x(t) = e–t2. Trace
tanto x(t) quanto X(ω). Como as duas curvas
podem ser comparadas? [Dica:
para qualquer a real ou imaginário.]