AULA-04-BIOESTATÍSTICA-APLICADA-À-SAÚDE

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4 MODELOS CONFIABILÍSTICOS Segundo Petenate (2016), uma função que atribui um número real a cada resultado do espaço amostral é denominada variável aleatória, sendo que as variáveis aleatórias podem ser discretas ou contínuas. As variáveis aleatórias discretas são os valores possíveis que constituem um conjunto finito ou infinito enumerável, como o número de peças defeituosas, a quantidade de falhas em um equipamento, etc. Já as variáveis aleatórias contínuas são os valores que assumem um intervalo finito ou infinito de números reais, como o pH da água, uma distância percorrida, a altura de uma pessoa, entre outros. Conforme Sharpe, De Veaux e Velleman (2011), para variáveis discretas e contínuas, o modelo probabilístico é a coleção de todos os valores possíveis com as probabilidades associadas a eles. Para uma variável aleatória discreta, todos os valores possíveis e suas probabilidades podem ser listadas em uma tabela, ou as probabilidades podem ser determinadas por meio de uma fórmula. Os modelos probabilísticos podem ser utilizados nas mais diversas áreas, com o objetivo de simplificar a análise de dados, apresentando suas principais características. Existem diversos modelos probabilísticos para a análise de dados de confiabilidade, que podem ser chamados de modelos confiabilísticos, por incluírem, além de modelos matemáticos, também modelos computacionais, como a simulação numérica, e até modelos físicos, como protótipos. A partir da modelagem probabilística da forma como um sistema falha, é possível determinar a sua confiabilidade. Modelos para variáveis discretas Conforme Sharpe, De Veaux e Velleman (2011), o modelo mais simples para variáveis discretas é o modelo uniforme, em que cada um dos resultados tem a mesma probabilidade. Como exemplo, podemos citar o lançamento de um dado, em que cada uma de suas faces tem a mesma probabilidade de cair voltada para cima. Algumas variáveis discretas podem ser modeladas a partir das tentativas de Bernoulli, situações em que: Existem somente dois resultados possíveis em cada tentativa, denominados sucesso e fracasso; A probabilidade de sucesso p é a mesma em cada tentativa;As tentativas são independentes. Um dos exemplos de tentativas de Bernoulli é o arremesso de uma moeda, em que só temos dois resultados possíveis: cara ou coroa. Dependendo da pergunta que você fizer, podem ser originadas variáveis aleatórias diferentes, que terão modelos probabilísticos diferentes. De acordo com Sharpe, De Veaux e Velleman (2011), sempre que se deseja saber quantas tentativas são necessárias para alcançar o primeiro sucesso, é utilizado o modelo probabilístico geométrico. Esse modelo é especificado por um único parâmetro, sendo a probabilidade de sucesso p,e, para as tentativas de Bernoulli, pode ser expresso por: Onde P é a probabilidade de sucesso, X é o número de tentativas até que o sucesso ocorra e q é a probabilidade de fracasso. Para esse modelo, o valor esperado (média) u e o desvio padrão o são, respectivamente: 1 q = Já quando desejamos saber o número de sucessos em uma determinada quantidade de tentativas, temos um modelo probabilístico binomial, em que são necessários dois parâmetros: o número de tentativas n e a probabilidade de sucesso p. Esse modelo para as tentativas de Bernoulli é expresso por: Onde n é o número de tentativas e X é o número de sucessos em n tentativas. A média e o desvio padrão para esse modelo são, respectivamente: = Segundo Sharpe, De Veaux e Velleman (2011), nem todos os eventos discretos podem ser modelados pelas tentativas de Bernoulli, principalmente quando se deseja saber o número de eventos em um determinado intervalo de tempo ou espaço. EssesA probabilidade, que é a área abaixo da densidade exponencial entre quaisquer dois valores S e t, é: 4.1 Distribuições estatísticas A estatística, segundo Montgomery, e Hubele (2013, p. 1), "[...] lida com a coleta, a apresentação, a análise e o uso dos dados para tomar decisões e resolver problemas". Os métodos estatísticos são utilizados para auxiliar no entendimento da variabilidade dos dados. Os dados coletados durante uma amostragem podem ser agrupados organizadamente em tabelas e gráficos para serem analisados e as estatísticas descritivas, como média, desvio padrão e variância, sejam definidas. Esses dados organizados podem ser chamados de distribuição de frequência. As estatísticas são funções de variáveis aleatórias e cada estatística tem uma distribuição que, conforme Montgomery, e Hubele (2013), determina quão bem a estatística estima uma qualidade. valor esperado de uma variável aleatória, sendo obtido a partir de um modelo e também chamado de média, é representado por Para uma variável aleatória discreta, ele pode ser calculado por: Ou seja, é a soma de todos os produtos resultantes da multiplicação de cada valor possível da variável pela probabilidade de que ela ocorra. Já o desvio padrão, de uma variável aleatória discreta é o desvio de cada valor em relação ao valor esperado, elevando-se o resultado ao quadrado; ou seja: desvio padrão equivale à raiz quadrada da variância Var(x), que é o valor esperado desses desvios elevados ao quadrado, sendo obtida pela soma da multiplicação do desvio padrão pela probabilidade:As distribuições estatísticas são funções que definem uma curva, ou seja, o comportamento de determinado evento, enquanto a área abaixo dessa curva representa a probabilidade de esse evento ocorrer. Dessa forma, as distribuições estatísticas também podem ser chamadas de distribuições de probabilidade ou distribuição amostral. A partir das distribuições estatísticas, é possível que os dados sejam modelados e suas probabilidades sejam determinadas. As distribuições estatísticas podem ser divididas basicamente em duas grandes categorias, análise de variáveis aleatórias discretas e análise de variáveis aleatórias contínuas, sendo que, para a aplicação industrial e, consequentemente, da confiabilidade, as variáveis aleatórias contínuas são mais comuns. 4.2 Principais distribuições estatísticas em confiabilidade Quando se trata da confiabilidade, cada distribuição de probabilidade pode gerar diferentes estimativas para as características de durabilidade do produto. Então, a utilização de um modelo inadequado pode levar a erros. Para as variáveis contínuas, as distribuições descrevem processos em que não é possível especificar probabilidades para pontos individuais, mas, sim, para intervalos, como distribuição exponencial, distribuição normal, distribuição log-normal e distribuição de Weibull. Já para as variáveis discretas, as distribuições são associadas aos resultados de ensaios em que é possível conseguir um número de sucessos ou fracassos esperados, como distribuição de Poisson e distribuição binomial. Distribuição exponencial Segundo o Portal Action [2017a]), a distribuição exponencial possui uma função taxa de falha constante, sendo a única distribuição absolutamente contínua com essa propriedade. A forma de sua curva é a mesma vista anteriormente na Figura 2. Essa distribuição pode ser considerada uma das mais simples em termos matemáticos sendo utilizada para modelar o tempo de vida de produtos e materiais (óleos isolantes, dielétricos, entre outros), o tempo até a falha de um equipamento (componentes eletrônicos, peças mecânicas, etc.), entre outras aplicações diversas.Conforme Zibetti ([2018a?]), alguns exemplos de aplicações da distribuição exponencial são: Tempo entre as avarias de um equipamento; Tempo entre as chegadas de aeronaves a um aeroporto; Distância entre duas falhas sucessivas em uma fita magnética; Distância entre buracos em uma rodovia. Distribuição normal A distribuição normal, também conhecida como distribuição gaussiana, foi desenvolvida por matemáticos e físicos para descrever erros experimentais obtidos em medidas físicas. Todo processo de mensuração está sujeito a um erro de medida, que pode ter diferentes fontes, como variação de temperatura, tempo e outras características não identifi cáveis, conforme leciona Zibetti ([2018b?]). A distribuição normal pode ser considerada a distribuição contínua mais importante, pois, segundo o Portal Action [2017b]), mesmo que os dados não sejam distribuídos segundo uma normal, a média dos dados converge para uma distribuição normal, conforme o número de dados aumenta. A forma de sua curva, que lembra um sino, é a mesma vista anteriormente na Figura 1. Segundo Rodrigues (2018a), como exemplos de aplicação de uma distribuição normal, temos: Altura ou peso de uma população; Pressão sanguínea de um grupo de pessoas; Tempo que um grupo de estudantes gasta para realizar uma prova; Pontuações em testes. Distribuição log-normal A distribuição log-normal é bastante utilizada para caracterizar o tempo de vida de produtos e materiais, como fadiga de metal, semicondutores, diodos e isolação elétrica. Conforme Minitab [2019a]), a distribuição log-normal tem sido o modelo de distribuição de vida mais comumente usados para aplicações de alta tecnologia, por ser baseada no modelo de crescimento multiplicativo. Esse efeito multiplicativo é acumulado para provocar uma falha, justificando sua aplicação para modelar peças ou componentes que falham principalmente devido ao estresse ou à fadiga, como:Falha em função de reações químicas ou degradação (corrosão, migração e difusão); Tempo até a fratura em metais sujeitos ao crescimento de fissuras por fadiga; Componentes eletrônicos que exibem diminuição do risco de falha após determinado período. Segundo o Portal Action [2017c]), existe uma relação entre as distribuições log-normal e normal, pois o logaritmo de uma variável que segue a distribuição log-normal com parâmetros e o tem distribuição normal com média e desvio padrão O. Isso significa que dados provenientes de uma distribuição log-normal podem ser analisados segundo uma distribuição normal, se considerarmos o logaritmo dos dados, em vez dos valores originais. Na Figura 3, são apresentadas algumas formas da função densidade de probabilidade da distribuição log-normal: Figura 3 - Funções densidade de probabilidade da distribuição log-normal com 0,8 0,6 0,4 0,2 0,0 1 2 3 4 Fonte: Adaptada de Distribuição... ([2017c]). Distribuição de WeibullConforme o Portal Action [2017d]), a distribuição de Weibull foi proposta em estudos relacionados ao tempo de falha devido à fadiga de metais e, atualmente, é utilizada para descrever o tempo de vida de produtos industriais. Essa distribuição descreve adequadamente a vida de mancais, componentes eletrônicos, cerâmicas, capacitores e dielétricos. Segundo Minitab (DISTRIBUIÇÃO... [2019b?]), a distribuição de Weibull é usada para avaliar a confiabilidade de aplicações como tubos de vácuo, capacitores, rolamentos de esferas, relés e resistências de materiais. Ela também pode modelar se uma função de risco está diminuindo, aumentando ou se permanece constante. Ainda conforme Minitab [2019b?]), a distribuição de Weibull pode não funcionar muito bem para falhas de produtos causadas por reações químicas ou processos de degradação, sendo esses tipos de situações modeladas usando a distribuição log-normal. A distribuição de Weibull apresenta uma grande variedade de formas, mas todas com a sua função de taxa de falha monótona, ou seja, estritamente crescente, estritamente decrescente ou constante. Na Figura 4 são apresentadas algumas das formas da função densidade de probabilidade dessa distribuição. Figura 4 - Funções densidade de probabilidade da distribuição de Weibull com a = 1 1,0 0,8 0,6 8=2 =1,5 8=1 0,4 0,2 0,0 0,0 0,5 1,0 1,5 2,0 2,5 3,0 Fonte: Adaptada de Distribuição. ([2017d]).Distribuição de Poisson A distribuição de Poisson é utilizada para calcular probabilidades de ocorrência de falhas raras em sistemas e componentes, quando o número de ensaios é grande e a probabilidade é pequena. Segundo Rodrigues (2018), a distribuição de Poisson pode ser utilizada em aplicações como: Acidentes com automóveis; Erros de digitação; Carros que chegam a um posto de gasolina; Falhas em componentes por unidade de tempo.