Relatorio_Pesquisa_equação de Schrodinguer_ERICK

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UNIVERSIDADE ESTADUAL DO MARANHÃO 
CENTRO CIENCIAS TECNOLOGICAS 
CURSO DE ENGENHARIA DE COMPUTAÇÃO 
 
 
 
 
Erick Ferreira Sousa 
 
 
 
 
 
EQUAÇÃO DE SCHRÖDINGER 
 
 
 
 
 
Prof.: Paulo Fernandes da Silva Junior 
 
 
 
 
 
 
 
SÃO LUÍS-MA 
2024 
Introdução 
 
A mecânica quântica, um campo da física que estuda o comportamento de 
partículas subatômicas, tem a equação de Schrödinger como um dos pilares 
fundamentais. Essa equação, que foi introduzida pelo físico austríaco Erwin 
Schrödinger em 1926, transformou a compreensão dos fenômenos quânticos porque 
oferece uma explicação matemática precisa de como as partículas evoluem ao longo 
do tempo. A equação de Schrödinger é fundamental para explicar os comportamentos 
e propriedades de partículas muito pequenas, como fótons e elétrons. Isso a diferencia 
das leis clássicas de Newton, que se aplicam a objetos maiores. A equação de 
Schrödinger, em sua forma mais simples, é uma equação diferencial parcial que 
relaciona a energia do sistema com a função de onda de uma partícula, que é a 
entidade matemática que contém todas as informações sobre o sistema quântico. 
Neste relatório-pesquisa mostraremos os principais pontos iniciais até chegar na 
equação propriamente, seu desenvolvimento e soluções. 
 
1. Princípio de De Broglie: ondas de matéria 
 
 A equação de Schrödinger a partir de princípios básicos usando equações 
diferenciais. Este processo envolve alguns conceitos fundamentais da física e das 
equações diferenciais. 
Louis de Broglie propôs que partículas como elétrons têm propriedades 
ondulatórias, com um comprimento de onda λ(lambda) dado por: 
λ =
ℎ
𝑝
 
Onde h é a constante de Planck e p é o momento da partícula. O momento p é 
relacionado à energia cinética 𝐸𝑘 por: 
P = m.v 
 
2. Relação de Energia e Comprimento de Onda 
 
Para uma partícula livre (sem potencial externo), a energia total E é a energia 
cinética 𝐸𝑘: 
E = 𝐸𝑘 = 
𝑝2
2𝑚
 
Substituindo por 𝑝 = ℎ
λ
 : 
E = 
ℎ2
2𝑚λ2 
3. Função de Onda e Equação de Onda 
 
A função de onda Ψ descreve o estado quântico da partícula. A relação entre 
energia, momento e a função de onda é dada pela equação de onda. Para uma onda 
livre, a função de onda é uma solução da equação de onda de segunda ordem: 
Ψ(x,t) = 𝐴𝑒𝑖(𝑘𝑥−𝑤𝑡) 
onde k = 
2𝜋
𝜆
 é o número de onda e ω=2π.f é a frequência angular. 
4. Equação de Onda Clássica 
 
A equação diferencial parcial para a função de onda de uma partícula livre é: 
𝜕2Ψ(x,t)
𝜕𝑥2 = 
1
𝑣2 
𝜕2Ψ(x,t)
𝜕𝑡2 
onde v é a velocidade da onda. 
 
Incorporando a energia na função de onda: 
Utilizando a relação ω=2πf e E = ℏω, onde ℏ=
ℎ
2𝜋
: 
E = ℏω 
Para uma partícula, a energia cinética também pode ser escrita como: 
E = 
𝑃2
2𝑀
 = 
ℏ2k2
2𝑀
 
Substituindo k = 
2𝜋
𝜆
 e ω = 
𝐸
ℏ
: 
ω = 
ℏ2k2
2𝑀
 
5. Postulando a Equação de Schrödinger 
 
Erwin Schrödinger postulou que a função de onda Ψ(x,t) de uma partícula deve 
satisfazer uma equação diferencial de segunda ordem no espaço e de primeira ordem 
no tempo. Esta equação deve considerar a energia total da partícula, incluindo a 
energia potencial U ou em determinados casos não incluindo. 
Uma onda de matéria (como, por exemplo, a de um elétron) é descrita por uma 
função de onda Ψ(x, y, z, t), que pode ser separada em uma parte espacial Ψ (x, y, z) 
e uma parte temporal е–𝑖𝑣𝑡
, em que ω é a frequência angular da onda. 
No caso de uma partícula não relativística, de massa m, que move no eixo x 
com energia E e energia potencial U, a parte espacial da função de onda pode ser 
determinada resolvendo a equação: 
d2Ψ
𝑑𝑥2 + 𝑘2Ψ = 0 
em que k é o número de onda, que está relacionado com o comprimento de onda de 
de Broglie λ, com o momento p e com a energia cinética E – U da seguinte forma: 
𝑘 = 
2𝜋
𝜆
 = 
2𝜋𝑝
ℎ
= 
2𝜋√2𝑚(𝐸−𝑈)
ℎ
 
Uma partícula não tem uma posição definida no espaço até que essa posição 
seja detectada experimentalmente. A probabilidade de detectar uma partícula em um 
pequeno volume no entorno de um ponto dado é proporcional à densidade de 
probabilidade |𝑐|2 da onda de matéria nesse ponto. 
Em situações que envolvem o movimento de uma partícula no eixo x em uma 
região em que a força a que a partícula está sujeita faz com que a partícula possua 
uma energia potencial U(x). Neste caso especial, a parte espacial da equação de 
Schrödinger se reduz a: 
𝑑2Ψ
𝑑𝑥2 +
8𝜋2𝑚
ℎ2 [𝐸 − 𝑈(𝑥)]Ψ = 0 
Esta é a equação de Schrodinger para um movimento unidimensional, em que 
E é a energia mecânica total (soma da energia potencial e da energia cinética) da 
partícula. (Nessa equação não relativística, a massa da partícula não é considerada 
uma forma de energia). A equação de Schrödinger não pode ser deduzida a partir de 
princípios mais simples, ela é a expressão de uma lei natural. 
5.1 Dependência temporal 
A equação de Schrödinger dependente do tempo é uma ferramenta 
fundamental na mecânica quântica para descrever como o estado quântico de um 
sistema evolui ao longo do tempo. Ela é expressa como: 
iℏ
∂Ψ(r,t)
∂t
 = Ĥ Ψ(x, t) 
Aqui, Ψ(x, t) é a função de onda, que depende das coordenadas espaciais x e 
do tempo t. O termo Ĥ representa o operador Hamiltoniano, que corresponde à 
energia total do sistema, incluindo tanto a energia cinética quanto a potencial. A 
constante ℏ é a constante de Planck reduzida, e i é a unidade imaginária. 
6. Solução e conclusões 
 
A solução para esta equação é uma onda que descreve o aspecto quântico de 
um sistema. No entanto, a interpretação física das ondas é um dos principais 
problemas filosóficos da mecânica quântica. A solução da equação é baseada no 
método dos autovalores desenvolvido por Fourier. Aqui cada função matemática é 
expressa como a soma de uma série infinita de outras funções periódicas. O truque é 
encontrar as funções corretas que tenham as magnitudes corretas para que, somadas 
por superposição, forneçam a solução desejada. Assim, a solução da equação de 
Schrondinger, a função de onda do sistema, foi substituída pelas funções de onda das 
séries individuais, pelos harmônicos naturais das demais, uma série infinita. 
Shrödinger descobriu que as ondas de substituição descrevem os estados individuais 
do sistema quântico e suas amplitudes, dando assim a importância relativa desse 
estado para todo o sistema. 
A equação de Schrödinger mostra todas as propriedades da matéria em forma 
de onda e é uma das maiores conquistas científicas do século XX. É usado em física 
e química para resolver problemas relacionados à estrutura atômica da matéria. É 
uma ferramenta matemática extremamente poderosa e a base da mecânica 
ondulatória. A equação de Schrödinger é o nome da equação de onda não relativística 
básica usada em uma versão da mecânica quântica para descrever o comportamento 
de uma partícula em um campo de força. 
Existe a equação dependente do tempo usada para descrever a onda viajante, 
aplicável ao movimento de partículas livres. Esta é a forma independente do tempo 
desta equação usada para descrever ondas estacionárias. A equação de Schrödinger 
independente do tempo pode ser resolvida analiticamente para vários sistemas 
simples. A equação dependente do tempo é de primeira ordem no tempo, mas de 
segunda ordem em coordenadas, portanto é inconsistente com a relatividade. 
Soluções para sistemas ligados produzem três números quânticos, correspondentes 
a três coordenadas, e uma correção relativística aproximada é possível incluindo um 
número quântico de quarto spin. 
Referências 
[1] EISBERG, Robert; RESNICK, Robert. Física Quântica. 15ª ed. Rio de Janeiro: 
Campus, 1979. 
[2] HALLIDAY, David; RESNICK, Robert; WALKER, Jearl. Fundamentos de Física: 
Óptica e Física Moderna – Vol. 4. 10ª ed. Rio de Janeiro: LTC, 2016. 
[3] ALMEIDA, Juliana Nemezio de; SOUZA, Tatiana Miguel Rodrigues de. A 
equação de Schrödinger através das equações diferenciaisparciais: uma revisão 
narrativa. Unesp, 2020. Disponível em: https://dx.doi.org/10.37885/210906238. 
 
https://dx.doi.org/10.37885/210906238