Prévia do material em texto

Geometria Analítica e Álgebra Vetorial – Roteiro de aula 4 – Produto Escalar 
 
___________________________________________________________________________________________________________ 
 Faculdades Oswaldo Cruz – Ciclo Básico dos Cursos Superiores em Engenharia e em Química 1 
 
DEFINIÇÃO E PROPRIEDADES 
 
 
87) Calcule o produto escalar entre os vetores: 
a) 𝑢 = (5,4,3) e �⃗� = (1, −1,1) 
b) 𝑢 = (3,1,2) e �⃗� = (−2,2,5) 
c) 𝑢 = (1,3, −2) e �⃗� = (−2,2,2) 
Respostas: (a) 4; (b) 6 e (c) 0 
 
88) O trabalho (𝑊 em 𝐽) realizado por uma força �⃗� em 𝑁 numa trajetória definida pelo vetor 
deslocamento 𝑑 em 𝑚 é definido por um produto escalar: 
𝑊 = �⃗� ∙ 𝑑 
Considere uma força de componentes �⃗� = −𝚤 + 3𝚥 + 4𝑘 N, que atua num objeto cujo 
deslocamento é definido por 𝑑 = 2𝚤 − 𝚥 + 3𝑘 m, e determine o trabalho realizado. 
Resposta: 𝑊 = 7 𝐽 
 
89) Dados os vetores 𝑢 = (2,3,1) e �⃗� = (1,4,5), calcule: 
a) |𝑢 + �⃗�| b) |3𝑢 − 2�⃗�| c) (3𝑢 − 3�⃗�) ∙ (𝑢 + 2�⃗�)
Respostas: (a) √94; (b) √66 e (c) −153 
 
90) Determine |2𝑢 − 3�⃗�|, sabendo que 𝑢 ∙ �⃗� = 1, |𝑢| = 3 e |�⃗�| = 2. 
Resposta: √60 = 2 ∙ √15 
 
91) Conhecidos os vetores 𝑢 = (1, 𝑚, −5), �⃗� = (𝑚, 𝑚 − 1,1) e �⃗� = (2, −1,1), determine o(s) 
valor(es) de 𝑚 de forma que: 𝑢 ∙ �⃗� = (�⃗� + 𝑢) ∙ �⃗�. 
Resposta: 𝑚 = −2 ou 𝑚 = 2 
 
92) Determine as coordenadas do vetor 𝑢 = (𝑥, 𝑦, 𝑧), ortogonal ao eixo 𝑦 que satisfaz as 
condições: 𝑢 ∙ �⃗� = 7 e 𝑢 ∙ �⃗� = −13, conhecidos �⃗� = (1,2, −4) e �⃗� = (−1,2,6). 
Resposta: 𝑢 = (−5,0, −3) 
 
93) Com base nos vetores 𝑢 = (2, −1,1), �⃗� = (1, −2, −2) e �⃗� = (1,1, −1), determine as 
coordenadas do vetor �⃗�, de forma que: �⃗� ∙ 𝑢 = 4; �⃗� ∙ �⃗� = −9 e �⃗� ∙ �⃗� = 5. 
Resposta: �⃗� = (3,4,2) 
 
 
DEFINIÇÃO GEOMETRIA 
 
 
94) Prove que os vetores 𝑢 = (2,4,1) e �⃗� = (1,0, −2) são ortogonais. 
 
95) Dados os pontos 𝐴 = (−1,0, −1), 𝐵 = (2, −1,4), 𝐶 = (1,1,1), e 𝑃 = (𝑥, 0, 𝑥 − 2), determine 
valor de 𝑥 tal que 𝐴�⃗� e 𝐵𝑃 sejam ortogonais. 
Resposta: 𝑥 = 
 
96) Sabendo que |𝑢| = √3, |�⃗�| = 2 e que 𝑢 e �⃗� são ortogonais, determine: |2𝑢 − �⃗�|. 
Resposta: 4 
 
Geometria Analítica e Álgebra Vetorial – Roteiro de aula 4 – Produto Escalar 
 
___________________________________________________________________________________________________________ 
 Faculdades Oswaldo Cruz – Ciclo Básico dos Cursos Superiores em Engenharia e em Química 2 
 
97) Os pontos 𝐴 = (2,1,2), 𝐵 = (1,2, 𝑧) e 𝐶 = (−1,0, −1) são vértices de um triângulo retângulo, 
com ângulo reto em 𝐵. Calcule o valor de 𝑧. 
Resposta: 𝑧 = −1 e 𝑧 = 2 
 
 
98) Considerando a figura ao lado, determine 𝐴�⃗� ∙ 𝐷�⃗�. 
Resposta: 
 
 
 
 
99) Calcular os valores de 𝑚 de forma que o vetor 𝑢 + �⃗� seja ortogonal ao vetor �⃗� − 𝑢, onde 
𝑢 = (2,1, 𝑚), �⃗� = (𝑚 + 2, −5,2) e �⃗� = (2𝑚, 8, 𝑚). 
Resposta: 𝑚 = −6 e 𝑚 = 3 
 
MISCELÂNIA 
 
100) Calcule o produto escalar entre os vetores:
a) 𝑢 = (1, −3,2) e �⃗� = (4,3, −2) 
b) 𝑢 = (2, −2,1) e �⃗� = (3,0, −1) 
c) 𝑢 = (−1,1,3) e �⃗� = (2, −1,1) 
Respostas: (a) −9; (b) 5 e (c) 0 
 
101) Sabendo que |𝑢| = 8, |�⃗�| = 5 e que 𝑢 e �⃗� formam ângulo de 60°, calcule: 
a) |𝑢 + �⃗�| b) |𝑢 − �⃗�| c) |4𝑢 − 5�⃗�|
Respostas: (a) √129; (b) 7 e (c) √849 
 
102) Dado que |𝑢| = √5, ∙ |�⃗�| = 4 e 𝑢 ∙ �⃗� = −3, determine: 
a) (5𝑢 − 3�⃗�) ∙ 2𝑢 
b) (𝑢 − 2�⃗�) ∙ (3�⃗� + 4𝑢) 
c) |3�⃗� − 2𝑢| 
Respostas: (a) 68; (b) −61 e (c) √200 = 10√2 
 
103) Conhecidos os vetores 𝑢 = (−3,3, 𝑚), �⃗� = (𝑚, 2, −4) e �⃗� = (3,1, 𝑚 + 1), determine o(s) 
valor(es) de 𝑚 de forma que: 𝑢 ∙ �⃗� = (𝑢 − �⃗�) ∙ �⃗�. 
Resposta: 𝑚 = −10 ou 𝑚 = 1 
 
104) Dados os vetores 𝑢 = (3, −1, −5) e �⃗� = (1,2, −3), determine as coordenadas do vetor �⃗� 
ortogonal ao eixo 𝑂𝑧 e que verifica as relações: �⃗� ∙ 𝑢 = 9 e �⃗� ∙ �⃗� = −4. 
Resposta: �⃗� = (2, −3,0) 
 
105) Calcule as coordenadas do vetor 𝑢 = (𝑎, 𝑏, 𝑐), ortogonal ao eixo 𝑥 que satisfaz as condições: 
𝑢 ∙ �⃗� = 7 e 𝑢 ∙ �⃗� = −2, dados �⃗� = (−4,1,5) e �⃗� = (5, −2, −4). 
Resposta: 𝑢 = (0, −3,2) 
 
106) Encontre o vetor 𝑢 dado que 𝑢 ∕∕ �⃗� , �⃗� = (−1,1,2), 𝑢 ∙ �⃗� = 15 e �⃗� = (2,1,3) 
Resposta: 𝑢 = (−3,3,6) 
 
107) Dados os vetores 𝑢 = (2, −3,4), �⃗� = (−3,2, −1) e 𝑡 = (1, −1,2), determine as coordenadas 
do vetor �⃗�, sabendo ainda que: 𝑢 ∙ �⃗� = 16, �⃗� ∙ �⃗� = 1 e 𝑡 ∙ �⃗� = 7. 
Resposta: �⃗� = (−3, −2,4) 
Geometria Analítica e Álgebra Vetorial – Exercícios Adicionais de Produto Vetorial 
_________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________ 
 
___________________________________________________________________________________________________________ 
 Faculdades Oswaldo Cruz – Ciclo Básico dos Cursos Superiores em Engenharia e em Química 3 
 
108) Conhecidos os vetores 𝑢 = (1,3, −2), �⃗� = (−2, −2,2) e �⃗� = (3,5, −2), determine as 
coordenadas do vetor �⃗� de forma que: �⃗� ∙ 𝑢 = 1, �⃗� ∙ �⃗� = 4 e �⃗� ∙ �⃗� = −1. 
Resposta: �⃗� = (−3,2,1) 
 
109) Com base nos vetores: 𝑢 = (2,1,1), �⃗� = (−1,2, −1) e �⃗� = (3, −2,2), determine as 
coordenadas do vetor �⃗�, de forma que: �⃗� ∙ 𝑢 = 3, �⃗� ∙ �⃗� = 4 e �⃗� ∙ �⃗� = −4 
Resposta: �⃗� = (−2,3,4) 
 
110) Verifique se os vetores 𝑢 = 3𝚤 − 2𝚥 + 𝑘 e �⃗� = 2𝚥 + 4𝑘 são ortogonais. 
Resposta: Os vetores são ortogonais, pois 𝑢 ∙ �⃗� = 0 . 
 
111) Calcular o valor de 𝑚 para que o vetor 𝑢 + �⃗� seja ortogonal ao vetor �⃗� − 𝑢, onde: 𝑢 =
(2,1,3), �⃗� = (𝑚 + 3, −5,2) e �⃗� = (6,8, 𝑚 + 1). 
Resposta: 𝑚 = 2 
 
112) Os pontos 𝐴 = (2,1,2), 𝐵 = (𝑥, 2,2) e 𝐶 = (−1,0, −1) são vértices de um triângulo retângulo, 
com ângulo reto em 𝐵. Calcule os valores de 𝑥. 
Resposta: 𝑥 = 0 𝑥 = 1 
 
113) Sabendo que |𝑢| = √2, |�⃗�| = 3 e que 𝑢 e �⃗� formam ângulo de 135°, calcule: |𝑢 − 2�⃗�| 
Resposta: √50 = 5√2