Caderno de Teoria ENEM - Dom Bosco-046-048

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M
AT
EM
ÁT
IC
A
45
• Matriz diagonal
E =








1 0 0
0 3 0
0 0 5
• Matriz identidade de ordem 3
E =








1 0 0
0 1 0
0 0 1
• Matriz nula 2 × 2
O2
0 0
0 0
= 



C. Representação genérica
Uma matriz A do tipo m × n é representada por:
A
a a a a
a a a a
a a a a
n
n
m m m m
=
11 12 13 1
21 22 23 2
1 2 3
...
...
. . . .
. . . .
. . . .
... nn
ij m n
a














= ( ) ×
D. Nomenclatura especial
Dada uma matriz A, temos:
• matriz oposta de A (–A): é a matriz que tem por ele-
mentos os opostos dos elementos de A;
A A= -



 ⇒ - = - -
-




2 3
1 3
2 3
1 3
• matriz transposta de A (At): é a matriz obtida trocan-
do-se, ordenadamente, as linhas pelas colunas.
A A t= 


 ⇒ =








1 3 2
2 4 5
1 2
3 4
2 5
Observações
• Se ocorrer At = A, dizemos que A é uma matriz 
simétrica.
• Se ocorrer At = –A, dizemos que A é uma ma-
triz antissimétrica.
E. Igualdade
Duas matrizes, A e B, são iguais se, e somente se, forem do 
mesmo tipo e seus elementos correspondentes forem iguais.
Am × n = Bm × n ⇔ aij = bij
∀i e ∀j
F. Operações com matrizes
F.1. Adição
Se A e B são matrizes do mesmo tipo m × n, chama-se 
matriz soma das matrizes A e B a matriz A + B do tipo m × n, 
cujos elementos são iguais à soma dos elementos correspon-
dentes de A e B.
F.2. Multiplicação de um número por uma matriz
Dada uma matriz A e o número real x, o produto de x por A 
é a matriz obtida a partir de A, multiplicando-se todos os seus 
elementos pelo número real x.
F.3. Multiplicação de matrizes
Sejam as matrizes:
A = (aij)m × p e B = (bij)p × n , chama-se matriz produto 
A · B a matriz C = (cij)m × n , tal que:
cij = ai1 · b1j + ai2 · b2j + ai3 · b3j + ... + aip · bpj
F.4. Esquema
Am × p · Bp × n = Cm × n
=
Exemplo
A B= 


 =







×
×
2 1 3
1 2 0
1 2
1 3
4 02 3
3 2
e
A B⋅ = + + + +
+ + + +



 = 



2 1 12 4 3 0
1 2 0 2 6 0
15 7
3 8
A2 × 3 · B3 × 2 = C2 × 2
=
G. Propriedades
Desde que as operações indicadas sejam possíveis:
a. A + B = B + A
b. A + O = O + A = A
c. A · (B · C) = (A · B) · C
d. (A + B) · C = A · C + B · C
e. A2 = A · A
f. A · I = A
g. (At)t = A
h. (A + B)t = At + Bt
i. (A · B)t = Bt · At
23. Determinantes
A. Definição
Sendo A = (aij)n × n uma matriz quadrada de ordem n, po-
demos associar a ela um único número, denominado deter-
minante de A, que indicamos por det A.
A
a a a
a a a
a a a
n
n
n n nn
=














11 12 1
21 22 2
1 2
...
...
. . .
. . .
. . . 

⇒ =det
...
...
. . .
. . .
. . .
A
a a a
a a a
a a a
n
n
n n nn
11 12 1
21 22 2
1 2
701360214 DB EM PV ENEM 91 AN LV 01 TE TEOR UN_MIOLO.indb 45 24/01/2019 09:05
MATERIA
L D
E U
SO E
XCLU
SIV
O 
SIS
TEMA D
E E
NSIN
O D
OM B
OSCO
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AT
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IC
A
46
B. Casos particulares
B.1. Se A é de ordem 1, temos:
A = [a11] ⇒ det A = |a11| = a11
B.2. Se A é de ordem 2, temos:
A
a a
a a
A
a a
a a
a a a a= 



⇒ = = ⋅ − ⋅11 12
21 22
11 12
21 22
11 22 12 21det
B.3. Se A é de ordem 3, temos (regra de Sarrus):
A
a a a
a a a
a a a
A
a a a a a
=










⇒ =
11 12 13
21 22 23
31 32 33
11 12 13 11
de t
112
21 22 23 21 22
31 32 33 31 32
11 12 13
21 22 23
31 3
a a a a a
a a a a a
a a a
a a a
a a
ou
22 33a
+ + +– – –
det A = a11 · a22 · a33 + a12 · a23 · a31 + a13 · a21 · a32 – 
– a31 · a22 · a13 – a32 · a23 · a11 – a33 · a21 · a12 
C. Determinante de ordem n
Dada uma matriz A, quadrada de ordem n ≥ 2, chamamos 
de cofator do elemento aij o número Aij, tal que:
Aij = (–1)i + j · Dij
Dij é chamado de
menor complementar.
Em que Dij é o determinante da matriz que se obtém 
eliminando-se a linha i e a coluna j de A.
Definição: determinante de uma matriz quadrada de ordem 
n ≥ 2 é a soma dos produtos dos elementos da primeira li-
nha da matriz pelos seus respectivos cofatores.
A
a a a
a a a
a a a
n
n
n n nn
=














11 12 1
21 22 2
1 2
���
���
� � �
� � �
� � � 

⇒
⇒ = ⋅ + ⋅ + + ⋅det ���A a A a A a An n11 11 12 12 1 1
D. Teorema de Laplace
O determinante de uma matriz quadrada é igual à soma 
dos produtos dos elementos de uma fila (linha ou coluna) 
qualquer pelos respectivos cofatores.
E. Propriedades dos determinantes
a. O determinante não se altera quando trocamos orde-
nadamente linhas por colunas.
det At = det A
b. Se somarmos aos elementos de uma fila de uma matriz 
quadrada os elementos respectivos de uma fila para-
lela multiplicados por uma constante, o determinante 
dessa matriz não se alterará (Teorema de Jacobi).
c. O determinante de uma matriz quadrada é igual a zero, 
se a matriz possui:
• uma fila nula;
• duas filas paralelas iguais;
• duas filas paralelas proporcionais.
d. Quando trocamos entre si as posições de duas filas 
paralelas de uma matriz quadrada, o determinante 
muda apenas de sinal.
e. O determinante de uma matriz quadrada altera-se, 
ficando multiplicado por k, quando os elementos de 
uma fila são multiplicados por k.
Observação
Se An × n ⇒ det(k · A) = kn · det A 
f. O determinante de uma matriz triangular é dado pelo 
produto dos elementos da diagonal principal.
g. (Teorema de Binet) Se A e B são matrizes quadradas 
de mesma ordem, então:
det (A · B) = det A · det B
h. Determinante de Vandermonde
1 1 1
2 2 2
x y z
x y z
y x z x z y= -( ) -( ) -( )· ·
i. Regra de Chió
a b c
d e
g h i
a c d b c e
g d i h e i
1 1
2 3= -( ) ⋅ - ⋅ - ⋅
- ⋅ - ⋅
+
F. Matriz inversa
F.1. Definição
Dada uma matriz A, quadrada com determinante diferente 
de zero, chamamos de matriz inversa de A a matriz A–1, tal que:
A · A–1 = A–1 · A = I
Observação
∃ ⇔ ≠
=
−
−
A A
A
A
1
1
0
1
det
det
det
Regra prática
A
A
A− = ⋅1 1
det
adj
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MATERIA
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NSIN
O D
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OSCO
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ÁT
IC
A
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Em que Adj A (matriz adjunta) é a transposta da matriz 
cofatora de A (c o f A), que se obtém substituindo os elemen-
tos aij de A pelos seus respectivos cofatores Aij.
Propriedades
(A · B)–1 = B–1 · A–1 (cuidado com a ordem)
(A–1)–1 = A
(A–1)t = (At)–1
24. Sistemas lineares
A. Definição
Chamamos de sistema linear um conjunto de equações 
lineares nas mesmas incógnitas.
a x a x a x a x b
a x a x a x
n n11 1 12 2 13 3 1 1
21 1 22 2 23 3
⋅ + ⋅ + ⋅ + + ⋅ =
⋅ + ⋅ + ⋅ +
...
... ++ ⋅ =a x bn n2 2
................................................................
...a x a x a x a x bm m m mn n m1 1 2 2 3 3⋅ + ⋅ + ⋅ + + ⋅ =






Dizemos que S = {(a1, a2, a3, ..., an)} é solução do siste-
ma se, e somente se, para x1 = a1, x2 = a2, x3 =a3, ... xn = an 
todas as equações forem verdadeiras.
B. Classificação
Sistema linear
Possível ou 
consistente
Indeterminado
(mais do que 
uma solução)
Determinado
(solução única)
Impossível ou in-
consistente 
(não há solução)
Exemplo: SPD
x y
x y
V
+ =
- =



= ( ){ }7
1
4 3, ;
Quando admite infinitas soluções, o sistema é indeterminado.
Exemplo:
x y
x y
V
- =
- =



= ( ) -( ) ( ) +( )
3
2 2 6
4 1 2 1 5 2 3, , , , , , ..., , , ..a a .. ;{ } SPI
Se o sistema não admite solução, ele é impossível ou 
inconsistente.
Exemplo: SI
x y
x y
V
+ =
+ =



= ∅
5
6
;
C. Regra de Cramer
Dado um sistema linear com n equações e n incógnitas, 
se o determinante D da matriz formada pelos coeficientes do 
sistema (matriz incompleta) for diferente de zero, temos:
x
Dx
D
x
Dx
D
x
Dx
D
x
Dx
Dn
n
1
1
2
2
3
3= = = =, , , ���,
como solução do sistema, em que Dxi é o determinante 
da matriz que se obtém, substituindo os coeficientes de xi pe-
los termos independentes na matriz incompleta.
Exemplo:
x y y
x y z
x y z
D
+ - = -
- + =
+ + =




=
-
- = -
2 3 9
5 4 23
2 5 3 8
1 2 3
5 1 4
2 5 3
1118
9 2 3
23 1 4
8 5 3
236
1 9 3
5 23 4
2 8 3
118
1 2 9
5 1 23
2 5
D
D D
x
y z
=
- -
- = -=
- -
= =
-
-
88
354
236
118
2
118
118
1
354
118
3
2
= -
= = -
- =
= = - = -
= = -
- =
=
x
D
D
y
D
D
z
D
D
V
x
y
z
,, ,-( ){ }1 3
D. Sistemas escalonados
Chamamos de sistema escalonado aquele que apresenta a 
matriz incompleta escalonada, isto é, o número de zeros que pre-
cedem o primeiro elemento não nulo de uma linha aumenta linha 
por linha, até que sobrem linhas eventualmente nulas.
Exemplo:
3 2 5 1
3 2 2 5
3 2
x y z t
y z t
t
+ - + =
+ + =
=




E. Sistemas equivalentes
Dois sistemas lineares são equivalentes quando apre-
sentam exatamente o mesmo conjunto solução.
O conjunto solução de um sistema linear não se altera quando:
trocamos de posição, entre si, duas equações;
multiplicamos ou dividimos uma equação por um número 
diferente de zero;
multiplicamos uma equação por um número e adicionamos 
o resultado a outra equação.
Observação 
Para escalonar um sistema, usamos as propriedades 
descritas anteriormente.
F. Discussão de um sistema linear
Sistemas com n equações e n incógnitas
Se D ≠ 0 ⇒ SPD
Se D = 0 ⇒ SPI ou SI (depende do sistema escalonado)
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