1 09 ET Sistemas elétricos trifásicos tipos de ligações e cálculo das tensões - exercicios

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SISTEMAS TRIFÁSICOS 
Cícero Souza 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
, 
 
 
3 
 
 
1 SISTEMAS ELÉTRICOS TRIFÁSICOS: TIPOS DE LIGAÇÕES E CÁLCULO DAS 
TENSÕES E CORRENTES DE LINHA E DE FASE 
Apresentação 
Caros alunos, neste momento daremos início aos estudos da disciplina de “Sistemas 
Trifásicos” que é uma das bases do curso de Engenharia Elétrica, pois contém os 
subsídios para o aprofundamento dos estudos com as demais disciplinas do curso tais 
como Máquinas Elétricas, Distribuição de Energia, Instalações Elétricas etc. Portanto, 
nesse bloco, iniciaremos com a apresentação dos sistemas trifásicos e seus conceitos 
fundamentais para aplicações gerais. Tais como, sistemas de transmissão/distribuição 
de energia e sistemas industriais. 
1.1 Introdução aos Sistemas Trifásicos 
Os Sistemas de geração de energia elétrica, em sua grande maioria, estão localizados 
em pontos remotos do país. O principal motivo é que grandes blocos de potência 
necessitam de grandes espaços disponibilizados para a montagem das Usinas de 
Geração de Energia Elétrica. No Brasil, a maior parte da potência elétrica gerada é 
proveniente de usinas Hidroelétricas. 
Os geradores montados nessas usinas são trifásicos, pois são convenientes para 
transmissão de grandes blocos de potência. Uma vez que teremos 3 condutores 
carregados para essa função. 
Para o transporte desses blocos de potência são utilizadas as linhas de transmissão e 
as redes de distribuição. Nessa locomoção há perdas técnicas por efeito Joule 
(aquecimento) nos condutores. Por isso, ele é dividido nessas duas etapas. A 
alimentação trifásica é propícia para alimentação de cargas como motores e 
retificadores de potência, pois tem maior eficiência do que as suas versões 
monofásicas. 
 
, 
 
 
4 
 
Linhas de Transmissão 
Essas linhas são responsáveis pela interligação da Geração (local remoto) com a 
subestação próxima ao centro de carga. Geralmente, essa distância é muito grande 
(centenas de quilômetros). As linhas de transmissão possuem níveis de tensão mais 
elevados (geralmente entre 230 até 750 kV), com o objetivo de reduzir as perdas no 
transporte. Com o aumento da tensão, ocorre a diminuição da corrente elétrica no 
trajeto da linha para a transmissão da potência gerada. Com a corrente menor, temos 
um efeito Joule reduzido. 
Redes de Distribuição 
As redes de distribuição são instaladas nos centros urbanos e são responsáveis pelo 
transporte da energia das Subestações rebaixadoras até as cargas. Essas redes 
geralmente possuem tensões na faixa de 13,8 – 24 ou 36 kV. A carga as quais elas 
alimentam geralmente são indústrias, grandes empreendimentos ou até mesmo 
consumidores residenciais através de transformadores rebaixadores. Essas redes 
tendem a ficar desbalanceadas em algumas regiões por conta da grande diversidade 
de topologias aplicadas, pois, em alguns casos, a carga é desbalanceada (áreas 
residenciais) ou a tensão não é distribuída de forma trifásica (área rural por exemplo). 
Por conta desse desbalanço faz-se necessário estudar o comportamento do sistema 
também nessas condições. 
Figura 1.1: Ilustração de um Sistema de Geração, Transmissão e Distribuição de 
Energia 
 
Fonte: Adaptado de CPE, S.D. 
, 
 
 
5 
 
1.2 Definições de Sistemas Trifásicos 
Um sistema trifásico equilibrado é definido como um sistema de tensão conforme a 
seguir: 
𝑒1 = 𝐸𝑀 cos𝜔𝑡 
𝑒2 = 𝐸𝑀 cos(𝜔𝑡 −
2𝜋
3
) 
𝑒2 = 𝐸𝑀 cos(𝜔𝑡 −
4𝜋
3
) 
𝐸𝑀 é o valor máximo da tensão senoidal no tempo. 
No equacionamento apresentado anteriormente, os ângulos estão em radianos. 
Fazendo a decomposição e sabendo-se que 𝜋 radianos vale 180°, deduzimos que cada 
tensão está defasada de 120° elétricos ou 
2π
3
 radianos. 
As grandezas dos sistemas trifásicos de tensão e corrente são representadas por 
fasores que possuem um módulo e um ângulo. Nós chamamos essa representação de 
forma polar. Segue: 
𝐸1 = E ∠ 0° 
𝐸2 = E ∠ − 120° 
𝐸3 = E ∠120° 
Onde: 
E =
EM
√2
 é o valor eficaz da tensão. 
Agora precisamos definir os tipos de sistemas: 
Sistema trifásico simétrico ou equilibrado: Sistema senoidal, trifásico e com as 
tensões nos terminais dos geradores defasadas entre si de 120° elétricos. 
Rede trifásica equilibrada: Rede elétrica trifásica que pode ter 3 ou 4 fios a qual 
possuem impedâncias próprias e mútuas iguais entre os fios. 
, 
 
 
6 
 
Carga trifásica equilibrada: Carga trifásica que possui 3 impedâncias complexas iguais, 
que podem ser conectadas em estrela ou triângulo (ou Delta). 
Quando alguma das características dos itens anteriormente definidos deixa de existir 
ou se alterar, devemos tratar como uma situação de desequilíbrio. 
Sequência de Fase 
Para a análise de sistemas trifásicos, devemos saber a sequência de giro das fases a 
serem analisadas. Essa sequência nada mais é do que a ordem pela qual as tensões das 
fases passam pelo seu valor máximo. Na Figura 1.2, por exemplo, temos a sequência 
de fase positiva ou direta (ABC). Se houver uma inversão nessa ordem, chamamos de 
sequência negativa ou inversa. 
Figura 1.2: Sequência de fases positiva 
 
Fonte: Elaborado pelo autor. 
Operador “𝜶” 
O operador “𝛼” é um número complexo unitário com ângulo de 120°. O objetivo é 
que, quando aplicarmos esse operador a um fasor qualquer, transforma-o em outro de 
mesmo módulo, porém adiantado de 120°. Segue: 
α = 1 ∠120° = −
1
2
+ j
√3
2
 
 
, 
 
 
7 
 
Propriedades de potenciação importantes do operador 𝛼: 
α1 = α = 1 ∠ 120° 
α2 = α. α = 1 ∠ 120°. 1 ∠ 120° = 1 ∠ − 120° 
1 + α + α2 = 1 ∠ 0° + 1 ∠ 120° + 1 ∠ − 120° = 0 
Essas propriedades são muito exploradas na análise de sistemas elétricos trifásicos. 
1.3 Sistemas Trifásicos Simétricos e Equilibrados com Cargas Equilibradas 
Ligações em Estrela 
Figura 1.3: Sistema trifásico com gerador e carga ligados em estrela 
 
Fonte: Elaborado pelo autor. 
IA =
EAN
Z
=
E + 0j
Z ∠ φ
=
E
Z
 ∠ − φ 
IB =
EBN
Z
=
E ∠ − 120°
Z ∠ φ
=
E
Z
 ∠ − 120° − φ 
IC =
ECN
Z
=
E ∠ + 120°
Z ∠ φ
=
E
Z
 ∠ + 120° − φ 
Definições importantes: 
Tensão de fase: Tensão medida entre os terminais do gerador ou carga e o centro-
estrela. 
Tensão de linha: Tensão medida entre os terminais do gerador ou carga, exceto o 
centro-estrela. 
, 
 
 
8 
 
Corrente de fase: Corrente que percorrer as bobinas do gerador e as impedâncias da 
carga (são iguais). 
Corrente de linha: Corrente que percorre os condutores que interligam o gerador e a 
carga (sem contar o neutro). Nesse tipo de conexão, as correntes de linha são iguais às 
de fase. 
IAN = IA, IBN = IB , ICN = IC 
Agora, as tensões de fase são: 
VAN = [
VAN
VBN
VCN
] = VAN. [
1
α2
α
] 
As tensões de linha são: 
VAB = VAN − VBN 
VBC = VBN − VCN 
VCA = VCN − VAN 
Substituindo, utilizando matrizes: 
VAB = [
VAB
VBC
VCA
] = VAN . [
1
α2
α
] − VAN . [
α2
α
1
] = VAN . [
1 − α2
α2 − α
α − 1
] 
Sabe-se que: 
1 − α2 = 1 − (−
1
2
−
√3
2
j) = √3. (
√2
2
+
1
2
j) = √3 ∠ 30° 
α2 − α = α2(1 − α2) = α2√3 ∠ 30° 
α2 − 1 = α(1 − α2) = α√3 ∠ 30° 
Assim, 
VAB = [
VAB
VBC
VCA
] = √3 ∠ 30°. VAN [
1
α2
α
] = [
VAN. √3 ∠ 30°
VBN. √3 ∠ 30°
VCN. √3 ∠ 30°
] 
 
, 
 
 
9 
 
Para uma sequência de fase positiva, as tensões de linha e de fase para a ligação 
estrela se relacionam pelo número complexo: 
√3 ∠ 30° 
Multiplicando-se esse fasor pela tensão de fase, teremos a tensão de linha que é 
adiantada de 30°. 
Figura 1.4: Diagrama Fasorial - Ligação Estrela 
 
Fonte: Elaborado pelo Autor. 
Para resolução de circuitos, temos que levar em consideração a impedância da linha 
que interliga o gerador com a carga. 
Figura 1.5: Circuito trifásico em estrela equilibrado 
 
Fonte: Elaborado pelo autor. 
VAN = [
VAN
VBN
VCN
] = E ∠ θ. [
1
α2
α
] , Z = Z ∠ φ1 e Z
′ = Z′ ∠ φ2 
 
, 
 
 
10 
 
Portanto, a corrente será: 
IA =
VAN
Z + Z′
=
E ∠ θ
Z + Z′
 
IB =
VBN
Z + Z′
=
α2E ∠ θ
Z + Z′
= α2IAIC =
VCN
Z + Z′
=
αE ∠ θ
Z + Z′
= αIA 
Ou na forma matricial: 
IA [
1
α2
α
] =
E
Z + Z′
[
1
α2
α
] 
Sabe-se também que: 
IN = IA + IB + IC = 0 
Exercício 1: Uma carga equilibrada ligada em estrela é alimentada por um sistema 
trifásico simétrico e equilibrado com sequência de fase direta. Sabendo que VBN =
220 ∠ 58° V e desconsiderando a impedância da linha, calcule: 
a) As tensões de fase na carga. 
b) As tensões de linha na carga. 
Solução: 
 a) Como o sistema é trifásico simétrico, os módulos das tensões de fase são iguais. 
Portanto: 
VAN = VBN = VCN = 220 V 
Sabendo que a sequência de fase é positiva, partindo da fase B, passarão as fases C e A 
com a devida defasagem de 120°. Assim: 
VBN = 220 ∠ 58° V, VCN = 220 ∠ − 62° V, VAN = 220 ∠ 178° V 
 
, 
 
 
11 
 
b) Partindo do conceito de que, para esse caso, a tensão de linha é a respectiva tensão 
de fase multiplicada pelo número complexo √3 ∠ 30°, teremos: 
VAB = 220 ∠ 178°. √3 ∠ 30° = 380 ∠ 208° = 380 ∠ − 152° V 
VBC = 220 ∠ 58°. √3 ∠ 30° = 380 ∠ 88° V 
VCA = 220 ∠ − 62°. √3 ∠ 30° = 380 ∠ − 32° V 
Figura 1.6: Diagrama Fasorial do Exercício 1 
 
Fonte: Elaborado pelo autor. 
Ligações em Triângulo ou Delta 
Nesse tipo de ligação, faremos as ligações das bobinas do gerador formando um 
triângulo ou também conhecido como ligação Delta. 
Figura 1.7: Circuito Trifásico em Triângulo 
 
Fonte: Elaborado pelo autor. 
 
, 
 
 
12 
 
As características dessa ligação são: 
- As tensões de fase são iguais as tensões de linha; 
- As correntes de fase são diferentes das correntes de linha; 
Para determinarmos a relação das correntes de fase e de linha, vamos inicialmente 
considerar um sistema trifásico simétrico e equilibrado com sequência de fase positiva. 
IA′B′ = IF ∠ θ 
IB′C′ = IF ∠ θ − 120° 
IC′A′ = IF ∠ θ + 120° 
Ou podemos escrever a equação anterior por matrizes: 
IA′B′ = [
IA′B′
IB′C′
IC′A′
] = IA′B′ [
1
α2
α
] 
Aplicando a 2° lei de Kirchhoff, teremos: 
IA = IA′B′ − IC′A′ 
IB = IB′C′ − IA′B′ 
IC = IC′A′ − IB′C′ 
Por matrizes, 
[
IA
IB
IC
] = [
IA′B′
IB′C′
IC′A′
] − [
IC′A′
IA′B′
IB′C′
] = IA′B′ [
1
α2
α
] − IA′B′ [
α
1
α2
] 
Portanto: 
[
IA
IB
IC
] = IA′B′ [
1 − α
α2 − 1
α − α2
] 
Também sabemos que: 
1 − α = √3 ∠ − 30, α2 − 1 = α2√3 ∠ − 30, α − α2 = α√3 ∠ − 30° 
 
, 
 
 
13 
 
Logo será: 
[
IA
IB
IC
] = √3 ∠ − 30. IA′B′ [
1
α2
α
] 
Conclusão, para o caso de um circuito trifásico, simétrico e equilibrado de sequência 
positiva, com uma carga em triângulo, as correntes de linha podem ser obtidas, 
multiplicando as correspondentes de fase pelo número complexo: 
√3 ∠ − 30 
As correntes de linha estão atrasadas das correntes de fase em 30° elétricos. 
Figura 1.8: Diagrama fasorial correntes de fase e linha em Delta 
 
Fonte: Autor 
As correntes de fase (dentro do delta) da carga valem: 
IA′B′ =
V
|3Z′ + Z|
 ∠ 0°, IB′C′ =
V
|3Z′ + Z|
 ∠ − 120°, IC′A′ =
V
|3Z′ + Z|
 ∠ 120° 
Para solução de problemas envolvendo cargas em triângulo de maneira mais fácil, 
podemos substituir a carga em triângulo por outra que é equivalente em estrela. Para 
a transformação triângulo-estrela, devemos substituir a carga em triângulo cuja 
impedância vale Z, por outra em estrela cuja impedância vale 
𝒁
𝟑
. O Gerador em 
triângulo deverá ser substituído por outro em estrela de modo que a tensão de linha 
seja a mesma, teremos o caso visto nos itens anteriores. Que é: 
, 
 
 
14 
 
VAN′ = VAN = IA (Z′ +
Z
3
) 
Isolando: 
IA =
VAN
Z′ +
Z
3
=
3VAN
3Z′ + Z
 
Figura 1.9: Circuito trifásico estrela equivalente 
 
Fonte: Autor 
Exercício 2: Um gerador trifásico alimenta, por meio de uma linha, uma carga trifásica 
equilibrada. Sabemos que o gerador e a carga estão conectados em delta. A tensão 
nominal do gerador é 220 V (linha) e 60 Hz, sequência positiva. A impedância de cada 
uma das cargas vale (3 + J4) Ohms e a impedância de cada linha vale 0,2 + j0,15 Ohms. 
Desprezando mútuas, calcule: 
a) as tensões de fase e de linha do gerador; 
As tensões de fase e de linha são iguais. Portanto: 
VAB = [
VAB
VBC
VCA
] = 220 ∠ 0° [
1
α2
α
] V 
b) as correntes de linha 
IA =
VAN
Z′ +
Z
3
=
220 ∠ 0
√3 ∠ 30
1,2 + j1,48
= 66,6 ∠ − 81° A 
, 
 
 
15 
 
Portanto, as outras correntes são: 
IB = 66,6 ∠ − 201° A e IC = 66,6 ∠ 39° A 
Conclusão 
Esse bloco apresentou as premissas básicas de sistemas trifásicos, bem como a 
fundamentação teórica para a definição e resolução de circuitos com sistemas e cargas 
equilibrados. Foram apresentadas as ligações em estrela e em triângulo e seu 
equacionamento. 
REFERÊNCIAS 
ALEXANDER, C. K.; SADIKU, M. N. O. Fundamentos de Circuitos Elétricos. Porto Alegre: 
Grawn-Hill, 2000. 
CPE. Projeto de rede de distribuição de energia elétrica. Fortaleza, S.D. Disponível em: 
. Acesso em: 
3 dez. 2020. 
OLIVEIRA, C. C. B. D.; SCHMIDT, H. P.; KAGAN, N. ROBBA, E. J. Introdução A Sistemas 
Elétricos de Potência. São Paulo: Edgar Blucher, 2000.