Nivelamento em Matemática Básica - MÓDULO II

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Nivelamento em Matemática Básica – MÓDULO 2 
Prof. MSc. Herivelto Nunes 
 
6. Sistema de equações 
 
Para encontrarmos numa equação de 1º grau com duas incógnitas, por 
exemplo, 
4x + 3y = 0, os valores de x e de y é preciso relacionar essa equação com 
outra ou outras com as mesmas incógnitas. Essa relação é chamada de 
sistema. 
 
Um sistema de equação de 1º grau com duas incógnitas é formado por: duas 
equações de 1º grau com duas incógnitas diferentes em cada equação. Veja 
um exemplo: 
 
 
 
Para encontramos o par ordenado solução desse sistema é preciso utilizar dois 
métodos para a sua solução. 
Esses dois métodos são: Substituição e Adição. 
 
Método da substituição 
Esse método consiste em escolher uma das duas equações, isolar uma das 
incógnitas e substituir na outra equação, veja como: 
 
Dado o sistema , enumeramos as equações. 
 
 
 
Escolhemos a equação 1 e isolamos o x: 
 
x + y = 20 
x = 20 – y 
 
Agora na equação 2 substituímos o valor de x = 20 – y. 
 
 3x + 4 y = 72 
3 (20 – y) + 4y = 72 
 60-3y + 4y = 72 
 -3y + 4y = 72 – 60 
 y = 12 
 
Descobrimos o valor de y, para descobrir o valor de x basta substituir 12 na 
equação 
x = 20 – y. 
x = 20 – y 
x = 20 – 12 
x = 8 
 
Portanto, a solução do sistema é S = (8, 12) 
 
Método da adição 
 
Esse método consiste em adicionar as duas equações de tal forma que a soma 
de uma das incógnitas seja zero. Para que isso aconteça será preciso que 
multipliquemos algumas vezes as duas equações ou apenas uma equação por 
números inteiros para que a soma de uma das incógnitas seja zero. 
 
Dado o sistema: 
 
 
 
Para adicionarmos as duas equações e a soma de uma das incógnitas de zero, 
teremos que multiplicar a primeira equação por – 3. 
 
 
 
Agora, o sistema fica assim: 
 
 
 
Adicionando as duas equações: 
 
 - 3x – 3y = - 60 
+ 3x + 4y = 72 
 y = 12 
 
Para descobrirmos o valor de x basta escolher uma das duas equações e 
substituir o valor de y encontrado: 
 
x + y = 20 
x + 12 = 20 
x = 20 – 12 
x = 8 
 
Portanto, a solução desse sistema é: S = (8, 12). 
 
Se resolver um sistema utilizando qualquer um dois métodos o valor da solução 
será sempre o mesmo. 
7. Equação do 2º Grau 
 
As equações do tipo ax + b = 0, com a e b números reais e a ≠ 0 são 
consideradas equações do 1º grau, e podem ter no máximo um resultado. Os 
modelos de expressões que satisfazem a condição ax² + bx + c = 0, com a, b e 
c números reais e a ≠ 0 se enquadram na condição de equações do 2º grau, 
sendo possível a sua resolução através do Teorema de Bháskara. A utilização 
desse teorema requer conhecimento dos valores dos coeficientes a, b e c, por 
exemplo, na equação 2x² + 4x – 12 = 0 os coeficientes são: a = 2, b = 4 e c = –
12. 
 
Uma equação do 2º grau pode ter no máximo duas raízes (soluções) reais, a 
condição de existência das raízes dependerá do valor do discriminante (Δ). De 
acordo com o seu valor podemos ter as seguintes situações: 
 
 0, possui duas raízes reais e distintas. 
 
As equações do 2º grau poderão ser resolvidas utilizando a seguinte fórmula: 
 
 
Resolução de uma equação do 2º grau 
 
Exemplo 1 
 
Dada a equação x² + 3x – 10 = 0, determine suas raízes, se existirem. 
 
a = 1, b = 3 e c = –10 
 
Δ = b² – 4ac 
Δ = 3² – 4 * 1 * (–10) 
Δ = 9 + 40 
Δ = 49 
 
As raízes da equação são x’ = 2 e x” = – 5 
 
 
Exemplo 2 
 
Determine as soluções reais da seguinte equação: 2x² + 12x + 18 = 0 
 
a = 2, b = 12 e c = 18 
 
Δ = b² – 4ac 
Δ = 12² – 4 * 2 * 18 
Δ = 144 – 144 
Δ = 0 
 
A equação possui apenas uma raiz real, x’ = x” = 3. 
 
 
Exemplo 3 
 
Resolva a seguinte equação: 4y² + 6y + 50 = 0 
 
a = 4, b = 6 e c = 50 
 
Δ = b² – 4ac 
Δ = 6² – 4 * 4 * 50 
Δ = 36 – 800 
Δ = – 764 
 
Não possui raízes reais ou soluções reais, pois o valor do discriminante é 
menor que zero. 
 Δ > 0, possui duas raízes reais e distintas. 
 
As equações do 2º grau poderão ser resolvidas utilizando a seguinte fórmula: 
 
 
Resolução de uma equação do 2º grau 
 
Exemplo 1 
 
Dada a equação x² + 3x – 10 = 0, determine suas raízes, se existirem. 
 
a = 1, b = 3 e c = –10 
 
Δ = b² – 4ac 
Δ = 3² – 4 * 1 * (–10) 
Δ = 9 + 40 
Δ = 49 
 
As raízes da equação são x’ = 2 e x” = – 5 
 
 
Exemplo 2 
 
Determine as soluções reais da seguinte equação: 2x² + 12x + 18 = 0 
 
a = 2, b = 12 e c = 18 
 
Δ = b² – 4ac 
Δ = 12² – 4 * 2 * 18 
Δ = 144 – 144 
Δ = 0 
 
A equação possui apenas uma raiz real, x’ = x” = 3. 
 
 
Exemplo 3 
 
Resolva a seguinte equação: 4y² + 6y + 50 = 0 
 
a = 4, b = 6 e c = 50 
 
Δ = b² – 4ac 
Δ = 6² – 4 * 4 * 50 
Δ = 36 – 800 
Δ = – 764 
 
Não possui raízes reais ou soluções reais, pois o valor do discriminante é 
menor que zero. 
 
8. Função do 1º Grau 
 
A formação de uma função do 1º grau é expressa da seguinte forma: y = 
ax + b, onde a e b são números reais e a é diferente de 0. 
Consideremos x e y duas variáveis, sendo uma dependente da outra, isto é, 
para cada valor atribuído a x corresponde um valor para y. Definimos essa 
dependência como função, nesse caso, y está em função de x. O conjunto de 
valores conferidos a x deve ser chamado de domínio da função e os valores de 
y são a imagem da função. 
 
Toda função é definida por uma lei de formação, no caso de uma função do 1º 
grau a lei de formação será a seguinte: y = ax + b, onde a e b são números 
reais e a ≠ 0. 
Esse tipo de função deve ser dos Reais para os Reais. 
 
A representação gráfica de uma função do 1º grau é uma reta. Analisando a lei 
de formação y = ax + b, notamos a dependência entre x e y, e identificamos 
dois números: a e b. Eles são os coeficientes da função, o valor de a indica se 
a função é crescente ou decrescente e o valor de b indica o ponto de 
intersecção da função com o eixo y no plano cartesiano. Observe: 
 
Função crescente Função decrescente 
 
 
 
 
Função crescente: à medida que os valores de x aumentam, os valores 
correspondentes em y também aumentam. 
 
Função decrescente: à medida que os valores de x aumentam, os valores 
correspondentes de y diminuem. 
 
Exemplos de funções do 1º grau 
 
y = 4x + 2, a = 4 e b = 2 
 
y = 5x – 9, a = 5 e b = –9 
 
y = – 2x + 10, a = – 2 e b = 10 
 
y = 3x, a = 3 e b = 0 
 
y = – 6x – 1, a = – 6 e b = – 1 
y = – 7x + 7, a = –7 e b = 7 
 
Raiz ou zero de uma função do 1º grau 
 
Para determinar a raiz ou o zero de uma função do 1º grau é preciso considerar 
y = 0. De acordo com gráfico, no instante em que y assume valor igual a zero, 
a reta intersecta o eixo x em um determinado ponto, determinando a raiz ou o 
zero da função. 
 
Vamos determinar a raiz das funções a seguir: 
 
y = 4x + 2 
y = 0 
4x + 2 = 0 
4x = –2 
x = –2/4 
x = –1/2 
A reta representada pela função y = 4x + 2 intersecta o eixo x no seguinte 
valor: –1/2 
 
 
y = – 2x + 10 
y = 0 
– 2x + 10 = 0 
– 2x = – 10 (–1) 
2x = 10 
x = 10/2 
x = 5 
A reta representada pela função y = – 2x + 10 intersecta o eixo x no seguinte 
valor: 5 
 
y = –7x + 7 
y = 0 
–7x + 7 = 0 
–7x = –7 
x = 1 
A reta representada pela função y = –7x + 7 intersecta o eixo x no seguinte 
valor: 1 
y = 3x 
y = 0 
3x = 0 
x = 0 
A reta representada pela função y = 3x intersecta o eixo x no seguinte valor: 0 
 
9. Função do 2º Grau 
 
Definimos como função do 2º grau, ou função quadrática, a função R → R, ou 
seja, uma função em que o domínio e o contradomínio são iguais ao conjunto 
dos números reais, e que possui a lei de formação f(x) = ax² +bx +c. 
O gráfico da função quadrática é sempre uma parábola e possui elementos 
importantes, que são: 
• as raízes da função quadrática, calculadas pelo x’ e x”; 
• o vértice da parábola, que pode ser encontrado a partir de fórmulas 
específicas. 
 
https://mundoeducacao.uol.com.br/matematica/funcao.htm
O que é uma função do 2º grau? 
Uma função polinomial é conhecida como função do 2º grau, ou também como 
função quadrática, quando em sua lei de formação ela possui um polinômio de 
grau dois, ou seja, f(x) = ax² +bx +c, em que a, b e c são números reais, e a ≠ 
0. Além da lei de formação, essa função possui domínio e contradomínio no 
conjunto dos números reais, ou seja, f: R→ R. 
O gráfico da função do 2º grau é sempre uma parábola. 
 
Exemplos: 
a) f(x) = 2x²+3x + 1 
a = 2 
b = 3 
c=1 
b) g(x) = -x² + 4 
a = -1 
b = 0 
c = 4 
c) h(x) = x² – x 
a = 1 
b = -1 
c = 0 
Valor numérico de uma função 
https://mundoeducacao.uol.com.br/matematica/polinomios.htm
Para encontrar o valor numérico de qualquer função, conhecendo a sua lei de 
formação, basta realizarmos a substituição do valor de x para encontrar a 
imagem f(x). 
Exemplos: 
Dada a função f(x) = x² + 2x – 3, calcule: 
a) f(0) 
f(0) = 0² +2·0 – 3 = 0 + 0 – 3 = –3 
b) f(1) 
f(1) = 1² + 2·1 + 3 = 1+2 – 3 = 0 
c) f(2) 
f(2) = 2² + 2·2+3 = 4+4–3=5 
d) f(-2) 
f(-2) = (-2)² + 2·(-2) – 3 
f(-2) = 4 - 4 – 3 = –3 
 
Raízes da função de 2º grau 
Para encontrar as raízes da função quadrática, conhecidas também como zero 
da função, é necessário o domínio das equações do segundo grau. Para resolver 
uma equação do segundo grau, há vários métodos, como a fórmula de 
Bhaskara e a soma e produto. 
A raízes de uma função quadrática são os valores de x que fazem com que f(x) 
= 0. Sendo assim, para encontrar as raízes de uma equação do 2º grau, faremos 
ax² + bx + c = 0. 
Exemplo: 
f(x) = x² +2x – 3 
a = 1 
b = 2 
c = –3 
Δ =b² – 4ac 
Δ=2² – 4 ·1·(-3) 
Δ=4 +12 
Δ = 16 
https://mundoeducacao.uol.com.br/matematica/equacao-2-grau.htm
 
Então, os zeros da função são {1, -3}. 
O valor do delta nos permite saber quantos zeros a função quadrática vai ter. 
Podemos separar em três casos: 
• Δ > 0 → a função possui duas raízes reais distintas; 
• Δ = 0 → a função possui uma única raiz real; 
• Δ 0, a concavidade é para cima: 
https://mundoeducacao.uol.com.br/matematica/parabolas.htm
 
O ponto V representa o que conhecemos como vértice da parábola, que, nesse 
caso, é o ponto de mínimo, ou seja, o menor valor que f(x) pode assumir. 
Se a