Razão e Proporção em Matemática

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2ºAula
Razão e Proporção
O assunto razão e proporção é uma teoria que 
se aplica a resolução de problemas relacionados à 
regra de sociedade, regra de três simples e composta, 
a qual será base para o bom entendimento dos 
assuntos seguintes. 
Boa aula!
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Matemática Financeira I
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1.2 Proporção
Proporção é a expressão que indica a igualdade 
entre duas razões.
A proporção é lida como “ a está para 
b assim como c está para d” e também pode ser 
representada como a:b:c:d, nesta proporção os 
números a e d representam os extremos e os 
números b e c os meios. 
1.2.1 Propriedade fundamental 
das proporções
Em toda proporção, o produto dos extremos é 
igual ao produto dos meios:
a . d = b . c
Exemplos:
1) Determine o valor de x na proporção 
Vejam que nesta proporção os extremos são 
3 e x e os meios são 4 e 6. Agora aplicamos a 
propriedade fundamental. 3 . x = 4 . 6 multiplicando 
3x = 24 logo teremos x = 24/3 então x = 8.
2) numa prova de 50 questões, acertei 35, deixei 
5 em branco e errei as demais. Qual a razão do 
número de questões certas para erradas?
 
Das 50 questões, 35 estavam corretas e 5 
ficaram em branco Logo errei 10 questões.
Portanto, a razão do número de questões certas 
(35) para o número de erradas (10) é 35/10 =7/2 
ou (7 para 2)
3) calcular dois números positivos na proporção 
2 para 5 sabendo que a diferença do maior para o 
menor é 42. 
Considere x o maior e y o menor dos números.
A proporção nos mostra que x está para 2 assim 
como y está para 5, assim: 
Então, podemos dizer que:
x tem duas partes ................. (x = 2p)
y tem cinco partes ................ (y = 5p) 
Mas, a diferença y – x deve valer 42, assim 
teremos:
Objetivos de aprendizagem
1 - Razão e proporção 
2 - Divisão proporcional
Assim, ao término desta aula, vocês serão 
capazes de:
envolvam proporção;
proporção simples;
e proporção. 
Seções de estudo
1 - Razões e Proporções
Conceito 
Razão vem do latim ratio
um numerador (antecedente) por um denominador 
(consequente) – Dic. Aurélio. 
Uma razão nada mais é do que a divisão 
(com sentido) entre dois números e a relação de 
comparação de duas unidades por meio de uma 
divisão. Considerando, por exemplo, uma garrafa 
de Coca-Cola de 1 litro, que será distribuída em 4 
copos de 250ml, ou seja, um quarto de um litro, 
temos, assim, 1 garrafa para 4 copos; o que nos dá 
uma razão de 1 para 4 que será assim representado 
1/4 ou 1:4.
Assim, a razão entre dois números (a e b com b 
a para b e representada 
como ou a:b enquanto a é chamado de 
antecedente e b é chamado de consequente. 
Exemplos: 
1) a razão entre 0,25 e 2 é :
2)a razão entre .
a = c
b d
 1 e 5
 6 12
a
b 
 1
0,25 = 4 = 1 . 1 = 1 (1 para 4) 
 2 2 4 2 4 
 1
 6 = 1 . 12 = 2 ( 2 para 5) 
 5 6 5 5
12
3 = 6 
4 x
x : y 
2 5
166
15
y – x p – 2p p 
p = 14 
assim descobrimos que cada parte vale 14 
(p=14), concluímos, então, que:
o valor de x x = 2p x x = 28
o valor de y y = 5p y y = 70
Na proporção múltipla determinar 
os valores de x, y e z sabendo que x + y + z = 112.
Pela proporção dada, vemos que:
x tem 3 partes____ x = 3p
y tem 5 partes____ y = 5p
z tem 6 partes____ z = 6p
Como a soma das três vale 112 temos:
 
3p + 5p + 6p p p = 8 
Agora que sabemos o valor de cada parte, 
podemos obter x, y e z:
x = 3 . p x x = 24
y = 5 . p y y = 40
z = 6 . p z z = 48
Exercícios resolvidos:
1) Determinem dois números na proporção de 
2 para 3, sabendo que a soma deles é 30.
Sejam x e y os números procurados, pelo 
enunciado do problema podemos escrever:
Pela proporção dada, vemos que:
x tem 2 partes____ x = 2p
y tem 3 partes____ y = 3p
x + y = 30
2p + 3p = 30
5p = 30
p = 6 
x = 2p = 12 
y = 3p= 18
 x = y = z 
 3 5 6
x = y
2 3
Logo, os valores procurados são 12 e 18.
Determine os valores de x, y e z na proporção 
 sabendo que x + y + z = 100.
Pela proporção dada, vemos que:
x tem 2 partes____ x = 2p
y tem 3 partes____ y = 3p
z tem 5 partes____z = 5p
Como a soma das três vale 100 temos: 
2p + 3p + 5p = 100 
10p = 100 
p = 10
x= 2p = 20 
y = 3p= 30 
z = 5p= 50
Logo os valores de x, y e z são 20, 30,50 
respectivamente.
2) Determinem dois números na proporção de 
3 para 5, sabendo que o segundo tem 30 unidades a 
mais que o primeiro. 
y = 30 + x 
5p = 3p + 30 
2p = 30 
p = 15 
x = 3p = 3 . 15 = 45 
y = 5p = 5 . 15 = 75
Logo, os dois números são 45 e 75.
4) A sombra de uma pessoa que tem 1,80 m 
de altura mede 60 cm. No mesmo momento, a seu 
lado, a sombra projetada de um poste mede 2,00 m. 
Se, mais tarde, a sombra do poste diminuiu 50 cm, a 
sombra da pessoa passou a medir quanto?
 x = y = z
 2 3 5
 x = y = z
 2 3 5
x = y
3 5
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Matemática Financeira I
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Veja que 2,00 m = 200 cm e 1,80 m = 180 cm. 
Notem, ainda, que a altura e a sombra são grandezas 
diretamente proporcionais, temos a proporção: 
180/60 = h/200, onde h é a altura do poste. 
Vem que, 
3 = h/200 , o que implica em:
h = 3 × 200 = 600 cm. 
Agora, teremos a proporção:
 
180/x = 600/(200-50) = 600/150 = 4. 
Então, 180 = 4x. Logo: x = 180/4 = 45 cm. 
Este problema poderia ser resolvido de outra 
maneira. Observe que a sombra do poste diminuiu 
de 50/200 = 1/4. Então, a sombra da pessoa 
também diminuiu de 1/4. Segue que a sombra da 
pessoa diminuiu de 1/4 × 60 = 15. Logo, a sombra 
da pessoa passou a medir: 60 - 15 = 45 cm.
 2 - Divisão proporcional
2.1 Grandeza 
Uma grandeza pode ser considerada:
 
direção e sentido. Exemplo: velocidade e aceleração. 
Exemplo: tempo e comprimento.
Os dois exemplos de grandezas citados podem 
ser e estar relacionados, por exemplo. Se estivermos 
viajando de carro e se aumentarmos a velocidade o 
percurso será feito em menos tempo.
Quase todo o nosso dia e tudo que realizamos 
está associado a duas ou mais grandezas: velocidade, 
tempo, peso, espaço etc., estas relacionadas entre si 
e classificam-se como Diretamente proporcional 
ou Inversamente proporcional. 
 
2.1.1 Grandeza Diretamente 
Proporcional 
Se duas grandezas relacionadas variam na 
mesma proporção então elas são diretas. ou seja 
elas tem a mesma razão. Dada uma sucessão de 
valores (a1, a2, a3, ..) dizemos que estes valores são 
diretamente proporcionais aos correspondentes da 
sucessão (b1, b2, b3, ...) quando forem iguais as razões 
entre cada valor de uma das sucessões e o valor 
correspondente da outra. 
 = ... k
Vejam que todas as razões são iguais, ao 
resultado constante k chamamos de constante 
de proporcionalidade.
Exemplo:
Os valores (6, 7, 10, 15), nesta ordem são 
diretamente proporcionais aos valores (12, 14, 20, 30) 
respectivamente, pois as razões 
são todas iguais, sendo igual a 1/2 a constante 
de proporcionalidade.
2.1.2 Grandeza Inversamente 
Proporcional 
 Se duas grandezas relacionadas variam numa 
proporção inversa então elas são inversamente 
proporcionais (ex. em um percurso de você 
aumentar a velocidade o fará em menor tempo) 
Dada uma sucessão de valores (a1, a2, a3 ..), todos 
diferentes de zero, dizemos que estes valores são 
inversamente proporcionais aos correspondentes da 
sucessão (b1, b2, b3 ...) todos também diferentes de 
zero, quando forem iguais os produtos entre cada 
valor de uma das sucessões e o valor correspondente 
da outra. 
Exemplo: 
Os valores (2, 3, 5, 12) são inversamente 
proporcionais aos valores (30, 20, 12, 5) nesta ordem, 
pois os produtos 2 . 30 = 3 . 20 = 5 . 12 = 12 . 5 = 
60 (veja que 60 é a constante de proporcionalidade.
Exercícios resolvidos:
1) Dividir o número 72 em três partes diretamente 
proporcionais aos números 3, 4 e 5. Indicando por x, 
y e z as partes procuradas, temos que:
x = 3p; y = 4p e z = 5p e temos que x + y + z = 72, 
portanto:
3p + 4p + 5p = 72 temos que 
12p = 72 assim p = 6
a1
b1
a2
b2
a3
b3
 
= =
 6 = 7 = 10 = 15 
1214 20 30 
168
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Valor de x p = 3 . 6 logo x = 18
Valor de y p = 4 . 6 logo y = 24
Valor de z p = 5 .6 logo z = 30
Portanto, os três números procurados são 18, 
24 e 30.
2) Dividir o número 72 em três partes 
inversamente proporcionais aos números 3, 4 e 12. 
Podemos transformar uma divisão inversa em 
uma divisão direta, para isso basta invertermos os 
números, ou seja, o inverso de 3 que é o inverso 
de 4 que é e o de 12 que é agora reduzimos 
as frações a um mesmo denominador mmc (3,4,12) 
= 12, isto é, desprezar os denominadores iguais, 
, , , manterá as proporções e, ainda, 
simplificará nossos cálculos.
Então, podemos dividir 72 em partes diretamente 
proporcionais a 4, 3 e 1 (numeradores). Indicando 
por x, y e z as três partes procuradas, teremos:
x = 4p, y = 3p e z = p
x + y + z = 72 substituindo 
4p + 3p + p p = 9
Então, temos que:
Valor de x p = 4 . 9 logo x = 36
Valor de y p = 3 . 9 logo y = 27
Valor de z p = 9 logo z = 9
Portanto, as partes procuradas são 36, 27 e 9:
3) Na bula de um determinado remédio 
pediátrico recomenda-se a seguinte dosagem: 5 
gotas para cada 2 kg do “peso” da criança. Se uma 
criança tem 12 kg, qual a dosagem correta? 
5 gotas está para 2 kg, assim, como x gotas está 
para 12 kg. 
Assim:
5/2 = x/12. 
 1
 3
 1
 12
 1
 4
 4
 12
 3
 12
 1
 12
Então
2x = 60, logo 
x = 30 gotas. 
4) Um pai distribui R$ 50.000,00 aos seus três 
filhos em partes diretamente proporcionais às suas 
idades, que são 4, 7, 9 anos. Quanto coube a cada um? 
Sejam a, b e c as parte que cabem a cada um.
Temos a proporção: 
a + b + c = 50.000
4p + 7p +9p = 50.000
20p = 50.000
p = 50.000/20
p = 2500
Então: 
a = 4 . 2500 = R$10.000,00 ;
b = 7 . 2500 = R$17.500,00 ; 
c = 9 . 2500 = R$22.500,00 
 a = b = c = p
 4 7 9
Retomando a aula
entendimento de vocês sobre alguns tópicos 
de aplicação pratica, sobre razão e proporção 
e divisão proporcional. Vamos, então, recordar:
1 - Razão e proporção 
Foi abordado o conceito de razão e de 
proporção, bem como a sua aplicação em questões 
práticas, ou seja, aplicar os conceitos de razão e 
proporção na resolução de problemas de divisão de 
partes direta e inversamente proporcionais. 
2 - Divisão proporcional
Os conhecimentos adquiridos ou aperfeiçoados 
nesta aula são de Fundamental importância para 
resoluções de problemas que vão surgir nas aulas 
seguintes, bem como se tornam alicerces para a 
construção de novos conhecimentos. 
Se vocês atuam ou pretende atuar como 
administrador, os números são importantes nas 
tomadas de decisões.
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Matemática Financeira I
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OBS: Não esqueçam! Em caso de 
dúvidas, acessem as ferramentas 
“Fórum” ou “Quadro de Avisos”.
CRESPO, A.A. Matemática comercial e financeira 
fácil. 6. ed. São Paulo: Saraiva, 1992.
D’AMBRÓSIO, N. & D’AMBROSIO U. 
Matemática comercial e financeira. São Paulo: Nacional, 1980.
Vale a pena
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