Operações com Vetores

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Prof. Samyr S. B. Jácome 
Objetivos 
 
1. Breve Revisão de Vetores 
 
2. Produto escalar 
 
3. Produto Vetorial 
 
4. Bibliografia 
2 
Vetores 
3 
Operações algébricas com vetores 
 Vetores unitários padrão 
Qualquer vetor v pode ser decomposto nos vetores unitários padrão: 
Vetores 
4 
Módulo ou norma de um vetor 
Módulo ou norma de um vetor 
Produto Escalar 
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Força F aplicada a uma partícula que se move ao longo de um caminho, 
precisamos conhecer a magnitude da força na direção do movimento. 
Como a direção e o sentido do movimento é caracterizado pelo vetor 
velocidade v, necessitamos então determinar F na direção de v. 
Este procedimento é chamado de 
projeção de F na direção de v .. 
Produto Escalar 
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b

a


cos|| bbproja


Considerando vetores a e b quaisquer, o cálculo de projeções pode ser 
generalizado da seguinte forma 
 
 
 
 
 
 
Analisando as figuras acima, podemos facilmente perceber que 
cos|| aaprojb


b

a


cos|||||||| baaprojbbproja ba


Produto Escalar 
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Com isso, podemos definir a operação produto escalar de dois vetores 
como sendo a e b quaisquer como sendo 
 
 
Podemos concluir que se dois vetores forem paralelos, o produto escalar será 
igual ao produtos dos seus módulos e se dois vetores não nulos forem 
perpendiculares, também chamados de vetores ortogonais, o produto 
escalar será igual a zero. Ou seja, 
 
cos |||| baabba


| ||| baba


0 ba

Vetores Ortogonais 
Vetores Paralelos 
Produto Escalar 
8 
Propriedades do produto escalar 
Produto Escalar 
9 
Sendo assim, considerando o produto escalar entre dois vetores unitários 
quaisquer, temos os seguintes resultados: 
 
 
 
Na representação de vetores unitários, o produto escalar de dois vetores 
quaisquer 
 
 
pode ser obtido por 
 
 0ˆˆ ˆˆ , 0ˆˆˆˆ , 0ˆˆˆˆ 
 1ˆˆ , 1ˆˆ , 1ˆˆ 


jkjkikkiijji
kkjjii
 zzyyxx babababa 

kajaiaa zyx
ˆˆˆ 

kbjbibb zyx
ˆˆˆ 

Produto Escalar 
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Demonstração: A partir das propriedades do produto escalar, o produto 
escalar em termos de vetores unitários pode ser facilmente demonstrado 
como se segue 
zyyyxx
zzyzxz
zyyyxyzxyxxx
zyxzyx
bababa
kkbajkbajkba
kjbajjbajibakibajibaiiba
kbjbibkajaiaba




ˆˆˆˆˆˆ
ˆˆˆˆˆˆˆˆˆˆˆˆ
)ˆˆˆ()ˆˆˆ(

Produto Escalar 
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EXEMPLO 1: Determine o produto vetorial entre os vetores abaixo: 
Produto Escalar 
12 
EXEMPLO 2: 
Produto Escalar 
13 
EXEMPLO 2: 
cos|||| vuvu

 




 
 
||||
cos 1
vu
vu



Produto Vetorial 
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Sejam dois vetores não-nulos u e v no espaço. Se u e v não são paralelos então 
eles determinam um plano. 
Selecionamos um vetor unitário n perpendicular 
ao plano pela regra da mão direita. 
Então o produto vetorial u x v (“lê-se u vetorial 
v”) é o vetor definido a seguir: 
Ao contrário do produto escalar, o produto vetorial produz um vetor. Por esta 
razão, ele é chamado de produto. 
w = 
Uma propriedade importante do produto vetorial é que o vetor w é 
perpendicular aos vetores u e v. 
Produto Vetorial 
Área de um paralelogramo 
Como n é um vetor unitário, a norma de u x v é 
15 
Produto Vetorial 
16 
Exemplo 3: Determinando a área de um paralelogramo 
Produto Vetorial 
17 
Exemplo 3: Determinando a área de um paralelogramo 
Produto Vetorial 
18 
Produto Vetorial 
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Propriedades do produto vetorial 
P.1. e P.5. – São obtidas da definição de produto 
vetorial. 
P.2. – Determinada a partir de uma operação 
distributiva 
P.4. – Determinada a partir da regra da mão 
direita. 
P.3. – Obtida a partir das propriedades P.2 e P.4. 
Produto Vetorial 
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Produto vetorial entre os versores i, j e k 
Produto Vetorial 
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Cálculo a partir das componentes 
Uma forma alternativa de calcular o produto vetorial é a partir do calculo da 
determinante da matriz abaixo 
 
 
 
 
 
 
É importante observa que a primeira linha da matriz é sempre formada pelos 
versores i, j e k nessa ordem, a segunda linha pelo primeiro vetor do produto e o 
terceiro pelo segundo vetor. 
 
Portanto, para 
 
 
temos 
 
 
 
Produto Vetorial 
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Produto Vetorial 
23 
Exemplo 4: Produto vetorial através de determinantes 
Produto Vetorial 
24 
Exemplo 4: Produto vetorial através de determinantes 
Produto Vetorial 
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Exemplo 5: Área do paralelogramo através de determinantes 
Produto Vetorial 
26 
Exemplo 5: Área do paralelogramo através de determinantes 
Bibliografia 
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Wifred Kaplan, Cálculo Avançado Vol 1, 8ª Ed. , Editora Edgard Blucher; 
 
George B Thomas, Cáculo 2, 11ª Ed. Rditora Pearson; 
 
Bernad Kolman, Introdução a Álgebra Linear com Aplicações, , 8ª Ed. , LTC 
Editora 
 
VENTURI, Joacir J., Álgebra vetorial e Geometria Analítica, 9ª Ed, Curitiba, 
ISBN 85.85132-48-5. Disponível em 11/02/2015 no site 
http://www.geometriaanalitica.com.br/livros/av.pdf;