Material 3

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Material 3: Cálculo Diferencial e Integral - Limites, Derivadas e Integrais 
Questão 1: 
O conceito de limite é fundamental no cálculo diferencial e integral. Qual das seguintes 
afirmações melhor define o limite de uma função f(x) quando x tende a um valor 'a'? 
a) O valor que a função f(x) assume quando x é igual a 'a'. 
b) O valor para o qual a função f(x) se aproxima à medida que x se aproxima de 'a', mas não 
necessariamente igual a 'a'. 
c) O valor máximo que a função f(x) pode atingir. 
d) O valor mínimo que a função f(x) pode atingir. 
e) A taxa de variação da função f(x) em x = 'a'. 
Resposta: b) 
Questão 2: 
Calcule o seguinte limite: lim (x→2) (x² - 4) / (x - 2) 
a) 0 
b) 2 
c) 4 
d) ∞ 
e) Não existe 
Resposta: c) (Fatorando o numerador, temos (x-2)(x+2)/(x-2). Simplificando, resta x+2. 
Substituindo x por 2, temos 4.) 
Questão 3: 
A derivada de uma função f(x) em um ponto x = 'a' representa a taxa de variação instantânea 
da função nesse ponto. Qual das seguintes interpretações geométricas da derivada está 
correta? 
a) A derivada representa a área sob a curva da função f(x). 
b) A derivada representa o coeficiente angular da reta tangente à curva da função f(x) no ponto 
(a, f(a)). 
c) A derivada representa o ponto de máximo ou mínimo da função f(x). 
d) A derivada representa a concavidade da curva da função f(x). 
e) A derivada representa a interseção da curva da função f(x) com o eixo x. 
Resposta: b) 
Questão 4: 
Qual é a derivada da função f(x) = x³ + 2x² - 5x + 7? 
a) 3x² + 4x - 5 
b) x² + 2x - 5 
c) 3x² + 2x - 5 
d) 3x² + 4x + 7 
e) 3x + 4 
Resposta: a) 
Questão 5: 
A regra da cadeia é uma técnica de derivação utilizada para encontrar a derivada de funções 
compostas. Se y = f(u) e u = g(x), qual é a fórmula da regra da cadeia para encontrar dy/dx? 
a) dy/dx = f'(u) 
b) dy/dx = g'(x) 
c) dy/dx = f'(u) * g'(x) 
d) dy/dx = f'(x) * g'(u) 
e) dy/dx = f'(g(x)) 
Resposta: c) 
Questão 6: 
A integral indefinida de uma função f(x) representa o conjunto de todas as funções cuja 
derivada é igual a f(x). Qual é a integral indefinida de f(x) = 2x? 
a) x² + C 
b) 2x² + C 
c) x + C 
d) 2 + C 
e) 2x + C 
Resposta: a) (Onde C é a constante de integração). 
Questão 7: 
A integral definida de uma função f(x) em um intervalo [a, b] representa a área sob a curva da 
função nesse intervalo. Calcule a integral definida de f(x) = x² no intervalo [0, 2]. 
a) 2/3 
b) 4/3 
c) 8/3 
d) 2 
e) 4 
Resposta: c) (A integral de x² é x³/3. Avaliando em 2 e 0, temos (2³/3) - (0³/3) = 8/3). 
Questão 8: O Teorema Fundamental do Cálculo estabelece uma relação fundamental entre a 
derivada e a integral. Explique, com suas palavras, de forma clara em ate 10 linhas, as duas 
partes do Teorema Fundamental do Cálculo e sua importância para o cálculo diferencial e 
integral. 
Resposta: 
O Teorema Fundamental do Cálculo possui duas partes interligadas: 
Primeira Parte: Se f(x) é uma função contínua em um intervalo [a, b], então a função F(x) 
definida como a integral definida de f(t) de 'a' até x, ou seja, F(x) = ∫(de a até x) f(t) dt, é uma 
primitiva de f(x). Isso significa que a derivada de F(x) é igual a f(x), ou seja, F'(x) = f(x). Em 
outras palavras, a integração e a derivação são operações inversas. 
Segunda Parte: Se F(x) é uma primitiva de f(x) em um intervalo [a, b], então a integral definida 
de f(x) de 'a' até 'b' é igual à diferença entre os valores de F(x) nos extremos do intervalo, ou 
seja, ∫(de a até b) f(x) dx = F(b) - F(a). Essa parte fornece um método prático para calcular 
integrais definidas, sem a necessidade de recorrer à definição formal de limite de somas de 
Riemann. 
A importância do Teorema Fundamental do Cálculo reside em conectar os conceitos de 
derivada (taxa de variação) e integral (área sob a curva), mostrando que são operações 
inversas. Isso simplifica enormemente o cálculo de integrais e estabelece a base teórica para 
muitas aplicações do cálculo em diversas áreas do conhecimento. 
Questão 9: 
A regra de L'Hôpital é uma técnica utilizada para calcular limites indeterminados do tipo 0/0 ou 
∞/∞. Enuncie a regra de L'Hôpital e aplique-a para calcular o seguinte limite: lim (x→0) 
(sen(x)) / x 
Resposta: 
Regra de L'Hôpital: Se lim (x→a) f(x) = 0 e lim (x→a) g(x) = 0 (ou ambos tendem a ±∞), e se lim 
(x→a) f'(x) / g'(x) existe, então: 
lim (x→a) f(x) / g(x) = lim (x→a) f'(x) / g'(x) 
Aplicação: 
lim (x→0) (sen(x)) / x (forma indeterminada 0/0) 
Aplicando a regra de L'Hôpital, derivamos o numerador e o denominador: 
f(x) = sen(x) => f'(x) = cos(x) 
g(x) = x => g'(x) = 1 
lim (x→0) (cos(x)) / 1 = cos(0) / 1 = 1 / 1 = 1 
Portanto, lim (x→0) (sen(x)) / x = 1 
Questão 10: Cite 3 aplicações práticas do cálculo diferencial e integral em áreas distintas do 
conhecimento (ex: física, engenharia, economia, biologia, etc.). Para cada aplicação, explique 
brevemente como o cálculo é utilizado. 
Resposta: 
1. Física (Mecânica): 
o Descrição do movimento: O cálculo diferencial é usado para descrever a 
velocidade e a aceleração de um objeto em movimento como derivadas da 
posição em relação ao tempo. A integral é usada para calcular o deslocamento 
de um objeto a partir de sua velocidade. 
o Leis de Newton: As leis de Newton do movimento são formuladas em termos 
de derivadas (força é a taxa de variação do momento). 
o Cálculo de trabalho e energia: A integral é usada para calcular o trabalho 
realizado por uma força variável e a energia potencial associada a essa força. 
2. Engenharia (Elétrica): 
o Análise de circuitos: O cálculo diferencial é usado para analisar circuitos 
elétricos, com derivadas representando a taxa de variação da corrente e da 
tensão. A integral é usada para calcular a carga elétrica e a energia armazenada 
em capacitores e indutores. 
o Processamento de sinais: A transformada de Fourier, uma ferramenta 
fundamental no processamento de sinais, é baseada em conceitos de cálculo 
integral. 
3. Economia (Modelagem): 
o Maximização de lucro e minimização de custos: O cálculo diferencial é usado 
para encontrar os pontos de máximo e mínimo de funções que representam 
lucro e custo, auxiliando na tomada de decisões empresariais. 
o Análise marginal: O conceito de derivada é usado para analisar o impacto de 
pequenas mudanças nas variáveis econômicas (ex: custo marginal, receita 
marginal). 
o Modelos de crescimento econômico: Equações diferenciais são usadas para 
modelar o crescimento econômico ao longo do tempo.