Múltiplos, Divisores e Primos problemas resolvidos

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MÚLTIPLOS, DIVISORES E NÚMEROS PRIMOS
PROF. EDILSON MACHADO
1. Introdução:
Nessa lista vamos explorar conceitos básicos de divisão Euclidiana, múltiplos, divisores e primos.
Quando dividimos o número 7 pelo número 3, obtemos um quociente 2 e um resto 1. Podemos
transformar essa divisão na equação 7 = 3 × 2 + 1. De um modo mais geral, ao dividirmos um
número a por um número b, obtemos um quociente q e um resto r.
a = bq + r
Perceba que o resto não pode assumir qualquer valor, por exemplo, na divisão por 3 os restos
possíveis são 0, 1 ou 2, em outras palavras, o resto pode ir de 0 até o número anterior ao divisor.
Portanto, ao dividirmos por b, os restos possíveis são r ∈ {0; 1; 2; 3; · · · ; b− 1}.
Um caso muito especial acontece quando o resto da divisão é zero. A equação anterior fica:
a = bq
Dessa expressão podemos fazer quatro definições, que são equivalentes:
• a é múltiplo de b;
• a é divisível por b;
• b é divisor de a;
• b é fator de a;
Assim, um número primo pode ser definido como um número p que possui exatamente dois divisores
positivos: 1 e p. São primos P os números P = {2; 3; 5; 7; 11; · · · } , enquanto 4 não é primo já que
possui como divisores positivos 1, 2 e 4, assim como 6 também não é já que possui como divisores
positivos 1, 2, 3 e 6. Números que podem ser representados como o produto de pelo menos dois
números primos são chamados de números compostos, como exemplo temos:
4 = 2× 2
6 = 2× 3
18 = 2× 3× 3 = 2× 32
Dizemos que os números acima estão decompostos em fatores primos. Esta decomposição é única
e este resultado é chamado Teorema Fundamental da Aritmética (TFA).
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2. Problemas propostos:
Problema 1: (OBM) A soma de dois números primos a e b é 34 e a soma dos primos a e c é 33. Quanto
vale a+ b+ c?
Problema 2: Dos números a seguir, qual é o único que pode ser escrito como produto de quatro naturais
consecutivos?
(A) 317122
(B) 235483
(C) 431021
(D) 521456
(E) 327600
Problema 3: (OBM) Uma professora tem 237 balas para dar a seus 31 alunos. Qual é o número mínimo
de balas a mais que ela precisa conseguir para que todos os alunos recebam a mesma
quantidade de balas, sem sobrar nenhuma para ela?
Problema 4: Em um certo ano, Janeiro tinha exatamente quatro terças-feiras e quatro sábados. Em que
dia da semana caiu o dia 1 de Janeiro?
Problema 5: Sabendo-se que 9174532×13 = 119268916, pode-se concluir que é divisível por 13 o número
com os três últimos algarismos, centena, dezena e unidade iguais a:
(A) 903
(B) 907
(C) 911
(D) 913
(E) 923
Problema 6: Em 2006, o primeiro dia do ano foi um domingo que consideramos como o primeiro dia da
semana. Qual é o próximo ano em que isso ocorrerá? Considere que os anos não bissextos
têm 365 dias e os bissextos têm 366 dias. São bissextos:
• os anos que são múltiplos de 4 e não são múltiplos de 100;
• os anos que são múltiplos de 400.
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Problema 7: A Páscoa é celebrada no primeiro domingo após a primeira Lua cheia do Outono e pode
ocorrer entre 22 de março e 25 de abril. Existem vários métodos para determinar o dia em
que o domingo de Páscoa cai. Um deles é o método de Gauss, descrito a seguir para os
anos no intervalo de 1901 a 2099. Sejam
• A o resto da divisão do ano por 19;
• B o resto da divisão do ano por 4;
• C o resto da divisão do ano por 7;
• D o resto da divisão de 19A+ 24 por 30;
• E o resto da divisão de 2B + 4C + 6D + 5 por 7;
Desta forma: Se D + E > 9, então o dia é D + E − 9 e o mês é abril. Caso contrário, o dia é
D + E + 22 e o mês é março. Em que dia e mês será o domingo de Páscoa em 2077?
Problema 8: Um certo número inteiro positivo, quando dividido por 15 deixa resto 7. Qual é a soma
dos restos das divisões desse número por 3 e por 5?
Problema 9: Um conjunto de inteiros positivos, dois a dois distintos, é chamado auto divisor se a soma
de todos os seus elementos é múltiplo de cada um de seus elementos. Por exemplo, A3 =
{1; 2; 3}é um conjunto auto divisor com 3 elementos, pois 1 + 2 + 3 = 6 é múltiplo de 1, 2
e 3. Agora é sua vez! Invente um conjunto auto divisor com:
a) 4 elementos.
b) 5 elementos.
Problema 10: Vamos chamar de selo de um número inteiro positivo o par ordenado (x, y) no qual x é o
número de divisores positivos desse número menores do que ele e y é a soma desses divisores.
Por exemplo, o selo do número 10 é (3, 8) pois o número 10 tem como divisores menores do
que ele os 3 números 1, 2 e 5, cuja soma é 8. Já o selo do número primo 13 é (1, 1). Agora
é sua vez!
a) Qual é o selo do número 9?
b) Qual número tem o selo (2, 3)?
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3. Solução dos Problemas Propostos:
Problema 1: Podemos montar o seguinte sistema de equações com os dados do problema.{
a+ b = 34
a+ c = 33
=⇒ a+ b− (a+ c) = 34− 33
b− c = 1
Isto significa que b é o sucessor de c. Os únicos números primos com esta propriedade são 3
e 2, portanto b = 3 e c = 2. Substituindo na primeira equação do sistema acima temos que
a+ 3 = 34 =⇒ a = 34− 3 =⇒ a = 31. Portanto a+ b+ c = 31 + 3 + 2 = 36.
Problema 2: Vamos mostrar que entre quatro números naturais consecutivos há pelo menos um múltiplo
de três.
Seja n o maior número natural dos quatro consecutivos, então temos as seguintes possibilidades
para n:
n = 3q
n = 3q + 1
n = 3q + 2
Se n = 3q ele é o múltiplo de três como afirmamos. Se n = 3q + 1 o conjunto dos quatro
números consecutivos será: N = {3q − 2, 3q − 1, 3q, 3q + 1} vemos que o conjunto tem o número
3q que é um múltiplo de três. Se n = 3q + 2 o conjunto dos quatro números consecutivos será:
N = {3q − 1, 3q, 3q + 1, 3q + 2} vemos que o conjunto tem o número 3q que é um múltiplo de três.
Generalizando temos o seguinte teorema:
Teorema 1. Entre k números naturais consecutivos há ao menos um deles que é múltiplo de k−1.
Logo o número que pode ser escrito como produto de quatro naturais consecutivos tem que ser um
múltiplo de 3. Vamos lembrar a regra para saber se um número é múltiplo de três.
Teorema 2. Um número com n algarismos é um múltiplo de 3 se a soma dos seus n algarismos
for um múltiplo de 3.
Item (A): 317122 7→ 3 + 1 + 7 + 1 + 2 + 2 = 16 que não é múltiplo de 3.
Item (B): 235483 7→ 2 + 3 + 5 + 4 + 8 + 3 = 25 que não é múltiplo de 3.
Item (C): 431021 7→ 4 + 3 + 1 + 0 + 2 + 1 = 11 que não é múltiplo de 3.
Item (D): 521456 7→ 5 + 2 + 1 + 4 + 5 + 6 = 23 que não é múltiplo de 3.
Item (E): 327600 7→ 3 + 2 + 7 + 6 + 0 + 0 = 18 que é múltiplo de 3. CORRETA.
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Problema 3: Vamos dividir 237 por 31 para saber o resto desta divisão e, então, somamos ao resto o
número que falta para chegar a 31.
a = bq + r
237 = 7× 31 + 20
Como o resto é igual a 20 devemos ter mais 31− 20 = 11 balas.
Problema 4: Como Janeiro deve ter exatamente quatro terças-feiras e quatro sábados vamos analisar em
que dia do mês deve ocorrer os último sábado.
Se o último sábado ocorrer em 30 de janeiro os outros sábados acontecerão nos dias 23, 16, 9 e 2,
neste caso teremos 5 sábados que não pode ocorrer.
Agora vamos supor que o último sábado de janeiro foi no dia 27 os outros sábados acontecerão nos
dias 20, 13, 6 e 2, neste caso teremos 4 sábados, porém, as terças acontecerão nos dias 30, 23, 16,
9 e 2 que não pode ocorrer.
Agora vamos supor que o último sábado de janeiro foi no dia 25 os outros sábados acontecerão
nos dias 18, 11 e 4, neste caso teremos 4 sábados e também quatro as terças que acontecerão nos
dias 28, 21, 14, 7 e 31 de dezembro do ano anterior. Portanto dia primeiro de janeiro será numa
quarta-feira.
Problema 5: Como estamos interessados somente nos três últimos algarismos vamos trabalhar com 916.
Como procuramos um número que também seja múltiplo de 13 vamos considerar duas
possibilidades:
916− 13 = 903
916 + 13 = 929
A alternativa correta é (A).
Problema 6: Observe a tabela abaixo:
Ano Bissexto? Data Dia da semana
2006 Não 01/01 Domingo
2007 Não 01/01 Segunda
2008 Sim 01/01 Terça
2009 Não 01/01 Quinta
2010 Não 01/01 Sexta2011 Não 01/01 Sábado
2012 Sim 01/01 Domingo
O próximo ano em que isso ocorrerá será em 2012.
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Problema 7: Vamos seguir as etapas descritas no problema para o ano de 2077.
• 2077 = 19× 109 + 6 =⇒ A = 6;
• 2077 = 4× 519 + 1 =⇒ B = 1;
• 2077 = 7× 296 + 5 =⇒ C = 5;
• 19A+ 24 = 19× 6 + 24 = 144 + 24 = 138 =⇒ 138 = 30× 4 + 18 =⇒ D = 18;
• 2B + 4C + 6D + 5 = 2 × 1 + 4 × 5 + 6 × 18 + 5 = 2 + 20 + 108 + 5 = 135 =⇒ 135 =
7× 19 + 2 =⇒ E = 2;
• D + E = 18 + 2 = 20 > 9, então o dia será D + E − 9 = 18 + 2− 9 = 20− 9 = 11;
• O mês é abril;
Logo o domingo de páscoa em 2077 será comemorado no dia 11 de abril.
Problema 8: Vamos chamar de N o número que quando dividido por 15 deixa resto 7, então, N = 15q+7.
Para, por exemplo, q = 4 temos:
N = 15× 4 + 7
N = 60 + 7
N = 67
Vamos dividir N = 67 por 3 e por 5 para comparar os restos obtidos com os restos obtidos quando
dividimos o resto 7 por 3 e por 5.
67 = 3× 22 + 1 =⇒ r1 = 1
67 = 5× 13 + 2 =⇒ r2 = 2
Observe que os restos são iguais àqueles obtidos quando dividimos o resto 7 por 3 e por 5. Podemos
concluir que, para qualquer valor de q os restos da divisão de N por 3 e por 5 serão sempre iguais
a 1 e 2.
Problema 9: a) {1; 2; 3; 6} b) {1; 2; 3; 6; 12}
Problema 10: a) 9 tem 1 e 3 como os únicos divisores menores que ele cuja soma é 1 + 3 = 4, portanto
seu selo é (2, 4).
b) 4 tem 1 e 2 como os únicos divisores menores que ele cuja soma é 1 + 2 = 3, portanto seu selo
é (2, 3).