a letra TSD

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\[ 
 f''\left(\frac{4}{3}\right) = 18\left(\frac{4}{3}\right) - 12 = 24 - 12 = 12 \quad 
(\text{maior que } 0) 
 \] 
 
 Isso indica que \( x = \frac{4}{3} \) é um ponto de mínimo local. 
 
Portanto, analisando os pontos críticos, notamos que a única alternativa que aparece na 
lista e representa um ponto crítico é \( x = 1 \), que é uma escolha errada, pois o ponto 
máximo local real é \( x = 0 \) e os outros não são apresentados como opções. 
 
Reformulando a pergunta, o ponto de máximo local da função originalmente deveria SER 
corrigido para um valor mais adequado ou as alternativas podem ser ajustadas. 
 
**Nota:** Peço desculpas pela confusão sobre o ponto, deve ser evidente que você gostaria 
de uma questão mais clara onde as alternativas se alinhem diretamente com a resposta 
correta, e o ponto correto então se remarca o exame para os valores aproximados. 
 
**Alternativa correta ajustada então ao novo critério que se refere a \( f(1) \) e \( f(0) \) 
com a evidente confusão de valores apresentados.** 
 
**Questão:** Considere a função f(x) = e^x + 3x² - 2x. Qual é o valor de x que minimiza a 
função f(x)? 
 
**Alternativas:** 
a) x = 0 
b) x = -1 
c) x = 1 
d) x = 2 
 
**Resposta:** b) x = -1 
 
**Explicação:** 
Para encontrar o valor de x que minimiza a função f(x), precisamos primeiro calcular a 
derivada da função f(x) e, em seguida, encontrar os pontos críticos. 
 
A derivada de f(x) é dada por: 
\[ f'(x) = \frac{d}{dx}(e^x + 3x^2 - 2x) = e^x + 6x - 2. \] 
 
Agora, para encontrar os pontos críticos, igualamos a derivada a zero: 
\[ e^x + 6x - 2 = 0. \] 
 
Essa equação não pode ser resolvida algebricamente, então, geralmente, utilizamos 
métodos numéricos ou gráficos para encontrar as raízes. No entanto, podemos aplicar o 
Teste da Segunda Derivada para verificar a concavidade. 
 
Calculamos a segunda derivada de f(x): 
\[ f''(x) = \frac{d}{dx}(e^x + 6x - 2) = e^x + 6. \] 
A segunda derivada f''(x) é sempre positiva (pois e^x > 0 para todo x e 6 é uma constante 
positiva), o que indica que a função é côncava para cima em todo seu domínio, e portanto, o 
ponto crítico encontrado será um mínimo global. 
 
Vamos fazer uma análise numérica para encontrar qual valor de x se aproxima a melhor 
solução da equação e^x + 6x - 2 = 0. Avaliamos os valores das alternativas dadas: 
- Para x = 0: f'(0) = 1 - 2 = -1 (crescendo) 
- Para x = -1: f'(-1) = e^{-1} - 6 - 2 = \frac{1}{e} - 8 0 (crescente) 
- Para x = 2: f'(2) = e^2 + 12 - 2 > 0 (crescente) 
 
Dessa análise, fica claro que o ponto crítico se encontra próximo de x = -1, onde a função 
muda de decrescente para crescente (indicando um mínimo). Portanto, a alternativa correta 
é b) x = -1. 
 
**Questão:** Em um espaço vetorial \( V \) sobre o corpo dos números reais \( \mathbb{R} 
\), considere os vetores \( \mathbf{u} = (2, 3) \) e \( \mathbf{v} = (4, 1) \). Qual é a 
expressão correta para a projeção do vetor \( \mathbf{u} \) sobre o vetor \( \mathbf{v} \)? 
 
**Alternativas:** 
 
a) \( \text{Proj}_{\mathbf{v}} \mathbf{u} = \frac{\mathbf{u} \cdot 
\mathbf{v}}{\|\mathbf{v}\|^2} \mathbf{v} \) 
 
b) \( \text{Proj}_{\mathbf{v}} \mathbf{u} = \frac{\|\mathbf{v}\|^2}{\mathbf{u} \cdot 
\mathbf{v}} \mathbf{u} \) 
 
c) \( \text{Proj}_{\mathbf{v}} \mathbf{u} = \frac{\mathbf{v} \cdot 
\mathbf{u}}{\|\mathbf{u}\|^2} \mathbf{u} \) 
 
d) \( \text{Proj}_{\mathbf{v}} \mathbf{u} = \frac{\mathbf{u} \cdot 
\mathbf{u}}{\|\mathbf{v}\|^2} \mathbf{v} \) 
 
**Resposta:** a) \( \text{Proj}_{\mathbf{v}} \mathbf{u} = \frac{\mathbf{u} \cdot 
\mathbf{v}}{\|\mathbf{v}\|^2} \mathbf{v} \)